Reducerea fracțiilor este necesară pentru a reduce fracția la o formă mai simplă, de exemplu, în răspunsul obținut în urma rezolvării unei expresii.
Fracții reducătoare, definiție și formulă.
Ce este fracțiile reducătoare? Ce înseamnă reducerea unei fracții?
Definiție:
Fracții reducătoare- aceasta este împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la același număr pozitiv nu este egal cu zero și unu. În urma reducerii se obține o fracție cu numărător și numitor mai mici, egală cu fracția anterioară conform.
Formula pentru reducerea fracțiilor proprietatea principala numere rationale.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Să ne uităm la un exemplu:
Reduceți fracția \(\frac(9)(15)\)
Soluţie:
Putem factoriza o fracție în factori primi și anulăm factorii comuni.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Răspuns: după reducere obținem fracția \(\frac(3)(5)\). Conform proprietății de bază a numerelor raționale, fracțiile inițiale și cele rezultate sunt egale.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Cum se reduc fracțiile? Reducerea unei fracții la forma sa ireductibilă.
Pentru a obține o fracție ireductibilă ca rezultat, avem nevoie găsiți cel mai mare divizor comun (GCD) pentru numărătorul și numitorul fracției.
Există mai multe moduri de a găsi GCD; în exemplu vom folosi descompunerea numerelor în factori primi.
Obțineți fracția ireductibilă \(\frac(48)(136)\).
Soluţie:
Să găsim GCD(48, 136). Să scriem numerele 48 și 136 în factori primi.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
MCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Regula pentru reducerea unei fracții la o formă ireductibilă.
- Trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun pentru numărător și numitor.
- Trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun pentru a obține o fracție ireductibilă ca rezultat al împărțirii.
Exemplu:
Reduceți fracția \(\frac(152)(168)\).
Soluţie:
Să găsim GCD(152, 168). Să scriem numerele 152 și 168 în factori primi.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Răspuns: \(\frac(19)(21)\) este o fracție ireductibilă.
Reducerea fracțiilor improprii.
Cum se reduce o fracție necorespunzătoare?
Regulile pentru reducerea fracțiilor sunt aceleași pentru fracțiile proprii și improprii.
Să ne uităm la un exemplu:
Reduceți fracția improprie \(\frac(44)(32)\).
Soluţie:
Să scriem numărătorul și numitorul în factori simpli. Și apoi vom reduce factorii comuni.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Reducerea fracțiilor mixte.
Fracțiile mixte urmează aceleași reguli ca și fracțiile obișnuite. Singura diferență este că putem nu atingeți întreaga parte, dar parte fracționată reduce sau fracție mixtă convertiți într-o fracție necorespunzătoare, reduceți și convertiți înapoi într-o fracție adecvată.
Să ne uităm la un exemplu:
Anulați fracția mixtă \(2\frac(30)(45)\).
Soluţie:
Să o rezolvăm în două moduri:
Prima cale:
Să scriem partea fracțională în factori simpli, dar nu vom atinge întreaga parte.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
A doua cale:
Să o transformăm mai întâi într-o fracție improprie, apoi să o scriem în factori primi și să o reducem. Să transformăm fracția necorespunzătoare rezultată într-o fracție adecvată.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Întrebări înrudite:
Puteți reduce fracțiile atunci când adăugați sau scădeți?
Răspuns: nu, trebuie mai întâi să adunați sau să scădeți fracții conform regulilor și abia apoi să le reduceți. Să ne uităm la un exemplu:
Evaluați expresia \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Soluţie:
Ei fac adesea greșeala de a reduce aceleași numere la numărător și numitor, în cazul nostru numărul 20, dar nu pot fi reduse până când nu ați terminat adunarea și scăderea.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Cu ce numere poți reduce o fracție?
Răspuns: Puteți reduce o fracție cu cel mai mare factor comun sau cu divizorul comun al numărătorului și numitorului. De exemplu, fracția \(\frac(100)(150)\).
Să scriem numerele 100 și 150 în factori primi.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Cel mai mare divizor comun va fi numărul mcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Se obține fracția ireductibilă \(\frac(2)(3)\).
Dar nu este necesar să împărțiți întotdeauna cu mcd; nu este întotdeauna necesară o fracție ireductibilă; puteți reduce fracția cu un simplu divizor al numărătorului și numitorului. De exemplu, numărul 100 și 150 au un divizor comun de 2. Să reducem fracția \(\frac(100)(150)\) cu 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Se obține fracția reductibilă \(\frac(50)(75)\).
Ce fracții pot fi reduse?
Răspuns: Puteți reduce fracțiile în care numărătorul și numitorul au un divizor comun. De exemplu, fracția \(\frac(4)(8)\). Numărul 4 și 8 au un număr cu care ambele sunt divizibile - numărul 2. Prin urmare, o astfel de fracție poate fi redusă cu numărul 2.
Exemplu:
Comparați cele două fracții \(\frac(2)(3)\) și \(\frac(8)(12)\).
Aceste două fracții sunt egale. Să aruncăm o privire mai atentă asupra fracției \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
De aici obținem, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Două fracții sunt egale dacă și numai dacă una dintre ele se obține prin reducerea celeilalte fracții cu factorul comun al numărătorului și numitorului.
Exemplu:
Dacă este posibil, reduceți următoarele fracții: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Soluţie:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fracție ireductibilă
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ ori 5)=\frac(2)(5)\)
În această lecție vom studia proprietatea de bază a unei fracții, vom afla care fracții sunt egale între ele. Vom învăța să reducem fracțiile, să stabilim dacă o fracție este reductibilă sau nu, vom exersa reducerea fracțiilor și vom învăța când să folosim o contracție și când nu.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Aceste informații sunt disponibile pentru utilizatorii înregistrați
Proprietatea principală a unei fracții
Imaginează-ți această situație.
