Üs alma, çarpmayla yakından ilgili bir işlemdir; bu işlem, bir sayının kendisiyle defalarca çarpılmasının sonucudur. Bunu şu formülle gösterelim: a1 * a2 * … * an = an.
Örneğin, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Genel olarak üstel sayı matematik ve fizikte çeşitli formüllerde sıklıkla kullanılır. Bu fonksiyonun dört ana fonksiyondan daha bilimsel bir amacı vardır: Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme.
Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek
Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek karmaşık bir işlem değildir. Çarpma ve toplama arasındaki ilişkiye benzer şekilde çarpma ile de ilgilidir. An gösterimi, n'inci sayıdaki “a” sayısının birbiriyle çarpılmasının kısa gösterimidir.
En basit örnekleri kullanarak karmaşık örneklere geçerek üstel almayı düşünün.
Örneğin, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Dördün karesi (ikinci kuvvet) on altıya eşittir. Eğer 4*4 çarpımını anlamıyorsanız çarpma ile ilgili yazımızı okuyun.
Başka bir örneğe bakalım: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Beşin küpü (üçüncü kuvvet) yüz yirmi beşe eşittir.
Başka bir örnek: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Dokuzun küpü yedi yüz yirmi dokuza eşittir.
Üs formülleri
Bir güce doğru şekilde yükselmek için aşağıda verilen formülleri hatırlamanız ve bilmeniz gerekir. Bunda ekstra doğal bir şey yok, asıl mesele özü anlamak ve o zaman sadece hatırlanmakla kalmayacak, aynı zamanda kolay görünecek.
Bir monomialin bir kuvvete yükseltilmesi
Tek terimli nedir? Bu, herhangi bir miktardaki sayıların ve değişkenlerin bir ürünüdür. Örneğin iki bir tek terimlidir. Ve bu makale tam olarak bu tür tek terimlileri kuvvetlere yükseltmekle ilgilidir.
Üstel formülleri kullanarak bir tek terimlinin üstel değerini hesaplamak zor olmayacaktır.
Örneğin, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltirseniz, o zaman tek terimlinin her bileşeni bir kuvvete yükseltilir.
Halihazırda gücü olan bir değişkeni bir güce yükselterek güçler çarpılır. Örneğin, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;
Negatif güce yükseltme
Negatif kuvvet bir sayının tersidir. Karşılıklı sayı nedir? Herhangi bir X sayısının tersi 1/X'tir. Yani X-1=1/X. Negatif derecenin özü budur.
(3Y)^-3 örneğini düşünün:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Nedenmiş? Derecede eksi olduğu için bu ifadeyi paydaya aktarıyoruz ve ardından üçüncü kuvvete yükseltiyoruz. Basit değil mi?
Kesirli güce yükseltme
Konuya belirli bir örnekle bakarak başlayalım. 43/2. Derece 3/2 ne anlama geliyor? 3 – pay, bir sayıyı (bu durumda 4) küp haline getirmek anlamına gelir. 2 sayısı paydadır; bir sayının ikinci kökünün (bu durumda 4) çıkarılmasıdır.
Daha sonra 43 = 2^3 = 8'in karekökünü elde ederiz. Cevap: 8.
Yani kesirli bir kuvvetin paydası 3 veya 4 olabilir ve sonsuza kadar herhangi bir sayı olabilir ve bu sayı, belirli bir sayıdan alınan karekökün derecesini belirler. Elbette payda sıfır olamaz.
Bir kökü bir güce yükseltmek
Kök, kökün derecesine eşit bir dereceye kadar yükseltilirse, o zaman cevap radikal bir ifade olacaktır. Örneğin (√x)2 = x. Ve böylece her durumda kökün derecesi ile kökün yükselme derecesi eşittir.
Eğer (√x)^4 ise. O halde (√x)^4=x^2. Çözümü kontrol etmek için ifadeyi kesirli kuvvete sahip bir ifadeye dönüştürüyoruz. Kök kare olduğundan payda 2'dir. Kökün dördüncü kuvveti alınırsa pay 4 olur. 4/2=2 elde ederiz. Cevap: x = 2.
