Koninin hacmi, hesaplanması. Koninin hacmi nasıl bulunur Kesik koni formülü nasıl hesaplanır

Koninin yüzeyinin gelişimi, koninin yan yüzeyi ve tabanının belirli bir düzlemle birleştirilmesiyle elde edilen düz bir şekildir.

Bir tarama oluşturma seçenekleri:

Sağ dairesel koninin geliştirilmesi

Dik dairesel bir koninin yan yüzeyinin gelişimi, yarıçapı konik yüzey l'nin generatrisinin uzunluğuna eşit olan dairesel bir sektördür ve merkezi açı φ, φ=360*R/ formülüyle belirlenir. l, burada R, koninin tabanının dairesinin yarıçapıdır.

Tanımlayıcı geometriye ilişkin bir dizi problemde, tercih edilen çözüm, içinde yazılı bir piramit bulunan bir koniye yaklaşmak (değiştirmek) ve üzerine konik yüzey üzerinde uzanan çizgiler çizmenin uygun olduğu yaklaşık bir gelişme oluşturmaktır.

İnşaat algoritması

1. Konik bir yüzeye çokgen bir piramit yerleştiriyoruz. Yazılı bir piramidin yan yüzleri ne kadar fazlaysa, gerçek ve yaklaşık gelişim arasındaki uygunluk o kadar doğru olur.
2. Piramidin yan yüzeyinin gelişimini üçgen yöntemini kullanarak inşa ediyoruz. Koninin tabanına ait noktaları düzgün bir eğri ile birleştiriyoruz.

Örnek

Aşağıdaki şekilde, sağ dairesel bir koninin içine düzenli bir altıgen piramit SABCDEF yazılmıştır ve yan yüzeyinin yaklaşık gelişimi, piramidin yüzleri olan altı ikizkenar üçgenden oluşur.

S 0 A 0 B 0 üçgenini düşünün. S 0 A 0 ve S 0 B 0 kenarlarının uzunlukları, konik yüzeyin genetik l'sine eşittir. A 0 B 0 değeri A’B’ uzunluğuna karşılık gelir. Çizimde rastgele bir yerde bir S 0 A 0 B 0 üçgeni oluşturmak için, S 0 A 0 =l parçasını bırakın, ardından S 0 ve A 0 noktalarından S 0 B 0 =l yarıçaplı daireler çizeriz ve Sırasıyla A 0 B 0 = A'B'. B 0 dairelerinin kesişme noktasını A 0 ve S 0 noktalarına bağlarız.

SABCDEF piramidinin S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 yüzlerini S 0 A 0 üçgenine benzer şekilde oluşturuyoruz B 0.

Koninin tabanında yer alan A, B, C, D, E ve F noktaları, yarıçapı l'ye eşit olan bir dairenin yayı olan düzgün bir eğri ile bağlanır.

Eğimli koni gelişimi

Yaklaşım (yaklaşıklaştırma) yöntemini kullanarak eğimli bir koninin yan yüzeyinin taramasını oluşturma prosedürünü ele alalım.

Algoritma

1. Koninin taban dairesine 123456 numaralı altıgeni yazıyoruz. 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 noktalarını S tepe noktasıyla birleştiriyoruz. Bu şekilde inşa edilen S123456 piramidi, belirli bir yaklaşımla konik yüzeyin yerine geçer ve diğer yapılarda bu şekilde kullanılır.
2. Piramidin kenarlarının doğal değerlerini çıkıntı çizgisi etrafında dönme yöntemini kullanarak belirleriz: örnekte yatay projeksiyon düzlemine dik olan ve S tepe noktasından geçen i ekseni kullanılır.
   Böylece, S5 kenarının dönmesinin bir sonucu olarak, yeni yatay çıkıntısı S'5' 1, ön düzlem π 2'ye paralel olacak bir konum alır. Buna göre S''5''1, S5'in gerçek boyutudur.
3. Altı üçgenden oluşan S123456 piramidinin yan yüzeyinin bir taramasını yapıyoruz: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0, S 0 2 0 1 0. Her üçgenin yapımı üç tarafta gerçekleştirilir. Örneğin, △S 0 1 0 6 0'ın uzunluğu S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6''dir.

