Teoria probabilității la examenul de stat unificat la matematică poate fi prezentată atât sub forma unor sarcini simple privind definiția clasică a probabilității, cât și sub forma unora destul de complexe privind aplicarea teoremelor corespunzătoare.
În această parte, vom lua în considerare problemele pentru care este suficient să folosim definiția probabilității. Uneori aici vom folosi și o formulă pentru a calcula probabilitatea evenimentului opus. Deși puteți face fără această formulă aici, veți avea nevoie de ea atunci când rezolvați următoarele probleme.
Partea teoretică
Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate sau nu să apară (imposibil de prezis în prealabil) în timpul unei observații sau test.
Lăsați, atunci când efectuați un test (aruncarea unei monede sau a zarurilor, tragerea carnet de examen etc.) sunt posibile rezultate la fel de posibile. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, numărul tuturor rezultatelor este 2, deoarece nu pot exista alte rezultate decât cap sau cozi. Când aruncați un zar, sunt posibile 6 rezultate, deoarece orice număr de la 1 la 6 este la fel de posibil să apară pe fața de sus a zarului.
Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile (aceasta este definiția clasică a probabilității). noi scriem
De exemplu, evenimentul A consta în obținerea unui număr impar de puncte atunci când aruncați un zar. Există un total de 6 rezultate posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 care apar pe fața superioară a cubului. În acest caz, rezultatele cu 1, 3, 5 care apar sunt favorabile pentru evenimentul A. Astfel, 
.
Rețineți că întotdeauna ține dubla inegalitate, prin urmare probabilitatea oricărui eveniment A se află pe interval, adică 
. Dacă răspunsul tău are o probabilitate mai mare de unu, înseamnă că ai greșit undeva și soluția trebuie verificată de două ori.
Evenimentele A și B sunt numite opus reciproc dacă vreun rezultat este favorabil pentru exact unul dintre ei.
De exemplu, atunci când aruncați un zar, evenimentul „se aruncă un număr impar” este opusul evenimentului „se aruncă un număr par”.
Este desemnat evenimentul opus evenimentului A. Din definirea evenimentelor opuse rezultă 
, Înseamnă, 
.
Probleme legate de selectarea obiectelor dintr-un set
Sarcina 1. La Campionatul Mondial participă 24 de echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în patru grupe a câte șase echipe fiecare. Există cărți cu numere de grup amestecate în cutie:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia?
Numărul total de rezultate este egal cu numărul de cărți - sunt 24 dintre ele. Există 6 rezultate favorabile (deoarece numărul 3 este scris pe șase cărți). Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Răspuns: 0,25.
Sarcina 2.Într-o urnă sunt 14 bile roșii, 9 galbene și 7 verzi. Din urnă se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie galbenă?
Numărul total de rezultate este egal cu numărul de bile: 14 + 9 + 7 = 30. Numărul de rezultate favorabile pentru acest eveniment este 9. Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Sarcina 3. Pe tastatura telefonului sunt 10 numere, de la 0 la 9. Care este probabilitatea ca un număr apăsat aleatoriu să fie par și mai mare decât 5?
Rezultatul aici este apăsarea unei anumite taste, deci există un total de 10 rezultate la fel de posibile. Evenimentul specificat este favorizat de rezultate care înseamnă apăsarea tastei 6 sau 8. Există două astfel de rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,2.
Problema 4. Care este probabilitatea ca un număr natural selectat aleatoriu de la 4 la 23 să fie divizibil cu trei?
Pe segmentul de la 4 la 23 sunt 23 – 4 + 1 = 20 numere naturale, ceea ce înseamnă că există un total de 20 de rezultate posibile. Pe acest segment, următoarele numere sunt multipli de trei: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Sunt 6 astfel de numere în total, deci evenimentul în cauză este favorizat de 6 rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Răspuns: 0,3.
Sarcina 5. Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să nu poată răspunde la biletul ales la întâmplare?
1a metoda.
Întrucât un student poate răspunde la 17 bilete, nu poate răspunde la 3 bilete. Probabilitatea de a obține unul dintre aceste bilete este, prin definiție, egală cu .
a 2-a metoda.
Să notăm cu A evenimentul „studentul poate răspunde la bilet”. Apoi . Probabilitatea evenimentului opus este =1 – 0,85 = 0,15.
Răspuns: 0,15.
Problema 6. La campionatul de gimnastică ritmică participă 20 de sportivi: 6 din Rusia, 5 din Germania, restul din Franța. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează pe locul șapte să fie din Franța.
Sunt 20 de sportivi în total, toată lumea are șanse egale să concureze pe locul șapte. Prin urmare, există 20 de rezultate la fel de probabile. Sunt 20 – 6 – 5 = 9 sportivi din Franța, deci există 9 rezultate favorabile pentru evenimentul specificat. Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,45.
Sarcina 7. Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 50 de rapoarte - primele trei zile au câte 12 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului N. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
Mai întâi, să aflăm câte rapoarte sunt programate pentru ultima zi. Prezentările sunt programate pentru primele trei zile. Au mai rămas 50 – 36 = 14 rapoarte care sunt distribuite în mod egal între cele două zile rămase, deci există rapoarte programate în ultima zi.
Vom considera că rezultatul este numărul de serie al raportului profesorului N. Există 50 de astfel de rezultate la fel de posibile. Există 7 rezultate favorabile pentru evenimentul specificat (ultimele 7 numere din lista de rapoarte). Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,14.
Problema 8. La bordul aeronavei sunt 10 locuri lângă ieșirile de urgență și 15 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Scaunele rămase sunt incomode pentru pasagerii înalți. Pasagerul K. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, dacă un loc este selectat aleatoriu, pasagerul K să primească un loc confortabil dacă există 200 de locuri în total în avion.
Rezultatul în această sarcină este alegerea locației. Există un total de 200 de rezultate la fel de posibile. Evenimentul „locul ales este convenabil” este favorizat de 15 + 10 = 25 de rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,125.
Problema 9. Din 1000 de râșnițe de cafea asamblate la fabrică, 7 erau defecte. Un expert testează o râșniță de cafea aleasă la întâmplare dintre aceste 1000. Găsiți probabilitatea ca râșnița de cafea testată să fie defectă.
Atunci când alegeți o râșniță de cafea la întâmplare, sunt posibile 1000 de rezultate pentru evenimentul A „râșnița de cafea selectată este defectă”, 7 rezultate sunt favorabile; Prin definiția probabilității.
Răspuns: 0,007.
