Fizik, mekanik ve teknik bilimlerin çeşitli branşlarını incelerken, birim olarak alınan homojen bir nicelikle ölçümleri sonucunda elde edilen sayı kullanılarak tamamen belirlenen, daha doğrusu sayısal değerleri belirtilerek tam olarak belirlenen nicelikler vardır. . Bu tür miktarlara denir skaler veya kısaca skaler. Skaler büyüklükler, örneğin uzunluk, alan, hacim, zaman, kütle, vücut sıcaklığı, yoğunluk, iş, elektrik kapasitesi vb. karşılık gelen koordinat ekseni. Örneğin, genellikle bir zaman ekseni, sıcaklık, uzunluk (katedilen mesafe) ve diğerleri oluştururlar.
Skaler büyüklüklere ek olarak, çeşitli problemlerde, belirlenmesi için sayısal değerin yanı sıra uzaydaki yönlerini de bilmek gerekli olan miktarlar vardır. Bu tür miktarlara denir vektör... Vektör niceliklerinin fiziksel örnekleri, uzayda hareket eden bir malzeme noktasının yer değiştirmesi, bu noktanın hızı ve ivmesi ile ona etki eden kuvvet, elektrik veya manyetik alanın gücüdür. Örneğin klimatolojide vektör miktarları kullanılır. Klimatolojiden basit bir örnek düşünün. Rüzgârın 10 m / s hızında estiğini söylersek, o zaman rüzgâr hızının skaler bir değerini vereceğiz, ancak kuzey rüzgârının 10 m / s hızla estiğini söylersek, o zaman bu durumda rüzgar hızı zaten vektörel bir büyüklük olacaktır.
Vektör miktarları, vektörler kullanılarak gösterilir.
Vektör miktarlarının geometrik gösterimi için, yönlü bölümler, yani uzayda sabit bir yönü olan bölümler kullanılır. Bu durumda, parçanın uzunluğu vektör miktarının sayısal değerine eşittir ve yönü vektör miktarının yönü ile çakışır. Verilen bir vektör miktarını karakterize eden yönlü segment denir geometrik vektör veya sadece vektör.
Vektör kavramı hem matematikte hem de fizik ve mekaniğin birçok alanında önemli bir rol oynar. Birçok fiziksel büyüklük, vektörler kullanılarak temsil edilebilir ve bu gösterim, formüllerin ve sonuçların genelleştirilmesine ve basitleştirilmesine çok sık katkıda bulunur. Bunları temsil eden vektör nicelikleri ve vektörler genellikle birbirleriyle tanımlanır: örneğin, kuvvetin (veya hızın) bir vektör olduğunu söylerler.
Vektör cebirinin elemanları şu disiplinlerde kullanılır: 1) elektrik makineleri; 2) otomatik elektrikli tahrik; 3) elektrikli aydınlatma ve ışınlama; 4) gelişmemiş alternatif akım devreleri; 5) uygulamalı mekanik; 6) teorik mekanik; 7) fizik; 8) hidrolik: 9) makine parçaları; 10) sopromat; 11) yönetim; 12) kimya; 13) kinematik; 14) statik vb.
2. Vektörün tanımı. Düz bir çizgi parçası iki eşit nokta ile belirtilir - uçları. Ancak, sıralı bir nokta çifti ile tanımlanan yönlendirilmiş bir segmenti düşünebilirsiniz. Bu noktalar hakkında hangisinin ilk (başlangıç), hangisinin ikinci (son) olduğu bilinmektedir.
Yönlendirilmiş bir parça, sıralı bir nokta çifti olarak anlaşılır; bunlardan ilki, A noktasına başlangıcı ve ikincisi olan B'ye sonu denir.
Sonra altında vektör en basit durumda, yönlendirilmiş bölümün kendisi anlaşılır ve diğer durumlarda, farklı vektörler, belirli bir eşdeğerlik ilişkisi ile belirlenen, yönlendirilmiş bölümlerin farklı eşdeğerlik sınıflarıdır. Ayrıca, vektörün tipini belirleyerek ("serbest", "sabit", vb.) Eşdeğerlik ilişkisi farklı olabilir. Basitçe ifade etmek gerekirse, bir eşdeğerlik sınıfı içinde, ona dahil olan tüm yönlendirilmiş segmentler tamamen eşit olarak kabul edilir ve her biri tüm sınıfı eşit olarak temsil edebilir.
Vektörler, uzayın sonsuz küçük dönüşümlerinin incelenmesinde önemli bir rol oynar.
Tanım 1. Yönlendirilmiş bir segment (veya aynı olan, sıralı bir nokta çifti) çağrılacaktır. vektör... Segment üzerindeki yön genellikle bir okla işaretlenir. Örneğin, yazarken vektörün harf tanımının üzerine bir ok yerleştirilir, örneğin: (bu durumda, vektörün başlangıcına karşılık gelen harf öne yerleştirilmelidir). Kitaplarda vektör harfler genellikle kalın yazılır, örneğin: ve.
Başlangıcı ve sonu çakışan sıfır vektörü de vektörlere atıfta bulunulacaktır.
Başlangıcı sonuyla çakışan bir vektöre sıfır denir. Sıfır vektörü veya sadece 0 ile gösterilir.
Vektörün başlangıcı ve sonu arasındaki mesafeye onun adı verilir uzunluk (ve modül ve mutlak değer). Vektörün uzunluğu | ile gösterilir. | veya | |. Vektörün uzunluğu veya vektörün modülü, karşılık gelen yönlendirilmiş segmentin uzunluğudur: | | \u003d.
Vektörler denir doğrusal, tek bir düz çizgi üzerinde veya paralel çizgiler üzerinde bulunuyorlarsa, kısaca, paralel oldukları bir çizgi varsa.
Vektörler denir aynı düzlemdeparalel oldukları bir düzlem varsa, aynı düzlemde yatan vektörlerle temsil edilebilirler. Boş vektör, belirli bir yönü olmadığından, herhangi bir vektörle eşdoğrusal olarak kabul edilir. Elbette uzunluğu sıfırdır. Açıktır ki, herhangi iki vektör eş düzlemlidir; ama elbette uzaydaki her üç vektör de eş düzlemli değildir. Birbirine paralel vektörler aynı düzleme paralel olduğundan, eş doğrusal vektörler daha da eşdüzlemlidir. Elbette bunun tersi doğru değildir: eş düzlemli vektörler eşdoğrusal olabilir veya olmayabilir. Yukarıdaki koşul sayesinde, sıfır vektörü herhangi bir vektörle eş doğrusaldır ve herhangi bir vektör çiftiyle eş düzlemlidir, yani. üç vektörden en az biri sıfır ise, o zaman bunlar eş düzlemlidir.
2) "Eş düzlemli" kelimesi özünde "ortak bir düzleme sahip olmak", yani "aynı düzlemde yer almak" anlamına gelir. Ancak burada keyfi bir şekilde (uzunluğu ve yönü değiştirmeden) aktarılabilen serbest vektörlerden bahsettiğimiz için, aynı düzleme paralel düzlemsel vektörleri çağırmalıyız, çünkü bu durumda konumlandırılmaları için aktarılabilirler. tek düzlemde.
