Çok sayıda farklı küme arasında sayısal kümeler özellikle ilginç ve önemlidir; elemanları sayılar olan kümeler. Açıkçası, sayısal kümelerle çalışmak için bunları yazmanın yanı sıra koordinat çizgisi üzerinde gösterme becerisine de sahip olmanız gerekir.
Sayısal kümelerin yazılması
Herhangi bir set için genel olarak kabul edilen tanım, büyük Latin harfleridir. Sayı kümeleri bir istisna değildir. Örneğin B, F veya S vb. sayı kümelerinden bahsedebiliriz. Bununla birlikte, içerdiği öğelere bağlı olarak sayısal kümelerin genel kabul görmüş bir işaretlemesi de vardır:
N – tüm doğal sayılar kümesi; Z – tam sayılar kümesi; Q – rasyonel sayılar kümesi; J - irrasyonel sayılar kümesi; R – gerçek sayılar kümesi; C karmaşık sayılar kümesidir.
Örneğin, iki sayıdan oluşan bir kümeyi J harfiyle belirtmenin yanıltıcı olabileceği ortaya çıkıyor: - 3, 8, çünkü bu harf bir irrasyonel sayılar kümesini işaret ediyor. Bu nedenle, - 3, 8 kümesini belirtmek için bir tür nötr harf kullanmak daha uygun olacaktır: örneğin A veya B.
Ayrıca şu notasyonu da hatırlayalım:
- ∅ boş bir kümedir veya olmayan bir kümedir Kurucu unsurlar;
- ∈ veya ∉ bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığının işaretidir. Örneğin, 5 ∈ N gösterimi, 5 sayısının tüm doğal sayılar kümesinin bir parçası olduğu anlamına gelir. - 7, 1 ∈ Z gösterimi - 7, 1 sayısının Z kümesinin bir elemanı olmadığı gerçeğini yansıtır çünkü Z – tam sayılar kümesi;
- Bir kümenin bir kümeye ait olduğunu gösteren işaretler:
⊂ veya ⊃ - sırasıyla “dahil” veya “dahil” işaretleri. Örneğin A ⊂ Z gösterimi, A kümesinin tüm elemanlarının Z kümesine dahil olduğu anlamına gelir; A sayı kümesi Z kümesinin içindedir. Veya tam tersi, Z ⊃ A gösterimi, tüm Z tamsayıları kümesinin A kümesini içerdiğini açıklığa kavuşturacaktır.
⊆ veya ⊇ katı olmayan katılım olarak adlandırılan işaretlerdir. Sırasıyla "dahil edilenler veya eşleşenler" ve "dahil edilenler veya eşleşenler" anlamına gelir.
Şimdi pratikte en sık kullanılan ana standart durumların örneğini kullanarak sayısal kümeleri tanımlama şemasını ele alalım.
İlk önce sonlu ve sonlu içeren sayı kümelerini ele alıyoruz. az miktarda elementler. Böyle bir kümeyi basitçe tüm öğelerini listeleyerek tanımlamak uygundur. Sayı biçimindeki öğeler, virgülle ayrılarak yazılır ve küme parantezleri içine alınır (bu, kümeleri tanımlamanın genel kurallarına karşılık gelir). Örneğin 8, - 17, 0, 15 sayı kümesini (8, - 17, 0, 15) olarak yazıyoruz.
Bir kümenin eleman sayısının oldukça fazla olduğu görülür, ancak hepsi belirli bir kalıba uyar: o zaman kümenin tanımında bir üç nokta kullanılır. Örneğin 2'den 88'e kadar tüm çift sayılar kümesini şu şekilde yazıyoruz: (2, 4, 6, 8, …, 88).
Şimdi eleman sayısı sonsuz olan sayısal kümelerin tanımlanmasından bahsedelim. Bazen aynı üç nokta kullanılarak tanımlanırlar. Örneğin tüm doğal sayılar kümesini şu şekilde yazıyoruz: N = (1, 2, 3, ...).
Sonsuz sayıda elemana sahip bir sayısal kümeyi, elemanlarının özellikleri belirtilerek yazmak da mümkündür. (x | özellikleri) gösterimi kullanılır. Örneğin (n | 8 n + 3, n ∈ N), 8'e bölündüğünde 3 kalanını bırakan doğal sayılar kümesini tanımlar. Aynı küme şu şekilde yazılabilir: (11, 19, 27,…).
Özel durumlarda, sonsuz sayıda elemana sahip sayısal kümeler, iyi bilinen N, Z, R vb. kümeleri veya sayısal aralıklardır. Ancak temel olarak sayısal kümeler, kendilerini oluşturan sayısal aralıkların ve sonlu sayıda öğeye sahip sayısal kümelerin birleşimidir (bunlardan makalenin en başında bahsetmiştik).
Bir örneğe bakalım. Belirli bir sayısal kümenin bileşenlerinin - 15, - 8, - 7, 34, 0 sayıları ve ayrıca [- 6, - 1, 2] segmentindeki tüm sayılar ve açık sayı doğrusundaki sayılar olduğunu varsayalım. (6, + ∞). Kümelerin birleşiminin tanımına uygun olarak verilen sayısal kümeyi şu şekilde yazarız: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∞) . Böyle bir gösterim aslında (- 15, - 8, - 7, 34, 0), [- 6, - 1, 2] ve (6, + ∞) kümelerinin tüm elemanlarını içeren bir küme anlamına gelir.
Aynı şekilde, çeşitli sayısal aralıkları ve bireysel sayı kümelerini birleştirerek, gerçek sayılardan oluşan herhangi bir sayısal kümenin tanımını vermek mümkündür. Yukarıdakilere dayanarak, neden tanıtıldıkları anlaşılıyor Farklı türde aralık, yarım aralık, doğru parçası, açık sayı ışını ve sayı ışını gibi sayı aralıkları. Tüm bu aralık türleri, bireysel sayı kümelerinin tanımlarıyla birlikte, herhangi bir sayısal kümenin bunların birleşimi yoluyla tanımlanmasını mümkün kılar.
