한 변이 공통이고 다른 변이 동일한 직선 위에 놓여 있는 각도입니다(그림에서 각도 1과 2가 인접해 있음). 쌀. 예술에. 인접한 모서리... 위대한 소련 백과사전
인접한 모서리- 꼭지점과 한 변이 공통이고 나머지 두 변이 모두 같은 직선 위에 있는 각... 빅 폴리테크닉 백과사전
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인접각(ADJACENT ANGLES), 합이 180°인 두 각. 이러한 각 각도는 다른 각도를 전체 각도로 보완합니다. 과학 기술 백과사전
각도를 참조하세요. * * * 인접 코너 인접 코너, 각도 참조(각도 참조) ... 백과사전
- (인접한 각도) 공통 꼭지점과 공통 변을 갖는 것. 대부분 이 이름은 C. 각도를 의미하며, 다른 두 변은 꼭지점을 통해 그려진 하나의 직선의 반대 방향에 있습니다. 백과사전 F.A. 브록하우스와 I.A. 에브론
각도 보기... 자연 과학. 백과사전
두 개의 직선이 교차하여 한 쌍의 수직각을 만듭니다. 한 쌍은 각도 A와 B로 구성되고 다른 하나는 C와 D로 구성됩니다. 기하학에서 두 각도가 두 각도의 교차점에 의해 생성되면 수직이라고 부릅니다. Wikipedia
최대 90도까지 서로 보완하는 한 쌍의 보각 보완각은 최대 90도까지 서로 보완하는 한 쌍의 각도입니다. 두 개의 보각이 인접해 있는 경우(즉, 공통 꼭지점이 있고 분리만 되어 있는 경우... ... Wikipedia
최대 90도까지 서로를 보완하는 한 쌍의 보각 보각은 최대 90도까지 서로를 보완하는 한 쌍의 각도입니다. 두 개의 보각이 다음과 같다면... Wikipedia
서적
- 기하학 증명에 대해 A.I. Fetisov 이 책은 주문형 인쇄 기술을 사용하여 귀하의 주문에 따라 제작됩니다. 옛날 옛적에 맨 처음에 학년, 두 소녀의 대화를 들어야했습니다. 그중 맏형은...
- 지식 관리를 위한 종합 노트북입니다. 기하학. 7 학년. 연방 주 교육 표준, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. 매뉴얼은 7학년 학생들의 지식에 대한 현재, 주제별 및 최종 품질 관리를 수행하기 위한 기하학의 제어 및 측정 자료(CMM)를 제공합니다. 설명서 내용..
두 각의 한쪽 면이 공통이면 인접각이라고 하고, 이 각의 다른 쪽은 상보적 광선입니다. 그림 20에서는 각도 AOB와 BOC가 인접해 있습니다.
인접한 각도의 합은 180°입니다.
정리 1. 인접한 각도의 합은 180°입니다.
증거. 빔 OB(그림 1 참조)는 펼쳐진 각도의 측면 사이를 통과합니다. 그렇기 때문에 ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
정리 1에 따르면 두 각도가 같으면 인접한 각도도 같습니다.
수직 각도는 동일합니다.
한 각도의 측면이 다른 측면의 보보 광선인 경우 두 각도를 수직이라고 합니다. 두 직선의 교차점에서 형성된 각도 AOB와 COD, BOD와 AOC는 수직입니다(그림 2).
정리 2. 수직각은 동일합니다.
증거. 고려해 봅시다 수직 각도 AOB 및 COD(그림 2 참조). 각 BOD는 각 AOB 및 COD 각에 인접합니다. 정리 1에 따르면 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°입니다.
이것으로부터 우리는 ∠ AOB = ∠ COD라는 결론을 내립니다.
추론 1. 직각에 인접한 각은 직각이다.
두 개의 교차 직선 AC와 BD를 고려하십시오(그림 3). 그들은 네 개의 모서리를 형성합니다. 그 중 하나가 직선이면(그림 3의 각도 1) 나머지 각도도 직각입니다(각도 1과 2, 1과 4는 인접하고, 각도 1과 3은 수직입니다). 이 경우, 그들은 이 선들이 직각으로 교차한다고 말하며 수직(또는 상호 수직)이라고 부릅니다. AC와 BD의 직각도는 AC ⊥ BD로 표시됩니다.
