Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. – bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integralin nasıl kullanılacağı. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar, onu bulsunlar. Asla bilemezsin. Onu hayata yaklaştırmalıyız Kır evi alanı temel fonksiyonlar ve belirli bir integral kullanarak alanını bulma.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmek faydalıdır. Bu, kullanılarak yapılabilir (çoğu için gereklidir) metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes belirli bir integral kullanarak alan bulma işine okuldan beri aşinadır ve biz de bundan daha ileri gitmeyeceğiz. Okul müfredatı. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki sorun, bir öğrencinin nefret ettiği bir okuldan muzdarip olduğu ve yüksek matematik dersinde şevkle ustalaştığı 100 vakadan 99'unda ortaya çıkıyor.

Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teoriyle sunulmaktadır.

Kavisli bir yamukla başlayalım.

Eğrisel yamuk bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işaret değiştirmeyen bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğidir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegrand eksenin üzerinde bulunan düzlem üzerinde bir eğri tanımlar (dileyen çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir atama beyanıdır. İlk ve en önemli ançözümler - çizim. Ayrıca çizimin yapılması gerekir. SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktadan noktaya inşaat tekniği referans malzemesinde bulunabilir Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Kavisli bir yamuktan çıkmayacağım, alanın ne olduğu burada belli Hakkında konuşuyoruz. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. İÇİNDE bu durumdaÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabı alırsak, tamamen açıktır: 20 birim kareler, o zaman bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücre açıkça söz konusu rakama uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgiler ve eksenlerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Bu bir örnektir bağımsız karar. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar varsa, bu fonksiyonların grafikleri ve çizgileri ile sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3) özel durum formüller . Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... yanlış şeklin alanı bulundu, bu, mütevazi hizmetkarınızın birkaç kez işleri batırmasının aynısıydı. Burada gerçek durum hayattan:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

...Eh, çizim berbat çıktı ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, gölgeli bir şeklin alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" sıklıkla ortaya çıkar. yeşil!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Başka bir anlamlı göreve geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.

Düz bir çizgi ile parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

,

Gerçekten mi, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikameler ve işaretler konusunda kafanızın karışmamasıdır, buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Bu figürü çizimde tasvir edelim.

Lanet olsun, programı imzalamayı unuttum ve üzgünüm, resmi yeniden yapmak istemedim. Çizim günü değil kısacası bugün o gün =)

Nokta nokta inşaat için bilmeniz gerekenler dış görünüş sinüzoidler (ve genellikle bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Bu makalede integral hesaplamalarını kullanarak çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Böyle bir problemin formülasyonuyla ilk kez lisede, belirli integrallerin çalışmasını yeni tamamladığımızda ve edinilen bilgilerin geometrik yorumuna pratikte başlamanın zamanı geldiğinde karşılaşıyoruz.

Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:

Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anlıyor musunuz? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer tür integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları anlamayı da içerir.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:

1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekte kareli bir kağıt üzerinde yapmanız tavsiye edilir. Her grafiğin üstüne bu fonksiyonun adını kurşun kalemle imzalıyoruz. Grafiklerin imzalanması yalnızca daha sonraki hesaplamaların kolaylığı için yapılır. İstenilen rakamın grafiğini aldıktan sonra çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Böylece sorunu grafiksel olarak çözüyoruz. Ancak limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olması da mümkündür. Bu nedenle ek hesaplamalar yapabilir, ikinci adıma geçebilirsiniz.

2. Entegrasyonun sınırları açıkça belirtilmemişse grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafiksel çözümümüzün analitik çözümle örtüşüp örtüşmediğine bakarız.

3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak Farklı yaklaşımlar bir şeklin alanını bulmak için. Hadi düşünelim farklı örneklerİntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma konusunda.

