Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom opakovaného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si to vzorcom: a1 * a2 * … * an = an.
Napríklad a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Vo všeobecnosti sa umocňovanie často používa v rôznych vzorcoch v matematike a fyzike. Táto funkcia má vedeckejší účel ako štyri hlavné: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.
Zvýšenie čísla na mocnosť
Zvýšenie čísla na mocninu nie je zložitá operácia. S násobením súvisí podobne ako vzťah medzi násobením a sčítaním. Zápis an je krátky zápis n-tého počtu čísel „a“ vynásobených navzájom.
Zvážte umocňovanie pomocou najjednoduchších príkladov a prejdite na zložité.
Napríklad 42, 42 = 4 * 4 = 16. Štyri na druhú (na druhú mocninu) sa rovná šestnástim. Ak nerozumiete násobeniu 4 * 4, prečítajte si náš článok o násobení.
Pozrime sa na ďalší príklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Päť kociek (na tretiu mocninu) sa rovná sto dvadsaťpäťke.
Ďalší príklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deväť kociek sa rovná sedemstodvadsaťdeväť.
Vzorce umocňovania
Ak chcete správne zvýšiť výkon, musíte si zapamätať a poznať vzorce uvedené nižšie. Nie je v tom nič extra prirodzené, hlavné je pochopiť podstatu a potom si ich nielen zapamätajú, ale budú sa aj zdať ľahké.
Povýšenie monomiálu na moc
Čo je to monomial? Ide o súčin čísel a premenných v akomkoľvek množstve. Napríklad dvojka je jednočlenný. A tento článok je práve o pozdvihnutí takýchto monomálov na mocnosti.
Pomocou vzorcov na umocnenie nebude ťažké vypočítať umocnenie jednočlenu.
Napríklad, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ak zvýšite jednočlen na mocninu, potom sa každá zložka jednočlena zvýši na mocninu.
Zvýšením premennej, ktorá už má mocninu, sa mocniny znásobia. Napríklad (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Povýšenie na negatívnu silu
Záporná mocnosť je prevrátená hodnota čísla. Aké je recipročné číslo? Prevrátená hodnota ľubovoľného čísla X je 1/X. To znamená, že X-1 = 1/X. Toto je podstata negatívneho stupňa.
Zvážte príklad (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
prečo je to tak? Keďže v stupni je mínus, jednoducho tento výraz prenesieme do menovateľa a potom ho zvýšime na tretiu mocninu. Jednoduché nie?
Zvýšenie na zlomkovú silu
Začnime tým, že sa na danú problematiku pozrieme na konkrétnom príklade. 43/2. Čo znamená stupeň 3/2? 3 – čitateľ, znamená zvýšenie čísla (v tomto prípade 4) na kocku. Číslo 2 je menovateľ; je to extrakcia druhej odmocniny čísla (v tomto prípade 4).
Potom dostaneme druhú odmocninu z 43 = 2^3 = 8. odpoveď: 8.
Takže menovateľ zlomkovej mocniny môže byť 3 alebo 4 a až do nekonečna akékoľvek číslo a toto číslo určuje stupeň druhej odmocniny z daného čísla. Samozrejme, menovateľ nemôže byť nula.
Pozdvihnutie koreňa k moci
Ak je koreň zvýšený na stupeň rovný stupňu samotného koreňa, potom bude odpoveďou radikálny výraz. Napríklad (√x)2 = x. A tak v každom prípade, stupeň koreňa a stupeň zdvihnutia koreňa sú rovnaké.
Ak (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Pre kontrolu riešenia prevedieme výraz na výraz s desatinnou mocninou. Keďže odmocnina je štvorcová, menovateľ je 2. A ak sa odmocnina zvýši na štvrtú mocninu, potom je čitateľ 4. Dostaneme 4/2=2. Odpoveď: x = 2.
V každom prípade je najlepšou možnosťou jednoducho previesť výraz na výraz so zlomkovou mocninou. Ak sa zlomok neruší, potom je to odpoveď za predpokladu, že koreň daného čísla nie je izolovaný.
Zvýšenie komplexného čísla na mocninu
Čo je to komplexné číslo? Komplexné číslo je výraz, ktorý má vzorec a + b * i; a, b sú reálne čísla. i je číslo, ktoré po druhej mocnine dáva číslo -1.
Pozrime sa na príklad. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálnu aritmetiku, NIE mentálnu aritmetiku“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca extrahovať odmocniny. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy.
