Harmonik titreşimler
Fonksiyon grafikleri F(X) = günah( X) Ve G(X) = çünkü( X) Kartezyen düzlemde.
Harmonik salınım- sinüzoidal veya kosinüs yasasına göre fiziksel (veya başka herhangi bir) miktarın zaman içinde değiştiği salınımlar. Harmonik salınımların kinematik denklemi şu şekildedir:
,Nerede X- t zamanında salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesi (sapması); A- salınımların genliği, bu salınım noktasının denge konumundan maksimum sapmasını belirleyen değerdir; ω - döngüsel frekans, 2π saniye içerisinde meydana gelen tam salınımların sayısını gösteren bir değer, - salınımların tam fazı, - salınımların başlangıç fazı.
Diferansiyel formda genelleştirilmiş harmonik salınım
(Bu diferansiyel denklemin önemsiz olmayan herhangi bir çözümü, döngüsel frekansa sahip harmonik bir salınımdır)
Titreşim türleri
Harmonik harekette yer değiştirme, hız ve ivmenin zaman içindeki değişimi
- Serbest titreşimler Sistem denge konumundan çıkarıldıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında gerçekleştirilir. Serbest salınımların harmonik olması için, salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve içinde enerji kaybının olmaması gerekir (ikincisi zayıflamaya neden olur).
- Zorlanmış titreşimler harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında gerçekleştirilir. Harmonik olmaları için salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve dış kuvvetin kendisinin zaman içinde harmonik bir salınım olarak değişmesi (yani bu kuvvetin zamana bağımlılığının sinüzoidal olması) yeterlidir. .
Başvuru
Harmonik titreşimler aşağıdaki nedenlerden dolayı diğer tüm titreşim türlerinden ayrılır:
Ayrıca bakınız
Notlar
Edebiyat
- Fizik. İlköğretim fizik ders kitabı / Ed. G. S. Lansberg. - 3. baskı. - M., 1962. - T.3.
- Khaikin S.E. Mekaniğin fiziksel temelleri. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Mekaniğin fiziksel temelleri. - Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
- Görelik G.S. Salınımlar ve dalgalar. Akustik, radyofizik ve optiğe giriş. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 s.
Wikimedia Vakfı. 2010.
- Malbork Komünü
- Afrika halkları
Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın:
HARMONİK TİTREŞİMLER Modern ansiklopedi
Harmonik titreşimler- HARMONİK TİTREŞİMLER, sinüs kanununa göre fiziksel bir nicelikte meydana gelen periyodik değişikliklerdir. Grafiksel olarak harmonik salınımlar sinüzoidal bir eğri ile temsil edilir. Harmonik salınımlar, periyodik hareketlerin en basit türüdür. Resimli Ansiklopedik Sözlük
Harmonik titreşimler- Sinüs veya kosinüs kanununa göre fiziksel bir miktarın zamanla değiştiği salınımlar. Grafiksel olarak GK'ler kavisli sinüs dalgası veya kosinüs dalgasıyla temsil edilir (şekle bakın); şu şekilde yazılabilirler: x = Asin (ωt + φ) veya x... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
HARMONİK TİTREŞİMLER- HARMONİK TİTREŞİMLER, SARKACIN hareketi gibi periyodik hareketler, atomik titreşimler veya bir elektrik devresindeki salınımlar. Bir cisim bir çizgi boyunca salındığında sönümsüz harmonik salınımlar gerçekleştirir, aynı şekilde hareket eder... ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük
HARMONİK TİTREŞİMLER- fiziksel olan titreşimler (veya herhangi bir başka) miktar sinüzoidal bir yasaya göre zaman içinde değişir: x=Asin(wt+j), burada x, belirli bir zamanda dalgalanan miktarın değeridir. t zaman anı (mekanik G.K. için, örneğin yer değiştirme veya hız, ... ... için) Fiziksel ansiklopedi
