Tema „Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangentă a unghiului de înclinare” are mai multe sarcini la examenul de certificare. În funcție de starea lor, absolventului i se poate cere să ofere fie un răspuns complet, fie un răspuns scurt. Când se pregătește pentru a susține examenul de stat unificat la matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță sarcinile care necesită calcularea pantei unei tangente.
Portalul educațional Shkolkovo vă va ajuta să faceți acest lucru. Specialiștii noștri au pregătit și au prezentat materiale teoretice și practice în cel mai accesibil mod posibil. Familiarizându-se cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate în care este necesară găsirea tangentei unghiului tangentei.
Momente de bază
Pentru a găsi soluția corectă și rațională la astfel de sarcini în cadrul examenului de stat unificat, este necesar să ne amintim definiția de bază: derivata reprezintă rata de schimbare a unei funcții; este egală cu tangentei unghiului tangentei trasat la graficul funcției într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți soluția corectă pentru problemele USE pe derivată, în care trebuie să calculați tangentei unghiului tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să reprezentați graficul pe planul OXY.
Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatelor și sunteți gata să începeți să rezolvați probleme privind calcularea tangentei unghiului tangentei, similar sarcinilor Examenului de stat unificat, puteți face acest lucru online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, probleme pe tema „Relația unei derivate cu viteza și accelerația unui corp”, am notat răspunsul corect și algoritmul de rezolvare. În același timp, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Favorite”, astfel încât să puteți discuta mai târziu cu profesorul soluția.
Egal numeric cu tangentei unghiului (constituind cea mai mică rotație de la axa Ox la axa Oy) între direcția pozitivă a axei absciselor și dreapta dată.
Tangenta unui unghi poate fi calculată ca raport dintre latura opusă și latura adiacentă. k este întotdeauna egală cu , adică derivata ecuației unei drepte în raport cu X.
Pentru valori pozitive ale pantei kși coeficientul de deplasare zero b linia dreaptă se va afla în primul și al treilea cadran (în care XȘi y atât pozitive cât și negative). În același timp, valori mari ale coeficientului unghiular k o linie dreaptă mai abruptă va corespunde, iar una mai plată va corespunde celor mai mici.
Dreaptă și perpendiculară dacă , și paralelă dacă .
Note
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce este „Coeficientul unghiular al unei linii drepte” în alte dicționare:
panta (directa)- - Subiecte industria petrolului și gazelor EN pantă... Ghidul tehnic al traducătorului
- numărul (matematic) k în ecuația unei drepte pe planul y = kx+b (vezi Geometrie analitică), care caracterizează panta dreptei față de axa x. În sistemul de coordonate dreptunghiular al U.K. k = tan φ, unde φ este unghiul dintre ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
O ramură a geometriei care studiază cele mai simple obiecte geometrice folosind algebra elementară bazată pe metoda coordonatelor. Crearea geometriei analitice este de obicei atribuită lui R. Descartes, care a conturat fundamentele acesteia în ultimul capitol al lui... ... Enciclopedia lui Collier
Măsurarea timpului de reacție (RT) este probabil cel mai venerabil subiect din psihologia empirică. A luat naștere în domeniul astronomiei, în 1823, odată cu măsurarea diferențelor individuale în viteza de percepție a unei stele care traversează linia telescopului. Acestea… Enciclopedie psihologică
O ramură a matematicii care oferă metode pentru studiul cantitativ al diferitelor procese de schimbare; se ocupă cu studiul vitezei de schimbare (calcul diferențial) și cu determinarea lungimilor curbelor, ariilor și volumelor figurilor limitate de contururi curbe și... Enciclopedia lui Collier
Acest termen are alte semnificații, vezi Direct (sensuri). Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei, adică nu are o definiție universală exactă. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca una... ... Wikipedia
Imaginea liniilor drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este definit doar indirect... ... Wikipedia
Imaginea liniilor drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este definit doar indirect... ... Wikipedia
A nu se confunda cu termenul „elipsis”. Elipsa și focarele sale Elipsa (deficiența greacă veche ἔλλειψις, în sensul lipsei de excentricitate până la 1) locul punctelor M din planul euclidian pentru care suma distanțelor de la două puncte date este F1... ... Wikipedia
Fie pe un plan în care există un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, o linie dreaptă l trece prin punctul M 0 paralel cu vectorul direcție A (Fig. 96).