La masa 3 persoană și 5 merele Acțiune 5 mere pentru trei. Toată lumea primește mere \(\mathbf(\frac(5)(3))\).
Și la masa alăturată 3 persoană și de asemenea 5 merele Fiecare din nou \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
In total 10 merele 6 Uman. Fiecare \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Dar este același lucru.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Aceste fracții sunt echivalente.
Puteți dubla numărul de oameni și dublați numărul de mere. Rezultatul va fi același.
În matematică se formulează astfel:
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr (nu este egal cu 0), atunci noua fracție va fi egală cu cea inițială.
Această proprietate este uneori numită „ proprietatea principală a fracției ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
De exemplu, Calea de la oraș la sat - 14 km.
Mergem de-a lungul drumului și stabilim distanța parcursă de marcajele kilometrice. După ce am parcurs șase coloane, șase kilometri, înțelegem că am parcurs distanța \(\mathbf(\frac(6)(14))\).
Dar dacă nu vedem stâlpii (poate că nu au fost instalați), putem calcula traseul folosind stâlpii electrici de-a lungul drumului. Al lor 40 bucăți pentru fiecare kilometru. Adică în total 560 tot drumul. Şase kilometri - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stâlpi. Adică am trecut 240 din 560 stâlpi-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Exemplul 1
Marcați un punct cu coordonatele ( 5; 7 ) pe planul de coordonate XOY. Va corespunde fracției \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Conectați originea coordonatelor la punctul rezultat. Construiți un alt punct care are coordonatele de două ori mai mari decât cele precedente. Ce fracție ai primit? Vor fi ei egali?
Soluţie
O fracție de pe planul de coordonate poate fi marcată cu un punct. Pentru a reprezenta fracția \(\mathbf(\frac(5)(7))\), marcați punctul cu coordonatele 5 de-a lungul axei YȘi 7 de-a lungul axei X. Să tragem o linie dreaptă de la origine până la punctul nostru.
Punctul corespunzător fracției \(\mathbf(\frac(10)(14))\) se va afla de asemenea pe aceeași dreaptă
Ele sunt echivalente: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Înainte să începi să studiezi fracții algebrice Vă recomandăm să vă amintiți cum să lucrați cu fracții obișnuite.
Orice fracție care are un factor de litere se numește fracție algebrică.
Exemple fracții algebrice.
La fel ca o fracție comună, o fracție algebrică are un numărător (în partea de sus) și un numitor (în partea de jos).
Reducerea unei fracții algebrice
Fracțiile algebrice pot fi reduse. Când reduceți, utilizați regulile pentru reducerea fracțiilor obișnuite.
Vă reamintim că atunci când reducem o fracție comună, am împărțit atât numărătorul, cât și numitorul la același număr.
O fracție algebrică se reduce în același mod, dar numai numărătorul și numitorul sunt împărțite la același polinom.
Sa luam in considerare exemplu de reducere a unei fracții algebrice.
Să determinăm cea mai mică putere la care apare monomiul „a”. Cea mai mică putere pentru monomul „a” se află la numitor - aceasta este a doua putere.
Să împărțim atât numărătorul, cât și numitorul la „a 2”. Când împărțim monomii, folosim proprietatea puterilor câte.
Vă reamintim că orice literă sau număr la puterea zero este o unitate.
Nu este nevoie să scrieți în detaliu de fiecare dată cu ce a fost redusă fracția algebrică. Este suficient să ții cont de gradul în care s-a făcut reducerea și să notezi doar rezultatul.
O notație scurtă pentru reducerea unei fracții algebrice este următoarea.
Numai factori de litere identici pot fi abreviați.
Nu se poate scurta
Poate fi scurtat
Alte exemple de reducere a fracțiilor algebrice.
Cum se reduce o fracție cu polinoame
Să ne uităm la un alt exemplu de fracție algebrică. Trebuie să reduceți o fracție algebrică care are un polinom în numărător.
Puteți reduce un polinom între paranteze doar cu același polinom între paranteze!
În niciun caz nu poți scurta o parte polinom între paranteze!
Gresit
Determinarea unde se termină un polinom este foarte simplă. Între polinoame nu poate exista decât un semn de înmulțire. Întregul polinom este între paranteze.
După ce am definit polinoamele unei fracții algebrice, putem anula polinomul „(m − n)” la numărător cu polinomul „(m − n)” la numitor.
Exemple de reducere a fracțiilor algebrice cu polinoame.
Scăderea unui factor comun la reducerea fracțiilor
Pentru ca polinoame identice să apară în fracții algebrice, uneori este necesar să scoateți factorul comun din paranteze.
În această formă este imposibil să se reducă o fracție algebrică, deoarece polinomul
„(3f + k)” poate fi redus doar cu polinomul „(3f + k)”.
Prin urmare, pentru a obține „(3f + k)” la numărător, scoatem factorul comun „5”.
Reducerea fracțiilor folosind formule de înmulțire abreviate
În alte exemple, reducerea fracțiilor algebrice necesită
aplicarea formulelor de multiplicare abreviate. 
În forma sa originală, este imposibil să se reducă o fracție algebrică, deoarece nu există polinoame identice.
Dar dacă aplicăm formula pentru diferența de pătrate pentru polinomul „(a 2 − b 2)”, atunci vor apărea polinoame identice.
