Herhangi bir dili kullanarak aynı bilgiyi farklı kelime ve ifadelerle ifade edebilirsiniz. Matematik dili bir istisna değildir. Ancak aynı ifade aynı şekilde farklı şekillerde de yazılabilir. Bazı durumlarda girdilerden biri daha basittir. Bu dersimizde ifadeleri sadeleştirme hakkında konuşacağız.

İnsanlar iletişim kurar farklı diller. Bizim için önemli bir karşılaştırma “Rus dili - matematik dili” çiftidir. Aynı bilgiler farklı dillerde iletilebilir. Ancak bunun yanı sıra aynı dilde farklı şekillerde de telaffuz edilebilir.

Örneğin: "Petya Vasya ile arkadaştır", "Vasya Petya ile arkadaştır", "Petya ve Vasya arkadaştır". Farklı söyledi ama aynı şey. Bu ifadelerin herhangi birinden neden bahsettiğimizi anlarız.

Şu ifadeye bakalım: "Petya oğlan ve Vasya oğlan arkadaş." Ne demek istediğimizi anlıyoruz Hakkında konuşuyoruz. Ancak bu ifadenin tonu hoşumuza gitmiyor. Bunu basitleştiremez miyiz, aynı şeyi ama daha basit diyebilir miyiz? "Oğlan ve oğlan" - bir kez şunu söyleyebilirsiniz: "Oğlanlar Petya ve Vasya arkadaştır."

“Erkekler”... Kız olmadıkları isimlerinden anlaşılmıyor mu? "Oğlanları" kaldırıyoruz: "Petya ve Vasya arkadaş." Ve "arkadaşlar" kelimesi "arkadaşlar" ile değiştirilebilir: "Petya ve Vasya arkadaştır." Sonuç olarak, ilk, uzun, çirkin ifadenin yerini, söylemesi ve anlaması daha kolay, eşdeğer bir ifade aldı. Bu ifadeyi basitleştirdik. Basitleştirmek, daha basit bir şekilde söylemek, ancak anlamı kaybetmemek veya çarpıtmak anlamına gelir.

Matematik dilinde de kabaca aynı şey olur. Aynı şey farklı şekilde yazılarak söylenebilir. Bir ifadeyi basitleştirmek ne anlama gelir? Bu, orijinal ifade için birçok eşdeğer ifadenin, yani aynı anlama gelen ifadelerin olduğu anlamına gelir. Ve tüm bu çeşitlilik arasından bize göre en basitini veya sonraki amaçlarımız için en uygun olanı seçmeliyiz.

Örneğin sayısal ifadeyi düşünün. 'a eşdeğer olacaktır.

Aynı zamanda ilk ikisine de eşdeğer olacaktır: .

İfadelerimizi sadeleştirdiğimiz ve en kısa eşdeğer ifadeyi bulduğumuz ortaya çıktı.

Sayısal ifadeler için her zaman her şeyi yapmanız ve eşdeğer ifadeyi tek sayı olarak almanız gerekir.

Bir gerçek ifade örneğine bakalım . Açıkçası daha basit olacak.

Gerçek ifadeleri basitleştirirken mümkün olan tüm eylemleri gerçekleştirmek gerekir.

Bir ifadeyi basitleştirmek her zaman gerekli midir? Hayır, bazen eşdeğer ama daha uzun bir giriş yapmak bizim için daha uygun olabilir.

Örnek: Bir sayıdan bir sayı çıkarmanız gerekir.

Hesaplamak mümkündür, ancak ilk sayı eşdeğer notasyonuyla temsil edilseydi: o zaman hesaplamalar anlık olurdu: .

Yani basitleştirilmiş bir ifade, ilerideki hesaplamalarda her zaman işimize yaramıyor.

Bununla birlikte, sıklıkla "ifadeyi basitleştirme" gibi görünen bir görevle karşı karşıya kalıyoruz.

Ifadeyi basitleştir: .

Çözüm

1) Birinci ve ikinci parantezdeki eylemleri gerçekleştirin: .

2) Çarpımları hesaplayalım: .

Açıkçası, son ifade ilk ifadeden daha basit bir forma sahiptir. Bunu basitleştirdik.

İfadeyi basitleştirmek için eşdeğer (eşit) ile değiştirilmelidir.

İhtiyacınız olan eşdeğer ifadeyi belirlemek için:

1) mümkün olan tüm eylemleri gerçekleştirin,

2) hesaplamaları basitleştirmek için toplama, çıkarma, çarpma ve bölme özelliklerini kullanır.

Toplama ve çıkarmanın özellikleri:

1. Toplamanın değişme özelliği: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez.

2. Toplamanın birleştirici özelliği: İki sayının toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncü sayıların toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz.

3. Bir sayıdan toplam çıkarma özelliği: Bir sayıdan toplam çıkarmak için her terimi ayrı ayrı çıkarabilirsiniz.

Çarpma ve bölmenin özellikleri

1. Çarpmanın değişme özelliği: çarpanların yeniden düzenlenmesi sonucu değiştirmez.

2. Birleşimsel özellik: Bir sayıyı iki sayının çarpımı ile çarpmak için, önce onu birinci faktörle çarpabilir, ardından elde edilen ürünü ikinci faktörle çarpabilirsiniz.

3. Çarpmanın dağılma özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için onu her terimle ayrı ayrı çarpmanız gerekir.

Zihinsel hesaplamaları gerçekte nasıl yaptığımızı görelim.

Hesaplamak:

Çözüm

1) Nasıl olduğunu hayal edelim

2) Birinci çarpanı bit terimlerinin toplamı olarak düşünelim ve çarpma işlemini yapalım:

3) çarpma işlemini nasıl ve gerçekleştireceğinizi hayal edebilirsiniz:

4) İlk faktörü eşdeğer bir toplamla değiştirin:

Dağıtım kanunu şu durumlarda da kullanılabilir: ters taraf: .

Bu adımları takip et:

1) 2)

Çözüm

1) Kolaylık sağlamak için, dağıtım yasasını kullanabilirsiniz, yalnızca ters yönde kullanın - ortak faktörü parantezlerden çıkarın.

2) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım

Mutfak ve koridor için muşamba satın almak gereklidir. Mutfak alanı - , koridor - . Üç tür linolyum vardır: için ve ruble için. Üç tür linolyumun her birinin maliyeti ne kadar olacak? (Şekil 1)

Pirinç. 1. Sorun bildirimi için örnek resim

Çözüm

Yöntem 1. Mutfak için muşamba satın almanın ne kadar paraya mal olacağını ayrı ayrı öğrenebilir ve ardından koridora koyup elde edilen ürünleri toplayabilirsiniz.

