§1. Sistemler doğrusal denklemler.

Sistemi görüntüle

sistem denir M ile doğrusal denklemler N Bilinmeyen.

Burada
- Bilinmeyen, - bilinmeyenler için katsayılar,
- denklemlerin serbest terimleri.

Denklemlerin tüm serbest terimleri sıfıra eşitse sistem denir. homojen.Kararla sisteme sayıların toplamı denir
bilinmeyenler yerine bunları sisteme yerleştirdiğimizde tüm denklemler özdeşliğe dönüşür. Sistem denir eklem yeri en az bir çözümü varsa. Benzersiz bir çözüme sahip uyumlu bir sisteme denir kesin. İki sistem denir eş değer, eğer çözümlerinin kümeleri çakışıyorsa.

Sistem (1), denklem kullanılarak matris biçiminde temsil edilebilir

(2)

.

§2. Doğrusal denklem sistemlerinin uyumluluğu.

(1) sisteminin genişletilmiş matrisine matris diyelim

Kronecker-Capelli teoremi. Sistem (1), ancak ve ancak sistem matrisinin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması durumunda tutarlıdır:

.

§3. Sistem çözümüN ile doğrusal denklemlerN Bilinmeyen.

Homojen olmayan bir sistem düşünün N ile doğrusal denklemler N Bilinmeyen:

(3)

Cramer teoremi.Sistemin temel belirleyicisi ise (3)
ise sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:

onlar.
,

Nerede - determinanttan elde edilen determinant yenisiyle değiştirme 3. sütundan serbest üyeler sütununa.

Eğer
ve en az biri ≠0 ise sistemin çözümü yoktur.

Eğer
ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Sistem (3), matris formu (2) kullanılarak çözülebilir. Matris sıralaması ise A eşittir N yani
, o zaman matris A tersi var
. Matris denkleminin çarpılması
matrise
solda şunu elde ederiz:

.

Son eşitlik, ters matris kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemini ifade eder.

Örnek. Ters matris kullanarak bir denklem sistemini çözün.

Çözüm. Matris
dejenere değildir, çünkü
yani ters bir matris var. Ters matrisi hesaplayalım:
.

,

Egzersiz yapmak. Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün.

§4. Rastgele doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Form (1)'in homojen olmayan bir doğrusal denklem sistemi verilsin.

Sistemin tutarlı olduğunu varsayalım, yani. Kronecker-Capelli teoreminin koşulu sağlanır:
. Matris sıralaması ise
(bilinmeyen sayısı) ise sistemin tek bir çözümü vardır. Eğer
ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Açıklamama izin ver.

Matrisin rütbesi olsun R(A)= R< N. Çünkü
, o zaman sıfır olmayan bazı küçük dereceler var R. Buna temel minör diyelim. Katsayıları bir temel minör oluşturan bilinmeyenlere temel değişkenler adı verilecektir. Geriye kalan bilinmeyenlere serbest değişkenler diyoruz. Denklemleri yeniden düzenleyelim ve değişkenleri, bu küçük sistem matrisinin sol üst köşesinde yer alacak şekilde yeniden numaralandıralım:

.

Birinci Rçizgiler doğrusal olarak bağımsızdır, geri kalanı onlar aracılığıyla ifade edilir. Bu nedenle bu çizgiler (denklemler) atılabilir. Şunu elde ederiz:

Serbest değişkenlere isteğe bağlı sayısal değerler verelim: . Sol tarafta sadece temel değişkenleri bırakıp serbest olanları sağ tarafa taşıyalım.

Sistemi aldım R ile doğrusal denklemler R Bilinmeyen, determinantı 0'dan farklı olan tek bir çözüme sahiptir.

Bu sisteme doğrusal denklem sisteminin genel çözümü denir (1). Aksi takdirde: temel değişkenlerin serbest değişkenler aracılığıyla ifadesine denir genel karar sistemler. Ondan sonsuz sayıda alabilirsiniz özel çözümler serbest değişkenlere isteğe bağlı değerler verir. Serbest değişkenlerin sıfır değerleri için genel bir çözümden elde edilen özel bir çözüme denir. temel çözüm. Farklı temel çözümlerin sayısı aşmıyor
. Negatif olmayan bileşenlere sahip temel bir çözüme denir destekleyici sistem çözümü.

Örnek.

,R=2.

Değişkenler
- temel,
- özgür.

Denklemleri toplayalım; hadi ifade edelim
başından sonuna kadar
:

- ortak karar.

- için özel çözüm
.

- temel çözüm, referans.

§5. Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, keyfi doğrusal denklem sistemlerini incelemek ve çözmek için evrensel bir yöntemdir. Sistemlerin denkliğini ihlal etmeyen temel dönüşümler kullanarak bilinmeyenleri sırayla ortadan kaldırarak sistemi köşegen (veya üçgen) forma indirgemekten oluşur. Bir değişken sistemin katsayısı 1 olan tek bir denklemde yer alıyorsa hariç tutulmuş sayılır.

Temel dönüşümler sistemler şunlardır:

Bir denklemin sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

Herhangi bir sayıyla çarpılan bir denklemin başka bir denklemle toplanması;

Denklemlerin yeniden düzenlenmesi;

0 = 0 denkleminin reddedilmesi.