Mai multe exemple de reducere a fracțiilor algebrice folosind formule de înmulțire abreviate.
Reducerea fracțiilor algebrice (raționale) se bazează pe proprietatea lor de bază: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt împărțite la același polinom diferit de zero, atunci se obține o fracție egală.
Puteți reduce doar multiplicatorii!
Membrii polinoamelor nu pot fi prescurtați!
Pentru a reduce o fracție algebrică, polinoamele din numărător și numitor trebuie mai întâi factorizate.
Să ne uităm la exemple de fracții reducătoare.
Numătorul și numitorul fracției conțin monomii. Ei reprezintă muncă(numerele, variabilele și puterile acestora), multiplicatori putem reduce.
Reducem numerele cu cel mai mare divizor comun al lor, adică cu cel mai mare număr, cu care se împarte fiecare dintre aceste numere. Pentru 24 și 36 acesta este 12. După reducerea de la 24 rămâne 2, de la 36 - 3.
Reducem gradele cu gradul cu cel mai mic indice. A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același divizor, iar la împărțirea puterilor, scădem exponenții.
a² și a⁷ sunt reduse la a². În acest caz, unul rămâne la numărătorul lui a² (scriem 1 doar în cazul în care, după reducere, nu au mai rămas alți factori. Din 24, rămâne 2, deci nu scriem 1 rămas din a²). Din a⁷, după reducere, a⁵ rămâne.
b și b sunt reduse cu b; unitățile rezultate nu sunt scrise.
c³º și c⁵ sunt scurtate la c⁵. Din c³º ceea ce rămâne este c²⁵, din c⁵ este unul (nu îl scriem). Prin urmare,
Numătorul și numitorul acestei fracții algebrice sunt polinoame. Nu puteți anula termenii polinoamelor! (nu puteți reduce, de exemplu, 8x² și 2x!). Pentru a reduce această fracție, trebuie să factorizați polinoamele. Numătorul are un factor comun de 4x. Să-l scoatem din paranteze:
Atât numărătorul, cât și numitorul au același factor (2x-3). Reducem fracția cu acest factor. La numărător avem 4x, la numitor - 1. Conform proprietății 1 a fracțiilor algebrice, fracția este egală cu 4x.
Puteți reduce doar factorii (nu puteți reduce această fracție cu 25x²!). Prin urmare, polinoamele din numărătorul și numitorul fracției trebuie factorizate.
Numătorul este pătratul complet al sumei, numitorul este diferența de pătrate. După descompunere folosind formule de înmulțire abreviate, obținem:
Reducem fracția cu (5x+1) (pentru a face acest lucru, tăiați cele două din numărător ca exponent, lăsând (5x+1)² (5x+1)):
Numătorul are un factor comun de 2, să-l scoatem din paranteze. Numitorul este formula pentru diferența de cuburi:
Ca urmare a expansiunii, numărătorul și numitorul au primit același factor (9+3a+a²). Reducem fracția cu ea:
Polinomul din numărător este format din 4 termeni. Grupăm primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea și eliminăm factorul comun x² din primele paranteze. Descompunem numitorul folosind formula sumei cuburilor:
La numărător, să luăm factorul comun (x+2) din paranteze:
Reduceți fracția cu (x+2):
Nu putem decât să reducem multiplicatorii! Pentru a reduce această fracție, trebuie să factorizați polinoamele în numărător și numitor. La numărător factorul comun este a³, la numitor - a⁵. Să le scoatem din paranteze:
Factorii - puteri cu aceeași bază a³ și a⁵ - se reduc cu a³. Din a³ rămâne 1, nu îl scriem, din a⁵ rămâne a². La numărător, expresia din paranteze poate fi extinsă ca diferență de pătrate:
Reducem fracția cu un divizor comun (1+a):
Cum se reduc fracțiile din formular
în care expresiile de la numărător și numitor diferă doar prin semne?
Ne vom uita la exemple de reducere a unor astfel de fracții data viitoare.
2 comentarii
Foarte bun site, îl folosesc în fiecare zi și mă ajută.
Înainte să dau peste acest site, nu știam cum să rezolv multe în algebră și geometrie, dar datorită acestui site, notele mele a 3 au crescut cu 4-5.
Acum pot lua în siguranță OGE-ul și se tem că nu îl voi trece!
Învață și vei reuși!
Vitya, îți doresc succes în studii și rezultate bune la examene!
www.algebraclass.ru
Regula fracțiilor algebrice reducătoare
Reducerea fracțiilor algebrice
Un nou concept în matematică apare rar „din nimic”, „pe spațiu gol" Apare atunci când se simte o nevoie obiectivă de el. Așa au apărut numerele negative în matematică, au apărut numerele obișnuite și zecimale fracție algebrică.
Avem premisele pentru introducerea noului concept de „fracție algebrică”. Să revenim la § 12. În timp ce discutam despre împărțirea unui monom cu un monom acolo, ne-am uitat la o serie de exemple. Să evidențiem două dintre ele.
1. Împărțiți monomul 36a 3 b 5 la monomul 4ab 2 (vezi exemplul 1c) din §12).
