Variabilele aleatoare discrete sunt specificate prin lege. Legea distribuției unei variabile aleatoare

În aplicațiile teoriei probabilităților, caracteristicile cantitative ale experimentului sunt de importanță primordială. O cantitate care poate fi determinată cantitativ și care, în urma unui experiment, poate lua, după caz sensuri diferite, numit variabilă aleatorie.

Exemple de variabile aleatoare:

1. De câte ori apare un număr par de puncte în zece aruncări ale unui zar.

2. Numărul de lovituri pe țintă de către un trăgător care trage o serie de focuri.

3. Numărul de fragmente ale unei obuze care explodează.

În fiecare dintre exemplele date, variabila aleatoare poate lua numai valori izolate, adică valori care pot fi numerotate folosind o serie naturală de numere.

O astfel de variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile sunt numere individuale izolate, pe care această variabilă le ia cu anumite probabilități, se numește discret.

Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit (numărabil).

Legea distribuției O variabilă aleatorie discretă este o listă a valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată sub forma unui tabel (serie de distribuție a probabilității), analitic și grafic (poligon de distribuție a probabilității).

Când se efectuează un experiment, devine necesar să se evalueze valoarea studiată „în medie”. Rolul valorii medii a unei variabile aleatoare este jucat de o caracteristică numerică numită așteptări matematice, care este determinat de formula

Unde X 1 , X 2 ,.. , X n– valori ale variabilelor aleatorii X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– probabilitățile acestor valori (rețineți că p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Exemplu. Tragerea se efectuează la țintă (Fig. 11).

O lovitură în I dă trei puncte, în II – două puncte, în III – un punct. Numărul de puncte marcate într-o singură lovitură de un trăgător are o lege de distribuție a formei

Pentru a compara îndemânarea trăgătorilor, este suficient să comparăm valorile medii ale punctelor marcate, adică. așteptări matematice M(X) Și M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Al doilea trăgător oferă în medie un număr de puncte ceva mai mare, adică. va da rezultate mai bune atunci când este tras în mod repetat.

Să notăm proprietățile așteptării matematice:

1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși:

M(C) =C.

2. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Negația matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare (sarcina 4.6).

M(X) = pr.

Pentru a evalua modul în care o variabilă aleatoare „în medie” se abate de la așteptările ei matematice, de ex. Pentru a caracteriza răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în teoria probabilității, se utilizează conceptul de dispersie.

Varianta variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a abaterii la pătrat:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersia este o caracteristică numerică a dispersiei unei variabile aleatorii. Din definiție este clar că, cu cât dispersia unei variabile aleatoare este mai mică, cu atât valorile posibile ale acesteia sunt mai apropiate de așteptarea matematică, adică cu atât mai mult. valori mai bune o variabilă aleatoare se caracterizează prin așteptarea ei matematică.

Din definiție rezultă că varianța poate fi calculată folosind formula

.

Este convenabil să calculați varianța folosind o altă formulă:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersia are următoarele proprietăți:

1. Varianta constantei este zero:

D(C) = 0.

2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianței termenilor:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea apariției și neapariției unui eveniment într-o singură încercare:

D(X) = npq.

În teoria probabilității, este adesea folosită o caracteristică numerică egală cu rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare. Această caracteristică numerică se numește deviația pătrată medie și este notă cu simbolul

.

Caracterizează dimensiunea aproximativă a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie și are aceeași dimensiune ca și variabila aleatoare.

4.1. Trăgătorul trage trei focuri în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură este de 0,3.

Construiți o serie de distribuție pentru numărul de accesări.

Soluţie. Numărul de accesări este o variabilă aleatorie discretă X. Fiecare valoare X n variabilă aleatorie X corespunde unei anumite probabilităţi P n .

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete în în acest caz, poate fi setat aproape de distribuție.

În această problemă X ia valori 0, 1, 2, 3. Conform formulei lui Bernoulli

,

Să găsim probabilitățile de valori posibile ale variabilei aleatoare:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Prin aranjarea valorilor variabilei aleatoare Xîn ordine crescătoare, obținem seria de distribuție:

X n

Rețineți că suma

înseamnă probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua cel puțin o valoare dintre cele posibile, iar acest eveniment este, prin urmare, de încredere

.

4.2 .În urnă sunt patru bile cu numere de la 1 la 4. Se scot două bile. Valoare aleatoare X– suma numerelor bilelor. Construiți o serie de distribuție a unei variabile aleatoare X.