Temel dönüşümler denklemler üzerinde değil, elde edilen eşdeğer sistemlerin genişletilmiş matrisleri üzerinde gerçekleştirilebilir.

Örnek.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

.

Temel dönüşümleri gerçekleştirerek matrisin sol tarafını birim forma indirgeyeceğiz: ana köşegende birler ve onun dışında sıfırlar oluşturacağız.

Yorum. Temel dönüşümleri gerçekleştirirken 0 formunda bir denklem elde edilirse = k(Nerede İle0), o zaman sistem tutarsızdır.

Doğrusal denklem sistemlerinin bilinmeyenlerin sıralı eliminasyonu yöntemiyle çözümü şu şekilde yazılabilir: tablolar.

Tablonun sol sütunu, hariç tutulan (temel) değişkenler hakkında bilgi içerir. Geriye kalan sütunlar bilinmeyenlerin katsayılarını ve denklemlerin serbest terimlerini içerir.

Sistemin genişletilmiş matrisi kaynak tabloya kaydedilir. Daha sonra Jordan dönüşümlerini gerçekleştirmeye başlıyoruz:

1. Bir değişken seçin , bu temel olacak. İlgili sütuna anahtar sütun adı verilir. Bu değişkenin diğer denklemlerin dışında tutulacağı bir denklem seçin. Karşılık gelen tablo satırına anahtar satır adı verilir. Katsayı Bir anahtar satırı ile bir anahtar sütunun kesiştiği noktada durana anahtar denir.

2. Anahtar dizi elemanları anahtar elemana bölünmüştür.

3. Anahtar sütunu sıfırlarla doldurulur.

4. Kalan elemanlar dikdörtgen kuralı kullanılarak hesaplanır. Karşıt köşelerinde bir anahtar öğenin ve yeniden hesaplanmış bir öğenin bulunduğu bir dikdörtgen oluşturun; Dikdörtgenin köşegeninde bulunan elemanların anahtar elemanla çarpımından diğer köşegenin elemanlarının çarpımı çıkarılır ve elde edilen fark anahtar elemana bölünür.

Örnek. Denklem sisteminin genel çözümünü ve temel çözümünü bulun:

Çözüm.

Sistemin genel çözümü:

Temel çözüm:
.

Tek bir ikame dönüşümü, sistemin bir tabanından diğerine geçmenize olanak tanır: ana değişkenlerden biri yerine serbest değişkenlerden biri temele dahil edilir. Bunu yapmak için serbest değişken sütununda bir anahtar öğe seçin ve yukarıdaki algoritmaya göre dönüşümler gerçekleştirin.

§6. Destek çözümleri bulma

Bir doğrusal denklem sisteminin referans çözümü, negatif bileşenler içermeyen temel bir çözümdür.

Sistemin referans çözümleri aşağıdaki koşullar sağlandığında Gauss yöntemiyle bulunur.

1. Orijinal sistemde tüm serbest terimler negatif olmamalıdır:
.

2. Anahtar eleman pozitif katsayılar arasından seçilir.

3. Tabana dahil edilen bir değişkenin birkaç pozitif katsayısı varsa, o zaman anahtar çizgi, serbest terimin pozitif katsayıya oranının en küçük olduğu çizgidir.

Not 1. Bilinmeyenleri ortadan kaldırma sürecinde, tüm katsayıların pozitif olmadığı ve serbest terimin olduğu bir denklem ortaya çıkarsa
ise sistemin negatif olmayan çözümü yoktur.

Not 2. Serbest değişkenlere ilişkin katsayı sütunlarında tek bir pozitif öğe yoksa başka bir referans çözüme geçiş mümkün değildir.

Örnek.

Bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdaki gibidir. Temel dönüşümler kullanılarak, bir doğrusal denklem sistemi, katsayılar matrisinin şu şekilde olacağı bir forma getirilir: trapezoidal (üçgen veya kademeli ile aynı) veya yamuğa yakın (bundan sonra Gauss yönteminin doğrudan vuruşu - sadece düz vuruş). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekildedir.

Böyle bir sistemde son denklem yalnızca bir değişken içerir ve değeri kesin olarak bulunabilir. Bu değişkenin değeri daha sonra önceki denklemde değiştirilir ( Gauss yönteminin tersi , sonra tam tersi), önceki değişkenin bulunduğu yerden vb.

Yamuk (üçgen) bir sistemde gördüğümüz gibi üçüncü denklem artık değişken içermiyor sen Ve X ve ikinci denklem değişkendir X .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra sistemin uyumluluk konusunu anlamak, çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri bizzat bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

1. Üçten fazla denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar hantal değildir, çünkü Gauss yöntemiyle çözmek daha az hesaplama gerektirir;
2. Gauss yöntemi belirsiz doğrusal denklem sistemlerini, yani genel çözümü olan sistemleri çözebilir (ve bunları bu derste analiz edeceğiz), Cramer yöntemini kullanarak ise yalnızca sistemin belirsiz olduğunu söyleyebiliriz;
3. bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bu derste bunları da analiz edeceğiz);
4. Yöntem, ilgili makalede değindiğimiz ilkokul (okul) yöntemlerine - bilinmeyenleri değiştirme yöntemi ve denklem ekleme yöntemine dayanmaktadır.