harmonik titreşimler- Genelleştirilmiş koordinatın ve (veya) genelleştirilmiş hızın, zamana doğrusal olarak bağlı bir argümanla sinüsle orantılı olarak değiştiği mekanik salınımlar. [Önerilen terimlerin toplanması. Sayı 106. Mekanik titreşimler. Bilimler Akademisi… Teknik Çevirmen Kılavuzu
HARMONİK TİTREŞİMLER- fiziksel olan titreşimler (veya başka herhangi bir) miktar sinüzoidal bir yasaya göre zaman içinde değişir; burada x, t zamanındaki salınım miktarının değeridir (mekanik hidrolik sistemler için, örneğin yer değiştirme ve hız, elektrik voltajı ve akım gücü için) ... Fiziksel ansiklopedi
HARMONİK TİTREŞİMLER- (bkz.), hangi fiziksel. bir miktar sinüs veya kosinüs yasasına göre zamanla değişir (örneğin, salınım sırasındaki değişiklikler (bkz.) ve hız (bkz.) veya değişiklikler (bkz.) ve elektrik devreleri sırasındaki akım gücü) ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
HARMONİK TİTREŞİMLER- yasaya göre t zamanında x salınım değerindeki bir değişiklik (örneğin sarkacın denge konumundan sapması, alternatif akım devresindeki voltaj vb.) ile karakterize edilir: x = Asin (?t) + ?), burada A harmonik salınımların genliğidir, ? köşe... ... Büyük Ansiklopedik Sözlük
Harmonik titreşimler- 19. Harmonik salınımlar Salınım miktarının değerlerinin zamanla yasaya göre değiştiği salınımlar Kaynak ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı
HARMONİK TİTREŞİMLER- periyodik Zamanın fiziksel olarak değiştiği dalgalanmalar. miktarlar sinüs veya kosinüs kanununa göre oluşur (şekle bakın): s = Аsin(wt+ф0), burada s, salınan miktarın ortalamasından sapmasıdır. (denge) değeri, A=sabit genlik, w=sabit dairesel... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü
Dış, periyodik olarak değişen kuvvetlerin etkisi altında ortaya çıkan salınımlar (dışarıdan salınım sistemine periyodik enerji beslemesi ile)
Enerji dönüşümü
Yaylı sarkaç
Döngüsel frekans ve salınım periyodu sırasıyla eşittir:
Tamamen elastik bir yaya tutturulmuş maddi bir nokta
Ø Bir yay sarkacının potansiyel ve kinetik enerjisinin x koordinatına bağımlılığının grafiği.
Ø kinetik ve potansiyel enerjinin zamana karşı niteliksel grafikleri.
Ø Zoraki
Ø Zorlanmış salınımların frekansı dış kuvvetteki değişimin frekansına eşittir
Ø Eğer Fbc sinüs veya kosinüs kanununa göre değişirse, zorlanmış salınımlar harmonik olacaktır.
Ø Kendi kendine salınımlarla, salınım sistemi içerisinde periyodik olarak kendi kaynağından enerji sağlanması gerekir.
Harmonik salınımlar, salınım miktarının sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla değiştiği salınımlardır.
harmonik salınım denklemleri (noktaların hareket yasaları) şu şekildedir:
Harmonik titreşimler
yasaya göre salınım miktarının zamanla değiştiği bu tür salınımlara denirsinüs
veyakosinüs
.
Harmonik Denklem şu forma sahiptir:
,
burada bir - titreşim genliği
(sistemin denge konumundan en büyük sapmasının büyüklüğü); -dairesel (döngüsel) frekans.
Kosinüsün periyodik olarak değişen argümanına denir salınım aşaması
. Salınım fazı, salınım miktarının belirli bir t zamanında denge konumundan yer değiştirmesini belirler. φ sabiti t = 0 anındaki faz değerini temsil eder ve denir. salınımın başlangıç aşaması
. Başlangıç aşamasının değeri referans noktasının seçimiyle belirlenir. X değeri -A'dan +A'ya kadar değişen değerler alabilir.
