Vector- un concept pur matematic care este folosit doar în fizică sau alte științe aplicate și care permite simplificarea soluționării unor probleme complexe.
Vector− segment drept dirijat.
Într-un curs de fizică elementară trebuie să se opereze cu două categorii de mărimi − scalare și vectoriale.
Scalar mărimile (scalari) sunt mărimi caracterizate printr-o valoare numerică și semn. Scalarii au lungimea − l, masa − m, calea − s, timpul − t, temperatura − T, sarcina electrica − q, energie − W, coordonate etc.
Toate operațiile algebrice (adunare, scădere, înmulțire etc.) se aplică mărimilor scalare.
Exemplul 1.
Determinați sarcina totală a sistemului, constând din sarcinile incluse în acesta, dacă q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Încărcare completă a sistemului
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Exemplul 2.
Pentru ecuație pătratică drăguț
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vector cantitățile (vectorii) sunt cantități, pentru determinarea cărora este necesar să se indică, pe lângă valoare numerică asa este directia. Vectori − viteza v, forta F, impuls p, tensiune câmp electric E, inducție magnetică B si etc.
Valoarea numerică a unui vector (modul) este notă cu o literă fără simbol vectorial sau vectorul este închis între bare verticale r = |r|.
Grafic, vectorul este reprezentat printr-o săgeată (Fig. 1),
A cărui lungime pe o scară dată este egală cu mărimea sa, iar direcția coincide cu direcția vectorului.
Doi vectori sunt egali dacă mărimile și direcțiile lor coincid.
Mărimile vectoriale sunt adăugate geometric (după regula algebrei vectoriale).
Găsirea unei sume vectoriale din vectorii componente dați se numește adunare vectorială.
Adunarea a doi vectori se realizează conform regulii paralelogramului sau triunghiului. Vector sumă
c = a + b
egală cu diagonala unui paralelogram construit pe vectori AȘi b. Modulează-l
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Fig. 2). 
La α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) este teorema lui Pitagora.
Același vector c poate fi obținut folosind regula triunghiului dacă de la sfârșitul vectorului A vector deoparte b. Vectorul final c (conectând începutul vectorului Ași sfârșitul vectorului b) este suma vectorială a termenilor (vectori componente AȘi b).
Vectorul rezultat se găsește ca linie de urmă a liniei întrerupte ale cărei legături sunt vectorii componente (Fig. 3). 
Exemplul 3.
Adăugați două forțe F 1 = 3 N și F 2 = 4 N, vectori F 1Și F 2 faceți unghiuri α 1 = 10° și, respectiv, α 2 = 40° cu orizontul
F = F 1 + F 2(Fig. 4). 
Rezultatul adunării acestor două forțe este o forță numită rezultanta. Vector Fîndreptată de-a lungul diagonalei unui paralelogram construit pe vectori F 1Și F 2, ambele părți și este egal ca modul cu lungimea sa.
Modul vectorial F găsiți prin teorema cosinusului
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Dacă
(α 2 − α 1) = 90°, apoi F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Unghi care este vector F este egal cu axa Ox, îl găsim folosind formula
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.
Proiecția vectorului a pe axa Ox (Oy) este o mărime scalară care depinde de unghiul α dintre direcția vectorului Ași axa Ox (Oy). (Fig. 5) 
Proiecții vectoriale A pe axa Ox și Oy sistem dreptunghiular coordonate (Fig. 6) 
Pentru a evita greșelile la determinarea semnului proiecției unui vector pe o axă, este util să rețineți următoarea regulă: dacă direcția componentei coincide cu direcția axei, atunci proiecția vectorului pe aceasta. axa este pozitivă, dar dacă direcția componentei este opusă direcției axei, atunci proiecția vectorului este negativă. (Fig. 7) 
Scăderea vectorilor este o adunare în care la primul vector se adaugă un vector, egal numeric cu al doilea, în sens invers
a − b = a + (−b) = d(Fig. 8). 
Să fie necesar din vector A scăderea vectorului b, diferența lor − d. Pentru a găsi diferența dintre doi vectori, trebuie să mergeți la vector A adauga vector ( −b), adică un vector d = a - b va fi un vector direcționat de la începutul vectorului A până la sfârșitul vectorului ( −b) (Fig. 9). 