Soluţie. Valori ale variabilelor aleatorii X sunt 3, 4, 5, 6, 7. Să găsim probabilitățile corespunzătoare. Valoarea variabilei aleatoare 3 X poate fi acceptat în singurul caz în care una dintre bile selectate are numărul 1, iar cealaltă 2. Numărul de rezultate posibile ale testului este egal cu numărul de combinații de patru (numărul de perechi posibile de bile) de două.

Folosind formula clasică de probabilitate obținem

De asemenea,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Suma 5 poate apărea în două cazuri: 1 + 4 și 2 + 3, deci

.

X are forma:

Găsiți funcția de distribuție F(X) variabilă aleatorie Xși complotează-l. Calculați pentru X așteptarea și varianța sa matematică.

Soluţie. Legea de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi specificată de funcția de distribuție

F(X) = P(X X).

Funcția de distribuție F(X) este o funcție nedescrescătoare, continuă în stânga, definită pe întreaga linie numerică, în timp ce

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Pentru o variabilă aleatoare discretă, această funcție este exprimată prin formula

.

Prin urmare, în acest caz

Graficul funcției de distribuție F(X) este o linie în trepte (Fig. 12)

	F(X)

Valorea estimataM(X) este media aritmetică ponderată a valorilor X 1 , X 2 ,……X n variabilă aleatorie X cu solzi ρ 1, ρ 2, …… , ρ n și se numește valoarea medie a variabilei aleatoare X. Conform formulei

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersia caracterizează gradul de dispersie a valorilor unei variabile aleatoare față de valoarea sa medie și se notează D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Pentru o variabilă aleatoare discretă, varianța are forma

sau poate fi calculat folosind formula

Înlocuind datele numerice ale problemei în formulă, obținem:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Două zaruri sunt aruncate de două ori în același timp. Scrieți legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X- numărul de apariții a unui număr total par de puncte pe două zaruri.

Soluţie. Să introducem un eveniment aleatoriu

A= (două zaruri cu o singură aruncare au dus la un total de puncte par).

Folosind definiția clasică a probabilității găsim

R(A)= ,

Unde n - numărul de rezultate posibile ale testului este găsit conform regulii

multiplicare:

n = 6∙6 =36,

m - numărul de persoane care favorizează evenimentul A rezultate - egale

m= 3∙6=18.

Astfel, probabilitatea de succes într-o singură încercare este

ρ = P(A)= 1/2.

Problema este rezolvată folosind o schemă de testare Bernoulli. O provocare aici ar fi să aruncați două zaruri o dată. Numărul de astfel de teste n = 2. Variabilă aleatoare X ia valori 0, 1, 2 cu probabilități

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Distribuția binomială necesară a unei variabile aleatoare X poate fi reprezentat ca o serie de distribuție:

X n
ρ n

4.5 . Într-un lot de șase părți există patru standard. Trei părți au fost selectate la întâmplare. Construiți o distribuție de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete X– numărul de piese standard dintre cele selectate și găsiți așteptările sale matematice.

Soluţie. Valori ale variabilelor aleatorii X sunt numerele 0,1,2,3. Este clar că R(X=0)=0, deoarece există doar două părți non-standard.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Legea distribuției unei variabile aleatoare X Să o prezentăm sub forma unei serii de distribuție:

X n
ρ n

Valorea estimata

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Demonstrați că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X- numărul de apariții ale evenimentului A V nîncercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca un eveniment să se producă este egală cu ρ – egal cu produsul numărului de încercări cu probabilitatea apariției unui eveniment într-o singură încercare, adică pentru a demonstra că așteptarea matematică a distribuției binomiale

M(X) =n . ρ ,

și dispersie

D(X) =n.p. .

Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2..., n. Probabilitate R(X= k) se găsește folosind formula lui Bernoulli:

R(X=k)= R n(k)= ρ La (1-ρ ) n- La

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X are forma:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Unde q= 1- ρ .

Pentru așteptarea matematică avem expresia:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

În cazul unui singur test, adică cu n= 1 pentru variabila aleatoare X 1 – numărul de apariții ale evenimentului A- seria de distributie are forma:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Dacă X k – numărul de apariții ale evenimentului Aîn care test, atunci R(X La)= ρ Și

X=X 1 +X 2 +….+X n .