Yamuk (üçgen, adım) doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesinin basitliğini herkesin anlayabilmesi için, böyle bir sisteme ters hareket kullanarak bir çözüm sunuyoruz. Bu sistemin hızlı çözümü dersin başındaki resimde gösterilmiştir.

Örnek 1. Tersini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu trapez sistemde değişken züçüncü denklemden benzersiz bir şekilde bulunabilir. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız sen:

Artık iki değişkenin değerini biliyoruz - z Ve sen. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız X:

Önceki adımlardan denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde etmek için, doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili ileri vuruşun kullanılması gerekir. Ayrıca çok da zor değil.

Bir doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleri

Bir sistemin denklemlerini cebirsel olarak toplamaya yönelik okul yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denklemini ekleyebileceğimizi ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini öğrendik. Sonuç olarak buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu ve değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Böyle bir ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken çeşitli dönüşüm türlerini kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon denklem sisteminin nasıl yavaş yavaş yamuğa dönüştüğünü gösteriyor. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve tüm bilinmeyenlerin değerlerini ondan bulmanın kolay olduğuna kendinizi ikna ettiğiniz şey. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve elbette örnekler daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken Olabilmek:

1. satırları yeniden düzenleyin (bu, bu makalenin en başında belirtilmiştir);
2. diğer dönüşümler eşit veya orantılı satırlarla sonuçlanırsa, biri hariç bunlar silinebilir;
3. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "sıfır" satırları kaldırın;
4. herhangi bir dizeyi belirli bir sayıyla çarpmak veya bölmek;
5. herhangi bir satıra belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satır eklenir.

Dönüşümler sonucunda buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemini kullanarak sistemin kare matrisli bir doğrusal denklem sistemini çözme örnekleri

Öncelikle bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemlerini okul yöntemlerini kullanarak çözerken, denklemlerden birini terim terim belirli bir sayıyla çarptık, böylece iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları zıt sayılar oldu. Denklemler eklenirken bu değişken ortadan kaldırılır. Gauss yöntemi de benzer şekilde çalışır.

Basitleştirmek dış görünüşçözümler sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım:

Bu matriste bilinmeyenlerin katsayıları dikey çizgiden önce solda, serbest terimler ise dikey çizgiden sonra sağda yer almaktadır.

Değişkenler için katsayıları bölmenin kolaylığı için (birliğe göre bölme elde etmek için) Sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirelim. Buna eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü doğrusal denklem sisteminde denklemler birbirinin yerine geçebilir:

Yeni birinci denklemi kullanma değişkeni ortadan kaldırmak X ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına, (bizim durumumuzda) ile çarptığımız ilk satırı, üçüncü satıra (bizim durumumuzda, ile) çarptığımız ilk satırı ekleriz.

Bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere ilk satırı eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpmamız gerekirdi.

Sonuç olarak bu sisteme eşdeğer bir matris elde ederiz. yeni sistem ikinciden başlayarak tüm denklemlerin yer aldığı denklemler değişken içermez X :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu çarpın ve bu sisteme eşdeğer bir denklem sisteminin matrisini tekrar elde edin:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız sen sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına ikinci satırı (bizim durumumuzda ile) çarparak ekleriz.

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak ikinci bir satır eklememiz gerekirdi.

Sonuç olarak, yine bu doğrusal denklem sistemine eşdeğer bir sistemin matrisini elde ederiz:

Eşdeğer bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden daha fazla ise değişkenleri sırayla eleme işlemi, demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk hale gelinceye kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - ters hareket. Bunun için Belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri önceki denklemde yerine koyarsak, bulacağız sen:

İlk denklemden bulacağız X:

Cevap: Bu denklem sisteminin çözümü .

: Bu durumda sistemin tek bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Eğer sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa o zaman cevap bu olacaktır ve bu da bu dersin beşinci bölümünün konusudur.

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın

Burada yine denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu tutarlı ve belirli bir doğrusal denklem sistemi örneğiyle karşı karşıyayız. Demo örneğimizin algoritmadan farkı zaten dört denklemin ve dört bilinmeyenin olmasıdır.

Örnek 4. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Hadi gerçekleştirelim hazırlık çalışmaları. Katsayıların oranını daha uygun hale getirmek için ikinci satırın ikinci sütununda bir tane almanız gerekir. Bunu yapmak için üçüncüyü ikinci satırdan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi üçüncü ve dördüncü denklemlerden değişkenin fiili eliminasyonunu gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, ikinci satırı üçüncü satıra, ile çarpılan ikinci satırı dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ediyoruz.

Şuna eşdeğer bir denklem sistemi elde ettik: bu sistem:

Dolayısıyla ortaya çıkan ve verilen sistemler uyumlu ve kesindir. Nihai çözümü “sondan” buluyoruz. Dördüncü denklemden “x-four” değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

,

,

Son olarak değer ikamesi

İlk denklem şunu verir

,

“önce x”i nerede bulacağız:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir çözümü var .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlarla ilgili bir problem örneğini kullanarak Gauss yöntemini kullanarak uygulamalı problemleri çözme

Doğrusal denklem sistemleri fiziksel dünyadaki gerçek nesneleri modellemek için kullanılır. Bu sorunlardan birini çözelim: alaşımlar. Benzer problemler – karışımlar, maliyet veya spesifik yer çekimi bir ürün grubundaki bireysel ürünler ve benzerleri.

