복소수를 표기하는 대수적 형태.................................................................. ......... ................... | |||
복소수의 평면.......................................................... ...................... ............................ ............... ... | |||
복소수 켤레수.......................................................................... .................................................................... .......................... | |||
대수적 형태의 복소수 연산.................................................................. ......... ... | |||
복소수의 덧셈....................................................................... ........... ................................................. ................. | |||
복소수 빼기.......................................................................... .................................................................... ..................... | |||
복소수의 곱셈....................................................................... ..................................................... ........... | |||
복소수의 나눗셈....................................................................... .......... ................................................. ................ ... | |||
복소수를 표기하는 삼각법 형태.................................................................. ......... .......... | |||
삼각함수 형태의 복소수 연산.................................................................. ......... | |||
삼각함수 형식의 복소수 곱하기.................................................................. ........ | |||
삼각함수 형식으로 복소수 나누기.................................................................. ........ ... | |||
복소수를 양의 정수 거듭제곱으로 올리기................................................................ ........... | |||
복소수에서 양의 정수 차수의 근 추출.................................................. | |||
복소수를 유리수로 거듭제곱하기................................................................ ................. ..... | |||
복잡한 시리즈.......................................................... ... ................................................... ......... ................... | |||
복소수 계열.......................................................................... .................................................................... .......................... | |||
복소평면의 멱급수.......................................................... ........ ............................ | |||
양면의 파워 시리즈복소평면에서.................................................. ..... | |||
복소수 변수의 기능.......................................................... ....... .................................................. | |||
기본 기본 기능.................................................................. .......... ................................................. . | |||
오일러의 공식.................................................................. ... ................................................... ......... ................... | |||
복소수를 표현하는 지수형.................................................................. ...................... . | |||
삼각함수와 쌍곡선 함수의 관계.................................................. | |||
로그 함수........................................................... ... ................................................... ......... ... | |||
일반 지수 함수와 일반 검정력 함수.................................................................. ......................... | |||
복소변수의 함수 미분................................................................ ......... ... | |||
코시-리만 조건..................................................... ..... ............................................ ........... ............ | |||
도함수 계산 공식.................................................................. ....... ................................... | |||
미분 연산의 속성.................................................. ...................... ............................ ... | |||
분석 함수의 실수부와 허수부의 속성.................................................. | |||
실수 또는 허수로부터 복소 변수의 함수 재구성 |
|||
방법 1번. 곡선 적분 사용.................................................. ...... ....... | |||
방법 번호 2. Cauchy-Riemann 조건의 직접 적용.................................................. | |||
방법 번호 3. 구하는 함수의 도함수를 통해.......................................................... ........ ........ | |||
복소변수의 함수 통합................................................................ ......... .......... | |||
코시 적분 공식..................................................................... ..... ............................................ ........... ... | |||
Taylor 및 Laurent 시리즈의 기능 확장.................................................. .......... ........................... | |||
복소변수 함수의 영점과 특이점.................................................................. ............. ..... | |||
복소수 변수 함수의 0................................................................. .......... .......................... | |||
복소변수 함수의 고립된 특이점.................................................. | |||
14.3 복소변수 함수의 특이점으로서의 무한대 점
공제........................................................... ....... .................................................. ............. ..................................... ... | |||
최종점에서의 감점.......................................................... ...... ............................................ ............ ...... | |||
무한대 점에서 함수의 잔차.................................................. ............................ | |||
잔차를 사용한 적분 계산.................................................................. ....... ............................ | |||
자가 테스트 질문................................................................. ..................................................... ........................... ....... | |||
문학................................................. ................................................. ....... ................................... | |||
주제 색인................................................................. ................................................. ...... .............. | |||
머리말
시험이나 모듈 인증의 이론 및 실무 부분을 준비할 때 시간과 노력을 올바르게 분배하는 것은 매우 어렵습니다. 특히 세션 중에는 항상 시간이 충분하지 않기 때문입니다. 그리고 실습에서 알 수 있듯이 모든 사람이 이에 대처할 수 있는 것은 아닙니다. 그 결과, 시험 중에 일부 학생들은 문제를 올바르게 풀었지만 가장 간단한 이론적 질문에 답하기가 어려운 반면, 다른 학생들은 정리를 공식화할 수 있지만 적용할 수는 없습니다.