İlk seviye

İfadeleri Dönüştürme. Ayrıntılı teori (2019)

İfadeleri Dönüştürme

Sık sık şu hoş olmayan ifadeyi duyarız: "ifadeyi basitleştirin." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:

“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.

Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim. Üstelik dersin sonunda, bu örneği (sadece!) sıradan bir sayıya (evet, bu harflerin canı cehenneme) basitleştireceksiniz.

Ancak bu derse başlamadan önce kesirleri ve çarpan polinomlarını ele alabilmeniz gerekir. Bu nedenle öncelikle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.

Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.

Temel basitleştirme işlemleri

Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.

En basit olanı

1. Benzerlerini getirmek

Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız. Aynı harf kısmına sahip terimler (tek terimliler) benzerdir. Örneğin, toplamda benzer terimler ve'dir.

Hatırlıyor musun?

Benzer getirmek, birkaç benzer terimi birbirine eklemek ve bir terim elde etmek anlamına gelir.

Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.

Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır. Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir? İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .

Şimdi şu ifadeyi deneyin: .

Karışıklığı önlemek için farklı harflerin farklı nesneleri temsil etmesine izin verin. Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır. Daha sonra:

sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar

Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar. Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.

Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:

Örnekler:

Benzerlerini verin:

Yanıtlar:

2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).

2. Çarpanlara ayırma

Bu genellikle en önemli kısımİfadelerin basitleştirilmesinde. Benzerlerini verdikten sonra çoğu zaman ortaya çıkan ifadenin çarpanlara ayrılması yani bir ürün olarak sunulması gerekiyor. Bu özellikle kesirlerde önemlidir: Bir kesri azaltabilmek için pay ve paydanın çarpım olarak temsil edilmesi gerekir.

İfadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini “” konusunda ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli. Bunu yapmak için birkaç tanesine karar verin örnekler(çarpanlara ayrılması gerekir):

Çözümler:

3. Bir kesirin azaltılması.

Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?

Küçülmenin güzelliği bu.

Basit:

Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.

Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:

Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.

Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:

1) pay ve payda çarpanlara ayırmak

2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.

Sanırım prensip açık mı?

Bir şeye dikkatinizi çekmek isterim tipik hata sözleşme yaparken. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.

Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.

Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.

Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.

Başka bir örnek: azaltın.

“En akıllı” bunu yapacaktır: .

Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.

Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.

İşte başka bir örnek: .

Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:

Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:

Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:

Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir. Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır). Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.

Birleştirmek için birkaçını kendiniz çözün örnekler:

Yanıtlar:

1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Birimleri bu şekilde "azaltmak" hâlâ yeterli değildi:

İlk adım çarpanlara ayırma olmalıdır:

4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.

Sıradan kesirleri eklemek ve çıkarmak tanıdık bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız. Hatırlayalım:

Yanıtlar:

1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:

2. Burada ortak payda:

3. Buradaki ilk şey karışık kesirler bunları yanlış olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan düzeni izliyoruz:

Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:

Basit bir şeyle başlayalım:

a) Paydalar harf içermez

Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak paydayı buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız:

Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlara ayırabilirsiniz:

Kendin dene:

b) Paydalar harflerden oluşur

Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:

· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;

· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;

· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:

Ortak faktörleri vurgulayalım:

Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:

Bu ortak paydadır.

Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:

· paydaları çarpanlara ayırın;

· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;

· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;

· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Yani sırasıyla:

1) paydaları çarpanlara ayırın:

2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:

3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:

Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:

Bu arada, bir hile var:

Örneğin: .

Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergelere sahip. Ortak payda şu şekilde olacaktır:

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar.

Görevi karmaşıklaştıralım:

Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?

Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:

Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!

Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?

İşte sarsılmaz bir kural daha:

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!

Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?

Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:

Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz. Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.

Peki ya ifade? Temel mi?

Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:

(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).

Dolayısıyla harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.

Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).

Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:

Harika! Daha sonra:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:

Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:

Öyleyse yazalım:

Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.

Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:

Anladım? Şimdi kontrol edelim.

Bağımsız çözüm için görevler:

Yanıtlar:

Burada bir şeyi daha hatırlamamız gerekiyor: küplerin farkı:

Lütfen ikinci kesrin paydasının “toplamın karesi” formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünecektir: .

A, toplamın eksik karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonuncunun çarpımıdır, onların çifte çarpımı değil. Tamamlanmamış kare toplam, küpler farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:

Zaten üç kesir varsa ne yapmalı?

Evet, aynı şey! Öncelikle paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olalım:

Lütfen dikkat: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz kesirin önündeki işaret ters yönde değişir. İkinci parantez içindeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters yönde değişir. Sonuç olarak o (kesrin önündeki işaret) değişmemiştir.

İlk paydanın tamamını ortak paydaya yazıyoruz ve ardından ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa böyle devam ederek) henüz yazılmamış tüm faktörleri ekliyoruz. Yani şöyle çıkıyor:

Hımm... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?

Çok basit: Kesirlerin nasıl ekleneceğini biliyorsun, değil mi? O halde ikiyi kesir haline getirmemiz gerekiyor! Hatırlayalım: kesir bir bölme işlemidir (unutmanız durumunda pay, paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda sayının kendisi değişmeyecek, ancak kesire dönüşecektir:

Tam olarak ihtiyaç duyulan şey!

5. Kesirlerde çarpma ve bölme.

Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:

Prosedür

Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:

Saydın mı?

İşe yaramalı.

O halde hatırlatmama izin verin.

İlk adım dereceyi hesaplamaktır.

İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.

Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.

Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!

Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.

Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.

Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):

Tamam, her şey çok basit.

Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?

Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani yukarıda açıklanan eylemleri yapmanız gerekir. önceki bölüm: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.

Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.

Örneğin:

İfadeyi sadeleştirelim.

1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:

Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).

2) Şunu elde ederiz:

Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?

3) Artık kısaltabilirsiniz:

Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?

Başka bir örnek:

Ifadeyi basitleştir.

Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.

Öncelikle eylem sırasını belirleyelim. Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz. Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim. Adımları şematik olarak numaralandıracağım:

Şimdi size mevcut eylemi kırmızı renkle renklendirerek süreci göstereceğim:

Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:

1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.

2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.

İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:

Ve en başında vaat edilen şey:

Çözümler (kısa):

En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız konuya hakim oldunuz demektir.