Dacă drept l traversează axa O X(în punctul N), apoi sub unghiul unei drepte l cu axa O X vom înțelege unghiul α cu care este necesară rotirea axei O Xîn jurul punctului N în direcția opusă rotației în sensul acelor de ceasornic, astfel încât axa O X a coincis cu o linie dreaptă l. (Acest lucru se referă la un unghi mai mic de 180°.)
Acest unghi se numește unghi de înclinare Drept. Dacă drept l paralel cu axa O X, atunci unghiul de înclinare se presupune a fi zero (Fig. 97).
Tangenta unghiului de inclinare al unei drepte se numeste panta unei drepte și este de obicei notat prin literă k:
tan α = k. (1)
Dacă α = 0, atunci k= 0; aceasta înseamnă că linia este paralelă cu axa O X iar panta sa este zero.
Dacă α = 90°, atunci k= tan α nu are sens: aceasta înseamnă că o dreaptă perpendiculară pe axa O X(adică paralel cu axa O la), nu are pantă.
Panta unei linii poate fi calculată dacă sunt cunoscute coordonatele oricăror două puncte de pe această dreaptă. Să fie date două puncte de pe o dreaptă: M 1 ( X 1 ; la 1) și M 2 ( X 2 ; la 2) și fie, de exemplu, 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , la 2 > la 1 (Fig. 98).
Apoi din triunghiul dreptunghic M 1 PM 2 găsim
$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$
În mod similar, este dovedit că formula (2) este adevărată și în cazul 90°< α < 180°.
Formula (2) devine lipsită de sens dacă X 2 - X 1 = 0, adică dacă este drept l paralel cu axa O la. Nu există un coeficient de pantă pentru astfel de linii drepte.
Sarcina 1. Determinați coeficientul unghiular al primului care trece prin puncte
M1 (3; -5) şi M2 (5; -7).
Înlocuind coordonatele punctelor M 1 și M 2 în formula (2), obținem
\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) sau k = -1
Sarcina 2. Determinați panta dreptei care trece prin punctele M 1 (3; 5) și M 2 (3; -2).
Deoarece X 2 - X 1 = 0, atunci egalitatea (2) își pierde sensul. Nu există nicio pantă pentru această linie dreaptă. Linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa O la.
Sarcina 3. Determinați panta dreptei care trece prin origine și punctul M 1 (3; -5)
În acest caz, punctul M 2 coincide cu originea. Aplicând formula (2), obținem
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$
Să creăm o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi k, trecând prin punct
M 1 ( X 1 ; la 1). Conform formulei (2), coeficientul unghiular al unei drepte se află din coordonatele celor două puncte ale sale. În cazul nostru, punctul M 1 este dat, iar ca al doilea punct putem lua orice punct M( X; la) linia dreaptă dorită.
Dacă punctul M se află pe o dreaptă care trece prin punctul M 1 și are un coeficient unghiular k, atunci în virtutea formulei (2) avem
$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$
Dacă punctul M nu se află pe o dreaptă, atunci egalitatea (3) nu este valabilă. În consecință, egalitatea (3) este ecuația dreptei care trece prin punctul M 1 ( X 1 ; la 1) cu panta k; această ecuație este de obicei scrisă ca
y- y 1 = k(X - X 1). (4)
Dacă linia dreaptă intersectează axa O la la un moment dat (0; b), atunci ecuația (4) ia forma
la - b = k (X- 0),
y = kx + b. (5)
Această ecuație se numește ecuația unei drepte cu panta k și ordonată inițială b.
Sarcina 4. Aflați unghiul de înclinare al dreptei √3 x + 3la - 7 = 0.