Problema 10. Fabrica produce frigidere. În medie, pentru fiecare 100 de frigidere de calitate, există 15 frigidere cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca frigiderul achiziționat să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
Această sarcină este similară cu cea anterioară. Cu toate acestea, formula „pentru 100 de frigidere de înaltă calitate, există 15 cu defecte” ne indică faptul că 15 piese defecte nu sunt incluse in cele 100 de calitate. Prin urmare, numărul total de rezultate este 100 + 15 = 115 (egal cu numărul total de frigidere), rezultatele favorabile sunt 100. Probabilitatea necesară este . Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei fracții, este convenabil să folosiți diviziunea unghiulară. Obținem 0,869... care este 0,87.
Răspuns: 0,87.
Problema 11. Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 16 jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 7 participanți din Rusia, inclusiv Maxim Zaitsev. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Maxim Zaitsev să joace cu orice tenismen din Rusia.
Ca și în sarcina anterioară, trebuie să citiți cu atenție condiția și să înțelegeți ce este un rezultat și care este un rezultat favorabil (de exemplu, aplicarea necugetată a formulei probabilității duce la un răspuns incorect).
Aici rezultatul este adversarul lui Maxim Zaitsev. Deoarece există 16 jucători de tenis în total și Maxim nu poate juca împotriva lui însuși, există 16 – 1 = 15 rezultate la fel de probabile. Un rezultat favorabil este un adversar din Rusia. Există 7 – 1 = 6 astfel de rezultate favorabile (excludem pe Maxim însuși din numărul rușilor). Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,4.
Problema 12. La secția de fotbal participă 33 de persoane, printre care doi frați - Anton și Dmitry. Cei care participă la secțiune sunt împărțiți aleatoriu în trei echipe a câte 11 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Anton și Dmitry să fie în aceeași echipă.
Să formăm echipe, așezând succesiv jucătorii pe locurile goale, începând cu Anton și Dmitry. Mai întâi, să-l plasăm pe Anton într-un loc selectat aleatoriu din 33 de locuri libere. Acum îl plasăm pe Dmitry într-un loc liber (vom lua în considerare alegerea unui loc pentru el ca rezultat). Sunt 32 în total locuri libere a (Anton a luat deja unul), deci există un total de 32 de rezultate posibile. Au rămas 10 locuri libere în aceeași echipă cu Anton, așa că evenimentul „Anton și Dmitry în aceeași echipă” este favorizat de 10 rezultate. Probabilitatea acestui eveniment este 
.
Răspuns: 0,3125.
Problema 13. Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca acul orelor să fie înghețat, ajungând la ora 11, dar fără a ajunge la ora 2.
În mod convențional, cadranul poate fi împărțit în 12 sectoare, situate între reperele numerelor adiacente (între 12 și 1, 1 și 2, 2 și 3, ..., 11 și 12). Vom considera că rezultatul este oprirea acelui ceasului într-unul dintre sectoarele indicate. Există un total de 12 rezultate la fel de posibile. Acest eveniment este favorizat de trei rezultate (sectoarele între 11 și 12, 12 și 1, 1 și 2). Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Răspuns: 0,25.
Să rezumam
După ce am studiat materialul de rezolvare a unor probleme simple din teoria probabilităților, recomand finalizarea sarcinilor pt decizie independentă pe care le publicăm canalul nostru Telegram. De asemenea, puteți verifica dacă sunt completate corect introducând dvs răspunsuri în formularul oferit.
Vă mulțumim că ați distribuit articolul pe rețelele de socializare.
Sursa „Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Matematică. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova
Probabilitate. Sarcini profil Examenul de stat unificatîn matematică.
Pregătit de un profesor de matematică la MBOU „Liceul nr. 4”, Ruzaevka
Ovchinnikova T.V.
Definiţia probability
Probabilitate evenimentele A se numesc raport numeric m rezultate favorabile acestui eveniment la numărul total n toate evenimentele incompatibile la fel de posibile care pot apărea ca rezultat al unui test sau al unei observații:
m
n
Lasă k – numărul de aruncări de monede, apoi numărul de rezultate posibile: n=2 k .
Lasă k – numărul de aruncări de zaruri, apoi numărul de rezultate posibile: n=6 k .
ÎN experiment aleatoriu O monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capete să apară exact o dată.
Soluţie.
Există doar 4 opțiuni: O; o o; p p; p p; O .
Favorabil 2: O; r Şi p; O .
Probabilitatea este 2/4 = 1/2 = 0,5 .
Răspuns: 0,5.
Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul să fie de 8 puncte. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
Soluţie.
Zarurile sunt cuburi cu 6 laturi. Primul zar poate arunca 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte. Fiecare opțiune de punctare corespunde cu 6 opțiuni de punctare pe al doilea zar.
Aceste. total diverse opțiuni 6x6 = 36.
Opțiunile (rezultatele experimentului) vor fi următoarele:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
etc. ...........................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Să numărăm numărul de rezultate (opțiuni) în care suma punctelor a două zaruri este 8.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Există 5 opțiuni în total.
Să aflăm probabilitatea: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Răspuns: 0,14.
În colecția de bilete pentru biologie există doar 55 de bilete, 11 dintre ele conțin o întrebare despre botanică. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică pe un bilet de examen selectat aleatoriu.
Soluţie:
Probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică pe un bilet de examen selectat aleatoriu este 11/55 = 1/5 = 0,2.
Răspuns: 0,2.
La campionatul de gimnastică participă 20 de sportivi: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China.
Soluţie.
Un total de 20 de sportivi participă,
dintre care 20 – 8 – 7 = 5 sportivi din China.
Probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China este de 5/20 = 1/4 = 0,25.
Răspuns: 0,25.
Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 75 de rapoarte - primele trei zile au câte 17 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
Soluţie:
În ultima zi a conferinței este planificat
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 rapoarte.
Probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței este de 12/75 = 4/25 = 0,16.
Răspuns: 0,16.
Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 10 participanți din Rusia, inclusiv Ruslan Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia?
Soluţie:
Trebuie avut în vedere că Ruslan Orlov trebuie să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia. Și Ruslan Orlov însuși este și el din Rusia.
Probabilitatea ca Ruslan Orlov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia în prima rundă este 9/25 = 36/100 = 0,36.
Răspuns: 0,36.
Dasha aruncă zarurile de două ori. Ea a obținut un total de 8 puncte. Găsiți probabilitatea ca la prima aruncare să obțineți 2 puncte.
Soluţie.
Un total de 8 puncte ar trebui să apară pe cele două zaruri. Acest lucru este posibil dacă există următoarele combinații:
Există 5 opțiuni în total. Să numărăm numărul de rezultate (opțiuni) în care s-au obținut 2 puncte la prima aruncare.
Aceasta este varianta 1.
Să aflăm probabilitatea: 1/5 = 0,2.
Răspuns: 0,2.