Örnek 5.Üç parça alaşımın toplam kütlesi 150 kg'dır. İlk alaşım %60 bakır, ikincisi %30, üçüncüsü %10 bakır içerir. Ayrıca ikinci ve üçüncü alaşımlarda birinci alaşıma göre 28,4 kg, üçüncü alaşımda ise ikinciye göre 6,2 kg daha az bakır bulunmaktadır. Alaşımın her bir parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparız, eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, dümdüz ileri. Bir satırı bir sayıyla çarparak (bizim durumumuzda çıkararak) (bunu iki kez uyguluyoruz), sistemin genişletilmiş matrisinde aşağıdaki dönüşümler meydana gelir:

Doğrudan geçiş bitti. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ettik.

Ters hareketi uyguluyoruz. Çözümü sondan buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss'un yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmesinin yalnızca 15 dakika sürmesiyle kanıtlanıyor. Kendi adını taşıyan yöntemin yanı sıra, “Bize inanılmaz ve doğal olmayan görüneni kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız” sözü Gauss'un eserlerinden bilinmektedir - bir nevi kısa talimatlar keşifler yapmak.

Uygulamalı problemlerin çoğunda üçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir, o zaman üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmeniz gerekir veya tam tersi, denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlayacağız.

Gauss yöntemini kullanarak herhangi bir sistemin uyumlu olup olmadığını belirleyebilirsiniz. N ile doğrusal denklemler N değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözümü olan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek, sonsuz sayıda çözüme sahip olan, tutarlı fakat belirsiz bir doğrusal denklem sistemidir.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra (satırları yeniden düzenlemek, satırları belirli bir sayıyla çarpmak ve bölmek, bir satıra başka bir satır eklemek), formun satırları görünebilir

Forma sahip tüm denklemlerde ise

Serbest terimler sıfıra eşittir, bu da sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu ve bu tür denklemlerin “gereksiz” olduğu ve bunları sistemin dışında bıraktığımız anlamına gelir.

Örnek 6.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım. Daha sonra ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara birinciyi şununla çarparak ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü satıra ekleyelim.

Sonuç olarak sisteme ulaşıyoruz.

Son iki denklem formun denklemlerine dönüştü. Bu denklemler bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için sağlanır ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için ve için isteğe bağlı değerler seçebiliriz, ardından değer benzersiz olarak belirlenecektir: . İlk denklemden değeri de benzersiz bir şekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler tutarlıdır ancak belirsizdir ve formüller

keyfi için ve bize belirli bir sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek tutarsız, yani çözümü olmayan bir doğrusal denklem sistemidir. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: Sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak daha önce de belirtildiği gibi, dönüşümler gerçekleştirildikten sonra formun satırları sistemin genişletilmiş matrisinde görünebilir

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfırdan farklı serbest terimli en az bir denklem varsa (örn.), bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve çözümü tamdır.

Örnek 7. Doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden hariç tutuyoruz. Bunun için ilk satırın çarpımını ikinci satıra, ilk satırın üçüncü satırla çarpımını ve ilk satırın çarpımını dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemleri hariç tutmak için, ikincisini , ile çarparak üçüncü satıra ve ikinciyi , ile çarparak dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin.

Dolayısıyla verilen sistem aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri tarafından karşılanamaz. Dolayısıyla bu sistemin çözümü yoktur.

Bu matematik programını kullanarak, iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemini, yerine koyma yöntemini ve toplama yöntemini kullanarak çözebilirsiniz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2

Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda kesirli sayılar ondalık sayılar ve sıradan kesirler şeklinde.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Tamsayı ve kesirli kısımlar ondalık sayılar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &

Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Denklem sistemini çözme

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. İkame yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayılarının zıt sayılara dönüşmesi için faktörleri seçerek sistem teriminin denklemlerini terimle çarpın;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistem denklemlerinde y'ye ait katsayıların zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin sadece bir değişkeni vardır.

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı Özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin

DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

I. Sorunun beyanı.

II. Homojen ve heterojen sistemlerin uyumluluğu.

III. Sistem T ile denklemler T Bilinmeyen. Cramer kuralı.

IV. Denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemi.

V. Gauss yöntemi.

I. Sorunun beyanı.

Formun bir denklem sistemi

sistem denir M ile doğrusal denklemler N Bilinmeyen
. Bu sistemin denklemlerinin katsayıları matris şeklinde yazılmıştır.

buna denir sistemin matrisi (1).

Denklemlerin sağ tarafındaki sayılar ücretsiz üyeler sütunu {B}:

.

Eğer sütun ( B}={0 ), bu durumda denklem sistemine denir homojen. Aksi takdirde, ne zaman ( B}≠{0 ) - sistem heterojen.

Doğrusal denklem sistemi (1) matris biçiminde yazılabilir

[A]{X}={B}. (2)

Burada - bilinmeyenler sütunu.

Denklem sistemini (1) çözmek, kümeyi bulmak anlamına gelir N sayılar
öyle ki, bilinmeyenler yerine sistem (1)'e ikame edilirken
Sistemin her denklemi bir kimliğe dönüşür. Sayılar
denklem sisteminin çözümü denir.

Bir doğrusal denklem sisteminin tek bir çözümü olabilir

,

sayısız çözümü olabilir

ya da hiçbir çözümü yok

.