"복소 변수 함수 이론"(TCV) 과정의 시험 준비를 위한 이러한 방법론적 권장 사항은 이러한 모순을 해결하고 이론과 이론의 동시 반복을 보장하려는 시도입니다. 실용적인 소재강의. "실천 없는 이론은 죽고, 이론 없는 실천은 맹목이다"라는 원칙에 따라 정의 및 공식화 수준에서 과정의 이론적 조항뿐만 아니라 주어진 각 이론적 입장의 적용을 보여주는 예도 포함하고 있습니다. 그것의 암기와 이해.
제안된 목적 방법론적 권장사항– 학생이 시험을 준비하도록 돕습니다. 기본 레벨. 즉, TFKP 과정의 수업에서 사용되는 주요 사항과 수행 시 필요한 내용을 포함하는 확장된 실무 참고서를 편집했습니다. 숙제및 제어 이벤트 준비. 게다가 독립적 인 일학생들의 경우, 이 전자 교육 출판물은 전자 보드를 사용하여 대화형 형태로 수업을 진행하거나 원격 학습 시스템에 배치할 때 사용할 수 있습니다.
이 작업은 교과서나 강의 노트를 대체하지 않습니다. 을 위한 심층 연구자료에 대해서는 MSTU에 게시된 관련 섹션을 참조하는 것이 좋습니다. N.E. 바우만 기본교과서.
매뉴얼 마지막에는 추천 문헌 목록과 본문에 강조 표시된 모든 내용이 포함된 주제 색인이 있습니다. 굵은 이탤릭체자귀. 색인은 이러한 용어가 엄격하게 정의되거나 설명되고 해당 용어의 사용을 설명하기 위해 예제가 제공되는 섹션에 대한 하이퍼링크로 구성됩니다.
이 매뉴얼은 MSTU 모든 학부의 2학년 학생들을 대상으로 작성되었습니다. N.E. 바우만.
1. 복소수 작성의 대수적 형태
z = x + iy 형식의 표기. 여기서 x,y는 실수이고, i는 허수 단위입니다(예: i 2 = − 1).
을 복소수 z를 쓰는 대수적 형태라고 합니다. 이 경우, x를 복소수의 실수부라고 하며 Rez(x = Re z)로 표시하고, y를 복소수의 허수부라고 하며 Im z(y = Im z)로 표시한다.
예. 복소수 z = 4− 3i는 실수부 Rez = 4와 허수부 Imz = − 3을 갖습니다.
2. 복소수 평면
안에 복소 변수의 함수 이론이 고려됩니다.복소수 평면, 이는 복소수 z, w 등을 나타내는 문자로 표시되거나 이를 사용하여 표시됩니다.
복소평면의 수평축은 다음과 같다. 실제 축, 실수 z = x + 0i = x가 그 위에 배치됩니다.
복소 평면의 수직 축을 허수 축이라고 합니다.
3. 복소공액수
숫자 z = x + iy 및 z = x − iy가 호출됩니다. 복합 공액체. 복소 평면에서는 실수 축에 대해 대칭인 점에 해당합니다.
4. 대수 형식의 복소수 연산
4.1 복소수의 덧셈
두 복소수의 합 | z 1= x 1+ iy 1 | 그리고 z 2 = x 2 + iy 2를 복소수라고 합니다. |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | 작업 | 덧셈 |
||||||||||
복소수는 대수적 이항식의 덧셈 연산과 유사합니다. | |||||||||||||
예. 두 복소수 z 1 = 3+ 7i 및 z 2의 합 | = −1 +2 나는 | 복소수일 것이다 |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
확실히, | 총액 | 결합한 | ~이다 | 진짜 | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 복소수의 뺄셈 | |||||||||||||
두 복소수의 차이 z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | ~라고 불리는 | 포괄적인 |
||||||||||
숫자 z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
예. 두 복소수의 차이 | z 1 =3 −4 나는 | 그리고 z 2 | = −1 +2 나는 | 포괄적인 내용이 있을 것입니다. |
|||||||||
숫자 z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
차이로 | 복합 공액체 | ~이다 | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 복소수의 곱셈 | |||||||||||||
두 복소수의 곱 | z 1= x 1+ iy 1 | 그리고 z 2= x 2+ iy 2 | 콤플렉스라고 불리는 |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
따라서 복소수 곱셈 연산은 i 2 = − 1이라는 사실을 고려하여 대수 이항식 곱셈 연산과 유사합니다.
