Resolver problemas algebraicamente (usando ecuaciones) Según el libro de texto de I.I. Zubareva, A.G. Mordkóvich
Profesor de matemáticas en la institución educativa municipal "LSOSH No. 2"
Lijoslavl, región de Tver
Objetivos:- mostrar la regla para resolver problemas algebraicamente; - desarrollar la capacidad de resolver problemas utilizando métodos aritméticos y algebraicos.
Métodos
resolución de problemas
Aritmética (resolver un problema mediante acciones)
Algebraico (resolver un problema usando una ecuación)
Problema número 509
Lee el problema.
Intenta encontrar diferentes soluciones.
Dos cajas contienen 16 kg de galletas. Calcula la masa de galletas en cada caja si una de ellas contiene 4 kg más de galletas que la otra.
1 solución
(mirar)
3 formas de resolver
(mirar)
2 formas de resolver
4 formas de resolver
1 vía (aritmética)
- 16 – 4 = 12 (kg) – las galletas quedarán en dos cajas si sacas 4 kg de galletas de la primera caja.
- 12: 2 = 6 (kg) – las galletas estaban en la segunda caja.
- 6 + 4 = 10 (kg) – había galletas en la primera caja.
Respuesta
Utilizado en la solución. método de ecualización .
Pregunta: ¿Por qué recibió ese nombre?
Atrás)
Método 2 (aritmética)
- 16 + 4 = 20 (kg): habrá dos cajas de galletas si agregas 4 kg de galletas a la segunda caja.
- 20: 2 = 10 (kg) – había galletas en la primera caja.
- 10 - 4 = 6 (kg) – las galletas estaban en la segunda caja.
Respuesta: la masa de galletas en la primera caja es de 10 kg y en la segunda de 6 kg.
Utilizado en la solución. método de ecualización .
Atrás)
3 vías (algebraico)
Denotemos la masa de galletas. en el segundo carta de caja X kg. Entonces la masa de galletas en el primer cuadro será igual a ( X+4) kg, y la masa de galletas en dos cajas es (( X +4)+ X) kg.
(X +4)+ X =16
X +4+ X =16
2 X +4=16
2 X =16-4
2 X =12
X =12:2
La segunda caja contenía 6 kg de galletas.
6+4=10 (kg) – había galletas en la primera caja.
Utilizado en la solución. método algebraico.
Ejercicio: Explique cuál es la diferencia entre el método aritmético y el método algebraico.
Atrás)
4 vías (algebraica)
Denotemos la masa de galletas. en el primero carta de caja X kg. Entonces la masa de galletas en el segundo cuadro será igual a ( X-4) kg, y la masa de galletas en dos cajas es ( X +(X-4)) kilogramos.
Según el problema, en dos cajas había 16 kg de galletas. Obtenemos la ecuación:
X +(X -4)=16
X + X -4=16
2 X -4=16
2 X =16+4
2 X =20
X =20:2
La primera caja contenía 10 kg de galletas.
10-4=6 (kg) – las galletas estaban en la segunda caja.
Utilizado en la solución. método algebraico.
Atrás)
- ¿Qué dos métodos se utilizaron para resolver el problema?
- ¿Qué es el método de ecualización?
- ¿En qué se diferencia el primer método de ecualización del segundo?
- En un bolsillo hay 10 rublos más que en el otro. ¿Cómo se puede igualar la cantidad de dinero en ambos bolsillos?
- ¿Cuál es la forma algebraica de resolver el problema?
- ¿Cuál es la diferencia entre el método 3 y el método 4?
- En un bolsillo hay 10 rublos más que en el otro. Se sabe que una cantidad menor de dinero fue designada por la variable X. ¿Cómo se expresará a través de X
- Si por X designado gran cantidad dinero en su bolsillo, mientras que se expresará a través de X cantidad de dinero en el otro bolsillo?
- En la tienda, el champú cuesta 25 rublos más que en el supermercado. Etiquetar una variable con una letra en y expresar el otro valor en términos de esta variable.
Problema número 510
Resuelva el problema utilizando métodos aritméticos y algebraicos.
Se recogieron 156 céntimos de patatas en tres parcelas de tierra. La cosecha de patatas en la primera y segunda parcela fue igual, y en la tercera, 12 quintales más que en cada una de las dos primeras. ¿Cuántas patatas se recogieron de cada parcela?
manera algebraica
(mirar)
método aritmético
(mirar)
salida)
método aritmético
- 156 - 12 = 144 (c) - las patatas se cosecharían en tres parcelas si el rendimiento de todas las parcelas fuera el mismo.
- 144: 3 = 48 (ts): las patatas se recolectaron de la primera parcela y de la segunda parcela.
- 48 + 12 = 60 (c) – se recolectaron patatas de la tercera parcela.
Respuesta
Atrás)
manera algebraica
Déjalos recolectar desde la primera trama. X c de patatas. Luego también recogieron del segundo sitio. X céntimos de patatas, y de la tercera parcela recogieron ( X+12) c de patatas.
Según las condiciones, se recogieron 156 céntimos de patatas de las tres parcelas.
Obtenemos la ecuación:
x + x + (x +12) =156
x + x + x + 12 = 156
3 X +12 = 156
3 X = 156 – 12
3 X = 144
X = 144: 3
De la primera y segunda parcelas se recolectaron 48 céntimos de patata.
48 +12 = 60 (c) – las patatas se recolectaron de la tercera parcela.
Respuesta: De la primera y segunda parcela se recolectaron 48 quintales de papa y de la tercera parcela 60 quintales de papa.
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Introducción
1.1 Concepto de problema verbal
1.2 Tipos de problemas aritméticos
1.3 El papel del problema en matemáticas
1.4 Etapas de resolución de problemas planteados y técnicas para su implementación.
1.5 Algunas formas de resolver problemas planteados
2.4 Problemas que involucran porcentajes
2.5 Tareas de colaboración
Conclusión
Literatura
Introducción
Podemos enseñar a los estudiantes a resolver muchos tipos de problemas, pero la verdadera satisfacción sólo llegará cuando seamos capaces de transmitirles no sólo conocimientos, sino también flexibilidad mental. U.U. Aserrador
La capacidad de resolver problemas es uno de los principales indicadores de nivel. desarrollo matemático, profundidad de desarrollo material educativo. Desde los primeros días de escuela, el niño se enfrenta a una tarea. Desde el principio hasta el final de la escuela, un problema matemático invariablemente ayuda al estudiante a desarrollar conceptos matemáticos correctos, comprender mejor varios aspectos de las relaciones en la vida que lo rodea y permite aplicar los principios teóricos que se estudian. Los problemas planteados son una herramienta importante para la enseñanza de las matemáticas. Con su ayuda, los estudiantes adquieren experiencia trabajando con cantidades, comprenden las relaciones entre ellas y adquieren experiencia en la aplicación de las matemáticas para resolver problemas prácticos. El uso de métodos aritméticos para resolver problemas desarrolla el ingenio y la inteligencia, la capacidad de plantear preguntas y responderlas, es decir, desarrolla el lenguaje natural. Los métodos aritméticos para resolver problemas escritos le permiten desarrollar la capacidad de analizar situaciones problemáticas, elaborar un plan de solución teniendo en cuenta las relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas (teniendo en cuenta el tipo de problema), interpretar el resultado de cada acción dentro del marco. de las condiciones del problema, verificar la exactitud de la solución elaborando y resolviendo el problema inverso, es decir, para formar y desarrollar importantes habilidades educativas generales.
Los métodos aritméticos para la resolución de problemas verbales acostumbran a los niños a las primeras abstracciones, les permiten cultivar una cultura lógica y pueden contribuir al desarrollo de un sentido estético en los escolares en relación con la resolución de un problema y el estudio de las matemáticas, despertando el interés primero en el proceso de encontrar una solución a un problema, y luego en el tema que se estudia.
Los problemas planteados son tradicionalmente un material difícil para una parte importante de los escolares. En la práctica, la mayoría de los profesores prestan poca atención a la resolución de problemas. Los estudiantes a menudo no saben cómo identificar los datos requeridos y establecer la conexión entre las cantidades incluidas en el problema; Elaborar un plan de solución y comprobar los resultados obtenidos.
Mi meta trabajo final-- estudio de la metodología para enseñar a resolver problemas verbales utilizando el método aritmético, considerar la estructura del problema verbal, las etapas de resolución de problemas utilizando el método aritmético, mostrar las dificultades para resolver problemas, la capacidad de superar estas dificultades, el uso del método aritmético para la resolución de problemas verbales a partir de la práctica personal.
El objeto de estudio es el proceso educativo en las lecciones de matemáticas.
Objetivos del puesto:
– analizar la literatura psicológica y pedagógica sobre este tema; estudiar literatura científica y metodológica destinada a enseñar a resolver problemas planteados;
– considerar las características de un problema de texto y la metodología para trabajar con él;
– mostrar el uso del método aritmético en la resolución de problemas planteados.
Estructura de trabajo. Mi trabajo consta de una introducción, los capítulos "Características de un problema planteado y métodos para trabajar con él" y "Enseñar a los escolares a resolver problemas planteados utilizando un método aritmético" y una conclusión. En el primer capítulo, analicé el concepto de problema verbal, los tipos de problemas, lo que significa resolver un problema, las etapas del proceso de resolución de un problema usando métodos aritméticos. En el segundo capítulo, analicé la resolución de un problema verbal. problemas utilizando el método aritmético usando el ejemplo de problemas de movimiento, de encontrar una fracción de un número y un número por sus fracciones de magnitud, problemas de cálculo de porcentajes, de trabajo conjunto; problemas resueltos mediante tablas, media aritmética en problemas. Traté de mostrar la metodología para enseñar a los estudiantes a resolver problemas verbales, su lugar en el proceso de enseñanza y educativo en el aula. En mi trabajo quiero mostrar la aplicación específica de métodos aritméticos para la resolución de problemas escritos, utilizando mi experiencia personal.
Hay suficiente literatura sobre este tema. Después de analizar algunos de ellos, me gustaría destacar el libro de S. Lukyanova "Resolver problemas escritos usando métodos aritméticos". El libro examina diferentes métodos aritméticos para resolver problemas escritos y ofrece métodos originales para enseñar esto a los estudiantes de 5º y 6º grado. El autor examina unos 200 problemas. niveles diferentes complejidades, para la mayoría de las cuales se ha propuesto una solución (para algunos, varios métodos), cada uno de los cuales se implementa únicamente con la ayuda de operaciones aritméticas. En el libro “Entrenamiento para resolver problemas planteados. Un libro para profesores”, el autor Shevkin A.V., describe en detalle propuestas que nos devuelven a las mejores tradiciones de la educación matemática, sobre la necesidad de abandonar el uso de ecuaciones en Etapa temprana enseñanza y volver a un uso más amplio de los métodos aritméticos para la resolución de problemas, haciendo ajustes a los métodos de enseñanza tradicionales y tratando de evitar las deficiencias características de su uso. EN libro de texto Fridman L.M. “Problemas gráficos en matemáticas. Historia, teoría, metodología" se dice que a la hora de resolver problemas varios métodos Es preferible elegir uno que cubra una gama más amplia de problemas; hay una serie de problemas que son más fáciles de resolver aritméticamente que algebraicamente, y hay aquellos que son completamente inaccesibles al álgebra, aunque no plantean dificultades para la aritmética.
En mi trabajo utilicé materiales del periódico educativo y metodológico “Matemáticas” No. 23 - 2005 (Editorial “Primero de Septiembre”), “Lecciones no tradicionales. Matemáticas 5-11 grados”. (M.E. Kozina, M.E. Fadeeva - Volgogrado, 2008), Pautas para los grados 5-6, Materiales didácticos para los grados 5-6 (M.K. Potapov, A.V. Shevkin) y otros.
Capítulo I. Características de un problema planteado y métodos para trabajar con él.
solución problema verbal aritmética
Las matemáticas son una herramienta para pensar, en su arsenal hay una gran cantidad de problemas que, durante miles de años, han contribuido a la formación del pensamiento de las personas, la capacidad de resolver problemas no estándar y superar situaciones difíciles con honor.
Se debe dedicar bastante tiempo a trabajar con problemas planteados, llamar la atención de los niños para que busquen y comparen diferentes formas de resolver un problema, construir modelos matemáticos y expresar de manera competente su propio razonamiento al resolver problemas.