Her durumda, en iyi seçenek, ifadeyi kesirli kuvvete sahip bir ifadeye dönüştürmektir. Kesir birbirini götürmezse, verilen sayının kökü izole edilmediği sürece cevap budur.
Karmaşık bir sayının üssünü yükseltmek
Karmaşık sayı nedir? Karmaşık sayı, a + b * i formülüne sahip bir ifadedir; a, b reel sayılardır. i, karesi alındığında -1 sayısını veren bir sayıdır.
Bir örneğe bakalım. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Hızlı ve doğru bir şekilde toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı, bölmeyi, sayıların karesini almayı ve hatta kökleri çıkarmayı öğrenmek için "Zihinsel aritmetiği değil, zihinsel aritmetiği hızlandırın" kursuna kaydolun. 30 gün içinde aritmetik işlemleri basitleştirmek için kolay hileleri nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz. Her ders yeni teknikler, anlaşılır örnekler ve faydalı görevler içerir.
Çevrimiçi üs alma
Hesap makinemizi kullanarak bir sayının bir üssüne çıkmasını hesaplayabilirsiniz:
Üs alma 7. sınıf
Okul çocukları ancak yedinci sınıfta güç kazanmaya başlar.
Üs alma, çarpma işlemiyle yakından ilgili bir işlemdir; bu işlem, bir sayının kendisiyle defalarca çarpılmasının sonucudur. Bunu şu formülle gösterelim: a1 * a2 * … * an=an.
Örneğin, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Çözüm örnekleri:
Üs sunumu
Yedinci sınıf öğrencileri için tasarlanmış, güçlerin yükseltilmesine ilişkin sunum. Sunum bazı belirsiz noktaları açıklığa kavuşturabilir, ancak bu noktalar muhtemelen yazımız sayesinde açıklığa kavuşturulmayacak.
Sonuç olarak
Matematiği daha iyi anlamak için buzdağının yalnızca görünen kısmına baktık - kursumuza kaydolun: Zihinsel aritmetiği hızlandırmak - Zihinsel aritmetiği DEĞİL.
Kursta sadece basitleştirilmiş ve hızlı çarpma, toplama, çarpma, bölme ve yüzde hesaplamaya yönelik düzinelerce tekniği öğrenmekle kalmayacak, aynı zamanda bunları özel görevlerde ve eğitici oyunlarda da pratik edeceksiniz! Mental aritmetik ayrıca ilginç problemleri çözerken aktif olarak eğitilmiş çok fazla dikkat ve konsantrasyon gerektirir.
Kısaltılmış çarpma formülleri veya kuralları, aritmetikte, daha spesifik olarak cebirde, büyük cebirsel ifadelerin değerlendirilme sürecini hızlandırmak için kullanılır. Formüllerin kendisi cebirde çeşitli polinomların çarpımı için mevcut kurallardan türetilmiştir.
Bu formüllerin kullanımı çeşitli matematik problemlerine oldukça hızlı bir çözüm sağlar ve aynı zamanda ifadelerin basitleştirilmesine de yardımcı olur. Cebirsel dönüşümlerin kuralları, ifadelerle bazı işlemler yapmanıza olanak tanır; bunu takiben eşitliğin sol tarafında sağ taraftaki ifadeyi elde edebilir veya eşitliğin sağ tarafını dönüştürebilirsiniz (sol taraftaki ifadeyi elde etmek için) eşittir işaretinden sonra).
Kısaltılmış çarpma için kullanılan formülleri, problemlerin ve denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanıldıkları için hafızadan bilmek uygundur. Aşağıda bu listede yer alan ana formüller ve adları yer almaktadır.