Küme yazarken tek tek sayıların ve sayısal aralıkların artan sırada sıralanabileceğine de dikkat etmek gerekir. Genel olarak bu zorunlu bir gereklilik değildir, ancak bu tür bir sıralama, sayısal bir kümeyi daha basit bir şekilde temsil etmenize ve aynı zamanda onu koordinat doğrusunda doğru bir şekilde görüntülemenize olanak tanır. Bu tür kayıtların sayısal aralıklar kullanmadığını da açıklığa kavuşturmak gerekir. Ortak öğelerçünkü bu kayıtlar sayısal aralıklar birleştirilerek ortak unsurlar ortadan kaldırılarak değiştirilebilir. Örneğin, sayısal kümelerin ortak elemanları [- 15, 0] ve (- 6, 4) ile birleşimi, yarı aralık [- 15, 4) olacaktır. Aynı durum, aynı sınır sayılarına sahip sayısal aralıkların birleşimi için de geçerlidir. Örneğin (4, 7] ∪ (7, 9) kümesi (4, 9) kümesidir. Bu nokta sayısal kümelerin kesişim ve birliğini bulma konusunda detaylı olarak tartışılacaktır.
Pratik örneklerde, sayısal kümelerin geometrik yorumunu (onların koordinat çizgisi üzerindeki görüntüleri) kullanmak uygundur. Örneğin, bu yöntem, ODZ'yi dikkate almanın gerekli olduğu eşitsizliklerin çözümünde yardımcı olacaktır - bunların birleşimini ve/veya kesişimini belirlemek için sayısal kümeleri görüntülemeniz gerektiğinde.
Koordinat çizgisinin noktaları ile gerçek sayılar arasında bire bir yazışma olduğunu biliyoruz: Koordinat çizgisinin tamamı, tüm R gerçek sayıları kümesinin geometrik bir modelidir. Bu nedenle, tüm gerçek sayılar kümesini göstermek için bir koordinat çizgisi çizeriz ve tüm uzunluğu boyunca gölgeleme uygularız:
Çoğunlukla orijin ve birim segment belirtilmez:
Sonlu sayıda bireysel sayıdan oluşan sayı kümelerinin bir görüntüsünü düşünün. Örneğin bir sayı kümesini (- 2, - 0, 5, 1, 2) görüntüleyelim. Belirli bir kümenin geometrik modeli, karşılık gelen koordinatlarla birlikte koordinat çizgisinin üç noktası olacaktır:
Çoğu durumda, çizimin mutlak doğruluğunu korumamak mümkündür: ölçeğe bakılmaksızın şematik bir görüntü, ancak noktaların birbirine göre göreceli konumunu korumak oldukça yeterlidir, yani. Koordinatı daha büyük olan herhangi bir nokta, daha küçük olan bir noktanın sağında olmalıdır. Bununla birlikte mevcut bir çizim şöyle görünebilir:
Olası sayısal kümelerden ayrı olarak sayısal aralıklar ayırt edilir: aralıklar, yarı aralıklar, ışınlar vb.)
Şimdi birkaç sayısal aralığın ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi olan sayısal kümeleri gösterme ilkesini ele alalım. Bunda hiçbir zorluk yoktur: Bir birliğin tanımına göre, belirli bir sayısal kümenin kümesinin tüm bileşenlerinin koordinat doğrusu üzerinde gösterilmesi gerekir. Örneğin, (- ∞ , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ∞) sayı kümesinin bir örneğini oluşturalım.
Sayı kümesinin bir veya daha fazla nokta dışında tüm reel sayılar kümesini içerecek şekilde çizilmesi de oldukça yaygındır. Bu tür kümeler genellikle x ≠ 5 veya x ≠ - 1 vb. koşullarla belirtilir. Bu gibi durumlarda geometrik modellerindeki kümeler, verilen noktalar dışında koordinat çizgisinin tamamıdır. Bu noktaların koordinat çizgisinden "çıkarılması" gerektiği genel olarak kabul edilir. Delinmiş nokta, merkezi boş olan bir daire olarak tasvir edilmiştir. Söylenenleri pekiştirmek için pratik örnek, verilen x ≠ - 2 ve x ≠ 3 koşuluna sahip bir kümeyi koordinat doğrusu üzerinde görüntüleyin:
Bu makalede verilen bilgiler, sayısal kümelerin kaydını ve temsilini bireysel sayısal aralıklar kadar kolay görme becerisini kazanmanıza yardımcı olmayı amaçlamaktadır. İdeal olarak, yazılı sayısal kümenin koordinat çizgisi üzerinde hemen geometrik bir görüntü şeklinde temsil edilmesi gerekir. Ve tam tersi: görüntüden, sayısal aralıkların ve ayrı sayılar olan kümelerin birleşimi yoluyla karşılık gelen bir sayısal küme kolayca oluşturulmalıdır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Her türden çok çeşitli seçeneklerden setleriÖzellikle ilgi çekici olanlar sözde sayı setleri yani elemanları sayılardan oluşan kümelerdir. Onlarla rahatça çalışabilmek için onları yazabilmeniz gerektiği açıktır. Bu makaleye sayısal kümelerin gösterimi ve yazım ilkeleriyle başlayacağız. Şimdi sayısal kümelerin koordinat doğrusu üzerinde nasıl gösterildiğine bakalım.
Sayfada gezinme.
Sayısal kümelerin yazılması
İle başlayalım kabul edilen notasyonlar. Bildiğiniz gibi Latin alfabesinin büyük harfleri kümeleri belirtmek için kullanılıyor. Gibi sayı kümeleri özel durum kümeler de belirtilir. Örneğin A, H, W vb. sayı kümelerinden bahsedebiliriz. Doğal, tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık sayılar vb. kümeleri özellikle önemlidir; onlar için kendi gösterimleri benimsenmiştir:
- N – tüm doğal sayılar kümesi;
- Z – tam sayılar kümesi;
- Q – rasyonel sayılar kümesi;
- J - irrasyonel sayılar kümesi;
- R – gerçek sayılar kümesi;
- C karmaşık sayılar kümesidir.
Buradan, örneğin 5 ve −7 sayılarından oluşan bir kümeyi Q olarak belirtmemeniz gerektiği açıktır; Q harfi genellikle tüm rasyonel sayıların kümesini ifade ettiğinden, bu atama yanıltıcı olacaktır. Belirtilen sayısal kümeyi belirtmek için başka bir "nötr" harf, örneğin A kullanmak daha iyidir.
Gösterimden bahsettiğimize göre burada boş bir kümenin, yani eleman içermeyen bir kümenin gösterimini de hatırlayalım. ∅ işaretiyle gösterilir.
Bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığının belirtilmesini de hatırlayalım. Bunu yapmak için ∈ - ait ve ∉ - ait değil işaretlerini kullanın. Örneğin, 5∈N gösterimi, 5 sayısının doğal sayılar kümesine ait olduğu ve 5,7∉Z - 5,7 ondalık kesirinin tamsayılar kümesine ait olmadığı anlamına gelir.
Ayrıca bir kümeyi diğerine dahil etmek için benimsenen gösterimi de hatırlayalım. N kümesinin tüm elemanlarının Z kümesine dahil olduğu açıktır, dolayısıyla N sayı kümesi Z'ye dahildir, bu N⊂Z olarak gösterilir. Ayrıca Z⊃N gösterimini de kullanabilirsiniz; bu, tüm Z tamsayılarının kümesinin N kümesini içerdiği anlamına gelir. Dahil edilmeyen ve dahil edilmeyen ilişkiler sırasıyla ⊄ ve ile gösterilmiştir. ⊆ ve ⊇ biçiminde katı olmayan dahil etme işaretleri de kullanılır; bu, sırasıyla dahil veya çakışır ve içerir veya çakışır anlamına gelir.
Gösterimden bahsettik, sayısal kümelerin tanımına geçelim. Bu durumda sadece pratikte en sık kullanılan ana durumlara değineceğiz.
Sonlu ve az sayıda öğe içeren sayısal kümelerle başlayalım. Sonlu sayıda elemandan oluşan sayısal kümeleri, tüm elemanlarını listeleyerek tanımlamak uygundur. Tüm sayı elemanları, genel kurala uygun olarak virgülle ayrılarak ve içine alınarak yazılır. kümeleri tanımlama kuralları. Örneğin 0, −0,25 ve 4/7 olmak üzere üç sayıdan oluşan bir küme (0, −0,25, 4/7) olarak tanımlanabilir.
Bazen, bir sayısal kümenin öğelerinin sayısı oldukça fazla olduğunda ancak öğeler belirli bir kalıba uyduğunda, açıklama için üç nokta kullanılır. Örneğin, 3'ten 99'a kadar olan tüm tek sayılar kümesi (3, 5, 7, ..., 99) şeklinde yazılabilir.
Böylece, elemanlarının sayısı sonsuz olan sayısal kümelerin tanımına sorunsuz bir şekilde yaklaştık. Bazen aynı elipsler kullanılarak tanımlanabilirler. Örneğin tüm doğal sayılar kümesini tanımlayalım: N=(1, 2. 3, …) .
Ayrıca sayısal kümelerin tanımını, elemanlarının özelliklerini belirterek kullanırlar. Bu durumda (x| özellikleri) gösterimi kullanılır. Örneğin, (n| 8·n+3, n∈N) gösterimi, 8'e bölündüğünde 3 kalanını bırakan doğal sayılar kümesini belirtir. Bu aynı küme (11,19, 27, ...) olarak tanımlanabilir.
Özel durumlarda, sonsuz sayıda eleman içeren sayısal kümeler bilinen N, Z, R vb. kümelerdir. veya sayı aralıkları. Temel olarak sayısal kümeler şu şekilde temsil edilir: Birlik onları oluşturan bireysel sayısal aralıklar ve sonlu sayıda öğe içeren sayısal kümeler (bundan biraz önce bahsetmiştik).
Bir örnek gösterelim. Sayı kümesi −10, −9, −8.56, 0 sayılarından, [−5, −1,3] doğru parçasının tüm sayılarından ve açık sayı doğrusundaki (7, +∞) sayılardan oluşsun. Kümelerin birleşiminin tanımı nedeniyle, belirtilen sayısal küme şu şekilde yazılabilir: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Bu gösterim aslında (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] ve (7, +∞) kümelerinin tüm elemanlarını içeren bir küme anlamına gelir.
Benzer şekilde, farklı sayı aralıkları ve bireysel sayı kümeleri birleştirilerek, herhangi bir sayı kümesi (gerçek sayılardan oluşan) tanımlanabilir. Burada aralık, yarım aralık, segment, açık sayısal ışın ve sayısal ışın gibi sayısal aralık türlerinin neden tanıtıldığı açıklığa kavuşuyor: bunların tümü, bireysel sayı kümeleri için notasyonlarla birleştiğinde, herhangi bir sayısal kümeyi şu şekilde tanımlamayı mümkün kılar: onların birliği.
Bir sayı kümesini yazarken, onu oluşturan sayıların ve sayısal aralıkların artan sırada sıralandığını lütfen unutmayın. Bu gerekli değil ancak arzu edilen bir durumdur, çünkü sıralı bir sayısal kümenin bir koordinat çizgisi üzerinde hayal edilmesi ve tasvir edilmesi daha kolaydır. Ayrıca, bu tür kayıtların ortak öğeler içeren sayısal aralıklar kullanmadığını unutmayın; çünkü bu tür kayıtlar, ortak öğeler olmadan sayısal aralıkların birleştirilmesiyle değiştirilebilir. Örneğin, sayısal kümelerin ortak elemanları [−10, 0] ve (−5, 3) olan birleşimi, yarı aralıktır [−10, 3) . Aynısı, aynı sınır sayılarına sahip sayısal aralıkların birleşimi için de geçerlidir; örneğin, (3, 5]∪(5, 7] birliği bir (3, 7] kümesidir, bunu öğrendiğimizde bunun üzerinde ayrıca duracağız.) sayısal kümelerin kesişimini ve birleşimini bulun
Sayı kümelerinin koordinat doğrusu üzerinde gösterimi
Uygulamada, sayısal kümelerin geometrik görüntülerini - bunların görüntülerini - kullanmak uygundur. Örneğin, ne zaman eşitsizlikleri çözmek ODZ'nin hesaba katılmasının gerekli olduğu durumlarda, bunların kesişimini ve/veya birleşimini bulmak için sayısal kümelerin gösterilmesi gerekir. Bu nedenle, sayısal kümeleri bir koordinat çizgisi üzerinde göstermenin tüm nüanslarını iyi anlamak faydalı olacaktır.
