Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în statistici. Valorile medii caracterizează indicatorii calitativi ai activității comerciale: costuri de distribuție, profit, rentabilitate etc.
In medie - Aceasta este una dintre tehnicile comune de generalizare. O înțelegere corectă a esenței mediei determină semnificația sa specială în condiții economie de piata, când media prin individ și aleatoriu ne permite să identificăm general și necesar, să identificăm tendința modelelor de dezvoltare economică.
valoarea medie - sunt indicatori generali in care se exprima actiunile conditii generale, modele ale fenomenului studiat.
Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă din observarea de masă organizată corect statistic (continuă și selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă). De exemplu, dacă calculezi media salariileîn cooperative și întreprinderi de stat, iar rezultatul este extins la întreaga populație, atunci media este fictivă, deoarece a fost calculată pe baza unei populații eterogene, iar o astfel de medie își pierde orice sens.
Cu ajutorul mediei, diferențele de valoare a unei caracteristici care apar dintr-un motiv sau altul în unitățile individuale de observație sunt netezite.
De exemplu, productivitatea medie a unui agent de vânzări depinde de mai multe motive: calificări, vechime în muncă, vârstă, formă de serviciu, sănătate etc.
Producția medie reflectă proprietatea generală a întregii populații.
Valoarea medie este o reflectare a valorilor caracteristicii studiate, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune cu această caracteristică.
Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de oricare caracteristică. Pentru a obține o înțelegere completă și cuprinzătoare a populației studiate după o serie de caracteristici esențiale, în general este necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.
Există diferite medii:
medie aritmetică;
medie geometrică;
medie armonică;
medie pătrată;
cronologic mediu.
Să ne uităm la câteva tipuri de medii care sunt cel mai des folosite în statistici.
Media aritmetică
Media aritmetică simplă (neponderată) este egală cu suma valorilor individuale ale atributului împărțită la numărul acestor valori.
Valorile individuale ale unei caracteristici se numesc variante și sunt notate cu x(); numărul de unități de populație se notează cu n, valoarea medie a caracteristicii se notează cu 
. Prin urmare, media aritmetică simplă este egală cu:
Conform datelor seriei de distribuție discretă, este clar că aceleași valori caracteristice (variante) se repetă de mai multe ori. Astfel, opțiunea x apare de 2 ori în total, iar opțiunea x de 16 ori etc.
Numărul de valori identice ale unei caracteristici din seria de distribuție se numește frecvență sau greutate și este notat cu simbolul n.
Să calculăm salariul mediu al unui muncitor 
in rub.:
Fondul de salarii pentru fiecare grup de lucrători este egal cu produsul opțiunilor și frecvența, iar suma acestor produse dă fondul de salarii total al tuturor lucrătorilor.
În conformitate cu aceasta, calculele pot fi prezentate în formă generală:
Formula rezultată se numește medie aritmetică ponderată.
Ca urmare a prelucrării, materialul statistic poate fi prezentat nu numai sub forma unor serii de distribuție discretă, ci și sub forma unor serii de variații de interval cu intervale închise sau deschise.
Media pentru datele grupate este calculată folosind formula medie aritmetică ponderată:
În practica statisticii economice, uneori este necesar să se calculeze media folosind medii de grup sau medii ale părților individuale ale populației (medii parțiale). În astfel de cazuri, mediile de grup sau private sunt luate ca opțiuni (x), pe baza cărora media generală este calculată ca medie aritmetică ponderată obișnuită.
Proprietățile de bază ale mediei aritmetice .
Media aritmetică are o serie de proprietăți:
1. Valoarea mediei aritmetice nu se va modifica de la scăderea sau creșterea frecvenței fiecărei valori a caracteristicii x de n ori.
Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau înmulțite cu orice număr, valoarea medie nu se va modifica.
2. Multiplicatorul comun al valorilor individuale ale unei caracteristici poate fi luat dincolo de semnul mediei:
3. Media sumei (diferenței) a două sau mai multor cantități este egală cu suma (diferența) mediilor lor:
4. Dacă x = c, unde c este o valoare constantă, atunci 
.
5. Suma abaterilor valorilor atributului X de la media aritmetică x este egală cu zero:
Mijloace armonică.
Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată.
Caracteristicile seriei de variații, împreună cu mediile, sunt modul și mediana.
Modă - aceasta este valoarea unei caracteristici (variante) care se repetă cel mai des în populația studiată. Pentru seriile de distribuție discretă, modul va fi valoarea variantei cu cea mai mare frecvență.
Pentru serii de distribuție a intervalelor cu intervale egale, modul este determinat de formula:
Unde 
- valoarea iniţială a intervalului care conţine modul;
- valoarea intervalului modal;
- frecvenţa intervalului modal;
- frecvenţa intervalului premergător celui modal;
- frecvenţa intervalului următor celui modal.