1.1 Concepto de problema verbal
La resolución de problemas planteados proporciona material rico para el desarrollo y la educación de los estudiantes. Estas tareas están formuladas en lenguaje natural, por eso se denominan tareas de texto. Por lo general, describen el lado cuantitativo de algunos fenómenos o eventos, por lo que a menudo se les llama de trama. Al resolver problemas, los estudiantes adquieren nuevos conocimientos matemáticos y se preparan para actividades prácticas. Las tareas contribuyen a su desarrollo. pensamiento lógico. La resolución de problemas también es de gran importancia en el desarrollo de la personalidad de los estudiantes. Por lo tanto, es importante que el profesor tenga un conocimiento profundo del problema del texto, su estructura y sepa cómo resolver dichos problemas de diversas formas. “Una tarea es un requisito o una pregunta a la que se debe encontrar una respuesta, basándose en las condiciones especificadas en la tarea y tomándolas en cuenta”, señaló L.M. Friedman en su obra “Problemas de trama en matemáticas”.
Una tarea de texto es una descripción de una determinada situación en lenguaje natural con el requisito de dar una descripción cuantitativa de cualquier componente de esta situación, establecer la presencia o ausencia de una determinada relación entre sus componentes o determinar el tipo de esta relación. . Los problemas de texto pueden ser de contenido abstracto, cuando el texto describe las relaciones entre números verbalmente (Encuentra dos números si uno de ellos es 18 más que el otro y su suma es 80) o con una trama específica (Un boleto para ingresar al estadio cuesta 160 rublos. Después de que se redujo el precio de la entrada, el número de espectadores aumentó en un 50% y los ingresos aumentaron en un 25%. ¿Cuánto cuesta una entrada después de que se redujo el precio de la entrada?).
Cada tarea es una unidad de condición y meta. Si falta uno de estos componentes, entonces no hay tarea. Es muy importante tener esto en cuenta para poder analizar el texto de un problema manteniendo dicha unidad. Esto significa que el análisis de las condiciones de la tarea debe correlacionarse con la pregunta de la tarea y, a la inversa, la pregunta de la tarea debe analizarse de manera direccional con la condición. No se pueden separar, ya que forman un todo.
Un problema matemático es una historia lacónica relacionada en la que se introducen los valores de determinadas cantidades y se propone encontrar otros valores desconocidos de cantidades que dependen de los datos y están relacionados con ellos mediante determinadas relaciones especificadas en la condición.
Cualquier tarea de texto consta de dos partes: condiciones y requisitos (pregunta), y las condiciones y requisitos están interrelacionados.
La condición contiene información sobre objetos y algunas cantidades que caracterizan los datos del objeto, sobre los valores conocidos y desconocidos de estas cantidades, sobre las relaciones entre ellas.
Los requisitos de la tarea son una indicación de lo que se necesita encontrar. Puede expresarse como una oración en forma imperativa o interrogativa (“Encuentra la velocidad de los ciclistas” o “¿Cuántos kilómetros caminó el turista en cada uno de los tres días?”). Puede haber varios requisitos en una tarea.
Considere el problema: se tejen un suéter, un gorro y una bufanda con 1 kg de 200 g de lana. La bufanda requirió 100 g más de lana que el gorro y 400 g menos que el suéter. ¿Cuánta lana usaste para cada prenda?
Objetos problemáticos: bufanda, gorro, suéter. Existen ciertas declaraciones y requisitos con respecto a estos objetos.
Declaraciones: Suéter, gorro y bufanda están tejidos con 1200 g de lana.
Gastamos 100 g más en la bufanda que en el gorro.
Gastamos 400 g menos en el gorro que en el jersey.
Requisitos: ¿Cuánta lana usaste para el suéter?
¿Cuánta lana usaste para el gorro?
¿Cuánta lana usaste para la bufanda?
El problema tiene tres valores desconocidos, uno de los cuales está contenido en el requisito del problema. Este valor de la cantidad se llama valor deseado.
A veces, las tareas se forman de tal manera que parte de la condición o toda la condición se incluye en una oración con el requisito de la tarea.
EN vida real Muy a menudo surgen una amplia variedad de situaciones problemáticas. Las tareas formuladas en base a ellas pueden contener información redundante, es decir, información que no es necesaria para cumplir los requisitos de la tarea.
A partir de situaciones problemáticas que surgen en la vida, también se pueden formular tareas en las que no hay suficiente información para cumplir con los requisitos. Entonces en el problema: “¿Cuántos litros de agua hay en cada barril, si el primero contiene 48 litros más que el otro?” - no hay datos suficientes para responder a su pregunta. Para solucionar este problema es necesario complementarlo con los datos faltantes.
El mismo problema puede considerarse como un problema con datos suficientes dependiendo de los valores disponibles y decisivos.
Considerando la tarea en el sentido estricto de este concepto, se pueden distinguir los siguientes componentes:
1. Una presentación verbal de la trama, en la que se indica explícita o de forma velada la relación funcional entre cantidades cuyos valores numéricos se incluyen en el problema.
2. Valores numéricos de cantidades o datos numéricos a que se refiere el texto del problema.
Una tarea, generalmente formulada en forma de pregunta, que pide averiguar los valores desconocidos de una o más cantidades. Estos valores se denominan valores buscados.
Al comprender el papel de la tarea y su lugar en la formación y educación del alumno, el docente debe abordar la selección de la tarea y la elección de los métodos de solución de manera razonable y saber claramente qué debe aportar el trabajo al alumno a la hora de resolver el problema encomendado. a él.
1.2 Tipos de problemas aritméticos
Todos los problemas aritméticos, según el número de acciones realizadas para resolverlos, se dividen en simples y compuestos. Un problema para el cual es necesario realizar una operación aritmética una vez se llama simple. Una tarea para la que se deben realizar varias acciones se denomina tarea compuesta.
Los problemas simples juegan un papel extremadamente importante en la enseñanza de las matemáticas. Al resolver problemas simples, se forma uno de los conceptos centrales del curso inicial de matemáticas: el concepto de operaciones aritméticas y varios otros conceptos. La capacidad de resolver problemas simples es una etapa preparatoria para que los estudiantes dominen la capacidad de resolver problemas compuestos, ya que resolver un problema compuesto se reduce a resolver una serie de problemas simples. Al resolver problemas simples, se produce el primer contacto con el problema y sus componentes. En relación con la resolución de problemas simples, los niños dominan las técnicas básicas para trabajar en un problema.
Un problema compuesto incluye una serie de problemas simples interconectados de tal manera que los valores requeridos de algunos problemas simples sirven como datos para otros. Resolver un problema compuesto se reduce a dividirlo en varios problemas simples y resolverlos secuencialmente. Así, para resolver un problema compuesto, es necesario establecer un sistema de conexiones entre los datos y el deseado, según el cual seleccionar y luego realizar operaciones aritméticas.
Registrar la solución a un problema compuesto componiendo una expresión basada en ella permite a los estudiantes centrar su atención en el lado lógico del trabajo en el problema y ver el progreso de su resolución en su conjunto. Al mismo tiempo, los niños aprenden a escribir un plan para resolver un problema y ahorrar tiempo.
Al resolver un problema compuesto ha aparecido algo esencialmente nuevo respecto a la solución de un problema simple: aquí no se establece una conexión, sino varias, según las cuales se desarrollan las operaciones aritméticas. Por tanto, se lleva a cabo trabajo especial familiarizar a los niños con un problema compuesto, así como desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas compuestos.
1.3 El papel del problema en matemáticas
Los problemas planteados ocupan un lugar importante en las matemáticas. Al considerar el significado de las operaciones aritméticas, la conexión existente entre las acciones y la relación entre los componentes y resultados de las acciones, ciertamente se utilizan los correspondientes problemas simples (problemas resueltos por una operación aritmética). Los problemas planteados sirven como uno de los medios más importantes para introducir a los niños en las relaciones matemáticas; se utilizan para comprender las proporciones; también ayudan en la formación de una serie de conceptos geométricos, así como al considerar los elementos del álgebra.
Actuando como material especifico Para la formación de conocimientos, las tareas brindan la oportunidad de conectar la teoría con la práctica, el aprendizaje con la vida. La resolución de problemas se desarrolla en los niños habilidades prácticas necesario para cada persona en La vida cotidiana. Por ejemplo, calcular el coste de una compra, calcular a qué hora hay que salir para no perder el tren, etc.
El uso de tareas como base concreta para introducir nuevos conocimientos y aplicar los conocimientos que ya tienen los niños juega un papel extremadamente importante en la formación de elementos de una cosmovisión materialista en los niños. Al resolver problemas, el estudiante se convence de que muchos conceptos matemáticos tienen sus raíces en la vida real, en la práctica de las personas. A través de la resolución de problemas, los niños se familiarizan con hechos que son importantes desde el punto de vista cognitivo y educativo. El contenido de muchas tareas refleja el trabajo de niños y adultos, los logros de nuestro país en el campo de la economía, la tecnología, la ciencia y la cultura nacionales.
El proceso de resolución de problemas con una determinada técnica tiene un efecto muy influencia positiva sobre el desarrollo mental de los escolares, ya que requiere la realización de operaciones mentales: análisis y síntesis, concretización y abstracción, comparación, generalización. Así, al resolver cualquier problema, el alumno realiza un análisis: separa la pregunta de la condición, selecciona los datos y los números requeridos; Al esbozar un plan de solución, realiza una síntesis, utilizando la concreción (dibuja mentalmente la condición del problema) y luego la abstracción (distrayendo la atención de situación específica, selecciona operaciones aritméticas); Como resultado de la resolución repetida de problemas de un determinado tipo, el alumno generaliza el conocimiento de las conexiones entre los datos y lo que se busca en los problemas de este tipo, por lo que se generaliza el método de resolución de problemas de este tipo.
las tareas son Herramienta útil desarrollo en los niños del pensamiento lógico, la capacidad de realizar análisis y síntesis, generalizar, abstraer y concretar, y revelar las conexiones que existen entre los fenómenos considerados. La resolución de problemas es un ejercicio que desarrolla el pensamiento. Además, la resolución de problemas ayuda a desarrollar la paciencia, la perseverancia, la voluntad, ayuda a despertar el interés en el proceso mismo de encontrar una solución y permite experimentar la profunda satisfacción asociada con una solución exitosa.
Dominar los conceptos básicos de las matemáticas es impensable sin resolver y analizar un problema, que es uno de los eslabones importantes en la cadena del conocimiento de las matemáticas; este tipo de actividad no solo activa el estudio de las matemáticas, sino que también allana el camino hacia una comprensión profunda. de ello. Trabajar para comprender el progreso en la resolución de un problema matemático particular impulsa el desarrollo del pensamiento del niño. Resolver problemas no puede considerarse un fin en sí mismo; debe verse como un medio para estudio en profundidad principios teóricos y al mismo tiempo un medio para desarrollar el pensamiento, una forma de comprender la realidad circundante, un camino para comprender el mundo. Además, no debemos olvidar que la resolución de problemas inculca en los niños rasgos positivos carácter y los desarrolla estéticamente.
1.4 Etapas de resolución de problemas de prueba y técnicas para su implementación.
Los problemas y su solución ocupan un lugar muy importante en la educación de los escolares, tanto en términos de tiempo como en su influencia en el desarrollo mental del niño. La solución a un problema es el resultado, es decir, la respuesta al requerimiento del problema, el proceso de encontrar el resultado. Además, este proceso se considera de dos maneras: el método para encontrar el resultado y la secuencia de aquellas acciones que realiza el decisor al utilizar uno u otro método. Es decir, en en este caso La resolución de problemas se refiere a todas las actividades humanas. solucionador de problemas. Los principales métodos para resolver problemas planteados son la aritmética y el algebraica. Resolver un problema de forma aritmética significa encontrar la respuesta al requisito del problema realizando operaciones aritméticas con números.
Resolver problemas es un trabajo un tanto inusual, es decir, trabajo mental. Y para aprender cualquier trabajo, primero es necesario estudiar a fondo el material sobre el que tendrás que trabajar, las herramientas con las que se realiza este trabajo.
Esto significa que para aprender a resolver problemas es necesario comprender qué son, cómo están estructurados, qué componentes Consisten en qué herramientas se utilizan para resolver problemas.
Consideremos un ejemplo: “Cierta persona contrató a un trabajador por un año y prometió darle 12 rublos y un caftán. Pero después de trabajar durante 7 meses, quiso irse y pidió un salario digno con un caftán. El propietario le entregó el pago de 5 rublos y un caftán. La pregunta es ¿cuál fue el precio de ese caftán?
Solución al problema: el empleado no recibió 12 - 5 = 7 (frotar) durante 12 - 7 = 5 (meses),
por lo tanto, durante un mes le pagaron 7: 5 = 1,4 (frotar),
y en 7 meses recibió 7 * 1,4 = 9,8 (frotar),
entonces el caftán costaba 9,8 - 5 = 4,8 (frotar).
Respuesta: el costo de un caftán es de 4,8 rublos.