Toplamın karesi
Toplamın karesini hesaplamak için, birinci terimin karesi, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinden oluşan toplamı bulmanız gerekir. İfade şeklinde bu kural şu şekilde yazılır: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Kare farkı
Farkın karesini hesaplamak için birinci sayının karesi, birinci sayı ile ikincinin çarpımının (karşı işaretle alınan) iki katı ve ikinci sayının karesinden oluşan toplamı hesaplamanız gerekir. Bir ifade biçiminde bu kural şu şekilde görünür: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Karelerin farkı
İki sayının karesi farkının formülü, bu sayıların toplamı ile farklarının çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde bu kural şuna benzer: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Toplamın küpü
İki terimin toplamının küpünü hesaplamak için, ilk terimin küpünden oluşan toplamı hesaplamanız, birinci terim ile ikinci terimin karesinin çarpımının üç katını, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının üç katını hesaplamanız gerekir. karesi ve ikinci terimin küpü. Bir ifade biçiminde bu kural şu şekilde görünür: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Küplerin toplamı
Formüle göre bu terimlerin toplamı ile eksik kare farkının çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde bu kural şu şekilde görünür: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Örnek.İki küpün eklenmesiyle oluşan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Sadece yanlarının boyutları bilinmektedir.
Yan değerler küçükse hesaplamalar basittir.
Kenarların uzunlukları hantal sayılarla ifade edilirse, bu durumda hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan “Küplerin Toplamı” formülünü kullanmak daha kolaydır.
Fark küpü
Kübik farkın ifadesi şu şekildedir: Birinci terimin üçüncü kuvvetinin toplamı olarak, birinci terimin karesinin negatif çarpımını ikinciyle üç katına çıkarın, birinci terimin çarpımını ikincinin karesiyle üç katına çıkarın. ve ikinci terimin negatif küpü. Matematiksel ifade biçiminde farkın küpü şu şekilde görünür: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Küplerin farkı
Küp farkı formülü, küp toplamından yalnızca bir işaret farklıdır. Dolayısıyla küplerin farkı, bu sayıların farkının ve toplamın eksik karesinin çarpımına eşit bir formüldür. Formda küplerin farkı şu şekilde görünür: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Örnek. Yine bir küp olan sarı hacimsel rakamı mavi küpün hacminden çıkardıktan sonra kalan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Küçük ve büyük küpün yalnızca yan boyutları bilinmektedir.
Yan değerler küçükse hesaplamalar oldukça basittir. Ve eğer kenarların uzunlukları önemli sayılarla ifade ediliyorsa, o zaman hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan "Küplerin farkı" (veya "Farkın küpü") adlı formülü uygulamaya değer.
Kısaltılmış çarpma formülleri. Eğitim.
Aşağıdaki ifadeleri bu şekilde değerlendirmeye çalışın:
Yanıtlar:
Veya iki basamaklı temel sayıların karelerini biliyorsanız, bunun ne kadar olduğunu hatırlıyor musunuz? Hatırlıyor musun? . Harika! Karesini aldığımız için ile çarpmamız gerekiyor. Şekline dönüştü.
Kare toplam ve kare fark formüllerinin yalnızca sayısal ifadeler için geçerli olmadığını unutmayın:
Aşağıdaki ifadeleri kendiniz hesaplayın:
Yanıtlar:
Kısaltılmış çarpma formülleri. Sonuç olarak.
Biraz özetleyelim ve toplamın ve farkın karesi formüllerini tek satıra yazalım:
Şimdi formülü ayrıştırılmış görünümden görünüme "birleştirme" pratiği yapalım. Daha sonra büyük ifadeleri dönüştürürken bu beceriye ihtiyacımız olacak.
Diyelim ki aşağıdaki ifadeye sahibiz:
Toplamın (veya farkın) karesinin şu şekilde olduğunu biliyoruz: bir sayının karesi başka bir sayının karesi Ve bu sayıların çarpımının iki katı.
Bu problemde bir sayının karesini görmek kolaydır - bu. Buna göre parantez içindeki sayılardan biri kareköküdür, yani
İkinci terim içerdiğinden, bunun sırasıyla bir ve başka bir sayının çift çarpımı olduğu anlamına gelir:
Parantezimizin içindeki ikinci sayı nerede?
Parantez içindeki ikinci sayı eşittir.
Hadi kontrol edelim. eşit olmalıdır. Aslında bu böyledir; bu, her iki sayının da parantez içinde bulunduğunu bulduğumuz anlamına gelir: ve. Aralarında duran işareti belirlemek için kalır. Orada ne tür bir işaret olacağını düşünüyorsunuz?