Într-un paralelogram construit pe vectori AȘi b ambele părți, o diagonală c are sensul sumei, iar celălalt d− diferenţe vectoriale AȘi b(Fig. 9).
Produsul unui vector A prin scalar k este egal cu vector b= k A, al cărui modul este de k ori mai mare decât modulul vectorului A, iar direcția coincide cu direcția A pentru k pozitiv și opusul pentru k negativ.
Exemplul 4.
Determinați impulsul unui corp cu o greutate de 2 kg care se deplasează cu o viteză de 5 m/s. (Fig. 10) 
Impulsul corpului p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s şi îndreptată spre viteză v.
Exemplul 5.
Sarcina q = -7,5 nC plasată în câmp electric cu tensiunea E = 400 V/m. Aflați mărimea și direcția forței care acționează asupra sarcinii.
Forța este F= q E. Deoarece sarcina este negativă, vectorul forță este îndreptat în direcția opusă vectorului E. (Fig. 11) 
Divizia vector A printr-un scalar k este echivalent cu înmulțirea A cu 1/k.
Produs punctual vectori AȘi b numit scalar „c”, egal cu produsul dintre modulele acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Fig. 12) 
Exemplul 6.
Aflați munca efectuată de o forță constantă F = 20 N, dacă deplasarea este S = 7,5 m, iar unghiul α dintre forță și deplasare este α = 120°.
Lucrul efectuat de o forță este egal, prin definiție, cu produsul scalar al forței și deplasării
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Opera de artă vectorială vectori AȘi b numit vector c, numeric egal cu produsul valorilor absolute ale vectorilor a și b înmulțit cu sinusul unghiului dintre ei:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
Vector c perpendicular pe planul în care se află vectorii AȘi b, iar direcția sa este legată de direcția vectorilor AȘi b rigla cu șurub din dreapta (Fig. 13). 
Exemplul 7.
Determinați forța care acționează asupra unui conductor de 0,2 m lungime, plasat într-un câmp magnetic, a cărui inducție este de 5 T, dacă puterea curentului în conductor este de 10 A și formează un unghi α = 30° cu direcția câmpului. .
Putere amperi
dF = I = Idl × B sau F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Luați în considerare rezolvarea problemelor.
1. Cum sunt direcționați doi vectori ai căror module sunt identici și egali cu a, dacă modulul sumei lor este egal cu: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Soluţie.
a) Doi vectori sunt direcționați de-a lungul unei drepte în direcții opuse. Suma acestor vectori este zero. 
b) Doi vectori sunt direcționați de-a lungul unei drepte în aceeași direcție. Suma acestor vectori este 2a. 
c) Doi vectori sunt îndreptați la un unghi de 120° unul față de celălalt. Suma vectorilor este a. Vectorul rezultat este găsit folosind teorema cosinusului: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 și α = 120°.
d) Doi vectori sunt îndreptați la un unghi de 90° unul față de celălalt. Modulul sumei este egal cu
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 și α = 90°. 
e) Doi vectori sunt îndreptați la un unghi de 60° unul față de celălalt. Modulul sumei este egal cu
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 și α = 60°.
Răspuns: Unghiul α dintre vectori este egal cu: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Dacă a = a 1 + a 2 orientarea vectorilor, ce se poate spune despre orientarea reciprocă a vectorilor a 1Și a 2, dacă: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
Soluţie.
a) Dacă suma vectorilor se găsește ca sumă a modulelor acestor vectori, atunci vectorii sunt direcționați de-a lungul unei linii drepte, paralele între ele a 1 ||a 2.
b) Dacă vectorii sunt direcționați în unghi unul față de celălalt, atunci suma lor se găsește folosind teorema cosinusului pentru un paralelogram
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 și α = 90°.
vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt a 1 ⊥ a 2.
c) Stare a 1 + a 2 = a 1 − a 2 poate fi executat dacă a 2− vector zero, atunci a 1 + a 2 = a 1 .
Răspunsuri. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− vector zero.
3. Două forțe de 1,42 N fiecare sunt aplicate unui punct al corpului la un unghi de 60° unul față de celălalt. În ce unghi ar trebui aplicate două forțe de 1,75 N fiecare în același punct al corpului, astfel încât acțiunea lor să echilibreze acțiunea primelor două forțe?
Soluţie.
