Definícia.
Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnaké a všetky štyri uhly sú rovnaké.Obdĺžniky sa od seba líšia iba pomerom dlhej strany ku krátkej strane, ale všetky štyri rohy sú správne, teda 90 stupňov.
Dlhá strana obdĺžnika je tzv dĺžka obdĺžnika a ten krátky - šírka obdĺžnika.
Strany obdĺžnika sú zároveň jeho výškami.
Základné vlastnosti obdĺžnika
Obdĺžnik môže byť rovnobežník, štvorec alebo kosoštvorec.
1. Protiľahlé strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, to znamená, že sú rovnaké:
AB = CD, BC = AD
2. Opačné strany obdĺžnika sú rovnobežné:
3. Priľahlé strany obdĺžnika sú vždy kolmé:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Všetky štyri rohy obdĺžnika sú rovné:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Súčet uhlov obdĺžnika je 360 stupňov:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku:
7. Súčet štvorcov uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov strán:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Každá uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké obrazce, konkrétne pravouhlé trojuholníky.
9. Uhlopriečky obdĺžnika sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Priesečník uhlopriečok sa nazýva stred obdĺžnika a je tiež stredom kružnice opísanej
11. Uhlopriečka obdĺžnika je priemer kružnice opísanej
12. Vždy môžete opísať kruh okolo obdĺžnika, pretože súčet opačných uhlov je 180 stupňov:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Kruh nemožno vpísať do obdĺžnika, ktorého dĺžka sa nerovná jeho šírke, keďže súčty protiľahlých strán sa navzájom nerovnajú (kruh možno vpísať len v špeciálnom prípade obdĺžnika - štvorca) .
Strany obdĺžnika
Definícia.
Dĺžka obdĺžnika je dĺžka dlhšieho páru jeho strán. Šírka obdĺžnika je dĺžka kratšieho páru jeho strán.Vzorce na určenie dĺžok strán obdĺžnika
1. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) cez uhlopriečku a druhú stranu:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) cez oblasť a druhú stranu:
| b = dcos | β |
| 2 |
Uhlopriečka obdĺžnika
Definícia.
Diagonálny obdĺžnik Akýkoľvek segment spájajúci dva vrcholy protiľahlých rohov obdĺžnika sa nazýva.Vzorce na určenie dĺžky uhlopriečky obdĺžnika
1. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika s použitím dvoch strán obdĺžnika (prostredníctvom Pytagorovej vety):
d = √ a 2 + b 2
2. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika pomocou plochy a ľubovoľnej strany:
4. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska polomeru kružnice opísanej:
d = 2R
5. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice:
d = D o
6. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika pomocou sínusu uhla susediaceho s uhlopriečkou a dĺžky strany protiľahlej k tomuto uhlu:
8. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika cez sínus ostrého uhla medzi uhlopriečkami a oblasťou obdĺžnika
d = √2S: hriech β
Obvod obdĺžnika
Definícia.
Obvod obdĺžnika je súčet dĺžok všetkých strán obdĺžnika.Vzorce na určenie dĺžky obvodu obdĺžnika
1. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou dvoch strán obdĺžnika:
P = 2a + 2b
P = 2 (a + b)
2. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou plochy a ľubovoľnej strany:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou uhlopriečky a ľubovoľnej strany:
P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Vzorec pre obvod obdĺžnika s použitím polomeru kružnice opísanej a ľubovoľnej strany:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Vzorec pre obvod obdĺžnika pomocou priemeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Oblasť obdĺžnika
Definícia.
Oblasť obdĺžnika nazývaný priestor ohraničený stranami obdĺžnika, to znamená v rámci obvodu obdĺžnika.Vzorce na určenie plochy obdĺžnika
1. Vzorec pre oblasť obdĺžnika s použitím dvoch strán:
S = a b
2. Vzorec pre oblasť obdĺžnika pomocou obvodu a ľubovoľnej strany:
5. Vzorec pre oblasť obdĺžnika pomocou polomeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Vzorec pre oblasť obdĺžnika pomocou priemeru kružnice opísanej a ktorejkoľvek strany:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Kruh opísaný okolo obdĺžnika
Definícia.
Kruh opísaný okolo obdĺžnika je kružnica prechádzajúca štyrmi vrcholmi obdĺžnika, ktorého stred leží v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.Vzorce na určenie polomeru kružnice opísanej okolo obdĺžnika
1. Vzorec pre polomer kružnice opísanej obdĺžniku cez dve strany:
4. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez uhlopriečku štvorca:
5. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez priemer kruhu (opísaný):
6. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez sínus uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžku strany protiľahlej k tomuto uhlu:
7. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez kosínus uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžku strany tohto uhla:
8. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez sínus ostrého uhla medzi uhlopriečkami a oblasťou obdĺžnika:
Uhol medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika.