Median - aceasta este o opțiune situată la mijlocul seriei de variații. Dacă seria de distribuție este discretă și are un număr impar de membri, atunci mediana va fi opțiunea situată la mijlocul seriei ordonate (o serie ordonată este aranjarea unităților populației în ordine crescătoare sau descrescătoare).
Tema 3. Metoda mediilor
Mărime medieîn statistică este o caracteristică generalizată a fenomenelor și proceselor calitativ omogene în funcție de o caracteristică variabilă, care arată nivelul caracteristicii raportat la o unitate a populației.
valoarea medie
abstract, pentru că caracterizează valoarea unei caracteristici într-o unitate impersonală a populaţiei.Esență valoarea medie este că prin individul și aleatoriu se dezvăluie generalul și necesarul, adică tendința și tiparul în dezvoltarea fenomenelor de masă. Caracteristicile care sunt generalizate în valori medii sunt inerente tuturor unităților populației.
Din această cauză, valoarea medie are mare importanță pentru a identifica tipare inerente fenomenelor de masă și neobservabile în unitățile individuale ale populației. Începând cu W. Petty, mediile au început să fie considerate ca principala tehnică de analiză statistică.
Principii generale aplicarea valorilor medii:
1) este necesară o alegere rezonabilă a unității de populație pentru care se calculează valoarea medie;
2) la determinarea valorii medii trebuie să se pornească de la conținutul calitativ al caracteristicii care se face mediat, să se țină seama de relația dintre caracteristicile studiate, precum și de datele disponibile pentru calcul;
3) valorile medii trebuie calculate pe baza populațiilor omogene calitativ, care se obțin prin metoda grupării, care presupune calcularea unui sistem de indicatori generalizatori;
4) mediile generale trebuie să fie susținute de mediile de grup.
În funcție de natura datelor primare, domeniul de aplicare și metoda de calcul în statistică, se disting următoarele: principalele tipuri de mediu:
1) medii de putere(media aritmetică, armonică, geometrică, medie pătratică și cubică);
2) mijloace structurale (neparametrice).(mod și mediană).
În statistici descriere corecta populaţia studiată după o caracteristică variabilă în fiecare caz individual oferă doar un tip foarte specific de medie.Întrebarea ce tip de medie trebuie aplicată într-un anumit caz este rezolvată printr-o analiză specifică a populației studiate, precum și pe baza principiului semnificației rezultatelor la însumare sau la cântărire. Aceste și alte principii sunt exprimate în statistici teoria mediilor.
De exemplu, media aritmetică și media armonică sunt utilizate pentru a caracteriza valoarea medie a unei caracteristici diferite în populația studiată. Media geometrică este utilizată numai la calcularea ratelor medii ale dinamicii, iar media pătratică este utilizată numai la calcularea indicilor de variație.
Formulele pentru calcularea valorilor medii sunt prezentate în Tabelul 3.1.
Tabel 3.1 – Formule pentru calcularea valorilor medii
| Tipuri de medii | Formule de calcul | |
| simplu | ponderat | |
| 1. Media aritmetică |  |
|
| 2. Mijloc armonic | ||
| 3. Media geometrică | ||
| 4. Pătrat mediu |  |
Denumiri:- cantități pentru care se calculează media; - medie, unde bara de mai sus indică faptul că are loc mediarea valorilor individuale; - frecvență (repetabilitate a valorilor individuale ale unei caracteristici).
Evident, diferitele medii sunt derivate din formula generală pentru puterea medie (3.1):
, (3.1)
când k = + 1 - medie aritmetică; k = -1 - medie armonică; k = 0 - medie geometrică; k = +2 - rădăcină pătrată medie.
Valorile medii pot fi simple sau ponderate. Medii ponderate sunt numite valori care țin cont de faptul că unele variante ale valorilor de atribut pot avea numere diferite; în acest sens, fiecare opțiune trebuie înmulțită cu acest număr. „Scalele” în acest caz sunt numerele de unități agregate din diferite grupuri, adică Fiecare opțiune este „ponderată” de frecvența sa. Se numește frecvența f ponderea statistica sau greutate medie.
Dacă se studiază o populație cu caracteristici omogene calitativ, atunci valoarea medie acționează aici ca medie tipică. De exemplu, pentru grupuri de lucrători dintr-o anumită industrie cu un nivel de venit fix, se determină o cheltuială medie tipică pentru produse de bază.
Când se studiază o populație cu caracteristici calitativ eterogene, atipicitatea indicatorilor medii poate trece în prim-plan. Aceștia, de exemplu, sunt indicatorii medii ai venitului național produs pe cap de locuitor (grupe de vârstă diferite). Valorile medii generalizează valori calitativ eterogene ale caracteristicilor sau agregatelor spațiale sistemice (comunitate internațională, continent, stat, regiune, regiune etc.) sau agregate dinamice extinse în timp (secol, deceniu, an, anotimp etc.). ). Se numesc astfel de valori medii mediile sistemului.