선분의 수직 이등분선은 이 선분에 수직이고 중심점을 통과하는 선입니다.
AN - 선에 수직
직선 a와 그 위에 놓여 있지 않은 점 A를 생각해 보십시오(그림 4). 점 A를 선분으로 연결하고 점 H를 직선 a로 연결해 보겠습니다. 선분 AN과 선 a가 수직인 경우 점 A에서 선 a까지 그은 수직선이라고 합니다. 점 H를 수직선의 밑변이라고 합니다.
정사각형 그리기
다음 정리는 참입니다.
정리 3. 선 위에 있지 않은 어떤 점에서도 이 선에 수직인 선을 그릴 수 있으며, 게다가 단 하나만 그릴 수도 있습니다.
그림에서 한 점에서 직선까지 수직선을 그리려면 그리기 사각형을 사용합니다(그림 5).
논평. 정리의 공식화는 일반적으로 두 부분으로 구성됩니다. 한 부분은 주어진 것에 대해 이야기합니다. 이 부분을 정리의 조건이라고 합니다. 다른 부분에서는 증명해야 할 사항에 대해 이야기합니다. 이 부분을 정리의 결론이라고 합니다. 예를 들어, 정리 2의 조건은 각도가 수직이라는 것입니다. 결론 - 이 각도는 동일합니다.
모든 정리는 조건이 "if"로 시작하고 "then"으로 결론이 나오도록 단어로 자세히 표현될 수 있습니다. 예를 들어 정리 2는 다음과 같이 자세히 설명할 수 있습니다. “두 각도가 수직이면 두 각도는 같습니다.”
예시 1.인접각 중 하나는 44°입니다. 다른 하나는 무엇과 같습니까?
해결책.
다른 각도의 각도 측정을 x로 표시한 다음 정리 1에 따라 표시하겠습니다.
44° + x = 180°.
결과 방정식을 풀면 x = 136°라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 다른 각도는 136°입니다.
예시 2.그림 21의 각도 COD를 45°로 설정합니다. 각도 AOB와 AOC는 무엇입니까?
해결책.
각도 COD와 AOB는 수직이므로 정리 1.2에 따라 동일합니다(예: ∠ AOB = 45°). 각도 AOC는 각도 COD에 인접하며 이는 정리 1에 따른다는 의미입니다.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
예시 3.찾다 인접각, 그중 하나가 다른 것보다 3배 더 큰 경우.
해결책.
더 작은 각도의 각도 측정값을 x로 표시하겠습니다. 그러면 더 큰 각도의 각도 측정값은 3x가 됩니다. 인접한 각도의 합은 180°이므로(정리 1) x + 3x = 180°이고 x = 45°입니다.
이는 인접각이 45°와 135°임을 의미합니다.
예시 4.두 수직각의 합은 100°입니다. 네 각의 크기를 각각 구하세요.
해결책.
그림 2가 문제의 조건을 충족시키면 AOB에 대한 수직각 COD가 동일합니다(정리 2). 이는 해당 각도 측정도 동일하다는 것을 의미합니다. 따라서 ∠ COD = ∠ AOB = 50°(조건에 따른 합은 100°)입니다. 각도 BOD(또한 각도 AOC)는 각도 COD에 인접하므로 정리 1에 따릅니다.
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
1. 인접한 각도.
어떤 각도의 변을 꼭지점 너머로 확장하면 두 개의 각도(그림 72), 즉 ∠ABC와 ∠CBD를 얻습니다. 여기서 한 변 BC는 공통이고 다른 두 변 AB와 BD는 직선을 형성합니다.
한 변이 서로 같고 다른 두 변이 직선을 이루는 두 각을 인접각이라고 합니다.
인접 각도는 이런 방식으로 얻을 수도 있습니다. 즉, (주어진 선 위에 있지 않은) 선의 어떤 점에서 광선을 그리면 인접 각도를 얻게 됩니다.
예를 들어, ∠ADF와 ∠FDB는 인접각입니다(그림 73).
인접한 각도는 다양한 위치를 가질 수 있습니다(그림 74).