La Campionatul Mondial participă 20 de echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în cinci grupe a câte patru echipe fiecare. Există cărți cu numere de grup amestecate în cutie:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia.
Soluţie:
Sunt 20 de echipe în total, 5 grupe.
Fiecare grupă are 4 echipe.
Deci, există 20 de rezultate totale, cele de care avem nevoie sunt 4, ceea ce înseamnă că probabilitatea de a obține rezultatul dorit este 4/20 = 0,2.
Răspuns: 0,2.
Două fabrici produc ochelari identici pentru farurile auto. Prima fabrică produce 45% din acești ochelari, a doua - 55%. Prima fabrică produce 3% sticlă defecte, iar a doua – 1%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă.
Soluţie:
Probabilitatea ca sticla să fi fost achiziționată la prima fabrică și să fie defectă:
r 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Probabilitatea ca sticla să fi fost achiziționată dintr-o a doua fabrică și să fie defectă:
r 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Prin urmare, conform formulei probabilității totale, probabilitatea ca sticla cumpărată accidental într-un magazin să fie defectă este egală cu
p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Răspuns: 0,019.
Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru B. cu probabilitatea 0,52. Dacă A. joacă negru, atunci A. câștigă împotriva lui B. cu probabilitatea 0,3.
Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.
Soluţie:
Posibilitatea de a câștiga primul și al doilea joc nu depinde unul de celălalt. Probabilitatea unui produs al evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestora:
p = 0,52 · 0,3 = 0,156.
Răspuns: 0,156.
Un biatlet trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două ori. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
Soluţie:
Rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură” etc. independent.
Probabilitatea fiecărei lovituri este de 0,8. Aceasta înseamnă că probabilitatea unei rateuri este 1 – 0,8 = 0,2.
1 lovitură: 0,8
2 lovituri: 0,8
3 lovituri: 0,8
4 lovituri: 0,2
5 lovituri: 0,2
Folosind formula de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente, constatăm că probabilitatea dorită este egală cu:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Răspuns: 0,02.
În magazin există două automate de plată. Fiecare dintre ele poate fi defect cu probabilitatea de 0,05, indiferent de cealaltă mașină. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o mașină să funcționeze.
Soluţie:
Să găsim probabilitatea ca ambele mașini să fie defecte.
Aceste evenimente sunt independente, probabilitatea apariției lor este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Un eveniment constând în faptul că cel puțin o mașină funcționează, dimpotrivă.
Prin urmare, probabilitatea sa este egală cu
1 − 0,0025 = 0,9975.
Răspuns: 0,9975.
Cowboy John are o șansă de 0,9 să lovească o muscă de perete dacă trage cu un revolver cu zero. Dacă John trage un revolver netras, el lovește musca cu probabilitatea 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 au fost împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și împușcă musca. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.
Soluţie:
Probabilitatea ca John să rateze dacă apucă un revolver cu zero este:
0,4 (1 − 0,9) = 0,04
Probabilitatea ca John să rateze dacă apucă un revolver netras este:
0,6 · (1 − 0,2) = 0,48
Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Răspuns: 0,52.
În timpul tragerii de artilerie sistem automatșutează la țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul trage oa doua lovitură. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98?
Soluţie:
Puteți rezolva problema „prin acțiune”, calculând probabilitatea de a supraviețui după o serie de greșeli consecutive:
P(1) = 0,6;
P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;
P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;
P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;
P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.
Această din urmă probabilitate este mai mică de 0,02, așa că cinci lovituri la țintă sunt suficiente.
Raspuns: 5.
În clasă sunt 26 de persoane, printre care doi gemeni - Andrey și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în două grupuri de câte 13 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Serghei să fie în același grup.
Soluţie:
Lăsați unul dintre gemeni să fie într-un grup.
Împreună cu el vor fi în grup 12 persoane din cei 25 de colegi rămași.
Probabilitatea ca al doilea geamăn să fie printre aceste 12 persoane este
P = 12: 25 = 0,48.
Răspuns: 0,48.
Imaginea prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirintul din punctul de intrare. Păianjenul nu se poate întoarce și se târă înapoi, așa că la fiecare ramură păianjenul alege una dintre căile pe care încă nu s-a târât. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate păianjenul va ajunge să iasă din D.
Soluţie:
La fiecare dintre cele patru bifurcări marcate, păianjenul poate alege fie calea care duce la ieșirea D, fie o altă cale cu probabilitatea 0,5. Acestea sunt evenimente independente, probabilitatea apariției lor (păianjenul va ajunge la ieșirea D) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a ajunge la ieșirea D este (0,5) 4 = 0,0625.
ÎN centru comercial doua masini identice vand cafea. Aparatele sunt deservite seara, după închiderea centrului. Se știe că probabilitatea evenimentului „Până seara primul aparat să rămână fără cafea” este de 0,25. Probabilitatea evenimentului „Până seara al doilea aparat va rămâne fără cafea” este aceeași. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea până seara este de 0,15. Găsiți probabilitatea ca până seara să rămână cafea în ambele aparate.
Soluţie.
Luați în considerare evenimentele
A = cafeaua se va termina la prima mașină,
B = cafeaua se va termina în a doua mașină.
A B = cafeaua se va termina la ambele aparate,
A + B = cafeaua se va epuiza în cel puțin o mașină.
Prin condiția P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
Evenimentele A și B sunt comune, probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea produsului lor:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus, ca cafeaua să rămână în ambele mașini, este 1 − 0,35 = 0,65.
Răspuns: 0,65.
Hai sa dam o alta solutie.
Probabilitatea ca cafeaua să rămână în prima mașină este 1 − 0,25 = 0,75. Probabilitatea ca cafeaua să rămână în a doua mașină este 1 − 0,25 = 0,75. Probabilitatea ca cafeaua să rămână în primul sau al doilea aparat este 1 − 0,15 = 0,85. Deoarece P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), avem: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, de unde provine probabilitatea cerută? X = 0,65.
Nota.
Rețineți că evenimentele A și B nu sunt independente. Într-adevăr, probabilitatea producerii unor evenimente independente ar fi egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, totuși, conform condiției, această probabilitate este egală cu 0,15.