Konuşmayı kısaltmak için, bir terimle anlaşalım: birkaç serbest vektör aynı düzleme paralelse, bunların eş düzlemli olduğunu söyleyeceğiz. Özellikle, iki vektör her zaman eş düzlemlidir; buna ikna olmak için onları aynı noktadan ertelemek yeterlidir. Ayrıca, verilen iki vektörün paralel olduğu düzlemin yönünün, bu iki vektörün birbirine paralel olmaması durumunda oldukça kesin olduğu açıktır. Bu eş düzlemli vektörlerin paralel olduğu herhangi bir düzlem, bu vektörlerin düzlemi olarak anılacaktır.
Tanım 2. İki vektöre denir eşiteşdoğrusal iseler, aynı yönde ve eşit uzunluklara sahipler.
İki vektörün uzunluklarının eşitliğinin bu vektörlerin eşitliği anlamına gelmediği her zaman hatırlanmalıdır.
Tanımın tam anlamıyla, üçüncüye ayrı ayrı eşit olan iki vektör birbirine eşittir. Açıkçası, tüm sıfır vektörler birbirine eşittir.
Bu tanım, herhangi bir A "noktasını seçtikten sonra, belirli bir vektöre eşit A" B "vektörünü inşa edebileceğimizi (ve dahası yalnızca bir tane) veya dedikleri gibi vektörü A noktasına transfer edebileceğimizi doğrudan ima eder.
Yorum Yap... Vektörler için "daha fazla" veya "daha az" kavramı yoktur, yani. eşit veya eşit değiller.
Uzunluğu bire eşit olan bir vektör denir tekvektör ve e ile gösterilir. Yönü, a vektörünün yönüyle çakışan birim vektörü olarak adlandırılır. orthom vektör ve a ile gösterilir.
3. Bir vektörün başka bir tanımında... Vektörlerin eşitliği kavramının eşitlik kavramından, örneğin sayılardan önemli ölçüde farklı olduğuna dikkat edin. Her sayı sadece kendisine eşittir, yani her koşulda iki eşit sayı aynı sayı olarak kabul edilebilir. Vektörlerde gördüğümüz gibi durum farklıdır: Tanım gereği farklı ama eşit vektörler vardır. Çoğu durumda, aralarında ayrım yapmamıza gerek kalmasa da, bir noktada başka bir A "B" vektörüyle değil, sadece vektörle ilgileneceğimiz ortaya çıkabilir.
Vektörlerin eşitliği kavramını basitleştirmek (ve bununla ilgili bazı zorlukları ortadan kaldırmak) için bazen bir vektörün tanımını karmaşıklaştırmaya giderler. Bu karmaşık tanımı kullanmayacağız ama formüle edeceğiz. Karışıklığı önlemek için, aşağıda tanımlanan kavramı belirtmek için "Vektör" (büyük harfle) yazacağız.
Tanım 3... Yönlendirilmiş bir bölüm verilsin. Tanım 2 anlamında verilen bire eşit olan tüm yönlendirilmiş segmentler kümesi denir Vektör.
Böylece, her yönlendirilmiş çizgi parçası bir Vektörü tanımlar. Yönlendirilmiş iki parçanın aynı Vektörü tanımladığını görmek kolaydır, ancak ve ancak eşitlerse. Vektörler ve sayılar için eşitlik tesadüf anlamına gelir: İki Vektör, ancak ve ancak bir ve aynı Vektör ise eşittir.
Paralel bir uzay transferiyle, bir nokta ve görüntüsü sıralı bir nokta çifti oluşturur ve yönlendirilmiş bir segmenti tanımlar ve tüm bu yönlendirilmiş segmentler Tanım 2 anlamında eşittir. tüm bu yönlendirilmiş segmentlerden.
Temel fizik dersinden bir kuvvetin yönlü bir parça ile temsil edilebileceği iyi bilinmektedir. Ancak, eşit yönlendirilmiş bölümler tarafından gösterilen kuvvetler genel olarak farklı eylemler gerçekleştirdiğinden, bir Vector ile tasvir edilemez. (Kuvvet elastik bir cisme etki ederse, onu temsil eden yönlendirilmiş parça üzerinde bulunduğu düz çizgi boyunca bile aktarılamaz.)
Bu, Vektörler ile birlikte, yani eşit yönlendirilmiş bölümlerin kümeleri (veya dedikleri gibi sınıflar) ile birlikte, bu sınıfların bireysel temsilcilerini dikkate almanın nedenlerinden sadece bir tanesidir. Bu durumlarda, Tanım 3'ün uygulanması, çok sayıda çekince nedeniyle karmaşıktır. Tanım 1'e bağlı kalacağız ve genel anlamda, iyi tanımlanmış bir vektörden mi söz ettiğimiz veya onun yerine ona eşit herhangi birinin ikame edilip edilemeyeceği her zaman açık olacaktır.
Vektörün tanımı ile bağlantılı olarak, literatürde bulunan bazı kelimelerin anlamını açıklamaya değer.
Fizik ve matematik, "vektör miktarı" kavramı olmadan tamamlanmış sayılmaz. Onu bilmek ve tanımak kadar onunla çalışabilmek de gereklidir. Kafanız karışmamak ve aptalca hatalardan kaçınmak için bu kesinlikle öğrenmeye değer.
Skaler vektörden nasıl ayırt edilir?
Birincinin her zaman tek bir özelliği vardır. Bu onun sayısal değeridir. Çoğu skaler hem pozitif hem de negatif olabilir. Örnekler arasında elektrik yükü, iş veya sıcaklık yer alır. Ancak uzunluk ve kütle gibi negatif olamayacak skaler vardır.
Her zaman modulo olarak alınan sayısal bir miktara ek olarak bir vektör miktarı da bir yön ile karakterize edilir. Bu nedenle, grafiksel olarak, yani uzunluğu değerin modülüne eşit olan bir ok şeklinde, belirli bir yöne yönlendirilmiş olarak gösterilebilir.
Yazarken, her vektör miktarı bir harf üzerinde bir ok işareti ile belirtilir. Sayısal bir değerden bahsediyorsak, o zaman ok yazılmaz veya modulo alınır.
Vektörlerle en çok hangi eylemler gerçekleştirilir?
Önce karşılaştırma. Eşit olabilirler veya olmayabilirler. İlk durumda, modülleri aynıdır. Ancak bu tek koşul değil. Ayrıca aynı veya zıt yönlere sahip olmaları gerekir. İlk durumda, eşit vektörler olarak adlandırılmalıdır. İkincisinde, zıt oldukları ortaya çıkıyor. Belirtilen koşullardan en az biri karşılanmazsa, vektörler eşit değildir.
Ardından ekleme gelir. İki kurala göre yapılabilir: bir üçgen veya bir paralelkenar. İlki, önce bir vektörü, ardından sonundan bir saniyeyi ertelemeyi öngörür. Eklemenin sonucu, ilkinin başından ikincinin sonuna kadar çizilmesi gereken sonuç olacaktır.
Paralelkenar kuralı, fizikte vektör miktarları eklemeniz gerektiğinde kullanılabilir. İlk kuralın aksine, burada bir noktadan sonra ertelenmeleri gerekir. Sonra onları paralelkenara kadar inşa edin. Eylemin sonucu, aynı noktadan çizilen paralelkenarın köşegeni olarak düşünülmelidir.
Bir vektör miktarı diğerinden çıkarılırsa, bunlar tekrar bir noktadan yatırılır. Yalnızca sonuç, ikincinin sonundan birincinin sonuna kadar çizilenle aynı olan bir vektör olacaktır.
Fizikte hangi vektörler incelenir?