Așa am rezolvat-o. În loc să scrieți 36a 3 b 5: 4ab 2, a fost folosită o linie de fracție:
Acest lucru ne-a permis să folosim și linia fracțională în loc de 36: 4, a 3: a, b 5: b 2, ceea ce a făcut ca soluția exemplului să fie mai clară:
2. Împărțiți monomul 4x 3 la monomul 2xy (vezi exemplul 1 d) din § 12). Urmând același model, am obținut:
În § 12 am observat că monomiul 4x 3 nu poate fi împărțit la monomiul 2xy astfel încât să se obțină monom. Dar modelele matematice ale situațiilor reale pot conține operația de împărțire a oricăror monomii, nu neapărat pe cele care împart unul la altul. Anticipând acest lucru, matematicienii au introdus un nou concept - conceptul de fracție algebrică. În special, o fracție algebrică. Acum să revenim la § 18. Discutând acolo operația de împărțire a unui polinom la un monom, am observat că nu este întotdeauna fezabilă. Deci, în exemplul 2 de la § 18 vorbeam despre împărțirea binomului 6x 3 - 24x 2 la monomul 6x 2. Această operație s-a dovedit a fi fezabilă și ca rezultat am obținut binomul x - 4. Aceasta înseamnă 
Cu alte cuvinte, expresia algebrică a fost înlocuită cu o expresie mai simplă - polinomul x - 4.
Totodată, în exemplul 3 din § 18, nu a fost posibil să se împartă polinomul 8a 3 + Ba 2b - b la 2a 2, adică expresia nu putea fi înlocuită cu o expresie mai simplă, trebuia lăsată în forma unei fracții algebrice.
În ceea ce privește operația de împărțire a unui polinom la polinom, atunci de fapt nu am spus nimic despre asta. Singurul lucru pe care îl putem spune acum este că un polinom poate fi împărțit la altul dacă celălalt polinom este unul dintre factorii în factorizarea primului polinom.
De exemplu, x 3 - 1 = (x - 1) (x 2 + x + 1). Aceasta înseamnă că x 3 - 1 poate fi împărțit la x 2 + x + 1, rezultatul este x - 1; x 3 - 1 poate fi împărțit la x - 1,
se dovedește x 2 + x + 1.
polinoamele P și Q. În acest caz, utilizați notația
unde P este numărătorul, Q este numitorul fracției algebrice.
Exemple de fracții algebrice:
Uneori, o fracție algebrică poate fi înlocuită cu un polinom. De exemplu, așa cum am stabilit mai devreme,
(am reusit sa impartim polinomul 6x 3 - 24x 2 la 6x 2, iar in cat obtinem x - 4); am notat de asemenea că
Dar acest lucru se întâmplă relativ rar.
Cu toate acestea, ați întâlnit deja o situație similară - atunci când studiați fracțiile obișnuite. De exemplu, o fracție - poate fi înlocuită cu numărul întreg 4, iar o fracție - cu numărul întreg 5. Cu toate acestea, o fracție - nu poate fi înlocuită cu un număr întreg, deși această fracție poate fi redusă prin împărțirea numărătorului și numitorului la număr. 8 - factorul comun al numărătorului și numitorului:
În același mod, puteți reduce fracțiile algebrice împărțind simultan numărătorul și numitorul fracției la comun. multiplicator. Și pentru a face acest lucru, trebuie să factorizați atât numărătorul, cât și numitorul fracției. Aici avem nevoie de tot ceea ce am discutat atât de mult în acest capitol.
Exemplu. Reduceți o fracție algebrică:
Rezolvare, a) Aflați factorul comun pentru monomii
12x 3 y 4 și 8x 2 y 5 așa cum am făcut în § 20. Obținem 4x 2 y 4. Atunci 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 3x; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2y.
Mijloace,
Numărător și numitor o anumită fracție algebrică a fost redusă cu un factor comun 4x 2 y 4.
Soluția acestui exemplu poate fi scrisă diferit:
b) Pentru a reduce o fracție, factorizați numărătorul și numitorul acesteia. Primim:
(fracția a fost redusă cu un factor comun a + b).
Acum reveniți la observația 2 de la § 1. Vedeți, am putut în sfârșit să ne îndeplinim promisiunea făcută acolo.
c) avem:
(a redus fracția cu factorul comun al numărătorului și numitorului, adică cu x (x - y))
Deci, pentru a reduce o fracție algebrică, trebuie mai întâi să factorizezi numărătorul și numitorul ei. Deci, succesul tău în această nouă activitate (reducerea fracțiilor algebrice) depinde în mare măsură de cât de bine ai stăpânit materialul din paragrafele anterioare ale acestui capitol.
A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ
Dacă aveți corecții sau sugestii pentru această lecție, vă rugăm să ne scrieți.
Dacă doriți să vedeți alte ajustări și sugestii pentru lecții, uitați-vă aici - Forum educațional.
Reducerea fracțiilor algebrice: reguli, exemple.
Continuăm să studiem tema conversiei fracțiilor algebrice. În acest articol vom intra în detaliu despre reducerea fracțiilor algebrice. În primul rând, să ne dăm seama ce se înțelege prin termenul „reducere a unei fracții algebrice” și să aflăm dacă o fracție algebrică este întotdeauna reductibilă. Vă prezentăm mai jos o regulă care permite efectuarea acestei transformări. În cele din urmă, vom lua în considerare soluții la exemple tipice care ne vor permite să înțelegem toate complexitățile procesului.
Navigare în pagină.
Ce înseamnă reducerea unei fracții algebrice?
În timp ce am studiat fracțiile comune, am vorbit despre reducerea lor. Numim o reducere a unei fracții comune împărțirea numărătorului și numitorului acesteia cu un factor comun. De exemplu, fracția comună 30/54 poate fi redusă cu 6 (adică numărătorul și numitorul ei împărțiți la 6), ceea ce ne duce la fracția 5/9.
Prin reducerea unei fracții algebrice înțelegem o acțiune similară. Reduceți o fracție algebrică- aceasta înseamnă împărțirea numărătorului și numitorului său la un factor comun. Dar dacă factorul comun al numărătorului și numitorului unei fracții obișnuite poate fi doar un număr, atunci factorul comun al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice poate fi un polinom, în special, un monom sau un număr.