Să reducem această ecuație la forma
$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$
Prin urmare, k= tan α = - 1 / √ 3, de unde α = 150°
Sarcina 5. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul P(3; -4) cu un coeficient unghiular k = 2 / 5
Înlocuind k = 2 / 5 , X 1 = 3, y 1 = - 4 în ecuația (4), obținem
la - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) sau 2 X - 5la - 26 = 0.
Sarcina 6. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul Q (-3; 4) și o componentă cu direcția pozitivă a axei O X unghi 30°.
Dacă α = 30°, atunci k= tan 30° = √ 3 / 3 . Substituind în ecuația (4) valorile X 1 , y 1 și k, primim
la -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) sau √3 X-3y + 12 + 3√3 = 0.
Egal numeric cu tangentei unghiului (constituind cea mai mică rotație de la axa Ox la axa Oy) între direcția pozitivă a axei absciselor și dreapta dată.
Tangenta unui unghi poate fi calculată ca raport dintre latura opusă și latura adiacentă. k este întotdeauna egală cu , adică derivata ecuației unei drepte în raport cu X.
Pentru valori pozitive ale pantei kși coeficientul de deplasare zero b linia dreaptă se va afla în primul și al treilea cadran (în care XȘi y atât pozitive cât și negative). În același timp, valori mari ale coeficientului unghiular k o linie dreaptă mai abruptă va corespunde, iar una mai plată va corespunde celor mai mici.
Dreaptă și perpendiculară dacă , și paralelă dacă .
Note
Fundația Wikimedia. 2010.
- Iphit (regele lui Elis)
- Lista decretelor președintelui Federației Ruse „Cu privire la acordarea premiilor de stat” pentru 2001
Vedeți ce este „Coeficientul unghiular al unei linii drepte” în alte dicționare:
panta (directa)- - Subiecte industria petrolului și gazelor EN pantă... Ghidul tehnic al traducătorului
Factorul de pantă- numărul (matematic) k în ecuația unei drepte pe planul y = kx+b (vezi Geometrie analitică), care caracterizează panta dreptei față de axa x. În sistemul de coordonate dreptunghiular al U.K. k = tan φ, unde φ este unghiul dintre ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Ecuațiile unei linii
GEOMETRIE ANALITĂ- o secțiune de geometrie care studiază cele mai simple obiecte geometrice folosind algebra elementară bazată pe metoda coordonatelor. Crearea geometriei analitice este de obicei atribuită lui R. Descartes, care a conturat fundamentele acesteia în ultimul capitol al lui... ... Enciclopedia lui Collier
Timp de reactie- Măsurarea timpului de reacție (RT) este probabil cel mai venerabil subiect din psihologia empirică. A apărut în domeniul astronomiei, în 1823, odată cu măsurarea diferențelor individuale în viteza de percepție a unei stele care traversează linia telescopului. Acestea… Enciclopedie psihologică
ANALIZA MATEMATICĂ- o ramură a matematicii care oferă metode de cercetare cantitativă a diferitelor procese de schimbare; se ocupă cu studiul vitezei de schimbare (calcul diferențial) și cu determinarea lungimilor curbelor, ariilor și volumelor figurilor limitate de contururi curbe și... Enciclopedia lui Collier
Drept- Acest termen are alte semnificații, vezi Direct (sensuri). Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei, adică nu are o definiție universală exactă. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca una... ... Wikipedia
Linie dreapta- Imaginea liniilor drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este definit doar indirect... ... Wikipedia
Direct- Imaginea liniilor drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Linia dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este definit doar indirect... ... Wikipedia
Arbore minor- A nu se confunda cu termenul „Elipse”. Elipsa și focarele sale Elipsa (deficiența greacă veche ἔλλειψις, în sensul lipsei de excentricitate până la 1) locul punctelor M din planul euclidian pentru care suma distanțelor de la două puncte date este F1... ... Wikipedia
În matematică, unul dintre parametrii care descrie poziția unei linii pe planul de coordonate carteziene este coeficientul unghiular al acestei drepte. Acest parametru caracterizează panta dreptei față de axa absciselor. Pentru a înțelege cum să găsiți panta, mai întâi amintiți-vă forma generală a ecuației unei drepte în sistemul de coordonate XY.