Conform condițiilor problemei, două forțe de 1,75 N fiecare echilibrează două forțe de 1,42 N fiecare. Acest lucru este posibil dacă modulele vectorilor de perechi de forțe rezultați sunt egale. Determinăm vectorul rezultat folosind teorema cosinusului pentru un paralelogram. Pentru prima pereche de forțe:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
pentru a doua pereche de forțe, respectiv
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Echivalarea părților stângi ale ecuațiilor
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Să găsim unghiul necesar β între vectori
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
După calcule,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.
A doua soluție.
Să luăm în considerare proiecția vectorilor pe axa de coordonate OX (Fig.). 
Folosind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic, obținem
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
Unde
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) și β ≈ 90,7°.
4. Vector a = 3i − 4j. Care trebuie să fie mărimea scalară c pentru |c A| = 7,5?
Soluţie.
c A= c( 3i − 4j) = 7,5
Modul vectorial A va fi egal
a 2 = 3 2 + 4 2 și a = ±5,
apoi din
c.(±5) = 7,5,
hai sa gasim asta
c = ±1,5.
5. Vectori a 1Și a 2 iese din origine și au coordonatele carteziene de sfârșit (6, 0) și respectiv (1, 4). Găsiți vectorul a 3 astfel încât: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Soluţie.
Să descriem vectorii din sistemul de coordonate carteziene (Fig.) 
a) Vectorul rezultat de-a lungul axei Ox este
a x = 6 + 1 = 7.
Vectorul rezultat de-a lungul axei Oy este
a y = 4 + 0 = 4.
Pentru ca suma vectorilor să fie egală cu zero, este necesar ca condiția să fie îndeplinită
a 1 + a 2 = −a 3.
Vector a 3 modulo va fi egal cu vectorul total a 1 + a 2, dar îndreptată în sens invers. Coordonată de sfârșit vectorială a 3 este egal cu (−7, −4), iar modulul
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.
B) Vectorul rezultat de-a lungul axei Ox este egal cu
a x = 6 − 1 = 5,
iar vectorul rezultat de-a lungul axei Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Când condiția este îndeplinită
a 1 − a 2 = −a 3,
vector a 3 va avea coordonatele capătului vectorului a x = –5 și a y = −4, iar modulul acestuia este egal cu
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.
6. Un mesager merge 30 m spre nord, 25 m spre est, 12 m spre sud, apoi ia un lift la o înălțime de 36 m într-o clădire Care este distanța L parcursă de el și deplasarea S ?
Soluţie.
Să descriem situația descrisă în problemă pe un plan la o scară arbitrară (Fig.). 
Sfârșitul vectorului O.A. are coordonatele 25 m la est, 18 m la nord și 36 în sus (25; 18; 36). Distanța parcursă de o persoană este egală cu
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Mărimea vectorului deplasare poate fi găsită folosind formula
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
unde x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Răspuns: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Unghiul α dintre doi vectori AȘi b este egal cu 60°. Determinați lungimea vectorului c = a + bși unghiul β dintre vectori AȘi c. Mărimile vectorilor sunt a = 3,0 și b = 2,0.
Soluţie.
Lungimea vectorului, egal cu suma vectori AȘi b Să determinăm folosind teorema cosinusului pentru un paralelogram (Fig.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
După înlocuire
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Pentru a determina unghiul β, folosim teorema sinusului pentru triunghiul ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
În același timp, ar trebui să știi asta
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Rezolvarea unui simplu ecuație trigonometrică, ajungem la expresie
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
prin urmare,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Să verificăm folosind teorema cosinusului pentru un triunghi:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
Unde
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Și
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Răspuns: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Rezolva probleme.
8. Pentru vectori AȘi b definit în Exemplul 7, găsiți lungimea vectorului d = a - b colţ γ
între AȘi d.
9. Aflați proiecția vectorului a = 4,0i + 7,0j la o linie dreaptă, a cărei direcție formează un unghi α = 30° cu axa Ox. Vector A iar linia dreaptă se află în planul xOy.
10. Vector A face un unghi α = 30° cu dreapta AB, a = 3,0. În ce unghi β față de dreapta AB ar trebui să fie îndreptat vectorul? b(b = √(3)) astfel încât vectorul c = a + b a fost paralel cu AB? Aflați lungimea vectorului c.
