Există semne prin care uneori este ușor să afli, fără a împărți efectiv, dacă un anumit număr este divizibil sau nu cu alte numere.
Se numesc numerele care sunt divizibile cu 2 chiar. Numărul zero se referă și la numerele pare. Toate celelalte numere sunt apelate ciudat:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - par,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - impar.
Semne de divizibilitate
Testul de divizibilitate cu 2. Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima lui cifră este pară. De exemplu, numărul 4376 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră (6) este pară.
Testul de divizibilitate cu 3. Numai acele numere a căror sumă de cifre este divizibilă cu 3 sunt divizibile cu 3. De exemplu, numărul 10815 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 este divizibil cu 3.
Teste de divizibilitate cu 4. Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele sale două cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 4. De exemplu, numărul 244500 este divizibil cu 4 deoarece se termină cu două zerouri. Numerele 14708 și 7524 sunt divizibile cu 4 deoarece ultimele două cifre ale acestor numere (08 și 24) sunt divizibile cu 4.
Teste de divizibilitate cu 5. Acele numere care se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5. De exemplu, numărul 320 este divizibil cu 5, deoarece ultima cifră este 0.
Testul de divizibilitate cu 6. Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și 3. De exemplu, numărul 912 este divizibil cu 6 deoarece este divizibil cu 2 și 3.
Teste de divizibilitate cu 8. Împărțite la 8 sunt acele numere ale căror ultime trei cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 8. De exemplu, numărul 27000 este divizibil cu 8, deoarece se termină cu trei zerouri. Numărul 63128 este divizibil cu 8 deoarece ultimele trei cifre formează numărul (128), care este divizibil cu 8.
Testul de divizibilitate cu 9. Numai acele numere a căror sumă de cifre este divizibilă cu 9 sunt divizibile cu 9. De exemplu, numărul 2637 este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor sale 2 + 6 + 3 + 7 = 18 este divizibil cu 9.
Semne de divizibilitate cu 10, 100, 1000 etc. Acele numere care se termină cu un zero, două zerouri, trei zerouri și așa mai departe sunt împărțite la 10, 100, 1000 și așa mai departe. De exemplu, numărul 3800 este divizibil cu 10 și 100.
Matematica în clasa a VI-a începe cu studierea conceptului de divizibilitate și a semnelor de divizibilitate. Ele sunt adesea limitate la criteriile de divizibilitate cu următoarele numere:
- Pe 2 : ultima cifră trebuie să fie 0, 2, 4, 6 sau 8;
- Pe 3 : suma cifrelor numărului trebuie să fie divizibilă cu 3;
- Pe 4 : numărul format din ultimele două cifre trebuie să fie divizibil cu 4;
- Pe 5 : ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5;
- Pe 6 : numărul trebuie să aibă semne de divizibilitate cu 2 și 3;
- Test de divizibilitate pentru 7 deseori ratat;
- De asemenea, rareori vorbesc despre testul de divizibilitate prin 8 , deși este similar cu criteriile de divizibilitate cu 2 și 4. Pentru ca un număr să fie divizibil cu 8, este necesar și suficient ca terminația din trei cifre să fie divizibilă cu 8.
- Test de divizibilitate pentru 9 Toată lumea știe: suma cifrelor unui număr trebuie să fie divizibilă cu 9. Ceea ce, însă, nu dezvoltă imunitate împotriva a tot felul de trucuri cu date pe care le folosesc numerologii.
- Test de divizibilitate pentru 10 , probabil cel mai simplu: numărul trebuie să se termine cu zero.
- Uneori, elevii de clasa a șasea sunt învățați despre testul de divizibilitate prin 11 . Trebuie să adăugați cifrele numărului care sunt în locuri pare și să scădeți numerele care sunt în locuri impare din rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 11, atunci numărul în sine este divizibil cu 11.
Să luăm un număr. Îl împărțim în blocuri de câte 3 cifre fiecare (blocul din stânga poate conține una sau 2 cifre) și adunăm/scădem alternativ aceste blocuri.
Dacă rezultatul este divizibil cu 7, 13 (sau 11), atunci numărul în sine este divizibil cu 7, 13 (sau 11).
Această metodă, ca și o serie de trucuri matematice, se bazează pe faptul că 7x11x13 = 1001. Cu toate acestea, ce să faceți cu numerele de trei cifre, pentru care problema divizibilității, de asemenea, nu poate fi rezolvată fără diviziunea în sine.
Folosind testul universal de divizibilitate, este posibil să se construiască algoritmi relativ simpli pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 7 și alte numere „incomode”.
Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 7
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 7, trebuie să aruncați ultima cifră din număr și să scădeți această cifră de două ori din rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 7, atunci numărul în sine este divizibil cu 7.
Exemplul 1:
E 238 divizibil cu 7?
23-8-8 = 7. Deci numărul 238 este divizibil cu 7.
Într-adevăr, 238 = 34x7
Această acțiune poate fi efectuată în mod repetat.
Exemplul 2:
Este 65835 divizibil cu 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 este divizibil cu 7 (dacă nu am fi observat acest lucru, am fi putut mai face un pas: 6-3-3 = 0, iar 0 este cu siguranță divizibil cu 7).
Aceasta înseamnă că numărul 65835 este divizibil cu 7.
Pe baza criteriului universal de divizibilitate, este posibil să se îmbunătățească criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 8.
Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 4
Dacă jumătate din numărul de unități plus numărul de zeci este un număr par, atunci numărul este divizibil cu 4.
Exemplul 3
Este numărul 52 divizibil cu 4?
5+2/2 = 6, numărul este par, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 4.
Exemplul 4
Este numărul 134 divizibil cu 4?
3+4/2 = 5, numărul este impar, ceea ce înseamnă că 134 nu este divizibil cu 4.
Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 8
Dacă adăugați de două ori numărul de sute, numărul de zeci și jumătate din numărul de unități, iar rezultatul este divizibil cu 4, atunci numărul în sine este divizibil cu 8.
Exemplul 5
Este numărul 512 divizibil cu 8?
5*2+1+2/2 = 12, numărul este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 512 este divizibil cu 8.
Exemplul 6
Este numărul 1984 divizibil cu 8?
9*2+8+4/2 = 28, numărul este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 1984 este divizibil cu 8.
Test de divizibilitate cu 12- aceasta este unirea semnelor de divizibilitate cu 3 și 4. Același lucru funcționează pentru orice n care este produsul dintre coprime p și q. Pentru ca un număr să fie divizibil cu n (care este egal cu produsul pq,actih, astfel încât gcd(p,q)=1), trebuie să fie divizibil atât cu p, cât și cu q.
Totuși, fii atent! Pentru ca criteriile de divizibilitate compuse să funcționeze, factorii unui număr trebuie să fie coprimi. Nu poți spune că un număr este divizibil cu 8 dacă este divizibil cu 2 și 4.
Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 13
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 13, trebuie să renunțați la ultima cifră din număr și să o adăugați de patru ori la rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.
Exemplul 7
Este 65835 divizibil cu 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Numărul 43 nu este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că numărul 65835 nu este divizibil cu 13.
Exemplul 8
E 715 divizibil cu 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că numărul 715 este divizibil cu 13.
Semne de divizibilitate cu 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 iar alte numere compuse care nu sunt puteri ale primelor sunt similare cu testele de divizibilitate cu 12. Verificăm divizibilitatea prin factori coprimi a acestor numere.
- Pentru 14: pentru 2 și pentru 7;
- Pentru 15: pentru 3 și pentru 5;
- Pentru 18: pe 2 și 9;
- Pentru 21: pe 3 și 7;
- Pentru 20: cu 4 și cu 5 (sau, cu alte cuvinte, ultima cifră trebuie să fie zero, iar penultima cifră trebuie să fie pară);
- Pentru 24: pentru 3 și pentru 8;
- Pentru 26: pe 2 și 13;
- Pentru 28: pe 4 și 7.
În loc să verificați dacă sfârșitul de 4 cifre a unui număr este divizibil cu 16, puteți adăuga cifra celor cu de 10 ori cifra zecilor, cifra cvadrupla a sutelor și
înmulțit cu de opt ori cifra miilor și verificați dacă rezultatul este divizibil cu 16.
Exemplul 9
Este numărul 1984 divizibil cu 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 nu este divizibil cu 16, ceea ce înseamnă că 1984 nu este divizibil cu 16.
Exemplul 10
Este numărul 1526 divizibil cu 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nu este divizibil cu 16, ceea ce înseamnă că 1526 nu este divizibil cu 16.
Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 17.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 17, trebuie să aruncați ultima cifră din număr și să scădeți această cifră de cinci ori din rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.
Exemplul 11
Este numărul 59772 divizibil cu 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 e divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că numărul 59772 este divizibil cu 17.
Exemplul 12
Este numărul 4913 divizibil cu 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 e divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că numărul 4913 este divizibil cu 17.
Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 19.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 19, trebuie să adăugați de două ori ultima cifră la numărul rămas după ce ați renunțat la ultima cifră.
Exemplul 13
Este numărul 9044 divizibil cu 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 e divizibil cu 19, ceea ce înseamnă că numărul 9044 este divizibil cu 19.
Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 23.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 23, trebuie să adăugați ultima cifră, mărită de 7 ori, la numărul rămas după eliminarea ultimei cifre.
Exemplul 14
Este numărul 208012 divizibil cu 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
De fapt, puteți observa deja că 253 este 23,
Să luăm în considerare o problemă simplă.Într-o fermă, 846 au fost colectate dimineața. ouă de găină. Aceasta era o fermă comună; era întreținută de 9 familii. Este necesar să împărțiți toate ouăle în mod egal între ele. Cum se verifică, fără a împărți, dacă numărul 846 este divizibil cu 9 fără rest.
Mai întâi, să împărțim acest număr în cifre. Numărul 846 este format din 8 sute, 4 zeci și 6 unități.
Să începem să ne ocupăm de sute. Dacă punem 100 de ouă în nouă coșuri, ne va rămâne un ou în plus. Adică pentru fiecare sută de ouă va fi 1 ou. Deoarece avem 8 sute de ouă întregi, vor mai rămâne 8 ouă.
Acum să ne ocupăm de zeci. Dacă zece ouă sunt puse în nouă coșuri, atunci va mai rămâne și un ou în plus pentru fiecare zece. Deoarece sunt 4 zeci în numărul nostru, vor mai rămâne 4 ouă.
Nu putem pune cele 6 ouă care erau într-o singură categorie în nouă coșuri, așa că vor rămâne și ele.
Acum să adăugăm toate ouăle care ne-au mai rămas. 8 din sute, 4 din zeci și 6 din unu, pentru un total de 8+4+6=18 ouă. 18 ouă pot fi împărțite în nouă coșuri și nu va mai rămâne niciun ou în plus. Prin urmare, 846 de ouă pot fi împărțite în mod egal în nouă coșuri. Aceasta înseamnă că numărul 846 este divizibil cu 9 fără rest.
Testul de divizibilitate cu 9
Acum, putem formula un test pentru divizibilitatea unui număr cu 9.
- Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9 fără rest, atunci numărul însuși este divizibil cu 9. Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibil cu 9 fără rest, atunci numărul în sine nu va fi divizibil cu 9. să fie divizibil cu 9 fără rest.
Aici sunt cateva exemple:
Numărul 76.005 va fi divizibil cu 9 fără rest, deoarece suma cifrelor sale constitutive: 7+6+0+0+5=18 este divizibil cu 9 fără rest.
Numărul 51.734 nu este divizibil cu 9 fără rest, deoarece suma cifrelor sale constitutive: 5+1+7+3+4=20 nu este divizibil cu 9 fără rest.
Testul de divizibilitate cu 3
În mod similar, obținem un semn că un număr este divizibil cu 3.
Împărțirea a o sută la 3 va lăsa unul. Împărțirea unui zece la 3 va lăsa, de asemenea, o unitate. Primim o copie a situației cu nouă.
- Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3 fără rest, atunci numărul însuși este divizibil cu 3. Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibil cu 3 fără rest, atunci numărul în sine nu va fi divizibil cu 3. să fie divizibil cu 3 fără rest.
Numărul 76.005 va fi divizibil cu 3 fără rest, deoarece suma cifrelor sale constitutive: 7+6+0+0+5=18 este divizibil cu 3 fără rest.
Numărul 51.734 nu este divizibil cu 3 fără rest, deoarece suma cifrelor sale constitutive: 5+1+7+3+4=20 nu este divizibil cu 3 fără rest.
Să începem să luăm în considerare subiectul „Testul de divizibilitate cu 3”. Să începem cu formularea semnului și să dăm demonstrația teoremei. Apoi vom lua în considerare principalele abordări pentru stabilirea divizibilității cu 3 a numerelor a căror valoare este dată de o expresie. Secțiunea oferă o analiză a soluției principalelor tipuri de probleme pe baza utilizării testului de divizibilitate cu 3.
Test de divizibilitate cu 3, exemple
Testul divizibilității cu 3 este formulat simplu: un număr întreg va fi divizibil cu 3 fără rest dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Dacă valoarea totală a tuturor cifrelor care alcătuiesc un număr întreg nu este divizibilă cu 3, atunci numărul original în sine nu este divizibil cu 3. Puteți obține suma tuturor cifrelor dintr-un număr întreg folosind adunarea. numere naturale.
Acum să ne uităm la exemple de utilizare a testului de divizibilitate cu 3.
Exemplul 1
Este numărul 42 divizibil cu 3?
Soluţie
Pentru a răspunde la această întrebare, adunăm toate numerele care alcătuiesc numărul - 42: 4 + 2 = 6.