De aici ajungem

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Departamentul de control al calității verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot contine 5 produse. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X- numarul de loturi, fiecare dintre acestea va contine 4 produse standard - daca 50 de loturi sunt supuse inspectiei.

Soluţie. Probabilitatea ca în fiecare lot selectat aleatoriu să existe 4 produse standard este constantă; să o notăm prin ρ .Apoi așteptarea matematică a variabilei aleatoare X egală M(X)= 50∙ρ.

Să găsim probabilitatea ρ conform formulei lui Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Se aruncă trei zaruri. Găsiți așteptările matematice ale sumei punctelor căzute.

Soluţie. Puteți găsi distribuția unei variabile aleatoare X- suma punctelor scazute si apoi asteptarea sa matematica. Totuși, această cale este prea greoaie. Este mai ușor să folosești o altă tehnică, reprezentând o variabilă aleatorie X, a cărui așteptare matematică trebuie calculată, sub forma unei sume a mai multor variabile aleatoare mai simple, a căror așteptare matematică este mai ușor de calculat. Dacă variabila aleatoare X i este numărul de puncte acumulate i– oasele ( i= 1, 2, 3), apoi suma punctelor X vor fi exprimate în formă

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Pentru a calcula așteptarea matematică a variabilei aleatoare originale, tot ce rămâne este să folosiți proprietatea așteptării matematice

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Este evident că

R(X i = K)= 1/6, LA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Prin urmare, așteptarea matematică a variabilei aleatoare X i se pare ca

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat în timpul testării dacă:

a) probabilitatea de defecțiune pentru toate dispozitivele este aceeași R, iar numărul de dispozitive testate este egal cu n;

b) probabilitatea de eşec pt i – a dispozitivului este egal cu p i , i= 1, 2, … , n.

Soluţie. Fie variabila aleatoare X este numărul de dispozitive eșuate, atunci

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Este clar că

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

În cazul „a”, probabilitatea defecțiunii dispozitivului este aceeași, adică

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Acest răspuns ar putea fi obținut imediat dacă observăm că variabila aleatoare X are o distribuție binomială cu parametri ( n, p).

4.10. Două zaruri sunt aruncate simultan de două ori. Scrieți legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X - numărul de aruncări ale unui număr par de puncte pe două zaruri.

Soluţie. Lăsa

A=(da un număr par pe primul zar),

B =(rularea unui număr par pe al doilea zar).

Obținerea unui număr par pe ambele zaruri într-o singură aruncare este exprimată de produs AB. Apoi

R (AB) = R(A)∙R(ÎN) =
.

Rezultatul celei de-a doua aruncări a două zaruri nu depinde de primul, așa că formula lui Bernoulli se aplică atunci când

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2 , a cărui probabilitate poate fi găsită folosind formula lui Bernoulli:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X:

4.11. Dispozitivul constă dintr-un număr mare de elemente care funcționează independent, cu aceeași probabilitate foarte mică de defecțiune a fiecărui element în timp t. Găsiți numărul mediu de refuzuri în timp t elemente, dacă probabilitatea ca cel puțin un element să eșueze în acest timp este de 0,98.

Soluţie. Numărul de persoane care au refuzat în timp t elemente – variabilă aleatoare X, care este distribuit conform legii lui Poisson, deoarece numărul de elemente este mare, elementele funcționează independent și probabilitatea de eșec a fiecărui element este mică. Numărul mediu de apariții ale unui eveniment în n teste este egal

M(X) = n.p..

Deoarece probabilitatea de eșec LA elemente din n exprimat prin formula

R n (LA)
,

unde  = n.p., atunci probabilitatea ca niciun element să nu eșueze în timpul respectiv t ajungem la K = 0:

R n (0)= e -  .

Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus este în timp t cel puțin un element eșuează – egal cu 1 - e -  . Conform condițiilor problemei, această probabilitate este de 0,98. Din Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

de aici  = -ln 0,02  4.

Deci, în timp t funcționarea dispozitivului, în medie 4 elemente vor eșua.

4.12 . Zarurile sunt aruncate până când apare un „doi”. Aflați numărul mediu de aruncări.

Soluţie. Să introducem o variabilă aleatoare X– numărul de teste care trebuie efectuate până la producerea evenimentului care ne interesează. Probabilitatea ca X= 1 este egal cu probabilitatea ca în timpul unei aruncări a zarului să apară „doi”, adică.

R(X= 1) = 1/6.