În cele din urmă alegerea corectă a mediei presupune următoarea succesiune:
a) stabilirea unui indicator general al populaţiei;
b) determinarea unei relaţii matematice de mărimi pentru un indicator general dat;
c) înlocuirea valorilor individuale cu valori medii;
d) calculul mediei folosind ecuația corespunzătoare.
3.2 Media aritmetică și proprietățile acesteia și tehnici de calcul. Mijloace armonică
Media aritmetică– cel mai comun tip de mărime medie; se calculează în cazurile în care volumul caracteristicii medii este format ca suma valorilor sale pentru unitățile individuale ale populației statistice studiate.
Cele mai importante proprietăți ale mediei aritmetice :
1. Produsul mediei prin suma frecvențelor este întotdeauna egal cu suma produselor variantelor (valorilor individuale) după frecvențe.
2. Dacă scadeți (adunați) orice număr arbitrar din fiecare opțiune, atunci noua medie va scădea (crește) cu același număr.
3. Dacă fiecare opțiune este înmulțită (împărțită) cu un număr arbitrar, atunci noua medie va crește (scădea) cu aceeași sumă
4. Dacă toate frecvențele (greutățile) sunt împărțite sau înmulțite cu orice număr, atunci media aritmetică nu se va modifica.
5. Suma abaterilor opțiunilor individuale de la media aritmetică este întotdeauna zero.
Puteți scădea o valoare constantă arbitrară ( valoare mai bună opțiunile de mijloc sau opțiunile cu cea mai mare frecvență), reduceți diferențele rezultate cu un factor comun (de preferință cu valoarea intervalului) și exprimați frecvențele în particular (sub formă de procent) și înmulțiți media calculată cu un factor comun și adăugați o valoare constantă arbitrară.
Această metodă de calcul a mediei aritmetice se numește metoda de calcul de la zero condițional.
Mijloace armonică se numește medie aritmetică inversă, deoarece această valoare se obține la k = -1. Mijloace armonică simplă utilizat atunci când ponderile valorilor caracteristice sunt aceleași. De exemplu, trebuie să calculați viteza medie a două mașini care au parcurs aceeași cale, dar cu la viteze diferite: primul - la o viteză de 100 km/h, al doilea - 90 km/h. Folosind metoda mediei armonice, calculăm viteza medie:
În practica statistică este mai des folosit medie armonică ponderată – pentru acele cazuri în care ponderile (sau volumele fenomenelor) pentru fiecare atribut nu sunt egale, iar în raportul inițial de calcul al mediei se cunoaște numărătorul, dar numitorul este necunoscut.
De exemplu, atunci când calculăm prețul mediu, trebuie să folosim raportul dintre valoarea vânzărilor și numărul de unități vândute. Nu știm numărul de unități vândute ( despre care vorbim despre diferite bunuri), dar sumele vânzărilor acestor diferite bunuri sunt cunoscute. Să presupunem că trebuie să aflați prețul mediu al bunurilor vândute (Tabelul 3.2).
Tabelul 3.2 – Date inițiale
Primim:
Dacă utilizați aici formula medie aritmetică, puteți obține un preț mediu care va fi nerealist:
Dacă, la calcularea prețului mediu în greutate, luăm numărul de mărfuri, atunci rezultatul corect este dat de formula mediei ponderate aritmetice. Dacă folosim costul loturilor ca ponderi, atunci media armonică dă rezultatul corect.
Acesta este, in medieArmonica nu este un tip special de medie, ci mai degrabă o metodă specială de calcul a mediei aritmetice.În statistică, este încă obișnuit să se distingă media armonică ca un tip separat de medie, deoarece cu ajutorul ei se poate simplifica tehnica de calcul a mediei aritmetice și, mai important, se poate lua în considerare natura materialului statistic disponibil.
Se poate verifica și corectitudinea alegerii formei mediei (aritmetică sau armonică). criteriu suplimentar: dacă valorile absolute sunt utilizate ca ponderi, orice acțiuni intermediare la calcularea mediei ar trebui să ofere indicatori semnificativi. De exemplu, pentru a calcula prețul mediu, înmulțiți prețul cu numărul de bunuri pentru a obține costul acestora. Și împărțirea costului mărfurilor la prețurile lor dă cantitatea de mărfuri.
Folosind media armonică din statistică, se determină și procentul mediu de finalizare a planului (pe baza implementării efective a planului), timpul mediu alocat efectuării operațiunilor (pe baza timpului mediu petrecut într-o operațiune și a timpului total de lucru pentru angajați individuali), etc.