Umocňovanie online
Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať zvýšenie čísla na mocninu:
Umocňovanie 7. ročník
Školáci sa začínajú zvyšovať až v siedmom ročníku.
Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom opakovaného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si to vzorcom: a1 * a2 * … * an=an.
Napríklad, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Príklady riešenia:
Prezentácia umocňovania
Prezentácia o zvyšovaní síl, určená pre žiakov siedmeho ročníka. Prezentácia môže objasniť niektoré nejasné body, ale tieto body sa pravdepodobne vďaka nášmu článku nevyjasnia.
Spodná čiara
Pozreli sme sa len na špičku ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlenie mentálnej aritmetiky – NIE mentálnej aritmetiky.
Na kurze sa nielen naučíte desiatky techník na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie a počítanie percent, ale precvičíte si ich aj v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálna aritmetika si tiež vyžaduje veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.
Skrátené vzorce alebo pravidlá násobenia sa používajú v aritmetike, presnejšie v algebre, na urýchlenie procesu vyhodnocovania veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sú odvodené z pravidiel existujúcich v algebre pre násobenie niekoľkých polynómov.
Použitie týchto vzorcov poskytuje pomerne rýchle riešenie rôznych matematických problémov a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Pravidlá algebraických transformácií vám umožňujú vykonávať niektoré manipulácie s výrazmi, po ktorých môžete získať na ľavej strane rovnosti výraz na pravej strane alebo transformovať pravú stranu rovnosti (na získanie výrazu na ľavej strane za znakom rovnosti).
Vzorce používané na skrátené násobenie je vhodné poznať z pamäte, pretože sa často používajú pri riešení úloh a rovníc. Nižšie sú uvedené hlavné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich názvy.
Štvorec súčtu
Ak chcete vypočítať druhú mocninu súčtu, musíte nájsť súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého člena, dvojnásobku súčinu prvého a druhého a druhej mocniny druhého. Vo forme výrazu je toto pravidlo napísané takto: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Štvorcový rozdiel
Ak chcete vypočítať druhú mocninu rozdielu, musíte vypočítať súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého čísla, dvojnásobku súčinu prvého čísla a druhého (s opačným znamienkom) a druhej mocniny druhého čísla. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Rozdiel štvorcov
Vzorec pre rozdiel dvoch čísel na druhú sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Kocka súčtu
Ak chcete vypočítať kocku súčtu dvoch členov, musíte vypočítať súčet pozostávajúci z kocky prvého členu, trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého členu a druhého, trojnásobok súčinu prvého členu a druhého členu. na druhú a kocku druhého členu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Súčet kociek
Podľa vzorca sa rovná súčinu súčtu týchto členov a ich neúplnej druhej mocniny rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca vytvoreného pridaním dvoch kociek. Známe sú len veľkosti ich strán.
Ak sú bočné hodnoty malé, výpočty sú jednoduché.
Ak sú dĺžky strán vyjadrené ťažkopádnymi číslami, potom je v tomto prípade jednoduchšie použiť vzorec „Súčet kociek“, čo výrazne zjednoduší výpočty.
Rozdielová kocka
Výraz pre kubický rozdiel znie takto: ako súčet tretej mocniny prvého člena strojnásobte záporný súčin druhej mocniny prvého člena druhým, strojnásobte súčin prvého mocniny druhou mocninou druhého a záporná kocka druhého termínu. Vo forme matematického výrazu vyzerá kocka rozdielu takto: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Rozdiel kociek
Vzorec rozdielu kociek sa od súčtu kociek líši iba jedným znamienkom. Rozdiel kociek je teda vzorec rovný súčinu rozdielu týchto čísel a ich neúplnej druhej mocniny súčtu. Vo forme vyzerá rozdiel kociek takto: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca, ktorý zostane po odčítaní žltého objemového obrazca, ktorý je tiež kockou, od objemu modrej kocky. Známa je len veľkosť strany malej a veľkej kocky.
Ak sú bočné hodnoty malé, výpočty sú pomerne jednoduché. A ak sú dĺžky strán vyjadrené vo významných číslach, potom sa oplatí použiť vzorec s názvom „Rozdiel kociek“ (alebo „Kocka rozdielu“), čo výrazne zjednoduší výpočty.
Skrátené vzorce násobenia. Školenie.
Skúste takto vyhodnotiť nasledujúce výrazy:
Odpovede:
Alebo, ak poznáte druhé mocniny základných dvojciferných čísel, spomeňte si, koľko to je? Pamätáš si? . Skvelé! Keďže robíme druhú mocninu, musíme násobiť. Ukazuje sa, že.