Un mismo problema se puede resolver de diferentes formas aritméticas. Se diferencian entre sí en la lógica del razonamiento realizado en el proceso de resolución de un problema.
En forma ampliada, la resolución de un problema planteado se puede representar como una secuencia de las siguientes etapas:
1) análisis de tareas;
2) construir un modelo;
3) búsqueda de una solución (elaboración de un plan de solución);
4) registro de la decisión;
5) verificación de la solución;
6) investigación del problema y su solución;
7) formular una respuesta;
8) análisis educativo y cognitivo del problema y su solución.
La mayoría de las veces, solo se implementan cuatro etapas: analizar el problema, elaborar un plan de solución, escribir la solución, formular una respuesta, y en todas las etapas se detienen solo al resolver problemas complejos, problemáticos o problemas que tienen un cierto significado teórico generalizado. .
El análisis de una tarea siempre está dirigido a sus necesidades.
Objetivos de la etapa: - comprender la situación descrita en la tarea;
Resaltar las condiciones y requisitos;
Nombrar objetos conocidos y buscados;
Resalte todas las relaciones (dependencias) entre ellos.
Para comprender el contenido de la tarea, aislar las condiciones y requisitos, es necesario hacer preguntas especiales:
1. ¿De qué se trata la tarea?
2. ¿Qué necesitas encontrar en el problema?
3. ¿Qué significan ciertas palabras en el texto del problema?
4. ¿Qué se desconoce en el problema?
5. ¿Qué se busca?
Considere un ejemplo: “Dos niños caminan por la calle en la misma dirección. Al principio, la distancia entre ellos era de 2 km, pero como la velocidad del niño que va delante es de 4 km/h y la velocidad del segundo es de 5 km/h, el segundo alcanza al primero. Desde el inicio del movimiento hasta que el segundo niño alcanza al primero, un perro corre entre ellos a una velocidad de 8 km/h. Ella corre desde el niño que camina detrás hacia el que está al frente, al alcanzarlo, regresa y corre hasta que los niños están cerca. ¿Qué distancia correrá el perro en todo este tiempo?
Análisis de tareas: 1) ¿De qué se trata esta tarea?
Problema sobre el movimiento de dos niños y un perro. Se caracteriza para cada participante en el movimiento por la velocidad, el tiempo y la distancia recorrida.
2) ¿Qué necesitas encontrar en el problema?
La tarea requiere encontrar la distancia que correrá el perro durante todo el tiempo desde el inicio del movimiento hasta que los niños estén cerca, es decir, que el segundo alcance al primero.
3) ¿Qué se sabe en el problema sobre el movimiento de cada uno de sus participantes?
En el problema sabemos: a) los niños caminan en la misma dirección;
b) antes de iniciar el movimiento, la distancia entre los chicos era de 2 km;
c) la velocidad del primer niño que camina delante es de 4 km/h;
d) la velocidad del segundo niño que va detrás es de 5 km/h;
e) la velocidad a la que corre el perro es de 8 km/h;
f) el tiempo de movimiento cuando la distancia entre los chicos era de 2 km antes del momento del encuentro.
4) ¿Qué se desconoce en el problema?
En el problema se desconoce: a) el tiempo en el que el segundo niño alcanzará al primero (el tiempo de movimiento de todos sus participantes);
b) ¿a qué velocidad se acercan los niños?
c) la distancia que corrió el perro (debes averiguarlo en el problema).
5) ¿Qué se busca: un número, un valor, un tipo de alguna relación?
El valor deseado es el valor de la cantidad: la distancia que corrió el perro durante el tiempo desde el inicio del movimiento de los niños hasta el momento del encuentro.
Una técnica que ayuda mucho a la comprensión de un problema es parafrasear el texto del problema. Es decir, todo lo innecesario (no esencial) se descarta del texto del problema y las descripciones de algunos conceptos se reemplazan con los términos correspondientes y, a la inversa, algunos términos se reemplazan con una descripción del contenido de los conceptos correspondientes.
Parafrasear el texto de un problema es transformar el texto de un problema en una forma conveniente para encontrar un plan de solución. El resultado de parafrasear debería ser resaltar las situaciones principales. Para que sea más fácil comprender el problema, puede escribirlo en forma de tabla o dibujo esquemático. Tanto la tabla como el dibujo esquemático son modelos auxiliares del problema. Sirven como una forma de registrar el análisis de un problema de texto y son el principal medio para encontrar un plan para resolverlo. Después de construir el modelo auxiliar, debes verificar:
1) son todos los objetos del problema que se muestran en el modelo;
2) ¿se reflejan todas las relaciones entre objetos?
3) se proporcionan todos los datos numéricos;
4) ¿Existe alguna pregunta (requisito) e indica correctamente lo que se busca?
Encontrar un plan para resolver un problema
Objetivos de la etapa: establecer una conexión entre los datos y los objetos fuente;
trazar una secuencia de acciones.
Un plan para resolver un problema es solo una idea de solución, su diseño. Puede suceder que la idea encontrada sea incorrecta. Luego debemos volver al análisis del problema y empezar de nuevo.
Una de las técnicas más conocidas para encontrar un plan para resolver un problema utilizando el método aritmético es analizar el problema según el texto o su modelo auxiliar. El análisis del problema se realiza en forma de una cadena de razonamiento, que puede partir tanto de los datos del problema como de sus preguntas. Al analizar un problema de datos a pregunta, el solucionador identifica dos datos en el texto del problema y, basándose en el conocimiento de la conexión entre ellos (dicho conocimiento debe obtenerse al analizar el problema), determina qué incógnita se puede encontrar a partir de estos. datos y utilizando qué operación aritmética. Luego, considerando esta incógnita como dato, el solucionador vuelve a identificar dos datos interrelacionados, determina la incógnita que se puede encontrar a partir de ellos y con ayuda de qué acción, etc., hasta determinar qué acción conduce a la obtención del objeto buscado en el problema. Al analizar un problema desde la pregunta hasta los datos, es necesario prestar atención a la pregunta del problema y determinar (basándose en la información obtenida al analizar el problema) qué es suficiente saber para responder esa pregunta. Por qué es necesario consultar las condiciones y averiguar si dispone de los datos necesarios para ello. Si no existen tales datos o solo hay uno, establezca lo que necesita saber para encontrar los datos faltantes (datos faltantes), etc. Luego se elabora un plan para resolver el problema. El razonamiento se lleva a cabo en orden inverso. Análisis basado en el texto del problema: “El turista viajó durante 6 horas en un tren que viajaba a una velocidad de 56 km/h. Después de eso, tuvo que viajar 4 veces más de lo que había viajado. ¿Cuál es el viaje completo de un turista?
Razonamiento de los datos a la pregunta: se sabe: el turista viajó en tren durante 6 horas;
La velocidad del tren es de 56 km/h.
Con estos datos se puede conocer la distancia recorrida por un turista en 6 horas (velocidad multiplicada por el tiempo). Conociendo la parte de la distancia recorrida y que la distancia restante es 4 veces mayor, puedes encontrar a qué es igual (la distancia recorrida debe multiplicarse por 4 (aumentada por 4 veces)). Sabiendo cuántos kilómetros ha recorrido el turista y cuánto tiempo le queda por recorrer, se puede encontrar el camino completo sumando los tramos encontrados del camino.
Entonces las acciones: 1) la distancia que recorrió el turista en tren;
2) la distancia que le queda por recorrer; . 3) hasta el final.
Razonamiento de la pregunta al dato: El problema requiere conocer todo el recorrido del turista. Hemos establecido que el camino consta de dos partes. Esto quiere decir que para cumplir con el requerimiento de la tarea basta con saber cuántos kilómetros ha recorrido el turista y cuántos kilómetros le quedan por recorrer. Ambos son desconocidos. Para encontrar el camino recorrido basta con conocer el tiempo y la velocidad a la que viajaba el turista. Esto se sabe en el problema. Multiplicando la velocidad por el tiempo, obtenemos la distancia recorrida por el turista. El camino restante se puede encontrar aumentando la distancia recorrida 4 veces (multiplicando por 4). Entonces, primero puede averiguar la distancia recorrida, luego la distancia restante, después de lo cual puede encontrar el camino completo mediante la suma.
Implementación del plan de solución de problemas:
El objetivo de la etapa: encontrar una respuesta al requisito de la tarea completando todas las acciones de acuerdo con el plan.
Para problemas escritos resueltos aritméticamente, se utilizan las siguientes técnicas:
Registro de acciones (con explicación, sin explicación, con preguntas);
La grabación como expresión.
a) Registrar la decisión sobre las acciones con una explicación de cada acción realizada: 1) 56 * 6 = 336 (km) - el turista condujo en 6 horas.
2) 336 * 4 = 1344 (km) - el turista aún tiene que viajar;
3) 336 + 1344 = 1680 (km) -- el turista tuvo que viajar.
Si las explicaciones se dan oralmente (o no se dan ninguna), entonces la entrada será la siguiente: 1) 56 * 6 = 336(km);
2) 336 * 4 = 1344(kilómetros);
3) 336 + 1344 = 1680(kilómetros)
b) Registro de decisiones sobre acciones con preguntas:
1) ¿Cuántos kilómetros recorrió el turista en tren?
56 * 6 = 336(kilómetros)
2) ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer al turista?
336 * 4 = 1344(kilómetros)
3) ¿Cuántos kilómetros tuvo que recorrer el turista?
336 + 1344 = 1680(kilómetros)
Comprobando la solución al problema:
El objetivo de la etapa: establecer la veracidad o error de la decisión.
Existen varias técnicas que ayudan a determinar si un problema se ha resuelto correctamente. Veamos los principales:
1. Establecer una correspondencia entre el resultado y las condiciones de la tarea. Para ello, se introduce el resultado encontrado en el texto del problema y, a partir del razonamiento, se establece si surge una contradicción.
2. Resolver el problema de otra forma.
Supongamos que al resolver un problema de alguna manera se obtiene un resultado determinado. Si resolverlo de otra manera lleva al mismo resultado, entonces el problema está resuelto correctamente.
1.5 Algunas formas de resolver problemas planteados.
Basado en la similitud en el significado matemático y la intercambiabilidad de diferentes métodos de solución, todos los métodos aritméticos se pueden combinar en los siguientes grupos:
1) método de reducción a la unidad, reducción a medida general, reducción inversa a la unidad, método de relaciones;
2) una forma de resolver problemas desde el “final”;
3) un método para eliminar incógnitas (reemplazar una incógnita por otra, comparar incógnitas, comparar datos, comparar dos condiciones mediante resta, combinar dos condiciones en una); forma de adivinar;
4) división proporcional, semejanza o hallazgo de partes;
5) una forma de transformar un problema en otro (descomposición tarea difícil a simple, preparatorio; traer incógnitas a los valores por los que se da a conocer su relación; método para determinar un número arbitrario para una de las cantidades desconocidas).
Además de los métodos anteriores, es aconsejable considerar también el método de la media aritmética, el método del excedente, el método de reorganizar lo conocido y lo desconocido y el método de las reglas "falsas".
Dado que generalmente es imposible determinar de antemano cuál de los métodos es racional, prever cuál de ellos conducirá a la solución más simple y comprensible para el estudiante, entonces se debe presentar a los estudiantes diferentes caminos y darles la oportunidad de elegir cuál utilizar a la hora de resolver un problema específico.
Método para excluir incógnitas
Este método se utiliza cuando existen varias incógnitas en el problema. Este problema se puede resolver utilizando una de cinco técnicas: 1) reemplazar una incógnita por otra; 2) comparación de incógnitas; 3) comparación de dos condiciones por resta; 4) comparación de datos; 5) combinar varias condiciones en una.
Como resultado del uso de una de las técnicas enumeradas, en lugar de varias incógnitas, queda una que se puede encontrar. Una vez calculado, utilizan los datos en la condición de dependencia para encontrar otras incógnitas.
Echemos un vistazo más de cerca a algunas de las técnicas.
1. Reemplazar una incógnita por otra
El nombre de la técnica revela su idea: a partir de las dependencias (múltiples o en diferencia) que se dan según las condiciones del problema, es necesario expresar todas las incógnitas a través de una de ellas.
Tarea. Sergei y Andrey tienen sólo 126 sellos. Sergei tiene 14 puntos más que Andrey. ¿Cuántas estampillas tenía cada niño?
Breve descripción de la condición:
Serguéi...? puntos, 14 puntos más
Andrey--? sellos
Total: 126 sellos
Solución 1.
(reemplazando una incógnita más grande por una más pequeña)
1) Que Sergei tenga tantos sellos como Andrey. Entonces el número total de sellos sería 126 -- 14 = 112 (sellos).