Koordinat çizgisinin noktaları ile gerçek sayılar arasında bire bir yazışma olduğu bilinmektedir; bu, koordinat çizgisinin kendisinin tüm R gerçek sayıları kümesinin geometrik bir modeli olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, tüm gerçek sayılar kümesini göstermek için, tüm uzunluğu boyunca gölgeli bir koordinat çizgisi çizmeniz gerekir:
Ve çoğu zaman orijini ve birim segmentini bile belirtmiyorlar: 
Şimdi belirli sonlu sayıda bireysel sayıyı temsil eden sayısal kümelerin görüntüsünden bahsedelim. Örneğin sayı kümesini (−2, −0,5, 1,2) gösterelim. −2, −0,5 ve 1,2 olmak üzere üç sayıdan oluşan bu kümenin geometrik görüntüsü, karşılık gelen koordinatlarla koordinat çizgisinin üç noktası olacaktır: 
Genellikle pratik amaçlar için çizimin tam olarak yapılmasına gerek olmadığını unutmayın. Genellikle şematik bir çizim yeterlidir, bu da ölçeği korumanın gerekli olmadığı anlamına gelir; bu durumda yalnızca noktaların birbirine göre göreceli konumunu korumak önemlidir: koordinatı daha küçük olan herhangi bir nokta, koordinata göre olmalıdır. koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda. Önceki çizim şematik olarak şöyle görünecek: 
Ayrı olarak her türlü sayısal kümelerden geometrik görüntülerini temsil eden sayısal aralıklar (aralıklar, yarım aralıklar, ışınlar vb.) ayırt edilir; bunları bölümde detaylı olarak inceledik. Burada kendimizi tekrarlamayacağız.
Ve geriye sadece birkaç sayısal aralığın ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi olan sayısal kümelerin görüntüsü üzerinde durmak kalıyor. Burada zor bir şey yok: bu durumlarda birliğin anlamına göre, belirli bir sayısal kümenin kümesinin tüm bileşenlerini koordinat çizgisi üzerinde tasvir etmek gerekir. Örnek olarak bir sayı kümesinin resmini gösterelim (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : 
Ve gösterilen sayısal kümenin, bir veya birkaç nokta dışında tüm gerçek sayılar kümesini temsil ettiği oldukça yaygın durumlar üzerinde duralım. Bu tür kümeler genellikle x≠5 veya x≠−1, x≠2, x≠3,7 vb. koşullarla belirtilir. Bu durumlarda, karşılık gelen noktalar haricinde geometrik olarak koordinat çizgisinin tamamını temsil ederler. Başka bir deyişle bu noktaların koordinat doğrusundan “çıkarılması” gerekiyor. Merkezi boş olan daireler olarak tasvir edilmiştir. Açıklık sağlamak için, koşullara karşılık gelen sayısal bir kümeyi gösterelim. 
(bu set esasen mevcuttur): 
Özetleyin. İdeal olarak, önceki paragraflarda yer alan bilgiler, sayısal kümelerin kaydedilmesi ve tasviri ile bireysel sayısal aralıkların görünümüyle aynı görünümü oluşturmalıdır: bir sayısal kümenin kaydı, koordinat çizgisi üzerinde ve görüntüden itibaren hemen görüntüsünü vermelidir. Koordinat çizgisine karşılık gelen sayısal kümeyi, bireysel aralıkların ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi yoluyla kolayca tanımlamaya hazır olmalıyız.
Kaynakça.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
Tanım: Doğal sayılar nesneleri saymak için kullanılan sayılardır (1, 2, 3, 4, 5, ...) [0 sayısı doğal değildir. Matematik tarihinde ayrı bir geçmişi vardır ve doğal sayılardan çok daha sonra ortaya çıkmıştır.]
Tüm doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, 4, 5, ...) N harfiyle gösterilir.
Bütün sayılar
Saymayı öğrendikten sonra yapacağımız şey sayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmayı öğrenmektir. Genellikle ilk önce toplama ve çıkarma öğretilir (sayma çubukları kullanılarak).Toplama ile her şey açıktır: herhangi iki doğal sayıyı topladığımızda sonuç her zaman aynı olacaktır. doğal sayı. Ancak çıkarma işleminde, sonucun doğal bir sayı olması için büyüğü küçükten çıkaramayacağımızı keşfederiz. (3 − 5 = ne?) Negatif sayılar fikri burada devreye giriyor. (Negatif sayılar artık doğal sayı değildir)
Negatif sayıların ortaya çıkma aşamasında (ve kesirli olanlardan daha sonra ortaya çıktılar) Bunların saçmalık olduğunu düşünen muhalifleri de vardı. (Parmaklarınızda üç nesne gösterilebilir, on tanesi gösterilebilir, bin nesne analojiyle temsil edilebilir. Peki “eksi üç çanta” nedir? - O zamanlar sayılar zaten belirli kavramlardan ayrı olarak tek başına kullanılıyordu. Sayılarını ifade ettikleri nesneler hala insanların zihinlerinde bu belirli konulara bugüne göre çok daha yakındı.) Ancak itirazlar gibi, negatif sayılar lehine ana argüman da pratikten geldi: negatif sayılar, uygun bir şekilde hesaplamayı mümkün kıldı. borçları say. 3 − 5 = −2 - 3 jetonum vardı, 5 jeton harcadım. Bu hem jetonumun bittiği hem de birine 2 jeton borcum olduğu anlamına geliyor. Birini geri verirsem borç −2+1=−1 değişecektir ancak negatif bir sayıyla da temsil edilebilir.
Bunun sonucunda matematikte negatif sayılar ortaya çıktı ve artık sonsuz sayıda doğal sayıya (1, 2, 3, 4, ...) ve bunların aynı sayıda karşıtlarına (−1, −2, −) sahibiz. 3, −4 , ...). Bunlara bir 0 daha ekleyelim ve bu sayıların kümesine tamsayılar diyeceğiz.
Tanım: Doğal sayılar, onların karşıtları ve sıfır tam sayılar kümesini oluşturur. Z harfi ile gösterilir.
Bir tam sayı oluşturmak için herhangi iki tam sayı birbirinden çıkarılabilir veya toplanabilir.
Tamsayıları toplama fikri zaten çarpma olasılığını varsayar, çünkü daha fazlası hızlı yol ekleme işlemini gerçekleştiriyor. Her biri 6 kilogram olan 7 çantamız varsa, buna 6+6+6+6+6+6+6 (mevcut toplamın yedi katına 6 ekleyin) ekleyebiliriz ya da böyle bir işlemin her zaman sonuçlanacağını hatırlayabiliriz. 42. Tıpkı altı yedinin eklenmesi gibi, 7+7+7+7+7+7 de her zaman 42 sonucunu verir.