Medie geometricăîși găsește aplicația în determinarea ratelor medii de creștere (coeficienți medii de creștere), atunci când valorile individuale ale unei caracteristici sunt prezentate sub formă de valori relative. De asemenea, este utilizat dacă este necesar să se găsească media dintre valorile minime și maxime ale unei caracteristici (de exemplu, între 100 și 1000000).
Medie pătrată folosit pentru a măsura variația unei caracteristici în agregat (calculul abaterii standard).
Valabil în statistici regula majorității mediilor:
X rău.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.
O populație statistică este formată dintr-un ansamblu de unități, obiecte sau fenomene care sunt omogene în anumite privințe și au în același timp caracteristici diferite. Mărimea caracteristicilor fiecărui obiect este determinată atât de cele comune tuturor unităților populației, cât și de caracteristicile sale individuale.
Analizând seria ordonată a distribuţiei (clasament, interval etc.), se poate observa că elementele populaţiei statistice sunt clar concentrate în jurul unor valori centrale. O astfel de concentrare a valorilor atributelor individuale în jurul anumitor valori centrale, de regulă, apare în toate distribuțiile statistice. Se numește tendința valorilor individuale ale caracteristicii studiate de a se grupa în jurul centrului distribuției de frecvență tendinta centrala. Pentru a caracteriza tendința centrală a distribuției se folosesc indicatori generalizatori, care se numesc valori medii.
Mărime medieîn statistică ei numesc un indicator general care caracterizează dimensiune tipică caracteristică într-o populație omogenă calitativ în condiții specifice de loc și timp și reflectă cantitatea de caracteristică variabilă pe unitatea de populație. Valoarea medie se calculează în majoritatea cazurilor prin împărțirea volumului total al caracteristicii la numărul de unități care posedă această caracteristică. Dacă, de exemplu, se cunosc fondul de salarii lunar și numărul de lucrători pe lună, atunci salariul mediu lunar poate fi determinat prin împărțirea fondului de salarii la numărul de lucrători.
Valorile medii sunt indicatori precum durata medie a unei zile lucrătoare, a săptămânii, a anului, a mediei categorie tarifară muncitori, nivelul mediu al productivității muncii, venitul național mediu pe cap de locuitor, randamentul mediu de cereale pe țară, consumul mediu de alimente pe cap de locuitor etc.
Valorile medii sunt calculate atât din valori absolute, cât și din valori relative, sunt denumiți indicatori și sunt măsurate în aceleași unități de măsură ca și caracteristica medie. Ele caracterizează valoarea populației studiate cu un număr. Valorile medii reflectă nivelul obiectiv și tipic al fenomenelor și proceselor socio-economice.
Fiecare medie caracterizează populația studiată în funcție de o anumită caracteristică, dar pentru a caracteriza orice populație, a descrie trăsăturile sale tipice și caracteristicile calitative, este nevoie de un sistem de indicatori medii. Prin urmare, în practica statisticii interne, pentru a studia fenomenele socio-economice, de regulă, se utilizează sistem de medii. De exemplu, indicatorii salariului mediu sunt evaluați împreună cu indicatorii productivității muncii (producția medie pe unitatea de timp de lucru), raportul capital-muncă și producția de energie, nivelul de mecanizare și automatizare a muncii etc.
În știința și practica statistică, mediile sunt extrem de importante. Metoda mediilor este una dintre cele mai importante metode statistice, iar media este una dintre principalele categorii ale științei statistice. Teoria mediilor ocupă unul dintre locurile centrale în teoria statisticii. Valorile medii sunt baza pentru calcularea măsurilor de variație (Secțiunea 5), erorile de eșantionare (Secțiunea 6), varianța (Secțiunea 8) și analiza corelației(secțiunea 9).
De asemenea, este imposibil să ne imaginăm statistici fără indici, iar aceștia din urmă reprezintă în esență valori medii. Folosirea metodei grupării statistice conduce și la utilizarea valorilor medii.
După cum sa menționat deja, metoda grupării este una dintre principalele metode de statistică. Metoda mediilor în combinație cu metoda grupării este componentă metodologie statistică dezvoltată științific. Indicatorii medii completează organic metoda grupărilor statistice.
Valorile medii sunt utilizate pentru a caracteriza modificările fenomenelor în timp, pentru a calcula ratele medii de creștere și incrementele. De exemplu, o comparație a ratelor medii de creștere a productivității muncii și a salariilor pentru o anumită perioadă (un număr de ani) relevă natura evoluției fenomenului pe perioada de timp studiată, separat productivitatea muncii și separat salariile. O comparație a ratelor de creștere ale acestor două fenomene oferă o idee despre natura și particularitatea relației dintre creșterea sau scăderea productivității muncii în raport cu plata acesteia pentru anumite perioade de timp.