Salınım sisteminin belirli durumlarının tekrarlandığı T zaman aralığı, salınım periyodu denir
. Kosinüs, 2π periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur, bu nedenle, T süresi boyunca, salınım fazı 2π'ye eşit bir artış alacaktır, harmonik salınımlar gerçekleştiren sistemin durumu tekrarlanacaktır. Bu T zaman periyoduna harmonik salınım periyodu denir.
Harmonik salınımların periyodu eşittir
: T = 2π/.
Birim zamandaki salınım sayısına denir titreşim frekansı
ν.
Harmonik frekans
şuna eşittir: ν = 1/T. Frekans birimi hertz(Hz) - saniyede bir salınım.
Dairesel frekans = 2π/T = 2πν 2π saniyedeki salınım sayısını verir.
Diferansiyel formda genelleştirilmiş harmonik salınım
Grafiksel olarak harmonik salınımlar x'in t'ye bağımlılığı olarak gösterilebilir (Şekil 1.1.A) ve dönen genlik yöntemi (vektör diyagramı yöntemi)(Şekil 1.1.B) .
Dönen genlik yöntemi, harmonik titreşim denkleminde yer alan tüm parametreleri görselleştirmenize olanak tanır. Aslında, eğer genlik vektörü A x eksenine φ açısıyla yerleştirildiğinde (bkz. Şekil 1.1.B), bu durumda x eksenine izdüşümü şuna eşit olacaktır: x = Acos(φ). φ açısı başlangıç fazıdır. Eğer vektör A salınımların dairesel frekansına eşit bir açısal hızla dönmeye başlarsa, vektörün ucunun izdüşümü x ekseni boyunca hareket edecek ve -A ile +A arasında değişen değerler alacak ve bu izdüşümün koordinatı kanuna göre zaman içinde değişiklik:
.
Böylece, vektörün uzunluğu harmonik salınımın genliğine eşittir, vektörün ilk andaki yönü, x ekseni ile salınımların başlangıç fazına φ eşit bir açı oluşturur ve yön açısındaki değişiklik zamanla harmonik salınımların fazına eşittir. Genlik vektörünün bir tam dönüş yaptığı süre, harmonik salınımların T periyoduna eşittir. Saniyedeki vektör devir sayısı salınım frekansına ν eşittir.
En basit salınım türü harmonik titreşimler- salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesinin sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla değiştiği salınımlar.
Böylece, topun bir daire içinde düzgün bir şekilde dönmesiyle, projeksiyonu (paralel ışık ışınlarındaki gölge) dikey bir ekran üzerinde harmonik bir salınım hareketi gerçekleştirir (Şekil 13.2).
Harmonik titreşimler sırasında denge konumundan yer değiştirme, aşağıdaki formdaki bir denklemle (buna harmonik hareketin kinematik yasası denir) tanımlanır:
\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) veya \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)
Nerede X- yer değiştirme - salınan bir noktanın belirli bir andaki konumunu karakterize eden bir miktar T denge konumuna göre ve belirli bir zaman noktasında denge konumundan noktanın konumuna kadar olan mesafeyle ölçülür; A- salınımların genliği - vücudun denge konumundan maksimum yer değiştirmesi; T- salınım periyodu - bir tam salınımı tamamlamak için gereken süre; onlar. salınımı karakterize eden fiziksel büyüklüklerin değerlerinin tekrarlandığı en kısa süre; \(\varphi_0\) - başlangıç aşaması; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - zamanda salınım fazı T. Salınım aşaması, belirli bir salınım genliği için vücudun salınım sisteminin durumunu (yer değiştirme, hız, ivme) herhangi bir zamanda belirleyen periyodik bir fonksiyonun bir argümanıdır.