Elena Alexandrovna Popova 10.10.2018 09:57
Eu, conferențiar, candidat stiinte pedagogice, consider COMPLET PROST ȘI RIDICUL SĂ INCLUDEȚI SARCINI PE EVENIMENTE DEPENDENTE PENTRU ȘCOLARI. Profesorii NU CUNOSC această secțiune – am fost invitat să susțin prelegeri la TV la cursurile de formare a profesorilor. Această secțiune nu este și nu poate fi în program. NU ESTE NEVOIE să inventezi metode fără justificare. SARCINI de acest fel pot fi pur și simplu eliminate. Limitați-vă la DEFINIȚIA CLASICĂ A PROBABILITĂȚILOR. Și chiar și atunci, mai întâi studiați manualele școlare și vedeți ce au scris autorii despre asta. Uită-te la clasa a V-a a lui Zubareva. Ea nici măcar nu știe simbolurile și oferă probabilitatea ca procent. După ce au învățat din astfel de manuale, elevii încă mai cred că probabilitatea este un procent. Există multe probleme interesante privind determinarea clasică a probabilităților. Aceasta este ceea ce elevii trebuie să întrebe. Nu există nicio limită pentru indignarea profesorilor universitari față de prostia TA în introducerea unor astfel de sarcini.
Planificarea unui atelier pentru profesorii de matematică la instituția de învățământ din orașul Tula pe tema „Rezolvarea sarcinilor de examen de stat unificat la matematică de la secțiunile: combinatorică, teoria probabilităților. Metodologia predării”
Timp: 12 00 ; 15 00
Locul de desfășurare: MBOU "Liceul Nr. 1", birou. nr. 8
eu. Rezolvarea problemelor de probabilitate
1. Rezolvarea problemelor care implică determinarea clasică a probabilității
Noi, ca profesori, știm deja că principalele tipuri de probleme din Examenul de stat unificat în teoria probabilității se bazează pe definiția clasică a probabilității. Să ne amintim ce se numește probabilitatea unui eveniment?
Probabilitatea evenimentului este raportul dintre numărul de rezultate favorabile unui anumit eveniment și numărul total de rezultate.
Asociația noastră științifică și metodologică a profesorilor de matematică s-a dezvoltat schema generala rezolvarea problemelor de probabilitate. Aș dori să vi-l prezint atenției. Apropo, am împărtășit experiența noastră de lucru, iar în materialele pe care le-am acordat atenției dumneavoastră pentru discuții comune despre rezolvarea problemelor, am prezentat această diagramă. Cu toate acestea, vreau să-l exprim.
În opinia noastră, această schemă ajută la sortarea rapidă a totul în bucăți, iar după aceea problema poate fi rezolvată mult mai ușor atât pentru profesor, cât și pentru elevi.
Deci, vreau să analizez în detaliu următoarea sarcină.
Am vrut să discutăm împreună cu voi pentru a explica metodologia, cum să le transmitem băieților o astfel de soluție, timp în care copiii să înțeleagă această problemă tipică, iar ulterior să înțeleagă ei înșiși aceste probleme.
Ce este un experiment aleatoriu în această problemă? Acum trebuie să izolăm un eveniment elementar în acest experiment. Ce este acest eveniment elementar? Să le enumerăm.
Întrebări despre sarcină?
Dragi colegi, și dumneavoastră v-ați gândit, evident, la problemele de probabilitate cu zarurile. Cred că trebuie să o analizăm, pentru că are propriile sale nuanțe. Să analizăm această problemă după schema pe care v-am propus-o. Deoarece pe fiecare parte a cubului există un număr de la 1 la 6, atunci evenimentele elementare sunt numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Am constatat că numărul total de evenimente elementare este 6. Să determinăm care evenimente elementare favorizează evenimentul. Doar două evenimente favorizează acest eveniment - 5 și 6 (deoarece rezultă din condiția ca 5 și 6 puncte să cadă).
Explicați că toate evenimentele elementare sunt la fel de posibile. Ce întrebări vor fi despre sarcină?
De unde știi că o monedă este simetrică? Să înțelegem bine, uneori anumite fraze provoacă neînțelegeri. Să înțelegem conceptual această problemă. Să ne dăm seama împreună cu tine în experimentul care este descris care ar putea fi rezultatele elementare. Aveți toți idee unde este capul și unde este coada? Care sunt posibilele opțiuni de abandon? Există și alte evenimente? Care este numărul total de evenimente? Conform problemei, se știe că capetele au apărut exact o dată. Aceasta înseamnă că acest evenimentevenimentele elementare din aceste patru RUP și RO sunt favorabile acest lucru nu se poate întâmpla de două ori. Folosim formula care calculează probabilitatea unui eveniment. Pentru a vă reaminti, răspunsurile din partea B trebuie să fie fie un număr întreg, fie o zecimală.
O arătăm pe tabla interactivă. Citim problema. Care este rezultatul elementar din această experiență? Clarificați că perechea este ordonată - adică numărul a căzut pe primul zar și pe al doilea zar. În orice problemă există momente în care trebuie să alegi metode, forme raționale și să prezinți soluția sub formă de tabele, diagrame etc. În această problemă, este convenabil să folosiți o astfel de masă. ți-l dau deja soluție gata făcută, dar în timpul rezolvării se dovedește că în această problemă este rațional să se folosească o soluție sub forma unui tabel. Vă explicăm ce înseamnă tabelul. Puteți înțelege de ce coloanele spun 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Să desenăm un pătrat. Liniile corespund rezultatelor primei aruncări - sunt șase, deoarece zarul are șase fețe. La fel și coloanele. În fiecare celulă scriem suma punctelor desenate. Arătăm tabelul completat. Să colorăm celulele în care suma este egală cu opt (deoarece acest lucru este necesar în condiție).
Eu cred că următoarea problemă, după analizarea celor anterioare, poate fi dată copiilor să o rezolve singuri.
În următoarele probleme nu este nevoie să scrieți toate rezultatele elementare. Este suficient să numărați pur și simplu numărul lor.
(Fără soluție) Am dat această problemă băieților să o rezolve singuri. Algoritm pentru rezolvarea problemei
1. Definiți în ce constă un experiment aleator și ce este un eveniment aleatoriu.
2. Aflați numărul total de evenimente elementare.
3. Găsiți numărul de evenimente favorabile evenimentului specificat în enunțul problemei.
4. Găsiți probabilitatea unui eveniment folosind formula.
Elevilor li se poate pune o întrebare: dacă 1000 de baterii ies la vânzare, iar dintre ele 6 sunt defecte, atunci bateria selectată este determinată de cum? Ce este în sarcina noastră? Apoi pun întrebarea de a găsi ceea ce este folosit ca număr aiciși vă sugerez să-l găsiținumăr. Apoi întreb, care este evenimentul aici? Câți acumulatori sunt propice pentru finalizarea unui eveniment? Apoi, folosind formula, calculăm această probabilitate.
Aici băieților li se poate oferi o a doua soluție. Să discutăm care ar putea fi această metodă?
1. Ce eveniment putem lua în considerare acum?
2. Cum se află probabilitatea unui eveniment dat?
Băieților trebuie să li se spună despre aceste formule. Ele sunt după cum urmează
A opta problemă poate fi oferită copiilor pe cont propriu, deoarece este similară cu cea de-a șasea problemă. Le poate fi oferit ca munca independenta, sau pe o carte lângă tablă.