Şimdi öğrenmeye geçelim!

İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Temel basitleştirme işlemleri:

Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.
ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!
Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması:
;
Kesirlerle çarpma ve bölme:
;

§ 1 Gerçek bir ifadeyi basitleştirme kavramı

Bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanışacağız ve örnekler kullanarak benzer terimlerin indirgenmesini, böylece gerçek ifadelerin nasıl basitleştirileceğini öğreneceğiz.

“Basitleştirme” kavramının anlamını bulalım. “Basitleştirme” sözcüğü “basitleştirme” sözcüğünden türetilmiştir. Basitleştirmek, basitleştirmek, daha basit hale getirmek anlamına gelir. Bu nedenle, bir harf ifadesini basitleştirmek, onu minimum sayıda eylemle kısaltmaktır.

9x + 4x ifadesini düşünün. Bu bir toplam olan gerçek bir ifadedir. Buradaki terimler bir sayı ve bir harfin ürünleri olarak sunulmaktadır. Bu tür terimlerin sayısal faktörüne katsayı denir. Bu ifadede katsayılar 9 ve 4 sayıları olacaktır. Harfin temsil ettiği çarpanın bu toplamın her iki teriminde de aynı olduğuna dikkat ediniz.

Çarpmanın dağılım yasasını hatırlayalım:

Bir toplamı bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen çarpımları ekleyebilirsiniz.

İÇİNDE Genel görünümşu şekilde yazılır: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Bu yasa her iki yönde de doğrudur ac + bc = (a + b) ∙ c

Bunu harfi harfine ifademize uygulayalım: 9x ile 4x'in çarpımlarının toplamı, birinci çarpanı olan çarpıma eşittir. toplamına eşit 9 ve 4, ikinci faktör x'tir.

9 + 4 = 13, yani 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

İfadede üç işlem yerine tek bir işlem kalıyor; çarpma. Bu, harfiyen ifademizi daha basit hale getirdiğimiz anlamına gelir; basitleştirdi.

§ 2 Benzer terimlerin azaltılması

9x ve 4x terimleri yalnızca katsayılarında farklılık gösterir - bu tür terimlere benzer denir. Benzer terimlerin harf kısımları aynıdır. Benzer terimler aynı zamanda sayıları ve eşit terimleri de içerir.

Örneğin, 9a + 12 - 15 ifadesinde benzer terimler 12 ve -15 sayıları olacak ve 12 ve 6a'nın çarpımının toplamında, 14 sayısı ve 12 ile 6a'nın çarpımı (12 ∙ 6a + 14) olacaktır. + 12 ∙ 6a) 12 ve 6a'nın çarpımı ile temsil edilen eşit terimler.

Katsayıları eşit ancak harf faktörleri farklı olan terimlerin benzer olmadığını belirtmek önemlidir; ancak bazen bunlara dağıtım çarpma yasasını uygulamak yararlı olabilir; örneğin, 5x ve 5y çarpımlarının toplamı şu şekildedir: 5 sayısının çarpımı ile x ve y'nin toplamına eşittir

5x + 5y = 5(x + y).

-9a + 15a - 4 + 10 ifadesini basitleştirelim.

Benzer terimler bu durumda-9a ve 15a terimleridir, çünkü bunlar yalnızca katsayıları bakımından farklılık gösterir. Harf çarpanları aynıdır ve sayı oldukları için -4 ve 10 terimleri de benzerdir. Benzer terimleri ekleyin:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Şunu elde ederiz: 6a + 6.

İfadeyi basitleştirerek benzer terimlerin toplamlarını bulduk; matematikte buna benzer terimlerin indirgenmesi denir.

Bu tür terimleri eklemek zorsa, onlar için kelimeler bulabilir ve nesneler ekleyebilirsiniz.

Örneğin şu ifadeyi düşünün:

Her harf için kendi nesnemizi alırız: b-elma, c-armut, sonra şunu elde ederiz: 2 elma eksi 5 armut artı 8 armut.

Armutları elmalardan çıkarabilir miyiz? Tabii ki değil. Ama eksi 5 armuta 8 armut ekleyebiliriz.

Benzer terimleri sunalım -5 armut + 8 armut. Benzer terimlerin harf kısmı aynı olduğundan benzer terimleri getirirken katsayıları toplayıp harf kısmını sonuca eklemek yeterlidir:

(-5 + 8) armut - 3 armut alırsınız.

Kelimenin tam anlamıyla ifademize dönersek -5 s + 8 s = 3 s elde ederiz. Böylece benzer terimler getirilerek 2b + 3c ifadesi elde edilir.

Yani bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanıştınız ve benzer terimleri azaltarak harfli ifadeleri nasıl basitleştireceğinizi öğrendiniz.

Kullanılan literatürün listesi:

Matematik. 6. sınıf: ders planları ders kitabına I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
Matematik. 6. sınıf: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich. - M .: Mnemosyne, 2013.
Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ve diğerleri/düzenleyen: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rusya Bilimler Akademisi, Rusya Eğitim Akademisi. M.: “Aydınlanma”, 2010.
Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için çalışma/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
Matematik. 6. sınıf: ders kitabı/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Kullanılan görseller:

Gerçek bir ifade (veya değişken ifade), rakamlardan, harflerden ve matematiksel sembollerden oluşan matematiksel bir ifadedir. Örneğin, aşağıdaki ifade gerçektir:

a+b+4

Alfabetik ifadeleri kullanarak kanunlar, formüller, denklemler ve fonksiyonlar yazabilirsiniz. Harf ifadelerini değiştirme yeteneği, iyi cebir ve yüksek matematik bilgisinin anahtarıdır.

Matematikteki herhangi bir ciddi problem denklemlerin çözülmesiyle ilgilidir. Denklemleri çözebilmek için de gerçek ifadelerle çalışabilmeniz gerekir.

Gerçek ifadelerle çalışmak için temel aritmetik konusunda bilgili olmanız gerekir: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, matematiğin temel yasaları, kesirler, kesirlerle işlemler, oranlar. Ve sadece çalışmakla kalmayın, iyice anlayın.

Ders içeriği

Değişkenler

Gerçek ifadelerin içerdiği harflere denir değişkenler. Örneğin, ifadede a+b+4 değişkenler harflerdir A Ve B. Bu değişkenlerin yerine herhangi bir sayı koyarsak, o zaman değişmez ifade a+b+4 değeri bulunabilen sayısal bir ifadeye dönüşecektir.