În toate cazurile când devine necesar să se caracterizeze cu un număr un set de valori ale unei caracteristici care se modifică, se folosește valoarea medie a acestuia.
Într-un agregat statistic, valoarea unei caracteristici se schimbă de la obiect la obiect, adică variază. Făcând o medie a acestor valori și furnizând valoarea de nivel a atributului fiecărui membru al populației, facem abstracție de la valorile individuale ale atributului, înlocuind astfel seria de distribuții ale valorilor atributului cu aceeași valoare egală cu valoarea medie. Cu toate acestea, o astfel de abstractizare este legitimă numai dacă media nu modifică proprietatea de bază în raport cu caracteristica dată în ansamblu. Această proprietate de bază a unei populații statistice, asociată cu valorile individuale ale unei caracteristici și care, atunci când se face o medie, trebuie păstrată neschimbată, se numește proprietatea definitorie a mediei în raport cu caracteristica studiată. Cu alte cuvinte, media, înlocuind valorile individuale ale atributului, nu ar trebui să modifice volumul total al fenomenului, adică. Această egalitate este obligatorie: volumul fenomenului este egal cu produsul dintre valoarea medie și mărimea populației. De exemplu, dacă din trei valori ale randamentului de orz (x, = 20,0; 23,3; 23,6 c/ha), se calculează media (20,0 + 23,3 + 23,6): 3 = 22,3 c/ha ha, atunci conform definiției proprietatea mediei trebuie respectată următoarea egalitate:
După cum se poate observa din exemplul de mai sus, randamentul mediu de orz nu coincide cu niciunul dintre cele individuale, deoarece nicio fermă nu a produs 22,3 c/ha. Totuși, dacă ne imaginăm că fiecare fermă a primit 22,3 c/ha, atunci randamentul total nu se va modifica și va fi egal cu 66,9 c/ha. În consecință, media, înlocuind valoarea reală a indicatorilor individuali individuali, nu poate modifica dimensiunea întregii sume de valori ale caracteristicii studiate.
Semnificația principală a valorilor medii constă în funcția lor de generalizare, adică. în înlocuirea multor valori individuale diferite ale unei caracteristici cu o valoare medie care caracterizează întregul set de fenomene. Capacitatea mediei de a caracteriza nu unități individuale, ci de a exprima nivelul unei caracteristici pentru fiecare unitate a populației este capacitatea sa distinctivă. Această caracteristică face din media un indicator generalizator al nivelului de caracteristici diferite, adică un indicator care face abstracție din valorile individuale ale valorii unei caracteristici în unități individuale ale populației. Dar faptul că media este abstractă nu o privează de cercetare științifică. Abstracția este un grad necesar al oricărei cercetări științifice. În valoarea medie, ca în orice abstracție, se realizează unitatea dialectică a individului și a generalului. Relația dintre valorile medii și individuale ale caracteristicii medii servește ca expresie a conexiunii dialectice dintre individ și general.
Utilizarea mediilor ar trebui să se bazeze pe înțelegerea și interrelația dintre categoriile dialectice general și individual, masă și individual.
Valoarea medie reflectă ceea ce este comun în fiecare individ, obiect individual. Datorită acestui fapt, media devine de mare importanță pentru identificarea tiparelor inerente fenomenelor sociale de masă și neobservabile în fenomenele individuale.
În dezvoltarea fenomenelor, necesitatea se îmbină cu hazardul. Prin urmare, valorile medii sunt legate de lege numere mari. Esența acestei conexiuni este că atunci când se calculează valoarea medie, fluctuațiile aleatoare care au direcții diferite, datorită legii numerelor mari, sunt reciproc echilibrate, anulate, iar valoarea medie afișează în mod clar modelul de bază, necesitatea și influența condiţii generale caracteristice unei populaţii date. Media reflectă nivelul tipic, real, al fenomenelor studiate. Estimarea acestor niveluri și modificarea lor în timp și spațiu este una dintre sarcinile principale ale mediilor. Astfel, prin medii, de exemplu, se manifestă modelul de creștere a productivității muncii, a randamentelor culturilor și a productivității animalelor. În consecință, valorile medii reprezintă indicatori generali în care se exprimă efectul condițiilor generale și tiparul fenomenului studiat.
Folosind valori medii, studiem modificările fenomenelor în timp și spațiu, tendințele de dezvoltare a acestora, conexiunile și dependențele dintre caracteristici, eficacitatea diferite forme organizarea producţiei, muncii şi tehnologiei, implementarea progresul științific și tehnologic, identificarea unor noi, progresive în dezvoltarea anumitor fenomene și procese socio-economice.
Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în analiza statistică a fenomenelor socio-economice, deoarece în ele își găsesc manifestarea tiparele și tendințele de dezvoltare a fenomenelor sociale de masă care variază atât în timp, cât și în spațiu. Deci, de exemplu, modelul de creștere a productivității muncii în economie se reflectă în creșterea producției medii per muncitor angajat în producție, creșterea recoltelor brute - în creșterea randamentelor medii etc.