Această problemă poate fi rezolvată în legătură cu olimpiada, care are loc în prezent. În ciuda faptului că în sarcini sunt implicate diferite evenimente, sarcinile sunt tipice.
2. Cele mai simple reguli și formule pentru calcularea probabilităților (evenimente opuse, suma evenimentelor, produsul evenimentelor)
Aceasta este o sarcină de la USE colecția. Afișăm soluția pe tablă. Ce întrebări ar trebui să le punem elevilor pentru a înțelege această problemă?
1. Câte utilaje erau? Dacă există două mașini, atunci există deja două evenimente. Le pun copiilor o întrebare - cum va fi evenimentul?? Care va fi al doilea eveniment?
2. este probabilitatea unui eveniment. Nu trebuie să-l calculăm, deoarece este dat în condiție. Conform condițiilor problemei, probabilitatea ca „cafea să se epuizeze în ambele aparate” este de 0,12. A fost evenimentul A, a fost evenimentul B. Și apare un eveniment nou? Le pun copiilor o întrebare - care? Acesta este evenimentul când ambele aparate rămân fără cafea. ÎN în acest caz,, în teoria probabilității, acesta este un eveniment nou, care se numește intersecția a două evenimente A și B și este desemnat astfel.
Să folosim formula de adunare a probabilității. Formula este următoarea
Vă dăm în materialul de referință și băieților li se poate da această formulă. Vă permite să găsiți probabilitatea unei sume de evenimente. Am fost întrebați probabilitatea evenimentului opus, a cărui probabilitate este găsită folosind formula.
Problema 13 folosește conceptul de produs al evenimentelor, a cărui formulă pentru aflarea probabilității este dată în anexă.
3. Probleme cu utilizarea lemnului opțiuni posibile
Pe baza condițiilor problemei, este ușor să întocmești o diagramă și să găsești probabilitățile indicate.
Cu ajutorul căruia material teoretic Ați discutat despre rezolvarea unor astfel de probleme cu studenții? Ați folosit un posibil arbore sau alte metode pentru a rezolva astfel de probleme? Ai dat conceptul de grafice? În clasa a cincea sau a șasea, copiii au astfel de probleme, a căror analiză dă conceptul de grafice.
Aș dori să vă întreb dacă dumneavoastră și studenții dvs. v-ați gândit să utilizați un arbore de opțiuni posibile atunci când rezolvați probleme de probabilitate? Cert este că nu doar Examenul Unificat de Stat are astfel de sarcini, dar au apărut probleme destul de complexe pe care acum le vom rezolva.
Să discutăm cu tine metodologia de rezolvare a unor astfel de probleme - dacă coincide cu metodologia mea, așa cum le explic băieților, atunci îmi va fi mai ușor să lucrez cu tine, dacă nu, atunci te voi ajuta să rezolvi această problemă.
Să discutăm despre evenimente. Ce evenimente din problema 17 pot fi izolate?
Când construiți un copac pe un plan, este desemnat un punct, care se numește rădăcina copacului. În continuare, începem să luăm în considerare evenimenteleŞi. Vom construi un segment (în teoria probabilității se numește ramură). Condiția prevede că prima fabrică produce 30% telefoane mobile al acestui brand (care? Cel pe care îl produc ei), ceea ce înseamnă că în momentul de față îi întreb pe elevi, care este probabilitatea ca prima fabrică să producă telefoane de acest brand, cele pe care le produc ei? Deoarece evenimentul este lansarea unui telefon la prima fabrică, probabilitatea acestui eveniment este de 30% sau 0,3. Telefoanele rămase au fost produse la a doua fabrică - construim al doilea segment, iar probabilitatea acestui eveniment este de 0,7.
Studenților li se pune întrebarea: ce tip de telefon ar putea fi produs de prima fabrică? Cu sau fara defect. Care este probabilitatea ca un telefon produs de prima fabrică să aibă un defect? Condiția spune că este egal cu 0,01. Întrebare: Care este probabilitatea ca telefonul produs de prima fabrică să nu aibă un defect? Deoarece acest eveniment este opus celui dat, probabilitatea lui este egală.
Trebuie să găsiți probabilitatea ca telefonul să fie defect. Ar putea fi din prima fabrică, sau poate din a doua. Apoi folosim formula de adunare a probabilităților și aflăm că întreaga probabilitate este suma probabilităților ca telefonul cu un defect să fie din prima fabrică și ca telefonul cu un defect să fie din a doua fabrică. Vom găsi probabilitatea ca telefonul să aibă un defect și să fi fost produs la prima fabrică folosind formula produsului probabilităților, care este dată în anexă.
4. Una dintre cele mai multe sarcini complexe de la banca Unified State Exam pentru probabilitate
Să ne uităm, de exemplu, la Nr. 320199 de la FIPI Task Bank. Aceasta este una dintre cele mai dificile sarcini din B6.
Pentru a intra în institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, solicitantul Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la Examenul Unificat de Stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, limba rusă și o limbă străină. Pentru a vă înscrie la specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale.
Probabilitatea ca solicitantul Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în rusă - 0,8, în limba straina- 0,7 și în studii sociale - 0,5.
Aflați probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre cele două specialități menționate.
Rețineți că problema nu se întreabă dacă un solicitant pe nume Z. va studia atât lingvistică, cât și comerț deodată și va primi două diplome. Aici trebuie să găsim probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre aceste două specialități - adică să câștige cantitatea necesară puncte.
Pentru a intra în cel puțin una dintre cele două specialități, Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la matematică. Și în rusă. Și, de asemenea, - studii sociale sau străine.
Probabilitatea ca el să obțină 70 de puncte la matematică este de 0,6.
Probabilitatea de a obține puncte la matematică și rusă este egală.
Să ne ocupăm de studii străine și sociale. Opțiunile care ni se potrivesc sunt atunci când solicitantul a obținut puncte la studii sociale, studii străine sau ambele. Opțiunea nu este potrivită atunci când nu a obținut niciun punct nici în limbă, nici în „societate”. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a promova studii sociale sau limbă străină cu cel puțin 70 de puncte este egală. Ca urmare, probabilitatea de a promova matematica, rusă și studii sociale sau străină este egală
Acesta este răspunsul.
II . Rezolvarea problemelor combinatorii
1. Numărul de combinații și factoriali
Să ne uităm pe scurt la materialul teoretic.
Expresien ! citit ca „en-factorial” și denotă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 lan inclusiv:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .
În plus, la matematică, prin definiție, ei cred că 0! = 1. O astfel de expresie este rară, dar apare totuși în problemele de teoria probabilităților.