Pamätajte, že vzorce na druhú súčet a druhú mocninu rozdielu platia nielen pre číselné výrazy:
Sami si vypočítajte nasledujúce výrazy:
Odpovede:
Skrátené vzorce násobenia. Spodná čiara.
Poďme si to trochu zhrnúť a napísať vzorce pre druhú mocninu súčtu a rozdielu do jedného riadku:
Teraz si precvičme „zostavenie“ vzorca z rozloženého pohľadu na zobrazenie. Túto zručnosť budeme potrebovať neskôr pri prevode veľkých výrazov.
Povedzme, že máme nasledujúci výraz:
Vieme, že druhá mocnina súčtu (alebo rozdielu) je štvorec jedného čísla štvorec iného čísla A dvojnásobok súčinu týchto čísel.
V tomto probléme je ľahké vidieť druhú mocninu jedného čísla - toto. V súlade s tým je jedno z čísel v zátvorke druhá odmocnina z, tj
Keďže druhý člen obsahuje, znamená to, že ide o dvojitý súčin jedného a druhého čísla:
Kde je druhé číslo zahrnuté v našej zátvorke?
Druhé číslo v zátvorke sa rovná.
Skontrolujme to. by mala byť rovnaká. V skutočnosti je to tak, čo znamená, že sme našli obe čísla v zátvorkách: a. Zostáva určiť znamenie, ktoré stojí medzi nimi. Čo si myslíte, aké znamenie tam bude?
Správny! Keďže my pridať Ak je súčin zdvojnásobený, medzi číslami bude znak sčítania. Teraz zapíšte transformovaný výraz. Zvládli ste to? Mali by ste získať nasledovné:
Poznámka: Zmena miesta výrazov neovplyvní výsledok (nezáleží na tom, či je medzi a umiestnené sčítanie alebo odčítanie).
Absolútne nie je potrebné, aby výrazy v konvertovanom výraze boli také, ako sú napísané vo vzorci. Pozrite sa na tento výraz: . Skúste to previesť sami. Stalo?
Cvičte - transformujte nasledujúce výrazy:
Odpovede: Zvládli ste to? Opravme tému. Vyberte si z nižšie uvedených výrazov tie, ktoré môžu byť vyjadrené ako druhá mocnina súčtu alebo rozdielu.
- - dokázať, že je rovnocenný.
- - nemôže byť znázornený ako štvorec; dalo by sa predstaviť, keby namiesto toho existoval.
Rozdiel štvorcov
Ďalším skráteným vzorcom na násobenie je rozdiel štvorcov.
Rozdiel štvorcov nie je druhou mocninou rozdielu!
Rozdiel medzi druhými mocničkami dvoch čísel sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu:
Pozrime sa, či je tento vzorec správny. Aby sme to urobili, vynásobme, ako sme to urobili pri odvodzovaní vzorcov pre druhú mocninu súčtu a rozdielu:
Takže sme práve overili, že vzorec je skutočne správny. Tento vzorec tiež zjednodušuje zložité výpočtové operácie. Tu je príklad:
Je potrebné vypočítať: . Samozrejme, môžeme odmocniť, potom odmocniť a odpočítať jeden od druhého, ale vzorec nám to uľahčuje:
Stalo? Porovnajme výsledky:
Rovnako ako druhá mocnina súčtu (rozdiel), aj vzorec rozdielu štvorcov sa dá použiť nielen s číslami:
Vedieť vypočítať rozdiel druhých mocnín nám pomôže transformovať zložité matematické výrazy.
Dávaj pozor:
Keďže pri rozklade rozdielu správneho výrazu druhou mocninou dostaneme
Buďte opatrní a zistite, ktorý konkrétny výraz sa umocňuje na druhú! Ak chcete tému upevniť, transformujte nasledujúce výrazy:
Napísal si to? Porovnajme výsledné výrazy:
Teraz, keď ste zvládli druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu, ako aj rozdiel druhých mocnín, skúsme vyriešiť príklady na kombináciu týchto troch vzorcov.
Konverzia elementárnych výrazov (druhý súčet, druhý mocninový rozdiel, rozdiel druhých mocnín)
Povedzme, že sme dostali príklad
Tento výraz je potrebné zjednodušiť. Pozrite sa pozorne, čo vidíte v čitateli? Správne, čitateľ je dokonalý štvorec:
Pri zjednodušovaní výrazu nezabúdajte, že kľúčom, ktorým smerom sa pri zjednodušení vydať, je menovateľ (alebo čitateľ). V našom prípade, keď je menovateľ rozšírený a už sa nedá nič urobiť, môžeme pochopiť, že čitateľ bude buď druhá mocnina súčtu alebo druhá mocnina rozdielu. Keďže sčítavame, je jasné, že čitateľ je druhá mocnina súčtu.