2) Como los niños ahora tienen el mismo número de notas, encontraremos cuántas notas tenía Andrei al principio: 112: 2 = 56 (sellos).
3) Teniendo en cuenta que Sergei tiene 14 puntos más que Andrey, obtenemos: 56 + 14 = 70 (puntos).
Solución 2.
(reemplazando una incógnita más pequeña por una más grande)
1) Dejemos que Andrei tenga la misma cantidad de sellos que Sergei. Entonces el número total de sellos sería 126 + 14 = 140 (sellos).
2) Como los niños ahora tienen el mismo número de puntos, encontremos cuántas notas tenía Sergei al principio: 140: 2 = 70 (puntos).
3) Teniendo en cuenta que Andrey obtuvo 14 puntos menos que Sergei, obtenemos: 70 - 14 = 56 (puntos).
Respuesta: Sergei obtuvo 70 puntos y Andrey 56 puntos.
Para una mejor asimilación por parte de los estudiantes del método de sustitución de una incógnita menor por una mayor, antes de considerarlo, es necesario aclarar con los estudiantes el siguiente hecho: si el número A es mayor que el número B en C unidades, entonces en Para comparar los números A y B es necesario:
a) restar el número C del número A (entonces ambos números son iguales al número B);
b) suma el número C al número B (entonces ambos números son iguales al número A).
La capacidad de los estudiantes para reemplazar una incógnita mayor por una más pequeña, y viceversa, contribuye aún más al desarrollo de la capacidad de elegir una incógnita y expresar otras cantidades a través de ella al componer una ecuación.
2. Comparación de incógnitas
Tarea. Había 188 libros en cuatro estantes. En el segundo estante había 16 libros menos que en el primero, en el tercero, 8 más que en el segundo, y en el cuarto, 12 menos que en el tercer estante. ¿Cuántos libros hay en cada estante?
Análisis de tareas
Para comprender mejor las dependencias entre cuatro cantidades desconocidas (la cantidad de libros en cada estante), utilizamos el siguiente diagrama:
I_________________________________
II_________________________________________
III______________________________
IV_______________________ _ _ _ _ _
Comparando los segmentos que representan esquemáticamente el número de libros en cada estante, llegamos a las siguientes conclusiones: hay 16 libros más en el primer estante que en el segundo; en el tercero hay 8 más que en el segundo; en el cuarto - 12 - 8 = 4 (libros) menos que en el segundo. Por lo tanto, el problema se puede resolver comparando la cantidad de libros en cada estante. Para hacer esto, retire 16 libros del primer estante, 8 libros del tercero y coloque 4 libros en el cuarto estante. Entonces habrá la misma cantidad de libros en todos los estantes, es decir, como había al principio en el segundo.
1) ¿Cuántos libros quedan en todos los estantes después de las operaciones descritas en el análisis del problema?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (libros)
2) ¿Cuántos libros había en el segundo estante?
168: 4 = 42 (libros)
3) ¿Cuántos libros había en el primer estante?
42 + 16 = 58 (libros)
4) ¿Cuántos libros había en el tercer estante?
42 + 8 = 50 (libros)
5) ¿Cuántos libros había en el cuarto estante?
50 -- 12 = 38 (libros)
Respuesta: Había 58, 42, 50 y 38 libros en cada uno de los cuatro estantes.
Comentario. Puede invitar a los estudiantes a resolver este problema de otras maneras comparando el número desconocido de libros que estaban en el primero, en el segundo o en el cuarto estante.
3. Comparación de dos condiciones por resta
La trama del problema que se resuelve mediante esta técnica suele incluir dos cantidades proporcionales (la cantidad de bienes y su costo, el número de trabajadores y el trabajo que realizaron, etc.). La condición da dos valores de una cantidad y la diferencia de dos valores numéricos de otra cantidad proporcional a ellos.
Tarea. Por 4 kg de naranjas y 5 kg de plátanos pagaron 620 rublos, y la siguiente vez por 4 kg de naranjas y 3 kg de plátanos comprados al mismo precio pagaron 500 rublos. ¿Cuánto cuesta 1 kg de naranjas y 1 kg de plátanos?
Breve descripción de la condición:
Aplicación de 4 kg. y prohibición de 5 kg. - 620 rublos,
Aplicación de 4 kg. y prohibición de 3 kg. - 500 frotar.
1) Comparemos el costo de dos compras. Tanto la primera como la segunda vez compraron la misma cantidad de naranjas al mismo precio. La primera vez pagamos más porque compramos más plátanos. Hallemos cuántos kilogramos más de plátanos se compraron la primera vez: 5 -- 3 = 2 (kg).
2) Averigüemos cuánto más pagamos la primera vez que la segunda (es decir, averiguamos cuánto cuestan 2 kg de plátanos): 620 - 500 = 120 (frotar).
3) Encuentre el precio de 1 kg de plátanos: 120: 2 = 60 (frotar).
4) Conociendo el coste de la primera y segunda compra, podemos encontrar el precio de 1 kg de naranjas. Para hacer esto, primero encuentre el costo de los plátanos comprados, luego el costo de las naranjas y luego el precio de 1 kg. Tenemos: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (frotar).
Respuesta: el precio de 1 kg de naranjas es de 80 rublos y el precio de 1 kg de plátanos es de 60 rublos.
4. Comparación de datos
El uso de esta técnica permite comparar datos y aplicar el método de resta. Puede comparar valores de datos:
1) usar la multiplicación (comparándolos con el mínimo común múltiplo);
2) usar división (comparándolos con el máximo común divisor).
Demostremos esto con un ejemplo.
Tarea. Por 4 kg de naranjas y 5 kg de plátanos pagaron 620 rublos, y la siguiente vez por 6 kg de naranjas y 3 kg de plátanos comprados al mismo precio pagaron 660 rublos. ¿Cuánto cuesta 1 kg de naranjas y 1 kg de plátanos?
Breve descripción de la condición:
Aplicación de 4 kg. y prohibición de 5 kg. - 620 rublos,
Aplicación de 6 kg. y prohibición de 3 kg. - 660 frotar.
Igualemos el número de naranjas y plátanos comparándolos con el mínimo común múltiplo: MCM(4;6) = 12.
Solución1.
1) Aumentemos la cantidad de frutas compradas y su costo en el primer caso 3 veces y en el segundo, 2 veces. Obtenemos la siguiente breve declaración de la condición:
Aplicación de 12 kg. y prohibición de 15 kg. - 1860 rublos,
Aplicación de 12 kg. y prohibición de 6 kg. - 1320 frotar.
2) Averigua cuántos plátanos más compraste la primera vez: 15-6 = 9 (kg).
3) ¿Cuánto cuestan 9 kg de plátanos? 1860 -- 1320 = 540 (frotar).
4) Calcula el precio de 1 kg de plátanos: 540: 9 = 60 (frotar).
5) Calcula el coste de 3 kg de plátanos: 60 * 3 = 180 (frotar).
6) Calcula el coste de 6 kg de naranjas: 660 -- 180 = 480 (frotar).
7) Calcula el precio de 1 kg de naranjas: 480: 6 = 80 (frotar).
Solución2.
Igualemos el número de naranjas y plátanos comparándolos con el máximo común divisor: MCD (4; 6) = 2.
1) Para igualar el número de naranjas compradas la primera y la segunda vez, reducimos la cantidad del producto comprado y su costo en el primer caso 2 veces, en el segundo, 3 veces. Obtengamos un problema que tenga la siguiente forma corta de condición:
Aplicación de 2 kg. y prohibición de 2,5 kg. - 310 rublos,
Aplicación de 2 kg. y prohibición de 1 kg. - 220 frotar.
2) ¿Cuántos plátanos más están comprando ahora? 2,5 -- 1 = 1,5 (kg).
3) Hallemos cuánto cuesta 1,5 kg de plátanos: 310 -- 220 = 90 (frotar).
4) Encuentre el precio de 1 kg de plátanos: 90: 1,5 = 60 (frotar).
5) Calcula el precio de 1 kg de naranjas: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (frotar).
Respuesta: el precio de 1 kg de naranjas es de 80 rublos, 1 kg de plátanos es de 60 rublos.
Al resolver problemas utilizando la técnica de comparar datos, no es posible realizar análisis y registros tan detallados, solo registrar los cambios que se realizaron para comparar y anotarlos en forma de tabla.
5. Combinar varias condiciones en una
A veces puedes deshacerte de incógnitas innecesarias combinando varias condiciones en una.
Tarea. Los turistas abandonaron el campamento y primero caminaron durante 4 horas, luego montaron en bicicleta durante otras 4 horas a cierta velocidad constante y se alejaron 60 km del campamento. La segunda vez abandonaron el campamento y primero anduvieron en bicicleta a la misma velocidad durante 7 horas, luego giraron en dirección opuesta y, caminando durante 4 horas, se encontraron a una distancia de 50 km del campamento. ¿A qué velocidad iban los turistas en bicicleta?
Hay dos incógnitas en el problema: la velocidad a la que los turistas andaban en bicicleta y la velocidad a la que caminaban. Para excluir una de ellas, puedes combinar dos condiciones en una. Entonces la distancia que recorrerán los turistas en 4 horas, avanzando a pie la primera vez, es igual a la distancia que recorrieron en 4 horas, retrocediendo la segunda vez. Por tanto, no prestamos atención a estas distancias. Esto significa que la distancia que recorrerán los turistas en 4 + 7 = 11 (horas) en bicicleta será igual a 50 + 60 = 110 (km).
Entonces la velocidad de los turistas en bicicleta es: 110: 11 = 10 (km/h).
Respuesta: La velocidad de las bicicletas es de 10 km/h.
6. Método de suposición
El uso del método de suposiciones al resolver problemas no causa dificultades a la mayoría de los estudiantes. Por lo tanto, para evitar que los estudiantes memoricen mecánicamente el diagrama de pasos de este método y malinterpreten la esencia de las acciones realizadas en cada uno de ellos, primero se les debe mostrar el método de prueba (“regla falsa” y “gobierno de los antiguos babilonios”).
Cuando se utiliza el método de muestreo, en particular la “regla falsa”, a una de las cantidades desconocidas se le asigna (“permite”) un cierto valor. Luego, usando todas las condiciones, encuentran el valor de otra cantidad. El valor resultante se compara con el especificado en la condición. Si el valor resultante es diferente del dado en la condición, entonces el primer valor especificado no es correcto y se debe aumentar o disminuir en 1, y nuevamente se debe encontrar el valor de otro valor. Esto debe hacerse hasta que obtengamos el valor de otra cantidad como en el enunciado del problema.
Tarea. El cajero tiene 50 monedas de 50 kopeks y 10 kopeks, por un total de 21 rublos. Calcula cuántas monedas de 50.000 por separado tenía el cajero. y 10k cada uno.
Solución1. (método de muestreo)
Usemos el gobierno de los “antiguos” babilonios. Supongamos que el cajero tiene igual número de monedas de cada denominación, es decir, 25 piezas cada una. Entonces la cantidad de dinero será 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), o 15 rublos. Pero en el estado 21 rublos, es decir, 21 UAH más de lo recibido: 15 rublos = 6 rublos. Esto significa que es necesario aumentar el número de monedas de 50 kopeks y disminuir el número de monedas de 10 kopeks hasta obtener un total de 21 rublos. Registraremos el cambio en la cantidad de monedas y la cantidad total en la tabla.
|
numero de monedas |
numero de monedas |
Cantidad de dinero |
Cantidad de dinero |
cantidad total |
Menos o más que en la condición. |
|
|
Menos de 6 rublos. |
||||||
|
Menos por 5rub60k |
||||||
|
Como en condiciones |
Como puede verse en la tabla, el cajero tenía 40 monedas de 50 kopeks y 10 monedas de 10 kopeks.
Como resultó en la solución 1, si el cajero tuviera la misma cantidad de monedas de 50k. y 10k cada uno, entonces en total tenía 15 rublos de dinero. Es fácil ver que cada reemplazo de moneda es de 10k. por moneda 50k. aumenta la cantidad total en 40k. Esto significa que necesitamos encontrar cuántos reemplazos de este tipo se deben realizar. Para hacer esto, primero encontremos cuánto dinero necesitamos para aumentar la cantidad total en:
21 rublos - 15 rublos. = 6 frotar. = 600 mil.
Hallemos cuántas veces es necesario realizar dicho reemplazo: 600 k : 40 k = 15.
Entonces 50 mil serán 25 +15 = 40 (monedas), y quedarán 10 mil monedas.
25 -- 15 = 10.
El cheque confirma que la cantidad total de dinero en este caso es de 21 rublos.
Respuesta: El cajero tenía 40 monedas de 50 kopeks y 10 monedas de 10 kopeks.