De exemplu, o fracție algebrică 
poate fi redusă cu numărul 3, care dă o fracție 
. De asemenea, este posibil să se efectueze o contracție la variabila x, rezultând expresia 
. Fracția algebrică inițială poate fi redusă la monomul 3 x, precum și la oricare dintre polinoamele x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y sau 3 x 2 +6 x y.
Scopul final al reducerii unei fracții algebrice este obținerea unei fracții mai mult tip simplu, V cel mai bun scenariu– fracție ireductibilă.
Poate fi redusă orice fracție algebrică?
Știm că fracțiile obișnuite sunt împărțite în fracții reductibile și ireductibile. Fracțiile ireductibile nu au factori comuni la numărător și numitor alții decât unul și, prin urmare, nu pot fi reduse.
Fracțiile algebrice pot avea sau nu factori comuni în numărător și numitor. Dacă există factori comuni, este posibil să se reducă o fracție algebrică. Dacă nu există factori comuni, atunci simplificarea unei fracții algebrice prin reducerea acesteia este imposibilă.
În general, conform aspect fracție algebrică, este destul de dificil de determinat dacă poate fi redusă. Desigur, în unele cazuri factorii comuni ai numărătorului și numitorului sunt evidenti. De exemplu, se vede clar că numărătorul și numitorul unei fracții algebrice au un factor comun 3. De asemenea, este ușor de observat că o fracție algebrică poate fi redusă cu x, cu y sau direct cu x·y. Dar mult mai des, factorul comun al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice nu este vizibil imediat și, chiar mai des, pur și simplu nu există. De exemplu, este posibil să se reducă o fracție cu x−1, dar acest factor comun nu este prezent în mod clar în notație. Și o fracție algebrică 
este imposibil de redus, deoarece numărătorul și numitorul său nu au factori comuni.
În general, problema reducebilității unei fracții algebrice este foarte dificilă. Și uneori este mai ușor să rezolvi o problemă lucrând cu o fracție algebrică în forma sa originală decât să afli dacă această fracție poate fi redusă mai întâi. Dar există încă transformări care în unele cazuri fac posibilă, cu un efort relativ mic, găsirea factorilor comuni ai numărătorului și numitorului, dacă există, sau concluzia că fracția algebrică inițială este ireductibilă. Aceste informații vor fi dezvăluite în următorul paragraf.
Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice
Informațiile din paragrafele anterioare vă permit să percepeți în mod natural următoarele regula pentru reducerea fracțiilor algebrice, care constă din două etape:
- în primul rând, se găsesc factorii comuni ai numărătorului și numitorului fracției inițiale;
- dacă există, atunci se face o reducere de către acești factori.
Pașii indicați ai regulii anunțate necesită clarificări.
Cel mai mod convenabil găsirea celor comune constă în factorizarea polinoamelor care se află la numărătorul și numitorul fracției algebrice inițiale. În acest caz, factorii comuni ai numărătorului și numitorului devin imediat vizibili sau devine clar că nu există factori comuni.
Dacă nu există factori comuni, atunci putem concluziona că fracția algebrică este ireductibilă. Dacă se găsesc factori comuni, atunci în a doua etapă se reduc. Rezultatul este o nouă fracțiune a unei forme mai simple.
Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice se bazează pe proprietatea de bază a unei fracții algebrice, care este exprimată prin egalitatea , unde a, b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero. La prima etapă, fracția algebrică inițială este redusă la forma din care devine vizibil factorul comun c, iar la a doua etapă se efectuează reducerea - trecerea la fracție.
Să trecem la rezolvarea exemplelor folosind această regulă. Vom rezolva totul cu ei. posibile nuanțe, care apare atunci când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt factorizate și apoi reduse.
Exemple tipice
În primul rând, trebuie să vorbim despre reducerea fracțiilor algebrice al căror numărător și numitor sunt aceiași. Astfel de fracții sunt identic egale cu una pe întreaga ODZ a variabilelor incluse în ea, de exemplu, 
și așa mai departe.
Acum nu strică să ne amintim cum să reduceți fracțiile obișnuite - la urma urmei, acestea sunt un caz special de fracții algebrice. Numerele naturale din numărătorul și numitorul unei fracții comune sunt descompuse în factori primi, după care factorii comuni sunt anulați (dacă există). De exemplu, 
. Produsul factorilor primi identici poate fi scris sub formă de puteri, iar atunci când reduceți, utilizați proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze. În acest caz, soluția ar arăta astfel: 
, aici am împărțit numărătorul și numitorul la un factor comun 2 2 3. Sau, pentru o mai mare claritate, pe baza proprietăților înmulțirii și împărțirii, soluția este prezentată sub formă.
Principii absolut similare sunt folosite pentru a reduce fracțiile algebrice, al căror numărător și numitor conțin monomii cu coeficienți întregi.
Anulează o fracție algebrică 
.
Puteți reprezenta numărătorul și numitorul fracției algebrice inițiale ca un produs de factori primi și variabile și apoi efectuați reducerea: 
Dar este mai rațional să scrieți soluția sub forma unei expresii cu puteri: 
.
În ceea ce privește reducerea fracțiilor algebrice care au coeficienți numerici fracționari în numărător și numitor, puteți face două lucruri: fie împărțiți acești coeficienți fracționali separat, fie scăpați mai întâi de coeficienții fracționali înmulțind numărătorul și numitorul cu un anumit numar natural. Am vorbit despre ultima transformare din articol, aducerea unei fracții algebrice la un nou numitor; aceasta poate fi realizată datorită proprietății de bază a unei fracții algebrice. Să înțelegem asta cu un exemplu.