Definiţie
Lasă să existe obiecte (creioane, bomboane, orice) din care vrei să selectezi exact diferite obiecte. Apoi se numește numărul de opțiuni pentru o astfel de alegerenumăr de combinații din elemente prin. Acest număr este desemnat și calculat folosind o formulă specială.
Desemnare
Ce ne oferă această formulă? De fapt, aproape nicio problemă serioasă nu poate fi rezolvată fără ea.
Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva probleme combinatorii simple:
Sarcină
Barmanul are 6 tipuri de ceai verde. Pentru a organiza o ceremonie a ceaiului, trebuie să serviți ceai verde exact 3 soiuri diferite. În câte moduri poate un barman să completeze o comandă?
Soluţie
Totul este simplu aici: existăn = 6 soiuri din care să alegețik = 3 soiuri. Numărul de combinații poate fi găsit folosind formula:
Răspuns
Înlocuiți în formulă. Nu putem rezolva toate problemele, dar sarcini tipice Le-am scris și vă sunt prezentate atenției.
Sarcină
Într-un grup de 20 de studenți, trebuie să alegeți 2 reprezentanți pentru a vorbi la conferință. În câte moduri se poate face acest lucru?
Soluţie
Din nou, asta e tot ce avemn = 20 de elevi, dar trebuie să alegik = 2 elevi. Aflați numărul de combinații:
Vă rugăm să rețineți: factorii incluși în factoriali diferiți sunt marcați cu roșu. Acești multiplicatori pot fi redusi fără durere și, prin urmare, pot reduce semnificativ cantitatea totală de calcule.
Răspuns
190
Sarcină
În depozit au fost livrate 17 servere cu diverse defecte, care au costat de 2 ori mai puțin decât serverele normale. Directorul a cumpărat 14 astfel de servere pentru școală și a folosit banii economisiți în valoare de 200.000 de ruble pentru a achiziționa alte echipamente. În câte moduri poate directorul să selecteze serverele defecte?
Soluţie
Problema conține destul de multe date suplimentare care pot fi confuze. Cele mai multe fapte importante: există de toaten = 17 servere, iar directorul are nevoiek = 14 servere. Numărăm numărul de combinații:
Multiplicatorii care se reduc sunt din nou indicați cu roșu. În total, au fost 680 de combinații. În general, regizorul are multe din care să aleagă.
Răspuns
680
Această sarcină este dificilă deoarece există date suplimentare în această sarcină. Ei derutează mulți studenți decizia corectă. Au fost 17 servere în total, iar directorul trebuia să aleagă 14. Înlocuind în formulă, obținem 680 de combinații.
2. Legea înmulțirii
Definiţie
Legea înmulțirii în combinatorică: se înmulţeşte numărul de combinaţii (căi, combinaţii) în mulţimi independente.
Cu alte cuvinte, să fieO modalităţi de a efectua o acţiune şiB modalități de a efectua o altă acțiune. Calea este, de asemenea, că aceste acțiuni sunt independente, adică. nu sunt înrudite între ele în niciun fel. Apoi puteți găsi numărul de moduri de a efectua prima și a doua acțiune folosind formula:C = O · B .
Sarcină
Petya are 4 monede de 1 rublă și 2 monede de 10 ruble. Petya, fără să se uite, a luat din buzunar 1 monedă cu o valoare nominală de 1 rublă și încă o monedă cu o valoare nominală de 10 ruble pentru a cumpăra un stilou pentru 11 ruble. În câte moduri poate alege aceste monede?
Soluţie
Deci, prima primește Petyak = 1 monedă dinn = 4 monede disponibile cu o valoare nominală de 1 rublă. Numărul de moduri de a face acest lucru esteC 4 1 = ... = 4.
Apoi Petya băgă din nou mâna în buzunar și scoatek = 1 monedă dinn = 2 monede disponibile cu o valoare nominală de 10 ruble. Aici numărul de combinații este egal cuC 2 1 = ... = 2.
Deoarece aceste acțiuni sunt independente, numărul total de opțiuni este egal cuC = 4 · 2 = 8.
Răspuns
Sarcină
Într-un coș sunt 8 bile albe și 12 bile negre. În câte moduri puteți obține 2 bile albe și 2 bile negre din acest coș?
Soluţie
Total în coșn = 8 bile albe din care să alegețik = 2 bile. Se poate faceC 8 2 = ... = 28 de moduri diferite.
În plus, căruciorul conținen = 12 bile negre, dintre care trebuie să alegi din nouk = 2 bile. Numărul de moduri de a face acest lucru esteC 12 2 = ... = 66.
Pentru că alegere bila alba iar alegerea negrului sunt evenimente independente, numărul total de combinații se calculează conform legii înmulțirii:C = 28 · 66 = 1848. După cum puteți vedea, pot exista destul de multe opțiuni.
Răspuns
1848
Legea înmulțirii arată câte moduri poate fi efectuată o acțiune complexă care constă din două sau mai multe simple - cu condiția ca toate să fie independente.
3. Legea adunării
Dacă legea înmulțirii operează cu evenimente „izolate” care nu depind unele de altele, atunci în legea adunării este adevărat opusul. Se ocupă de evenimente care se exclud reciproc, care nu se întâmplă niciodată în același timp.
De exemplu, „Petya a scos o monedă din buzunar” și „Petya nu a scos o singură monedă din buzunar” sunt evenimente care se exclud reciproc, deoarece este imposibil să scoți o monedă fără să scoți una.
De asemenea, evenimentele „Mingea la întâmplare este albă” și „Mingea la întâmplare este neagră” se exclud reciproc.
Definiţie
Legea adunării în combinatorică: dacă se pot executa două acţiuni care se exclud reciprocO ŞiB metode în consecință, atunci aceste evenimente pot fi combinate. Acest lucru va crea un nou eveniment pe care îl puteți executaX = O + B moduri.
Cu alte cuvinte, atunci când se combină acțiuni care se exclud reciproc (evenimente, opțiuni), numărul combinațiilor lor se adună.
Putem spune că legea adunării este un „SAU” logic în combinatorică, atunci când suntem mulțumiți de oricare dintre opțiunile care se exclud reciproc. În schimb, legea înmulțirii este un „ȘI” logic, în care ne interesează executarea simultană atât a primei acțiuni, cât și a celei de-a doua.
Sarcină
Într-un coș sunt 9 bile negre și 7 roșii. Băiatul scoate 2 bile de aceeași culoare. În câte moduri poate face asta?
Soluţie
Dacă bilele sunt de aceeași culoare, atunci există puține opțiuni: ambele sunt fie negre, fie roșii. Evident, aceste opțiuni se exclud reciproc.
