Graficele funcțiilor pare și impare au următoarele caracteristici:
Dacă o funcție este pară, atunci graficul ei este simetric față de ordonată. Dacă o funcție este impară, atunci graficul ei este simetric față de origine.
Exemplu. Construiți un grafic al funcției \(y=\left|x \right|\).Soluţie. Luați în considerare funcția: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) și înlocuiți opusul \(-x \) în loc de \(x \). Ca rezultat al transformărilor simple obținem: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ În alte cuvinte, dacă înlocuiți argumentul cu semnul opus, funcția nu se va modifica.
Aceasta înseamnă că această funcție este pară, iar graficul ei va fi simetric față de axa ordonatelor (axa verticală). Graficul acestei funcții este prezentat în figura din stânga. Aceasta înseamnă că atunci când construiți un grafic, puteți desena doar jumătate, iar a doua parte (la stânga axei verticale, desenați simetric la partea dreaptă). Prin determinarea simetriei unei funcții înainte de a începe reprezentarea graficului acesteia, puteți simplifica foarte mult procesul de construire sau studiere a funcției. Dacă este dificil să faci check-in vedere generala, o puteți face mai simplu: înlocuiți aceleași valori ale diferitelor semne în ecuație. De exemplu -5 și 5. Dacă valorile funcției se dovedesc a fi aceleași, atunci putem spera că funcția va fi egală. Din punct de vedere matematic, această abordare nu este în întregime corectă, dar din punct de vedere practic este convenabilă. Pentru a crește fiabilitatea rezultatului, puteți înlocui mai multe perechi de astfel de valori opuse.
Exemplu. Construiți un grafic al funcției \(y=x\left|x \right|\).
Soluţie. Să verificăm la fel ca în exemplul anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Aceasta înseamnă că funcția inițială este impară (semnul funcției s-a schimbat în opus).
Concluzie: funcția este simetrică față de origine. Puteți construi doar o jumătate și o puteți desena simetric pe a doua. Acest tip de simetrie este mai dificil de desenat. Aceasta înseamnă că te uiți la diagramă din cealaltă parte a foii și chiar cu susul în jos. Sau puteți face acest lucru: luați partea desenată și rotiți-o în jurul originii cu 180 de grade în sens invers acelor de ceasornic.
Exemplu. Construiți un grafic al funcției \(y=x^3+x^2\).
Soluţie. Să efectuăm aceeași verificare pentru schimbarea semnului ca în cele două exemple anterioare. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Ca rezultat, obținem că: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Și asta înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.
Concluzie: funcția nu este simetrică nici față de originea, nici față de centrul sistemului de coordonate. Acest lucru s-a întâmplat deoarece este suma a două funcții: par și impar. Aceeași situație se va întâmpla dacă scădeți două funcții diferite. Dar înmulțirea sau împărțirea va duce la un rezultat diferit. De exemplu, produsul dintre o funcție pare și o funcție impară produce o funcție impară. Sau câtul a două numere impare duce la o funcție pară.
Uniformitatea și ciudățenia unei funcții sunt una dintre principalele sale proprietăți, iar paritatea ocupă o parte impresionantă curs şcolar matematică. Determină în mare măsură comportamentul funcției și facilitează foarte mult construcția graficului corespunzător.
Să determinăm paritatea funcției. În general, funcția studiată este considerată chiar dacă pentru valori opuse ale variabilei independente (x) situate în domeniul său de definire, valorile corespunzătoare ale lui y (funcție) se dovedesc a fi egale.
Să dăm o definiție mai strictă. Luați în considerare o funcție f (x), care este definită în domeniul D. Va fi chiar dacă pentru orice punct x situat în domeniul definiției:
- -x (punctul opus) se află și el în acest domeniu,
- f(-x) = f(x).