Eveniment X= 2 înseamnă că la primul test „doi” nu au apărut, dar la al doilea a apărut. Probabilitatea evenimentului X= 2 se găsește prin regula înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

De asemenea,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Obținem o serie de distribuții de probabilitate:

					(5/6) La ∙1/6

Numărul mediu de aruncări (încercări) este așteptarea matematică

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + LA (5/6) LA -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + LA (5/6) LA -1 + …)

Să găsim suma seriei:

LAg LA -1 = (g LA) g 
.

Prin urmare,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Astfel, trebuie să faceți o medie de 6 aruncări de zaruri până când apare un „două”.

4.13. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului A la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă A, dacă varianța numărului de apariții ale unui eveniment în trei încercări independente este 0,63 .

Soluţie. Numărul de apariții ale unui eveniment în trei încercări este o variabilă aleatorie X, distribuit conform legii binomului. Varianța numărului de apariții ale unui eveniment în studii independente (cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului în fiecare studiu) este egală cu produsul numărului de încercări cu probabilitățile de apariție și neapariție a evenimentului (problema 4.6)

D(X) = npq.

După condiție n = 3, D(X) = 0,63, așa că poți R găsiți din ecuație

0,63 = 3∙R(1-R),

care are două soluții R 1 = 0,7 și R 2 = 0,3.

X; sens F(5); probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valori din segment. Construiți un poligon de distribuție.

1. Este cunoscută funcția de distribuție F(x) a unei variabile aleatoare discrete X:

Stabiliți legea distribuției unei variabile aleatoare X sub forma unui tabel.

1. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Probabilitatea ca magazinul să aibă certificate de calitate pentru întreaga gamă de produse este de 0,7. Comisia a verificat disponibilitatea certificatelor în patru magazine district. Întocmește o lege de distribuție, calculează așteptarea matematică și dispersia numărului de magazine în care nu s-au găsit certificate de calitate în timpul inspecției.

1. Pentru a determina timpul mediu de ardere al lămpilor electrice într-un lot de 350 de cutii identice, a fost luată pentru testare câte o lampă electrică din fiecare cutie. Estimați de mai jos probabilitatea ca durata medie de ardere a lămpilor electrice selectate să difere de durata medie de ardere a întregului lot în valoare absolută cu mai puțin de 7 ore, dacă se știe că media deviație standard Timpul de ardere a lămpilor electrice din fiecare cutie este mai mic de 9 ore.

1. La o centrală telefonică are loc o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 500 de conexiuni să apară următoarele:

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X. Construiți grafice ale funcțiilor și . Calculați așteptările matematice, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. O mașină automată face role. Se crede că diametrul lor este o variabilă aleatoare distribuită normal, cu o valoare medie de 10 mm. Care este abaterea standard dacă, cu o probabilitate de 0,99, diametrul este în intervalul de la 9,7 mm la 10,3 mm.

Proba A: 6 9 7 6 4 4

Proba B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opțiunea 17.

1. Dintre cele 35 de părți, 7 sunt non-standard. Găsiți probabilitatea ca două părți luate la întâmplare să se dovedească standard.

1. Se aruncă trei zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor de pe laturile lăsate să fie un multiplu de 9.

1. Cuvântul „AVENTURĂ” este format din cărți, fiecare cu o literă scrisă pe el. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase în ordinea apariției să formeze cuvântul: a) AVENTURĂ; b) PRIZONAL.

1. O urnă conține 6 bile negre și 5 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:
1. 2 bile albe;
2. mai puțin de 2 bile albe;
3. cel puțin o bilă neagră.

1. Aîntr-un test este egal cu 0,4. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
1. eveniment A apare de 3 ori într-o serie de 7 studii independente;
2. eveniment A va apărea de nu mai puțin de 220 și nu mai mult de 235 de ori într-o serie de 400 de încercări.

1. Fabrica a trimis 5.000 de produse de bună calitate la bază. Probabilitatea de deteriorare a fiecărui produs în tranzit este de 0,002. Găsiți probabilitatea ca nu mai mult de 3 produse să fie deteriorate în timpul călătoriei.

1. Prima urnă conține 4 bile albe și 9 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 3 negre. Din prima urna sunt extrase aleatoriu 3 bile si din a doua urna 4. Găsiți probabilitatea ca toate bilele extrase să fie de aceeași culoare.

1. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Calculați așteptările și varianța sa matematică.