În primul caz, băiatul trebuie să aleagăk = 2 bile negre dinn = 9 disponibile. Numărul de moduri de a face acest lucru esteC 9 2 = ... = 36.
La fel, în al doilea caz alegemk = 2 bile roșii dinn = 7 posibil. Numărul de moduri este egalC 7 2 = ... = 21.
Rămâne de găsit numărul total de căi. Deoarece opțiunile cu bile negre și roșii se exclud reciproc, conform legii adunării avem:X = 36 + 21 = 57.
Răspuns57
Sarcină
Taraba vinde 15 trandafiri și 18 lalele. Un elev de clasa a IX-a vrea să cumpere 3 flori pentru colegul său de clasă, iar toate florile trebuie să fie la fel. În câte feluri poate face un astfel de buchet?
Soluţie
În funcție de condiție, toate florile trebuie să fie la fel. Aceasta înseamnă că vom cumpăra fie 3 trandafiri, fie 3 lalele. Oricum,k = 3.
În cazul trandafirilor va trebui să alegețin = 15 opțiuni, deci numărul de combinații esteC 15 3 = ... = 455. Pentru lalelen = 18, iar numărul de combinații esteC 18 3 = ... = 816.
Deoarece trandafirii și lalelele sunt opțiuni care se exclud reciproc, lucrăm conform legii adunării. Obținem numărul total de opțiuniX = 455 + 816 = 1271. Acesta este răspunsul.
Răspuns
1271
Termeni și restricții suplimentare
De foarte multe ori, textul problemei conține condiții suplimentare care impun restricții semnificative asupra combinațiilor care ne interesează. Comparați două propoziții:
Setul de 5 pixuri disponibil culori diferite. În câte moduri poți alege 3 pixuri pentru a contura un desen?
Există un set de 5 pixuri în diferite culori. În câte moduri poți alege 3 pixuri pentru conturarea unui desen dacă roșu trebuie să fie printre ele?
În primul caz, avem dreptul să luăm orice culoare ne place - nu există restricții suplimentare. În al doilea caz, totul este mai complicat, deoarece ni se cere să alegem un stilou roșu (se presupune că este în setul original).
Evident, orice restricții reduc drastic numărul final de opțiuni. Ei bine, cum puteți găsi numărul de combinații în acest caz? Amintiți-vă doar această regulă:
Să fie un set den elemente din care să alegețik elemente. La introducerea unor restricții suplimentare asupra număruluin Şik scade cu aceeasi suma.
Cu alte cuvinte, dacă din 5 pixuri trebuie să alegeți 3, iar unul dintre ele ar trebui să fie roșu, atunci va trebui să alegeți dintren = 5 − 1 = câte 4 elementek = 3 − 1 = 2 elemente. Deci în loc deC 5 3 trebuie număratC 4 2 .
Acum să vedem cum funcționează această regulă exemple concrete:
Sarcină
Într-un grup de 20 de studenți, inclusiv 2 studenți excelenți, trebuie să selectați 4 persoane pentru a participa la conferință. În câte moduri pot fi selectați aceste patru dacă studenții excelenți trebuie să ajungă la conferință?
Soluţie
Deci există un grup den = 20 de elevi. Dar trebuie doar să alegik = 4 dintre ele. Dacă nu ar exista restricții suplimentare, atunci numărul de opțiuni ar fi egal cu numărul de combinațiiC 20 4 .
Ni s-a pus însă o condiție suplimentară: printre acești patru trebuie să fie 2 studenți excelenți. Deci, conform regulii de mai sus, reducem numerelen Şik de 2. Avem:
Răspuns
153
Sarcină
Petya are 8 monede în buzunar, dintre care 6 sunt monede ruble și 2 sunt monede de 10 ruble. Petya transferă vreo trei monede într-un alt buzunar. În câte moduri poate face Petya asta dacă se știe că ambele monede de 10 ruble au ajuns în celălalt buzunar?
Soluţie
Deci existăn = 8 monede. Petya se schimbăk = 3 monede, dintre care 2 sunt monede de zece ruble. Se pare că din 3 monede care vor fi transferate, 2 au fost deja fixate, deci numerelen Şik trebuie redus cu 2. Avem:
Răspuns
III . Rezolvarea de probleme combinate folosind formule de combinatorie și teoria probabilităților
Sarcină
Petya avea în buzunar 4 monede de ruble și 2 monede de ruble. Petya, fără să se uite, a transferat vreo trei monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca ambele monede de două ruble să fie în același buzunar.
Soluţie
Să presupunem că ambele monede de două ruble au ajuns de fapt în același buzunar, atunci există două opțiuni posibile: fie Petya nu le-a transferat deloc, fie le-a transferat pe ambele deodată.
În primul caz, când monedele de două ruble nu au fost mutate, va trebui să mutați 3 monede ruble. Deoarece există 4 astfel de monede în total, numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 4 cu 3:C 4 3 .
În al doilea caz, atunci când ambele monede de două ruble au fost transferate, va trebui transferată o altă monedă de ruble. Trebuie ales dintre cele 4 existente, iar numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 4 cu 1:C 4 1 .
Acum să găsim numărul total de moduri de a rearanja monedele. Deoarece există 4 + 2 = 6 monede în total și trebuie să alegeți doar 3 dintre ele, numărul total de opțiuni este egal cu numărul de combinații de 6 cu 3:C 6 3 .
Rămâne de găsit probabilitatea:
Răspuns
0,4
Afișați pe tabla interactivă. Atenție la faptul că, în funcție de condițiile problemei, Petya, fără să se uite, pune trei monede într-un buzunar. Răspunzând la această întrebare, putem presupune că două monede de două ruble au rămas de fapt într-un buzunar. Consultați formula pentru adăugarea probabilităților. Afișați din nou formula.
Sarcină
Petya avea în buzunar 2 monede de 5 ruble și 4 monede de 10 ruble. Petya, fără să se uite, a transferat vreo 3 monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele de cinci ruble să fie acum în buzunare diferite.
Soluţie
Pentru a păstra monede de cinci ruble în diferite buzunare, trebuie să mutați doar unul dintre ele. Numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 2 cu 1:C 2 1 .
Deoarece Petya a schimbat 3 monede în total, va trebui să schimbe încă 2 monede a câte 10 ruble fiecare. Petya are 4 astfel de monede, deci numărul de moduri este egal cu numărul de combinații de 4 cu 2:C 4 2 .
Rămâne de găsit câte opțiuni există pentru a transfera 3 monede din 6 disponibile. Această cantitate, ca și în problema anterioară, este egală cu numărul de combinații de 6 cu 3:C 6 3 .