복소수는 일반적으로 로 표시되는 실수 집합의 확장입니다. 모든 복소수는 공식 합계로 표시될 수 있습니다. 여기서 및 는 실수이고 는 허수 단위입니다.
, 의 형태로 복소수를 쓰는 것을 복소수의 대수적 형태라고 합니다.
복소수의 속성. 복소수의 기하학적 해석.
대수적 형태로 주어진 복소수에 대한 동작:
복소수에 대해 산술 연산이 수행되는 규칙을 고려해 보겠습니다.
두 개의 복소수 α = a + bi와 β = c + di가 주어지면
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (열하나)
이는 실수의 두 순서쌍의 덧셈과 뺄셈 연산의 정의에서 따릅니다(공식 (1)과 (3) 참조). 우리는 복소수를 더하고 빼는 규칙을 받았습니다. 두 개의 복소수를 더하려면 실수 부분과 그에 따른 허수 부분을 별도로 더해야 합니다. 하나의 복소수에서 다른 복소수를 빼려면 실수부와 허수부를 각각 빼야 합니다.
숫자 – α = – a – bi는 숫자 α = a + bi의 반대라고 합니다. 이 두 숫자의 합은 0입니다. - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
복소수의 곱셈 규칙을 얻기 위해 공식 (6), 즉 i2 = -1을 사용합니다. 이 관계를 고려하면 (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, 즉
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
이 공식은 실수의 순서쌍의 곱셈을 결정하는 공식 (2)에 해당합니다.
두 복소공액수의 합과 곱은 실수라는 점에 유의하세요. 실제로 α = a + bi, = a – bi이면 α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, 즉
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
두 개의 복소수를 대수적 형태로 나눌 때, 몫도 같은 유형의 숫자로 표현된다는 것을 예상해야 합니다. 즉, α/β = u + vi, 여기서 u, v R. 복소수 나누기 규칙을 유도해 보겠습니다. . 숫자 α = a + bi, β = c + di가 주어지고 β ≠ 0, 즉 c2 + d2 ≠ 0이라고 합시다. 마지막 부등식은 c와 d가 동시에 사라지지 않는다는 것을 의미합니다(c = 0인 경우는 제외됩니다) , d = 0). 공식 (12)와 두 번째 등식 (13)을 적용하면 다음을 찾을 수 있습니다.
따라서 두 복소수의 몫은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
식 (4)에 해당합니다.
숫자 β = c + di에 대한 결과 공식을 사용하여 역수 β-1 = 1/β를 찾을 수 있습니다. 식 (14)에서 a = 1, b = 0이라고 가정하면,
이 공식은 0이 아닌 주어진 복소수의 역수를 결정합니다. 이 숫자도 복잡합니다.
예: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
대수적 형태의 복소수에 대한 연산.
55. 복소수의 인수. 복소수 작성의 삼각법 형식(미분)입니다.
Arg.com.번호. – 실제 X축의 양의 방향과 주어진 숫자를 나타내는 벡터 사이.
트라이곤 공식. 숫자: ,
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복소수의 대수적 형태.
복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈.
우리는 이미 복소수의 대수적 형태에 대해 알게 되었습니다. 이것은 복소수의 대수적 형태입니다. 왜 우리는 형식에 대해 이야기하고 있습니까? 사실은 다음 단락에서 논의될 복소수의 삼각법 및 지수 형식도 있다는 것입니다.
복소수 연산은 특별히 어렵지 않으며 일반 대수학과 크게 다르지 않습니다.
복소수의 덧셈
실시예 1
두 개의 복소수를 더하고,
두 개의 복소수를 더하려면 실수부와 허수부를 더해야 합니다.
간단하지 않나요? 동작이 너무 명확해서 추가 설명이 필요하지 않습니다.
그래서 간단한 방법으로원하는 개수의 항의 합을 찾을 수 있습니다. 실수 부분의 합과 허수 부분의 합을 구합니다.
복소수의 경우 첫 번째 클래스 규칙이 유효합니다. 
– 용어를 재배열해도 합계는 변경되지 않습니다.
복소수 빼기
실시예 2
복소수와 , if 의 차이점을 찾아보세요.