Yaklaşık gelişimin gerçek gelişime karşılık gelme derecesi, yazılı piramidin yüz sayısına bağlıdır. Yüz sayısı, çizimin okunmasının kolaylığı, doğruluğu gereklilikleri, geliştirmeye aktarılması gereken karakteristik noktaların ve çizgilerin varlığına göre seçilir.

Bir koninin yüzeyinden bir çizgiyi bir gelişmeye aktarma

Koninin yüzeyinde yatan n çizgisi, belirli bir düzlemle kesişmesi sonucu oluşur (aşağıdaki şekil). Bir taramada n satırını oluşturmaya yönelik algoritmayı ele alalım.

Algoritma

1. n çizgisinin konide yazılı S123456 piramidinin kenarlarıyla kesiştiği A, B ve C noktalarının izdüşümlerini buluyoruz.
2. SA, SB, SC parçalarının doğal boyutunu çıkıntılı düz çizgi etrafında döndürerek belirleriz. Söz konusu örnekte, SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Piramidin karşılık gelen kenarlarındaki A 0 , B 0 , C 0 noktalarının konumunu buluruz ve taramada S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' parçalarını çizeriz. ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. A 0 , B 0 , C 0 noktalarını düzgün bir çizgiyle birleştiriyoruz.

Kesik koninin geliştirilmesi

Dik dairesel kesik koninin gelişimini oluşturmak için aşağıda açıklanan yöntem benzerlik ilkesine dayanmaktadır.

Çeşitli geometrik cisimler arasında en ilginç olanlardan biri konidir. Bacaklarından birinin etrafında dik bir üçgenin döndürülmesiyle oluşturulur.

Bir koninin hacmi nasıl bulunur - temel kavramlar

Bir koninin hacmini hesaplamaya başlamadan önce temel kavramlara aşina olmanızda fayda var.

• Dairesel koni - böyle bir koninin tabanı bir dairedir. Taban elips, parabol veya hiperbol ise bu şekle eliptik, parabolik veya hiperbolik koni denir. Son iki koni tipinin sonsuz hacme sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.
• Kesik koni, taban ile bu tabana paralel, üst ile taban arasında bulunan bir düzlem arasında yer alan koninin bir parçasıdır.
• Yükseklik, üstten uzatılan tabana dik bir bölümdür.
• Bir koninin generatriksi, tabanın ve tepenin sınırını birleştiren bir bölümdür.

Koni hacmi

Bir koninin hacmini hesaplamak için V=1/3*S*H formülünü kullanın; burada S taban alanı, H ise yüksekliktir. Koninin tabanı bir daire olduğundan alanı S = nR^2 formülüyle bulunur; burada n = 3,14, R dairenin yarıçapıdır.

Bazı parametrelerin bilinmediği bir durum vardır: yükseklik, yarıçap veya genetik. Bu durumda Pisagor teoremine başvurmalısınız. Koninin eksenel bölümü, l'nin hipotenüs ve H ve R'nin bacaklar olduğu iki dik üçgenden oluşan bir ikizkenar üçgendir. O zaman l=(H^2+R^2)^1/2.

Kesik koninin hacmi

Kesik koni, üst kısmı kesilmiş bir konidir.

Böyle bir koninin hacmini bulmak için aşağıdaki formüle ihtiyacınız olacak:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

burada n=3,14, r – kesit dairesinin yarıçapı, R – büyük tabanın yarıçapı, H – yükseklik.

Kesik koninin eksenel bölümü ikizkenar yamuk olacaktır. Bu nedenle, bir koninin genel uzunluğunu veya dairelerden birinin yarıçapını bulmanız gerekiyorsa, yamuğun kenarlarını ve tabanlarını bulmak için formüller kullanmalısınız.