Eğer zamanın ilk anında t0 = 0 salınım noktası denge konumundan maksimum düzeyde kaydırılır, bu durumda \(\varphi_0 = 0\) ve noktanın denge konumundan yer değiştirmesi yasaya göre değişir
\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)
Eğer t 0 = 0 noktasında salınan bir nokta kararlı bir denge konumunda ise, bu durumda noktanın denge konumundan yer değiştirmesi kanuna göre değişir.
\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)
Boyut V periyodun tersine ve 1 saniyede tamamlanan tam salınım sayısına eşit olana denir salınım frekansı:
\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI'de frekansın birimi hertzdir, 1Hz = 1s -1).
Eğer zaman içinde T vücut bunu yapar N tam bir tereddüt, o zaman
\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)
Vücudun 2 \(\pi\)'de kaç salınım yaptığını gösteren \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) miktarı İle, isminde döngüsel (dairesel) frekans.
Harmonik hareketin kinematik yasası şu şekilde yazılabilir:
\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)
Grafiksel olarak, salınımlı bir noktanın yer değiştirmesinin zamana bağımlılığı bir kosinüs dalgası (veya sinüs dalgası) ile temsil edilir.
Şekil 13.3a, \(\varphi_0=0\) durumu için salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesinin zamana bağımlılığının bir grafiğini gösterir; \(~x=A\cos \omega t.\)
Salınım yapan bir noktanın hızının zamanla nasıl değiştiğini öğrenelim. Bunu yapmak için bu ifadenin zamana göre türevini buluyoruz:
\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)
burada \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) eksen üzerindeki hız projeksiyonunun genliğidir X.
Bu formül, harmonik salınımlar sırasında, cismin hızının x eksenine izdüşümünün de harmonik bir yasaya göre aynı frekansta, farklı bir genlikte değiştiğini ve fazdaki yer değiştirmenin \(\frac(\) kadar ilerisinde olduğunu gösterir. pi)(2)\) (Şekil 13.3 , b).
İvmenin bağımlılığını bulmak için balta(t) Hız projeksiyonunun zamana göre türevini bulalım:
\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)
burada \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) eksen üzerindeki ivme projeksiyonunun genliğidir X.
Harmonik titreşimler için projeksiyon hızlanma faz kaymasını k kadar ilerletir (Şekil 13.3, c).
Benzer şekilde, \(~x = A \sin \omega t\) \('de ise \(~x(t), \upsilon_x (t)\) ve \(~a_x(t),\) bağımlılıklarını çizebilirsiniz. \varphi_0 =0.\)
\(A \cos \omega t = x\) dikkate alındığında ivme formülü yazılabilir
\(~a_x = - \omega^2 x,\)
onlar. Harmonik salınımlarda ivme projeksiyonu yer değiştirmeyle doğru orantılıdır ve işaret olarak zıttır, yani. ivme yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilir.
Yani ivme projeksiyonu yer değiştirmenin ikinci türevidir. ve x =x" " ise ortaya çıkan ilişki şu şekilde yazılabilir:
\(~a_x + \omega^2 x = 0\) veya \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)
Son eşitliğe denir Harmonik titreşimlerin denklemi.
Harmonik salınımların olabileceği fiziksel sisteme denir harmonik osilatör, ve harmonik titreşimlerin denklemi harmonik osilatör denklemi.
Edebiyat
Aksenovich L. A. Ortaokulda fizik: Teori. Görevler. Testler: Ders Kitabı. Genel eğitim veren kurumlar için ödenek. çevre, eğitim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - S. 368-370.
Herhangi bir miktardaki değişiklikler sinüs veya kosinüs yasaları kullanılarak tanımlanır, bu tür salınımlara harmonik denir. Bir kapasitör (devreye dahil edilmeden önce şarj edilmiş) ve bir indüktörden oluşan bir devreyi düşünelim (Şekil 1).
Resim 1.