인접한 각도의 합은 직선 각도가 되므로 인접한 두 각도의 합은 180°입니다.
따라서 직각은 인접한 각도와 동일한 각도로 정의될 수 있습니다.
인접한 각도 중 하나의 크기를 알면 인접한 다른 각도의 크기를 찾을 수 있습니다.
예를 들어 인접한 각도 중 하나가 54°인 경우 두 번째 각도는 다음과 같습니다.
180° - 54° = 126°.
2. 수직 각도.
꼭지점 너머로 각도의 측면을 확장하면 수직 각도를 얻습니다. 그림 75에서 각도 EOF와 AOC는 수직입니다. 각도 AOE 및 COF도 수직입니다.
한 각의 변이 다른 각의 변의 연속인 경우 두 각을 수직이라고 합니다.
∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°라고 가정합니다(그림 76). 인접한 ∠2는 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, 즉 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°와 같습니다.
같은 방법으로 ∠3과 ∠4가 같은지 계산할 수 있습니다.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°(그림 77).
∠1 = ∠3 및 ∠2 = ∠4임을 알 수 있습니다.
동일한 문제를 여러 개 더 해결할 수 있으며 매번 동일한 결과를 얻게 됩니다. 수직 각도는 서로 같습니다.
그러나 수직 각도가 항상 서로 동일한지 확인하려면 개별 수치 예를 고려하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 특정 예에서 도출된 결론은 때때로 오류가 있을 수 있기 때문입니다.
증명을 통해 수직각의 성질의 타당성을 검증하는 것이 필요하다.
증명은 다음과 같이 수행될 수 있습니다(그림 78):
∠+∠씨= 180°;
∠b+∠씨= 180°;
(인접한 각도의 합은 180°이기 때문입니다.)
∠+∠씨 = ∠b+∠씨
(이 평등의 왼쪽은 180°와 같고 오른쪽도 180°와 같기 때문입니다).
이 평등에는 동일한 각도가 포함됩니다. 와 함께.
같은 양에서 같은 양을 빼면 같은 양이 남습니다. 결과는 다음과 같습니다: ∠ㅏ = ∠비즉, 수직 각도가 서로 같습니다.
3. 공통 꼭지점을 갖는 각도의 합.
그림 79에서 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4는 선의 한 쪽에 위치하며 이 선에 공통 꼭지점을 가지고 있습니다. 요약하면, 이 각도들은 직선 각도를 구성합니다.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
그림 80에서 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 및 ∠5는 공통 꼭지점을 갖습니다. 이 각도를 더하면 완전한 각도가 됩니다. 즉, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°입니다.
기타 재료각도 시작하기
두 개의 임의의 광선이 주어집니다. 그것들을 서로 겹쳐 봅시다. 그 다음에
정의 1
우리는 동일한 원점을 갖는 각도를 두 개의 광선이라고 부를 것입니다.
정의 2
정의 3의 프레임워크 내에서 광선의 시작점을 이 각도의 정점이라고 합니다.
정점, 광선 중 하나의 점, 다른 광선의 점, 각도의 정점은 지정 중간에 기록됩니다 (그림 1).
이제 각도의 크기가 무엇인지 알아봅시다.
이렇게 하려면 일종의 "참조" 각도를 선택해야 하며 이를 하나의 단위로 사용하게 됩니다. 대부분의 경우 이 각도는 펼쳐진 각도의 $\frac(1)(180)$ 부분과 동일한 각도입니다. 이 수량을 학위라고합니다. 이러한 각도를 선택한 후 각도를 비교하여 그 값을 찾아야 합니다.
각도에는 4가지 유형이 있습니다.
정의 3
각도가 $90^0$보다 작으면 예각이라고 합니다.
정의 4
각도가 $90^0$보다 크면 둔각이라고 합니다.
정의 5
각도가 $180^0$과 같으면 전개된 각도라고 합니다.
정의 6
각도가 $90^0$이면 오른쪽 각도라고 합니다.
위에서 설명한 각도 유형 외에도 서로 관련된 각도 유형, 즉 수직 각도와 인접 각도를 구분할 수 있습니다.