1. În cutie sunt 10 creioane. 4 creioane sunt desenate la întâmplare. Valoare aleatoare X– numărul de creioane albastre dintre cele selectate. Găsiți legea distribuției sale, momentele inițiale și centrale ale ordinului 2 și 3.

1. Departament control tehnic verifică 475 de produse pentru defecte. Probabilitatea ca produsul să fie defect este de 0,05. Aflați, cu probabilitatea de 0,95, limitele în care va fi cuprins numărul de produse defecte dintre cele testate.

1. La o centrală telefonică are loc o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,003. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de conexiuni să apară următoarele:
1. cel puțin 4 conexiuni incorecte;
2. mai mult de două conexiuni incorecte.

1. Variabila aleatoare este specificată de funcția de densitate de distribuție:

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X. Construiți grafice ale funcțiilor și . Calculați așteptările matematice, varianța, modul și mediana variabilei aleatoare X.

1. Variabila aleatoare este specificată de funcția de distribuție:

1. După probă A rezolva urmatoarele probleme:
1. creați o serie de variații;

· media eșantionului;

· varianța eșantionului;

Mod și mediană;

Proba A: 0 0 2 2 1 4

1. calculați caracteristicile numerice ale seriei de variații:

· media eșantionului;

· varianța eșantionului;

abaterea standard a probei;

· mod și mediană;

Proba B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opțiunea 18.

1. Printre 10 bilete la loterie 2 castiga. Găsiți probabilitatea ca din cinci bilete luate la întâmplare, unul să fie câștigător.

1. Se aruncă trei zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor aruncate să fie mai mare decât 15.

1. Cuvântul „PERIMETRU” este format din cărți, fiecare având o literă scrisă pe el. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase să formeze cuvântul: a) PERIMETRU; b) CONTORUL.

1. O urna contine 5 bile negre si 7 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:
1. 4 bile albe;
2. mai puțin de 2 bile albe;
3. cel puțin o bilă neagră.

1. Probabilitatea apariției unui eveniment Aîntr-o singură încercare este egal cu 0,55. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
1. eveniment A va apărea de 3 ori într-o serie de 5 provocări;
2. eveniment A va apărea de nu mai puțin de 130 și de cel mult 200 de ori într-o serie de 300 de încercări.

1. Probabilitatea de spargere a unei conserve de conserve este de 0,0005. Găsiți probabilitatea ca dintre 2000 de conserve, două să aibă o scurgere.

1. Prima urnă conține 4 bile albe și 8 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 4 negre. Două bile sunt extrase aleatoriu din prima urnă și trei bile sunt extrase aleatoriu din a doua urnă. Găsiți probabilitatea ca toate bilele extrase să aibă aceeași culoare.

1. Dintre piesele care sosesc pentru asamblare, 0,1% sunt defecte de la prima mașină, 0,2% de la a doua, 0,25% de la a treia și 0,5% de la a patra. Raportul de productivitate al mașinii este respectiv 4:3:2:1. Partea luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca piesa să fi fost făcută la prima mașină.

1. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Calculați așteptările și varianța sa matematică.

1. Un electrician are trei becuri, fiecare dintre ele având un defect cu o probabilitate de 0,1.Becurile sunt înșurubate în priză și curentul este pornit. Când curentul este pornit, becul defect se arde imediat și este înlocuit cu altul. Găsiți legea distribuției, așteptarea matematică și dispersia numărului de becuri testate.

1. Probabilitatea de a lovi o țintă este de 0,3 pentru fiecare dintre cele 900 de lovituri independente. Folosind inegalitatea lui Cebyshev, estimați probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin 240 de ori și de cel mult 300 de ori.

1. La o centrală telefonică are loc o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 800 de conexiuni să apară următoarele:
1. cel puțin trei conexiuni incorecte;
2. mai mult de patru conexiuni incorecte.

1. Variabila aleatoare este specificată de funcția de densitate de distribuție:

Aflați funcția de distribuție a variabilei aleatoare X. Desenați grafice ale funcțiilor și . Calculați așteptările matematice, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Variabila aleatoare este specificată de funcția de distribuție:

1. După probă A rezolva urmatoarele probleme:
1. creați o serie de variații;
2. calculați frecvențele relative și acumulate;
3. intocmeste funcţie empirică distribuție și construiți graficul acesteia;
4. calculați caracteristicile numerice ale seriei de variații:

· media eșantionului;

· varianța eșantionului;

abaterea standard a probei;

· mod și mediană;

Proba A: 4 7 6 3 3 4

1. Folosind proba B, rezolvați următoarele probleme:
1. creați o serie de variații grupate;
2. construiți o histogramă și un poligon de frecvență;
3. calculați caracteristicile numerice ale seriei de variații:

· media eșantionului;

· varianța eșantionului;

abaterea standard a probei;

· mod și mediană;

Proba B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opțiunea 19.