Sağ! Bizden beri eklemekÜrün iki katına çıkarsa rakamların arasına toplama işareti konulacaktır. Şimdi dönüştürülmüş ifadeyi yazın. Becerebildin mi? Aşağıdakileri almalısınız:
Not: Terimlerin yerlerinin değiştirilmesi sonucu etkilemez (ve arasına toplama veya çıkarma yapılması önemli değildir).
Dönüştürülecek ifadedeki terimlerin formülde yazıldığı gibi olması kesinlikle gerekli değildir. Şu ifadeye bakın: . Kendiniz dönüştürmeyi deneyin. Olmuş?
Alıştırma - aşağıdaki ifadeleri dönüştürün:
Yanıtlar: Becerebildin mi? Konuyu düzeltelim. Aşağıdaki ifadelerden toplamın veya farkın karesi olarak gösterilebilecekleri seçin.
- - eşdeğer olduğunu kanıtlayın.
- - kare olarak temsil edilemez; bunun yerine var olup olmadığı hayal edilebilir.
Karelerin farkı
Bir diğer kısaltılmış çarpma formülü ise kareler farkıdır.
Karelerin farkı, farkın karesi değildir!
İki sayının kareleri arasındaki fark, bu sayıların toplamı ile farklarının çarpımına eşittir:
Bu formülün doğru olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için, toplamın ve farkın karesi formüllerini elde ederken yaptığımız gibi çarpalım:
Böylece formülün gerçekten doğru olduğunu doğruladık. Bu formül aynı zamanda karmaşık hesaplama işlemlerini de basitleştirir. İşte bir örnek:
Hesaplamak gerekir: . Elbette, birinin karesini alabilir, sonra karesini alabilir ve diğerinden çıkartabiliriz, ancak formül bunu bizim için kolaylaştırır:
Olmuş? Sonuçları karşılaştıralım:
Tıpkı bir toplamın (farkın) karesi gibi, kareler farkı formülü de yalnızca sayılarla kullanılamaz:
Kareler farkının nasıl hesaplanacağını bilmek, karmaşık matematiksel ifadeleri dönüştürmemize yardımcı olacaktır.
Dikkat etmek:
Çünkü doğru ifadenin farkını kareye göre ayrıştırırken şunu elde ederiz:
Dikkatli olun ve hangi terimin karesinin alındığını görün! Konuyu pekiştirmek için aşağıdaki ifadeleri dönüştürün:
Bunu yazdın mı? Ortaya çıkan ifadeleri karşılaştıralım:
Artık toplamın karesi ve farkın karesi ile kareler farkı konusunda uzmanlaştığınıza göre, bu üç formülün birleşimine ilişkin örnekleri çözmeye çalışalım.
Temel ifadelerin dönüştürülmesi (toplamın karesi, farkın karesi, kareler farkı)
Diyelim ki bize bir örnek verildi
Bu ifadenin basitleştirilmesi gerekiyor. Dikkatli bakın, payda ne görüyorsunuz? Bu doğru, pay tam bir kare:
Bir ifadeyi basitleştirirken, sadeleştirmede hangi yöne gidileceğine dair ipucunun paydada (veya payda) olduğunu unutmayın. Bizim durumumuzda payda genişletildiğinde ve başka bir şey yapılamadığında payın ya toplamın karesi ya da farkın karesi olacağını anlayabiliriz. Eklediğimiz için payın toplamın karesi olduğu anlaşılıyor.
Aşağıdaki ifadeleri kendiniz dönüştürmeyi deneyin:
Olmuş? Cevapları karşılaştırın ve devam edin!
Toplamın küpü ve farkın küpü
Toplam küp ve fark küp formülleri aynı şekilde türetilir. toplamın karesi Ve kare farkı: Terimler birbirleriyle çarpılırken parantezlerin açılması.
Toplamın karesi ve farkın karesi çok kolay hatırlanıyorsa şu soru ortaya çıkar: "Küpler nasıl hatırlanır?"
Benzer terimlerin karelerinin alınmasıyla karşılaştırmalı olarak açıklanan iki formüle dikkatlice bakın:
Hangi modeli görüyorsunuz?