Değişkenlerin yerine geçen sayılara denir değişkenlerin değerleri. Örneğin değişkenlerin değerlerini değiştirelim A Ve B. Değerleri değiştirmek için eşittir işareti kullanılır

a = 2, b = 3

Değişkenlerin değerlerini değiştirdik A Ve B. Değişken A bir değer atandı 2 , değişken B bir değer atandı 3 . Sonuç olarak, gerçek ifade a+b+4 normal sayısal ifadeye dönüşür 2+3+4 değeri bulunabilir:

2 + 3 + 4 = 9

Değişkenler çarpıldığında birlikte yazılırlar. Örneğin, kayıt ab girişle aynı anlama gelir a×b. Değişkenleri yerine koyarsak A Ve B sayılar 2 Ve 3 , o zaman 6 elde ederiz

2 × 3 = 6

Ayrıca bir sayının çarpımını parantez içindeki bir ifadeyle de yazabilirsiniz. Örneğin, bunun yerine a×(b + c) yazılabilir a(b + c). Çarpma dağıtım yasasını uygulayarak şunu elde ederiz: a(b + c)=ab+ac.

Oranlar

Gerçek ifadelerde sıklıkla bir sayının ve bir değişkenin birlikte yazıldığı bir gösterim bulabilirsiniz; örneğin 3 A. Bu aslında 3 sayısını bir değişkenle çarpmanın kısaltmasıdır. A ve bu giriş şuna benziyor 3 × bir .

Başka bir deyişle ifade 3 A 3 sayısı ile değişkenin çarpımıdır A. Sayı 3 bu işte çağırıyorlar katsayı. Bu katsayı değişkenin kaç kat artırılacağını gösterir. A. Bu ifade şu şekilde okunabilir: Aüç kez" veya "üç kez" A" veya "bir değişkenin değerini artırın Aüç kez", ancak çoğunlukla "üç kez" olarak okunur A«

Örneğin, eğer değişken A eşittir 5 , ardından ifadenin değeri 3 A 15'e eşit olacaktır.

3 × 5 = 15

Konuşuyorum basit bir dille, katsayı harften önce gelen (değişkenden önce) sayıdır.

Örneğin birkaç harf olabilir 5abc. Burada katsayı sayıdır 5 . Bu katsayı, değişkenlerin çarpımının ABC beş kat artar. Bu ifade şu şekilde okunabilir: " ABC beş kat" veya "ifadenin değerini artır" ABC beş kez" veya "beş kez" ABC«.

Değişkenler yerine ABC 2, 3 ve 4 sayılarını yerine koyun, ardından ifadenin değerini yazın 5abc eşit olacak 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

2, 3 ve 4 sayılarının ilk önce nasıl çarpıldığını ve ortaya çıkan değerin nasıl beş kat arttığını zihinsel olarak hayal edebilirsiniz:

Katsayının işareti yalnızca katsayıya atıfta bulunur ve değişkenler için geçerli değildir.

İfadeyi düşünün −6b. Katsayıdan önce eksi 6 , yalnızca katsayı için geçerlidir 6 ve değişkene ait değil B. Bu gerçeği anlamak ileride işaretlerle hata yapmamanızı sağlayacaktır.

İfadenin değerini bulalım −6b en b = 3.

−6b −6×b. Açıklık sağlamak için ifadeyi yazalım −6b genişletilmiş biçimde ve değişkenin değerini değiştirin B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun −6b en b = −5

İfadeyi yazalım −6b genişletilmiş biçimde

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun −5a+b en bir = 3 Ve b = 2

−5a+b bu kısa bir formdur −5 × a + b netlik sağlamak için ifadeyi yazıyoruz −5×a+b genişletilmiş biçimde ve değişkenlerin değerlerini değiştirin A Ve B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Bazen harfler katsayı olmadan yazılır, örneğin A veya ab. Bu durumda katsayı birliktir:

ancak geleneksel olarak birim yazılmaz, bu nedenle basitçe yazılır A veya ab

Harften önce eksi varsa katsayı bir sayıdır −1 . Örneğin, ifade −a aslında benziyor −1a. Bu eksi bir ile değişkenin çarpımıdır A.Şöyle ortaya çıktı:

−1 × a = −1a

Burada küçük bir sorun var. İfadede −a değişkenin önündeki eksi işareti A aslında bir değişkenden ziyade "görünmez bir birimi" ifade eder A. Bu nedenle problemleri çözerken dikkatli olmalısınız.

Örneğin, ifade verilirse −a ve bizden değerini bulmamız isteniyor bir = 2 sonra okulda değişken yerine iki koyduk A ve bir cevap aldım −2 , nasıl sonuçlandığına çok fazla odaklanmadan. Aslında eksi bir pozitif 2 sayısıyla çarpılmıştı

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

İfade verilirse −a ve değerini bulmanız gerekiyor a = −2, sonra yerine koyarız −2 değişken yerine A

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Hatalardan kaçınmak için ilk başta görünmeyen birimler açıkça yazılabilir.

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun ABC en a=2 , b=3 Ve c=4

İfade ABC 1×a×b×c. Açıklık sağlamak için ifadeyi yazalım ABC a, b Ve C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Örnek 5. Bir ifadenin değerini bulun ABC en a=−2 , b=−3 Ve c=−4

İfadeyi yazalım ABC genişletilmiş biçimde ve değişkenlerin değerlerini değiştirin a, b Ve C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Örnek 6. Bir ifadenin değerini bulun − ABC en a=3 , b=5 ve c=7

İfade − ABC bu kısa bir formdur −1×a×b×c. Açıklık sağlamak için ifadeyi yazalım − ABC genişletilmiş biçimde ve değişkenlerin değerlerini değiştirin a, b Ve C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Örnek 7. Bir ifadenin değerini bulun − ABC en a=−2 , b=−4 ve c=−3

İfadeyi yazalım − ABC genişletilmiş biçimde:

−abc = −1 × a × b × c

Değişkenlerin değerlerini yerine koyalım A , B Ve C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Katsayı nasıl belirlenir

Bazen bir ifadenin katsayısını belirlemeniz gereken bir sorunu çözmeniz gerekir. Prensip olarak bu görev çok basittir. Sayıları doğru çarpabilmek yeterlidir.

Bir ifadedeki katsayıyı belirlemek için bu ifadenin içerdiği sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpmanız gerekir. Ortaya çıkan sayısal faktör katsayı olacaktır.