Din definiția de mai sus rezultă condiția necesară domeniului de definire a unei astfel de funcții și anume simetria față de punctul O, care este originea coordonatelor, întrucât dacă un punct b este conținut în domeniul de definire al unui par funcția, atunci punctul corespunzător b se află și el în acest domeniu. Din cele de mai sus rezultă, așadar, concluzia: funcția pare are o formă simetrică față de axa ordonatelor (Oy).
Cum se determină paritatea unei funcții în practică?
Fie specificat folosind formula h(x)=11^x+11^(-x). Urmând algoritmul care decurge direct din definiție, examinăm mai întâi domeniul său de definiție. Evident, este definit pentru toate valorile argumentului, adică prima condiție este îndeplinită.
Următorul pas este să înlocuiți argumentul (x) cu valoarea opusă (-x).
Primim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Deoarece adunarea satisface legea comutativă (comutativă), este evident că h(-x) = h(x) și dependența funcțională dată este pară.
Să verificăm paritatea funcției h(x)=11^x-11^(-x). Urmând același algoritm, obținem că h(-x) = 11^(-x) -11^x. Scotând minusul, până la urmă avem
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prin urmare, h(x) este impar.
Apropo, trebuie amintit că există funcții care nu pot fi clasificate în funcție de aceste criterii; ele nu se numesc nici pare, nici impare.
Chiar și funcțiile au o serie de proprietăți interesante:
- ca urmare a adăugării de funcții similare, ele obțin una par;
- ca urmare a scăderii unor astfel de funcții, se obține una par;
- chiar, de asemenea chiar;
- ca urmare a înmulțirii a două astfel de funcții se obține una par;
- ca urmare a înmulțirii funcțiilor pare și impare, se obține una impar;
- ca urmare a împărțirii funcțiilor pare și impare, se obține una impar;
- derivata unei astfel de funcții este impară;
- Dacă pătrați o funcție impară, obțineți una par.
Paritatea unei funcții poate fi folosită pentru a rezolva ecuații.
Pentru a rezolva o ecuație ca g(x) = 0, unde partea stângă a ecuației este o funcție pară, va fi suficient să-i găsiți soluțiile pentru valorile nenegative ale variabilei. Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie combinate cu numerele opuse. Una dintre ele este supusă verificării.
Acesta este, de asemenea, utilizat cu succes pentru a rezolva probleme non-standard cu un parametru.
De exemplu, există vreo valoare a parametrului a pentru care ecuația 2x^6-x^4-ax^2=1 va avea trei rădăcini?
Dacă luăm în considerare că variabila intră în ecuație în puteri pare, atunci este clar că înlocuirea x cu - x nu va schimba ecuația dată. Rezultă că, dacă un anumit număr este rădăcina lui, atunci numărul opus este și rădăcina. Concluzia este evidentă: rădăcinile unei ecuații care sunt diferite de zero sunt incluse în mulțimea soluțiilor sale în „perechi”.
Este clar că numărul în sine nu este 0, adică numărul de rădăcini ale unei astfel de ecuații poate fi doar par și, firește, pentru orice valoare a parametrului nu poate avea trei rădăcini.
Dar numărul de rădăcini ale ecuației 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 poate fi impar și pentru orice valoare a parametrului. Într-adevăr, este ușor de verificat că mulțimea rădăcinilor acestei ecuații conține soluții „în perechi”. Să verificăm dacă 0 este o rădăcină. Când o înlocuim în ecuație, obținem 2=2. Astfel, pe lângă cele „pereche”, 0 este și rădăcină, ceea ce dovedește numărul lor impar.
Dependența unei variabile y de o variabilă x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Pentru desemnare folosiți notația y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.
Aruncă o privire mai atentă asupra proprietății de paritate.
O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:
2. Valoarea funcției în punctul x, aparținând domeniului de definire a funcției, trebuie să fie egală cu valoarea funcției în punctul -x. Adică, pentru orice punct x, următoarea egalitate trebuie satisfăcută din domeniul de definiție al funcției: f(x) = f(-x).