Ekleme işleminin sonuçları kesin kendinle sayılar kesin 2'den 9'a kadar tüm sayı çiftlerinin kaç kere olduğu yazılır ve bir çarpım tablosu oluşturulur. 9'dan büyük tam sayıları çarpmak için sütun çarpma kuralı icat edildi. (Bu durum ondalık kesirler için de geçerlidir ve aşağıdaki makalelerden birinde ele alınacaktır.) Herhangi iki tam sayı birbiriyle çarpıldığında sonuç her zaman tam sayı olacaktır.
Rasyonel sayılar
Şimdi bölünme. Nasıl ki çıkarma, toplamanın ters işlemiyse, bölme fikrine de çarpmanın ters işlemi olarak geliyoruz.Elimizde 6 kilogramlık 7 torba olduğunda çarpma işlemiyle torbaların içindekilerin toplam ağırlığının 42 kilogram olduğunu kolaylıkla hesapladık. Tüm torbaların tüm içeriğini 42 kilogram ağırlığındaki ortak bir yığına döktüğümüzü hayal edelim. Daha sonra fikirlerini değiştirdiler ve içindekileri tekrar 7 torbaya dağıtmak istediler. Eşit olarak dağıtırsak bir torbaya kaç kilogram düşer? – Tabii ki 6.
42 kiloyu 6 torbaya dağıtmak istersek ne olur? Burada 7 kilogramlık 6 torbayı bir yığına dökersek aynı toplam 42 kilogramın elde edilebileceğini düşüneceğiz. Bu da demek oluyor ki 42 kiloyu 6 torbaya eşit olarak böldüğümüzde bir torbadan 7 kilo çıkıyor.
42 kiloyu 3 torbaya eşit olarak bölerseniz ne olur? Burada da 3 ile çarpıldığında 42 verecek bir sayı seçmeye başlıyoruz. “Tablo” değerler için 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 durumunda olduğu gibi bölme işlemini gerçekleştiriyoruz. çarpım tablosunu geri çağırarak işlem yapabilirsiniz. Daha fazlası için karmaşık vakalar Aşağıdaki makalelerden birinde tartışılacak olan sütun bölümü kullanılır. 3 ve 42 durumunda, 3 · 14 = 42 olduğunu hatırlamak için "seçebilirsiniz". Bu, 42:3 = 14 anlamına gelir. Her çanta 14 kilogram içerecektir.
Şimdi 42 kiloyu 5 torbaya eşit olarak bölmeye çalışalım. 42:5=?
5 · 8 = 40 (az) ve 5 · 9 = 45 (çok) olduğunu fark ettik. Yani ne 5 poşetten 42 kilo, ne bir poşetten 8 kilo, ne 9 kilo alacağız. Aynı zamanda, gerçekte hiçbir şeyin bizi herhangi bir miktarı (örneğin tahılları) 5 eşit parçaya bölmekten alıkoymadığı açıktır.
Tam sayıları birbirine bölme işlemi mutlaka tam sayı sonucunu vermez. Kesir kavramına bu şekilde ulaştık. 42:5 = 42/5 = 8 tam 2/5 (kesirli olarak sayılırsa) veya 42:5 = 8,4 (ondalık sayılarla sayılırsa).
Ortak ve ondalık kesirler
Herhangi bir sıradan m/n kesirinin (m herhangi bir tam sayıdır, n herhangi bir doğal sayıdır), m sayısının n sayısına bölünmesinin sonucunu yazmanın özel bir biçimi olduğunu söyleyebiliriz. (m kesrin payı olarak adlandırılır, n ise paydadır) Örneğin 25 sayısını 5 sayısına bölmenin sonucu da 25/5 sıradan bir kesir olarak yazılabilir. Ancak bu gerekli değildir, çünkü 25'i 5'e bölmenin sonucu basitçe 5 tamsayısı olarak yazılabilir. (Ve 25/5 = 5). Ancak 25 sayısını 3 sayısına bölmenin sonucu artık tam sayı olarak temsil edilemediğinden burada 25:3 = 25/3 kesirini kullanma ihtiyacı ortaya çıkıyor. (Tam kısmı 25/3 = 8 tam 1/3 olarak ayırabilirsiniz. Adi kesirler ve adi kesirlerle yapılan işlemler ilerleyen yazılarımızda daha detaylı ele alınacaktır.)Sıradan kesirlerle ilgili iyi olan şey, herhangi iki tam sayıyı böyle bir kesir olarak bölmenin sonucunu temsil etmek için, kesrin payına böleni ve paydaya böleni yazmanız yeterlidir. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Daha sonra mümkünse kesri azaltın ve/veya tamamını izole edin (bu işlemler sıradan kesirlerle yapılır) Aşağıdaki makalelerde ayrıntılı olarak ele alınacaktır). Sorun, sıradan kesirlerle aritmetik işlemler (toplama, çıkarma) yapmanın artık tam sayılarda olduğu kadar kullanışlı olmamasıdır.
Yazma kolaylığı (tek satırda) ve hesaplamaların rahatlığı için (sıradan tamsayılarda olduğu gibi bir sütunda hesaplama imkanı ile), sıradan kesirlere ek olarak ondalık kesirler de icat edildi. Ondalık kesir, paydası 10, 100, 1000 vb. olan, özel olarak yazılmış sıradan bir kesirdir. Örneğin, ortak kesir olan 7/10, ondalık kesir olan 0,7 ile aynıdır. (8/100 = 0,08; 2 tam 3/10 = 2,3; 7 tam 1/1000 = 7,001). Sıradan kesirleri ondalık sayılara ve bunun tersini dönüştürmeye ayrı bir makale ayrılacaktır. Ondalık kesirlerle işlemler - diğer makaleler.
Herhangi bir tam sayı, paydası 1 olan ortak bir kesir olarak temsil edilebilir. (5=5/1; −765=−765/1).
Tanım: Kesir olarak ifade edilebilen tüm sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfiyle gösterilir.