Yüksekliği 8 cm ve taban yarıçapı 3 cm olan koninin hacmini bulunuz.

Verilen: H=8 cm, R=3 cm.

Öncelikle S=nR^2 formülünü kullanarak tabanın alanını bulalım.

S=3,14*3^2=28,26 cm^2

Şimdi V=1/3*S*H formülünü kullanarak koninin hacmini buluyoruz.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Koni şeklindeki figürler her yerde bulunur: park konileri, bina kuleleri, abajurlar. Bu nedenle bir koninin hacminin nasıl bulunacağını bilmek bazen hem profesyonel hem de günlük yaşamda faydalı olabilir.

Bazen "desen" kelimesi yerine "rayba" kullanılır, ancak bu terim belirsizdir: örneğin, rayba bir deliğin çapını arttırmak için kullanılan bir araçtır ve elektronik teknolojisinde rayba kavramı vardır. Bu nedenle arama motorlarının bu makaleyi bulabilmesi için “koni gelişimi” kelimesini kullanmak zorunda kalsam da “örüntü” kelimesini kullanacağım.

Bir koni için desen oluşturmak basit bir konudur. İki durumu ele alalım: tam koni ve kesik koni için. Resimde (Büyütmek için tıklayın) Bu tür konilerin çizimleri ve desenleri gösterilmektedir. (Sadece yuvarlak tabanlı düz konilerden bahsedeceğimizi hemen belirtmeliyim. İlerleyen yazılarımızda oval tabanlı ve eğik konileri ele alacağız).

1. Tam koni

Tanımlar:

Desen parametreleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
;
;
Nerede .

2. Kesik koni

Tanımlar:

Desen parametrelerini hesaplamak için formüller:
;
;
;
Nerede .
Bu formüllerin aynı zamanda yerine koyarsak tam koni için de uygun olduğunu unutmayın.

Bazen bir koni oluştururken, tepe noktasındaki (veya koni kesikse hayali tepe noktasındaki) açının değeri esastır. En basit örnek, bir koninin diğerine sıkı bir şekilde oturmasına ihtiyaç duymanızdır. Bu açıyı bir harfle gösterelim (resme bakın).
Bu durumda, üç giriş değerinden biri yerine bunu kullanabiliriz: , veya . Neden "birlikte Ö", birlikte değil e"? Çünkü bir koni oluşturmak için üç parametre yeterlidir ve dördüncünün değeri diğer üçünün değerleri üzerinden hesaplanır. Neden iki veya dört değil de tam olarak üç, bu makalenin kapsamı dışında bir sorudur. Gizemli bir ses bana bunun bir şekilde "koni" nesnesinin üç boyutluluğuyla bağlantılı olduğunu söylüyor. (Makalede diğer tüm parametrelerini hesapladığımız iki boyutlu "daire parçası" nesnesinin iki başlangıç ​​parametresiyle karşılaştırın.)

Üç verildiğinde koninin dördüncü parametresinin belirlendiği formüller aşağıdadır.

4. Desen oluşturma yöntemleri

• Değerleri bir hesap makinesinde hesaplayın ve bir pusula, cetvel ve iletki kullanarak kağıt üzerinde (veya doğrudan metal üzerinde) bir desen oluşturun.
• Formülleri ve kaynak verileri bir elektronik tabloya girin (örneğin, Microsoft Excel). Elde edilen sonucu, bir grafik düzenleyici (örneğin CorelDRAW) kullanarak bir desen oluşturmak için kullanın.
• ekrana çizim yapacak ve verilen parametrelerle bir koni için bir desen yazdıracak programımı kullanın. Bu desen bir vektör dosyası olarak kaydedilebilir ve CorelDRAW'a aktarılabilir.

5. Tabanlar paralel değil

Kesik konilere gelince, Koniler programı şu anda yalnızca paralel tabanlara sahip koniler için desenler oluşturmaktadır.
Paralel olmayan tabanlara sahip kesik koni için bir model oluşturmanın bir yolunu arayanlar için, site ziyaretçilerinden biri tarafından sağlanan bir bağlantı:
Tabanları paralel olmayan kesik koni.

Geometride kesik koni, dikdörtgen bir yamuğun tabana dik olan tarafı etrafında döndürülmesiyle oluşturulan bir gövdedir. Nasıl hesaplanır kesik koninin hacmi Herkes okuldaki geometri dersinden bilir ve pratikte bu bilgi genellikle çeşitli makine ve mekanizmaların tasarımcıları, bazı tüketim mallarının geliştiricileri ve mimarlar tarafından kullanılır.

Kesik koninin hacminin hesaplanması

Kesik koninin hacmini hesaplamak için formül

Kesik koninin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

H- koni yüksekliği

R- üst tabanın yarıçapı

R- alt tabanın yarıçapı

V- kesik koninin hacmi

π - 3,14

Böyle geometrik cisimlerle kesik koniler, günlük yaşamda herkes sürekli olmasa da oldukça sık çarpışır. Günlük yaşamda yaygın olarak kullanılan çok çeşitli kaplarda şekillendirilirler: kovalar, bardaklar, bazı fincanlar. Bunları geliştiren tasarımcıların muhtemelen hesaplandığı formülü kullandıklarını söylemeye gerek yok. kesik koninin hacmiÇünkü bu durumda bu değer çok önemli çünkü ürünün kapasitesi gibi önemli bir özelliği belirliyor.

Temsil eden mühendislik yapıları kesik koniler, büyük sanayi işletmelerinin yanı sıra termik ve nükleer santrallerde sıklıkla görülebilir. Bu tam olarak soğutma kulelerinin şeklidir; atmosferik havanın ters akışını zorlayarak büyük hacimli suyu soğutmak için tasarlanmış cihazlar. Çoğu zaman, bu tasarımlar, büyük miktarda sıvının sıcaklığının kısa sürede önemli ölçüde azaltılmasının gerekli olduğu durumlarda kullanılır. Bu yapıların geliştiricileri şunları belirlemelidir: kesik koninin hacmi oldukça basit olan ve bir zamanlar lisede iyi eğitim almış herkes tarafından bilinen hesaplama formülü.

Bu geometrik şekle sahip parçalar, çeşitli teknik cihazların tasarımında sıklıkla bulunur. Örneğin, kinetik aktarımın yönünü değiştirmenin gerekli olduğu sistemlerde kullanılan dişli tahrikleri çoğunlukla konik dişliler kullanılarak uygulanır. Bu parçalar, çok çeşitli vites kutularının yanı sıra modern otomobillerde kullanılan otomatik ve manuel vites kutularının ayrılmaz bir parçasıdır.

Freze takımları gibi üretimde yaygın olarak kullanılan bazı kesici takımlar kesik koni şekline sahiptir. Onların yardımıyla eğimli yüzeyleri belirli bir açıda işleyebilirsiniz. Metal işleme ve ağaç işleme ekipmanlarının kesicilerini keskinleştirmek için, aynı zamanda kesik koni olan aşındırıcı tekerlekler sıklıkla kullanılır. Ayrıca, kesik koninin hacmi Torna ve freze makineleri tasarımcılarının, hangilerinin konik saplarla donatılmış kesici takımların (matkaplar, raybalar, vb.) sabitlenmesini içerdiğini belirlemesi gerekir.

Tabanların yüksekliğini ve yarıçapını girin:

Kesik koninin tanımı

Kesik bir koni, normal bir koniden, böyle bir koninin tabana paralel bir düzlemle kesişmesiyle elde edilebilir. Daha sonra iki düzlem (bu düzlem ve sıradan bir koninin tabanı) arasında yer alan şekle kesik koni adı verilecektir.

O sahip iki baz Dairesel bir koni için bunlar dairelerdir ve bunlardan biri diğerinden daha büyüktür. Ayrıca kesik koninin yükseklik- iki tabanı birbirine bağlayan ve her birine dik olan bir bölüm.