Pidiendo a los estudiantes que elijan por sí mismos diferentes significados cantidad de monedas de 50 kopeks, es necesario hacerles entender que lo mejor desde el punto de vista de la racionalidad es suponer que el cajero solo tenía monedas de una denominación (por ejemplo, las 50 monedas de 50 kopeks o todas 50 monedas de 10 kopeks cada una). Debido a esto, una de las incógnitas es excluida y reemplazada por otra incógnita.
7. método de residuos
Este método tiene algunas similitudes con el pensamiento al resolver problemas mediante métodos de prueba y conjeturas. Utilizamos el método de los restos al resolver problemas que involucran movimiento en una dirección, es decir, cuando es necesario encontrar el tiempo durante el cual el primer objeto, que se mueve detrás a mayor velocidad, alcanzará al segundo objeto, que se ha ido. una velocidad más baja. En 1 hora, el primer objeto se acerca al segundo a una distancia igual a la diferencia de sus velocidades, es decir, igual al “resto” de velocidad que tiene en comparación con la velocidad del segundo. Para encontrar el tiempo que le toma al primer objeto cubrir la distancia que había entre él y el segundo al comienzo del movimiento, debes determinar cuántas veces el "resto" se coloca en esta distancia.
Si nos abstraemos de la trama y consideramos solo la estructura matemática del problema, entonces estamos hablando de dos factores (la velocidad de movimiento de ambos objetos) o de la diferencia entre estos factores y dos productos (las distancias que recorren) o su diferencia. Los factores desconocidos (tiempo) son los mismos y es necesario encontrarlos. Desde un punto de vista matemático, el factor desconocido muestra cuántas veces la diferencia de los factores conocidos está contenida en la diferencia de los productos. Por tanto, los problemas que se resuelven mediante el método de residuos se denominan problemas de búsqueda de números por dos diferencias.
Tarea. Los estudiantes decidieron pegar fotografías de las vacaciones en un álbum. Si pegan 4 fotos en cada página, no habrá espacio suficiente en el álbum para 20 fotos. Si pegas 6 fotos en cada página, 5 páginas quedarán libres. ¿Cuántas fotos van a poner los estudiantes en el álbum?
Análisis de tareas
El número de fotografías sigue siendo el mismo para la primera y la segunda opción de pegado. Según las condiciones del problema se desconoce, pero se puede saber si se conoce el número de fotografías que se colocan en una página y el número de páginas del álbum.
Se conoce el número de fotografías que se pegan en una página (el primer multiplicador). El número de páginas del álbum se desconoce y permanece sin cambios (segundo multiplicador). Como se sabe que por segunda vez quedan libres 5 páginas del álbum, puedes saber cuántas fotografías más se podrían pegar en el álbum: 6 * 5 = 30 (fotos).
Esto significa que al aumentar el número de fotos en una página en 6 - 4 = 2, el número de fotos pegadas aumenta en 20 + 30 = 50.
Como la segunda vez pegaron dos fotografías más en cada página y en total pegaron 50 fotografías más, encontraremos el número de páginas del álbum: 50: 2 = 25 (páginas).
Por lo tanto, fueron 4*25 + 20 = 120 (fotos) en total.
Respuesta: El álbum tenía 25 páginas y 120 fotografías.
Capitulo dos. Enseñar a los escolares técnicas para la resolución de problemas aritméticos textuales.
Enseño métodos para la resolución de problemas planteados de forma sistemática, al estudiar cada tema del curso escolar.
2.1 Resolución de problemas que involucran movimiento articular
A partir de quinto grado, los estudiantes suelen encontrarse con estos problemas. También en escuela primaria A los estudiantes se les da el concepto de "velocidad total". Como resultado, se forman ideas no del todo correctas sobre la velocidad de aproximación y la velocidad de alejamiento (esta terminología no está disponible en la escuela primaria). Muy a menudo, al resolver un problema, los estudiantes Encuentra la suma. Lo mejor es empezar a solucionar estos problemas introduciendo los conceptos: “velocidad de aproximación”, “velocidad de retirada”. Para mayor claridad, puede utilizar el movimiento de las manos, explicando que los cuerpos pueden moverse en una dirección o en diferentes direcciones. En ambos casos puede haber una velocidad de aproximación y una velocidad de alejamiento, pero en distintos casos se encuentran de forma diferente. Después de esto, los estudiantes escriben la siguiente tabla:
Tabla 1.
Métodos para encontrar la velocidad de aproximación y la velocidad de alejamiento.
Al analizar el problema, se dan las siguientes preguntas:
1. Utilizando los movimientos de las manos, descubrimos cómo se mueven los cuerpos entre sí (en la misma dirección, en diferentes).
2. Descubra cómo se encuentra la velocidad (mediante suma, resta).
3. Determine qué velocidad es (aproximación, distancia).
Anotamos la solución al problema.
Ejemplo No. 1. Desde las ciudades A y B, cuya distancia es de 600 km, al mismo tiempo, un camión de carga y coche de pasajeros. La velocidad de un turismo es de 100 km/h y la de un vehículo de carga es de 50 km/h. ¿En cuántas horas se reunirán?
Los estudiantes muestran con sus manos cómo se mueven los autos y sacan las siguientes conclusiones:
A. los coches se mueven en diferentes direcciones;
b. la velocidad se encontrará por suma;
v. dado que se mueven uno hacia el otro, esta es la velocidad de aproximación.
1. 100 + 50 = 150 (km/h) - velocidad de aproximación.
2. 600: 150 = 4 (h) - tiempo de movimiento hasta la reunión.
Respuesta: en 4 horas.
Ejemplo No. 2. Un hombre y un niño salieron de la casa al mismo tiempo y caminan por el mismo camino. La velocidad del hombre es de 5 km/h y la del niño es de 3 km/h. ¿Cuál será la distancia entre ellos después de 3 horas?
Usando movimientos de la mano, descubrimos:
A. niño y hombre moviéndose en la misma dirección;
b. la velocidad se encuentra por la diferencia;
v. el hombre camina más rápido, es decir, se aleja del niño (velocidad de eliminación).
1. 5 -- 3 = 2 (km/h) - velocidad de eliminación.
2. 2*2 = 4 (km/h) - la distancia entre un hombre y un niño después de 2 horas
Respuesta: 4 kilómetros.
2.2 Problemas resueltos usando tablas
Al prepararse para resolver este tipo de problemas, puede utilizar con éxito mapas de señales.
El conteo oral se debe realizar mediante estas tarjetas, que debe tener cada alumno, lo que permite involucrar a toda la clase en el trabajo.
Ejemplo No. 1. El primer niño tiene 5 puntos más que el segundo. ¿Cómo saber cuántas estampillas tiene el segundo?
Los estudiantes toman la tarjeta No. 1 y explican que deben sumar 5 al número de la primera, ya que tiene 5 más, enfatizando con la entonación “por ... más”
Ejemplo No. 2. El segundo niño tiene 30 puntos y el primero tiene 3 veces menos. ¿Cuántas estampillas tiene el primer niño?
Los estudiantes deben tomar la tarjeta número 4 y responder: 10 puntos, ya que 30:3 = 10. Las palabras clave son "en... menos".
La selección de problemas de aritmética mental debe ser variada, pero cada vez el alumno debe dar una explicación, nombrando palabras de referencia. En la tabla es mejor subrayar las palabras de apoyo.
Ejemplo No. 3. El ciclista recorrió 80 km en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará un ciclista en este recorrido si su velocidad es 24 km/h mayor que la velocidad del ciclista?
Al completar la tabla, el estudiante debe subrayar las palabras de apoyo y explicar que la velocidad del ciclista se encuentra sumando 16 km/h y 24 km/h. Luego, estableciendo una relación funcional entre cantidades, los estudiantes completan todas las filas y columnas de la tabla. Después de esto, dependiendo de la tarea, el alumno responde la pregunta o elabora una solución. Al trabajar con una tabla, el estudiante debe comprender que al resolver un problema, todas las filas y columnas deben llenarse con los datos del problema y los datos que se obtienen como resultado del uso de la relación funcional entre cantidades.
2.3 Resolver problemas de encontrar una parte de un número y un número por una parte
Como preparación para resolver estos problemas, se está trabajando para dominar el concepto de fracción. Al realizar cálculos orales, es necesario asegurarse de que cada estudiante sepa: a. ¿Qué acción indica la barra de fracción?
b. ¿Qué significa una fracción?
La barra de fracción denota la acción de dividir, y la fracción 3/4 denota que lo dado se dividió en 4 partes iguales y se tomaron 3 partes. Para ello es bueno utilizar sobres que todos los alumnos preparan con ayuda de sus padres. Los sobres contienen círculos: enteros, cortados por la mitad, en 3 partes iguales, en 4; 6; 8 partes. Cada lóbulo de un círculo tiene el mismo color. Con este material, los estudiantes pueden ver claramente cómo se forman las fracciones.
Por ejemplo. Traza una figura que represente la fracción 5/6. Conociendo los colores de las acciones, el profesor ve los errores cometidos por los alumnos y analiza la tarea. Al responder, el alumno dice que el círculo se dividió en 6 partes iguales y se tomaron 5 de esas partes.
La presencia de tales sobres permite visualizar la suma de fracciones con los mismos denominadores y la resta de una fracción de una unidad. Dado que todos los estudiantes participan en el trabajo y la suma es claramente visible, después de dos ejemplos, los propios estudiantes formulan la regla para sumar fracciones con los mismos denominadores.
Veamos la resta. Resta 1/4 de 1. Los estudiantes colocan un círculo sobre la mesa, pero notan que todavía no se puede quitar nada de él. Luego sugieren cortar el círculo en 4 partes iguales y quitar una. Concluimos que hay que sustituir 1 por la fracción 4/4. Después de 2 o 3 ejemplos, los estudiantes sacan sus propias conclusiones.
Con la ayuda de este material se da el concepto de la propiedad básica de una fracción, cuando se superpone 2/6 a la fracción 1/3, etc. Habiendo trabajado con este material, comenzamos a resolver problemas.
Ejemplo No. 1. Hay 120 árboles en el jardín. Los abedules constituyen 2/3 de todos los árboles y el resto son pinos. ¿Cuántos pinos había?
Pregunta: ¿Qué significa la fracción 2/3?
Respuesta: La cantidad total de árboles se dividió en 3 partes iguales y los abedules constituyen 2 partes.
40*2 = 80 (pueblo) - había abedules.
120 -- 80 = 40 (pueblo) - había pinos.
Método II:
120: 3 = 40 (árboles): forma una parte.
3 - 2 = 1 (parte) - forma pinos.
40*1 = 40 (árboles) - los pinos forman.
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Selección de un conjunto de problemas olímpicos en matemáticas para niños más pequeños. edad escolar. Estructura y tipos de tareas olímpicas, métodos para resolverlas. Enseñar a los niños la capacidad de realizar análisis semánticos, lógicos y matemáticos de problemas planteados.
Al maestro clases primarias sólo necesita saber qué tipos de tareas están disponibles. Hoy aprenderás sobre problemas aritméticos de texto simples. Los problemas aritméticos de texto simples son problemas que se pueden resolver con una operación aritmética.. Cuando leemos un problema, automáticamente lo asociamos con algún tipo, y luego inmediatamente resulta fácil entender qué acción se debe utilizar para resolverlo.
No solo le proporcionaré la clasificación de problemas verbales simples, sino que también le daré ejemplos de ellos y también le informaré sobre cómo resolver problemas verbales usando un método aritmético. Tomé todos los ejemplos de los libros de texto de matemáticas para el segundo grado (parte 1, parte 2), que se utilizan en las escuelas de Bielorrusia.
Todos los problemas aritméticos simples se dividen en dos grandes grupos:
— AD I (+/-), es decir, aquellas que se resuelven mediante operaciones aritméticas de primer orden (suma o resta);
— AD II (*/:), es decir, aquellas que se resuelven mediante operaciones aritméticas de segundo orden (multiplicación o división).
Consideremos el primer grupo de problemas aritméticos de texto simples (AD I):
1) Problemas que revelan el significado específico de la suma (+)
En la competición de carrera participaron 4 niñas y 5 niños. ¿Cuántos estudiantes de la clase participaron en el concurso?
Después de que Sasha resolvió 9 ejemplos, todavía le quedaban 3 ejemplos más por resolver. ¿Cuántos ejemplos necesitaba resolver Sasha?
Los siguientes problemas se resuelven mediante la suma: a+b=?
2) Problemas que revelan el significado específico de la resta (-)
Mamá horneó 15 pasteles. ¿Cuántas tartas quedan después de comer 10 tartas?