Örnek 1. 7m×5a×(−3)×n

İfade birkaç faktörden oluşur. İfadeyi genişletilmiş biçimde yazarsanız bu açıkça görülebilir. Yani eserler 7 dakika Ve 5a bunu formda yaz 7×m Ve 5 × bir

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Çarpanları herhangi bir sırayla çarpmanıza olanak tanıyan birleşmeli çarpma yasasını uygulayalım. Yani sayıları ayrı ayrı, harfleri (değişkenleri) ayrı ayrı çarpacağız:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Katsayı −105 . Tamamlandıktan sonra harf kısmının alfabetik sıraya göre düzenlenmesi tavsiye edilir:

−105amn

Örnek 2.İfadedeki katsayıyı belirleyin: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Katsayı 6'dır.

Örnek 3.İfadedeki katsayıyı belirleyin:

Sayıları ve harfleri ayrı ayrı çarpalım:

Katsayı -1'dir. Katsayı 1'in yazılmaması geleneksel olduğundan, birimin yazılmadığını lütfen unutmayın.

Görünüşte en basit olan bu görevler, bize çok acımasız bir şaka yapabilir. Çoğu zaman katsayı işaretinin yanlış ayarlandığı ortaya çıkar: ya eksi eksiktir ya da tam tersine boşuna ayarlanmıştır. Bu can sıkıcı hatalardan kaçınmak için iyi bir seviyede çalışılması gerekir.

Gerçek ifadelerde ekler

Birkaç sayı toplanırken bu sayıların toplamı elde edilir. Eklenen sayılara toplama denir. Örneğin birkaç terim olabilir:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Bir ifade terimlerden oluştuğunda, toplama işlemi çıkarma işleminden daha kolay olduğu için değerlendirilmesi çok daha kolaydır. Ancak ifade yalnızca toplamayı değil aynı zamanda çıkarmayı da içerebilir, örneğin:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Bu ifadede 3 ve 5 sayıları toplama değil çıkarmadır. Ancak hiçbir şey bizi çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmekten alıkoyamaz. Sonra yine terimlerden oluşan bir ifade elde ederiz:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

−3 ve −5 sayılarının artık eksi işaretine sahip olması önemli değil. Önemli olan bu ifadedeki tüm sayıların bir toplama işaretiyle birbirine bağlı olmasıdır, yani ifade bir toplamdır.

Her iki ifade 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ve 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) aynı değere eşit - eksi bir

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dolayısıyla, bir yerde çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirirsek ifadenin anlamı zarar görmeyecektir.

Ayrıca gerçek ifadelerde çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirebilirsiniz. Örneğin aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Değişkenlerin herhangi bir değeri için a, b, c, d Ve S ifade 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Ve 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) aynı değere eşit olacaktır.

Okuldaki bir öğretmenin veya bir enstitüdeki öğretmenin toplama olmayan çift sayıları (veya değişkenleri) çağırabileceği gerçeğine hazırlıklı olmalısınız.

Örneğin fark tahtaya yazılıyorsa a - b o zaman öğretmen bunu söylemez A bir eksidir ve B- çıkarılabilir. Her iki değişkene de bir diyecek genel anlamda — şartlar. Ve hepsi formun ifadesi nedeniyle a - b matematikçi toplamın nasıl olduğunu görüyor a+(−b). Bu durumda ifade bir toplama dönüşür ve değişkenler A Ve (−b)şartlar haline gelir.

Benzer terimler

Benzer terimler- bunlar aynı harf kısmına sahip terimlerdir. Örneğin, ifadeyi düşünün 7a + 6b + 2a. Bileşenler 7a Ve 2a aynı harf kısmına sahip - değişken A. Yani şartlar 7a Ve 2a benzerdir.

Genellikle bir ifadeyi basitleştirmek veya bir denklemi çözmek için benzer terimler eklenir. Bu operasyona denir benzer terimlerin getirilmesi.

Benzer terimleri getirmek için bu terimlerin katsayılarını toplayıp ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir.

Örneğin ifadede benzer terimleri sunalım. 3a + 4a + 5a. Bu durumda tüm terimler benzerdir. Katsayılarını toplayalım ve sonucu ortak harf kısmıyla - değişkenle çarpalım A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Genellikle benzer terimler akla gelir ve sonuç hemen yazılır:

3a + 4a + 5a = 12a

Ayrıca şu şekilde de mantık yürütülebilir:

3 adet a değişkeni vardı, bunlara 4 adet daha a değişkeni ve 5 adet daha a değişkeni eklendi. Sonuç olarak 12 değişkenimiz var

Benzer terimleri getirmenin birkaç örneğine bakalım. Bu konunun çok önemli olduğunu düşünerek öncelikle her detayı detaylı bir şekilde yazacağız. Burada her şey çok basit olmasına rağmen çoğu insan birçok hata yapıyor. Esas olarak dikkatsizlikten, cehaletten değil.

Örnek 1. 3a + 2a + 6a + 8 A

Bu ifadedeki katsayıları toplayalım ve ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpalım:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

tasarım (3 + 2 + 6 + 8)×a Yazmanıza gerek yok, o yüzden cevabı hemen yazacağız

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Örnek 2.İfadede benzer terimleri verin 2a+a

İkinci dönem A katsayısız yazılmış ama aslında önünde katsayı var 1 kaydedilmediği için göremiyoruz. Yani ifade şuna benzer:

2a + 1a

Şimdi benzer terimleri sunalım. Yani katsayıları toplayıp sonucu ortak harf kısmıyla çarpıyoruz:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Çözümü kısaca yazalım:

2a + a = 3a

2a+a, farklı düşünebilirsiniz:

Örnek 3.İfadede benzer terimleri verin 2a−a

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

2a + (−a)

İkinci dönem (−a) katsayı olmadan yazılmış, ancak gerçekte öyle görünüyor (−1a). Katsayı −1 kaydedilmediği için yine görünmez. Yani ifade şuna benzer:

2a + (−1a)

Şimdi benzer terimleri sunalım. Katsayıları toplayalım ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpalım:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Genellikle daha kısa yazılır:

2a - bir = bir

İfadede benzer terimlerin verilmesi 2a−a Farklı düşünebilirsiniz:

2 değişken a vardı, bir değişken a çıkarıldı ve sonuç olarak geriye sadece bir değişken kaldı

Örnek 4.İfadede benzer terimleri verin 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Şimdi benzer terimleri sunalım. Katsayıları toplayalım ve sonucu toplam harf kısmıyla çarpalım

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Çözümü kısaca yazalım:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Benzer terimlerin birkaç farklı grubunu içeren ifadeler vardır. Örneğin, 3a + 3b + 7a + 2b. Bu tür ifadeler için diğerleriyle aynı kurallar geçerlidir: katsayıların toplanması ve sonucun ortak harf kısmıyla çarpılması. Ancak hatalardan kaçınmak için farklı terim gruplarını farklı çizgilerle vurgulamak uygundur.