3.1. Sorunun en klasik ve en basit versiyonu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Kavisli yamuk nedir? Bu, x ekseniyle sınırlı düz bir şekildir (y = 0), dümdüz x = a, x = b ve aralıkta sürekli olan herhangi bir eğri Aönce B. Üstelik bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:

örnek 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? Bir parabolümüz var y = x2 – 3x + 3 eksenin üzerinde yer alan AH negatif değildir, çünkü Bu parabolün tüm noktaları pozitif değerler. Daha sonra verilen düz çizgiler x = 1 Ve x = 3 eksene paralel uzanan kuruluş birimi, şeklin sol ve sağdaki sınır çizgileridir. Kuyu y = 0, aynı zamanda şekli alttan sınırlayan x eksenidir. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde basit bir kavisli yamuk örneği var ve bunu daha sonra Newton-Leibniz formülünü kullanarak çözüyoruz.

3.2. Önceki paragraf 3.1'de, kavisli bir yamuğun x ekseninin üzerinde yer aldığı durumu inceledik. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Aşağıda böyle bir sorunun nasıl çözüleceğini ele alacağız.

Örnek 2 . Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Bu örnekte bir parabolümüz var y = x2 + 6x + 2 eksenden kaynaklanan AH, dümdüz x = -4, x = -1, y = 0. Burada y = 0İstenilen rakamı yukarıdan sınırlar. Doğrudan x = -4 Ve x = -1 bunlar belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen 1 numaralı örnekle örtüşmektedir. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aralıkta da sürekli olmasıdır. [-4; -1] . Ne demek olumlu değil? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'lerin içinde yer alan şekil yalnızca “negatif” koordinatlara sahiptir ve sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şey budur. Şeklin alanını Newton-Leibniz formülünü kullanarak, yalnızca başında eksi işaretiyle arıyoruz.

Makale tamamlanmadı.

Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:

Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anlıyor musunuz? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer tür integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları anlamayı da içerir.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:

3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak bir şeklin alanını bulma konusunda farklı yaklaşımlar vardır. İntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulmanın farklı örneklerine bakalım.

örnek 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? Bir parabolümüz var y = x2 – 3x + 3 eksenin üzerinde yer alan AH negatif değildir, çünkü bu parabolün tüm noktaları pozitif değerlere sahiptir. Daha sonra verilen düz çizgiler x = 1 Ve x = 3 eksene paralel uzanan kuruluş birimi, şeklin sol ve sağdaki sınır çizgileridir. Kuyu y = 0, aynı zamanda şekli alttan sınırlayan x eksenidir. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde basit bir kavisli yamuk örneği var ve bunu daha sonra Newton-Leibniz formülünü kullanarak çözüyoruz.

Örnek 2 . Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Makale tamamlanmadı.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir yani bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha acil bir konu olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından bir düz çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek faydalıdır.

Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir atama beyanıdır. Kararın ilk ve en önemli noktası çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir. SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı noktadan noktaya.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.

Gerçekten:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

İÇİNDE önceki bölüm Belirli bir integralin geometrik anlamının analizine adanmış, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül aldık:

Yandex.RTB R-A-339285-1

[ a ; aralığında sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon için S (G) = ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] ,

[ a ; aralığında sürekli ve pozitif olmayan bir fonksiyon için S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] .

Bu formüller çözmek için geçerlidir basit görevler. Gerçekte çoğu zaman daha karmaşık rakamlarla çalışmak zorunda kalacağız. Bu bağlamda, bu bölümü, açık biçimdeki işlevlerle sınırlı olan rakamların alanını hesaplamak için algoritmaların analizine ayıracağız; y = f(x) veya x = g(y) gibi.

Teorem

y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) fonksiyonlarının [ a ; b ] ve f 1 (x) ≤ f 2 (x), [ a ; B ] . Daha sonra x = a, x = b, y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) çizgileriyle sınırlanan G şeklinin alanını hesaplama formülü S (G) = ∫ gibi görünecektir. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Benzer bir formül, y = c, y = d, x = g 1 (y) ve x = g 2 (y) çizgileriyle sınırlanan bir şeklin alanı için geçerli olacaktır: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Kanıt

Formülün geçerli olacağı üç duruma bakalım.