Efectuați reducerea fracțiilor.
Puteți reduce fracția după cum urmează: 
.
Sau ați putea mai întâi să scăpați de coeficienții fracționali înmulțind numărătorul și numitorul cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor coeficienți, adică cu LCM(5, 10)=10. În acest caz avem 
.
.
Putem trece la fracțiile algebrice vedere generala, în care numărătorul și numitorul pot conține atât numere, cât și monoame, precum și polinoame.
La reducerea unor astfel de fracții, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. Mai mult, nu există întotdeauna. Pentru a găsi un factor comun sau a verifica absența acestuia, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul unei fracții algebrice.
Reduceți o fracție rațională 
.
Pentru a face acest lucru, factorizați polinoamele în numărător și numitor. Să începem prin a-l scoate din paranteze: . Evident, expresiile din paranteze pot fi convertite folosind formule de înmulțire prescurtate: 
. Acum se vede clar că este posibil să se reducă fracția cu un factor comun b 2 ·(a+7) . Hai să o facem 
.
Soluție rapidă fără explicații, ele sunt de obicei scrise ca un lanț de egalități: 
.
Uneori, factorii comuni pot fi ascunși de cotele numerice. Prin urmare, atunci când reduceți fracțiile raționale, este recomandabil să puneți factorii numerici la puteri mai mari ale numărătorului și numitorului din paranteze.
Reduceți fracția 
, dacă este posibil.
La prima vedere, numărătorul și numitorul nu au un factor comun. Dar totuși, să încercăm să facem câteva transformări. În primul rând, puteți elimina factorul x din numărător: 
.
Acum există o oarecare asemănare între expresia dintre paranteze și expresia din numitor datorită x 2 ·y. Să scoatem coeficienții numerici ai puterilor superioare ale acestor polinoame: 
După ce s-au făcut transformările, este vizibil un factor comun prin care realizăm reducerea. Avem 
.
Încheind conversația despre reducerea fracțiilor raționale, observăm că succesul depinde în mare măsură de capacitatea de a factoriza polinoame.
www.cleverstudents.ru
Matematică
Bară de navigare
Reducerea fracțiilor algebrice
Pe baza proprietății de mai sus, putem simplifica fracțiile algebrice în același mod ca și cu fracțiile aritmetice, reducându-le.
Reducerea fracțiilor presupune împărțirea numărătorului și numitorului fracției la același număr.
Dacă fracția algebrică este un singur termen, atunci numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un produs al mai multor factori și este imediat clar ce numere identice pot fi împărțite în:
Putem scrie aceeași fracție mai detaliat: . Vedem că putem împărți succesiv atât numărătorul, cât și numitorul de 4 ori cu a, adică, în cele din urmă, împărțim fiecare dintre ele cu un 4. De aceea ; de asemenea, etc. Deci, dacă numărătorul și numitorul au factori de puteri diferite ale aceleiași litere, atunci această fracție poate fi redusă cu o putere mai mică a acestei litere.
Dacă fracția este polinomială, atunci trebuie mai întâi să factorizezi aceste polinoame, dacă este posibil, în factori, iar apoi va fi posibil să vedem în ce factori identici pot fi împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul.
…. numărătorul este ușor factorizat „conform formulei” - este pătratul diferenței dintre două numere și anume (x – 3) 2. Numitorul nu se încadrează în formule și va trebui să-l extindem folosind tehnica folosită pentru trinomul pătratic: vom găsi 2 numere astfel încât suma lor să fie egală cu –1 și produsul lor = –6, – aceste numere sunt – 3 și + 2; atunci x 2 – x – 6 = x 2 – 3x + 2x – 6 = x (x – 3) + 2 (x – 3) = (x – 3) (x + 2).
Popular:
- Scurte reguli pentru jocul șahului ȘAHUL ȘI NOTĂȚII Șahul este un joc pentru doi. Un jucător (albul) folosește piese alb, iar al doilea jucător (Negru) joacă de obicei cu piese negre. Placa este împărțită în 64 de […]
- Simplificarea expresiilor Proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire sunt utile deoarece vă permit să transformați sumele și produsele în expresii convenabile pentru calcule. Să învățăm cum să folosim aceste proprietăți pentru a simplifica [...]
- Reguli de inerție Dinamica este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor sub influența forțelor aplicate acestora. Biomecanica are în vedere și interacțiunea dintre corpul uman și mediul extern, între părți ale corpului, […]
- Literele e (е), o după sibilante de la rădăcina cuvântului. Reguli și exemple Vom alege ortografia literelor „e” (ё) sau „o” după șuieratul cuvintelor la rădăcină folosind regula corespunzătoare de ortografie rusă. Să vedem cum […]
- Oscilații mecanice și electromagnetice 4. Oscilații și unde 1. Oscilațiile armonice de mărime s sunt descrise prin ecuația s = 0,02 cos (6πt + π/3), m. Determinați: 1) amplitudinea oscilațiilor; 2) frecvența ciclică; 3) frecvența […]
- Legea diluției lui Ostwald 4.6 Legea diluției lui Ostwald Gradul de disociere (αdis) și constanta de disociere (Kdis) a unui electrolit slab sunt legate cantitativ unul de celălalt. Să derivăm ecuația pentru această conexiune folosind exemplul unui […]
- Textul și conținutul ordinului Ministerului Apărării al Federației Ruse nr. 365 din 2002 Acest ordin conține informații despre dreptul la zile suplimentare de vacanță în funcție de diverse conditiiși aspecte ale serviciului. Acest ordin este tăcut [...]