Valoarea medie dă o caracteristică generalizată a fenomenului studiat pe baza unei singure caracteristici, care reflectă unul dintre aspectele sale cele mai importante. În acest sens, pentru o analiză cuprinzătoare a fenomenului studiat, este necesară construirea unui sistem de valori medii pentru o serie de caracteristici esențiale interdependente și complementare.
Pentru ca media să reflecte ceea ce este cu adevărat tipic și natural în fenomenele sociale studiate, la calcularea acesteia este necesar să se respecte următoarele condiții.
1. Criteriul după care se calculează media trebuie să fie semnificativ. În caz contrar, se va obține o medie nesemnificativă sau distorsionată.
2. Media trebuie calculată numai pentru o populație omogenă calitativ. Prin urmare, calculul direct al mediilor trebuie precedat de gruparea statistică, care să permită împărțirea populației studiate în grupuri omogene calitativ. În acest sens, baza științifică a metodei mediilor este metoda grupărilor statistice.
Problema omogenității unei populații nu trebuie decisă formal de forma distribuției acesteia. Aceasta, ca și chestiunea tipicității mediei, trebuie rezolvată pe baza cauzelor și condițiilor care formează totalitatea. Totalitatea este de asemenea omogenă, ale căror unități se formează sub influența cauzelor și condițiilor principale comune care determină nivel general de o caracteristică dată, caracteristică întregii populaţii.
3. Calculul valorii medii ar trebui să se bazeze pe acoperirea tuturor unităților de un anumit tip sau a unui set suficient de mare de obiecte, astfel încât fluctuațiile aleatorii să fie reciproc egale între ele și să apară un model, dimensiunile tipice și caracteristice ale caracteristicii fiind studiată.
4. Cerinta generala La calcularea oricărui tip de valori medii, este obligatoriu să se mențină neschimbat volumul total al atributului în agregat la înlocuirea valorilor sale individuale cu valoarea medie (așa-numita proprietate definitorie a mediei).
Tema 5. Valorile medii ca indicatori statistici
Conceptul de valoare medie. Domeniul de aplicare al mediilor în cercetarea statistică
Valorile medii sunt utilizate în etapa de prelucrare și rezumare a datelor statistice primare obținute. Necesitatea determinării valorilor medii se datorează faptului că, de regulă, valorile individuale de aceeași caracteristică pentru diferite unități ale populațiilor studiate nu sunt aceleași.
Mărime medie numit indicator care caracterizează valoarea generalizată a unei caracteristici sau a unui grup de caracteristici în populația studiată.
Dacă se studiază o populație cu caracteristici omogene calitativ, atunci valoarea medie acționează aici ca medie tipică. De exemplu, pentru grupurile de lucrători dintr-o anumită industrie cu un nivel de venit fix, se determină cheltuiala medie tipică pentru bunuri de bază, adică. media tipică generalizează valori calitativ omogene ale atributului într-o anumită populație, care este ponderea cheltuielilor între lucrătorii acestui grup cu bunuri esențiale.
Când se studiază o populație cu caracteristici calitativ eterogene, atipicitatea indicatorilor medii poate trece în prim-plan. Aceștia sunt, de exemplu, indicatorii medii ai venitului național produs pe cap de locuitor (grupe de vârstă diferite), indicatorii medii ai randamentelor de cereale în toată Rusia (regiuni cu diferite zone climatice și diferite culturi de cereale), indicatori medii ai natalității populației pentru toate regiunile țării, temperaturi medii pentru o anumită perioadă etc. Aici, valorile medii generalizează valori calitativ eterogene ale caracteristicilor sau agregatelor spațiale sistemice (comunitate internațională, continent, stat, regiune, regiune etc.) sau agregate dinamice extinse în timp (secol, deceniu, an, anotimp etc.). ) . Se numesc astfel de valori medii mediile sistemului.
Astfel, semnificația valorilor medii constă în funcția lor de generalizare. Valoarea medie se înlocuiește număr mare valorile individuale ale unei caracteristici, dezvăluind proprietăți comune inerente tuturor unităților populației. Acest lucru, la rândul său, ne permite să evităm cauzele aleatorii și să identificăm modele generale datorate cauzelor comune.
Tipuri de valori medii și metode de calcul a acestora
În etapa prelucrării statistice, pot fi stabilite o varietate de probleme de cercetare, pentru a căror rezolvare este necesară selectarea mediei adecvate. În acest caz, este necesar să ne ghidăm după următoarea regulă: cantitățile care reprezintă numărătorul și numitorul mediei trebuie să fie legate logic între ele.
medii de putere;
medii structurale.