Skaler kadar çok var. Fizikte hangi vektör niceliklerinin var olduğunu hatırlayabilirsiniz. Veya hesaplanabilecekleri işaretleri bilin. İlk seçeneği tercih edenler için böyle bir masa kullanışlı olacaktır. Ana vektör fiziksel büyüklüklerini listeler.
Şimdi bu değerlerden bazıları hakkında biraz daha ayrıntı.
İlk miktar hızdır
Vektör miktarlarından örnekler vermeye başlamakta fayda var. Bu, araştırılan ilk kişiler arasında olmasından kaynaklanmaktadır.
Hız, uzayda bir cismin hareketinin bir özelliği olarak tanımlanır. Sayısal bir değer ve yön belirler. Bu nedenle hız, vektörel bir niceliktir. Ek olarak, onu türlere ayırmak gelenekseldir. İlki doğrusal hızdır. Doğrusal düzgün hareket düşünüldüğünde tanıtıldı. Bu durumda vücudun kat ettiği yolun hareket zamanına oranına eşit olduğu ortaya çıkar.
Aynı formül düzensiz hareketler için de kullanılabilir. Ancak o zaman ortalama olacaktır. Ayrıca seçilmesi gereken zaman aralığı mümkün olduğunca kısa olmalıdır. Zaman aralığı sıfıra düştüğünde, hız değeri zaten anlıktır.
Keyfi hareket düşünülürse, burada her zaman hız bir vektör miktarıdır. Sonuçta, koordinat çizgilerini yönlendiren her vektör boyunca yönlendirilen bileşenlere ayrıştırılması gerekir. Ek olarak, yarıçap vektörünün zaman türevi olarak tanımlanır.
İkinci miktar güçtür
Diğer cisimlerden veya alanlardan vücuda gelen etkinin yoğunluğunun ölçüsünü belirler. Kuvvet vektörel bir nicelik olduğu için, mutlaka büyüklük ve yönde değerine sahiptir. Vücuda etki ettiği için kuvvetin uygulandığı nokta da önemlidir. Kuvvet vektörleri hakkında görsel bir fikir edinmek için aşağıdaki tabloya başvurabilirsiniz.
Ayrıca, ortaya çıkan kuvvet aynı zamanda bir vektör miktarıdır. Vücuda etki eden tüm mekanik kuvvetlerin toplamı olarak tanımlanır. Bunu belirlemek için, üçgen kuralı prensibine göre ekleme yapmak gerekir. Sadece vektörleri sırayla bir öncekinin sonundan ertelemeniz gerekir. Sonuç, ilkinin başlangıcını sonun sonuna bağlayan sonuç olacaktır.
Üçüncü boyut yer değiştirmedir
Hareket sırasında vücut belirli bir çizgiyi tanımlar. Buna yörünge denir. Bu çizgi tamamen farklı olabilir. Daha da önemlisi görünüşü değil, hareketin başlangıç \u200b\u200bve bitiş noktalarıdır. Yer değiştirme adı verilen bir hat ile birbirine bağlanırlar. Bu aynı zamanda bir vektör miktarıdır. Üstelik her zaman hareketin başlangıcından hareketin durduğu noktaya kadar yönlendirilir. Latin harfi r ile belirtmek gelenekseldir.
Burada şu soru ortaya çıkabilir: "Yol bir vektör miktarı mıdır?" Genel olarak bu ifade doğru değildir. Yol, yolun uzunluğuna eşittir ve kesin bir yönü yoktur. Bir yöndeki düz çizgi hareketinin düşünüldüğü durum bir istisnadır. Daha sonra yer değiştirme vektörünün modülü değer olarak yol ile çakışır ve yönlerinin aynı olduğu ortaya çıkar. Bu nedenle, hareket yönünü değiştirmeden düz bir çizgi boyunca hareket düşünüldüğünde, yol vektör miktarları örneklerine dahil edilebilir.
Dördüncü büyüklük ivmedir
Hızdaki değişim oranının bir özelliğidir. Dahası, ivmenin hem pozitif hem de negatif değerleri olabilir. Düz bir çizgide hareket ederken, daha yüksek bir hıza yönlendirilir. Hareket kavisli bir yörünge boyunca meydana gelirse, ivmesinin vektörü, biri yarıçap boyunca eğriliğin merkezine yönlendirilen iki bileşene ayrıştırılır.
Ortalama ve anlık ivme değerleri ayrılmıştır. Birincisi, belirli bir süre boyunca hızdaki değişimin bu zamana oranı olarak hesaplanmalıdır. Dikkate alınan zaman aralığı sıfıra eğilimli olduğunda, anlık ivmeden söz edilir.
Beşinci Miktar - Dürtü
Başka bir şekilde, hareket miktarı olarak da adlandırılır. Momentum, vücuda uygulanan hız ve kuvvet ile doğrudan ilişkili olması nedeniyle vektörel bir niceliktir. İkisinin de yönü var ve ona itici güç veriyor.
Tanım olarak, ikincisi vücut ağırlığı ve hızın ürününe eşittir. Bir cismin momentum kavramını kullanarak, iyi bilinen Newton yasasını farklı bir şekilde yazabilirsiniz. Momentumdaki değişimin kuvvet ve zaman aralığının ürününe eşit olduğu ortaya çıktı.
Fizikte, kapalı bir cisimler sisteminde toplam momentumunun sabit olduğunu belirten momentumun korunumu yasası önemli bir rol oynar.
Fizik dersinde hangi niceliklerin (vektör) çalışıldığını çok kısaca listeledik.
Esnek Olmayan Darbe Sorunu
Durum. Rayların üzerinde sabit bir platform bulunmaktadır. Bir araba ona 4 m / s hızla yaklaşıyor. Platform ve vagon ağırlıkları sırasıyla 10 ve 40 tondur. Araba platforma çarpar, otomatik bir bağlantı gerçekleşir. Çarpma sonrası platform araba sisteminin hızını hesaplamak gerekir.
Karar. Öncelikle, aşağıdaki tanımlamaları girmeniz gerekir: çarpışmadan önce arabanın hızı v1, kaplinden sonra platforma sahip araba v, arabanın ağırlığı m1, platform m2. Problemin durumuna göre v hızının değerini bulmak gerekir.
Bu tür görevleri çözme kuralları, etkileşimden önce ve sonra sistemin şematik bir temsilini gerektirir. OX eksenini, arabanın hareket ettiği yönde raylar boyunca yönlendirmek mantıklıdır.
Bu koşullar altında, taşıma sistemi kapalı kabul edilebilir. Bu, dış kuvvetlerin ihmal edilebileceği gerçeğiyle belirlenir. Yerçekimi kuvveti ve desteğin tepkisi dengelenir ve raylara karşı sürtünme hesaba katılmaz.
Momentumun korunumu yasasına göre, araba ile platform arasındaki etkileşimden önceki vektör toplamları, çarpma sonrası bağlantı için ortak olana eşittir. Başlangıçta platform hareket etmedi, dolayısıyla momentumu sıfırdı. Sadece araba hareket etti, dürtü m1 ve v1'in çarpımıdır.
Darbe esnek olmadığından, yani araç platforma geçti ve sonra aynı yönde birlikte yuvarlanmaya başladı, sistemin itkisi yön değiştirmedi. Ama anlamı değişti. Yani, arabanın kütlesinin platform ile toplamının ve gerekli hızın çarpımı ile.
Bu eşitliği yazabilirsiniz: m1 * v1 \u003d (m1 + m2) * v. Momentum vektörlerinin seçilen eksende izdüşümü için doğru olacaktır. İstenilen hızı hesaplamak için gerekli olan eşitliği ondan çıkarmak kolaydır: v \u003d m1 * v1 / (m1 + m2).