Örneğin, ifadede 3a + 3b + 7a + 2b değişken içeren terimler A, altı tek satırla çizilebilir ve değişken içeren terimler B, iki satırla vurgulanabilir:

Şimdi benzer terimleri sunabiliriz. Yani katsayıları toplayın ve elde edilen sonucu toplam harf kısmıyla çarpın. Bu, her iki terim grubu için de yapılmalıdır: değişken içeren terimler için A ve değişken içeren terimler için B.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Yine tekrarlıyoruz, ifade basittir ve benzer terimler akılda tutulabilir:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Örnek 5.İfadede benzer terimleri verin 5a − 6a −7b + b

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Benzer terimlerin altını farklı çizgilerle çizelim. Değişken içeren terimler A altını tek satırla çiziyoruz ve terimler değişkenlerin içeriğidir B, iki satırla altını çizin:

Şimdi benzer terimleri sunabiliriz. Yani katsayıları toplayın ve ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpın:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

İfade, harf çarpanları olmayan sıradan sayılar içeriyorsa, bunlar ayrı ayrı eklenir.

Örnek 6.İfadede benzer terimleri verin 4a + 3a - 5 + 2b + 7

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Benzer terimleri sunalım. Sayılar −5 Ve 7 harf faktörleri yoktur, ancak bunlar benzer terimlerdir; yalnızca eklenmesi gerekir. Ve terim 2b bu ifadede harf faktörüne sahip olan tek kişi olduğu için değişmeden kalacaktır B, ve buna eklenecek hiçbir şey yok:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Çözümü kısaca yazalım:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Terimler, aynı harf kısmına sahip olan terimler ifadenin aynı kısmında yer alacak şekilde sıralanabilir.

Örnek 7.İfadede benzer terimleri verin 5t+2x+3x+5t+x

İfade birkaç terimin toplamı olduğundan, bu onu herhangi bir sırayla değerlendirmemize olanak tanır. Bu nedenle değişkeni içeren terimler T, ifadenin başına yazılabilir ve değişkeni içeren terimler X ifadenin sonunda:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Şimdi benzer terimleri sunabiliriz:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Çözümü kısaca yazalım:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Bu kural aynı zamanda birebir ifadeler için de geçerlidir. İfade aynı terimleri içeriyorsa ancak zıt işaretlere sahipse, benzer terimleri azaltma aşamasında onlardan kurtulabilirsiniz. Başka bir deyişle, toplamları sıfır olduğundan bunları ifadeden çıkarmanız yeterlidir.

Örnek 8.İfadede benzer terimleri verin 3t − 4t − 3t + 2t

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Bileşenler 3 gün Ve (−3t) zıttır. Zıt terimlerin toplamı sıfırdır. İfadeden bu sıfırı çıkarırsak ifadenin değeri değişmeyeceği için onu kaldırmış oluruz. Ve terimlerin üzerini çizerek onu kaldıracağız 3 gün Ve (−3t)

Sonuç olarak elimizde şu ifade kalacak: (−4t) + 2t. Bu ifadeye benzer terimleri ekleyip son cevaba ulaşabilirsiniz:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Çözümü kısaca yazalım:

İfadeleri Basitleştirme

"Ifadeyi basitleştir" ve aşağıda basitleştirilmesi gereken ifade var. Bir ifadeyi basitleştirme daha basit ve daha kısa hale getirmek anlamına gelir.

Aslında kesirleri küçülttüğümüzde zaten ifadeleri basitleştiriyorduk. İndirgeme sonrasında kesir kısaldı ve anlaşılması daha kolay hale geldi.

Aşağıdaki örneği düşünün. Ifadeyi basitleştir.

Bu görev tam anlamıyla şu şekilde anlaşılabilir: "Bu ifadeye geçerli tüm eylemleri uygulayın, ancak daha basit hale getirin." .

Bu durumda kesri azaltabilirsiniz, yani kesrin payını ve paydasını 2'ye bölebilirsiniz:

Başka ne yapabilirim? Ortaya çıkan kesri hesaplayabilirsiniz. Sonra 0,5 ondalık kesirini elde ederiz

Sonuç olarak kesir 0,5'e basitleştirildi.

Bu tür problemleri çözerken kendinize sormanız gereken ilk soru şu olmalıdır: "Ne yapılabilir?" . Çünkü yapabileceğiniz eylemler var ve yapamayacağınız eylemler var.

Bir diğer önemli nokta Unutulmaması gereken nokta, ifade sadeleştirildikten sonra ifadenin değerinin değişmemesi gerektiğidir. İfadeye dönelim. Bu ifade gerçekleştirilebilecek bir bölmeyi temsil eder. Bu bölmeyi yaptıktan sonra bu ifadenin değerini 0,5'e eşit olarak elde ederiz.

Ancak ifadeyi basitleştirdik ve yeni, basitleştirilmiş bir ifade elde ettik. Yeni basitleştirilmiş ifadenin değeri hala 0,5

Ama aynı zamanda hesaplayarak ifadeyi basitleştirmeye çalıştık. Sonuç olarak 0,5'lik nihai bir cevap aldık.

Yani ifadeyi ne kadar basitleştirirsek sadeleştirelim, ortaya çıkan ifadelerin değeri yine 0,5 olur. Bu, sadeleştirmenin her aşamada doğru şekilde gerçekleştirildiği anlamına gelir. İfadeleri basitleştirirken tam olarak çabalamamız gereken şey budur - ifadenin anlamı eylemlerimizden zarar görmemelidir.

Çoğu zaman gerçek ifadeleri basitleştirmek gerekir. Sayısal ifadelerde olduğu gibi aynı basitleştirme kuralları bunlar için de geçerlidir. İfadenin değeri değişmediği sürece geçerli tüm eylemleri gerçekleştirebilirsiniz.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1. Bir ifadeyi basitleştirme 5,21s × t × 2,5

Bu ifadeyi basitleştirmek için sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpabilirsiniz. Bu görev, katsayıyı belirlemeyi öğrendiğimizde baktığımız göreve çok benzer:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Yani ifade 5,21s × t × 2,5 basitleştirilmiş 13.025.