1. La șantier lucrează 16 femei și 5 bărbați. 3 persoane au fost selectate la întâmplare folosind numerele lor de personal. Găsiți probabilitatea ca toți oamenii selectați să fie bărbați.

2. Se aruncă patru monede. Găsiți probabilitatea ca doar două monede să aibă o „stemă”.

3. Cuvântul „PSIHOLOGIE” este format din cartonașe, fiecare având scrisă o literă pe ea. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase să formeze un cuvânt: a) PSIHOLOGIE; b) PERSONALUL.

4. Urna conține 6 bile negre și 7 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:

A. 3 bile albe;

b. mai puțin de 3 bile albe;

c. cel putin o bila alba.

5. Probabilitatea producerii unui eveniment Aîntr-o singură încercare este egal cu 0,5. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:

A. eveniment A apare de 3 ori într-o serie de 5 studii independente;

b. eveniment A va apărea de cel puțin 30 și nu mai mult de 40 de ori într-o serie de 50 de încercări.

6. Există 100 de mașini de aceeași putere, care funcționează independent unele de altele în același mod, în care unitatea lor este pornită timp de 0,8 ore de lucru. Care este probabilitatea ca la un moment dat să fie pornite de la 70 la 86 de mașini?

7. Prima urna contine 4 bile albe si 7 negre, iar a doua urna contine 8 bile albe si 3 negre. 4 bile sunt extrase aleatoriu din prima urna si 1 bile din a doua. Găsiți probabilitatea ca printre bilele extrase să fie doar 4 bile negre.

8. Showroom-ul de vânzări auto primește zilnic mașini de trei mărci în volume: „Moskvich” – 40%; "Oka" - 20%; „Volga” - 40% din toate mașinile importate. Dintre mașinile Moskvich, 0,5% au un dispozitiv antifurt, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Aflați probabilitatea ca mașina luată la inspecție să aibă un dispozitiv antifurt.

9. Numerează și sunt alese la întâmplare pe segment. Aflați probabilitatea ca aceste numere să satisfacă inegalitățile.

10. Este dată legea distribuţiei unei variabile aleatoare X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X; sens F(2); probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valori din intervalul . Construiți un poligon de distribuție.

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește mărime variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt indicate cu majuscule alfabet latin(X, Y, Z), iar valorile acestora sunt indicate cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatorie discretă este o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) prin utilizarea funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi specificată grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoști unul sau mai multe numere care reflectă cel mai mult caracteristici importante legea distributiei. Acesta poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2)− 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble, 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de condițiile problemei, este posibil următoarele valori variabilă aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 – (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Să prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Să aflăm așteptarea matematică a valorii X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X = (numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 = 0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 = 1 (un element a eșuat), x 3 = 2 ( două elemente au eșuat) și x 4 =3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale, de aceea este aplicabilă formula lui Bernoulli . Având în vedere că, conform condiției, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P3(1) = C31p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită a lui X are forma:

Graficăm valorile posibile ale lui x i de-a lungul axei absciselor și probabilitățile corespunzătoare p i de-a lungul axei ordonatelor. Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Prin conectarea acestor puncte cu segmente de linie dreaptă, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Să găsim funcția de distribuție F(x) = Р(Х

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = Р(Х<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este de încredere.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianța D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

să studieze tema „Variabile aleatorii” de către studenții Facultății de Contabilitate pentru Educație prin Corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Variabile aleatoare

Variabile aleatoare discrete și continue

Unul dintre conceptele principale din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatorie . Variabilă aleatorie este o cantitate care, în urma testării, ia doar una dintre numeroasele sale valori posibile și nu se știe dinainte care dintre ele.

Există variabile aleatorii discretă și continuă . Variabilă aleatorie discretă (DRV) este o variabilă aleatorie care poate lua un număr finit de valori izolate unele de altele, adică dacă valorile posibile ale acestei cantități pot fi recalculate. Variabilă aleatoare continuă (CNV) este o variabilă aleatorie, toate valorile posibile ale cărora umplu complet un anumit interval al liniei numerice.

Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare sunt indicate prin litere mici corespunzătoare.

Record
înseamnă „probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua o valoare de 5, egală cu 0,28.”

Exemplul 1 . Zarurile se aruncă o dată. În acest caz, pot apărea numere de la 1 la 6, indicând numărul de puncte. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte aruncate). Această variabilă aleatoare ca rezultat al testului poate lua doar una dintre cele șase valori: 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Prin urmare, variabila aleatoare X există DSV.

Exemplul 2 . Când o piatră este aruncată, ea parcurge o anumită distanță. Să notăm variabila aleatoare X=(distanta de zbor de piatra). Această variabilă aleatoare poate lua orice valoare dintr-un anumit interval, dar numai una. Prin urmare, variabila aleatoare X există NSV.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

O variabilă aleatorie discretă este caracterizată de valorile pe care le poate lua și de probabilitățile cu care sunt luate aceste valori. Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile lor corespunzătoare legea distribuției unei variabile aleatoare discrete .

Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile
variabilă aleatorie Xși probabilități
apariția acestor valori, atunci se crede că legea de distribuție a DSV X este cunoscut și poate fi scris sub formă de tabel:

Legea distribuției DSV poate fi reprezentată grafic dacă punctele sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular
,
, …,
și leagă-le cu segmente de linie dreaptă. Figura rezultată se numește poligon de distribuție.

Exemplul 3 . Cerealele destinate curățării conțin 10% buruieni. 4 boabe au fost selectate la întâmplare. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de buruieni dintre cele patru selectate). Construiți legea distribuției DSV Xși poligonul de distribuție.

Soluţie . Conform condițiilor exemplu. Apoi:

Să notăm legea de distribuție a DSV X sub forma unui tabel și să construim un poligon de distribuție:

Așteptarea unei variabile aleatoare discrete

Cele mai importante proprietăți ale unei variabile aleatoare discrete sunt descrise de caracteristicile sale. Una dintre aceste caracteristici este valorea estimata variabilă aleatorie.

Să fie cunoscută legea distribuției DSV X:

Așteptări matematice DSV X este suma produselor fiecărei valori a acestei mărimi și probabilitatea corespunzătoare:
.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt aproximativ egale cu media aritmetică a tuturor valorilor sale. Prin urmare, în problemele practice, valoarea medie a acestei variabile aleatoare este adesea luată ca așteptare matematică.

Exemplu 8 . Trăgătorul marchează 4, 8, 9 și 10 puncte cu probabilități de 0,1, 0,45, 0,3 și 0,15. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte cu o singură lovitură.

Soluţie . Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte înscrise). Apoi . Astfel, numărul mediu așteptat de puncte marcate cu o singură lovitură este de 8,2, iar cu 10 lovituri - 82.

Proprietăți principale așteptările matematice sunt:

.

.

, Unde
,
.

.

, Unde XȘi Y sunt variabile aleatoare independente.

Diferență
numit deviere variabilă aleatorie X din așteptările sale matematice. Această diferență este o variabilă aleatorie și așteptarea sa matematică este zero, adică.
.

Varianta unei variabile aleatoare discrete

Pentru a caracteriza o variabilă aleatoare, pe lângă așteptarea matematică, folosim și dispersie , ceea ce face posibilă estimarea dispersiei (împrăștierii) valorilor unei variabile aleatorii în jurul așteptării sale matematice. Când se compară două variabile aleatoare omogene cu așteptări matematice egale, valoarea „cea mai bună” este considerată a fi cea care are o răspândire mai mică, adică mai puțină dispersie.

Varianta variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică: .

În problemele practice, se utilizează o formulă echivalentă pentru a calcula varianța.

Principalele proprietăți ale dispersiei sunt:

.

Este dată o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. Găsiți probabilitatea lipsă și reprezentați grafic funcția de distribuție. Calculați așteptarea și varianța matematică a acestei mărimi.

Variabila aleatoare X ia doar patru valori: -4, -3, 1 și 2. Ia fiecare dintre aceste valori cu o anumită probabilitate. Deoarece suma tuturor probabilităților trebuie să fie egală cu 1, probabilitatea lipsă este egală cu:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Să compunem funcția de distribuție a variabilei aleatoare X. Se știe că funcția de distribuție , atunci:

Prin urmare,

Să diagramăm funcția F(X) .

