Karmaşık değişkenli fonksiyonlar.
Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.

Bu makale, içinde bakacağım bir dizi dersle başlıyor. tipik görevler karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ile ilgilidir. Örneklere başarılı bir şekilde hakim olmak için, temel bilgi karmaşık sayılar hakkında. Materyali pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. Ayrıca bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak ikinci dereceden kısmi türevler. İşte bunlar, bu kısmi türevler... şimdi bile bunların bu kadar sık ​​meydana gelmesine biraz şaşırdım...

İncelemeye başladığımız konu herhangi bir özel zorluk sunmuyor ve karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarında prensip olarak her şey açık ve erişilebilir. Önemli olan deneysel olarak çıkardığım temel kurala uymaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık değişkenli fonksiyon kavramı

Öncelikle bilgilerimizi tazeleyelim okul işlevi bir değişken:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak “x” ve “y” gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda fonksiyonel bağımlılık benzer şekilde belirtilir:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli fonksiyonu- herkesin uyması gereken kural budur kapsayıcı bağımsız değişkenin değeri (tanım alanından) bir ve yalnızca bire karşılık gelir kapsayıcı fonksiyon değeri. Teori aynı zamanda çok değerli ve diğer bazı fonksiyon türlerini de dikkate alır, ancak basitlik açısından bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık değişken fonksiyon arasındaki fark nedir?

Temel fark: karmaşık sayılar. İronik yapmıyorum. Bu tür sorular çoğu zaman insanları şaşkına çevirir; makalenin sonunda size komik bir hikaye anlatacağım. Derste Kuklalar için karmaşık sayılarşeklinde bir karmaşık sayıyı ele aldık. Artık “z” harfi haline geldi değişken, o zaman bunu şu şekilde göstereceğiz: "x" ve "y" farklı anlamlar alabilir geçerli anlamlar. Kabaca söylemek gerekirse, karmaşık bir değişkenin işlevi, "sıradan" değerler alan ve değişkenlerine bağlıdır. Bu gerçekten mantıksal olarak şu sonuç çıkar:

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:
, burada ve ikinin iki fonksiyonudur geçerli değişkenler.

Fonksiyon çağrılır gerçek kısım işlevler
Fonksiyon çağrılır sanal kısım işlevler

Yani, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu iki gerçek fonksiyona ve . Son olarak her şeyi açıklığa kavuşturmak için pratik örneklere bakalım:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "zet", hatırlayacağınız gibi, biçiminde yazılmıştır, dolayısıyla:

(1) Değiştirdik.

(2) Birinci terim için kısaltılmış çarpma formülü kullanılmıştır. Dönemde parantez açıldı.

(3) Dikkatlice karelenmiş, bunu unutmadan

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: önce terimleri yeniden yazarız İçinde hayali bir birimin bulunmadığı(birinci grup), ardından terimlerin bulunduğu yerler (ikinci grup). Terimlerin karıştırılmasının gerekli olmadığı ve bu adımın (bunu sözlü olarak yaparak) atlanabileceği unutulmamalıdır.

(5) İkinci grup için bunu parantezlerden çıkarıyoruz.

Sonuç olarak fonksiyonumuzun şu şekilde temsil edildiği ortaya çıktı:

Cevap:
– fonksiyonun gerçek kısmı.
– fonksiyonun sanal kısmı.

Bunlar ne tür işlevlere dönüştü? İki değişkenin bu kadar popüler bulabileceğiniz en sıradan fonksiyonları kısmi türevler. Merhamet olmazsa onu bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal fonksiyonun yerine , basitleştirmeler yaparız ve tüm terimleri hayali bir birim (gerçek kısım) olmadan ve sanal bir birim (sanal kısım) ile iki gruba ayırırız. .

Örnek 2

Fonksiyonun gerçek ve sanal kısmını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Damalarınız çizilmiş halde karmaşık bir uçakta savaşa koşmadan önce, size en fazlasını vereyim önemli tavsiye Bu konuda:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmanız gerekiyor ama karmaşık sayılarda her zamankinden daha dikkatli olmalısınız! Braketleri dikkatlice açın, hiçbir şey kaybetmeyin. Gözlemlerime göre en sık yapılan hata işaret kaybıdır. Acele etmeyin!

Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Şimdi küp. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
.

Formüllerin pratikte kullanımı çok uygundur çünkü çözüm sürecini önemli ölçüde hızlandırır.

Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi olanla başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için türev kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi tamamen aynı şekilde alınır.

Kötü haber şu ki, birçok karmaşık değişken fonksiyonun hiçbir türevi yoktur ve bunu bulmanız gerekir. türevlenebilir mi bir işlev veya diğeri. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini "anlamak" ek sorunlarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun türevlenebilmesi için gerekli ve yeterlidir:

1) Birinci dereceden kısmi türevler mevcut olsun. Bu gösterimleri hemen unutun, çünkü karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde geleneksel olarak farklı bir gösterim kullanılır: .

2) Sözdeyi gerçekleştirmek Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev mevcut olacaktır!

Örnek 3

Çözüm birbirini takip eden üç aşamaya ayrılmıştır:

1) Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını bulalım. Bu görev önceki örneklerde tartışılmıştı, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

– fonksiyonun sanal kısmı.

Bir tanesinde daha duracağım teknik nokta: hangi sırayla Gerçel ve sanal kısımlardaki terimleri yazar mısınız? Evet, prensipte önemli değil. Örneğin gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: , ve hayali olan – şöyle: .

2) Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler:

Böylece koşul sağlanmış olur.

Tabii ki iyi haber şu ki, kısmi türevler neredeyse her zaman çok basittir.

İkinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Sonuç aynı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir.