Graficul unei funcții pare
Dacă trasați un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa Oy.
De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.
Să luăm un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.
Figura arată că graficul este simetric față de axa Oy.
Graficul unei funcții impare
O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:
1. Domeniul de definire al unei funcții date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică, dacă un punct a aparține domeniului de definire al funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului definiției a functiei date.
2. Pentru orice punct x trebuie îndeplinită următoarea egalitate din domeniul definiției funcției: f(x) = -f(x).
Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea coordonatelor. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.
Să luăm un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.
Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiective:
- formează conceptul de paritate și ciudat al unei funcții, învață capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
- dezvoltarea activității creative a elevilor, gandire logica, capacitatea de a compara, de a generaliza;
- cultivați munca grea și cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .
Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.
Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.
Surse de informare:
1. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Cartea cu probleme.
3. Algebră clasa a IX-a. Sarcini pentru învățarea și dezvoltarea elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
ÎN CURILE CURĂRILOR
1. Moment organizatoric
Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție.
2. Verificarea temelor
Nr. 10.17 (caietul cu probleme de clasa a IX-a. A.G. Mordkovich).
A) la = f(X), f(X) = 
b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 la X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la naim = – 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.
(Ați folosit un algoritm de explorare a funcțiilor?) Slide.
2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat din diapozitiv.
| Umple tabelul | |||||
Domeniu |
Zerourile funcției |
Intervale de constanță a semnelor |
Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Actualizarea cunoștințelor
– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de aplicare a definiției pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și – 2.
– Pentru care dintre aceste funcții din domeniul definiției sunt valabile egalitățile f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (introduceți datele obținute în tabel) Slide
| f(1) și f(– 1) | f(2) și f(– 2) | grafică | f(– X) = –f(X) | f(– X) = f(X) | ||
| 1. f(X) = | ||||||
| 2. f(X) = X 3 | ||||||
| 3. f(X) = | X | | ||||||
| 4.f(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. f(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. f(X)= | X > –1 | și nedefinită |
4. Material nou
– În timp ce făceam această muncă, băieți, am identificat o altă proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Notați subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm să determinăm uniformitatea și neobișnuirea unei funcții, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și trasarea graficelor.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide
Def. 1 Funcţie la = f (X), definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X este executat egalitatea f(–x)= f(x). Dă exemple.
Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este valabilă. Dă exemple.
Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n– un număr întreg, se poate argumenta că funcția este impară când n– impar și funcția este par când n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu sunt nici pare, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt satisfăcute f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
Studiul dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul parității unei funcții. Slide
În definițiile 1 și 2 vorbeam despre valorile funcției la x și – x, prin urmare se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.
Def 3. Dacă o mulțime numerică, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus –x, atunci mulțimea X numită mulţime simetrică.
Exemple:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt asimetrice.
– Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție care este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
– Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) – par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Este adevărată afirmația inversă: dacă domeniul de definire al unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
– Aceasta înseamnă că prezența unei mulțimi simetrice a domeniului de definiție este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum examinezi o funcție pentru paritate? Să încercăm să creăm un algoritm.
Slide
Algoritm pentru studierea unei funcții pentru paritate
1. Stabiliți dacă domeniul de definire al funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.
2. Scrie o expresie pentru f(–X).
3. Comparați f(–X).Și f(X):
- Dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
- Dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
- Dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.
Exemple:
Examinați funcția a) pentru paritate la= x 5 +; b) la= ; V) la= .
Soluţie.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funcție h(x)= x 5 + impar.
b) y =,
la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), o mulțime asimetrică, ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opțiunea 2
1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție uniformă.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție impară.
Verificare reciprocă diapozitiv.
6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;
Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.
***(Atribuirea opțiunii de examinare unificată de stat).
1. Funcția impară y = f(x) este definită pe întreaga dreaptă numerică. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.
7. Rezumând