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este egală cu suma produselor valorii variabilei aleatoare și probabilitatea corespunzătoare, i.e.

Găsim varianța unei variabile aleatoare discrete folosind formula:

APLICARE

Elemente de combinatorie Aici: - factorial al unui număr

Acțiuni pe evenimente Un eveniment este orice fapt care se poate întâmpla sau nu ca urmare a unei experiențe. Îmbinarea evenimentelor AȘi ÎN- acest eveniment CU care constă într-o apariţie sau eveniment A, sau evenimente ÎN, sau ambele evenimente simultan. Desemnare: ; Încrucișarea evenimentelor AȘi ÎN- acest eveniment CU, care constă în producerea simultană a ambelor evenimente. Desemnare: ;

Definiția clasică a probabilității Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de experimente , favorabil pentru producerea unui eveniment A, la numărul total de experimente :

Formula de multiplicare a probabilității Probabilitatea evenimentului poate fi găsit folosind formula: - probabilitatea evenimentului A, - probabilitatea evenimentului ÎN, - probabilitatea evenimentului ÎN cu condiţia ca evenimentul A sa întâmplat deja. Dacă evenimentele A și B sunt independente (apariția unuia nu afectează apariția celuilalt), atunci probabilitatea evenimentului este egală cu:

Formula de adunare a probabilităților Probabilitatea evenimentului poate fi găsit folosind formula: Probabilitatea evenimentului A, Probabilitatea evenimentului ÎN, - probabilitatea de apariție concomitentă a evenimentelor AȘi ÎN. Dacă evenimentele A și B sunt incompatibile (nu pot avea loc simultan), atunci probabilitatea evenimentului este egală cu:

Formula probabilității totale Lasă evenimentul A se poate întâmpla simultan cu unul dintre evenimente , , …, - să le numim ipoteze. De asemenea stiut - probabilitatea de executare i-a ipoteza si - probabilitatea apariţiei evenimentului A la executare i-a ipoteza. Apoi probabilitatea evenimentului A poate fi găsită prin formula:

Schema Bernoulli Să fie n teste independente. Probabilitatea de apariție (succes) a unui eveniment Aîn fiecare dintre ele este constantă și egală p, probabilitatea de eșec (adică evenimentul nu are loc A) q = 1 - p. Apoi probabilitatea de apariție k succes in n testele pot fi găsite folosind formula lui Bernoulli: Cel mai probabil numărul de succese în schema Bernoulli, acesta este numărul de apariții ale unui anumit eveniment care are cea mai mare probabilitate. Poate fi găsit folosind formula:

Variabile aleatoare continuu discret (de exemplu, numărul de fete dintr-o familie cu 5 copii) (de exemplu, timpul în care fierbătorul funcționează corect) Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare discrete Fie o cantitate discretă dată de o serie de distribuție: X R , , …, - valorile unei variabile aleatoare X; , , …, sunt valorile de probabilitate corespunzătoare. Funcția de distribuție Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este o funcţie definită pe întreaga dreaptă numerică şi egală cu probabilitatea ca X vor fi mai puține X:

Întrebări pentru examen

Eveniment. Operații pe evenimente aleatorii.

Conceptul de probabilitate a unui eveniment.

Reguli de adunare și înmulțire a probabilităților. Probabilități condiționate.

Formula probabilității totale. Formula lui Bayes.

Schema Bernoulli.

Variabila aleatorie, funcția sa de distribuție și seria de distribuție.

Proprietățile de bază ale funcției de distribuție.

Valorea estimata. Proprietățile așteptărilor matematice.

Dispersia. Proprietăți de dispersie.

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare unidimensionale.

Tipuri de distribuții: uniformă, exponențială, normală, binomială și distribuție Poisson.

Teoreme locale și integrale ale lui Moivre-Laplace.

Legea și funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare.

Densitatea de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare.

Legile condiționale ale distribuției, așteptările matematice condiționate.

Variabile aleatoare dependente și independente. Coeficient de corelație.

Probă. Prelucrarea probei. Poligon și histogramă de frecvență. Funcția de distribuție empirică.

Conceptul de estimare a parametrilor de distribuție. Cerințe pentru evaluare. Interval de încredere. Construirea intervalelor de estimare a așteptărilor matematice și a abaterii standard.

Ipoteze statistice. Criterii de consimțământ.