Să introducem următoarele convenții:
Cantitatile pentru care se calculeaza media;
Medie, unde bara de mai sus indică faptul că are loc o medie a valorilor individuale;
Frecvență (repetabilitate a valorilor caracteristice individuale).
Din formula medie a puterii generale sunt derivate diferite medii:
(5.1)
când k = 1 - medie aritmetică; k = -1 - medie armonică; k = 0 - medie geometrică; k = -2 - rădăcină pătrată medie.
Valorile medii pot fi simple sau ponderate. Medii ponderate Acestea sunt valori care iau în considerare faptul că unele variante ale valorilor atributelor pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare opțiune trebuie înmulțită cu acest număr. Cu alte cuvinte, „scalele” sunt numerele de unități agregate din diferite grupuri, adică Fiecare opțiune este „ponderată” de frecvența sa. Se numește frecvența f ponderea statistica sau greutate medie.
Media aritmetică- cel mai comun tip de medie. Este utilizat atunci când calculul este efectuat pe date statistice negrupate, unde trebuie să obțineți termenul mediu. Media aritmetică este valoarea medie a unei caracteristici, la obținerea căreia volumul total al caracteristicii în agregat rămâne neschimbat.
Formula pentru media aritmetică (simplu) are forma
unde n este dimensiunea populației.
De exemplu, salariul mediu al angajaților unei întreprinderi este calculat ca medie aritmetică:
Indicatorii determinanți aici sunt salariul fiecărui angajat și numărul de angajați ai întreprinderii. La calcularea mediei, valoarea totală a salariilor a rămas aceeași, dar distribuită în mod egal între toți angajații. De exemplu, trebuie să calculați salariul mediu al lucrătorilor dintr-o companie mică care angajează 8 persoane:
La calcularea valorilor medii, valorile individuale ale caracteristicii care este mediată pot fi repetate, astfel încât valoarea medie este calculată folosind date grupate. În acest caz vorbim despre utilizare medie aritmetică ponderată, care are forma
(5.3)
Deci, trebuie să calculăm prețul mediu al acțiunilor unora societate pe actiuni la tranzacţionarea la bursă. Se știe că tranzacțiile au fost efectuate în termen de 5 zile (5 tranzacții), numărul de acțiuni vândute la rata de vânzare a fost repartizat astfel:
1 - 800 ak. - 1010 rub.
2 - 650 ak. - 990 de ruble.
3 - 700 ak. - 1015 rub.
4 - 550 ak. - 900 de ruble.
5 - 850 ak. - 1150 de ruble.
Raportul inițial pentru determinarea prețului mediu al acțiunilor este raportul dintre valoarea totală a tranzacțiilor (TVA) și numărul de acțiuni vândute (KPA):
OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;
KPA = 800+650+700+550+850=3550.
În acest caz, prețul mediu al acțiunilor a fost egal cu
Este necesar să se cunoască proprietățile mediei aritmetice, care este foarte importantă atât pentru utilizarea ei, cât și pentru calculul ei. Putem distinge trei proprietăți principale care au determinat cel mai mult utilizarea pe scară largă a mediei aritmetice în calculele statistice și economice.
Proprietatea unu (zero): suma abaterilor pozitive ale valorilor individuale ale unei caracteristici față de valoarea medie a acesteia este egală cu suma abaterilor negative. Aceasta este o proprietate foarte importantă, deoarece arată că orice abateri (atât + cât și -) cauzate de motive aleatorii vor fi anulate reciproc.
Dovada:
Proprietatea doi (minimum): suma abaterilor pătrate ale valorilor individuale ale unei caracteristici de la media aritmetică este mai mică decât de la orice alt număr (a), adică. există un număr minim.
Dovada.
Să compilăm suma abaterilor pătrate de la variabila a:
(5.4)
Pentru a găsi extremul acestei funcții, este necesar să echivalăm derivata ei în raport cu a la zero:
De aici obținem:
(5.5)
În consecință, extremul sumei abaterilor pătrate este realizat la . Acest extremum este un minim, deoarece o funcție nu poate avea un maxim.
Proprietatea trei: media aritmetică a unei constante este egală cu această constantă: pentru a = const.
Pe lângă aceste trei proprietăți cele mai importante ale mediei aritmetice, există și așa-numitele proprietăți de proiectare, care își pierd treptat semnificația datorită utilizării tehnologiei electronice de calcul:
dacă valoarea individuală a atributului fiecărei unități este înmulțită sau împărțită cu un număr constant, atunci media aritmetică va crește sau scade cu aceeași valoare;
media aritmetică nu se va modifica dacă ponderea (frecvența) fiecărei valori de atribut este împărțită la un număr constant;
dacă valorile individuale ale atributului fiecărei unități sunt reduse sau crescute cu aceeași sumă, atunci media aritmetică va scădea sau crește cu aceeași sumă.