인접 각도
반전된 각도 $COB$를 고려하십시오. 정점에서 $OA$ 광선을 그립니다. 이 광선은 원본 광선을 두 각도로 분할합니다. 그 다음에
정의 7
한 쌍의 변이 전개된 각도이고 다른 쌍이 일치하는 경우 두 개의 각도를 인접한 것으로 부를 것입니다(그림 2).
안에 이 경우각도 $COA$와 $BOA$는 인접합니다.
정리 1
인접각의 합은 $180^0$입니다.
증거.
그림 2를 살펴보자.
정의 7에 따르면 각도 $COB$는 $180^0$과 같습니다. 인접한 각도의 두 번째 쌍의 변이 일치하므로 $OA$ 광선은 펼쳐진 각도를 2로 나눕니다.
$∠COA+∠BOA=180^0$
정리가 입증되었습니다.
이 개념을 사용하여 문제를 해결해 봅시다.
실시예 1
아래 그림에서 각도 $C$를 구하세요.
정의 7에 따르면 $BDA$와 $ADC$ 각도가 인접해 있음을 알 수 있습니다. 따라서 정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
삼각형의 각도의 합에 대한 정리에 의해 우리는
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
답: $40^0$.
수직 각도
펼쳐진 각도 $AOB$ 및 $MOC$를 고려하십시오. 이 각도의 변이 일치하지 않도록 정점을 서로 정렬합니다(즉, 점 $O"$를 점 $O$에 배치). 그런 다음
정의 8
두 변의 쌍이 펼쳐진 각도이고 그 값이 일치하는 경우 두 각도를 수직이라고 부를 것입니다(그림 3).
이 경우 각도 $MOA$ 및 $BOC$는 수직이고 각도 $MOB$ 및 $AOC$도 수직입니다.
정리 2
수직 각도는 서로 같습니다.
증거.
그림 3을 살펴보겠습니다. 예를 들어 $MOA$ 각도가 $BOC$ 각도와 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다.
질문 1.인접한 각도는 무엇입니까?
답변.두 각의 한 변이 공통이면 인접각이라고 하고, 이 각의 다른 변은 상보적인 반선입니다.
그림 31에서는 각도 (a 1 b)와 (a 2 b)가 인접해 있습니다. b면은 공통이고, a1과 a2는 추가 반선입니다.
질문 2.인접한 각의 합이 180°임을 증명하세요.
답변. 정리 2.1.인접한 각도의 합은 180°입니다.
증거.각도(a 1 b)와 각도(a 2 b)에 인접한 각도가 있다고 가정합니다(그림 31 참조). 광선 b는 직선 각도의 변 a 1과 a 2 사이를 통과합니다. 따라서 각도 (a 1 b)와 (a 2 b)의 합은 펼쳐진 각도, 즉 180°와 같습니다. Q.E.D.
질문 3.두 각도가 같으면 인접한 각도도 같음을 증명하십시오.
답변.
정리로부터 2.1
두 각도가 같으면 인접한 각도도 같습니다.
각도 (a 1 b)와 (c 1 d)가 같다고 가정해 보겠습니다. 각도 (a 2 b)와 (c 2 d)도 동일하다는 것을 증명해야 합니다.
인접한 각도의 합은 180°입니다. 이로부터 a 1 b + a 2 b = 180° 및 c 1 d + c 2 d = 180°가 됩니다. 따라서 a 2 b = 180° - a 1 b 및 c 2 d = 180° - c 1 d입니다. 각도 (a 1 b)와 (c 1 d)가 동일하므로 a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d가 됩니다. 등호의 전이성 특성에 따라 a 2 b = c 2 d가 됩니다. Q.E.D.
질문 4.어떤 각도를 직각(예각, 둔각)이라고 하나요?
답변. 90°와 같은 각도를 직각이라고 합니다.
90°보다 작은 각도를 예각이라고 합니다.
90°보다 크고 180°보다 작은 각도를 둔각이라고 합니다.
질문 5.직각에 인접한 각이 직각임을 증명하십시오.
답변.인접 각도의 합에 대한 정리에 따르면 직각에 인접한 각도는 직각입니다. x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
질문 6.수직이라고 불리는 각도는 무엇입니까?
답변.한 각도의 측면이 다른 측면의 보완적인 반선인 경우 두 각도를 수직이라고 합니다.