- Capitolul 3. PEDECELE DISCIPLINARE Drepturile comandanților (șefilor) de a impune sancțiuni disciplinare agenților lor subordonați și aspiranților 63. Comandantul unui pluton (grup) și […]
Divizia iar numărătorul și numitorul fracției de pe lor divizor comun, diferit de unul, se numește reducerea unei fracții.
Pentru a reduce o fracție comună, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul ei la același număr natural.
Acest număr este cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției date.
Următoarele sunt posibile formulare de înregistrare a deciziilor Exemple pentru reducerea fracțiilor comune.
Studentul are dreptul de a alege orice formă de înregistrare.
Exemple. Simplificați fracțiile.
Reduceți fracția cu 3 (împărțiți numărătorul la 3;
împărțiți numitorul la 3).
Reduceți fracția cu 7.
Efectuăm acțiunile indicate în numărătorul și numitorul fracției.
Fracția rezultată se reduce cu 5.
Să reducem această fracție 4)
pe 5,7³- cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului, care constă din factorii comuni ai numărătorului și numitorului, luați la puterea cu cel mai mic exponent.
Să factorizăm numărătorul și numitorul acestei fracții în factori primi.
Primim: 756=2²·3³·7Și 1176=2³·3·7².
Determinați MCD (cel mai mare divizor comun) al numărătorului și numitorului fracției 5) .
Acesta este produsul factorilor comuni luați cu cei mai mici exponenți.
mcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la mcd-ul lor, adică cu 2²·3·7 obținem o fracție ireductibilă 9/14
.
Sau a fost posibil să scrieți descompunerea numărătorului și numitorului sub forma unui produs al factorilor primi, fără a utiliza conceptul de putere, și apoi să reduceți fracția prin tăierea acelorași factori la numărător și numitor. Când nu mai sunt factori identici, înmulțim factorii rămași separat la numărător și separat la numitor și scriem fracția rezultată 9/14 .
Și, în sfârșit, a fost posibil să se reducă această fracție 5) treptat, aplicând semne de împărțire a numerelor atât numărătorului cât și numitorului fracției. Să gândim așa: numere 756 Și 1176 se termină cu un număr par, ceea ce înseamnă că ambele sunt divizibile cu 2 . Reducem fracția cu 2 . Numătorul și numitorul noii fracții sunt numere 378 Și 588 de asemenea împărțit în 2 . Reducem fracția cu 2 . Observăm că numărul 294 - chiar și 189 este impar, iar reducerea cu 2 nu mai este posibilă. Să verificăm divizibilitatea numerelor 189 Și 294 pe 3 .
(1+8+9)=18 este divizibil cu 3 și (2+9+4)=15 este divizibil cu 3, prin urmare numerele în sine 189 Și 294 sunt împărțite în 3 . Reducem fracția cu 3 . Mai departe, 63 este divizibil cu 3 și 98 - Nu. Să ne uităm la alți factori primi. Ambele numere sunt divizibile cu 7 . Reducem fracția cu 7 și obținem fracția ireductibilă 9/14 .
Acest articol continuă subiectul conversiei fracțiilor algebrice: luați în considerare o astfel de acțiune ca reducerea fracțiilor algebrice. Să definim termenul în sine, să formulăm o regulă de reducere și să analizăm exemple practice.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sensul reducerii unei fracții algebrice
În materialele despre fracțiile comune, ne-am uitat la reducerea acesteia. Am definit reducerea unei fracții ca împărțirea numărătorului și numitorului acesteia la un factor comun.
Reducerea unei fracții algebrice este o operație similară.
Definiția 1
Reducerea unei fracții algebrice este împărțirea numărătorului și numitorului său cu un factor comun. În acest caz, spre deosebire de reducerea unei fracții obișnuite (numitorul comun poate fi doar un număr), factorul comun al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice poate fi un polinom, în special, un monom sau un număr.
De exemplu, fracția algebrică 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 poate fi redusă cu numărul 3, rezultând: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Putem reduce aceeași fracție cu variabila x, iar aceasta ne va da expresia 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. De asemenea, este posibilă reducerea unei fracții date cu un monom 3 x sau oricare dintre polinoame x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y sau 3 x 2 + 6 x y.
Scopul final reducerea unei fracții algebrice este o fracție dintr-o formă mai simplă, în cel mai bun caz o fracție ireductibilă.
Sunt toate fracțiile algebrice supuse reducerii?
Din nou, din materiale pe fracții obișnuite, știm că există fracții reductibile și ireductibile. Fracțiile ireductibile sunt fracții care nu au factori comuni la numărător și numitor alții decât 1.
La fel este și cu fracțiile algebrice: pot avea factori comuni în numărător și numitor sau nu. Prezența factorilor comuni vă permite să simplificați fracția originală prin reducere. Când nu există factori comuni, este imposibil să optimizați o anumită fracție folosind metoda reducerii.
În cazuri generale, având în vedere tipul de fracție, este destul de dificil de înțeles dacă poate fi redusă. Desigur, în unele cazuri prezența unui factor comun între numărător și numitor este evidentă. De exemplu, în fracția algebrică 3 x 2 3 y este destul de clar că factorul comun este numărul 3.
În fracția - x · y 5 · x · y · z 3 înțelegem imediat că poate fi redusă cu x, sau y, sau x · y. Și totuși, mult mai des există exemple de fracții algebrice, când factorul comun al numărătorului și numitorului nu este atât de ușor de văzut și, chiar mai des, este pur și simplu absent.