동작은 덧셈과 유사하며 유일한 특이점은 빼기를 괄호 안에 넣어야 하며 부호를 변경하여 표준 방식으로 괄호를 열어야 한다는 것입니다.
결과는 혼동되어서는 안 됩니다. 결과 숫자는 세 부분이 아닌 두 부분으로 구성됩니다. 단순히 실제 부분은 화합물입니다: . 명확성을 위해 답변을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
두 번째 차이점을 계산해 보겠습니다.
여기서 실수 부분도 복합적입니다.
과소평가를 피하기 위해 나는 짧은 예"나쁜" 가상 부분: . 여기서는 더 이상 괄호 없이는 할 수 없습니다.
복소수 곱하기
이제 여러분에게 유명한 평등을 소개할 때가 왔습니다.
실시예 3
복소수의 곱을 구하고,
당연히 작업은 다음과 같이 작성되어야 합니다.
이것은 무엇을 암시하는가? 다항식의 곱셈 규칙에 따라 괄호를 여는 것이 좋습니다. 그것이 당신이 해야 할 일입니다! 모든 대수 연산은 여러분에게 친숙합니다. 가장 중요한 것은 다음을 기억하는 것입니다. 그리고 조심해.
다항식의 곱셈에 대한 학교 규칙을 반복하겠습니다. 다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.
자세히 적어 보겠습니다.
모든 사람에게 그 사실이 분명해졌기를 바랍니다.
주의, 그리고 다시 주의, 대부분의 경우 표지판에서 실수가 발생합니다.
합과 마찬가지로 복소수의 곱도 교환 가능합니다. 즉, 등식이 참입니다.
안에 교육 문학인터넷에서는 복소수의 곱을 계산하는 특별한 공식을 쉽게 찾을 수 있습니다. 원한다면 사용하십시오. 그러나 다항식을 곱하는 접근 방식이 더 보편적이고 더 명확한 것 같습니다. 나는 공식을 제시하지 않을 것입니다. 이 경우-이것은 톱밥으로 머리를 채우는 것입니다.
복소수의 나눗셈
실시예 4
복소수가 주어지면 . 몫을 찾으세요.
몫을 만들어 봅시다:
숫자 나누기가 수행됩니다. 분모와 분자에 분모의 켤레 표현을 곱하여.
턱수염 공식을 기억하고 분모를 살펴보겠습니다. 분모에는 이미 가 있으므로 이 경우의 공액 표현은 , 즉
규칙에 따르면 분모에 를 곱해야 하며, 아무것도 변경되지 않도록 분자에 동일한 숫자를 곱해야 합니다.
자세히 적어 보겠습니다.
저는 "좋은" 예를 선택했습니다. "처음부터" 두 개의 숫자를 취하면 나눗셈의 결과로 거의 항상 .
어떤 경우에는 분수를 나누기 전에 분수를 단순화하는 것이 좋습니다. 예를 들어 숫자의 몫을 고려합니다. 나누기 전에 불필요한 빼기를 제거합니다. 분자와 분모에서 괄호에서 빼기를 제거하고 이러한 빼기를 줄입니다. 
. 문제를 해결하고 싶은 사람들을 위한 정답은 다음과 같습니다.
드물지만 다음 작업이 발생합니다.
실시예 5
복소수가 제공됩니다. 이 숫자를 대수적 형식(즉, 형식)으로 쓰십시오.
기술은 동일합니다. 분모와 분자에 분모에 대한 공액 표현식을 곱합니다. 다시 공식을 살펴보겠습니다. 분모에는 이미 가 포함되어 있으므로 분모와 분자에 공액 표현식, 즉 다음을 곱해야 합니다.
실제로 복소수를 사용하여 많은 작업을 수행해야 하는 정교한 예를 쉽게 제공할 수 있습니다. 당황할 필요 없음: 조심하세요, 일반적인 대수 절차인 대수학의 규칙을 따르고 다음을 기억하십시오.
복소수의 삼각법 및 지수 형식
이 섹션에서는 복소수의 삼각법 형식에 대해 자세히 설명합니다. 실증 형식은 실제 작업에서는 훨씬 덜 일반적입니다. 가능하다면 삼각법 표를 다운로드하고 인쇄하는 것이 좋습니다. 방법론적 자료페이지에서 확인하실 수 있습니다 수학 공식그리고 테이블. 테이블이 없으면 멀리 갈 수 없습니다.