1. Kurulduğunda kare sahibiz kare ilk gün ve kare ikinci; küp haline getirildiğinde - evet küp aynı numara ve küp başka bir numara.
2. Kurulduğunda kare, sahibiz iki katına çıktı sayıların çarpımı (ifadeyi yükselttiğimizden bir kat eksik olan 1'inci kuvvete yükseltilmiş sayılar); inşaat sırasında küp - üç katına çıktı sayılardan birinin karesi olan bir çarpım (bu da ifadeyi yükselttiğimiz kuvvetten 1 kuvvet eksiktir).
3. Kare alırken, açık ifadedeki parantez içindeki işaret, çift çarpım eklenirken (veya çıkarılırken) yansıtılır - parantez içinde bir toplama varsa, o zaman ekleriz, bir çıkarma varsa çıkarırız; bir küpü yükseltirken kural şudur: eğer bir toplam küpümüz varsa, o zaman tüm işaretler “+” olur ve eğer bir fark küpümüz varsa, o zaman işaretler değişir: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .
Terimlerin çarpılması sırasında kuvvetlere bağımlılık dışında yukarıdakilerin tümü şekilde gösterilmiştir.
Pratik yapalım mı? Aşağıdaki ifadelerde parantezleri açın:
Ortaya çıkan ifadeleri karşılaştırın:
Fark ve küp toplamı
Son formül çiftine bakalım: fark ve küp toplamı.
Hatırladığımız gibi kareler farkında bu sayıların farkını ve toplamını birbiriyle çarpıyoruz. Küp farkı ve küp toplamında da iki parantez vardır:
1 parantez - sayıların birinci kuvvetine göre farkı (veya toplamı) (farkı mı yoksa küplerin toplamını mı ortaya çıkardığımıza bağlı olarak);
2. parantez tamamlanmamış bir karedir (yakından bakın: sayıların çift çarpımını çıkarırsak (veya eklersek), bir kare olur), sayıları çarparken işaret orijinal ifadenin işaretinin tersidir.
Konuyu pekiştirmek için birkaç örnek çözelim:
Ortaya çıkan ifadeleri karşılaştırın:
Eğitim
Yanıtlar:
Özetleyelim:
7 kısaltılmış çarpma formülü vardır:
İLERİ DÜZEY
Kısaltılmış çarpma formülleri, ifadeleri basitleştirirken veya polinomları çarpanlarına ayırırken bazı standart eylemleri gerçekleştirmekten kaçınabileceğinizi bildiğiniz formüllerdir. Kısaltılmış çarpma formüllerinin ezbere bilinmesi gerekir!
- Toplamın karesi iki ifade, birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir:
- Kare farkı iki ifade, birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir:
- Karelerin farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir:
- Toplamın küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımı ve ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır:
- Fark küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir:
- Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir:
- Küplerin farkı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin farkının, bu ifadelerin toplamının eksik karesinin çarpımına eşittir:
Şimdi tüm bu formülleri kanıtlayalım.
Kısaltılmış çarpma formülleri. Kanıt.
1. .
Bir ifadenin karesini almak onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
.
Parantezleri açıp benzerlerini verelim:
2. .
Biz de aynısını yapıyoruz: Farkı kendisiyle çarpıyoruz, parantezleri açıp benzerlerini veriyoruz:
.
3. .
Sağ taraftaki ifadeyi alıp parantezleri açalım:
.
4. .
Küplü bir sayı, bu sayının karesiyle çarpılmasıyla temsil edilebilir:
Aynı şekilde:
Küplerin farklılığında işaretler değişir.
6. .
.
7. .
Sağ taraftaki parantezleri açalım:
.
Örnekleri çözmek için kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma
Örnek 1:
İfadelerin anlamını bulun:
Çözüm:
- Toplamın karesi formülünü kullanıyoruz: .
- Bu sayıyı bir fark olarak düşünelim ve farkın karesi formülünü kullanalım: .
Örnek 2:
İfadenin anlamını bulun: .