Găsim probabilitatea:
În ultimul pas, am înmulțit numărul de moduri de a alege monede de două ruble și numărul de moduri de a alege monede de zece ruble, deoarece aceste evenimente sunt independente.
Răspuns
0,6
Deci, problemele cu monedele au propria lor formulă de probabilitate. Este atât de simplu și important încât poate fi formulat ca o teoremă.
Teorema
Lasă moneda să fie aruncatăn dată. Apoi probabilitatea ca capete să aterizeze exactk ori, poate fi găsit folosind formula:
UndeC n k - numărul de combinații den elemente prink , care se calculează prin formula:
Astfel, pentru a rezolva problema monedelor, ai nevoie de două numere: numărul de aruncări și numărul de capete. Cel mai adesea, aceste numere sunt date direct în textul problemei. Mai mult, nu contează ce anume numești: cozi sau capete. Răspunsul va fi același.
La prima vedere, teorema pare prea greoaie. Dar odată ce exersați puțin, nu veți mai dori să reveniți la algoritmul standard descris mai sus.
Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea de a obține capete exact de trei ori.
Soluţie
Conform problemei, totalul aruncărilor au fostn = 4. Numărul necesar de vulturi:k = 3. Înlocuitorn Şik în formula:
Puteți număra la fel de ușor numărul de capete:k = 4 − 3 = 1. Răspunsul va fi același.
Răspuns
0,25
Sarcină [Caiet de lucru „Examenul de stat unificat 2012 la matematică. Probleme B6"]
Moneda este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea să nu obțineți niciodată capete.
Soluţie
Scriind din nou numerelen Şik . Deoarece moneda este aruncată de 3 ori,n = 3. Și din moment ce nu ar trebui să existe capete,k = 0. Rămâne să înlocuim numerelen Şik în formula:
Să-ți amintesc că 0! = 1 prin definiție. De aceeaC 3 0 = 1.
Răspuns
0,125
Sarcina [ Examen de stat unificat de probă la matematică 2012. Irkutsk]
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară de mai multe ori decât cozi.
Soluţie
Pentru ca să fie mai multe capete decât cozi, ele trebuie să apară fie de 3 ori (atunci va fi 1 coadă), fie de 4 ori (atunci nu vor fi cozi deloc). Să aflăm probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente.
Lasăp 1 - probabilitatea ca capete să apară de 3 ori. Apoin = 4, k = 3. Avem:
Acum să găsimp 2 - probabilitatea ca capetele să apară de 4 ori. În acest cazn = 4, k = 4. Avem:
Pentru a obține răspunsul, tot ce rămâne este să adunăm probabilitățilep 1 Şip 2 . Amintiți-vă: puteți adăuga probabilități doar pentru evenimente care se exclud reciproc. Avem:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Răspuns
0,3125
Pentru a economisi timp atunci când vă pregătiți cu băieții pentru examenul de stat unificat și examenul de stat, v-am prezentat soluții la multe alte probleme pe care le puteți alege și rezolva cu băieții.
Materiale de examinare de stat, examen de stat unificat diverși ani, manuale și site-uri web.
IV. Material de referință
Probabilitatea unui eveniment $A$ este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru $A$ și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile
$P(A)=(m)/(n)$, unde $n$ este numărul total de rezultate posibile și $m$ este numărul de rezultate favorabile evenimentului $A$.
Probabilitatea unui eveniment este un număr din segmentul $$
Compania de taxi are 50 USD disponibile autoturisme de pasageri. $35$ dintre ele sunt negre, restul sunt galbene.
Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă să răspundă la un apel aleatoriu.
Există mașini de 50 USD în total, adică una din cincizeci va răspunde la un apel. Mașinile galbene sunt $15$, prin urmare, probabilitatea ca o mașină galbenă să sosească este $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$
Răspuns: 0,3 USD
Evenimente opuse
Două evenimente sunt numite opuse dacă într-un test dat sunt incompatibile și unul dintre ele are loc în mod necesar. Probabilitățile de evenimente opuse se adună la 1. Un eveniment opus evenimentului $A$ se scrie $((A))↖(-)$.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Evenimente independente
Două evenimente $A$ și $B$ sunt numite independente dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre ele nu depinde de dacă celălalt eveniment a avut loc sau nu. În caz contrar, evenimentele se numesc dependente.
Probabilitatea produsului a două evenimente independente $A$ și $B$ este egală cu produsul acestor probabilități:
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
Ivan Ivanovici a cumpărat două bilete de loterie diferite. Probabilitatea ca primul să câștige bilet de loterie, este egal cu 0,15 USD. Probabilitatea ca al doilea bilet de loterie să câștige este de 0,12 USD. Ivan Ivanovici participă la ambele extrageri. Presupunând că extragerile au loc independent una de cealaltă, găsiți probabilitatea ca Ivan Ivanovici să câștige la ambele extrageri.
Probabilitate $P(A)$ - primul bilet va câștiga.
Probabilitate $P(B)$ - al doilea bilet va câștiga.
Evenimentele $A$ și $B$ sunt evenimente independente. Adică, pentru a găsi probabilitatea ca ambele evenimente să se producă, trebuie să găsiți produsul probabilităților
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Răspuns: 0,018 USD
Evenimente incompatibile
Două evenimente $A$ și $B$ sunt numite incompatibile dacă nu există rezultate care favorizează atât evenimentul $A$, cât și evenimentul $B$. (Evenimente care nu pot avea loc în același timp)
Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
La un examen de algebră, un student primește o întrebare din toate întrebările de examen. Sunt șanse ca aceasta să fie o întrebare despre „ Ecuații cuadratice", este egal cu $0,3$. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de ecuații iraționale este de 0,18 USD. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.
Aceste evenimente se numesc incompatibile, deoarece elevul va primi o întrebare ORI la tema „Ecuații cuadratice”, SAU la subiectul „Ecuații iraționale”. Subiectele nu pot fi găsite în același timp. Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3+0,18=0,48$
Răspuns: 0,48 USD
Evenimente comune
Două evenimente sunt numite comune dacă apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt în același proces. În caz contrar, evenimentele sunt numite incompatibile.
Probabilitatea sumei a două evenimente comune $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea produsului lor:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
În sala de cinema, două aparate identice vând cafea. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,6 USD. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,32 USD. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre aparate să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei.
Să notăm evenimentele:
$A$ = cafeaua se va termina la prima mașină,
$B$ = cafeaua se va termina la a doua mașină.
$A·B =$ cafeaua se va epuiza în ambele aparate,
$A + B =$ cafeaua se va epuiza în cel puțin un aparat.
Conform condiției, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32 $.
Evenimentele $A$ și $B$ sunt comune, probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea produsului lor:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