Herhangi iki tam sayıyı birbirine böldüğünüzde (0'a bölme durumu hariç), sonuç her zaman olacaktır. rasyonel sayı. Sıradan kesirler için, herhangi iki kesirle karşılık gelen işlemi gerçekleştirmenize ve ayrıca sonuç olarak rasyonel bir sayı (kesir veya tam sayı) elde etmenize olanak tanıyan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kuralları vardır.
Rasyonel sayılar kümesi, üzerinde toplayabileceğiniz, çıkarabileceğiniz, çarpabileceğiniz ve bölebileceğiniz (0'a bölme hariç), hiçbir zaman bu kümenin sınırlarını aşmadan (yani her zaman rasyonel bir sonuç elde edebileceğiniz) ele aldığımız kümelerin ilkidir. sonuç olarak sayı).
Görünüşe göre başka sayı yok; tüm sayılar rasyoneldir. Ancak bu da doğru değil.
Gerçek sayılar
m/n kesri olarak temsil edilemeyen sayılar vardır (burada m bir tamsayı, n ise bir doğal sayıdır).Bu sayılar nedir? Üs alma işlemini henüz düşünmedik. Örneğin, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Çarpma nasıl toplama yazmanın ve hesaplamanın daha kullanışlı bir şekliyse, üstellik de aynı sayının kendisiyle belirli sayıda çarpımının yazılmasıdır.
Ama şimdi üstel alma işleminin tersi olan kök çıkarma işlemine bakalım. 16'nın karekökü, karesi 16'yı verecek sayı yani 4 sayısıdır. 9'un karekökü 3'tür. Ama Kare kökÖrneğin 5 veya 2 rasyonel bir sayıyla temsil edilemez. (Bu ifadenin kanıtı, irrasyonel sayıların diğer örnekleri ve bunların geçmişi örneğin Wikipedia'da bulunabilir)
9. sınıftaki GIA'da gösteriminde kök içeren bir sayının rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu belirleme görevi vardır. Görev, bu sayıyı kök içermeyen bir forma dönüştürmeye çalışmaktır (köklerin özelliklerini kullanarak). Kökten kurtulamıyorsanız sayı irrasyoneldir.
İrrasyonel bir sayının başka bir örneği, geometri ve trigonometriden herkesin aşina olduğu π sayısıdır.
Tanım: Rasyonel ve irrasyonel sayılara birlikte gerçek (veya gerçek) sayılar denir. Tüm reel sayılar kümesi R harfiyle gösterilir.
Rasyonel sayıların aksine gerçek sayılarla bir doğru veya düzlem üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi ifade edebiliriz.
Düz bir çizgi çizip üzerinde rastgele iki nokta seçerseniz veya bir düzlemde iki rastgele nokta seçerseniz, bu noktalar arasındaki mesafenin tam olarak rasyonel sayı olarak ifade edilemeyeceği ortaya çıkabilir. (Örnek - Pisagor teoremine göre ayakları 1 ve 1 olan bir dik üçgenin hipotenüsü ikinin köküne eşit olacaktır - yani irrasyonel bir sayı. Bu aynı zamanda bir tetrad hücresinin köşegeninin tam uzunluğunu da içerir. (kenarları tam olan herhangi bir ideal karenin köşegeninin uzunluğu).
Ve gerçek sayılar kümesinde, bir çizgi üzerindeki, bir düzlemdeki veya uzaydaki herhangi bir mesafe, karşılık gelen gerçek sayıyla ifade edilebilir.
Tamsayılar
Doğal sayıların tanımı pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar nesneleri saymak ve başka birçok amaç için kullanılır. Bunlar rakamlar:
Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır sıfır doğal bir sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı var? Sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
En küçük doğal sayı nedir? Bir, en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı nedir? Sonsuz sayıda doğal sayı olduğundan bunu belirtmek imkansızdır.
Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Yani, a ve b doğal sayılarını topladığımızda:
Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Yani a ve b doğal sayılarının çarpımı:
c her zaman bir doğal sayıdır.
Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eğer eksilen çıkandan büyükse doğal sayıların farkı bir doğal sayıdır, aksi halde değildir.
Doğal sayıların bölümü her zaman doğal sayı değildir. a ve b doğal sayıları için ise
c'nin bir doğal sayı olması, a'nın b'ye bölünebileceği anlamına gelir. Bu örnekte a bölen, b bölen, c bölümdür.
Bir doğal sayının böleni, ilk sayının bir tam sayıya bölünebildiği bir doğal sayıdır.
Her doğal sayı bire ve kendisine bölünebilir.
Asal doğal sayılar yalnızca bire ve kendilerine bölünebilir. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 yalnızca bire ve kendisine bölünebilir. Bunlar basit doğal sayılardır.
Bir asal sayı olarak kabul edilmez.
Birden büyük olan ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılara örnekler:
Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.
Doğal sayılar kümesi bir, asal sayılar ve bileşik sayılardan oluşur.
Doğal sayılar kümesi gösterilir Latince harf N.
Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:
toplamanın değişme özelliği
eklemenin ilişkisel özelliği
(a + b) + c = a + (b + c);
Çarpmanın değişme özelliği
çarpmanın birleşme özelliği
(ab) c = a (bc);
Çarpmanın dağılma özelliği
bir (b + c) = ab + ac;
Bütün sayılar
Tam sayılar; doğal sayılar, sıfır ve doğal sayıların karşıtlarıdır.
Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır, örneğin:
1; -2; -3; -4;...
Tamsayılar kümesi Latince Z harfiyle gösterilir.
Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirlerdir.
Herhangi bir rasyonel sayı periyodik kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Örneklerden herhangi bir tam sayının periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu açıktır.
Herhangi bir rasyonel sayı m/n kesri olarak gösterilebilir; burada m bir tam sayıdır sayı,n doğal sayı. Bir önceki örnekteki 3(6) sayısını böyle bir kesir olarak düşünelim.
Sayı- yüzyıllar boyunca değişen önemli bir matematiksel kavram.
Sayılarla ilgili ilk fikirler insanları, hayvanları, meyveleri, çeşitli ürünleri vb. saymaktan ortaya çıktı. Sonuç doğal sayılardır: 1, 2, 3, 4, ...
Tarihsel olarak sayı kavramının ilk uzantısı kesirli sayıların doğal sayılara eklenmesidir.
Kesir bir birimin veya birkaç eşit parçanın bir kısmına (payına) denir.
Belirleyen: , nerede m, n- bütün sayılar;
Paydası 10 olan kesirler N, Nerede N- adı verilen bir tamsayı ondalık: .