Răspuns: Conform testului de divizibilitate, deoarece suma cifrelor incluse în numărul inițial este divizibil cu trei, atunci numărul original în sine este divizibil cu 3.
Pentru a răspunde la întrebarea dacă numărul 0 este divizibil cu 3, avem nevoie de proprietatea de divizibilitate, conform căreia zero este divizibil cu orice număr întreg. Se dovedește că zero este divizibil cu trei.
Există probleme pentru care este necesar să se folosească de mai multe ori testul de divizibilitate cu 3.
Exemplul 2
Arată că numărul 907 444 812 divizibil cu 3.
Soluţie
Să găsim suma tuturor cifrelor care formează numărul inițial: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Acum trebuie să stabilim dacă numărul 39 este divizibil cu 3. Încă o dată adunăm numerele care alcătuiesc acest număr: 3 + 9 = 12 . Trebuie doar să adunăm din nou numerele pentru a obține răspunsul final: 1 + 2 = 3 . Numărul 3 este divizibil cu 3
Răspuns: numărul original 907 444 812 este de asemenea divizibil cu 3.
Exemplul 3
Numărul este divizibil cu 3? − 543 205 ?
Soluţie
Să calculăm suma cifrelor care alcătuiesc numărul inițial: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
Acum să calculăm suma cifrelor numărului rezultat: 1 + 9 = 10 .
Pentru a obține răspunsul final, găsim rezultatul încă o adăugare: 1 + 0 = 1
.
Răspuns: 1 nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul inițial nu este divizibil cu 3.
Pentru a determina dacă un număr dat este divizibil cu 3 fără rest, putem împărți numărul dat la 3. Dacă împărțiți numărul − 543 205 din exemplul discutat mai sus cu o coloană de trei, atunci nu vom obține un număr întreg în răspuns. Aceasta înseamnă și că − 543 205 nu poate fi împărțit la 3 fără rest.
Dovada testului de divizibilitate cu 3
Aici vom avea nevoie de următoarele abilități: descompunerea unui număr în cifre și regula înmulțirii cu 10, 100 etc. Pentru a efectua proba, trebuie să obținem o reprezentare a numărului a din formular , Unde a n , a n - 1 , … , a 0- acestea sunt numerele care sunt situate de la stânga la dreapta în notația unui număr.
Iată un exemplu folosind un anumit număr: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.
Să scriem o serie de egalități: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1.000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 și așa mai departe.
Acum să înlocuim aceste egalități în loc de 10, 100 și 1000 în egalitățile date mai devreme a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.
Iată cum am ajuns la egalitate:
a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0
Acum să aplicăm proprietățile adunării și proprietățile înmulțirii numerelor naturale pentru a rescrie egalitatea rezultată după cum urmează:
a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0
Expresia a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 este suma cifrelor numărului original a. Să introducem o nouă notație scurtă pentru aceasta A. Se obține: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .
În acest caz, reprezentarea numărului este a = 3 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A ia forma pe care ne va fi convenabil să o folosim pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3.
Definiția 1
Acum amintiți-vă următoarele proprietăți de divizibilitate:
- condiție necesară și suficientă pentru ca un întreg a să fie divizibil cu un întreg
b , este condiția prin care modulul numărului a este împărțit la modulul numărului b; - dacă în egalitate a = s + t toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un număr întreg b, atunci acest singur termen este de asemenea divizibil cu b.
Am pus bazele pentru demonstrarea testului de divizibilitate cu 3. Acum să formulăm această caracteristică sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.
Teorema 1
Pentru a afirma că întregul a este divizibil cu 3, este necesar și suficient pentru noi ca suma cifrelor care formează notația numărului a să fie divizibil cu 3.
Dovada 1
Dacă luăm valoarea a = 0, atunci teorema este evidentă.
Dacă luăm un număr a care este diferit de zero, atunci modulul numărului a va fi un număr natural. Acest lucru ne permite să scriem următoarea egalitate:
a = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , unde A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - suma cifrelor numărului a.
Deoarece suma și produsul numerelor întregi este un număr întreg, atunci
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 este un număr întreg, atunci, prin definiția divizibilității, produsul este 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 este divizibil cu 3
pentru orice a 0 , a 1 , … , a n.
Dacă suma cifrelor unui număr A impartit de 3 , acesta este, A impartit de 3 , apoi datorită proprietății de divizibilitate indicată înainte de teoremă, a se împarte la 3 , prin urmare, A impartit de 3 . Deci suficiența este dovedită.
Dacă A impartit de 3
, atunci a este și divizibil cu 3
, apoi datorită aceleiași proprietăți de divizibilitate, numărul
A impartit de 3
, adică suma cifrelor unui număr A impartit de 3
. Necesitatea a fost dovedită.