Harmonik titreşim denklemi şu şekilde yazılabilir:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
burada $t$ zamandır; $q$ ücret, $q_0$-- değişiklikler sırasında ücretin ortalama (sıfır) değerinden maksimum sapması; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- salınım aşaması; $(\alpha )_0$- başlangıç aşaması; $(\omega )_0$ - döngüsel frekans. Dönem boyunca faz 2 $\pi $ kadar değişir.
Formun denklemi:
Aktif direnç içermeyecek bir salınım devresi için diferansiyel formdaki harmonik salınımların denklemi.
Her türlü periyodik salınım, harmonik seri adı verilen harmonik salınımların toplamı olarak doğru bir şekilde temsil edilebilir.
Bir bobin ve bir kapasitörden oluşan bir devrenin salınım periyodu için Thomson formülünü elde ederiz:
İfadenin (1) zamana göre türevini alırsak, $I(t)$ fonksiyonunun formülünü elde edebiliriz:
Kapasitör üzerindeki voltaj şu şekilde bulunabilir:
Formüller (5) ve (6)'dan, akım gücünün kapasitördeki voltajın $\frac(\pi )(2) kadar önünde olduğu sonucu çıkar.
Harmonik salınımlar hem denklemler, fonksiyonlar hem de vektör diyagramları şeklinde temsil edilebilir.
Denklem (1) serbest sönümsüz salınımları temsil eder.
Sönümlü Salınım Denklemi
Direnç (Şekil 2) dikkate alınarak devredeki kapasitör plakalarındaki yükteki değişiklik ($q$), aşağıdaki formdaki diferansiyel denklemle tanımlanacaktır:
Şekil 2.
Devrenin parçası olan direnç $R\
burada $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ döngüsel salınım frekansıdır. $\beta =\frac(R)(2L)-$sönüm katsayısı. Sönümlü salınımların genliği şu şekilde ifade edilir:
$t=0$'da kondansatörün yükü $q=q_0$'a eşitse ve devrede akım yoksa, o zaman $A_0$ için şunu yazabiliriz:
Zamanın ilk anında ($(\alpha )_0$) salınımların fazı şuna eşittir:
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ olduğunda yükteki değişiklik bir salınım olmadığında, kapasitörün deşarjına periyodik olmayan denir.
örnek 1
Egzersiz yapmak: Maksimum ücret değeri $q_0=10\ C$'dır. $T= 5 s$ periyodunda harmonik olarak değişmektedir. Mümkün olan maksimum akımı belirleyin.
Çözüm:
Sorunu çözmek için temel olarak kullanıyoruz:
Akım gücünü bulmak için ifade (1.1)'in zamana göre farklılaştırılması gerekir:
burada mevcut gücün maksimumu (genlik değeri) şu ifadedir:
Sorunun koşullarından yükün genlik değerini biliyoruz ($q_0=10\ C$). Salınımların doğal frekansını bulmalısınız. Bunu şu şekilde ifade edelim:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
Bu durumda istenilen değer (1.3) ve (1.2) denklemleri kullanılarak şu şekilde bulunacaktır:
Problem koşullarındaki tüm miktarlar SI sisteminde sunulduğundan hesaplamaları yapacağız:
Cevap:$I_0=12,56\ A.$
Örnek 2
Egzersiz yapmak: Bir indüktör $L=1$H ve bir kondansatör içeren bir devrede, devredeki akım gücü şu yasaya göre değişirse, salınımın periyodu nedir: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Kapasitörün kapasitansı nedir?
Çözüm:
Sorunun koşullarında verilen mevcut dalgalanmalar denkleminden:
$(\omega )_0=20\pi $ olduğunu görüyoruz, dolayısıyla Salınım periyodunu aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
\ \
Bir indüktör ve bir kapasitör içeren bir devre için Thomson'un formülüne göre elimizde:
Kapasiteyi hesaplayalım:
Cevap:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