İlk durumda, alanın toplamsallığı özelliği dikkate alındığında, orijinal G şeklinin ve eğrisel yamuk G1'in alanlarının toplamı, G2 şeklinin alanına eşittir. Bu demektir

Bu nedenle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Son geçişi belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak yapabiliriz.

İkinci durumda eşitlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafik gösterimi şöyle görünecektir:

Her iki fonksiyon da pozitif değilse şunu elde ederiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx . Grafik gösterimi şöyle görünecektir:

Şimdi y = f 1 (x) ve y = f 2 (x)'in O x ekseniyle kesiştiği genel durumu ele almaya devam edelim.

Kesişme noktalarını x i, i = 1, 2, olarak gösteririz. . . , n - 1 . Bu noktalar [a; b ] n parçaya x i - 1; x ben, ben = 1, 2, . . . , n, burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Buradan,

S (G) = ∑ ben = 1 n S (G ben) = ∑ ben = 1 n ∫ x ben x ben f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Son geçişi belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak yapabiliriz.

Genel durumu grafik üzerinde gösterelim.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış sayılabilir.

Şimdi y = f (x) ve x = g (y) çizgileriyle sınırlanan şekillerin alanını hesaplama örneklerini analiz etmeye geçelim.

Örneklerden herhangi birini incelemeye bir grafik oluşturarak başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin birleşimi olarak temsil etmemize olanak tanıyacak. Üzerinde grafik ve şekil oluşturmak sizin için zorsa, temel temel fonksiyonlar, fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümü ve bir fonksiyonu incelerken grafiklerin oluşturulması ile ilgili bölümü inceleyebilirsiniz.

örnek 1

Şeklin y = - x 2 + 6 x - 5 parabolü ve y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 düz çizgileriyle sınırlı olan alanını belirlemek gerekir.

Çözüm

Grafikteki çizgileri Kartezyen koordinat sistemine göre çizelim.

Segmentte [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y = - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde yer alır. Bu bağlamda, cevabı elde etmek için daha önce elde edilen formülün yanı sıra Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cevap: S(G) = 13

Daha karmaşık bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Şeklin y = x + 2, y = x, x = 7 çizgileriyle sınırlı olan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Bu durumda x eksenine paralel olan tek bir düz çizgimiz var. Bu x = 7'dir. Bu da entegrasyonun ikinci sınırını kendimiz bulmamızı gerektiriyor.

Bir grafik oluşturalım ve problem ifadesinde verilen çizgileri çizelim.

Grafiği gözümüzün önünde tutarak, entegrasyonun alt sınırının, y = x düz çizgisi ile y = x + 2 yarı parabolünün grafiğinin kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsis'i bulmak için eşitlikleri kullanırız:

y = x + 2 Ö DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ Ö DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ Ö DZ

Kesişme noktasının apsisinin x = 2 olduğu ortaya çıkıyor.

Şu gerçeğe dikkatinizi çekiyoruz: genel örnekçizimde y = x + 2, y = x doğruları (2; 2) noktasında kesişir, dolayısıyla bunlar detaylı hesaplamalar gereksiz görünebilir. Bunu buraya getirdik detaylı çözüm sadece daha fazlası olduğu için zor vakalarçözüm bu kadar açık olmayabilir. Bu, doğruların kesişim koordinatlarını analitik olarak hesaplamanın her zaman daha iyi olduğu anlamına gelir.

[ 2 ; 7] y = x fonksiyonunun grafiği, y = x + 2 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır. Alanı hesaplamak için formülü uygulayalım:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cevap: S(G) = 59 6

Örnek 3

y = 1 x ve y = - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Doğruları grafik üzerinde işaretleyelim.

Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını belirliyoruz. X'in sıfır olmaması koşuluyla, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılı üçüncü derece denklem - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0'a eşdeğer olur. Bu tür denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya ilişkin hafızanızı tazelemek için “Kübik denklemlerin çözülmesi” bölümüne bakabiliriz.