Cevrimici hesap makinesi

Kesik koni olabilir doğrudan daha sonra bir tabanın merkezi ikincinin merkezine yansıtılır. Eğer koni eğimli o zaman böyle bir projeksiyon gerçekleşmez.

Dik dairesel bir koni düşünün. Belirli bir şeklin hacmi çeşitli şekillerde hesaplanabilir.

Tabanların yarıçaplarını ve aralarındaki mesafeyi kullanan kesik koninin hacmi için formül

Bize dairesel bir kesik koni verilirse, hacmini aşağıdaki formülü kullanarak bulabiliriz:

Kesik koninin hacmi

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)v=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(R 1 2 ​ + R 1 ​ ⋅ R 2 ​ + R 2 2 ​ )

R 1, r 2 r_1, r_2 R 1 ​ , R 2 ​ - koninin tabanlarının yarıçapları;
h h H- bu tabanlar arasındaki mesafe (kesik koninin yüksekliği).

Bir örneğe bakalım.

Sorun 1

Küçük tabanın alanının eşit olduğu biliniyorsa kesik koninin hacmini bulun 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 π santimetre2 , büyük - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 π santimetre2 ve yüksekliği eşittir 14 cm 14\text( cm) 1 4 santimetre.

Çözüm

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
sa = 14 sa=14 saat =1 4

Küçük tabanın yarıçapını bulalım:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ R 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ R 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1^2 6 4 = R 1 2 ​

R 1 = 8 r_1=8 R 1 ​ = 8

Aynı şekilde geniş bir taban için:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ R 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ R 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2^2 1 6 9 = R 2 2 ​

R2 = 13 r_2=13 R 2 ​ = 1 3

Koninin hacmini hesaplayalım:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text( cm)^3v=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(R 1 2 ​ + R 1 ​ ⋅ R 2 ​ + R 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 santimetre3

Cevap

4938 cm3. 4938\text( cm)^3.4 9 3 8 santimetre3 .

Tabanların alanlarını ve tepe noktasına olan mesafelerini kullanan kesik koninin hacmi için formül

Kesik bir konimiz olsun. Eksik parçayı zihinsel olarak ona ekleyelim, böylece onu tepesi olan “düzenli bir koni” haline getirelim. Daha sonra kesik bir koninin hacmi, karşılık gelen tabanlara sahip iki koninin hacimleri ile koninin tepesine olan mesafeleri (yükseklikleri) arasındaki fark olarak bulunabilir.

Kesik koninin hacmi

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)v=3 1 ​ ⋅ S⋅H-3 1 ​ ⋅ s⋅saat =3 1 ​ ⋅ (S⋅H-s⋅H)

SS S- büyük koninin tabanının alanı;
HH H- bu (büyük) koninin yüksekliği;
bu S- küçük koninin tabanının alanı;
h h H- bu (küçük) koninin yüksekliği;

Sorun 2

Dolu koninin yüksekliği ise kesik koninin hacmini belirleyin HH H eşittir 10 cm 10\text( cm) 1 0 santimetre, alt tabanın yarıçapı RRR - 5 cm 5\text( cm)5 santimetre, üst r rR - 4 cm 4\text( cm)4 santimetre ve kesik koninin yüksekliği 8 cm 8\text( cm)8 santimetre.

Çözüm

R=5R=5R= 5
r = 4 r=4R= 4
H = 10 H=10H= 1 0
H - h = 8 H-h=8H− H= 8 ,
Nerede h hH- küçük koninin yüksekliği.

Koninin her iki tabanının alanını bulun:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Küçük koninin yüksekliğini bulun h hH:

$H-H=8$

$H=H-8$

$H=10-8$

$H=2$

Hacim şu formüle eşittir:

$V=31\cdot (S\cdot H-S\cdot H)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{santimetre3}$

Cevap

$228\text{santimetre3 .}$