În general, orice linie poate fi reprezentată prin expresia ax+by=c, unde a, b și c sunt numere reale arbitrare, dar a 2 + b 2 ≠ 0.
Folosind transformări simple, o astfel de ecuație poate fi adusă la forma y=kx+d, în care k și d sunt numere reale. Numărul k este panta, iar ecuația unei drepte de acest tip se numește ecuație cu pantă. Se pare că pentru a găsi panta, trebuie pur și simplu să reduceți ecuația inițială la forma indicată mai sus. Pentru o înțelegere mai completă, luați în considerare un exemplu specific:
Problemă: Aflați panta dreptei dată de ecuația 36x - 18y = 108
Soluție: Să transformăm ecuația inițială.
Răspuns: Panta necesară a acestei drepte este 2.
Dacă în timpul transformării ecuației am primit o expresie de genul x = const și ca urmare nu putem reprezenta y în funcție de x, atunci avem de-a face cu o dreaptă paralelă cu axa X. Coeficientul unghiular al unui astfel de o linie dreaptă este egală cu infinitul.
Pentru drepte exprimate printr-o ecuație precum y = const, panta este zero. Acest lucru este tipic pentru liniile drepte paralele cu axa absciselor. De exemplu:
Problemă: Aflați panta dreptei dată de ecuația 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Soluție: Să aducem ecuația inițială la forma sa generală
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Este imposibil de exprimat y din expresia rezultată, prin urmare coeficientul unghiular al acestei linii este egal cu infinit, iar linia în sine va fi paralelă cu axa Y.
Sensul geometric
Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la imagine:
În figură vedem un grafic al unei funcții precum y = kx. Pentru a simplifica, să luăm coeficientul c = 0. În triunghiul OAB, raportul dintre latura BA și AO va fi egal cu coeficientul unghiular k. În același timp, raportul BA/AO este tangenta unghiului ascuțit α în triunghiul dreptunghic OAB. Rezultă că coeficientul unghiular al dreptei este egal cu tangenta unghiului pe care această dreaptă o face cu axa absciselor grilei de coordonate.
Rezolvând problema modului de a găsi coeficientul unghiular al unei linii drepte, găsim tangenta unghiului dintre acesta și axa X a grilei de coordonate. Cazurile limită, când linia în cauză este paralelă cu axele de coordonate, confirmați cele de mai sus. Într-adevăr, pentru o dreaptă descrisă de ecuația y=const, unghiul dintre ea și axa absciselor este zero. Tangenta unghiului zero este, de asemenea, zero și panta este, de asemenea, zero.
Pentru liniile drepte perpendiculare pe axa x și descrise de ecuația x=const, unghiul dintre ele și axa X este de 90 de grade. Tangenta unui unghi drept este egală cu infinitul, iar coeficientul unghiular al dreptelor similare este, de asemenea, egal cu infinitul, ceea ce confirmă ceea ce s-a scris mai sus.
Pantă tangentă
O sarcină frecvent întâlnită în practică este, de asemenea, găsirea pantei unei tangente la graficul unei funcții la un anumit punct. O tangentă este o linie dreaptă, prin urmare și conceptul de pantă este aplicabil acesteia.
Pentru a ne da seama cum să găsim panta unei tangente, va trebui să ne amintim conceptul de derivată. Derivata oricărei funcții într-un anumit punct este o constantă egală numeric cu tangentei unghiului care se formează între tangenta în punctul specificat la graficul acestei funcții și axa absciselor. Se pare că pentru a determina coeficientul unghiular al tangentei în punctul x 0, trebuie să calculăm valoarea derivatei funcției inițiale în acest punct k = f"(x 0). Să ne uităm la exemplul:
Problemă: Aflați panta dreptei tangente la funcția y = 12x 2 + 2xe x la x = 0,1.
Rezolvare: Aflați derivata funcției originale în formă generală
y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Răspuns: Panta necesară în punctul x = 0,1 este 4,831