Alte cazuri de divizibilitate prin 3
Numerele întregi pot fi specificate ca valoare a unei expresii care conține o variabilă, având în vedere o anumită valoare a acelei variabile. Astfel, pentru un număr natural n, valoarea expresiei 4 n + 3 n - 1 este un număr natural. În acest caz, împărțirea directă prin 3 nu ne poate da un răspuns la întrebarea dacă un număr este divizibil cu 3 . Aplicarea testului de divizibilitate pentru 3 poate fi, de asemenea, dificil. Să ne uităm la exemple de astfel de probleme și să analizăm metodele de rezolvare a acestora.
Se pot folosi mai multe abordări pentru a rezolva astfel de probleme. Esența unuia dintre ele este următoarea:
- reprezentăm expresia originală ca un produs al mai multor factori;
- aflați dacă cel puțin unul dintre factori poate fi împărțit la 3 ;
- Pe baza proprietății de divizibilitate, concluzionăm că întregul produs este divizibil cu 3 .
Când rezolvăm, de multe ori trebuie să recurgem la utilizarea formulei binomiale a lui Newton.
Exemplul 4
Este valoarea expresiei 4 n + 3 n - 1 divizibil cu 3 sub orice firesc n?
Soluţie
Să scriem egalitatea 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Să aplicăm formula binomială a lui Newton:
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3
Acum hai să-l scoatem 3 în afara parantezelor: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Produsul rezultat conține multiplicatorul 3 , iar valoarea expresiei din paranteze pentru n natural reprezintă un număr natural. Acest lucru ne permite să afirmăm că produsul rezultat și expresia originală 4 n + 3 n - 1 sunt împărțite la 3 .
Răspuns: Da.
Putem folosi și metoda inducției matematice.
Exemplul 5
Demonstrați folosind metoda inducției matematice că pentru orice număr natural
n valoarea expresiei n n 2 + 5 se împarte la 3
.
Soluţie
Să aflăm valoarea expresiei n · n 2 + 5 când n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 este divizibil cu 3 .
Acum să presupunem că valoarea expresiei n n 2 + 5 at n = k impartit de 3 . De fapt, va trebui să lucrăm cu expresia k k 2 + 5, care ne așteptăm să fie divizibil cu 3 .
Considerând că k k 2 + 5 este divizibil cu 3 , vom arăta că valoarea expresiei n · n 2 + 5 at n = k + 1 impartit de 3 , adică vom arăta că k + 1 k + 1 2 + 5 este divizibil cu 3 .
Să efectuăm transformările:
k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2
Expresia k · (k 2 + 5) se împarte la 3 iar expresia 3 k 2 + k + 2 se împarte la 3 , deci suma lor este împărțită la 3 .
Deci am demonstrat că valoarea expresiei n · (n 2 + 5) este divizibilă cu 3 pentru orice număr natural n.
Acum să ne uităm la abordarea de a demonstra divizibilitatea prin 3 , care se bazează pe următorul algoritm de acțiuni:
- arătăm că valoarea acestei expresii cu variabila n pentru n = 3 m, n = 3 m + 1 și n = 3 m + 2, Unde m– un număr întreg arbitrar, divizibil cu 3 ;
- concluzionăm că expresia va fi divizibilă cu 3 pentru orice număr întreg n.
Pentru a nu distrage atenția de la detalii minore, vom aplica acest algoritm la soluția exemplului anterior.
Exemplul 6
Să se arate că n · (n 2 + 5) este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.
Soluţie
Să ne prefacem că n = 3 m. Atunci: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Produsul pe care l-am primit conține un multiplicator 3 , prin urmare produsul în sine este împărțit în 3 .
Să ne prefacem că n = 3 m + 1. Apoi:
n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m2 + 2 m + 2)
Produsul pe care l-am primit este împărțit în 3 .
Să presupunem că n = 3 m + 2. Apoi:
n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3
Această lucrare este, de asemenea, împărțită în 3 .
Răspuns: Deci am demonstrat că expresia n n 2 + 5 este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.
Exemplul 7
Este divizibil cu 3 valoarea expresiei 10 3 n + 10 2 n + 1 pentru un număr natural n.
Soluţie
Să ne prefacem că n=1. Primim:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
Să ne prefacem că n=2. Primim:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
Deci putem concluziona că pentru orice n natural vom obține numere care sunt divizibile cu 3. Aceasta înseamnă că 10 3 n + 10 2 n + 1 pentru orice număr natural n este divizibil cu 3.
Răspuns: da
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