Ondalık kesirler arasında özel bir yer işgal edilir periyodik kesirler: 
- saf periyodik kesir, 
- karışık periyodik kesir.
Sayı kavramının daha da genişlemesi, matematiğin kendisinin (cebir) gelişmesinden kaynaklanmaktadır. 17. yüzyılda Descartes. konsepti tanıtıyor negatif sayı.
Tam sayılara (pozitif ve negatif), kesirlere (pozitif ve negatif) ve sıfır sayılarına denir. rasyonel sayılar. Herhangi bir rasyonel sayı sonlu ve periyodik bir kesir olarak yazılabilir.
Sürekli değişen değişken nicelikleri incelemek için, rasyonel sayılara irrasyonel sayılar eklenerek sayı kavramının yeni bir şekilde genişletilmesinin - gerçek (gerçek) sayıların tanıtılması - gerekli olduğu ortaya çıktı: irrasyonel sayılar sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlerdir.
Cebirde ölçülemez bölümleri (bir karenin kenarı ve köşegeni) ölçerken irrasyonel sayılar ortaya çıktı - kökleri çıkarırken, aşkın, irrasyonel bir sayının örneği π'dir, e .
Sayılar doğal(1, 2, 3,...), tüm(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), akılcı(kesir olarak temsil edilebilir) ve mantıksız(kesir olarak temsil edilemez ) bir set oluşturmak gerçek (gerçek) sayılar.
Karmaşık sayılar matematikte ayrı ayrı ayırt edilir.
Karışık sayılar vaka için kareleri çözme problemiyle bağlantılı olarak ortaya çıkıyor D< 0 (здесь D– ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı). Uzun süre bu sayılar fiziksel uygulama bulamadı, bu yüzden onlara "hayali" sayılar denildi. Ancak artık fizik ve teknolojinin çeşitli alanlarında çok yaygın olarak kullanılıyorlar: elektrik mühendisliği, hidro ve aerodinamik, esneklik teorisi vb.
Karışık sayılar şu şekilde yazılır: z= A+ bi. Burada A Ve B – gerçek sayılar, A Ben – hayali birim, yanie. Ben 2 = -1. Sayı A isminde apsis, A B -koordine etmek karmaşık sayı A+ bi. İki karmaşık sayı A+ bi Ve a-bi arandı birleşik Karışık sayılar.
Özellikler:
1. Gerçek sayı A karmaşık sayı biçiminde de yazılabilir: A+ 0Ben veya A - 0Ben. Örneğin 5 + 0 Ben ve 5 – 0 Ben aynı sayı anlamına geliyor 5.
2. Kompleks sayı 0 + bi isminde tamamen hayali sayı. Kayıt bi 0 ile aynı anlama gelir + bi.
3. İki karmaşık sayı A+ bi Ve C+ di eşit kabul edilirse A= C Ve B= D. Aksi takdirde Karışık sayılar eşit değil.
Hareketler:
Ek. Karmaşık sayıların toplamı A+ bi Ve C+ di karmaşık sayı denir ( A+ C) + (B+ D)Ben. Böylece, Karmaşık sayılar toplanırken apsisleri ve ordinatları ayrı ayrı eklenir.
Çıkarma. İki karmaşık sayının farkı A+ bi(azaltılmış) ve C+ di(çıkarılan) karmaşık sayıya denir ( AC) + (b-d)Ben. Böylece, İki karmaşık sayı çıkarıldığında apsisleri ve koordinatları ayrı ayrı çıkarılır.
Çarpma işlemi. Karmaşık sayıların çarpımı A+ bi Ve C+ di karmaşık sayı denir:
(ac-bd) + (reklam+ M.Ö)Ben. Bu tanım iki gereksinimden kaynaklanmaktadır:
1) sayılar A+ bi Ve C+ di cebirsel binomlar gibi çarpılmalıdır,
2) sayı Ben ana özelliğe sahiptir: Ben 2 = –1.
ÖRNEK ( a+ bi)(a-bi)= bir 2 +b 2 . Buradan, işiki eşlenik karmaşık sayının toplamı pozitif bir gerçek sayıya eşittir.
Bölüm. Karmaşık bir sayıyı bölme A+ bi(bölünebilir) başka biri tarafından C+ di (bölücü) - üçüncü sayıyı bulmak anlamına gelir e+ ben(sohbet), bir bölenle çarpıldığında C+ di, temettüyle sonuçlanır A+ bi. Bölen sıfır değilse bölme her zaman mümkündür.
ÖRNEK Bul (8 + Ben) : (2 – 3Ben) .
Çözüm: Bu oranı kesir olarak yeniden yazalım:
Payını ve paydasını 2 + 3 ile çarpmak Ben ve tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:
Görev 1: Z'yi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme 1 z'de 2
Karekökün çıkarılması: Denklemi çözün X 2 = -A. Bu denklemi çözmek için yeni türdeki sayıları kullanmak zorunda kalıyoruz - hayali sayılar . Böylece, hayali numara aranır ikinci kuvveti negatif bir sayı olan. Sanal sayıların bu tanımına göre tanımlayabiliriz ve hayali birim:
Daha sonra denklem için X 2 = – 25 iki tane elde ederiz hayali kök:
Görev 2: Denklemi çözün:
1)x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:
İşte asıl nokta A–3 sayısı, nokta anlamına gelir B–sayı 2 ve Ö-sıfır. Bunun aksine, karmaşık sayılar koordinat düzlemindeki noktalarla temsil edilir. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. O zaman karmaşık sayı A+ bi bir nokta ile temsil edilecek Apsisli PA ve koordine etmekB. Bu koordinat sistemine denir karmaşık düzlem .
Modül karmaşık sayı vektörün uzunluğudur OP, koordinatta karmaşık bir sayıyı temsil eder ( kapsayıcı) uçak. Karmaşık bir sayının modülü A+ bi belirtilen | A+ bi| veya) mektup R ve şuna eşittir:
Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir.