En el frasco había 15 vasos de jugo. Bebimos 5 vasos en el almuerzo. ¿Cuantos vasos de jugo quedan?
Los siguientes problemas se resuelven mediante resta: a-b=?
3) Tareas sobre la relación entre componentes y el resultado de suma o resta:
a) encontrar el primer término desconocido (?+a=b)
El niño puso 4 lápices en la caja. Había 13 allí. ¿Cuántos lápices había inicialmente en la caja?
Para resolver este problema, es necesario restar del resultado de la acción el conocido segundo término: b-a=?
b) encontrar el segundo término desconocido (a+?=b)
Se vertieron 13 vasos de agua en una cacerola y una tetera. ¿Cuántos vasos de agua se vertieron en la tetera si se vertieron 5 vasos en la cacerola?
Los problemas de este tipo se resuelven mediante resta; el primer término conocido se resta del resultado de la acción: b-a=?
c) encontrar el minuendo desconocido (?-a=b)
Olga recogió un ramo. Puso 3 colores en el jarrón y le quedaron 7 flores. ¿Cuántas flores había en el ramo?
De forma aritmética, los problemas verbales de este tipo se resuelven sumando el resultado de la acción y el sustraendo: b+a=?
d) encontrar el sustraendo desconocido (a-?=b)
Compramos 2 docenas de huevos. Después de tomar varios huevos para hornear, quedan 15. ¿Cuántos huevos tomaste?
Estos problemas se resuelven mediante resta: del minuendo restamos el resultado de la acción: a-b=?
4) Tareas para disminuir / aumentar en varias unidades en forma directa, indirecta
Ejemplos de problemas que involucran reducción en varias unidades en forma directa:
Una caja contenía 20 kg de plátanos y la segunda 5 menos. ¿Cuántos kilogramos de plátanos había en la segunda caja?
La primera clase recogió 19 cajas de manzanas y la segunda clase recogió 4 cajas menos. ¿Cuántas cajas de manzanas recogió el segundo grado?
Estos problemas se resuelven mediante resta (a-b=?)
No encontré ningún ejemplo de problemas que impliquen reducción en forma indirecta, así como aumento en forma directa o indirecta, en el libro de texto de matemáticas de segundo grado. Si es necesario, escribe en los comentarios y complementaré el artículo con mis propios ejemplos.
5) Problemas de comparación de diferencias
El peso de un ganso es de 7 kg y el de una gallina de 3 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa menos una gallina que un ganso?
La primera caja contiene 14 lápices y la segunda caja contiene 7. ¿Cuántos lápices más hay en la primera caja que en la segunda?
La resolución de problemas escritos que involucran comparaciones de diferencias se realiza restando un número menor de un número mayor.
Hemos terminado de abordar los problemas de aritmética textual simple del grupo 1 y pasamos a los problemas del grupo 2. Si algo no te quedó claro, pregunta en los comentarios.
El segundo grupo de problemas aritméticos de texto simple (AD II):
1) Problemas que revelan el significado específico de la multiplicación.
¿Cuántas patas tienen dos perros? ¿Tres perros?
Hay tres coches aparcados cerca de la casa. Cada auto tiene 4 ruedas. ¿Cuántas ruedas tienen tres autos?
Estos problemas se resuelven mediante multiplicación: a*b=?
2) Tareas que revelan el significado específico de división:
a) por contenido
Se repartieron 10 tartas a los niños, dos cada una. ¿Cuántos niños recibieron pasteles?
Los sacos de 2 kg contienen 14 kg de harina. ¿Cuántos paquetes de este tipo?
En estos problemas averiguaremos cuántas partes se obtuvieron con igual contenido.
b) en partes iguales
Se cortó una tira de 10 cm de largo en dos partes iguales. ¿Cuanto mide cada parte?
Nina dividió 10 pasteles en partes iguales en 2 platos. ¿Cuántos pasteles hay en un plato?
Y en estos problemas averiguamos cuál es el contenido de una parte igual.
Sea como fuere, todos estos problemas se resuelven mediante división: a:b=?
3) Problemas sobre la relación entre el componente y el resultado de la multiplicación y división:
a) encontrar el primer factor desconocido: ?*a=b
Ejemplo propio:
Varias cajas contienen 6 lápices. En total hay 24 lápices en las cajas. ¿Cuántas cajas?
Resuelto dividiendo el producto por el segundo factor conocido: b:a=?
b) encontrar el segundo factor desconocido: a*?=b
En la cafetería pueden sentarse 3 personas en una mesa. ¿Cuántas de estas mesas estarán ocupadas si vienen 15 personas?
Resuelto dividiendo el producto por el primer factor conocido: b:a=?
c) encontrar el dividendo desconocido: ?:a=b
Ejemplo propio:
Kolya trajo dulces a la clase y los dividió en partes iguales entre todos los estudiantes. Hay 16 niños en la clase. Todos recibieron 3 dulces. ¿Cuántos dulces trajo Kolya?
Resuelto multiplicando el cociente por el divisor: b*a=?
d) encontrar un divisor desconocido: a:?=b
Ejemplo propio:
Vitya trajo 44 dulces a la clase y los dividió en partes iguales entre todos los estudiantes. Todos recibieron 2 dulces. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?
Resuelto dividiendo el dividendo por el cociente: a:b=?
4) Tareas para aumentar / disminuir varias veces en forma directa o indirecta
No se encontraron ejemplos de tales problemas de aritmética textual en el libro de texto de segundo grado.
5) Múltiples problemas de comparación
Se resuelve dividiendo el mayor por el menor.
Amigos, toda la clasificación anterior de problemas verbales simples es solo una parte de una clasificación más amplia de todos los problemas verbales. Además, también hay problemas para encontrar porcentajes de los que no os hablé. Puedes aprender sobre todo esto en este vídeo:
¡Y mi gratitud permanecerá contigo!
A pesar de que las actividades informáticas son de interés para los niños y que el problema en sí ocupa un lugar importante en el plan de estudios del jardín de infancia, muchos niños mayores en edad preescolar e incluso niños de primaria(estudiantes de los grados 1-3) experimentan importantes dificultades para resolver problemas aritméticos. Alrededor del 20% de los niños en el séptimo año de vida tienen dificultades para elegir una operación aritmética y justificarla. Estos niños, al resolver problemas aritméticos, al elegir una operación aritmética se guían principalmente por conexiones y relaciones "pseudomatemáticas" externas y sin importancia entre los datos numéricos en la condición del problema, así como entre la condición y la pregunta del problema. . Esto se manifiesta principalmente en su falta de comprensión del contenido generalizado de los conceptos: "condición", "pregunta", "acción", así como de los signos (+, -, =), en la incapacidad de elegir correctamente el signo necesario. , una operación aritmética en el caso, cuando se da en condiciones, la visualización específica no corresponde a la operación aritmética (llegó, sumó, más caro - suma; se fue volando, tomó, más barato - resta). Además, a veces los educadores orientan a los niños hacia estas conexiones pseudomatemáticas. En tales situaciones, la actividad informática no se forma de forma suficientemente consciente (M. A. Bantova, N. I. Moro, A. M. Pyshkalo, E. A. Tarkhanova, etc.).
Obviamente, la razón principal no es nivel alto El conocimiento de los niños reside en la esencia misma de lo que distingue la actividad computacional de contar. Mientras cuenta, el niño se ocupa de conjuntos específicos (objetos, sonidos, movimientos). Él ve, oye, siente estos conjuntos y tiene la oportunidad de actuar prácticamente con ellos (superponer, aplicar, comparar directamente). En cuanto a la actividad informática, está relacionada con los números. Y los números son conceptos abstractos. La actividad computacional se basa en diversas operaciones aritméticas, que también son operaciones generalizadas y abstractas con conjuntos.
Comprender el problema aritmético más simple requiere analizar su contenido, aislar sus datos numéricos, comprender las relaciones entre ellos y, por supuesto, las propias acciones que el niño debe realizar.
Es especialmente difícil para los niños en edad preescolar comprender la pregunta problemática, que refleja entidad matemática acciones, aunque es la cuestión de la tarea la que dirige la atención del niño hacia las relaciones entre datos numéricos.
Enseñar a los niños en edad preescolar a resolver problemas aritméticos los lleva a comprender el contenido de las operaciones aritméticas (suma - suma, disminución - resta). Esto también es posible a partir de un cierto nivel de desarrollo de la actividad analítico-sintética del niño. Para que los niños aprendan técnicas básicas de informática es necesario trabajo preliminar, dirigido a dominar el conocimiento sobre las relaciones entre números adyacentes en la serie natural, la composición de un número, contar en grupos, etc.
De particular importancia en la formación de actividades informáticas es un enfoque de trabajo claro, sistemático y paso a paso.
Resuelve por suma (suma uno más tres)”. Los niños concluyen: "Cuatro pájaros volaron hacia el comedero".
“Había cinco televisores en la tienda, uno de ellos estaba vendido. ¿Cuántos televisores quedan en la tienda? Al resolver este problema, la maestra les enseña a justificar sus acciones así: eran cinco televisores, uno se vendió, por lo tanto, queda uno menos. Para saber cuántos televisores quedan, debes restar uno de cinco y obtienes cuatro.
El maestro forma en los niños ideas sobre las operaciones de suma y resta, y al mismo tiempo les presenta los signos “+” (suma, suma), “-” (resta, resta) y “=" (igual, igual) .
Así, el niño pasa gradualmente de acciones con conjuntos concretos a acciones con números, es decir, resuelve un problema aritmético.
Ya en la segunda o tercera lección, junto con los problemas de dramatización y de ilustración, se puede pedir a los niños que resuelvan problemas orales (de texto). Esta etapa del trabajo está íntimamente relacionada con el uso de tarjetas con números y signos. Son especialmente útiles los ejercicios para que los niños compongan de forma independiente problemas similares. Al mismo tiempo, el profesor debe recordar que lo principal es encontrar no tanto la respuesta (el nombre del número), sino el camino hacia ella. Entonces, los niños resuelven el problema: “En el sitio jardín de infancia El primer día plantaron cuatro árboles y al día siguiente plantaron otro árbol. ¿Cuántos árboles se plantaron en dos días? El maestro enseña al niño a pensar mientras resuelve un problema. Pregunta a los niños: “¿Sobre qué? estamos hablando acerca de en el problema? -- “Sobre el hecho de que se plantaron árboles en el patio del jardín de infantes”. - “¿Cuántos árboles se plantaron el primer día?” -- "Cuatro". - “¿Cuántos árboles se plantaron el segundo día?” - "Un árbol." - “¿Qué se pregunta en el problema?” - “¿Cuántos árboles se plantaron en el sitio en dos días?” - “¿Cómo puedes saber cuántos árboles se plantaron en el sitio?” - “Suma uno a cuatro”.
La maestra lleva a los niños a la siguiente generalización: para sumar uno (uno) a un número, no es necesario contar todos los objetos, basta con nombrar el siguiente número. Cuando sumamos uno a cuatro, simplemente llamamos al número que sigue al número "cuatro" "cinco". Y cuando necesites restar, quita uno, debes nombrar el número anterior delante de él. Por lo tanto, basándose en los conocimientos existentes de los niños, el maestro los equipa con técnicas para contar (sumar) uno a un número y restar uno. A continuación se presentan varios problemas del primer tipo.
- 1. Cinco gorriones estaban posados en una rama. Otro gorrión voló hacia ellos. ¿Cuántos pájaros hay en la rama?
- 2. Tanya y Vova ayudaron a su madre. Tanya peló tres patatas y Vova peló una zanahoria. ¿Cuántas verduras pelaron los niños?
- 3. Cinco tulipanes florecieron en un macizo de flores y una peonía en otro. ¿Cuántas flores brotaron juntas en ambos macizos de flores?
Si desde los primeros pasos del aprendizaje los niños se dan cuenta de la necesidad y la importancia de analizar problemas simples, más adelante esto les ayudará a resolver problemas matemáticos complejos. La actividad mental de un niño depende en gran medida de la capacidad del maestro para plantear preguntas y animarlo a pensar. Entonces, la maestra pregunta a los niños: “¿Qué deberían aprender del problema? ¿Cómo puedes responder la pregunta? ¿Por qué crees que es necesario doblarlo? ¿Cómo se suma uno a cuatro?
La siguiente etapa del trabajo está asociada con familiarizar a los niños con nuevas tareas (tareas del segundo tipo) en la relación "más - menos en varias unidades". En estos problemas, las operaciones aritméticas se sugieren en el propio planteamiento del problema. La relación “más a uno” requiere que el niño aumente, cuente y sume. Los niños ya han aprendido la expresión “más (menos) a uno” en grupos de quinto y sexto año de vida, comparando números adyacentes. Al mismo tiempo, no se recomienda centrar la atención de los niños en palabras individuales "más", "menos", y más aún, indicarles que elijan una operación aritmética únicamente en función de estas palabras. Posteriormente, a la hora de resolver problemas “indirectos, indirectos”, surge la necesidad de volver a entrenar a los niños, y esto es mucho más difícil que enseñarles a elegir correctamente una operación aritmética. A continuación se muestran algunos problemas de ejemplo del segundo tipo.