Çözümü olmayan denklem sistemlerine denir uyumsuz. Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri. Denklem sisteminin adı kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz Eğer sonsuz sayıda çözümü varsa.

II. Homojen ve heterojen sistemlerin uyumluluğu.

Doğrusal denklemler sistemi (1) için uyumluluk koşulu şu şekilde formüle edilmiştir: Kronecker-Capelli teoremi: bir doğrusal denklem sisteminin en az bir çözümü vardır, ancak ve ancak sistem matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşitse:
.

Genişletilmiş bir sistem matrisi, sistem matrisinden sağ tarafa bir serbest terimler sütunu eklenerek elde edilen bir matristir:

.

Eğer Rg AA* ise denklem sistemi tutarsızdır.

Kronecker-Capelli teoremine göre homojen doğrusal denklem sistemleri her zaman tutarlıdır. Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu homojen bir sistem durumunu ele alalım; t=p. Böyle bir sistemin matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse;
, homojen bir sistemin önemsiz (sıfır) olan benzersiz bir çözümü vardır. Sistem denklemleri arasında doğrusal olarak bağımlı olanlar varsa, homojen sistemlerin sonsuz sayıda çözümü vardır;
.

Örnek.Üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan homojen bir sistem düşünün:

ve çözümlerinin sayısı sorusunu inceleyin. Denklemlerin her biri, koordinatların orijininden geçen bir düzlemin denklemi olarak düşünülebilir ( D=0 ). Denklem sisteminin, üç düzlemin tümü bir noktada kesiştiğinde benzersiz bir çözümü vardır. Üstelik normal vektörleri aynı düzlemde değildir ve bu nedenle koşul sağlanır

.

Bu durumda sistemin çözümü X=0, sen=0, z=0 .

Üç düzlemden en az ikisi, örneğin birinci ve ikinci paralel ise; , o zaman sistem matrisinin determinantı sıfıra eşittir ve sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Ayrıca çözümler koordinatlar olacaktır. X, sen, z tüm noktalar bir çizgi üzerinde uzanıyor

Üç düzlemin tümü çakışırsa, denklem sistemi tek bir denkleme indirgenecektir.

,

ve çözüm bu düzlemde yer alan tüm noktaların koordinatları olacaktır.

Homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerini incelerken uyumluluk sorunu Kronecker-Capelli teoremi kullanılarak çözülür. Böyle bir sistemdeki denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşitse, determinantı sıfıra eşit değilse sistemin tek bir çözümü vardır. Aksi halde sistem ya tutarsızdır ya da sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Örnek. İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan homojen olmayan bir sistemi inceliyoruz

.

Sistemin denklemleri bir düzlem üzerindeki iki doğrunun denklemleri olarak düşünülebilir. Çizgiler paralel olduğunda sistem tutarsızdır;
,
. Bu durumda sistem matrisinin rütbesi 1'dir:

Rg A=1 , Çünkü
,

ve genişletilmiş matrisin rütbesi
ikiye eşittir, çünkü bunun için üçüncü sütunu içeren ikinci dereceden bir minör temel minör olarak seçilebilir.

Söz konusu durumda, Rg AA * .

Çizgiler çakışıyorsa, yani. ise denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır: düz bir çizgi üzerindeki noktaların koordinatları
. Bu durumda Rg A= Rg A * =1.

Hatların paralel olmadığı durumlarda sistemin benzersiz bir çözümü vardır;
. Bu sistemin çözümü doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarıdır.

III. SistemT ile denklemlerT Bilinmeyen. Cramer kuralı.

Sistemin denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu en basit durumu ele alalım; M= N. Sistem matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise sistemin çözümü Cramer kuralı kullanılarak bulunabilir:

(3)

Burada
- sistem matrisinin determinantı,

['den elde edilen matrisin determinantıdır A] yenisiyle değiştirme Ben 3. sütundan ücretsiz üyeler sütununa:

.

Örnek. Denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözün.

Çözüm :

1) sistemin determinantını bulun

2) yardımcı belirleyicileri bulun

3) Cramer kuralını kullanarak sisteme bir çözüm bulun:

Çözümün sonucu denklem sistemine değiştirilerek kontrol edilebilir.

Doğru kimlikler elde edilir.

IV. Denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemi.

Doğrusal denklem sistemini matris formunda yazalım (2)

[A]{X}={B}

ve soldaki ilişkinin (2) sağ ve sol taraflarını matris [ A -1 ], sistem matrisinin tersi:

[A -1 ][A]{X}=[A -1 ]{B}. (2)

Ters matrisin tanımı gereği, ürün [ A -1 ][A]=[e] ve birim matrisin özelliklerine göre [ e]{X}={X). Daha sonra (2") ilişkisinden şunu elde ederiz:

{X}=[A -1 ]{B}. (4)

İlişki (4), doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yönteminin temelini oluşturur: sistemin matrisinin tersi olan matrisi bulmak ve sistemin sağ kısımlarının sütun vektörünü soldakiyle çarpmak gerekir.

Örnek. Önceki örnekte ele alınan denklem sistemini matris yöntemini kullanarak çözelim.

Sistem Matrisi
onun belirleyicisi A==183 .

Sağ taraftaki sütun
.