Çözüm:
İki ifadenin karelerinin farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 3:
Ifadeyi basitleştir:
Çözüm iki şekilde:
Şu formülleri kullanalım: toplamın karesi ve farkın karesi:
II yöntemi.
İki ifadenin karelerinin farkı için formülü kullanalım:
ŞİMDİ SÖZÜNÜZ...
Kısaltılmış çarpma formülleri hakkında bildiğim her şeyi size anlattım.
Şimdi söyle bana, bunları kullanacak mısın? Değilse neden olmasın?
Bu makale hakkında ne düşünüyorsun?
Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.
Yorumlara yazın. Tüm yorumları okuyoruz ve hepsine yanıt veriyoruz.
Ve sınavlarınızda iyi şanslar!
Bir önceki dersimizde çarpanlara ayırma konusunu ele almıştık. İki yöntemde ustalaştık: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak ve gruplamak. Bu derste - aşağıdaki güçlü yöntem: kısaltılmış çarpma formülleri. Kısacası - FSU.
Kısaltılmış çarpma formülleri (toplam ve fark karesi, toplam ve fark küpü, kareler farkı, küplerin toplamı ve farkı) matematiğin tüm dallarında son derece gereklidir. İfadeleri basitleştirmede, denklem çözmede, polinomları çarpmada, kesirleri azaltmada, integralleri çözmede vb. kullanılırlar. ve benzeri. Kısacası onlarla uğraşmak için her türlü neden var. Bunların nereden geldiğini, neden ihtiyaç duyulduğunu, nasıl hatırlanacağını ve nasıl kullanılacağını anlayın.
Anladık mı?)
Kısaltılmış çarpma formülleri nereden geliyor?
Eşitlik 6 ve 7 pek tanıdık bir şekilde yazılmamıştır. Bu biraz tam tersi. Bu bilerek yapılmıştır.) Herhangi bir eşitlik hem soldan sağa hem de sağdan sola çalışır. Bu giriş FSU'ların nereden geldiğini açıkça ortaya koyuyor.
Çarpmadan alınırlar.) Örneğin:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
İşte bu, bilimsel hile yok. Sadece parantezleri çarpıyoruz ve benzerlerini veriyoruz. Bu şekilde ortaya çıkıyor tüm kısaltılmış çarpma formülleri. Kısaltılmışçarpmanın nedeni formüllerin kendisinde parantezlerin çoğaltılması ve benzerlerinin azaltılmasının olmamasıdır. Kısaltılmış.) Sonuç hemen verilir.
FSU'nun ezbere bilinmesi gerekiyor. İlk üçü olmadan C hayal edemezsiniz; geri kalanı olmadan B veya A hayal edemezsiniz.)
Neden kısaltılmış çarpma formüllerine ihtiyacımız var?
Bu formülleri öğrenmenin, hatta ezberlemenin iki nedeni var. Birincisi, hazır bir yanıtın otomatik olarak hata sayısını azaltmasıdır. Ancak asıl sebep bu değil. Ama ikincisi...
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kısaltılmış çarpma formülleri.
Kısaltılmış çarpma formüllerinin incelenmesi: iki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi; iki ifadenin kareleri farkı; iki ifadenin toplamının küpü ve farkının küpü; iki ifadenin küplerinin toplamları ve farkları.
Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.
İfadeleri basitleştirmek, polinomları çarpanlara ayırmak ve polinomları standart forma indirgemek için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin ezbere bilinmesi gerekir.
a, b R olsun. O zaman:
1. İki ifadenin toplamının karesi eşittir birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. İki ifadenin farkının karesi eşittir birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Karelerin farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Toplamın küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımı ve ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Fark küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Küplerin farkı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin farkının, bu ifadelerin toplamının eksik karesinin çarpımına eşittir.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.
Örnek 1.
Hesaplamak
a) İki ifadenin toplamının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) İki ifadenin farkının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Örnek 2.
Hesaplamak
İki ifadenin kareleri farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 3.
Bir ifadeyi basitleştirme
(x - y) 2 + (x + y) 2
İki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi formüllerini kullanalım
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Kısaltılmış çarpma formülleri tek tabloda:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