Kurallara göre, kütle değerleri tondan kilograma çevrilmelidir. Bu nedenle, bunları formüle koyarken, önce bilinen değerleri bin ile çarpmanız gerekir. Basit hesaplamalar 0,75 m / s'lik bir sayı verir.
Cevap. Platform arabanın hızı 0,75 m / sn'dir.
Bedeni parçalara ayırma sorunu
Durum. Uçan el bombasının hızı 20 m / s'dir. İki parçaya bölünmüştür. İlkinin kütlesi 1.8 kg. El bombasının 50 m / s hızla uçtuğu yönde hareket etmeye devam ediyor. İkinci parçanın kütlesi 1,2 kg'dır. Ne kadar hızlı
Karar. Parçaların kütleleri m1 ve m2 harfleriyle gösterilsin. Hızları sırasıyla v1 ve v2 olacaktır. El bombasının başlangıç \u200b\u200bhızı v. Problemde v2'nin değerini hesaplamanız gerekir.
Daha büyük parçanın tüm el bombasıyla aynı yönde hareket etmeye devam etmesi için, ikincisinin ters yönde uçması gerekir. Eksenin yönünü ilk dürtüde olanı seçersek, o zaman kopmadan sonra, büyük parça eksen boyunca ve küçük olan - eksene karşı uçar.
Bu problemde, bir el bombası patlamasının anında meydana gelmesi nedeniyle momentumun korunumu yasasının kullanılmasına izin verilir. Bu nedenle, yerçekimi el bombası ve parçalarına etki etmesine rağmen, mutlak değerdeki değeriyle dürtü vektörünün yönünü harekete geçirmek ve değiştirmek için zamanı yoktur.
El bombasının patlamasından sonraki itkinin vektör değerlerinin toplamı, ondan öncekine eşittir. OX eksenine projeksiyonda bir cismin momentum korunumu yasasını yazarsak, o zaman şöyle görünecektir: (m1 + m2) * v \u003d m1 * v1 - m2 * v2. Ondan gerekli hızı ifade etmek kolaydır. Formül ile belirlenecektir: v2 \u003d ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Sayısal değerler ve hesaplamaların yerine geçtikten sonra 25 m / s elde edilir.
Cevap. Küçük parçanın hızı 25 m / s'dir.
Açılı atış sorunu
Durum. M kütleli bir platforma bir top monte edilmiştir. Ondan m kütleli bir mermi atılır. V hızıyla (yere göre verilmiştir) ufka α açısıyla kalkar. Atıştan sonra platform hızının değerinin bilinmesi gerekmektedir.
Karar. Bu problemde, OX eksenine projeksiyonda momentumun korunumu yasasını kullanabilirsiniz. Ancak yalnızca, sonuçta ortaya çıkan dış kuvvetlerin izdüşümünün sıfır olduğu durumda.
OX ekseninin yönü için, merminin uçacağı tarafı yatay çizgiye paralel olarak seçmeniz gerekir. Bu durumda, yerçekimi kuvvetlerinin projeksiyonları ve desteğin OX'e tepkisi sıfıra eşit olacaktır.
Bilinen değerler için spesifik veri olmadığından problem genel bir şekilde çözülecektir. Cevap bir formül.
Platform ve mermi sabit olduğundan, sistemin atıştan önceki momentumu sıfırdı. Gerekli platform hızının Latin harf u ile gösterilmesine izin verin. Daha sonra atıştan sonraki dürtü, kütlenin çarpımı ve hızın izdüşümü olarak tanımlanacaktır. Platform geri döneceğinden (OX ekseninin yönünün tersine), impuls değeri eksi işareti ile olacaktır.
Merminin dürtüsü, kütlesinin ve hızın OX ekseni üzerindeki izdüşümünün ürünüdür. Hızın ufka bir açıyla yönlendirilmesi nedeniyle, izdüşümü hız çarpı açının kosinüsüne eşittir. Kelimenin tam anlamıyla eşitlikte şöyle görünecektir: 0 \u003d - Mu + mv * cos α. Ondan basit dönüşümlerle cevap formülü elde edilir: u \u003d (mv * cos α) / M.
Cevap. Platform hızı u \u003d (mv * cos α) / M formülüyle belirlenir.
Nehir geçişi sorunu
Durum. Nehrin tüm uzunluğu boyunca genişliği aynıdır ve l'e eşittir, bankaları paraleldir. Nehir v1'deki su akışının hızı ve teknenin kendi hızı v2 bilinmektedir. bir). Geçerken, teknenin pruvası kesinlikle karşı bankaya yönlendirilir. Onu nehrin aşağısına ne kadar götürecek? 2). Teknenin pruvası, kalkış noktasına kesinlikle dik olarak karşı yatağa ulaşacak şekilde hangi açıda α yönlendirilmelidir? Böyle bir geçiş ne kadar sürer?
Karar. bir). Teknenin toplam hızı, iki değerin vektörel toplamıdır. Bunlardan ilki, kıyılar boyunca yönlendirilen nehrin akışıdır. İkincisi, teknenin kıyılara dik olan kendi hızıdır. Çizim iki benzer üçgeni göstermektedir. Birincisi, nehrin genişliği ve teknenin sürüklendiği mesafeden oluşur. İkincisi, hız vektörleridir.
Bunlardan şu gösterimi takip eder: s / l \u003d v1 / v2. Dönüşümden sonra, istenen değer için formül elde edilir: s \u003d l * (v1 / v2).
2). Problemin bu varyantında, toplam hızın vektörü bankalara diktir. V1 ve v2'nin vektör toplamına eşittir. Doğal hız vektörünün sapması gereken açının sinüsü, v1 ve v2 modüllerinin oranına eşittir. Seyahat süresini hesaplamak için nehrin genişliğini hesaplanan tam hıza bölmeniz gerekir. İkincisinin değeri Pisagor teoremine göre hesaplanır.
v \u003d √ (v22 - v12), sonra t \u003d l / (√ (v22 - v12)).
Cevap. bir). s \u003d l * (v1 / v2), 2). günah α \u003d v1 / v2, t \u003d l / (√ (v22 - v12)).
(0 dereceli tensörler), diğer yandan, tensör miktarları (tam anlamıyla, 2. seviyenin tensörleri ve daha fazlası). Tamamen farklı matematiksel yapıya sahip belirli nesnelere de karşı çıkabilir.
Çoğu durumda vektör terimi, fizikte "fiziksel uzay" olarak adlandırılan, yani klasik fiziğin olağan üç boyutlu uzayında veya modern fizikte dört boyutlu uzay-zamanda bir vektörü belirtmek için kullanılır ( ikinci durumda, bir vektör ve bir vektör miktarı kavramı 4-vektör ve 4-vektör miktarı kavramı ile çakışır).
"Vektör miktarı" ifadesinin kullanımı bununla pratik olarak tükenmiştir. "Vektör" teriminin kullanımına gelince, aynı uygulanabilirlik alanına yönelik varsayılan çekime rağmen, çok sayıda durumda, hala böyle bir çerçevenin çok ötesine geçmektedir. Bununla ilgili aşağıya bakın.
Terimlerin kullanımı vektör ve vektör miktarı fizikte
Genel olarak, fizikte, bir vektör kavramı matematikteki ile neredeyse tamamen örtüşür. Bununla birlikte, modern matematikte bu kavramın biraz aşırı derecede soyut olması (fiziğin ihtiyaçlarıyla ilişkili olarak) ile ilişkili terminolojik bir özgüllük vardır.
Matematikte, "vektör" kelimesini telaffuz ederek, genel olarak bir vektörü, yani herhangi bir boyut ve doğadaki herhangi bir keyfi soyut doğrusal uzayın herhangi bir vektörünü anlarlar ki bu, herhangi bir özel çaba gösterilmezse, kafa karışıklığına bile yol açabilir (o kadar da değil) , elbette, özünde, kelime kullanımının rahatlığı için). Somutlaştırmak gerekirse, matematiksel tarzda ya oldukça uzun konuşmak ("şu ve bu tür uzayın vektörü") ya da açıkça tarif edilen bağlamın ima ettiği şeyi akılda tutmak gerekir.
Öte yandan fizikte, neredeyse her zaman genel olarak matematiksel nesnelerden (belirli biçimsel özelliklere sahip) değil, belirli belirli ("fiziksel") bağlanmalarından bahsediyoruz. Bu somutluk düşünceleri, kısalık ve rahatlık düşünülerek hesaba katıldığında, fizikteki terminolojik uygulamanın matematiksel olandan önemli ölçüde farklı olduğu anlaşılabilir. Ancak, ikincisiyle bariz bir çelişki içinde değildir. Bu, birkaç basit "numara" ile başarılabilir. Her şeyden önce, terimin kullanımı için varsayılan kuralı içerirler (bağlam özel olarak belirtilmediğinde). Dolayısıyla, fizikte, matematiğin tersine, ek açıklamalar olmadan kelime vektörü genellikle "genel olarak herhangi bir doğrusal uzayın bir vektörü" olarak değil, esasen "sıradan fiziksel uzay" ile ilişkili bir vektör (klasik fiziğin üç boyutlu uzayı veya relativistik fiziğin dört boyutlu uzay-zamanı). Doğrudan ve doğrudan "fiziksel uzay" veya "uzay-zaman" ile ilişkili olmayan uzay vektörleri için, sadece özel isimler kullanın (bazen "vektör" kelimesini de içerir, ancak açıklama ile). Teoriye, doğrudan ve doğrudan "fiziksel uzay" veya "uzay-zaman" ile ilişkili olmayan (ve hemen bir şekilde kesin olarak nitelendirilmesi zor olan) bir uzay vektörü dahil edilirse, genellikle "soyut" olarak tanımlanır. vektör".
"Vektör" teriminden daha büyük ölçüde söylenenlerin tümü, "vektör miktarı" terimine atıfta bulunmaktadır. Bu durumda varsayılan, daha da katı bir şekilde "sıradan uzaya" veya uzay-zamana bir bağlanma anlamına gelir ve soyut vektör uzaylarının öğelerle ilişkili olarak kullanımına neredeyse hiç rastlanmaz, en azından böyle bir uygulama nadir bir istisna olarak görülür (eğer hiç bir rezervasyon değil).
Fizikte, en sık vektörler ve vektör miktarları - hemen hemen her zaman - iki benzer sınıfın vektörleridir:
Vektör fiziksel büyüklüklere örnekler: hız, kuvvet, ısı akışı.
Vektör büyüklüklerinin oluşumu
Fiziksel "vektör miktarları" uzaya nasıl bağlanır? Her şeyden önce, vektör niceliklerinin boyutunun (yukarıda açıklanan bu terimin genel anlamıyla) aynı "fiziksel" (ve "geometrik") uzayın boyutuyla çakışması dikkat çekicidir, örneğin uzay üç boyutludur ve elektrik alanlarının vektörü üç boyutludur. Sezgisel olarak, herhangi bir vektör fiziksel niceliğinin, olağan uzamsal kapsamla ne kadar belirsiz bir bağlantısı olursa olsun, yine de bu sıradan uzayda tamamen belirli bir yöne sahip olduğu fark edilebilir.
Bununla birlikte, fiziğin vektör niceliklerinin tamamının doğrudan en basit "geometrik" vektörlere veya hatta tek bir vektöre (temel yer değiştirme vektörüne) "indirgenmesiyle" çok daha fazlasına ulaşılabileceği ortaya çıktı ve bu daha fazla olacaktır. söylemek doğru - hepsini ondan üretmek.
Bu prosedür, klasik fiziğin üç boyutlu durumu ve modern fizikte yaygın olan dört boyutlu uzay-zaman formülasyonu için iki farklı (esasen birbirini ayrıntılı olarak tekrar etse de) uygulamaya sahiptir.
Klasik üç boyutlu kasa
İçinde yaşadığımız ve hareket edebildiğimiz olağan üç boyutlu "geometrik" uzaydan ilerleyeceğiz.
Başlangıç \u200b\u200bve örnek vektör olarak sonsuz küçük yer değiştirme vektörünü alacağız. Bunun normal bir "geometrik" vektör olduğu (son yer değiştirme vektörü gibi) oldukça açıktır.
Şimdi, bir vektörü bir skaler ile çarpmanın her zaman yeni bir vektör verdiğini hemen not ediyoruz. Vektörlerin toplamı ve farkı için de aynı şey söylenebilir. Bu bölümde, kutupsal ve eksenel vektörler arasında ayrım yapmayacağız, bu nedenle iki vektörün çapraz çarpımının da yeni bir vektör verdiğini unutmayın.
Ayrıca, yeni vektör, vektörün skalere göre farklılaşmasını verir (çünkü böyle bir türev, vektörlerin farkının skalere oranının sınırıdır). Bu, tüm yüksek mertebelerin türevleri hakkında daha fazla söylenebilir. Aynısı skalarlar üzerinden entegrasyon için de geçerlidir (zaman, hacim).
Şimdi, yarıçap vektörüne göre r veya temel bir yer değiştirmeden d r, vektörlerin (zaman bir skaler olduğundan) aşağıdaki gibi kinematik büyüklükler olduğunu kolayca anlarız.
Bir skaler (kütle) ile çarpılan hız ve ivmeden, görünür
Artık sözde tarayıcılarla da ilgilendiğimiz için, şunu not ediyoruz:
- lorentz kuvvet formülü kullanılarak, elektrik alan kuvveti ve manyetik indüksiyon vektörü kuvvet ve hız vektörlerine bağlanır.
Bu prosedüre devam ederek, bildiğimiz tüm vektör niceliklerinin artık sadece sezgisel olarak değil, aynı zamanda resmi olarak orijinal uzaya bağlı olduğunu görüyoruz. Yani, özünde diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonları olarak ifade edildiğinden (muhtemelen boyutsal, ancak skaler ve dolayısıyla resmi olarak tamamen yasal olan) diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonları olarak ifade edildikleri için hepsi bir anlamda onun elemanlarıdır.
Fizikte, bu tür niceliklerle sık sık karşılaşılır, bunun açıklaması için sadece sayısal değerleri bilmek yeterlidir. Örneğin, kütle, zaman, uzunluk.
Yalnızca sayısal bir değerle karakterize edilen değerler skaler veya skaler.
Skaler büyüklüklere ek olarak, hem sayısal değeri hem de yönü olan miktarlar kullanılır. Örneğin hız, ivme, güç.
Sayısal bir değer ve yön ile karakterize edilen nicelikler denir vektör veya vektörler.
Vektör miktarları, üstte bir ok veya kalın olarak karşılık gelen harflerle belirtilir. Örneğin, kuvvet vektörü \\ (\\ vec F \\) veya F ... Bir vektör miktarının sayısal değeri, modül veya vektör uzunluğu olarak adlandırılır. Kuvvet vektörünün değeri, F veya \\ (\\ left | \\ vec F \\ right | \\).
Vektör görüntü
Vektörler, yönlendirilmiş segmentler olarak gösterilir. Vektörün başlangıcı, yönlendirilmiş parçanın başladığı noktadır (nokta VE incirde. 1), vektörün sonu, okun bittiği noktadır (nokta B incirde. bir).
İncir. bir.
İki vektöre denir eşitaynı uzunlukta ve aynı yönü gösteriyorlarsa. Bu tür vektörler, aynı uzunluklara ve yönlere sahip yönlendirilmiş bölümler olarak tasvir edilmiştir. Örneğin, Şek. 2, \\ (\\ vec F_1 \u003d \\ vec F_2 \\) vektörlerini gösterir.
İncir. 2. Bir şekilde iki veya daha fazla vektör gösterildiğinde, segmentler önceden seçilmiş bir ölçekte çizilir. Örneğin, Şek. 3 uzunlukları \\ (\\ upsilon_1 \\) \u003d 2 m / s, \\ (\\ upsilon_2 \\) \u003d 3 m / s olan vektörleri göstermektedir.
İncir. 3. Vektör tanımlama yöntemi
Bir düzlemde bir vektör birkaç şekilde belirtilebilir:
1. Vektörün başlangıç \u200b\u200bve bitiş koordinatlarını belirtin. Örneğin, Şekil 1'deki \\ (\\ Delta \\ vec r \\) vektörü. 4, vektörün başlangıcının koordinatları ile verilir - (2, 4) (m), son - (6, 8) (m).
İncir. dört. 2. Vektörün modülünü (değerini) ve vektörün yönü ile düzlemde önceden seçilmiş bazı yönler arasındaki açıyı belirtin. Genellikle 0 ekseninin pozitif tarafına doğru böyle bir yön için X... Bu yönden saat yönünün tersine ölçülen açılar pozitif kabul edilir. İncirde. 5 vektör \\ (\\ Delta \\ vec r \\) iki sayı ile verilir b ve \\ (\\ alpha \\) vektörün uzunluğunu ve yönünü gösterir.
İncir. beş. Vektör - sadece fizikte veya diğer uygulamalı bilimlerde kullanılan ve bazı karmaşık problemlerin çözümünü basitleştirmeyi mümkün kılan tamamen matematiksel bir kavram.
Vektör - yönlendirilmiş bir çizgi parçası.
Temel fizik dersinde, kişi iki nicelik kategorisi ile çalışmak zorundadır - skaler ve vektör.
Skaler miktarlar (skaler), sayısal bir değer ve bir işaret ile karakterize edilen miktarlardır. Skaler uzunluktur - l, kitle - m, yol - s, zaman - t, sıcaklık - T, elektrik şarjı - q, enerji - W, koordinatlar vb.
Tüm cebirsel işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, vb.) Skalere uygulanır.
örnek 1.
Q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d −7 nC, q 3 \u003d 3 nC ise, içerdiği yüklerden oluşan sistemin toplam yükünü belirleyin.
Tam sistem şarjı
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2 - 7 + 3) nC \u003d −2 nC \u003d −2 × 10 −9 C.
Örnek 2.
Formun ikinci dereceden bir denklemi için
ax 2 + bx + c \u003d 0;
x 1,2 \u003d (1 / (2a)) × (−b ± √ (b 2 - 4ac)).
Vektör Miktarlar (vektörler), sayısal değere ek olarak yönü belirtmek için gerekli olan miktarlar olarak adlandırılır. Vektörler - hız v, güç F, dürtü p, elektrik alan gücü Emanyetik indüksiyon B ve benzeri.
Bir vektörün (modül) sayısal değeri, vektör sembolü olmayan bir harfle gösterilir veya vektör dikey çubuklar arasına alınır r \u003d | r |.
Grafik olarak, vektör bir okla temsil edilir (Şekil 1),
Belirli bir ölçekte uzunluğu mutlak değerine eşittir ve yönü vektörün yönü ile çakışır.
Modülleri ve yönleri çakışırsa iki vektör eşittir.
Vektörel büyüklükler geometrik olarak eklenir (vektör cebiri kuralına göre).
Verilen kurucu vektörlerden bir vektör toplamı bulmaya vektör toplama denir.
İki vektörün eklenmesi paralelkenar veya üçgen kuralına göre gerçekleştirilir. Toplam vektör
c \u003d a + b
vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın köşegenine eşittir a ve b... Modül et
c \u003d √ (a 2 + b 2 - 2abcosα) (Şekil 2). 
Α \u003d 90 ° için, c \u003d √ (a 2 + b 2) - Pisagor teoremi.
Vektörün sonundan ise aynı c vektörü üçgen kuralı ile elde edilebilir. a ertelemek vektör b... Kapanış vektörü c (vektörün başlangıcını bağlayan a ve vektörün sonu b) terimlerin vektörel toplamıdır (vektörlerin bileşenleri a ve b).
Elde edilen vektör, bağlantıları kurucu vektörler olan kesik çizginin kapanışı olarak bulunur (Şekil 3). 
Örnek 3.
İki kuvvet ekleyin F 1 \u003d 3 N ve F 2 \u003d 4 N, vektörler F 1 ve F 2 Horizon ile sırasıyla α 1 \u003d 10 ° ve α 2 \u003d 40 ° açılarını tamamlayın
F \u003d F 1 + F 2 (şek. 4). 
Bu iki kuvvetin eklenmesinin sonucu, sonuç olarak adlandırılan bir kuvvettir. Vektör F vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenarın köşegeni boyunca yönlendirilmiştir F 1 ve F 2kenar olarak ve mutlak değerde uzunluğuna eşittir.
Vektör modülü F kosinüs teoremi ile buluruz
F \u003d √ (F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos (α 2 - α 1)),
F \u003d √ (3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos (40 ° - 10 °)) ≈ 6,8 H.
Eğer bir
(α 2 - α 1) \u003d 90 °, sonra F \u003d √ (F 1 2 + F 2 2).
Açı bu vektör F Öküz ekseni ile, formülle buluyoruz
α \u003d arctan ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α \u003d arktan ((3.0.17 + 4.0.64) / (3.0.98 + 4.0.77)) \u003d arctg0.51, α ≈ 0.47 rad.
A vektörünün Ox (Oy) eksenine izdüşümü, vektörün yönü arasındaki a açısına bağlı olarak skaler bir miktardır. a ve Öküz (Oy) ekseni. (şek. 5) 
Vektör projeksiyonları a dikdörtgen bir koordinat sisteminin Ox ve Oy eksenlerinde. (şek.6) 
Vektörün eksene izdüşümünün işaretini belirlemede hatalardan kaçınmak için, aşağıdaki kuralı hatırlamakta fayda var: Bileşenin yönü eksenin yönü ile çakışırsa, o zaman vektörün bunun üzerine izdüşümü eksen pozitiftir, eğer bileşenin yönü eksenin yönünün tersi ise, o zaman vektörün izdüşümü negatiftir. (şek. 7) 
Vektörlerin çıkarılması, ikinci vektöre sayısal olarak eşit olan, zıt yöndeki birinci vektöre bir vektörün eklendiği bir eklemedir.
a - b \u003d a + (−b) \u003d d (şek. 8). 
Bir vektörden olsun a çıkarma vektörü b, onların farkı d... İki vektörün farkını bulmak için vektöre ihtiyacınız var a vektör ekle ( −b), yani vektör d \u003d a - b vektörün başından itibaren yönlendirilmiş bir vektör olacak a vektörün sonuna kadar ( −b) (şek.9). 
Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarda a ve b her iki taraf, bir çapraz c toplamı anlamlıdır ve diğeri d - vektör farklılıkları a ve b (şek. 9).
Bir vektörün çarpımı a skaler k ile vektöre eşittir b \u003d k amodülü vektörün modülünden k kat daha büyük olan ave yön, yön ile çakışıyor a pozitif k için ve bunun tersi için negatif k.
Örnek 4.
5 m / s hızla hareket eden, 2 kg ağırlığındaki bir vücudun dürtüsünü belirleyin. (şek. 10) 
Vücut dürtü p \u003d m v; p \u003d 2 kg.m / s \u003d 10 kg.m / s ve hıza doğru yönlendirilir v.
Örnek 5.
E \u003d 400 V / m yoğunluğa sahip bir elektrik alanına q \u003d −7,5 nC bir yük yerleştirilir. Yüke etki eden kuvvetin modülünü ve yönünü bulun.
Güç eşittir F \u003d q E... Yük negatif olduğundan, kuvvet vektörü vektöre zıt yönde yönlendirilir. E... (şek. 11) 
Bölünme vektör a skaler bir k ile çarpmaya eşdeğerdir a 1 / k ile.
Nokta ürün vektörler a ve b skaler "c" olarak adlandırılır, bu vektörlerin modüllerinin aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşittir.
(a.b) \u003d (b.a) \u003d c,
c \u003d ab.cosα (Şekil 12) 
Örnek 6.
Yer değiştirme S \u003d 7,5 m ise sabit bir F \u003d 20 N kuvvetinin ve kuvvet ile yer değiştirme arasındaki α açısının α \u003d 120 ° olduğunu bulun.
Kuvvet işi, tanımı gereği kuvvet ve yer değiştirmenin iç çarpımına eşittir.
A \u003d (F.S) \u003d FScosα \u003d 20 H × 7.5 m × cos120 ° \u003d −150 × 1/2 \u003d −75 J.
Vektör ürünü vektörler a ve b vektör olarak adlandırıldı ca ve b vektörlerinin modüllerinin çarpımının aralarındaki açının sinüsüyle çarpımına sayısal olarak eşittir:
c \u003d a × b \u003d,
c \u003d ab × sinα.
Vektör c vektörlerin bulunduğu düzleme diktir a ve bve yönü vektörlerin yönüyle ilgilidir a ve b sağ vida kuralı (şek. 13). 
Örnek 7.
İletkendeki akım 10 A ise ve alan yönüyle α \u003d 30 ° açı oluşturuyorsa, indüksiyonu 5 T olan manyetik alan içerisine yerleştirilmiş 0,2 m uzunluğundaki bir iletkene etkiyen kuvveti belirleyin.
Amper kuvveti
dF \u003d I \u003d Idl × B veya F \u003d I (l) ∫ (dl × B),
F \u003d IlBsinα \u003d 5 T × 10 A × 0.2 m × 1/2 \u003d 5 N.
Problem çözmeyi düşünün.
1. Eğer toplamlarının modülü şuna eşitse, modülleri aynı ve a'ya eşit olan iki vektör nasıl yönlendirilir: a) 0; b) 2a; CA; d) a√ (2); e) a√ (3)?
Karar.
a) İki vektör, bir düz çizgi boyunca zıt yönlerde yönlendirilir. Bu vektörlerin toplamı sıfırdır. 
b) İki vektör, aynı yönde bir düz çizgi boyunca yönlendirilir. Bu vektörlerin toplamı 2a'dır. 
c) İki vektör birbirine 120 ° açıyla yönlenmiştir. Vektörlerin toplamı bir. Elde edilen vektör, kosinüs teoremi ile bulunur: 
a 2 + a 2 + 2aacosα \u003d a 2,
cosα \u003d −1/2 ve α \u003d 120 °.
d) İki vektör birbirine 90 ° açıyla yönlenmiştir. Toplamın modülü
bir 2 + a 2 + 2aacosα \u003d 2a 2,
cosα \u003d 0 ve α \u003d 90 °. 
e) İki vektör birbirine 60 ° açıyla yönlenmiştir. Toplamın modülü
bir 2 + a 2 + 2aacosα \u003d 3a 2,
cosα \u003d 1/2 ve α \u003d 60 °.
Cevap: Vektörler arasındaki a açısı: a) 180 °; b) 0; c) 120 °; d) 90 °; e) 60 °.
2. Eğer a \u003d a 1 + a 2 vektörlerin oryantasyonu, vektörlerin karşılıklı oryantasyonu hakkında ne söylenebilir? bir 1 ve bir 2eğer: a) a \u003d a 1 + a 2; b) bir 2 \u003d bir 1 2 + a 2 2; c) bir 1 + bir 2 \u003d bir 1 - bir 2?
Karar.
a) Vektörlerin toplamı, bu vektörlerin modüllerinin toplamı olarak bulunursa, vektörler birbirine paralel bir düz çizgi boyunca yönlendirilir. bir 1 || bir 2.
b) Vektörler birbirlerine bir açıyla yönlendirilmişse, toplamları bir paralelkenar için kosinüs teoremi ile bulunur.
bir 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα \u003d a 2,
cosα \u003d 0 ve α \u003d 90 °.
vektörler birbirine diktir bir 1 ⊥ bir 2.
c) Durum bir 1 + bir 2 \u003d bir 1 - bir 2 eğer idam edilebilir bir 2 Bir sıfır vektör, o zaman bir 1 + a 2 \u003d bir 1'dir.
Yanıtlar... ve) bir 1 || bir 2; b) bir 1 ⊥ bir 2; içinde) bir 2 - sıfır vektör.
3. Her biri 1.42 N'luk iki kuvvet, vücudun bir noktasına 60 ° 'lik bir açıyla uygulanır. Hareketlerinin ilk iki kuvvetin hareketini dengelemesi için vücudun aynı noktasına, her biri 1,75 N olan iki kuvvet hangi açıda uygulanmalıdır?
Karar.
Problemin durumuna göre, 1,75 N'lik iki kuvvet, 1,42 N'lik iki kuvveti dengeler. Bu, elde edilen kuvvet çiftlerinin vektörlerinin modülleri eşitse mümkündür. Elde edilen vektör, bir paralelkenar için kosinüs teoremi ile belirlenir. İlk kuvvet çifti için:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
ikinci kuvvet çifti için sırasıyla
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ \u003d F 2.
Denklemlerin sol taraflarını eşitleme
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Vektörler arasında istenen açıyı bulun
cosβ \u003d (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - F 2 2 - F 2 2) / (2F 2 F 2).
Hesaplamalardan sonra,
cosβ \u003d (2.1.422 + 2.1.422.cos60 ° - 2.1.752) / (2.1.752) \u003d −0.0124,
β ≈ 90,7 °.
İkinci çözüm.
Vektörlerin OX koordinat eksenine izdüşümünü düşünün (Şekil). 
Dik üçgende kenarlar arasındaki oranı kullanarak şunu elde ederiz:
2F 1 cos (α / 2) \u003d 2F 2 cos (β / 2),
nereden
cos (β / 2) \u003d (F 1 / F 2) cos (α / 2) \u003d (1.42 / 1.75) × cos (60/2) ve β ≈ 90.7 °.