Vzorce na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika:
1. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhlopriečku a stranu:
2. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhol medzi uhlopriečkami:
Uhol medzi uhlopriečkami obdĺžnika.
Vzorce na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika:
1. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez uhol medzi stranou a uhlopriečkou:
p = 2α
2. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez plochu a uhlopriečky.
Problém nájdenia uhlopriečky obdĺžnika možno formulovať tromi rôznymi spôsobmi. Pozrime sa bližšie na každý z nich. Metódy závisia od známych údajov, ako teda zistíte uhlopriečku obdĺžnika?
Ak sú známe dve strany
V prípade, že sú známe dve strany obdĺžnika a a b, na nájdenie uhlopriečky je potrebné použiť Pytagorovu vetu: a 2 + b 2 =c 2, tu a a b sú nohy pravouhlého trojuholníka, c je prepona pravouhlého trojuholníka. Keď je uhlopriečka nakreslená v obdĺžniku, je rozdelená na dva pravouhlé trojuholníky. Poznáme dve strany tohto pravouhlého trojuholníka (a a b). To znamená, že na nájdenie uhlopriečky obdĺžnika je potrebný nasledujúci vzorec: c=√(a 2 +b 2), tu c je dĺžka uhlopriečky obdĺžnika.
Podľa známej strany a uhla, medzi stranou a uhlopriečkou
Nech je známa strana obdĺžnika a a uhol, ktorý zviera s uhlopriečkou obdĺžnika α. Najprv si spomeňme na kosínusový vzorec: cos α = a/c, tu c je uhlopriečka obdĺžnika. Ako vypočítať uhlopriečku obdĺžnika z tohto vzorca: c = a/cos α.
Pozdĺž známej strany uhol medzi susednou stranou obdĺžnika a uhlopriečkou.
Keďže uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje samotný obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky, je logické obrátiť sa na definíciu sínusu. Sínus je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.sin α = b/c. Odtiaľ odvodíme vzorec na nájdenie uhlopriečky obdĺžnika, ktorý je zároveň preponou pravouhlého trojuholníka: c = b/sin α.
Teraz ste v tejto veci dôvtipný. Už zajtra môžete potešiť svojho učiteľa geometrie!
Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom je každý uhol pravý.
Dôkaz
Vlastnosť je vysvetlená pôsobením znaku 3 rovnobežníka (to znamená \uhol A = \uhol C , \uholník B = \uhol D )
2. Opačné strany sú si rovné.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Opačné strany sú rovnobežné.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Susedné strany sú na seba kolmé.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.
AC = BD
Dôkaz
Podľa majetok 1 obdĺžnik je rovnobežník, čo znamená AB = CD.
Preto \triangle ABD = \triangle DCA na dvoch nohách (AB = CD a AD - kĺb).
Ak sú obe čísla ABC a DCA totožné, potom sú ich prepony BD a AC tiež rovnaké.
Takže AC = BD.
Zo všetkých obrázkov (iba rovnobežníkov!) má iba obdĺžnik rovnaké uhlopriečky.
Dokážme aj toto.
ABCD je rovnobežník \Šípka doprava AB = CD, AC = BD podľa podmienky. \Rightarrow \triangle ABD = \trojuholník DCA už na troch stranách.
Ukazuje sa, že \uhol A = \uhol D (ako uhly rovnobežníka). A \uhol A = \uhol C , \uhol B = \uhol D .
Dospeli sme k záveru \uhol A = \uhol B = \uhol C = \uhol D. Všetky majú 90^(\circ) . Celkovo - 360^(\circ) .
Osvedčené!
6. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov jej dvoch susedných strán.
Táto vlastnosť je pravdivá vďaka Pytagorovej vete.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Uhlopriečka rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Priesečník uhlopriečok ich rozdeľuje na polovicu.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Priesečník uhlopriečok je stredom obdĺžnika a kružnice opísanej.
10. Súčet všetkých uhlov je 360 stupňov.
\uhol ABC + \uhol BCD + \uhol CDA + \uhol DAB = 360^(\circ)
11. Všetky uhly obdĺžnika sú pravé.
\uhol ABC = \uhol BCD = \uhol CDA = \uhol DAB = 90^(\circ)
12. Priemer kružnice opísanej okolo obdĺžnika sa rovná uhlopriečke obdĺžnika.
13. Vždy môžete opísať kruh okolo obdĺžnika.
Táto vlastnosť je pravdivá, pretože súčet opačných uhlov obdĺžnika je 180^(\circ)
\uhol ABC = \uhol CDA = 180^(\circ),\enspace \uhol BCD = \uhol DAB = 180^(\circ)
14. Obdĺžnik môže obsahovať vpísanú kružnicu a iba jednu, ak má rovnakú dĺžku strán (je to štvorec).