3) Fonksiyonun türevini bulalım. Türev de çok basittir ve genel kurallara göre bulunur:

Farklılaşma sırasında sanal birim sabit olarak kabul edilir.

Cevap: – gerçek kısım, – hayali kısım.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Türevi bulmanın iki yolu daha var, bunlar elbette daha az kullanılıyor, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin fonksiyonu nasıl bulunur?

Türev aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

İÇİNDE bu durumda:

Böylece

Ters problemi çözmeliyiz - ortaya çıkan ifadede yalnız bırakmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, şartlarda ve parantezlerin dışında gereklidir:

Pek çok kişinin fark ettiği gibi, ters eylemin gerçekleştirilmesi biraz daha zordur; kontrol etmek için, ifadeyi bir taslakta almak veya parantezleri sözlü olarak geriye doğru açarak sonucun tam olarak aynı olduğundan emin olmak her zaman daha iyidir.

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , Bu yüzden:

Örnek 4

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları karşılanıyorsa fonksiyonun türevini bulun.

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman sağlanır mı? Teorik olarak, yerine getirildiklerinden daha sık yerine getirilmezler. Ama içinde pratik örnekler Bunların yerine getirilmediği bir durumu hatırlamıyorum =) Dolayısıyla, eğer kısmi türevleriniz “yakınsamıyorsa”, o zaman çok yüksek bir olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebilirsiniz.

İşlevlerimizi karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunmuştur ancak sonuna yeni bir nokta eklenecektir: bir noktanın türevini bulmak. Küp için gerekli formül zaten basılmış:

Bu fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını tanımlayalım:

Tekrar dikkat ve dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
– fonksiyonun gerçek kısmı;
– fonksiyonun sanal kısmı.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Sonuç aynı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir:

Gerekli noktadaki türevin değerini hesaplayalım:

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyor,

Küplerle yapılan işlevler yaygındır, bu yüzden pekiştirmek için işte bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak.

Dersin sonunda bitirme örneği ve çözümü.

Teoride kapsamlı analizler Karmaşık bir argümanın diğer fonksiyonları da tanımlanmıştır: üs, sinüs, kosinüs vb. Bu işlevlerin alışılmadık ve hatta tuhaf özellikleri var - ve bu gerçekten ilginç! Size gerçekten şunu söylemek istiyorum, ancak burada bir referans kitabı veya ders kitabı değil, bir çözüm kitabı var, bu yüzden aynı sorunu bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

İlk olarak sözde hakkında Euler formülleri:

Herkes için geçerli sayılarda aşağıdaki formüller geçerlidir:

Ayrıca referans materyali olarak not defterinize kopyalayabilirsiniz.

Kesin olarak konuşursak, yalnızca bir formül vardır, ancak kolaylık sağlamak için genellikle yazarlar özel durum göstergede bir eksi var. Parametrenin tek bir harf olması gerekmez; karmaşık bir ifade veya işlev olabilir, yalnızca kabul etmeleri önemlidir sadece geçerli anlamlar. Aslında şu anda şunu göreceğiz:

Örnek 7

Türevini bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz; işlevin gerçek ve hayali kısımlarını birbirinden ayırmak gerekiyor. sana getireceğim detaylı çözüm ve aşağıda her adım hakkında yorum yapacağım:

O zamandan beri:

(1) Bunun yerine “z” yazın.

(2) Yer değiştirmeden sonra gerçek ve sanal kısımları seçmeniz gerekir. göstergede ilk sırada katılımcılar. Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Hayali birimi parantezlerin dışına yerleştirerek göstergenin hayali kısmını gruplandırırız.

(4) Okul eylemini derecelerle kullanırız.

(5) Çarpan olarak Euler formülünü ve .

(6) Braketleri açın, sonuçta:

– fonksiyonun gerçek kısmı;
– fonksiyonun sanal kısmı.

Diğer eylemler standarttır; Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Örnek 9

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Öyle olsun, türevi bulamayacağız.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benzer, ancak çok önemli noktalar, Bu yüzden İlk aşama Adım adım tekrar yorum yapacağım:

O zamandan beri:

1) Bunun yerine “z” yazın.

(2) İlk önce gerçek ve sanal kısımları seçiyoruz sinüsün içinde. Bu amaçlar için parantezleri açıyoruz.

(3) Formülü kullanıyoruz ve .

(4) Kullanım hiperbolik kosinüs paritesi: Ve hiperbolik sinüsün tuhaflığı: . Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da birçok açıdan benzer trigonometrik fonksiyonları anımsatırlar.

Sonunda:
– fonksiyonun gerçek kısmı;
– fonksiyonun sanal kısmı.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve hiçbir durumda onu kaybetmemeliyiz! Açık bir örnek olması açısından yukarıda elde edilen sonuç şu şekilde yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Bayanlar ve baylar, gelin bunu kendi başımıza çözelim:

Örnek 10

Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını belirleyin. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha zor örnekleri seçtim çünkü kabuklu fıstık gibi herkes bir şeylerle baş edebiliyor gibi görünüyor. Aynı zamanda dikkatinizi de geliştireceksiniz! Dersin sonunda fındıkkıranı.

Sonuç olarak bir tane daha ele alacağım ilginç örnek, karmaşık argüman paydada olduğunda. Pratikte birkaç kez oldu, basit bir şeye bakalım. Eh, yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını belirleyin. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını ayırmak gerekir.
Eğer öyleyse

Şu soru ortaya çıkıyor: "Z" paydada olduğunda ne yapmalı?

Her şey basit - standart olan yardımcı olacaktır pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi, dersteki örneklerde zaten kullanıldı Kuklalar için karmaşık sayılar. Okul formülünü hatırlayalım. Paydayı zaten biliyoruz, bu da eşlenik ifadenin olacağı anlamına gelir. Bu nedenle pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir: