Üstel fonksiyon
y = a formunun işlevi X a'nın sıfırdan büyük olduğu ve a'nın bire eşit olmadığı duruma üstel fonksiyon denir. Temel özellikler üstel fonksiyon:
1. Üstel fonksiyonun tanım alanı gerçek sayılar kümesi olacaktır.
2. Üstel fonksiyonun değer aralığı tüm pozitif gerçek sayılar kümesi olacaktır. Bazen bu küme, kısa olması açısından R+ olarak gösterilir.
3. Üstel bir fonksiyonda a tabanı birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Eğer a tabanı için üstel fonksiyon sağlanıyorsa sonraki koşul 0
4. Derecelerin tüm temel özellikleri geçerli olacaktır. Derecelerin temel özellikleri aşağıdaki eşitliklerle temsil edilir:
A X *A sen =a (x+y) ;
(A X )/(A sen ) = bir (x-y) ;
(a*b) X = (bir X )*(A sen );
(a/b) X =a X /B X ;
(A X ) sen =a (x * y) .
Bu eşitlikler x ve y'nin tüm reel değerleri için geçerli olacaktır.
5. Üstel bir fonksiyonun grafiği her zaman koordinatları (0;1) olan noktadan geçer.
6. Üstel fonksiyonun artması veya azalmasına bağlı olarak grafiği iki biçimden birine sahip olacaktır.
Aşağıdaki şekilde artan bir üstel fonksiyonun grafiği gösterilmektedir: a>0.
Aşağıdaki şekil azalan bir üstel fonksiyonun grafiğini göstermektedir: 0
Beşinci paragrafta açıklanan özelliğe göre hem artan bir üstel fonksiyonun grafiği hem de azalan bir üstel fonksiyonun grafiği (0;1) noktasından geçer.
7. Üstel bir fonksiyonun ekstrem noktaları yoktur, yani fonksiyonun minimum ve maksimum noktaları yoktur. Belirli bir segment üzerinde bir fonksiyon düşünürsek, fonksiyon bu aralığın sonunda minimum ve maksimum değerleri alacaktır.
8. Fonksiyon tek veya çift değildir. Üstel bir fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur. Grafiklerden de bu anlaşılıyor; hiçbiri Oy eksenine göre veya koordinatların orijinine göre simetrik değil.
Logaritma
Logaritmalar okul matematik derslerinde her zaman zor bir konu olarak görülmüştür. Çok var farklı tanımlar logaritma, ancak bazı nedenlerden dolayı çoğu ders kitabı bunların en karmaşık ve başarısız olanını kullanır.
Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunu yapmak için bir tablo oluşturalım:
Yani ikinin kuvvetlerine sahibiz. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı kuvvetini artırmanız gerekiyor. Bu tablodan görülebilmektedir.
Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı:
Tanım
Logaritma x argümanının a tabanını oluşturmak sayının yükseltilmesi gereken güç A numarayı almak için X.
Tanım
log a x = b
burada a taban, x argüman, b - aslında logaritmanın neye eşit olduğu.
Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı ile log 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64.
Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine ne ad verilir?logaritma . Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim:
Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın aralıkta bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırıyor. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bakın:
Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Unutmayın: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.
Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak şunu not ediyoruz: Tanımdan iki şey takip eder önemli gerçekler:
Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, bir derecenin rasyonel bir üsle tanımlanmasından kaynaklanır ve logaritmanın tanımı buna indirgenir.
Taban birden farklı olmalıdır, çünkü bir dereceye kadar bir hala bir olarak kalır. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalar arandı kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Lütfen bunu not al sayı sınırlaması yok B (logaritma değeri) örtüşmez. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2−1.
Ancak şimdi yalnızca logaritmanın VA'sını bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DL gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.
Şimdi geneli düşünün logaritma hesaplama şeması. Üç adımdan oluşur:
Bir neden belirtin a ve argüman x mümkün olan minimum tabanı birden büyük olan bir kuvvet biçiminde. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
Bir değişkene göre çözün b denklemi: x = a b ;
Ortaya çıkan sayı cevap b olacaktır.
Bu kadar! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. İle aynı ondalık sayılar: Bunları hemen normal olanlara dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.
Bu planın nasıl çalıştığını görelim spesifik örnekler:
Logaritmayı hesaplayın: log 5 25
Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;
Denklemi oluşturup çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Cevabını aldık: 2.
Logaritmayı hesaplayın:
Tabanı ve argümanı üçün kuvveti olarak düşünelim: 3 = 3 1; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Denklemi oluşturup çözelim:
Cevabını aldık: −4.
−4
Logaritmayı hesaplayın: log 4 64
Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
Denklemi oluşturup çözelim:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Cevabını aldık: 3.
Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
Denklemi oluşturup çözelim:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Cevabını aldık: 0.
Logaritmayı hesaplayın: log 7 14
Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
Önceki paragraftan logaritmanın sayılmadığı anlaşılmaktadır;
Cevap değişiklik yok: log 7 14.
günlük 7 14
Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; bunu asal çarpanlara ayırmanız yeterli. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.
Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;
8, 81 - kesin derece; 48, 35, 14 - hayır.
Ayrıca asal sayıların her zaman kendilerinin tam kuvvetleri olduğuna dikkat edin.
Ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.
Tanım
Ondalık logaritma x argümanından 10 tabanının logaritmasıdır, yani sayıyı elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken güç X.
Tanım
lgx
Örneğin log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Artık bir ders kitabında “Lg 0.01'i bul” gibi bir ifade çıktığında bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu bir ondalık logaritmadır. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.
Doğal logaritma
Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. Hakkında Doğal logaritma hakkında.
Tanım
Doğal logaritma x argümanından tabanın logaritması e yani bir sayının yükseltilmesi gereken güç e numarayı almak için X.
Tanım
x olarak
Birçok kişi şunu soracaktır: e sayısı nedir? bu ir rasyonel sayı, kesin değerini bulmak ve yazmak imkansızdır. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...
Bu sayının ne olduğu ve neden ihtiyaç duyulduğu konusunda detaya girmeyeceğiz. Sadece şunu hatırla - doğal logaritmanın tabanı:
içinde x = log e x
Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; e 16'da = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette biri hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.
Logaritmanın temel özellikleri
Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından temel özellikler adı verilen kendi kurallarına sahiptirler.
Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir; onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması
Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: log a x ve log a y . Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:
kayıt bir x + günlük bir e =günlük A ( X · sen );
kayıt bir x - günlük bir e =günlük A ( X : sen ).
Bu yüzden, logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Not: önemli an işte aynı nedenler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!
Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (bkz. ders " "). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:
İfadenin değerini bulun: log 6 4 + log 6 9.
Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
İfadenin değerini bulun: log 2 48 – log 2 3.
Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
İfadenin değerini bulun: log 3 135 – log 3 5.
Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçoğu bu gerçek üzerine inşa edilmiştir sınav kağıtları. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.
Üslü logaritmadan çıkarma
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:
Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.
Elbette Logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde de uygulamayı öğrenin; Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.
İfadenin değerini bulun: log 7 49 6 .
İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12
İfadenin anlamını bulun:
Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Sahibiz:
Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.
Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.
Yeni bir temele geçiş
Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?
Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:
Teorem
Logaritma günlüğü verilsin bir x . Daha sonra herhangi bir sayı için c öyle ki c > 0 ve c ≠ 1, eşitlik doğrudur:
Özellikle şunu koyarsak c = x, şunu elde ederiz:
İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.
Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar uygun olduklarını ancak karar vererek değerlendirmek mümkündür. logaritmik denklemler ve eşitsizlikler.
Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:
İfadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.
Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5;
Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:
Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.
İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.
Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:
Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:
Temel logaritmik kimlik
Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:
İlk durumda, sayı N argümandaki duruş derecesinin bir göstergesi haline gelir. Sayı N kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.
İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir:temel logaritmik kimlik.
Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.
Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.
Görev
İfadenin anlamını bulun:
Çözüm
Günlük 25 64 = günlük 5 olduğunu unutmayın 8 - basitçe tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını aldım. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:
200
Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)
Logaritmik birim ve logaritmik sıfır
Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak sorunlarla karşılaşıyorlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri düzey" öğrenciler için bile sorunlar yaratıyorlar.
log a a = 1 logaritmik birim. Bir kez ve tamamen hatırlayın: herhangi bir tabana göre logaritma A bu tabandan itibaren bire eşittir.
log a 1 = 0 logaritmik sıfır. Temel a Herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir tane içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü 0 = 1 tanımın doğrudan bir sonucudur.
Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın!
x=2 değişkeninin çeşitli rasyonel değerleri için ifadenin değerini bulalım; 0; -3; -
X değişkeninin yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım, her zaman bu ifadenin değerini bulabileceğimizi unutmayın. Bu, rasyonel sayılar kümesinde tanımlanan bir üstel fonksiyonu (E eşittir üç üzeri x) düşündüğümüz anlamına gelir: .
Değerlerinin bir tablosunu derleyerek bu fonksiyonun grafiğini oluşturalım.
Bu noktalardan geçen düzgün bir çizgi çizelim (Şekil 1)
Bu fonksiyonun grafiğini kullanarak özelliklerini ele alalım:
3.Tüm tanım alanı boyunca artar.
- sıfırdan artı sonsuza kadar değer aralığı.
8. Fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir.
Fonksiyonların grafiklerini tek koordinat sisteminde oluşturursak; y=(y eşittir iki üssü x, y eşittir beş üssü x, y eşittir yedi üssü x), o zaman bunların y= ile aynı özelliklere sahip olduğunu görebilirsiniz. (y eşittir üç üssü x) (Şekil .2), yani y = (birden büyük için y a üzeri x kuvvetine eşittir) formundaki tüm fonksiyonlar şu şekilde olacaktır: özellikler.
Fonksiyonun grafiğini çizelim:
1. Değerlerinin bir tablosunun derlenmesi.
Elde ettiğimiz noktaları koordinat düzleminde işaretleyelim.
Bu noktalardan geçen düzgün bir çizgi çizelim (Şekil 3).
Bu fonksiyonun grafiğini kullanarak özelliklerini belirtiyoruz:
1. Tanımın alanı tüm gerçek sayılar kümesidir.
2. Ne çift ne de tektir.
3. Tanımın tüm alanı boyunca azalır.
4. Ne en büyük ne de en küçük değerleri vardır.
5. Aşağıda sınırlıdır, ancak yukarıda sınırlı değildir.
6. Tanım alanının tamamı boyunca süreklidir.
7. Sıfırdan artı sonsuza kadar değer aralığı.
8. Fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir.
Benzer şekilde fonksiyon grafiklerini tek koordinat sisteminde çizersek; y = (y, x'in kuvvetinin yarısına eşittir, y, x'in kuvvetinin beşte birine eşittir, y, x'in kuvvetinin yedide birine eşittir), o zaman bunların sahip olduğunu fark edebilirsiniz. y = ile aynı özelliklere sahiptir (y, x kuvvetinin üçte birine eşittir (Şekil 4), yani, y = formundaki tüm işlevler bu tür özelliklere sahip olacaktır (y, bire bölünen a'ya eşittir) x gücü, sıfırdan büyük ancak birden küçük)
Tek koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım
Bu, aynı a değeri için y=y= fonksiyonlarının grafiklerinin de simetrik olacağı anlamına gelir (y, a üzeri x kuvvetine ve y eşittir bir bölü a üzeri x kuvveti).
Üstel fonksiyonu tanımlayıp temel özelliklerini belirterek söylenenleri özetleyelim:
Tanım:(a, a'nın x kuvvetine eşittir, burada a pozitiftir ve birden farklıdır) y= biçimindeki bir fonksiyona üstel fonksiyon denir.
Üstel fonksiyon y= ile kuvvet fonksiyonu y=, a=2,3,4,… arasındaki farkları hatırlamak gerekir. hem işitsel hem de görsel olarak. Üstel fonksiyon X bir derecedir ve güç fonksiyonu X temelidir.
Örnek1: Denklemi çözün (üç üssü x eşittir dokuz)
(Y, X'in üç kuvvetine eşittir ve Y, dokuza eşittir) Şekil 7
Bir tane olduğunu unutmayın ortak nokta M (2;9) (iki; dokuz koordinatlı em), bu da noktanın apsisinin bu denklemin kökü olacağı anlamına gelir. Yani denklemin tek kökü x = 2'dir.
Örnek 2: Denklemi çözün
Bir koordinat sisteminde, y= fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız (y, x'in beş üssüne ve y, yirmi beşte bire eşittir) Şekil 8. Grafikler bir T noktasında kesişiyor (-2; (te koordinatları eksi iki; bir yirmi beşte). Bu, denklemin kökünün x = -2 (sayı eksi iki) olduğu anlamına gelir.
Örnek 3: Eşitsizliği çözün
Bir koordinat sisteminde y= fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız
(Y, X'in üç kuvvetine eşittir ve Y, yirmi yediye eşittir).
Şekil 9 Fonksiyonun grafiği y=at fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer almaktadır.
x Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü aralıktır (eksi sonsuzdan üçe)
Örnek 4: Eşitsizliği çözün
Bir koordinat sisteminde, y= fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız (y, x'in dörtte bir kuvvetine ve y, on altıya eşittir). (Şekil 10). Grafikler bir K noktasında (-2;16) kesişiyor. Bu, eşitsizliğin çözümünün (-2; (eksi ikiden artı sonsuza kadar) aralığı olduğu anlamına gelir, çünkü y= fonksiyonunun grafiği, x noktasındaki fonksiyonun grafiğinin altında yer alır.
Akıl yürütmemiz aşağıdaki teoremlerin geçerliliğini doğrulamamızı sağlar:
Tema 1: Doğruysa ancak ve ancak m=n ise.
Teorem 2: Eğer ancak ve ancak şu durumda doğrudur, eşitsizlik ancak ve ancak şu durumda doğrudur (Şekil *)
Teorem 4: Eğer doğru ise ancak ve ancak (Şekil**), eşitsizlik ancak ve ancak şu durumda doğrudur Teorem 3: Eğer doğru ise ancak ve ancak m=n ise.
Örnek 5: y= fonksiyonunun grafiğini çizin
Derece y= özelliğini uygulayarak fonksiyonu değiştirelim.
Ek bir koordinat sistemi oluşturalım ve yeni sistem koordinatları kullanarak y = fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız (y, iki üzeri x'e eşittir) Şekil 11.
Örnek 6: Denklemi çözün
Bir koordinat sisteminde y= fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız
(Y eşittir yedi üzeri X ve Y eşittir sekiz eksi X) Şekil 12.
Grafikler bir E noktasında kesişir (1; (e koordinatları bir; yedi). Bu, denklemin kökünün x = 1 (x bire eşittir) olduğu anlamına gelir.
Örnek 7: Eşitsizliği çözün
Bir koordinat sisteminde y= fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız
(Y, X'in kuvvetinin dörtte birine eşittir ve Y, X artı beşe eşittir). Eşitsizliğin çözümü x aralığı (eksi birden artı sonsuza) olduğunda, y=fonksiyonunun grafiği y=x+5 fonksiyonunun grafiğinin altında bulunur.
Üstel fonksiyona ilişkin temel özellikler, grafikler ve formüller hakkında referans verileri sağlar. Aşağıdaki konular dikkate alınmıştır: Tanım alanı, değerler kümesi, monotonluk, ters fonksiyon, türev, integral, açılım güç serisi ve karmaşık sayılar kullanılarak temsil.
Tanım
Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = ax.
Burada a sabit bir gerçek sayıdır ve buna denir üstel fonksiyonun temeli.
Tabanı a olan üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.
Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,...
üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Kesirli değerler için x = m/n rasyonel sayılar, (1.11) formülü ile belirlenir. real için üstel fonksiyon dizinin limiti olarak tanımlanır:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon tümü için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1,5-8) özelliklerini karşılar.
Üstel bir fonksiyonun tanımının ve özelliklerinin kanıtının titiz bir matematiksel formülasyonu “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve kanıtı” sayfasında verilmiştir.
Üstel Fonksiyonun Özellikleri
Üstel fonksiyon y = a x, gerçek sayılar () kümesinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1)
tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2)
bir ≠ için 1
birçok anlamı vardır;
(1.3)
kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4)
;
;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üstel tabana sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:
b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:
Özel değerler
, , , , .
Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = ax
dört değer için derece üsleri: bir = 2
, bir = 8
, bir = 1/2
ve bir = 1/8
. > için görüldüğü gibi 1
üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyük olursa, o kadar fazla olur. Güçlü büyüme. Şu tarihte: 0
< a < 1
üstel fonksiyon monoton olarak azalır. a üssü ne kadar küçük olursa, azalma o kadar güçlü olur.
Artan azalan
için üstel fonksiyon kesinlikle monotondur ve bu nedenle ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.
| y = a x , a > 1 | y = balta, 0 < a < 1 | |
| İhtisas | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Değer aralığı | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monoton | monoton olarak artar | monoton olarak azalır |
| Sıfırlar, y = 0 | HAYIR | HAYIR |
| Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Ters fonksiyon
Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Üstel bir fonksiyonun türevi
Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamalıdır.
Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
ve türevler tablosundaki formül:
.
Üstel bir fonksiyon verilsin:
.
Onu e üssüne getiriyoruz:
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın
Daha sonra
Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:
.
Üstel bir fonksiyonun türevi
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek
Bir fonksiyonun türevini bulun
y = 3 5x
Çözüm
Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
3 = e ln 3
Daha sonra
.
Bir değişken girin
.
Daha sonra
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Çünkü 5ln 3 bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:
.
Cevap
İntegral
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
İşlevi düşünün karmaşık sayı z:
F (z) = az
burada z = x + iy; Ben 2 = - 1
.
Karmaşık sabit a'yı r modülü ve φ argümanı cinsinden ifade edelim:
a = r e ben φ
Daha sonra
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. İÇİNDE Genel görünüm
φ = φ 0 + 2 πn,
burada n bir tamsayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu (z) da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır
.
Seri genişletme
.
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Öncelikle üstel fonksiyonun tanımını verelim.
Üstel fonksiyon $f\left(x\right)=a^x$, burada $a >1$.
$a >1$ için üstel fonksiyonun özelliklerini tanıtalım.
\ \[kök yok\] \
Koordinat eksenleriyle kesişim. Fonksiyon $Ox$ eksenini kesmez ancak $Oy$ eksenini $(0,1)$ noktasında keser.
$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$
\ \[kök yok\] \
Grafik (Şekil 1).
Şekil 1. $f\left(x\right)=a^x,\ fonksiyonunun\ a >1$ için grafiği.
Üstel fonksiyon $f\left(x\right)=a^x$, burada $0
Üstel fonksiyonun özelliklerini $0 olarak tanıtalım
Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- fonksiyon ne çift ne de tektir.
$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.
Değer aralığı $(0,+\infty)$ aralığıdır.
$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[kök yok\] \ \[kök yok\] \
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.
Etki alanının uçlarındaki davranış:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Grafik (Şekil 2).
Üstel bir fonksiyon oluşturmaya yönelik bir problem örneği
$y=2^x+3$ fonksiyonunu keşfedin ve grafiğini çizin.
Çözüm.
Yukarıdaki örnek diyagramı kullanarak bir çalışma yapalım:
Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- fonksiyon ne çift ne de tektir.
$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.
Değer aralığı $(3,+\infty)$ aralığıdır.
$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.
Tanımın tüm alanı boyunca $f(x)\ge 0$.
Koordinat eksenleriyle kesişim. Fonksiyon $Ox$ eksenini kesmez ancak $Oy$ eksenini ($0,4)$ noktasında keser.
$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.
Etki alanının uçlarındaki davranış:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Grafik (Şekil 3).
Şekil 3. $f\left(x\right)=2^x+3$ fonksiyonunun grafiği
Bilgi hipermarketi >>Matematik >>Matematik 10. sınıf >>
Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği
2x ifadesini ele alalım ve x değişkeninin çeşitli rasyonel değerleri için değerlerini bulalım, örneğin x = 2 için;
Genel olarak, x değişkenine hangi rasyonel anlamı yüklersek verelim, 2 x ifadesinin karşılık gelen sayısal değerini her zaman hesaplayabiliriz. Böylece üstel hakkında konuşabiliriz işlevler y=2 x, rasyonel sayıların Q kümesinde tanımlanır:
Bu fonksiyonun bazı özelliklerine bakalım.
Mülk 1.- artan fonksiyon. İspatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz.
İlk aşama. Eğer r pozitif bir rasyonel sayı ise 2 r >1 olduğunu kanıtlayalım.
İki durum mümkündür: 1) r - doğal sayı, r = n; 2) sıradan indirgenemez kesir,
Son eşitsizliğin sol tarafında ve sağ tarafında 1 var. Bu, son eşitsizliğin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:
Yani her durumda 2 r > 1 eşitsizliği geçerlidir ve bunun kanıtlanması gerekir.
İkinci aşama. x 1 ve x 2 sayılar olsun ve x 1 ve x 2 olsun< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(x 2 - x 1 farkını r harfiyle gösterdik).
r pozitif bir rasyonel sayı olduğundan, ilk aşamada kanıtlanmış olana göre 2 r > 1, yani. 2 r -1 >0. 2x" sayısı da pozitiftir, yani 2 x-1 (2 Г -1) çarpımı da pozitiftir. Böylece şunu kanıtlamış olduk: eşitsizlik 2 Xg -2x" >0.
Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Mülk 2. aşağıdan sınırlı, yukarıdan sınırlı değildir.
Fonksiyonun aşağıdan sınırlılığı, fonksiyonun tanım bölgesinden herhangi bir x değeri için geçerli olan 2 x >0 eşitsizliğinden kaynaklanır. Aynı zamanda, hangi pozitif M sayısını alırsanız alın, fonksiyonun yukarıdan sınırsızlığını karakterize eden 2 x >M eşitsizliğini sağlayacak şekilde her zaman bir x üssü seçebilirsiniz. Bir takım örnekler verelim.
Mülk 3. ne en küçük ne de en büyük değeri vardır.
Bu fonksiyonun sahip olmadığı şeyler en yüksek değer, çünkü az önce gördüğümüz gibi yukarıdan sınırlı değildir. Ama aşağıdan sınırlı, neden minimum bir değeri yok?
2 r'nin fonksiyonun en küçük değeri olduğunu varsayalım (r bir rasyonel göstergedir). Bir rasyonel sayı olan q'yu alalım<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Bütün bunlar iyi, diyorsunuz, ama neden y-2 x fonksiyonunu yalnızca rasyonel sayılar kümesinde ele alıyoruz, neden onu tüm sayı doğrusundaki veya sayı doğrusundaki herhangi bir sürekli aralıktaki bilinen diğer işlevler gibi düşünmüyoruz? sayı doğrusu? Bizi durduran ne? Durumu düşünelim.
Sayı doğrusu sadece rasyonel değil aynı zamanda irrasyonel sayıları da içerir. Daha önce çalışılan işlevler için bu bizi rahatsız etmedi. Örneğin, x'in hem rasyonel hem de irrasyonel değerleri için y = x2 fonksiyonunun değerlerini eşit derecede kolay bulduk: verilen x değerinin karesini almak yeterliydi.
Ancak y=2 x fonksiyonuyla durum daha karmaşıktır. Eğer x argümanına rasyonel bir anlam verilirse, o zaman prensipte x hesaplanabilir (tekrar paragrafın başına, tam olarak bunu yaptığımız yere dönün). Ya x argümanına irrasyonel bir anlam verilirse? Örneğin nasıl hesaplanır? Bunu henüz bilmiyoruz.
Matematikçiler bir çıkış yolu bulmuşlar; böyle mantık yürüttüler.
biliniyor ki 
Bir rasyonel sayı dizisini düşünün - bir sayının dezavantajlı ondalık yaklaşımları:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
1,732 = 1,7320 ve 1,732050 = 1,73205 olduğu açıktır. Bu tür tekrarlardan kaçınmak için dizinin 0 sayısıyla biten üyelerini atıyoruz.
Sonra artan bir dizi elde ederiz:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Buna göre sıra artar
Bu dizinin tüm terimleri 22'den küçük pozitif sayılardır; bu sıra sınırlıdır. Weierstrass teoremine göre (bkz. § 30), eğer bir dizi artan ve sınırlıysa, o zaman yakınsar. Ek olarak, § 30'dan biliyoruz ki, eğer bir dizi yakınsarsa, bunu yalnızca bir limite kadar yapar. Bu tek limitin sayısal bir ifadenin değeri olarak kabul edilmesi gerektiği konusunda fikir birliğine varıldı. Ve 2 sayısal ifadesinin yaklaşık değerini bile bulmanın çok zor olması önemli değil; bunun belirli bir sayı olması önemlidir (sonuçta, örneğin bunun rasyonel bir denklemin kökü olduğunu söylemekten korkmadık, 
Bu sayıların tam olarak ne olduğunu gerçekten düşünmeden trigonometrik bir denklemin kökü: 
Böylece matematikçilerin 2^ sembolüne ne anlam yüklediklerini bulduk. Benzer şekilde, a'nın ne olduğunu ve genel olarak ne olduğunu, a'nın irrasyonel bir sayı ve a > 1 olduğunu belirleyebilirsiniz.
Peki ya 0 ise<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Artık sadece keyfi rasyonel üslere sahip kuvvetlerden değil, aynı zamanda keyfi gerçek üslere sahip kuvvetlerden de bahsedebiliriz. Herhangi bir gerçek üslü derecelerin, derecelerin tüm olağan özelliklerine sahip olduğu kanıtlanmıştır: aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken, üsler toplanır, bölünürken çıkarılır, bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken çarpılır, vesaire. Ama en önemlisi artık tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlanan y-ekseni fonksiyonundan bahsedebiliriz.
y = 2 x fonksiyonuna dönelim ve grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için y=2x fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım:
Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 194), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 195).
y - 2 x fonksiyonunun özellikleri:
1)
2) ne çift ne de tektir; 248
3) artışlar;
5) ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.
Y-2 x fonksiyonunun listelenen özelliklerinin kesin kanıtları yüksek matematik dersinde verilmektedir. Bu özelliklerin bazılarını daha önce bir dereceye kadar tartıştık, bazıları oluşturulan grafikte açıkça gösterilmiştir (bkz. Şekil 195). Örneğin, bir fonksiyonun eşlik veya tuhaflığının olmaması, grafiğin sırasıyla y eksenine veya orijine göre simetri eksikliğiyle geometrik olarak ilişkilidir.
a > 1 olmak üzere y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir. İncirde. 196 adet tek koordinat sistemi oluşturulmuş olup, y=2 x, y=3 x, y=5 x fonksiyonlarının grafikleri oluşturulmuştur.
Şimdi fonksiyonu ele alalım ve onun için bir değerler tablosu oluşturalım:
Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 197), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 198).
Fonksiyon Özellikleri
1)
2) ne çift ne de tektir;
3) azalır;
4) yukarıdan sınırlı değil, aşağıdan sınırlı;
5) ne en büyük ne de en küçük değer vardır;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.
y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir; burada O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Lütfen dikkat: fonksiyon grafikleri 
onlar. y=2 x, y eksenine göre simetriktir (Şekil 201). Bu, genel ifadenin bir sonucudur (bkz. § 13): y = f(x) ve y = f(-x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir. Benzer şekilde y = 3 x ve fonksiyonlarının grafikleri
Söylenenleri özetlemek için üstel fonksiyonun bir tanımını vereceğiz ve onun en önemli özelliklerini vurgulayacağız.
Tanım. Formun bir fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
Üstel fonksiyonun temel özellikleri y = a x
a>1 için y=ax fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 201 ve 0 için<а < 1 - на рис. 202.
Şekil 2'de gösterilen eğri. 201 veya 202'ye üs denir. Aslında matematikçiler üstel fonksiyonun kendisine genellikle y = a x adını verirler. Dolayısıyla "üs" terimi iki anlamda kullanılır: hem üstel fonksiyonu adlandırmak için hem de üstel fonksiyonun grafiğini adlandırmak için. Genellikle üstel bir fonksiyondan mı yoksa grafiğinden mi bahsettiğimizin anlamı açıktır.
Üstel fonksiyon y=ax'in grafiğinin geometrik özelliğine dikkat edin: x ekseni grafiğin yatay asimptotudur. Doğru, bu ifade genellikle şu şekilde açıklığa kavuşturulur.
X ekseni, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur
Başka bir deyişle
İlk önemli not. Okul çocukları sıklıkla terimleri karıştırır: güç fonksiyonu, üstel fonksiyon. Karşılaştırmak:
Bunlar güç fonksiyonlarının örnekleridir; 
Bunlar üstel fonksiyon örnekleridir.
Genel olarak, r'nin belirli bir sayı olduğu y = x r, bir kuvvet fonksiyonudur (x argümanı derecenin tabanında yer alır);
y = a", burada a belirli bir sayıdır (pozitif ve 1'den farklı), üstel bir fonksiyondur (x argümanı üste dahildir).
Y = x" gibi "egzotik" bir fonksiyon ne üstel ne de kuvvet olarak kabul edilir (bazen üstel olarak da adlandırılır).
İkinci önemli not. Genellikle a tabanı = 1 olan veya a eşitsizliğini sağlayan a tabanına sahip bir üstel fonksiyon dikkate alınmaz.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 ve a Gerçek şu ki, eğer a = 1 ise, o zaman x'in herhangi bir değeri için Ix = 1 eşitliği sağlanır. Böylece, a = 1 ile üstel fonksiyon y = a", sabit bir y = 1 fonksiyonuna "yozlaşır" - bu Eğer a = 0 ise, x'in herhangi bir pozitif değeri için 0x = 0 olur, yani x > 0 için tanımlanan y = 0 fonksiyonunu elde ederiz - bu da ilgi çekici değildir.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Örneklerin çözümüne geçmeden önce üstel fonksiyonun şu ana kadar incelediğiniz tüm fonksiyonlardan önemli ölçüde farklı olduğunu unutmayın. Yeni bir nesneyi iyice incelemek için onu farklı açılardan, farklı durumlarda düşünmeniz gerekir, bu nedenle birçok örnek olacaktır.
Örnek 1.
Çözüm, a) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (0; 1) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 1 denkleminin tek bir x =0 köküne sahip olduğu anlamına gelir.
Yani 2x = 2° denkleminden x = 0 elde ederiz.
b) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 4 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (2; 4) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 4 denkleminin tek bir x = 2 köküne sahip olduğu anlamına gelir.
Yani 2 x = 2 2 denkleminden x = 2 elde ederiz.
c) ve d) Aynı değerlendirmelere dayanarak, 2 x = 8 denkleminin tek bir köke sahip olduğu ve bunu bulmak için karşılık gelen fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasına gerek olmadığı sonucuna varıyoruz;
2 3 = 8 olduğundan x = 3 olduğu açıktır. Benzer şekilde denklemin tek kökünü buluyoruz
Yani 2x = 2 3 denkleminden x = 3, 2 x = 2 x denkleminden ise x = -4 elde ettik.
e) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, x > 0 için y = 1 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır - bu, Şekil 2'de açıkça okunabilir. 203. Bu, 2x > 1 eşitsizliğinin çözümünün aralık olduğu anlamına gelir
f) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, y = 4 fonksiyonunun x noktasındaki grafiğinin altında yer alır.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Örnek 1'i çözerken yapılan tüm sonuçların temelinin, y = 2 x fonksiyonunun monotonluk (artış) özelliği olduğunu muhtemelen fark etmişsinizdir. Benzer akıl yürütme aşağıdaki iki teoremin geçerliliğini doğrulamamızı sağlar.
Çözüm.Şu şekilde ilerleyebilirsiniz: y-3 x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun, ardından onu x ekseninden 3 kat kadar uzatın ve ardından elde edilen grafiği 2 ölçek birim yukarı yükseltin. Ancak 3- 3* = 3 * + 1 gerçeğini kullanmak ve dolayısıyla y = 3 x * 1 + 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak daha uygundur.
Bu gibi durumlarda birçok kez yaptığımız gibi, başlangıç noktası (-1; 2) olan yardımcı koordinat sistemine geçelim - Şekil 2'deki noktalı çizgiler x = - 1 ve 1x = 2. 207. y=3* fonksiyonunu yeni koordinat sistemine bağlayalım. Bunu yapmak için fonksiyona yönelik kontrol noktalarını seçin 
, ancak bunları eski değil, yeni koordinat sisteminde oluşturacağız (bu noktalar Şekil 207'de işaretlenmiştir). Daha sonra noktalardan bir üs oluşturacağız - bu gerekli grafik olacaktır (bkz. Şekil 207).
Belirli bir fonksiyonun [-2, 2] segmentindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için, verilen fonksiyonun artıyor olmasından yararlanırız ve bu nedenle sırasıyla en küçük ve en büyük değerlerini alırız. Segmentin sol ve sağ uçları.
Bu yüzden:
Örnek 4. Denklem ve eşitsizlikleri çözün:
Çözüm, a) y=5* ve y=6-x fonksiyonlarının grafiklerini tek koordinat sisteminde oluşturalım (Şekil 208). Bir noktada kesişiyorlar; çizime bakılırsa bu nokta (1; 5). Kontrol, aslında (1; 5) noktasının hem y = 5* denklemini hem de y = 6-x denklemini karşıladığını göstermektedir. Bu noktanın apsisi verilen denklemin tek kökü görevi görür.
Yani 5 x = 6 - x denkleminin tek kökü x = 1'dir.
b) ve c) y-5x üssü y=6-x düz çizgisinin üzerinde yer alır, eğer x>1 ise, bu Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 208. Bu, 5*>6 eşitsizliğinin çözümünün şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: x>1. Ve 5x eşitsizliğinin çözümü<6 - х можно записать так: х < 1.
Cevap: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
Örnek 5. Bir fonksiyon verildiğinde 
Kanıtla 
Çözüm. Elimizdeki şarta göre.