De exemplu, putem reduce fracția x 3 - 1 x 2 - 1 cu x - 1, în timp ce factorul comun specificat nu este prezent în intrare. Dar fracția x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 nu poate fi redusă, deoarece numărătorul și numitorul nu au un factor comun.
Astfel, problema determinării reductibilității unei fracții algebrice nu este atât de simplă și este adesea mai ușor să lucrezi cu o fracție dintr-o formă dată decât să încerci să afli dacă aceasta este reductibilă. În acest caz, au loc astfel de transformări care în anumite cazuri fac posibilă determinarea factorului comun al numărătorului și numitorului sau tragerea unei concluzii despre ireductibilitatea unei fracții. Vom examina această problemă în detaliu în următorul paragraf al articolului.
Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice
Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice constă din două acțiuni succesive:
- găsirea factorilor comuni ai numărătorului și numitorului;
- dacă se găsesc, acţiunea de reducere a fracţiei se realizează direct.
Cea mai convenabilă metodă pentru găsirea numitorilor comuni este factorizarea polinoamelor prezente în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice date. Acest lucru vă permite să vedeți imediat în mod clar prezența sau absența factorilor comuni.
Însăși acțiunea de reducere a unei fracții algebrice se bazează pe proprietatea principală a unei fracții algebrice, exprimată prin egalitatea nedefinită, unde a, b, c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero. Primul pas este reducerea fracției la forma a · c b · c, în care observăm imediat factorul comun c. Al doilea pas este efectuarea unei reduceri, de ex. trecerea la o fracție de forma a b .
Exemple tipice
În ciuda unor evidente, să clarificăm cazul special când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt egale. Fracțiile similare sunt identic egale cu 1 pe întreaga ODZ a variabilelor acestei fracții:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Deoarece fracțiile obișnuite sunt un caz special de fracții algebrice, să ne amintim cum sunt reduse. Numerele naturale scrise la numărător și numitor sunt descomponate în factori primi, apoi factorii comuni sunt anulați (dacă există).
De exemplu, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Produsul factorilor simpli identici poate fi scris ca puteri, iar în procesul de reducere a unei fracții, folosiți proprietatea de a împărți puterile cu baze identice. Atunci soluția de mai sus ar fi:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(numeratorul și numitorul împărțite la un factor comun 2 2 3). Sau pentru claritate, pe baza proprietăților înmulțirii și împărțirii, dăm soluției următoarea formă:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Prin analogie, se realizează reducerea fracțiilor algebrice, în care numărătorul și numitorul au monomii cu coeficienți întregi.
Exemplul 1
Fracția algebrică este dată - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Trebuie redus.
Soluţie
Este posibil să scrieți numărătorul și numitorul unei fracții date ca produs de factori și variabile simple, apoi efectuați reducerea:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Cu toate acestea, mai mult într-un mod raţional soluția se va scrie sub forma unei expresii cu grade:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Răspuns:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice conțin coeficienți numerici fracționari, există două modalități posibile de acțiune ulterioară: fie împărțiți acești coeficienți fracționari separat, fie scăpați mai întâi de coeficienții fracționali prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu un număr natural. Ultima transformare se realizează datorită proprietății de bază a unei fracții algebrice (puteți citi despre aceasta în articolul „Reducerea unei fracții algebrice la un nou numitor”).
Exemplul 2
Fracția dată este 2 5 x 0, 3 x 3. Trebuie redus.
Soluţie
Este posibil să reduceți fracția astfel:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Să încercăm să rezolvăm problema diferit, scăpând mai întâi de coeficienții fracționali - înmulțiți numărătorul și numitorul cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor coeficienți, adică. pe LCM (5, 10) = 10. Atunci obținem:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Răspuns: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Când reducem fracțiile algebrice generale, în care numărătorii și numitorii pot fi fie monomii, fie polinoame, poate exista o problemă în care factorul comun nu este întotdeauna vizibil imediat. Sau mai mult, pur și simplu nu există. Apoi, pentru a determina factorul comun sau pentru a înregistra absența acestuia, sunt factorizați numărătorul și numitorul fracției algebrice.
Exemplul 3
Se dă fracția rațională 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Trebuie redus.
Soluţie
Să factorăm polinoamele în numărător și numitor. Să-l scoatem din paranteze:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vedem că expresia din paranteze poate fi convertită folosind formule de înmulțire abreviate:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Se vede clar că este posibil să se reducă o fracție printr-un factor comun b 2 (a + 7). Să facem o reducere:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Să scriem o soluție scurtă fără explicații ca un lanț de egalități:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Răspuns: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Se întâmplă ca factorii comuni să fie ascunși de coeficienți numerici. Apoi, la reducerea fracțiilor, este optim să puneți factorii numerici la puteri mai mari ale numărătorului și numitorului din paranteze.
Exemplul 4
Având în vedere fracția algebrică 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Este necesar să o reduceți dacă este posibil.
Soluţie
La prima vedere, numărătorul și numitorul nu au un numitor comun. Cu toate acestea, să încercăm să convertim fracția dată. Să scoatem factorul x din numărător:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Acum puteți vedea o oarecare similitudine între expresia dintre paranteze și expresia din numitor datorită x 2 y . Să scoatem coeficienții numerici ai puterilor superioare ale acestor polinoame:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Acum factorul comun devine vizibil, efectuăm reducerea:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Răspuns: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Să subliniem că abilitatea de a reduce fracțiile raționale depinde de capacitatea de a factoriza polinoame.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