- 1. Mamá puso dos cucharadas de azúcar en la taza de té del auto y una cucharada más en la taza grande de papá. ¿Cuánta azúcar puso mamá en la taza de papá?
- 2. Había cuatro personas en la estación. trenes de pasajeros y los de productos básicos, uno menos. ¿Cuántos trenes de carga había en la estación?
- 3. Los niños recogieron tres cajas de tomates en el huerto y una menos de pepinos. ¿Cuántas cajas de pepinos recogieron los niños?
Al inicio de la formación, solo se ofrece a niños en edad preescolar. Tareas directas, en las que tanto la condición como la pregunta parecen sugerir qué acción se debe realizar: suma o resta.
Se debe animar a los niños de seis años a comparar problemas diferentes tipos, aunque esto les resulta difícil, ya que los niños no ven el texto, y ambas tareas deben retenerse en la memoria. El principal criterio de comparación es la pregunta. La pregunta enfatiza que solo es necesario determinar la cantidad del segundo conjunto, que es mayor (menos) en uno, o la cantidad total (resto, diferencia). Las operaciones aritméticas son las mismas, pero el objetivo es diferente. Esto es lo que contribuye al desarrollo del pensamiento de los niños. El maestro los lleva gradualmente a esta comprensión.
Una etapa aún más importante y responsable en la enseñanza de los niños a resolver problemas aritméticos es familiarizarlos con el tercer tipo de problemas: la comparación de diferencias de números. Los problemas de este tipo sólo se pueden resolver mediante resta. Al presentar a los niños este tipo de tarea, su atención se centra en lo principal: la pregunta de la tarea. La pregunta comienza con las palabras "¿cuánto?", es decir, siempre es necesario determinar la diferencia, las relaciones de diferencia entre datos numéricos. El maestro enseña a los niños a comprender las relaciones de dependencia entre datos numéricos. El análisis de la tarea debería ser más detallado. Durante el análisis, los niños deben pasar de la pregunta a la condición del problema. Cabe aclarar que al elegir una operación aritmética, la cuestión principal es siempre la cuestión del problema; la solución depende de su contenido y formulación. Por tanto, conviene empezar analizando el tema. Primero, a los niños se les asigna una tarea sin hacer preguntas. Por ejemplo: “Los niños sacaron a pasear cuatro pelotas grandes y una pequeña. ¿Lo que es? ¿Se puede llamar a esto un problema aritmético? - la maestra se dirige a los niños. “No, esto es sólo una condición del problema”, responden los niños. "Ahora plantee usted mismo una pregunta sobre este problema".
Se debe llevar a los niños a la conclusión de que se pueden plantear dos preguntas sobre esta condición del problema:
- 1. ¿Cuántas pelotas llevaste a caminar?
- 2. ¿Cuántas pelotas más grandes tomaste que pequeñas?
De acuerdo con la primera pregunta, se debe realizar la suma y, de acuerdo con la segunda, la resta. Esto convence a los niños de que el análisis de un problema debe comenzar con una pregunta. La línea de razonamiento podría ser la siguiente: para saber cuántas pelotas sacaron los niños a pasear, es necesario saber cuántas pelotas grandes y pequeñas sacaron por separado y encontrar su número total. En el segundo caso, es necesario encontrar cuántas bolas hay más de unas que de otras, es decir, determinar la diferencia. La diferencia siempre se encuentra por resta: el número menor se resta del número mayor.
Así, los problemas del tercer tipo ayudan al profesor a consolidar conocimientos sobre la estructura del problema y contribuyen al desarrollo en los niños de la capacidad de distinguir y encontrar la operación aritmética adecuada.
En estas clases, no mecánicamente, sino más o menos conscientemente, los niños realizan acciones y justifican la elección de la operación aritmética. Los problemas de este tipo también deben compararse con los problemas del primer y segundo tipo.
actividades informáticas en edad preescolar Implica que los niños dominen las operaciones aritméticas de suma y resta relacionadas con Sistema operativo matemáticas y sujeto a patrones especiales de acciones operativas.
Para ayudar a los niños a recordar mejor los datos numéricos se utilizan tarjetas con números y, posteriormente, signos.
Al principio, es mejor limitar los datos numéricos de los problemas a los primeros cinco números de la serie natural. En tales casos, los niños, por regla general, encuentran fácilmente la respuesta. El objetivo principal de estas clases es enseñar a analizar un problema, su estructura y comprender la esencia matemática. Los niños aprenden a identificar componentes estructurales de un problema, datos numéricos, a dar razones para operaciones aritméticas, etc.
Durante este período, se debe prestar especial atención a enseñar a los niños a redactar y resolver problemas utilizando ilustraciones y ejemplos numéricos.
Entonces, la maestra se dirige a los niños: "Ahora tú y yo redactaremos y resolveremos problemas basándonos en la imagen". Al mismo tiempo, la atención de los niños se llama la imagen, que representa un río, cinco niños juegan en la orilla y dos niños en botes navegan hacia la orilla. Se propone mirar el dibujo y responder a la pregunta: “¿Qué se dibuja en el dibujo? ¿De qué quería hablar el artista? ¿Dónde juegan los niños? ¿Cuántos niños hay en la orilla? ¿Qué están haciendo estos niños? (Señala a los niños en el bote.) ¿Cuántos hay? Cuando lleguen a tierra, ¿habrá más o menos en la orilla? Inventa un problema basado en esta imagen”.
La maestra llama a dos o tres niños y escucha las tareas que han elaborado. Luego elige el problema más exitoso y todos lo resuelven juntos. “¿A qué se debe el problema? ¿Cuántos niños jugaban en la orilla? ¿Cuántos niños vinieron en el barco? ¿Qué hay que hacer para resolver el problema? ¿Cómo se puede sumar el número “dos” al número “cinco”? -- 5+1 + 1=7.
El profesor se asegura de que los niños formule correctamente la operación aritmética y explique el método de contar por unidad.
De manera similar, formulan y resuelven otros problemas. Al final de la lección, la maestra pregunta qué estaban haciendo los niños y aclara sus respuestas: “Así es, aprendimos a componer y resolver problemas, elegir la acción adecuada, sumar y restar el número 2 contando y contando de uno en uno. "
De la misma manera, los niños componen y resuelven problemas utilizando un ejemplo numérico. Redactar y resolver problemas aritméticos utilizando un ejemplo numérico requiere una actividad mental aún más compleja, ya que el contenido del problema no puede ser arbitrario, sino que se basa en un ejemplo numérico a modo de diagrama. Al principio, la atención de los niños se centra en la acción misma. De acuerdo con la acción (suma o resta), se elaboran la condición y la pregunta del problema. Puede complicar el objetivo: no para cada ejemplo numérico se compila un nuevo problema y, a veces, para el mismo ejemplo se compilan varios problemas de diferentes tipos. Esto, por supuesto, es mucho más difícil, pero es más eficaz para el desarrollo mental del niño.
Entonces, según el ejemplo numérico 4 + 2, los niños componen y resuelven dos problemas: el primero - para encontrar la suma (cuánto hay en total), el segundo - para la proporción "más en varias unidades" (en 2). Al mismo tiempo, el niño debe ser consciente de las relaciones y dependencias entre datos numéricos.
Según el ejemplo 4 - 2, los niños deben crear tres problemas: del primer, segundo y tercer tipo. Primero, la maestra ayuda a los niños con preguntas y sugerencias: “Ahora crearemos un problema donde estarán las palabras “2 menos”, y luego, usando este mismo ejemplo, crearemos un problema donde no habrá tales palabras. , y necesitaremos determinar la diferencia en cantidad (cuánto queda)”. Y luego el profesor pregunta: "¿Es posible, basándose en este ejemplo, crear una tarea nueva y completamente diferente?" Si los niños no pueden encontrar el camino, el maestro les sugiere: “Creen un problema en el que la pregunta comience con las palabras “cuánto más (menos)”.
Estas actividades con los niños les ayudan a comprender lo principal: los problemas aritméticos pueden tener diferentes contenidos, pero la expresión matemática (solución) puede ser la misma. Durante este período de estudio gran importancia tiene un método de cálculo “ampliado” que activa la actividad mental del niño. El día anterior, la maestra repite con los niños la composición cuantitativa de un número a partir de unidades y ofrece sumar el número 2 no inmediatamente, sino contar primero 1, luego otro 1. La inclusión de un método ampliado en las actividades informáticas asegura el desarrollo de la lógica pensamiento, al tiempo que facilita la asimilación de la esencia de esta actividad.
Una vez que los niños hayan formado ideas y algunos conceptos sobre un problema aritmético, la relación entre los datos numéricos, entre la condición y la pregunta del problema, puede pasar a la siguiente etapa del aprendizaje: familiarizarlos con la transformación de problemas directos en inversos. unos. Esto brindará la oportunidad de comprender aún más profundamente fórmula matemática tareas, las particularidades de cada tipo de tarea. El maestro explica a los niños que cada problema aritmético simple se puede transformar en uno nuevo si se toma el problema requerido como uno de los datos. nueva tarea, y considerar uno de los datos de la tarea transformada como el buscado en la nueva tarea.
Estos problemas, en los que uno de los datos del primero es el deseado en el segundo y el deseado del segundo problema está incluido en los datos del primero, se denominan problemas mutuamente inversos.
Entonces, de cada problema aritmético directo, se pueden hacer 2 problemas inversos mediante transformación.
Si los niños, al resolver problemas desde los primeros pasos, se centran en conexiones y relaciones significativas, entonces las palabras "se convirtieron", "permanecieron" y otras no los desorientarán. Independientemente de estas palabras, los niños eligen correctamente la operación aritmética. Además, es en esta etapa cuando el maestro debe llamar la atención de los niños sobre la independencia de la elección de la solución al problema de las palabras y expresiones individuales.
La familiarización con los problemas directos e inversos aumenta la actividad cognitiva de los niños y desarrolla su capacidad de pensar de forma lógica. Al resolver cualquier problema, los niños deben partir de la cuestión del problema. El adulto enseña al niño a dar razones de sus acciones, en este caso, a dar razones para la elección de una operación aritmética. La línea de pensamiento puede seguir el siguiente patrón: “Para saberlo... necesitamos... porque...”, etc.
En el grupo de séptimo año, los niños conocerán nuevas técnicas de cálculo basadas en el conteo en grupos. Los niños, habiendo aprendido a contar en parejas y de tres en tres, pueden sumar inmediatamente el número 2 y luego 3. Sin embargo, no hay necesidad de apresurarse. Es importante que los niños desarrollen habilidades fuertes y suficientemente conscientes para contar y contar por unidades.
EN investigación moderna Según los métodos de desarrollo matemático, existen algunas recomendaciones para la formación en niños de métodos generalizados para la resolución de problemas aritméticos. Uno de estos métodos consiste en resolver problemas utilizando un esquema de fórmulas. Esta posición está fundamentada y verificada experimentalmente en los estudios de N. I. Nepomnyashchaya, L. P. Klyueva, E. A. Tarkhanova, R. L. Nepomnyashchaya. La fórmula propuesta por los autores es una representación esquemática de la relación entre la parte y el todo. El trabajo que precede a esta etapa es la división práctica de un objeto (círculo, cuadrado, tira de papel) en partes. Lo que los niños hacen en la práctica, el maestro luego lo representa en un diagrama de fórmula (Fig. 29). Al mismo tiempo, razona así: “Si divides un círculo por la mitad, obtienes dos mitades. Si estas mitades se suman, se vuelve a formar un círculo completo. Si restamos una parte del círculo completo, obtenemos otra parte de este círculo. Ahora intentemos, antes de resolver algunos problemas (se enfatiza la palabra “algunos”), determinar hacia qué nos dirige la pregunta del problema: encontrar una parte o un todo. Un todo desconocido siempre se encuentra sumando partes, y una parte de un todo siempre se encuentra restando”.
Por ejemplo: “Para hacer un patrón, la niña tomó 4 círculos azules y 3 rojos. ¿Cuántos círculos usó la niña para hacer el patrón? Los niños razonan así: “Según las condiciones del problema, el dibujo se compone de círculos azules y rojos. Estas son las partes. Necesitas saber de cuántos círculos está hecho el patrón. Es un todo. El todo siempre se encuentra sumando las partes (4 + 3 =)”.