4. Vektör a \u003d 3i - 4j... | C için skaler değer c ne olmalıdır a| = 7,5?
Karar.
c a \u003d c ( 3i - 4j) = 7,5
Vektör modülü a eşit olacak
a 2 \u003d 3 2 + 4 2 ve a \u003d ± 5,
sonra
c. (± 5) \u003d 7,5,
Bunu bul
c \u003d ± 1.5.
5. Vektörler bir 1 ve bir 2 başlangıç \u200b\u200bnoktasından çıkar ve sırasıyla (6, 0) ve (1, 4) uçlarının Kartezyen koordinatlarına sahiptir. Vektörü bulun bir 3 öyle ki: a) bir 1 + bir 2 + bir 3 \u003d 0; b) bir 1 − bir 2 + bir 3 = 0.
Karar.
Vektörleri bir Kartezyen koordinat sisteminde temsil ediyoruz (Şek.) 
a) Öküz ekseni boyunca ortaya çıkan vektör
bir x \u003d 6 + 1 \u003d 7.
Oy ekseni boyunca ortaya çıkan vektör şu şekildedir:
bir y \u003d 4 + 0 \u003d 4.
Vektörlerin toplamının sıfıra eşit olması için, koşulun
bir 1 + bir 2 = −bir 3.
Vektör bir 3 modulo, toplam vektöre eşit olacaktır bir 1 + bir 2, ancak ters yönde yönlendirildi. Vektörün sonunun koordinatı bir 3 eşittir (−7, −4) ve modül
bir 3 \u003d √ (7 2 + 4 2) \u003d 8.1.
B) Öküz ekseni boyunca ortaya çıkan vektör
a x \u003d 6 - 1 \u003d 5,
ve Oy ekseni boyunca ortaya çıkan vektör
a y \u003d 4 - 0 \u003d 4.
Koşul karşılandığında
bir 1 − bir 2 = −bir 3,
vektör bir 3 a x \u003d –5 ve y \u003d –4 vektörünün sonunun koordinatlarına sahip olacak ve modülü
bir 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4.
6. Haberci 30 m kuzeye, 25 m doğuya, 12 m güneye gider ve daha sonra binada asansörle 36 m yüksekliğe yükselir L mesafesi ve S yolu kaça eşittir?
Karar.
Problemde anlatılan durumu rastgele bir ölçekte bir düzlemde tasvir edelim (Şekil). 
Vektörün sonu OA 25 m doğu, 18 m kuzey ve 36 yukarı (25; 18; 36) koordinatları vardır. Bir kişinin kat ettiği yol
L \u003d 30 m + 25 m + 12 m +36 m \u003d 103 m.
Yer değiştirme vektör modülünü formülle buluyoruz
S \u003d √ ((x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2),
burada x o \u003d 0, y o \u003d 0, z o \u003d 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2) \u003d 47,4 (m).
Cevap: U \u003d 103 m, S \u003d 47,4 m.
7. İki vektör arasındaki α açısı a ve b 60 ° 'ye eşittir. Vektörün uzunluğunu belirle c \u003d a + b ve vektörler arasındaki β açısı a ve c... Vektörler a \u003d 3.0 ve b \u003d 2.0'dır.
Karar.
Vektörlerin toplamına eşit bir vektörün uzunluğu a ve b bir paralelkenar için kosinüs teoremini kullanarak tanımlarız (Şekil). 
c \u003d √ (bir 2 + b 2 + 2abcosα).
İkameden sonra
c \u003d √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60 °) \u003d 4.4.
Β açısını belirlemek için, ABC üçgeni için sinüs teoremini kullanıyoruz:
b / sinβ \u003d a / günah (α - β).
Bu durumda, bunu bilmelisiniz
günah (α - β) \u003d sinαcosβ - cosαsinβ.
Basit bir trigonometrik denklemi çözerek ifadeye geldik
tgβ \u003d bsinα / (a \u200b\u200b+ bcosα),
Sonuç olarak,
β \u003d arktan (bsinα / (a \u200b\u200b+ bcosα)),
β \u003d arktan (2.sin60 / (3 + 2. cos60)) ≈ 23 °.
Bir üçgen için kosinüs teoremini kullanarak kontrol edelim:
bir 2 + c 2 - 2ac.cosβ \u003d b 2,
nereden
cosβ \u003d (bir 2 + c 2 - b 2) / (2ac)
ve
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arccos ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
Cevap: c \u003d 4.4; β ≈ 23 °.
Görevleri çöz.
8. Vektörler için a ve bÖrnek 7'de tanımlanan vektörün uzunluğunu bulun d \u003d a - b açı γ
arasında a ve d.
9. Vektörün izdüşümünü bulun a \u003d 4.0i + 7.0j Düz bir çizgi üzerinde, yönü Ox ekseni ile α \u003d 30 ° açı yapan. Vektör a ve düz çizgi xOy düzlemindedir.
10. Vektör a AB düz çizgisi, a \u003d 3.0 ile α \u003d 30 ° 'lik bir açı yapar. Vektörü AB düz çizgisine β hangi açıda yönlendirmeniz gerekir? b (b \u003d √ (3)) böylece vektör c \u003d a + b AB'ye paralel miydi? Vektörün uzunluğunu bulun c.
11. Üç vektör verilmiştir: a \u003d 3i + 2j - k; b \u003d 2i - j + k; c \u003d i + 3j... Bulmak bir) a + b; b) a + c; içinde) (a, b); d) (a, c) b - (a, b) c.
12. Vektörler arasındaki açı a ve b eşittir a \u003d 60 °, a \u003d 2.0, b \u003d 1.0. Vektörlerin uzunluklarını bulun c \u003d (a, b) a + b ve d \u003d 2b - a / 2.
13. Bu vektörleri kanıtlayın a ve b a \u003d (2, 1, −5) ve b \u003d (5, −5, 1) ise diktir.
14. Vektörler arasındaki α açısını bulun a ve beğer a \u003d (1, 2, 3), b \u003d (3, 2, 1).
15. Vektör a Ox ekseni ile α \u003d 30 ° 'lik bir açı yapar, bu vektörün Oy eksenine izdüşümü a y \u003d 2.0'dır. Vektör b vektöre dik a ve b \u003d 3.0 (şekle bakınız). 
Vektör c \u003d a + b... Bulun: a) vektör projeksiyonları b Öküz ve Oy eksenlerinde; b) vektör arasındaki c miktarı ve β açısı c ve Öküz ekseni; taksi); d) (a, c).
Yanıtlar:
9. a 1 \u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β \u003d 300 °; c \u003d 3.5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i - 18j + 9 k.
12.c \u003d 2.6; d \u003d 1.7.
14. α \u003d 44.4 °.
15. a) b x \u003d .51.5; b y \u003d 2.6; b) c \u003d 5; β ≈ 67 °; c) 0; d) 16.0.
Fizik okuyarak, eğitiminize teknik bir üniversitede devam etmek için harika fırsatlara sahipsiniz. Bu, matematik, kimya, dil ve daha az sıklıkla diğer konulardaki bilginin paralel olarak derinleştirilmesini gerektirecektir. Cumhuriyet Olimpiyatı'nın galibi Savich Yegor, kimya bilgisine büyük taleplerin olduğu Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü'nün fakültelerinden birinden mezun oldu. GIA'da kimyada yardıma ihtiyacınız varsa, o zaman profesyonellerle iletişime geçin, size kesinlikle nitelikli ve zamanında yardım sağlanacaktır.