11. Se dau trei vectori: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Gaseste un) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b - (a, b)c.
12. Unghiul dintre vectori AȘi b este egal cu α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Aflați lungimile vectorilor c = (a, b)a + bȘi d = 2b − a/2.
13. Demonstrați că vectorii AȘi b sunt perpendiculare dacă a = (2, 1, −5) și b = (5, −5, 1).
14. Aflați unghiul α dintre vectori AȘi b, dacă a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vector A formează un unghi α = 30° cu axa Ox, proiecția acestui vector pe axa Oy este egală cu a y = 2,0. Vector b perpendicular pe vector Ași b = 3,0 (vezi figura). 
Vector c = a + b. Aflați: a) proiecțiile vectorului b pe axa Ox și Oy; b) valoarea lui c şi unghiul β dintre vector cși axa Bou; taxi); d) (a, c).
Răspunsuri:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) b x = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Studiind fizica, aveți oportunități grozave de a vă continua educația la o universitate tehnică. Acest lucru va necesita o aprofundare paralelă a cunoștințelor în matematică, chimie, limbă și mai rar în alte materii. Câștigătorul olimpiadei republicane, Savich Egor, absolvă una dintre facultățile MIPT, unde se impun cunoștințe în chimie. Dacă aveți nevoie de ajutor la Academia de Științe de Stat în chimie, atunci contactați profesioniștii; veți primi cu siguranță asistență calificată și în timp util.
Mărimi scalare și vectoriale
- Calcul vectorial (de exemplu, deplasarea (s), forța (F), accelerația (a), viteza (V) energia (E)).
mărimi scalare care sunt complet determinate prin specificarea valorilor lor numerice (lungimea (L), aria (S), volumul (V), timpul (t), masa (m) etc.);
- Mărimi scalare: temperatură, volum, densitate, potențial electric, energia potențială a unui corp (de exemplu, într-un câmp gravitațional). De asemenea, modulul oricărui vector (de exemplu, cei enumerați mai jos).
Mărimi vectoriale: vector rază, viteză, accelerație, intensitatea câmpului electric, intensitatea câmpului magnetic. Și multe altele :)
- o mărime vectorială are o expresie numerică și o direcție: viteză, accelerație, forță, inducție electromagnetică, deplasare etc., iar o mărime scalară are doar o expresie numerică: volum, densitate, lungime, lățime, înălțime, masă (a nu se confunda cu greutate), temperatura
- vector, de exemplu, viteza (v), forța (F), deplasarea (s), impulsul (p), energia (E). Un vector săgeată este plasat deasupra fiecăreia dintre aceste litere. de aceea sunt vectori. iar cele scalare sunt masa (m), volumul (V), aria (S), timpul (t), înălțimea (h)
- Mișcările vectoriale sunt mișcări liniare, tangențiale.
Mișcările scalare sunt mișcări închise care ecranizează mișcări vectoriale.
Mișcările vectoriale sunt transmise prin intermediul celor scalare, ca prin intermediari, la fel cum curentul este transmis de la atom la atom printr-un conductor. - Mărimi scalare: temperatură, volum, densitate, potențial electric, energia potențială a unui corp (de exemplu, într-un câmp gravitațional). De asemenea, modulul oricărui vector (de exemplu, cei enumerați mai jos).
Mărimi vectoriale: vector rază, viteză, accelerație, intensitatea câmpului electric, intensitatea câmpului magnetic. Și multe altele:-
- O mărime scalară (scalar) este cantitate fizica, care are o singură caracteristică, o valoare numerică.
O mărime scalară poate fi pozitivă sau negativă.
Exemple mărimi scalare: masa, temperatura, calea, munca, timpul, perioada, frecventa, densitatea, energia, volumul, capacitatea electrica, tensiunea, curentul etc.
Operațiile matematice cu mărimi scalare sunt operații algebrice.
Cantitatea de vector
O mărime vectorială (vector) este o mărime fizică care are două caracteristici: modul și direcția în spațiu.
Exemple de mărimi vectoriale: viteză, forță, accelerație, tensiune etc.
Geometric, un vector este reprezentat ca un segment direcționat al unei linii drepte, a cărei lungime este scalată la modulul vectorului.