0을 제외한 모든 복소수는 삼각법 형식으로 쓸 수 있습니다. 
, 어디야? 복소수의 계수, ㅏ - 복소수 인수. 도망치지 말자. 모든 것이 보이는 것보다 간단하다.
복소 평면에 숫자를 표현해 보겠습니다. 설명의 명확성과 단순성을 위해 첫 번째 좌표 사분면에 배치하겠습니다. 우리는 믿습니다:
복소수의 계수는 원점에서 복소 평면의 해당 점까지의 거리입니다. 간단히 말해서, 모듈은 길이입니다그림에서 빨간색으로 표시된 반경 벡터입니다.
복소수의 계수는 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.
피타고라스 정리를 사용하면 복소수의 계수를 찾는 공식을 쉽게 도출할 수 있습니다. 이 공식은 맞습니다 어떠한 것도"a"와 "be"를 의미합니다.
메모: 복소수의 모듈러스는 개념을 일반화한 것입니다. 실수의 계수, 한 점에서 원점까지의 거리입니다.
복소수의 인수~라고 불리는 모서리~ 사이 양의 반축실제 축과 원점에서 해당 지점까지 그려진 반경 벡터입니다. 인수가 정의되지 않았습니다. 단수형: .
문제의 원리는 실제로 다음과 유사합니다. 극좌표, 여기서 극 반경과 극 각도는 점을 고유하게 정의합니다.
복소수의 인수는 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.
기하학적 고려 사항을 통해 인수를 찾기 위한 다음 공식을 얻습니다.
. 주목!이 공식은 오른쪽 절반 평면에서만 작동합니다! 복소수가 첫 번째 또는 네 번째 좌표 사분면에 없으면 공식이 약간 달라집니다. 우리는 또한 이러한 사례를 분석할 것입니다.
하지만 먼저 복소수가 좌표축에 위치하는 경우의 가장 간단한 예를 살펴보겠습니다.
실시예 7
그림을 그려보자:
실제로 작업은 구두입니다. 명확성을 위해 복소수의 삼각법 형식을 다시 작성하겠습니다. 
모듈은 – 길이(항상 음수가 아님) 인수는 다음과 같습니다. 모서리.
1) 숫자를 삼각함수 형태로 표현해보자. 모듈러스와 인수를 찾아봅시다. . 공식을 사용한 공식 계산: .
(숫자는 실제 양의 반축에 직접적으로 위치함) 것이 분명합니다. 따라서 삼각법 형식의 숫자는 다음과 같습니다. 
.
역방향 확인 작업은 다음과 같이 명확합니다.
2) 숫자를 삼각함수 형태로 표현해보자. 모듈러스와 인수를 찾아봅시다. . 공식을 사용한 공식 계산: .
당연히(또는 90도). 도면에서는 모서리가 빨간색으로 표시되어 있습니다. 따라서 삼각법 형식의 숫자는 다음과 같습니다. 
.
삼각 함수 값 테이블을 사용하면 숫자의 대수 형식을 쉽게 얻을 수 있습니다(검사도 수행함).
3) 숫자를 삼각함수 형태로 표현해보자. 모듈러스와 인수를 찾아봅시다. . 공식을 사용한 공식 계산: .
당연히(또는 180도). 도면에서 모서리는 파란색으로 표시됩니다. 따라서 삼각법 형식의 숫자는 다음과 같습니다. 
.
시험:
4) 그리고 네 번째 흥미로운 사례입니다. 숫자를 삼각함수 형태로 표현해 봅시다. 모듈러스와 인수를 찾아봅시다. . 공식을 사용한 공식 계산: .
인수는 두 가지 방법으로 작성할 수 있습니다. 첫 번째 방법: (270도), 그에 따라 다음과 같습니다. 
. 시험:
그러나 다음 규칙이 더 표준적입니다. 각도가 180도보다 큰 경우, 마이너스 기호와 각도의 반대 방향("스크롤")으로 작성됩니다. (마이너스 90도) 각도는 그림에 표시됩니다. 녹색. 보기 쉽고 같은 각도입니다.
따라서 항목은 다음 형식을 취합니다. 
주목!어떤 경우에도 코사인의 패리티, 사인의 홀수를 사용하고 표기법을 더욱 "단순화"해서는 안 됩니다.