Bir çizim çizme kuralları, Kartezyen koordinat sistemindeki bir çizimle hemen hemen aynıdır.Eksen boyunca boyutu ayarlamanız gerekir, şunu unutmayın:
e 
gerçek eksen boyunca birim; Yeniden z
hayali eksen boyunca hayali birim. ben z
Görev 3. Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde oluşturun: , , , , , , ,
1. Sayılar kesin ve yaklaşıktır. Pratikte karşılaştığımız sayılar iki türlüdür. Bazıları miktarın gerçek değerini verirken, diğerleri yalnızca yaklaşık değeri verir. Birincisine kesin, ikincisine yaklaşık denir. Çoğu zaman kesin bir sayı yerine yaklaşık bir sayı kullanmak daha uygundur, özellikle de çoğu durumda tam bir sayı bulmak imkansız olduğundan.
Yani bir sınıfta 29 öğrenci var derlerse 29 sayısı doğrudur. Moskova'dan Kiev'e olan mesafenin 960 km olduğunu söylerlerse, burada 960 sayısı yaklaşıktır, çünkü bir yandan ölçüm cihazlarımız kesinlikle doğru değildir, diğer yandan şehirlerin de belirli bir kapsamı vardır.
Yaklaşık sayılara sahip eylemlerin sonucu da yaklaşık bir sayıdır. Kesin sayılar üzerinde bazı işlemler yaparak (bölme, kök çıkarma) yaklaşık sayıları da elde edebilirsiniz.
Yaklaşık hesaplamalar teorisi şunları sağlar:
1) verilerin doğruluk derecesini bilmek, sonuçların doğruluk derecesini değerlendirmek;
2) sonucun gerekli doğruluğunu sağlamaya yetecek uygun doğruluk derecesine sahip verileri almak;
3) hesaplama sürecini rasyonelleştirerek sonucun doğruluğunu etkilemeyecek hesaplamalardan kurtarın.
2. Yuvarlama. Yaklaşık sayıları elde etmenin bir kaynağı yuvarlamadır. Hem yaklaşık hem de kesin sayılar yuvarlanır.
Verilen bir sayının belirli bir basamağa yuvarlanmasına, o rakamın sağındaki rakamın tamamı atılarak veya sıfırlarla değiştirilerek elde edilen yeni bir sayıyla değiştirilmesi denir. Bu sıfırlar genellikle altı çizilir veya daha küçük yazılır. Yuvarlanan sayının, yuvarlanan sayıya mümkün olduğu kadar yakın olmasını sağlamak için aşağıdaki kuralları kullanmalısınız: Bir sayıyı belirli bir rakama yuvarlamak için, bu rakamın rakamından sonraki tüm rakamları atmalı ve yerine koymalısınız. tam sayının içinde sıfırlar var. Aşağıdakiler dikkate alınır:
1) Atılan rakamların ilki (solda) 5'ten küçükse, kalan son rakam değiştirilmez (aşağı yuvarlanır);
2) Atılacak ilk rakam 5'ten büyük veya 5'e eşitse, kalan son rakam bir artırılır (fazla yuvarlanır).
Bunu örneklerle gösterelim. Yuvarlak:
a) onda birine kadar 12.34;
b) yüzde bire kadar 3,2465; 1038.785;
c) binde birine kadar 3.4335.
d) bin 12375'e kadar; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Mutlak ve bağıl hatalar. Kesin sayı ile yaklaşık değeri arasındaki farka yaklaşık sayının mutlak hatası denir. Örneğin tam 1,214 sayısını en yakın onluğa yuvarlarsak yaklaşık 1,2 sayısını elde ederiz. İÇİNDE bu durumda yaklaşık 1,2 sayısının mutlak hatası 1,214 - 1,2'dir, yani. 0.014.
Ancak çoğu durumda, söz konusu değerin kesin değeri bilinmemekle birlikte yalnızca yaklaşık bir değerdir. O zaman mutlak hata bilinmiyor. Bu durumlarda aşmadığı sınırı belirtiniz. Bu sayıya sınırlayıcı mutlak hata denir. Bir sayının tam değerinin, marjinal hatadan daha küçük bir hatayla yaklaşık değerine eşit olduğunu söylüyorlar. Örneğin, 23,71 sayısı, 23,7125 sayısının 0,01 doğrulukla yaklaşık değeridir, çünkü yaklaşımın mutlak hatası 0,0025 ve 0,01'den küçüktür. Burada sınırlayıcı mutlak hata 0,01 *'dir.
Yaklaşık sayının sınır mutlak hatası AΔ sembolüyle gösterilir A. Kayıt
X≈A(±Δ A)
şu şekilde anlaşılmalıdır: miktarın tam değeri X sayıların arasında A– Δ A Ve A+ Δ A sırasıyla alt ve üst sınırlar olarak adlandırılan X ve NG'yi belirtin X VG X.
Örneğin, eğer X≈ 2,3 (±0,1), ardından 2,2<X< 2,4.
Tam tersi, eğer 7.3 ise< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Mutlak veya marjinal mutlak hata, gerçekleştirilen ölçümün kalitesini karakterize etmez. Aynı mutlak hata, ölçülen değerin ifade edildiği sayıya bağlı olarak önemli veya önemsiz kabul edilebilir. Örneğin iki şehir arasındaki mesafeyi bir kilometre doğrulukla ölçersek bu değişiklik için bu doğruluk oldukça yeterlidir ancak aynı zamanda aynı cadde üzerindeki iki ev arasındaki mesafeyi ölçerken bu doğruluk olacaktır. kabul edilemez. Sonuç olarak, bir büyüklüğün yaklaşık değerinin doğruluğu yalnızca mutlak hatanın büyüklüğüne değil, aynı zamanda ölçülen büyüklüğün değerine de bağlıdır. Bu nedenle bağıl hata bir doğruluk ölçüsüdür.
Bağıl hata, mutlak hatanın yaklaşık sayının değerine oranıdır. Sınırlayıcı mutlak hatanın yaklaşık sayıya oranına sınırlayıcı bağıl hata denir; bunu şu şekilde tanımlarlar: . Göreceli ve marjinal göreli hatalar genellikle yüzde olarak ifade edilir. Örneğin, ölçümler mesafenin X iki nokta arası 12,3 km'den fazla ancak 12,7 km'den az ise bu iki sayının aritmetik ortalaması yaklaşık değer olarak alınır, yani. bunların yarı toplamları, o zaman marjinal mutlak hata bu sayıların yarı farkına eşittir. Bu durumda X≈ 12,5 (±0,2). Burada sınırlayıcı mutlak hata 0,2 km'dir ve sınırlayıcı bağıl