Toate mărimile pe care le întâlnim în fizică și, în special, într-una din ramurile sale de mecanică, pot fi împărțite în două tipuri:
a) scalare, care sunt determinate de un număr real pozitiv sau negativ. Exemple de astfel de cantități includ timpul, temperatura;
b) vectori, care sunt determinate de un segment spațial dirijat al unei linii (sau trei mărimi scalare) și au proprietățile date mai jos.
Exemple de mărimi vectoriale sunt forța, viteza, accelerația.
Sistemul de coordonate carteziene
Când vorbiți despre segmente direcționate, ar trebui să indicați obiectul în raport cu care este determinată această direcție. Sistemul de coordonate carteziene, ale cărui componente sunt axele, este luat ca un astfel de obiect.
O axă este o linie dreaptă pe care este indicată direcția. Trei axe reciproc perpendiculare care se intersectează în punctul O, numite corespunzător, formează un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sistemul de coordonate carteziene poate fi dreptaci (Fig. 1) sau stângaci (Fig. 2). Aceste sisteme sunt imagini în oglindă unele ale altora și nu pot fi combinate prin nicio mișcare.
În toate prezentările ulterioare, este adoptat un sistem de coordonate pentru dreapta. În sistemul de coordonate drept, direcția pozitivă de referință pentru toate unghiurile este luată în sens invers acelor de ceasornic.
Aceasta corespunde direcției în care axele x și y se aliniază atunci când sunt privite din direcția pozitivă a axei
Vectori gratuite
Un vector caracterizat doar prin lungime și direcție într-un sistem de coordonate dat se numește liber. Un vector liber este reprezentat de un segment de o lungime și o direcție date, al cărui început este situat în orice punct din spațiu. În desen, vectorul este reprezentat printr-o săgeată (Fig. 3).
Vectorii sunt desemnați printr-o literă aldine sau două litere corespunzătoare începutului și sfârșitului unei săgeți cu o liniuță deasupra lor sau
Mărimea unui vector se numește modul său și se notează într-unul din următoarele moduri
Egalitatea vectorilor
Deoarece principalele caracteristici ale unui vector sunt lungimea și direcția sa, vectorii sunt numiți egali dacă direcțiile și mărimile lor coincid. Într-un caz particular, vectori egali pot fi direcționați de-a lungul unei linii drepte. Egalitatea vectorilor, de exemplu a și b (Fig. 4), se scrie astfel:
Dacă vectorii (a și b) sunt egali ca mărime, dar diametral opuși ca direcție (Fig. 5), atunci aceasta se scrie sub forma:
Vectorii care au direcții identice sau diametral opuse se numesc coliniari.
Înmulțirea unui vector cu un scalar
Produsul vectorului a și scalarului K se numește vector în modul, egal ca direcție cu vectorul a dacă K este pozitiv și diametral opus acestuia dacă K este negativ.
Vector unitar
Un vector al cărui modul este egal cu unu și a cărui direcție coincide cu un vector dat a se numește vectorul unitar al unui vector dat sau vectorul său unitar. Ort este notat cu . Orice vector poate fi reprezentat prin vectorul său unitar ca
Vectorii unitar localizați de-a lungul direcțiilor pozitive ale axelor de coordonate sunt desemnați în consecință (Fig. 6).
Adăugarea vectorului
Se postulează regula pentru adăugarea vectorilor (justificarea acestui postulat este observarea obiectelor reale de natură vectorială). Acest postulat este că doi vectori
Ele sunt transferate într-un anumit punct din spațiu, astfel încât originile lor să coincidă (Fig. 7). Diagonala direcționată a unui paralelogram construit pe acești vectori (Fig. 7) se numește suma vectorilor, adunarea vectorilor se scrie sub forma
si se numeste adunare dupa regula paralelogramului.
Regula specificată pentru adăugarea vectorilor poate fi implementată și în felul următor: în orice punct al spațiului, un vector este îndepărtat în continuare, un vector este îndepărtat de la sfârșitul vectorului (Fig. 8). Un vector a, al cărui început coincide cu începutul vectorului și al cărui sfârșit coincide cu sfârșitul vectorului, va fi suma vectorilor
Ultima regulă de adăugare a vectorilor este convenabilă dacă trebuie să adăugați mai mult de doi vectori. Într-adevăr, dacă trebuie să adăugați mai mulți vectori, atunci, folosind regula specificată, ar trebui să construiți o linie întreruptă, ale cărei laturi sunt vectorii dați, iar începutul oricărui vector coincide cu sfârșitul vectorului anterior. Suma acestor vectori va fi un vector al cărui început coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul coincide cu sfârșitul ultimului vector (Fig. 9). Dacă vectorii dați formează un poligon închis, atunci se spune că suma vectorilor este zero.