Skúste sami previesť nasledujúce výrazy:
Stalo? Porovnajte odpovede a pokračujte!
Kocka súčtu a kocka rozdielu
Vzorce súčtovej a rozdielovej kocky sú odvodené rovnakým spôsobom ako štvorec súčtu A štvorcový rozdiel: otváranie zátvoriek pri vzájomnom násobení pojmov.
Ak je druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu veľmi ľahko zapamätateľná, potom vyvstáva otázka: „ako si zapamätať kocky?
Pozorne si prezrite dva opísané vzorce v porovnaní s umocnením podobných výrazov:
Aký vzor vidíš?
1. Pri postavení v námestie máme námestie prvý deň a námestie druhý; keď sa zdvihne na kocku - áno kocka rovnaké číslo a kocka iné číslo.
2. Pri postavení v námestie, máme zdvojnásobil súčin čísel (čísla umocnené na 1. mocninu, čo je o jednu mocninu menej ako tá, na ktorú výraz umocníme); počas výstavby v kocka - strojnásobil súčin, v ktorom je jedno z čísel odmocnené (čo je tiež o 1 mocninu menej ako mocnina, na ktorú výraz umocníme).
3. Pri kvadratúre sa znamienko v zátvorke v otvorenom výraze prejaví pri sčítaní (alebo odčítaní) dvojitého súčinu - ak je v zátvorke sčítanie, tak sčítame, ak je odčítanie, odčítame; pri zdvíhaní kocky platí toto pravidlo: ak máme súčtovú kocku, potom sú všetky znamienka „+“ a ak máme kocku rozdielu, znamienka sa striedajú: „ “ - „ “ - „ “ - „ “ .
Všetko uvedené, okrem závislosti mocnín pri násobení členov, je znázornené na obrázku.
Zacvičíme si? Otvorte zátvorky v nasledujúcich výrazoch:
Porovnajte výsledné výrazy:
Rozdiel a súčet kociek
Pozrime sa na poslednú dvojicu vzorcov: rozdiel a súčet kociek.
Ako si pamätáme, v rozdiele štvorcov násobíme rozdiel a súčet týchto čísel navzájom. V rozdiele kociek a súčtu kociek sú tiež dve zátvorky:
1 zátvorka - rozdiel (alebo súčet) čísel k prvej mocnine (podľa toho, či odhalíme rozdiel alebo súčet kociek);
2. zátvorka je neúplný štvorec (pozrime sa pozorne: ak by sme odčítali (alebo pripočítali) dvojitý súčin čísel, vznikol by štvorec), znamienko pri násobení čísel je opačné ako znamienko pôvodného výrazu.
Na posilnenie témy vyriešme niekoľko príkladov:
Porovnajte výsledné výrazy:
Školenie
Odpovede:
Poďme si to zhrnúť:
Existuje 7 skrátených vzorcov na násobenie:
POKROČILÁ ÚROVEŇ
Skrátené vzorce násobenia sú vzorce, o ktorých viete, že sa môžete vyhnúť vykonávaniu niektorých štandardných akcií pri zjednodušovaní výrazov alebo faktorizácii polynómov. Skrátené vzorce násobenia treba vedieť naspamäť!
- Štvorec súčtu dva výrazy sa rovná druhej mocnine prvého výrazu plus dvojnásobku súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu:
- Štvorcový rozdiel dva výrazy sa rovná druhej mocnine prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu:
- Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov a ich súčtu:
- Kocka súčtu dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého plus kocky druhého výrazu:
- Rozdielová kocka dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého výrazu:
- Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu a neúplnej druhej mocniny rozdielu týchto výrazov:
- Rozdiel kociek dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov:
Teraz dokážme všetky tieto vzorce.
Skrátené vzorce násobenia. Dôkaz.
1. .
Umocniť výraz znamená vynásobiť ho samotným:
.
Otvorme zátvorky a dáme podobné:
2. .
Robíme to isté: vynásobíme rozdiel, otvoríme zátvorky a dáme podobné:
.
3. .
Zoberme si výraz na pravej strane a otvorme zátvorky:
.
4. .