질문 7.수직각이 같음을 증명하세요.
답변. 정리 2.2. 수직 각도는 동일합니다.
증거.(a 1 b 1)과 (a 2 b 2)를 주어진 수직각이라고 하자(그림 34). 각도(a 1 b 2)는 각도(a 1 b 1) 및 각도(a 2 b 2)에 인접합니다. 여기에서 인접 각도의 합에 대한 정리를 사용하여 각 각도 (a 1 b 1) 및 (a 2 b 2)가 각도 (a 1 b 2)를 180°로 보완한다는 결론을 내립니다. 각도(a 1b 1)와 (a 2b 2)는 동일합니다. Q.E.D.
질문 8.두 직선이 교차할 때 한 각이 맞다면 나머지 세 각도 맞다는 것을 증명하세요.
답변.선 AB와 CD가 점 O에서 서로 교차한다고 가정합니다. 각도 AOD가 90°라고 가정합니다. 인접한 각도의 합이 180°이므로 AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°가 됩니다. 각도 COB는 각도 AOD에 수직이므로 동일합니다. 즉, 각도 COB = 90°입니다. COA 각도는 BOD 각도와 수직이므로 동일합니다. 즉, 각도 BOD = 90°입니다. 따라서 모든 각도는 90°, 즉 모두 직각입니다. Q.E.D.
질문 9.수직이라고 불리는 선은 무엇입니까? 선의 수직성을 나타내는 기호는 무엇입니까?
답변.두 직선이 직각으로 교차하면 수직이라고 합니다.
선의 직각도는 \(\perp\) 기호로 표시됩니다. \(a\perp b\) 항목은 다음과 같습니다. "선 a는 선 b에 수직입니다."
질문 10.선 위의 모든 점을 통해 그 점에 수직인 선을 그릴 수 있으며 단 하나만 그릴 수 있음을 증명하십시오.
답변. 정리 2.3.각 선을 통해 해당 선에 수직인 선을 하나만 그릴 수 있습니다.
증거. a를 주어진 선으로, A를 그 위의 주어진 점으로 둡니다. 시작점 A를 기준으로 직선 a의 반선 중 하나를 1로 표시하겠습니다(그림 38). 반선 a 1에서 90°에 해당하는 각도(a 1 b 1)를 뺍니다. 그러면 광선 b 1을 포함하는 직선은 직선 a에 수직이 됩니다.
점 A를 지나고 선 a에 수직인 또 다른 선이 있다고 가정해 보겠습니다. 광선 b 1 과 동일한 반평면에 있는 이 선의 반선을 c 1 로 표시하겠습니다.
각각 90°에 해당하는 각도 (a 1 b 1) 및 (a 1 c 1)은 반선 a 1에서 하나의 반 평면에 배치됩니다. 그러나 반선 a 1에서 90°와 동일한 각도 하나만 주어진 반평면에 들어갈 수 있습니다. 그러므로 점 A를 지나고 선 a에 수직인 다른 선은 있을 수 없습니다. 정리가 입증되었습니다.
질문 11.직선에 수직인 것은 무엇입니까?
답변.주어진 선에 수직인 선분은 교차점에 끝점 중 하나가 있는 주어진 선에 수직인 선분입니다. 세그먼트의 이 끝 부분을 호출합니다. 기초수직.
질문 12.모순에 의한 증명이 무엇인지 설명하시오.
답변.정리 2.3에서 사용한 증명 방법을 모순에 의한 증명이라고 합니다. 이 증명 방법은 먼저 정리가 말하는 것과 반대되는 가정을 하는 것으로 구성됩니다. 그런 다음 공리와 입증된 정리에 의존하여 추론함으로써 정리의 조건, 공리 중 하나 또는 이전에 입증된 정리와 모순되는 결론에 도달합니다. 이를 바탕으로 우리는 가정이 틀렸다고 결론을 내립니다. 따라서 정리의 진술은 사실입니다.
질문 13.각도의 이등분선은 무엇입니까?
답변.각도의 이등분선은 각도의 꼭지점에서 발산되어 측면 사이를 통과하고 각도를 절반으로 나누는 광선입니다.