Para niños de alto nivel desarrollo intelectual Puede ofrecer tareas problemáticas (indirectas). Introducir a los niños de siete años en tareas de este tipo es posible y es de gran importancia para su desarrollo mental. Sobre esta base, en el futuro se desarrollará la capacidad de analizar un problema aritmético, explicar el curso de una solución y seleccionar una operación aritmética. Los problemas indirectos se diferencian en que en ellos ambos números caracterizan el mismo objeto y la pregunta tiene como objetivo determinar la cantidad de otro objeto. Las dificultades para resolver tales problemas están determinadas por la estructura misma y el contenido del problema. Como regla general, estos problemas contienen palabras que desorientan al niño a la hora de elegir una operación aritmética. A pesar de que en el enunciado del problema aparecen las palabras "más", "llegó", "mayor", etc., se debe realizar la acción opuesta a esta: restar. Para que el niño se oriente correctamente, el profesor le enseña a analizar la tarea con más atención. Para elegir una operación aritmética, un niño debe poder razonar y pensar de forma lógica. Un ejemplo de tarea indirecta: “Había 5 hongos en la canasta, que son 2 hongos más de los que hay en la mesa. ¿Cuántas setas hay en la mesa? A menudo, los niños, centrándose en signos sin importancia, es decir, palabras individuales (en este caso, la palabra "más"), se apresuran a realizar la operación de suma, cometiendo un grave error matemático.
El maestro enfatiza las características de tales problemas y les pide que piensen juntos de esta manera: “En la condición del problema, ambos números caracterizan un objeto: el número de hongos en la canasta. Hay 5 champiñones y 2 más que en la mesa. Necesitas saber cuántos champiñones hay en la mesa. Si hay 2 más en la canasta, entonces hay 2 champiñones menos en la mesa. Para saber cuántos hay en la mesa, debes restar 2 a 5 (5-2 = ?).”
Al redactar las tareas, el docente debe recordar que es importante diversificar la redacción según el estado y la pregunta de la tarea: cuánto más alto, más pesado, más caro, etc.
Además de resolver problemas aritméticos, a los niños se les ofrecen ejemplos aritméticos que les ayudan a consolidar sus habilidades computacionales. Al mismo tiempo, a los niños se les presentan algunas leyes de la suma.
Se sabe que siempre es más fácil realizar la suma si el segundo sumando es menor que el primero. Sin embargo, esto no siempre es exactamente lo que se sugiere en el ejemplo; puede ser al revés: el primer término es más pequeño y el segundo es más grande (por ejemplo, 2 + 1 = 1). En este caso, es necesario familiarizar a los niños con la ley conmutativa de la suma: 2 + 7 = 7 + 2. Primero, el maestro muestra esto en ejemplos específicos, por ejemplo en bares. Al mismo tiempo, actualiza los conocimientos de los niños sobre la composición de un número a partir de dos más pequeños. Los niños han aprendido bien que el número 9 se puede formar (componer) a partir de dos números más pequeños: 2 y 7 o, lo que es lo mismo, 7 y 2. A partir de numerosos ejemplos con material visual, los niños sacan una conclusión generalizadora: la operación de La suma es más fácil de realizar si más agregue menos y el resultado no cambiará si reorganiza estos números, intercámbielos.
Para año escolar Es suficiente realizar de 10 a 12 lecciones sobre cómo enseñar a los niños a resolver problemas y ejemplos de aritmética (Tabla 1).
A continuación presentamos el contenido programático de estas clases.
- 1. Introducir el concepto de “tarea”. Condición y pregunta en el problema. Tareas de dramatización, tareas de ilustración del primer tipo. Números hasta 5, uno de los números es 1.
- 2. Reforzar el concepto de estructura de tareas. Resolver problemas usando imágenes. Problemas del segundo tipo. Signos "+", "--", "=". Tareas orales. Números hasta 5, uno de los números es 1. Enseñar técnicas de cálculo basadas en la comprensión de las relaciones entre números adyacentes.
- 3. Comparación de problemas del primer y segundo tipo. Compilación independiente de problemas basados en imágenes, datos numéricos y condiciones.
- 4. Problemas de suma y resta de números mayores que 1 (2 = 1 + 1; 3 = 1 + 1 + 1). Problemas del tercer tipo: sobre relaciones entre números. Comparación de problemas de los tres tipos.
- 5. Problemas recíprocos. Transformando problemas aritméticos. Redactar problemas utilizando el ejemplo numérico 4 + 2; 4 - 2 de los tres tipos.
- 6. Familiarización con ejemplos aritméticos. Formación de habilidades informáticas. Elaboración de problemas basados en ejemplos numéricos.
- 7. Resolver problemas hasta 10 basándose en la composición de un número a partir de dos números más pequeños. La capacidad de justificar sus acciones. Algoritmo de razonamiento al resolver un problema: de la pregunta a la condición.
- 8. Resolver problemas usando la fórmula. Lógica del razonamiento desde la pregunta hasta las condiciones del problema.
- 9. Tareas indirectas. Tareas problemáticas. Resolver ejemplos aritméticos.
- 10. Tareas atípicas (en forma poética, chistes, etc.). Conexión con la medida y las relaciones temporales.
- 11. Resolver problemas de suma basados en la ley conmutativa de la suma. Resolver problemas usando la fórmula.
- 12. Resolución de problemas del primer, segundo y tercer tipo. Lógica del razonamiento a la hora de resolver problemas. Representación gráfica del contenido de la tarea. niño de números aritméticos pseudomatemáticos
Así, el programa de educación infantil y la metodología del desarrollo matemático prestan gran atención al problema de la enseñanza de actividades computacionales. Sin embargo, sólo como resultado de un trabajo sistemático y específico los niños desarrollan conocimientos y habilidades suficientemente fuertes y conscientes en actividades computacionales, y este es un requisito previo importante para dominar las matemáticas en la escuela.
Preguntas y tareas
- 1. Revelar los detalles de las actividades de conteo y computación, justificar la conexión entre conteo y cálculo.
- 2. Analizar varios programas alternativos (o programas diferentes años publicaciones) desde el punto de vista de su orientación al nivel de desarrollo intelectual de cada niño.
- 3. Redactar plan de largo plazo durante un trimestre para familiarizar a los niños en edad preescolar mayores con las actividades informáticas. Usando su ejemplo, demuestre la naturaleza evolutiva del aprendizaje.
- 4. ¿Cuál es su actitud ante el método de desarrollo gradual de la actividad informática en niños en edad preescolar?
Aprender a resolver problemas planteados juega un papel importante en el desarrollo del conocimiento matemático. Los problemas planteados brindan muchas posibilidades para desarrollar el pensamiento de los estudiantes. Aprender a resolver problemas no se trata solo de enseñar la técnica de obtener las respuestas correctas en algunas situaciones típicas, sino de aprender un enfoque creativo para encontrar una solución, adquirir experiencia en la actividad mental y demostrar a los estudiantes las capacidades de las matemáticas para resolver una variedad de problemas. problemas. Sin embargo, al resolver problemas planteados en los grados 5 y 6, se utiliza con mayor frecuencia una ecuación. Pero el pensamiento de los alumnos de quinto grado aún no está preparado para los procedimientos formales que implica la resolución de ecuaciones. El método aritmético para resolver problemas tiene una serie de ventajas sobre el método algebraico porque el resultado de cada paso de las acciones es más claro y específico, y no va más allá de la experiencia de los alumnos de quinto grado. Los estudiantes resuelven problemas usando acciones mejor y más rápido que usando ecuaciones. El pensamiento de los niños es concreto, y debe desarrollarse sobre objetos y cantidades específicas, para luego pasar gradualmente a operar con imágenes abstractas.
Trabajar en la tarea implica leer atentamente el texto de la condición y comprender el significado de cada palabra. Daré ejemplos de problemas que se pueden resolver fácil y simplemente usando aritmética.
Tarea 1. Para hacer mermelada, toma dos partes de frambuesas y tres partes de azúcar. ¿Cuántos kilogramos de azúcar hay que tomar para 2 kg 600 g de frambuesas?
Al resolver un problema en “partes”, debes aprender a visualizar las condiciones del problema, es decir, Es mejor confiar en el dibujo.
- 2600:2=1300 (g) - representa una parte de la mermelada;
- 1300*3= 3900 (g) - es necesario tomar azúcar.
Tarea 2. En el primer estante había 3 veces más libros que en el segundo. Había 120 libros juntos en los dos estantes. ¿Cuántos libros había en cada estante?
1) 1+3=4 (partes) - cuentas para todos los libros;
2) 120:4=30 (libros) - representa una parte (libros en el segundo estante);
3) 30*3=90 (libros) - estaba en el primer estante.
Tarea 3. Faisanes y conejos están sentados en una jaula. Hay 27 cabezas y 74 patas en total. Descubre la cantidad de faisanes y la cantidad de conejos en la jaula.
Imaginemos que ponemos una zanahoria en la tapa de la jaula en la que están sentados los faisanes y los conejos. Luego todos los conejos se pararán sobre sus patas traseras para alcanzarlo. Entonces:
- 27*2=54 (piernas) - se parará en el suelo;
- 74-54=20 (patas) - estará en la cima;
- 20:2=10 (conejos);
- 27-10=17 (faisanes).
Tarea 4. Hay 30 estudiantes en nuestra clase. 23 personas fueron de excursión al museo, 21 fueron al cine y 5 personas no fueron ni a la excursión ni al cine. ¿Cuánta gente fue tanto a la excursión como al cine?
Se pueden utilizar “círculos de Euler” para analizar la condición y seleccionar un plan de solución.
- 30-5=25 (personas) – fueron al cine o de excursión,
- 25-23=2 (persona) – fue sólo al cine;
- 21-2=19 (persona) – fue al cine y de excursión.
Tarea 5. Tres patitos y cuatro ansarones pesan 2 kg 500 g, y cuatro patitos y tres ansarones pesan 2 kg 400 g. ¿Cuánto pesa un ansarón?
- 2500+2400=2900 (g) – pesan siete patitos y siete ansarones;
- 4900:7=700 (g) – el peso de un patito y un ansarón;
- 700*3=2100 (g) – peso de 3 patitos y 3 pichones;
- 2500-2100=400 (g) – peso de la oruga.
Tarea 6. Compramos 20 pirámides para el jardín de infancia: grandes y pequeñas, de 7 y 5 anillos cada una. Todas las pirámides tienen 128 anillos. ¿Cuántas pirámides grandes había?
Imaginemos que quitamos dos anillos de todas las pirámides grandes. Entonces:
1) 20*5=100 (anillos) – izquierda;
2) 128-100-28 (anillos) – eliminamos;
3) 28:2=14 (pirámides grandes).
Tarea 7. Una sandía que pesaba 20 kg contenía un 99% de agua. Al secarse un poco, su contenido de agua bajó al 98%. Determina la masa de la sandía.
Por conveniencia, la solución irá acompañada de una ilustración de rectángulos.
| 99% agua | 1% materia seca |
| 98% agua | 2% materia seca |
En este caso, es aconsejable trazar los rectángulos de “materia seca” iguales, porque la masa de la “materia seca” en la sandía permanece sin cambios.
1) 20:100=0,2 (kg) – masa de “materia seca”;
2) 0,2:2=0,1 (kg): representa el 1% de la sandía seca;
3) 0,1*100=10 (kg) – masa de sandía.
Tarea 8. Los invitados preguntaron: ¿cuántos años tenía cada una de las tres hermanas? Vera respondió que ella y Nadia tenían 28 años juntas, Nadia y Lyuba tenían 23 años juntas y las tres tenían 38 años. ¿Qué edad tiene cada una de las hermanas?
- 38-28=10 (años) – Lyuba;
- 23-10=13 (años) – Nadya;
- 28-13=15 (años) – Vera.
El método aritmético para resolver problemas verbales le enseña al niño a actuar de manera consciente y lógicamente correcta, porque al resolver de esta manera aumenta la atención a la pregunta "por qué" y surge un gran potencial de desarrollo. Esto contribuye al desarrollo de los estudiantes, a la formación de su interés por la resolución de problemas y por la propia ciencia de las matemáticas.
Para que el aprendizaje sea factible, emocionante e instructivo, debe tener mucho cuidado al elegir los problemas planteados, considere varias maneras sus soluciones, eligiendo las óptimas, desarrollan el pensamiento lógico, que es necesario en el futuro a la hora de resolver problemas geométricos.
Los estudiantes pueden aprender a resolver problemas sólo resolviéndolos. "Si quieres aprender a nadar, no dudes en entrar al agua, y si quieres aprender a resolver problemas, resuélvelos", escribe D. Polya en el libro "Descubrimiento matemático".