Kockové číslo môže byť vyjadrené ako toto číslo vynásobené jeho druhou mocninou:
Podobne:
V rozdiele kociek sa znaky striedajú.
6. .
.
7. .
Otvorme zátvorky na pravej strane:
.
Používanie skrátených vzorcov na násobenie na riešenie príkladov
Príklad 1:
Nájdite význam výrazov:
Riešenie:
- Používame vzorec štvorec súčtu: .
- Predstavme si toto číslo ako rozdiel a na druhú mocninu rozdielu použijeme vzorec: .
Príklad 2:
Nájdite význam výrazu: .
Riešenie:
Pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov dostaneme:
Príklad 3:
Zjednodušte výraz:
Riešenie dvoma spôsobmi:
Použime vzorce: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu:
II metóda.
Použime vzorec na rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov:
TERAZ VAŠE SLOVO...
Povedal som vám všetko, čo viem o vzorcoch skráteného násobenia.
Povedz mi teraz, použiješ ich? Ak nie, prečo nie?
Čo si myslíte o tomto článku?
Možno máte otázky. Alebo návrhy.
Napíšte do komentárov. Čítame všetky komentáre a odpovedáme na všetky.
A veľa šťastia na skúškach!
V predchádzajúcej lekcii sme sa zaoberali faktorizáciou. Zvládli sme dve metódy: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek a zoskupenie. V tejto lekcii - nasledujúca výkonná metóda: skrátené vzorce násobenia. V skratke – FSU.
Skrátené vzorce na násobenie (súčet a rozdiel štvorec, súčet a rozdiel kocka, rozdiel druhých mocnín, súčet a rozdiel kociek) sú mimoriadne potrebné vo všetkých odvetviach matematiky. Používajú sa pri zjednodušovaní výrazov, riešení rovníc, násobení polynómov, redukcii zlomkov, riešení integrálov atď. a tak ďalej. Stručne povedané, existujú všetky dôvody, prečo sa nimi zaoberať. Pochopte, odkiaľ pochádzajú, prečo sú potrebné, ako si ich zapamätať a ako ich používať.
Rozumieme sa?)
Odkiaľ pochádzajú vzorce pre skrátené násobenie?
Rovnosti 6 a 7 nie sú napísané veľmi známym spôsobom. Je to akosi naopak. Toto je zámer.) Akákoľvek rovnosť funguje zľava doprava aj sprava doľava. Tento záznam objasňuje, odkiaľ FSU pochádzajú.
Sú prevzaté z násobenia.) Napríklad:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
To je všetko, žiadne vedecké triky. Jednoducho vynásobíme zátvorky a dáme podobné. Takto to dopadá všetky skrátené vzorce násobenia. Skrátené násobenie je preto, že v samotných vzorcoch nedochádza k násobeniu zátvoriek a redukcii podobných. Skrátené.) Výsledok je hneď uvedený.
FSU treba vedieť naspamäť. Bez prvých troch nemôžete snívať o C; bez zvyšku nemôžete snívať o B alebo A.)
Prečo potrebujeme skrátené vzorce násobenia?
Existujú dva dôvody, prečo sa tieto vzorce naučiť, dokonca si ich zapamätať. Prvým je, že hotová odpoveď automaticky znižuje počet chýb. Ale to nie je hlavný dôvod. Ale ten druhý...
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Skrátené vzorce násobenia.
Štúdium skrátených vzorcov na násobenie: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov; kocka súčtu a kocka rozdielu dvoch výrazov; súčty a rozdiely kociek dvoch výrazov.
Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.
Na zjednodušenie výrazov, faktorizácia polynómov a redukcia polynómov na štandardný tvar sa používajú skrátené vzorce násobenia. Skrátené vzorce násobenia je potrebné poznať naspamäť.
Nech a, b R. Potom:
1. Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov sa rovná druhá mocnina prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov sa rovná druhá mocnina prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhý plus druhá mocnina druhého výrazu.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov a ich súčtu.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kocka súčtu dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého plus kocky druhého výrazu.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Rozdielová kocka dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus súčin druhej mocniny druhého výrazu.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu a neúplnej druhej mocniny rozdielu týchto výrazov.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Rozdiel kociek dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.
Príklad 1
Vypočítajte
a) Pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch výrazov máme
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Pomocou vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov získame
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10 000 – 400 + 4 = 9604
Príklad 2
Vypočítajte
Pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov dostaneme
Príklad 3
Zjednodušte výraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Použime vzorce pre druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skrátené vzorce násobenia v jednej tabuľke:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