Mijloace armonică. Această medie se numește medie aritmetică inversă deoarece această valoare este utilizată atunci când k = -1.
Mijloace armonică simplă este utilizat atunci când ponderile valorilor atributelor sunt aceleași. Formula sa poate fi derivată din formula de bază prin substituirea k = -1:
De exemplu, trebuie să calculăm viteza medie a două mașini care au parcurs același drum, dar cu viteze diferite: primul cu o viteză de 100 km/h, al doilea cu 90 km/h. Folosind metoda mediei armonice, calculăm viteza medie:
În practica statistică este mai des folosită cea ponderată armonică, a cărei formulă are forma
Această formulă este utilizată în cazurile în care ponderile (sau volumele fenomenelor) pentru fiecare atribut nu sunt egale. În relația inițială pentru calcularea mediei, numărătorul este cunoscut, dar numitorul este necunoscut.
Acest capitol descrie scopul valorilor medii, discută principalele tipuri și forme ale acestora și metodele de calcul. Când studiați materialul prezentat, este necesar să înțelegeți cerințele pentru construirea valorilor medii, deoarece respectarea acestora vă permite să utilizați aceste valori ca caracteristici tipice ale valorilor atributelor pentru un set de unități omogene.
Forme și tipuri de medii
valoarea medie este o caracteristică generalizată a nivelului valorilor atributelor, care se obține pe unitatea de populație. Spre deosebire de valoarea relativă, care este o măsură a raportului indicatorilor, valoarea medie servește ca măsură a caracteristicii pe unitatea de populație.
Cea mai importantă proprietate a valorii medii este că reflectă ceea ce este comun tuturor unităților populației studiate.
Valorile atributelor unităților individuale ale populației fluctuează într-o direcție sau alta sub influența multor factori, dintre care unii pot fi semnificativi sau aleatori. De exemplu, ratele dobânzii la creditele bancare sunt determinate de factorii inițiali pentru toate instituțiile de credit (nivelul rezervelor obligatorii și rata dobânzii de bază la creditele acordate băncilor comerciale de către banca centrală etc.), precum și de caracteristicile fiecare tranzacție specifică, în funcție de riscul inerent unui anumit împrumut, de mărimea și perioada de rambursare a acestuia, de costurile de procesare a unui împrumut și de monitorizarea rambursării acestuia etc.
Valoarea medie rezumă valorile individuale ale unei caracteristici și reflectă influența condițiilor generale care sunt cele mai caracteristice unei populații date în condiții specifice de loc și timp. Esența mediei constă în faptul că anulează abaterile valorilor caracteristice ale unităților individuale ale populației cauzate de acțiunea factorilor aleatori și ia în considerare modificările cauzate de acțiunea principalilor factori. Valoarea medie va reflecta nivelul tipic al unei trăsături într-o anumită populație de unități atunci când este calculată dintr-o populație omogenă calitativ. În acest sens, metoda medie este utilizată în combinație cu metoda grupării.
Se numesc valorile medii care caracterizează populația în ansamblu general, și medii, care reflectă caracteristicile unui grup sau subgrup, - grup.
Combinația de medii generale și de grup permite comparații în timp și spațiu și extinde semnificativ limitele analizei statistice. De exemplu, la însumarea rezultatelor recensământului din 2002, s-a constatat că pentru Rusia, la fel ca pentru majoritatea tari europene, caracterizată printr-o populație îmbătrânită. Comparativ cu recensământul din 1989 varsta medie dintre rezidenții țării au crescut cu trei ani și s-au ridicat la 37,7 ani, bărbați - 35,2 ani, femeile - 40,0 ani (conform datelor din 1989, aceste cifre au fost de 34,7, 31,9 și, respectiv, 37,2 ani). Potrivit lui Rosstat, speranța de viață la naștere în 2011 pentru bărbați era de 63 de ani, pentru femei – 75,6 ani.
Fiecare medie reflectă particularitățile populației studiate în funcție de o caracteristică. Pentru a lua decizii practice, de regulă, este necesar să se caracterizeze populația după mai multe caracteristici. În acest caz, se utilizează un sistem de medii.
De exemplu, pentru a atinge nivelul necesar de rentabilitate a operațiunilor la un nivel acceptabil de risc în activitățile bancare, ratele medii ale dobânzii la creditele emise sunt stabilite ținând cont de ratele medii ale dobânzilor la depozite și alte instrumente financiare.
Forma, tipul și metoda de calcul al valorii medii depind de scopul declarat al studiului, de tipul și relația caracteristicilor studiate, precum și de natura datelor inițiale. Mediile se împart în două categorii principale:
- 1) medii de putere;
- 2) medii structurale.
Formula medie este determinată de valoarea puterii medii aplicate. Cu exponent crescător k valoarea medie crește în consecință.