그건 그렇고, 기억해두면 유용합니다 모습삼각함수와 역삼각함수의 속성, 참고 자료는 페이지 마지막 단락에 있습니다. 기본 기본 함수의 그래프 및 속성. 그리고 복소수를 훨씬 더 쉽게 배울 수 있습니다!
가장 간단한 예제의 디자인에서는 다음과 같이 작성해야 합니다. "모듈이 동일한 것이 분명합니다... 인수가 ...과 동일한 것이 분명합니다." 이것은 정말 명백하고 말로 해결하기 쉽습니다.
더 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다. 이미 언급했듯이 모듈에는 문제가 없으므로 항상 공식을 사용해야 합니다. 그러나 인수를 찾는 공식은 다르며 숫자가 어느 좌표 분기에 있는지에 따라 다릅니다. 이 경우 세 가지 옵션이 가능합니다(노트북에 복사해 두는 것이 유용합니다).
1) (첫 번째 및 네 번째 좌표 1/4 또는 오른쪽 절반 평면)인 경우 공식을 사용하여 인수를 찾아야 합니다.
2) (두 번째 좌표 분기)인 경우 다음 공식을 사용하여 인수를 찾아야 합니다. 
.
3) (세 번째 좌표 분기)인 경우 다음 공식을 사용하여 인수를 찾아야 합니다. 
.
실시예 8
복소수를 삼각법 형태로 표현합니다: , , , .
기성 공식이 있으므로 도면을 완성할 필요는 없습니다. 그러나 한 가지 점이 있습니다. 숫자를 삼각법 형식으로 표현하라는 요청을 받으면 그래도 그림을 그리는 것이 낫습니다. 사실 그림이 없는 해결책은 교사가 거부하는 경우가 많으며, 그림이 없으면 마이너스 및 실패의 심각한 이유가 됩니다.
아, 저는 지난 100년 동안 손으로 아무것도 그려본 적이 없습니다. 여기 있습니다.
늘 그렇듯 좀 더러워졌네요 =)
나는에서 발표 할 것이다 복잡한 형태숫자와 , 첫 번째와 세 번째 숫자는 독립적인 결정을 위한 것입니다.
숫자를 삼각함수 형태로 표현해 봅시다. 모듈러스와 인수를 찾아봅시다.
강의 계획.
1. 조직적인 순간.
2. 자료 발표.
3. 숙제.
4. 수업을 요약합니다.
수업 중에는
I. 조직적 순간.
II. 자료 발표.
동기 부여.
실수 집합의 확장은 실수에 새로운 숫자(허수)를 추가하는 것으로 구성됩니다. 이러한 숫자의 도입은 실수 집합에서 음수의 근을 추출하는 것이 불가능하기 때문입니다.
복소수의 개념 소개.
실수를 보완하는 허수는 다음 형식으로 작성됩니다. 바이, 어디 나는 가상의 단위이고, 나는 2 = - 1.
이를 바탕으로 우리는 복소수의 다음과 같은 정의를 얻습니다.
정의. 복소수는 다음 형식의 표현입니다. a+bi, 어디 ㅏ그리고 비- 실수. 이 경우 다음 조건이 충족됩니다.
a) 두 개의 복소수 a 1 + b 1 나는그리고 a 2 + b 2 나는다음과 같은 경우에만 동일합니다. 1 = 2, b1 =b2.
b) 복소수의 덧셈은 다음 규칙에 따라 결정됩니다.
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) 복소수의 곱셈은 다음 규칙에 따라 결정됩니다.
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
복소수의 대수적 형태.
형식으로 복소수 쓰기 a+bi는 복소수의 대수적 형태라고 불립니다. 여기서 ㅏ– 실제 부분, 바이는 허수 부분이고, 비– 실수.
복소수 a+bi실수 부분과 허수 부분이 0이면 0과 같은 것으로 간주됩니다. a = b = 0
복소수 a+bi~에 b = 0와 일치하는 것으로 간주된다. 실수 ㅏ: a + 0i = a.
복소수 a+bi~에 a = 0순전히 상상이라고 불리며 다음과 같이 표시됩니다. 바이: 0 + 바이 = 바이.
두 개의 복소수 z = a + bi그리고 = a - bi, 허수부의 부호만 다른 를 켤레라고 합니다.
대수적 형태의 복소수에 대한 연산.
대수 형식의 복소수에 대해 다음 작업을 수행할 수 있습니다.