Din regula de construire a sumei vectorilor rezultă că suma lor nu depinde de ordinea în care sunt luați termenii, sau adăugarea vectorilor este comutativă. Pentru doi vectori, acesta din urmă poate fi scris astfel:
Scădere vectorială
Scăderea unui vector dintr-un vector se efectuează conform următoarei reguli: un vector este construit și un vector - este îndepărtat de la capătul său (Fig. 10). Vector a, al cărui început coincide cu începutul
vector și sfârșitul - cu sfârșitul vectorului este egal cu diferența dintre vectori și Operația efectuată se poate scrie sub forma:
Descompunerea vectorului în componente
A descompune un vector dat înseamnă a-l reprezenta ca suma mai multor vectori, care se numesc componentele sale.
Să luăm în considerare problema descompunerii vectorului a, dacă se precizează că componentele sale trebuie direcționate de-a lungul a trei axe de coordonate. Pentru a face acest lucru, vom construi un paralelipiped, a cărui diagonală este vectorul a, iar muchiile sunt paralele cu axele de coordonate (Fig. 11). Apoi, după cum este evident din desen, suma vectorilor localizați de-a lungul marginilor acestui paralelipiped dă vectorul a:
Proiecția unui vector pe o axă
Proiecția unui vector pe o axă este de dimensiunea unui segment direcționat, care este delimitat de plane perpendiculare pe axă, trecând prin începutul și sfârșitul vectorului (Fig. 12). Punctele de intersecție ale acestor plane cu axa (A și B) se numesc proiecția începutului și, respectiv, a sfârșitului vectorului.
Proiecția unui vector are semnul plus dacă direcțiile sale, numărând de la proiecția începutului vectorului până la proiecția sfârșitului său, coincid cu direcția axei. Dacă aceste direcții nu coincid, atunci proiecția are semnul minus.
Proiecțiile vectorului a pe axele de coordonate sunt desemnate în consecință
Coordonatele vectoriale
Componentele vectorului a, situate paralel cu axele de coordonate prin proiectii vectoriale si vectori unitari, pot fi scrise sub forma:
Prin urmare:
unde definesc complet vectorul și se numesc coordonatele acestuia.
Notând prin unghiurile pe care le face vectorul a cu axele de coordonate, proiecțiile vectorului a pe axe se pot scrie sub forma:
Prin urmare, pentru modulul vectorului a avem expresia:
Deoarece definiția unui vector prin proiecțiile sale este unică, doi vectori egali vor avea coordonate egale.
Adunarea vectorilor prin coordonatele lor
După cum rezultă din Fig. 13, proiecția sumei vectorilor pe axă este egală cu suma algebrică a proiecțiilor lor. Prin urmare, din egalitatea vectorială:
urmează următoarele trei egalități scalare:
sau coordonatele vectorului total sunt egale cu suma algebrică a coordonatelor vectorilor componente.
Produsul scalar a doi vectori
Produsul scalar a doi vectori se notează cu a b și este determinat de produsul modulelor lor și cosinusul unghiului dintre ei:
Produsul scalar al doi vectori poate fi definit și ca produsul dintre modulul unuia dintre vectori și proiecția celuilalt vector pe direcția primului vector.
Din definiția produsului scalar rezultă că
adică are loc legea comutativă.
Relativ la adaos produs scalar are proprietatea distributivă:
care rezultă direct din proprietatea că proiecția sumei vectorilor este egală cu suma algebrică a proiecțiilor lor.
Produsul scalar prin proiecțiile vectorilor poate fi scris astfel:
Produsul încrucișat a doi vectori
Produsul încrucișat a doi vectori se notează axb. Acesta este un vector c, al cărui modul este egal cu produsul dintre modulele vectorilor fiind înmulțit cu sinusul unghiului dintre ei:
Vectorul c este îndreptat perpendicular pe planul definit de vectorii a și b, astfel încât, dacă este privit de la capătul vectorului c, atunci pentru a alinia cât mai repede vectorul a cu vectorul b, primul vector trebuia rotit în pozitiv. direcție (în sens invers acelor de ceasornic; Fig. 14). Un vector care este produsul încrucișat al doi vectori se numește vector axial (sau pseudovector). Direcția sa depinde de alegerea sistemului de coordonate sau de condiția direcției pozitive a unghiurilor. Direcția indicată a vectorului c corespunde sistemului de dreapta de axe de coordonate carteziene, a cărui alegere a fost convenită mai devreme.