Bu denklemin kökü x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0'dır.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadesini binom x - 1'e bölerek şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kalan kökleri x 2 - 3 x - 1 = 0 denkleminden bulabiliriz:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

x ∈ 1 aralığını bulduk; 3 + 13 2, burada G rakamı mavi çizginin üstünde ve kırmızı çizginin altındadır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cevap: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Örnek 4

Şeklin y = x 3, y = - log 2 x + 1 eğrileri ve apsis ekseni ile sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafikteki tüm doğruları çizelim. y = - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini, x eksenine göre simetrik olarak konumlandırıp bir birim yukarı hareket ettirirsek, y = log 2 x grafiğinden elde edebiliriz. X ekseninin denklemi y = 0'dır.

Doğruların kesişme noktalarını işaretleyelim.

Şekilden görüldüğü gibi y = x 3 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişmektedir. Bunun nedeni x = 0'ın x 3 = 0 denkleminin tek gerçek kökü olmasıdır.

Denklemin tek kökü x = 2'dir - log 2 x + 1 = 0, dolayısıyla y = - log 2 x + 1 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (2; 0) noktasında kesişir.

x = 1 denklemin tek köküdür x 3 = - log 2 x + 1 . Bu bakımdan y = x 3 ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişmektedir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 = - log 2 x + 1 denkleminin birden fazla kökü olamaz, çünkü y = x 3 fonksiyonu kesin olarak artmaktadır ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonu şu şekildedir: kesin olarak azalıyor.

Diğer çözüm birkaç seçeneği içerir.

Seçenek 1

G şeklini, x ekseninin üzerinde yer alan iki eğrisel yamuğun toplamı olarak düşünebiliriz; bunlardan ilki aşağıda yer almaktadır. orta çizgi x ∈ 0 segmentinde; 1 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x'e eşit olacağı anlamına gelir.

Seçenek No.2

Şekil G, iki şeklin farkı olarak temsil edilebilir; bunlardan ilki, x ekseninin üzerinde ve x ∈ 0 parçası üzerindeki mavi çizginin altında yer alır; 2 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı ve mavi çizgiler arasında; 2. Bu, alanı şu şekilde bulmamızı sağlar:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu durumda alanı bulmak için S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y formundaki bir formülü kullanmanız gerekecektir. Aslında şekli sınırlayan çizgiler y argümanının fonksiyonları olarak temsil edilebilir.

y = x 3 ve - log 2 x + 1 denklemlerini x'e göre çözelim:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Gerekli alanı elde ediyoruz:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cevap: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Örnek 5

Şeklin y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafiğe kırmızı çizgiyle bir çizgi çizeceğiz, fonksiyon tarafından verilen y = x. y = - 1 2 x + 4 çizgisini mavi, y = 2 3 x - 3 çizgisini siyah çiziyoruz.

Kesişme noktalarını işaretleyelim.

y = x ve y = - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarını bulalım:

x = - 1 2 x + 4 Ö DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrol edin: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 değil Denklemin çözümü x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 denklemin çözümüdür ⇒ (4; 2) kesişme noktası i y = x ve y = - 1 2 x + 4

y = x ve y = 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktasını bulalım:

x = 2 3 x - 3 Ö DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrol edin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 denklemin çözümüdür ⇒ (9 ; 3) nokta a s y = x ve y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Denklemin çözümü yok

y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3 doğrularının kesişme noktasını bulalım:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) kesişme noktası y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3

Yöntem No.1

İstenilen şeklin alanını tek tek şekillerin alanlarının toplamı olarak hayal edelim.

O zaman şeklin alanı:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Yöntem No.2

Orijinal şeklin alanı diğer iki rakamın toplamı olarak gösterilebilir.

Daha sonra çizginin denklemini x'e göre çözeriz ve bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygularız.

y = x ⇒ x = y 2 kırmızı çizgi y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ben n ben a l ben n e

Yani alan:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüğünüz gibi değerler aynı.

Cevap: S(G) = 11 3

Sonuçlar

Bir şeklin verilen çizgilerle sınırlı alanını bulmak için düzlem üzerinde çizgiler çizmemiz, kesişme noktalarını bulmamız ve alanı bulmak için formülü uygulamamız gerekir. Bu bölümde en yaygın görev çeşitlerini inceledik.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.