1) 추가.
정의. 복소수의 합 z 1 = a 1 + b 1 나는그리고 z 2 = a 2 + b 2 나는복소수라고 부른다 지, 실수 부분은 실수 부분의 합과 같습니다. z 1그리고 z 2, 허수부는 숫자의 허수부의 합입니다. z 1그리고 z 2, 그건 z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
숫자 z 1그리고 z 2용어라고 합니다.
복소수의 덧셈에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
1도. 교환성: z1 + z2 = z2 + z1.
2°. 연관성: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3°. 복소수 –a –bi복소수의 반대말이라고 함 z = a + bi. 복소수의 반대인 복소수 지, 표시 -지. 복소수의 합 지그리고 -지 0과 같음: z + (-z) = 0
예 1: 추가 수행 (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) 뺄셈.
정의.복소수에서 빼기 z 1복소수 z 2 지,무엇 지 + 지 2 = 지 1.
정리. 복소수 간의 차이는 존재하며 고유합니다.
예 2: 빼기 수행 (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) 곱셈.
정의. 복소수의 곱 z 1 =a 1 +b 1 나는그리고 z 2 =a 2 +b 2 나는복소수라고 부른다 지, 평등으로 정의됩니다. z = (a 1a 2 – b 1b 2) + (a 1b 2 + a 2b 1)i.
숫자 z 1그리고 z 2요인이라고 합니다.
복소수의 곱셈에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
1도. 교환성: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2°. 연관성: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3°. 덧셈에 대한 곱셈의 분포:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4°. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- 실수.
실제로 복소수의 곱셈은 합에 합을 곱하고 실수부와 허수부를 분리하는 규칙에 따라 수행됩니다.
다음 예에서는 복소수를 두 가지 방법, 즉 규칙에 따라 곱하는 방법과 합계에 합계를 곱하는 방법을 고려합니다.
예시 3: 곱셈을 해보세요 (2 + 3i) (5 – 7i).
1 방향. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )나는 = 31 + 나는.
방법 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) 분할.
정의. 복소수 나누기 z 1복소수로 z 2, 그러한 복소수를 찾는 것을 의미합니다. 지, 무엇 z · z 2 = z 1.
정리.복소수의 몫이 존재하며 다음과 같은 경우 고유합니다. z 2 ≠ 0 + 0i.
실제로 복소수의 몫은 분자와 분모에 분모의 켤레를 곱하여 구합니다.
허락하다 z 1 = a 1 + b 1 나는, z 2 = a 2 + b 2 나는, 그 다음에
.
다음 예에서는 분모에 켤레 수를 곱하는 공식과 곱셈 규칙을 사용하여 나눗셈을 수행합니다.
예 4. 몫 찾기 
.
5) 긍정적인 온전한 힘으로 키우는 것.
a) 허수 단위의 거듭제곱.
평등을 활용하다 나는 2 = -1, 허수 단위의 양의 정수 거듭제곱을 정의하는 것은 쉽습니다. 우리는:
나는 3 = 나는 2 나는 = -i,
나는 4 = 나는 2 나는 2 = 1,
나는 5 = 나는 4 나는 = 나는,
나는 6 = 나는 4 나는 2 = -1,
나는 7 = 나는 5 나는 2 = -i,
나는 8 = 나는 6 나는 2 = 1등.
이는 학위 값을 보여줍니다. 안에, 어디 N– 지표가 증가함에 따라 주기적으로 반복되는 양의 정수 4 .
그러므로 숫자를 높이려면 나양의 정수로 거듭제곱하려면 지수를 다음과 같이 나누어야 합니다. 4 그리고 빌드 나지수가 나눗셈의 나머지 부분과 같은 거듭제곱입니다.
예 5: 계산: (나는 36 + 나는 17) 나는 23.
나는 36 = (나는 4) 9 = 1 9 = 1,
나는 17 = 나는 4 × 4+1 = (i 4) 4 × 나는 = 1 · 나는 = i.
나는 23 = 나는 4 × 5+3 = (i 4) 5 × 나는 3 = 1 · 나는 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) 복소수를 양의 정수 거듭제곱으로 거듭제곱하는 것은 이항식을 해당 거듭제곱으로 거듭제곱하는 규칙에 따라 수행됩니다. 특별한 경우동일한 복소수 인자의 곱셈.
예 6: 계산: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