Matrisin bulunması için [ A -1 ], ['ye eklenen matrisi bulun A]:

veya

Ters matrisi hesaplama formülü şunları içerir:
, Daha sonra

Artık sisteme bir çözüm bulabiliriz

Sonra nihayet elde ederiz .

V. Gauss yöntemi.

Çok sayıda bilinmeyenin olduğu bir denklem sistemini Cramer yöntemini veya matris yöntemini kullanarak çözmek, yüksek dereceli determinantların hesaplanmasını veya büyük matrislerin ters çevrilmesini içerir. Bu prosedürler modern bilgisayarlar için bile oldukça emek yoğundur. Bu nedenle çok sayıda denklemden oluşan sistemleri çözmek için Gauss yöntemi sıklıkla kullanılır.

Gauss yöntemi, sistemin genişletilmiş matrisinin temel dönüşümleri yoluyla bilinmeyenlerin sırayla ortadan kaldırılmasından oluşur. Temel matris dönüşümleri satırların permütasyonunu, satırların eklenmesini, satırların sıfır dışındaki sayılarla çarpılmasını içerir. Dönüşümlerin bir sonucu olarak, sistemin matrisini, ana köşegeninde birlerin bulunduğu ve ana köşegenin altında sıfırların bulunduğu bir üst üçgene indirgemek mümkündür. Bu Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımıdır. Yöntemin tersi, bilinmeyenlerin sonuncusundan başlayarak doğrudan belirlenmesinden oluşur.

Bir denklem sistemini çözme örneğini kullanarak Gauss yöntemini açıklayalım.

İleri vuruşun ilk adımında katsayının sağlanması sağlanır.
Dönüştürülen sistem eşitlendi 1 ve katsayılar
Ve
sıfıra döndü. Bunu yapmak için ilk denklemi şu şekilde çarpın: 1/10 , ikinci denklemi şununla çarpın: 10 ve bunu birinciye ekleyin, üçüncü denklemi şununla çarpın: -10/2 ve ilkine ekleyin. Bu dönüşümlerden sonra elde ederiz

İkinci adımda, dönüşümlerden sonra katsayının olmasını sağlıyoruz.
eşit oldu 1 ve katsayı
. Bunu yapmak için ikinci denklemi şuna bölün: 42 ve üçüncü denklemi şununla çarpın: -42/27 ve ikincisine ekleyin. Bir denklem sistemi elde ederiz

Üçüncü adımda katsayıyı almalıyız
. Bunu yapmak için üçüncü denklemi şuna bölün: (37 - 84/27) ; aldık

Gauss yönteminin doğrudan ilerleyişinin sona erdiği yer burasıdır, çünkü sistemin matrisi üst üçgene indirgenir:

Ters hareketi yaparak bilinmeyenleri buluruz

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek şüphesiz doğrusal cebir dersindeki en önemli konudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, doğrusal denklem sistemlerinin çözümüyle ilgilidir. Bu faktörler bu makalenin nedenini açıklamaktadır. Makalenin materyali, onun yardımıyla şunları yapabilmeniz için seçilmiş ve yapılandırılmıştır:

• Doğrusal cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
• Seçilen yöntemin teorisini incelemek,
• Tipik örnek ve problemlerin ayrıntılı çözümlerini dikkate alarak doğrusal denklem sisteminizi çözün.

Makale materyalinin kısa açıklaması.

Öncelikle gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve notasyonları tanıtıyoruz.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve tek çözümü olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak Cramer yöntemine odaklanacağız, ikinci olarak bu tür denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi farklı şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmeye geçeceğiz. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememize olanak tanıyan Kronecker-Capelli teoremini formüle edelim. Bir matrisin küçük tabanı kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (eğer uyumlularsa) analiz edelim. Ayrıca Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde kesinlikle duracağız. Temel çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak bir SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, doğrusal olanlara indirgenebilen denklem sistemlerini ve çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemleri ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Tanımlar, kavramlar, atamalar.

n bilinmeyen değişkenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest terimler (aynı zamanda gerçek veya karmaşık sayılar).

SLAE kaydetmenin bu biçimine denir koordinat.

İÇİNDE matris formu Bu denklem sistemini yazmanın şekli şu şekildedir:
Nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir sütun matrisi, - serbest terimlerden oluşan bir sütun matrisi.

A matrisine (n+1)'inci sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Tipik olarak, genişletilmiş bir matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu, kalan sütunlardan dikey bir çizgi ile ayrılır;

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerini kimliğe dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesi denir. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşlik haline gelir.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Bir denklem sisteminin çözümü yoksa buna denir. ortak olmayan.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin; birden fazla çözüm varsa o zaman – belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , daha sonra sistem çağrılır homojen, aksi takdirde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerini çözme.

Bir sistemin denklem sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'ler çağrılacaktır. temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Bu tür SLAE'leri lisede incelemeye başladık. Bunları çözerken, bir denklemi aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve onu kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve onu diğer denklemlerde yerine koyduk, vb. Veya toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Bu yöntemler esasen Gauss yönteminin modifikasyonları olduğundan, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Bunları sıralayalım.

Doğrusal denklem sistemlerini Cramer yöntemini kullanarak çözme.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım.

Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve - A'dan değiştirilerek elde edilen matrislerin determinantları 1., 2.,…, n. sütun sırasıyla serbest üyelerin sütununa:

Bu gösterimle bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleri kullanılarak şu şekilde hesaplanır: . Cramer yöntemi kullanılarak bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümü bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer'in yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Determinantını hesaplayalım (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan sistemin Cramer yöntemiyle bulunabilecek tek bir çözümü vardır.

Gerekli belirleyicileri oluşturup hesaplayalım (A matrisindeki ilk sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek determinantı, ikinci sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek ve A matrisinin üçüncü sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz) :

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin en büyük dezavantajı (dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistemdeki denklem sayısı üçten fazla olduğunda determinantların hesaplanmasının karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemini kullanarak çözme (ters matris kullanarak).

A matrisinin n x n boyutuna sahip olduğu ve determinantının sıfır olmadığı bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde verilsin.

A matrisi tersinir olduğundan, ters bir matris vardır. Eşitliğin her iki tarafını solla çarparsak, bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir matris sütununu bulmak için bir formül elde ederiz. Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklemler sisteminin çözümünü bu şekilde elde ettik.

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemi kullanılarak çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel toplamlarından bir matris kullanarak ters bir matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisini hesaplamak kalır. ücretsiz üyelerden oluşan bir matris sütununa (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimle x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki ana sorun, özellikle üçüncü mertebeden yüksek kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.

Doğrusal denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

n bilinmeyen değişkenli n doğrusal denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin sırayla ortadan kaldırılmasından oluşur: ilk önce x 1, ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır, ardından üçüncüden başlayarak x 2 tüm denklemlerden çıkarılır ve yalnızca bilinmeyen değişken x n kalana kadar bu şekilde devam eder. son denklemde. Bilinmeyen değişkenleri sırayla ortadan kaldırmak için sistem denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri vuruşu tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, sondan bir önceki denklemdeki bu değer kullanılarak x n-1 hesaplanır ve bu şekilde ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenlerin hesaplanması işlemine denir Gauss yönteminin tersi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için kullanılan algoritmayı kısaca açıklayalım.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi çarpıyoruz, dördüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem şu formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x 1 değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki tarafına, birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleriz:

Şimdi üçüncü denklemden x 2'yi, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sol ve sağ taraflarına ekleyerek şununla çarpıyoruz:

Bu, Gauss yönteminin ileri vuruşunu tamamlar; geri vuruşa başlarız.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluyoruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden geri kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve böylece Gauss yönteminin tersini tamamlıyoruz.

Cevap:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Genel olarak, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin hiçbir çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade aynı zamanda ana matrisi kare ve tekil olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmadan önce uyumluluğunun belirlenmesi gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman tutarsız sorusunun cevabı şu şekilde verilmektedir: Kronecker-Capelli teoremi:
N bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p denklemlerden oluşan bir sistemin tutarlı olabilmesi için, sistemin ana matrisinin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir; , Sıra(A)=Sıra(T).

Örnek olarak, bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Capelli teoreminin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

Doğrusal denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklı. Şimdi onu çevreleyen üçüncü dereceden küçüklere bakalım:

Üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin rütbesi ikiye eşittir.

Buna karşılık, genişletilmiş matrisin rütbesi küçük üçüncü dereceden olduğundan üçe eşittir

sıfırdan farklı.

Böylece, Dolayısıyla Rang(A) Kronecker-Capelli teoremini kullanarak orijinal doğrusal denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Sistemin çözümü yok.

Kronecker-Capelli teoremini kullanarak bir sistemin tutarsızlığını belirlemeyi öğrendik.

Ancak uyumluluğu sağlanmışsa bir SLAE'ye çözüm nasıl bulunur?

Bunu yapmak için bir matrisin minör tabanı kavramına ve matrisin rütbesine ilişkin bir teoreme ihtiyacımız var.

A matrisinin sıfırdan farklı en yüksek mertebesinden küçük olanına denir temel.

Bir temel minörün tanımından, sırasının matrisin rütbesine eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşittir çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Aşağıdaki ikinci dereceden küçükler sıfırdan farklı oldukları için temeldir

Küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris rütbe teoremi.

P'ye n düzeyindeki bir matrisin sıralaması r'ye eşitse, matrisin seçilen temel minörü oluşturmayan tüm satır (ve sütun) öğeleri, onu oluşturan karşılık gelen satır (ve sütun) öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. temel küçük.

Matris rütbe teoremi bize ne söylüyor?

Kronecker-Capelli teoremine göre sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir minör tabanını seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve aşağıdakileri sağlayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız: seçilen esas minörü oluşturmaz. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan orijinaline eşdeğer olacaktır (matris sıralama teoremine göre bunlar, kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir).

Sonuç olarak sistemin gereksiz denklemleri çıkarıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse bu kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle bulunabilecektir.

Örnek.

.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması küçük ikinci dereceden olduğundan ikiye eşittir sıfırdan farklı. Genişletilmiş Matris Sıralaması üçüncü dereceden tek minör sıfır olduğundan bu da ikiye eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan orijinal doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu iddia edebiliriz.

Temel olarak küçük olarak alıyoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:


Sistemin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matrisin rütbesine ilişkin teoreme dayanarak sistemden hariç tutuyoruz:


Temel doğrusal cebirsel denklem sistemini bu şekilde elde ettik. Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Cevap:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ortaya çıkan SLAE'deki r denklemlerinin sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısından n azsa, denklemlerin sol taraflarında, temel minör oluşturan terimleri bırakırız ve geri kalan terimleri, denklemin sağ taraflarına aktarırız. Sistemin zıt işaretli denklemleri.