Örnek 2. Bir ifadeyi basitleştirme −0,4 × (−6,3b) × 2

İkinci parça (−6,3b) bizim için anlaşılır bir forma çevrilebilir, yani formda yazılabilir ( −6,3)×b , daha sonra sayıları ayrı ayrı çarpın ve harfleri ayrı ayrı çarpın:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Yani ifade −0,4 × (−6,3b) × 2 basitleştirilmiş 5.04b

Örnek 3. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamların nerede olduğunu, harflerin nerede olduğunu daha net görebilmek için bu ifadeyi daha detaylı yazalım:

Şimdi sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım:

Yani ifade basitleştirilmiş -abc. Bu çözüm kısaca şöyle yazılabilir:

İfadeleri basitleştirirken, sıradan kesirlerde yaptığımız gibi kesirler en sonunda değil, çözüm süreci sırasında azaltılabilir. Örneğin, çözme sırasında formun bir ifadesine rastlarsak, pay ve paydayı hesaplamak ve şöyle bir şey yapmak hiç de gerekli değildir:

Bir kesir, hem payda hem de paydada bir faktör seçilerek ve bu faktörler en büyük ortak çarpanlarına göre azaltılarak azaltılabilir. Başka bir deyişle pay ve paydanın neye bölündüğünü ayrıntılı olarak açıklamadığımız kullanım.

Örneğin payda faktör 12 ve paydada 4 faktör 4'e kadar azaltılabilir. Dörtünü aklımızda tutuyoruz ve 12 ve 4'ü bu dörde bölerek cevapları bu sayıların yanına yazıyoruz, ilk önce onları aştım

Artık ortaya çıkan küçük faktörleri çarpabilirsiniz. Bu durumda sayıları azdır ve bunları zihninizde çoğaltabilirsiniz:

Zamanla, belirli bir problemi çözerken ifadelerin "şişmeye" başladığını fark edebilirsiniz, bu nedenle hızlı hesaplamalara alışmanız tavsiye edilir. Akılda hesaplanabilenin, akılda da hesaplanması gerekir. Hızlı bir şekilde azaltılabilen şey, hızlı bir şekilde azaltılmalıdır.

Örnek 4. Bir ifadeyi basitleştirme

Yani ifade basitleştirilmiş

Örnek 5. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım:

Yani ifade basitleştirilmiş mn.

Örnek 6. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamların nerede olduğunu, harflerin nerede olduğunu daha net görebilmek için bu ifadeyi daha detaylı yazalım:

Şimdi sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım. Hesaplama kolaylığı için, −6,4 ondalık kesir ve karışık bir sayı, sıradan kesirlere dönüştürülebilir:

Yani ifade basitleştirilmiş

Bu örneğin çözümü çok daha kısa yazılabilir. Bunun gibi görünecek:

Örnek 7. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamları ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım. Hesaplama kolaylığı için karışık sayı ve ondalık sayılar 0,1 ve 0,6 sıradan kesirlere dönüştürülebilir:

Yani ifade basitleştirilmiş abcd. Detayları atlarsanız bu çözümü çok daha kısa yazabilirsiniz:

Kesirin nasıl azaltıldığına dikkat edin. Önceki faktörlerin azaltılması sonucu elde edilen yeni faktörlerin de azaltılmasına izin verilir.

Şimdi ne yapılmaması gerektiğinden bahsedelim. İfadeleri basitleştirirken, ifadenin çarpım değil toplam olması durumunda sayı ve harflerin çarpılması kesinlikle yasaktır.

Örneğin ifadeyi basitleştirmek istiyorsanız 5a+4b, o zaman şu şekilde yazamazsınız:

Bu, bizden iki sayıyı toplamamız istendiğinde onları toplamak yerine çarpmamız gibidir.

Herhangi bir değişken değerini değiştirirken A Ve B ifade 5a +4b sıradan bir sayısal ifadeye dönüşür. Değişkenlerin olduğunu varsayalım A Ve B aşağıdaki anlamlara sahiptir:

a = 2, b = 3

O zaman ifadenin değeri 22'ye eşit olacaktır.

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Önce çarpma yapılır, ardından sonuçlar toplanır. Ve eğer bu ifadeyi sayıları ve harfleri çarparak basitleştirmeye çalışırsak aşağıdakileri elde ederiz:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

İfadenin tamamen farklı bir anlamı ortaya çıkıyor. İlk durumda işe yaradı 22 , ikinci durumda 120 . Bu, ifadeyi basitleştirmek anlamına gelir 5a+4b yanlış gerçekleştirildi.

İfade basitleştirildikten sonra değişkenlerin aynı değerleri ile değeri değişmemelidir. Herhangi bir değişken değeri orijinal ifadeye yerleştirirken bir değer elde edilirse, ifadeyi basitleştirdikten sonra, sadeleştirmeden önceki değerin aynısı elde edilmelidir.

İfade ile 5a+4b gerçekten yapabileceğin hiçbir şey yok. Bunu basitleştirmez.

Bir ifade benzer terimler içeriyorsa, amacımız ifadeyi basitleştirmekse bunlar eklenebilir.

Örnek 8. Bir ifadeyi basitleştirme 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

veya daha kısa: 0,3a - 0,4a + bir = 0.9a

Yani ifade 0,3a−0,4a+a basitleştirilmiş 0.9a

Örnek 9. Bir ifadeyi basitleştirme −7,5a − 2,5b + 4a

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

veya daha kısa −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Terim (−2,5b) Değiştirilmeden kaldı çünkü koyacak hiçbir şey yoktu.

Örnek 10. Bir ifadeyi basitleştirme

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

Katsayı hesaplama kolaylığı sağlamak içindi.

Yani ifade basitleştirilmiş

Örnek 11. Bir ifadeyi basitleştirme

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

Yani ifade olarak basitleştirildi.

Bu örnekte ilk ve son katsayıların önce eklenmesi daha uygun olacaktır. Bu durumda kısa bir çözümümüz olur. Şunun gibi görünecektir:

Örnek 12. Bir ifadeyi basitleştirme

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

Yani ifade basitleştirilmiş .

Eklenecek bir şey olmadığından terim değişmeden kaldı.

Bu çözüm çok daha kısa yazılabilir. Bunun gibi görünecek:

Kısa çözüm, çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirme ve kesirlerin nasıl ortak bir paydaya indirgendiğinin ayrıntılandırılması adımlarını atladı.

Bir diğer fark da şu ki detaylı çözüm cevap şuna benziyor , ama kısaca . Aslında bunlar aynı ifadedir. Aradaki fark, ilk durumda çıkarmanın yerini toplamanın almasıdır, çünkü başlangıçta çözümü ayrıntılı biçimde yazarken mümkün olan yerlerde çıkarmanın yerine toplamayı koyduk ve bu değiştirme cevap için saklandı.

Kimlikler. Aynı şekilde eşit ifadeler

Herhangi bir ifadeyi basitleştirdiğimizde daha basit ve kısa hale gelir. Basitleştirilmiş ifadenin doğru olup olmadığını kontrol etmek için, herhangi bir değişken değerini önce basitleştirilmesi gereken önceki ifadeye, ardından da basitleştirilmiş yeni ifadeye koymak yeterlidir. Her iki ifadedeki değer aynıysa basitleştirilmiş ifade doğrudur.

Hadi düşünelim en basit örnek. İfadeyi basitleştirmek gerekli olsun 2a×7b. Bu ifadeyi basitleştirmek için sayıları ve harfleri ayrı ayrı çarpabilirsiniz:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

İfadeyi doğru sadeleştirip sadeleştirmediğimizi kontrol edelim. Bunu yapmak için değişkenlerin herhangi bir değerini değiştirelim A Ve Bönce basitleştirilmesi gereken ilk ifadeye, sonra da basitleştirilmiş ikinciye.

Değişkenlerin değerleri olsun A , B aşağıdaki gibi olacaktır:

a = 4, b = 5

Bunları ilk ifadede yerine koyalım 2a×7b

Şimdi sadeleştirme sonucu elde edilen ifadede aynı değişken değerlerini yerine koyalım 2a×7b, yani ifadede 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Bunu ne zaman görüyoruz a=4 Ve b=5 ilk ifadenin değeri 2a×7b ve ikinci ifadenin anlamı 14ab eşit

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Aynı şey diğer değerler için de geçerli olacaktır. Örneğin, izin ver a=1 Ve b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Böylece, ifade değişkenlerinin herhangi bir değeri için 2a×7b Ve 14ab aynı değere eşittir. Bu tür ifadelere denir tamamen eşit.

İfadeler arasında şu sonuca varıyoruz: 2a×7b Ve 14ab Eşittir işareti koyabilirsiniz çünkü ikisi de aynı değere eşittir.

2a × 7b = 14ab

Eşitlik, eşittir işaretiyle (=) bağlanan herhangi bir ifadedir.

Ve formun eşitliği 2a×7b = 14ab isminde kimlik.

Kimlik, değişkenlerin herhangi bir değeri için geçerli olan bir eşitliktir.

Diğer kimlik örnekleri:

a + b = b + bir

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Evet, incelediğimiz matematik yasaları özdeşliklerdir.

Gerçek sayısal eşitlikler de kimliklerdir. Örneğin:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Karar verme zor görev Hesaplamayı kolaylaştırmak için karmaşık ifade, öncekiyle aynı olan daha basit bir ifadeyle değiştirilir. Bu değiştirme denir ifadenin özdeş dönüşümü ya da sadece ifadeyi dönüştürme.

Örneğin ifadeyi basitleştirdik 2a×7b ve daha basit bir ifade elde ettim 14ab. Bu sadeleştirmeye kimlik dönüşümü denilebilir.

Sık sık şunu söyleyen bir görev bulabilirsiniz: "eşitliğin bir kimlik olduğunu kanıtlayın" daha sonra kanıtlanması gereken eşitlik verilir. Genellikle bu eşitlik iki bölümden oluşur: eşitliğin sol ve sağ kısımları. Görevimiz eşitliğin bir parçası ile kimlik dönüşümlerini gerçekleştirip diğer kısmını elde etmektir. Veya eşitliğin her iki tarafında da aynı dönüşümleri gerçekleştirin ve eşitliğin her iki tarafının da aynı ifadeleri içerdiğinden emin olun.

Örneğin eşitliğin olduğunu kanıtlayalım. 0,5a × 5b = 2,5ab bir kimliktir.

Bu eşitliğin sol tarafını sadeleştirelim. Bunu yapmak için sayıları ve harfleri ayrı ayrı çarpın:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Küçük bir kimlik dönüşümü sonucunda eşitliğin sol tarafı, eşitliğin sağ tarafına eşit hale geldi. Böylece eşitliğin olduğunu kanıtlamış olduk. 0,5a × 5b = 2,5ab bir kimliktir.

Benzer dönüşümlerden sayıları toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı ve bölmeyi, kesirleri azaltmayı, benzer terimleri toplamayı ve ayrıca bazı ifadeleri basitleştirmeyi öğrendik.

Ancak bunların hepsi matematikte var olan özdeş dönüşümler değildir. Daha birçok özdeş dönüşüm var. Bunu gelecekte birden çok kez göreceğiz.

Bağımsız çözüm için görevler:

Dersi beğendin mi?
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra harfli ifadelerin de kullanıldığı cebirsel ifadeye kesirli cebirsel ifade denir. Bunlar, örneğin, ifadeler

İki tamsayı cebirsel ifadenin (örneğin, tek terimli veya polinom) bölümünün bölümü biçiminde olan cebirsel bir ifadeye cebirsel bir kesir diyoruz. Bunlar, örneğin, ifadeler

İfadelerden üçüncüsü).

Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri çoğunlukla bunları formda temsil etmeyi amaçlamaktadır. cebirsel kesir. Ortak paydayı bulmak için, kesirlerin paydalarının çarpanlara ayrılması - en küçük ortak katlarını bulmak için kullanılan terimler - kullanılır. Cebirsel kesirleri azaltırken, ifadelerin kesin kimliği ihlal edilebilir: indirgemenin yapıldığı faktörün sıfır olduğu miktarların değerlerini hariç tutmak gerekir.

Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerine örnekler verelim.

Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme

Tüm terimler ortak bir paydaya indirgenebilir (son terimin paydasındaki işareti ve önündeki işareti değiştirmek uygundur):

İfademiz bu değerler dışındaki tüm değerler için bire eşittir; tanımsızdır ve kesirin azaltılması yasa dışıdır).

Örnek 2. İfadeyi cebirsel kesir olarak temsil edin

Çözüm. İfade ortak bir payda olarak alınabilir. Sırayla buluyoruz:

Egzersizler

1. Belirtilen parametre değerleri için cebirsel ifadelerin değerlerini bulun:

2. Çarpanlara ayırın.