Denklemin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tanesi) denir. ana.

Sağ tarafta bulunan bilinmeyen değişkenlere (n - r parça vardır) denir özgür.

Artık serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğine, ana bilinmeyen değişkenlerin ise serbest bilinmeyen değişkenler aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edileceğine inanıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi kullanılarak çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnekle bakalım.

Örnek.

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin rütbesini bulalım küçükleri sınırlama yöntemiyle. 1 1 = 1'i birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak alalım. Bu minörün sınırındaki ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör aramaya başlayalım:


İkinci dereceden sıfır olmayan bir minörü bu şekilde bulduk. Üçüncü dereceden sıfırdan farklı sınırdaki küçükleri aramaya başlayalım:


Böylece ana matrisin rütbesi üç olur. Genişletilmiş matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

Üçüncü mertebenin sıfırdan farklı bulunan minörünü temel alıyoruz.

Açıklık sağlamak için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:


Temel minörde yer alan terimleri sistem denklemlerinin sol tarafına bırakıp, geri kalanını zıt işaretli olarak sağ taraflara aktarıyoruz:


Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler verelim, yani kabul edelim , keyfi sayılar nerede. Bu durumda SLAE şu şekli alacaktır:


Ortaya çıkan temel doğrusal cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Buradan, .

Cevabınızda serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rastgele sayılar nerede.

Özetleyin.

Bir genel doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için öncelikle Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu belirleriz. Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit değilse sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşitse, o zaman bir minör baz seçeriz ve seçilen baz minörün oluşumuna katılmayan sistem denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilecek benzersiz bir çözümü vardır.

Temelin sırası bilinmeyen değişken sayısından azsa, sistem denklemlerinin sol tarafında, ana bilinmeyen değişkenlerin bulunduğu terimleri bırakırız, kalan terimleri sağ taraflara aktarırız ve keyfi değerler veririz. serbest bilinmeyen değişkenler Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminden ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemini, matris yöntemini veya Gauss yöntemini kullanarak buluruz.

Genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, her türlü doğrusal cebirsel denklem sistemini, uyumluluk açısından ilk önce test etmeden çözmek için kullanılabilir. Bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması süreci, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de uyumsuzluğu hakkında bir sonuca varılmasını ve bir çözüm varsa bulunmasını mümkün kılar.

Hesaplama açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Genel doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesinde ayrıntılı açıklamasına ve analiz edilen örneklere bakın.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel sistemlere genel bir çözüm yazmak.

Bu bölümde sonsuz sayıda çözümü olan eşzamanlı homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel denklem sistemlerinden bahsedeceğiz.

İlk önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel çözüm sistemi n bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan homojen sistem, bu sistemin (n – r) doğrusal olarak bağımsız çözümlerinin bir koleksiyonudur; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün sırasıdır.

Homojen bir SLAE'nin doğrusal olarak bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) n boyutunda sütunlu matrisler olarak gösterirsek 1) ile, bu homojen sistemin genel çözümü, temel çözüm sisteminin vektörlerinin keyfi sabit katsayılar C 1, C 2, ..., C (n-r), yani .

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama gelir?

Anlamı basit: formül, orijinal SLAE'nin tüm olası çözümlerini belirtir, başka bir deyişle, kullanacağımız formülü kullanarak C 1, C 2, ..., C (n-r) keyfi sabitlerinin herhangi bir değer kümesini alır. Orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde edin.

Dolayısıyla, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini şu şekilde tanımlayabiliriz: .

Homojen bir SLAE'ye yönelik temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal doğrusal denklemler sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenler içeren tüm terimleri zıt işaretli sistem denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,...,0 değerlerini verelim ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemini kullanarak çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Bu, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) ile sonuçlanacaktır. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verip ana bilinmeyenleri hesaplarsak X(2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0.0,…,0.1 değerlerini atayıp temel bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Bu şekilde homojen bir SLAE'nin temel çözüm sistemi oluşturulacak ve genel çözümü şeklinde yazılabilecektir.

Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemleri için genel çözüm, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümü olan ve serbest bilinmeyenlere değerleri vererek elde ettiğimiz orijinal homojen olmayan SLAE'nin özel çözümü olan formda temsil edilir. ​0,0,...,0 ve temel bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması.

Örneklere bakalım.

Örnek.

Temel çözüm sistemini ve homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen doğrusal denklem sistemlerinin ana matrisinin sıralaması her zaman genişletilmiş matrisin sıralamasına eşittir. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak ana matrisin rütbesini bulalım. Birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden sınırdaki sıfır olmayan küçükleri bulalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sıfır olmayan bir tane bulmak için sınırındaki üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:

Üçüncü dereceden sınırdaki tüm küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikiye eşittir. Hadi alalım . Açıklık sağlamak için, onu oluşturan sistemin öğelerine dikkat edelim:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Temel bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıp, serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi iki çözümden oluşur, çünkü orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerir ve temel minör derecesi ikiye eşittir. X (1)'i bulmak için serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 1, x 4 = 0 değerlerini veriyoruz, ardından denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.