La cursurile de fizică întâlnim adesea cantități pentru care este suficient să cunoaștem doar valori numerice pentru a le descrie. De exemplu, masa, timpul, lungimea.
Se numesc cantități care sunt caracterizate doar de o valoare numerică scalar sau scalari.
Pe lângă mărimile scalare, se folosesc mărimi care au atât o valoare numerică, cât și o direcție. De exemplu, viteza, accelerația, forța.
Se numesc mărimi care sunt caracterizate prin valoare numerică și direcție vector sau vectori.
Cantitățile vectoriale sunt indicate prin literele corespunzătoare cu o săgeată în partea de sus sau cu caractere aldine. De exemplu, vectorul forță este notat cu \(\vec F\) sau F . Valoarea numerică a unei mărimi vectoriale se numește modul sau lungimea vectorului. Valoarea vectorului forță se notează cu F sau \(\left|\vec F \right|\).
Imagine vectorială
Vectorii sunt reprezentați prin segmente direcționate. Începutul vectorului este punctul de la care începe segmentul direcționat (punctul Aîn fig. 1), capătul vectorului este punctul în care se termină săgeata (punctul Bîn fig. 1).
Orez. 1.
Cei doi vectori sunt numiți egal, dacă au aceeași lungime și sunt îndreptate în aceeași direcție. Astfel de vectori sunt reprezentați de segmente direcționate având aceleași lungimi și direcții. De exemplu, în Fig. 2 prezintă vectorii \(\vec F_1 =\vec F_2\).
Orez. 2. Când doi sau mai mulți vectori sunt reprezentați într-un desen, segmentele sunt construite la o scară preselectată. De exemplu, în Fig. Figura 3 prezintă vectori ale căror lungimi sunt \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.
Orez. 3. Metodă pentru specificarea unui vector
Pe un plan, un vector poate fi specificat în mai multe moduri:
1. Specificați coordonatele începutului și sfârșitului vectorului. De exemplu, vectorul \(\Delta\vec r\) din Fig. 4 este dat de coordonatele începutului vectorului – (2, 4) (m), sfârșitului – (6, 8) (m).
Orez. 4. 2. Indicați mărimea vectorului (valoarea acestuia) și unghiul dintre direcția vectorului și o direcție preselectată pe plan. Adesea pentru o astfel de direcție în Partea pozitivă axa 0 X. Unghiurile măsurate din această direcție în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate pozitive. În fig. 5 vectorul \(\Delta\vec r\) este dat de două numere bși \(\alpha\) , indicând lungimea și direcția vectorului.
Orez. 5. Fizica și matematica nu se pot descurca fără conceptul de „cantitate vectorială”. Trebuie să-l cunoașteți și să-l recunoașteți și, de asemenea, să puteți opera cu el. Cu siguranță ar trebui să înveți asta pentru a nu te încurca și a face greșeli stupide.
Cum să distingem o cantitate scalară de o mărime vectorială?
Prima are întotdeauna o singură caracteristică. Aceasta este valoarea sa numerică. Majoritatea mărimilor scalare pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Exemple de acestea sunt sarcina electrică, lucrul sau temperatura. Dar există scalari care nu pot fi negativi, de exemplu, lungimea și masa.
O mărime vectorială, pe lângă o mărime numerică, care este întotdeauna luată modulo, este caracterizată și prin direcție. Prin urmare, poate fi reprezentat grafic, adică sub forma unei săgeți, a cărei lungime este egală cu valoarea absolută îndreptată într-o anumită direcție.
Când scrieți, fiecare mărime vectorială este indicată printr-un semn săgeată pe literă. Dacă despre care vorbim despre o valoare numerică, atunci săgeata nu se scrie sau se ia modulo.
Ce acțiuni sunt cel mai des efectuate cu vectori?
În primul rând, o comparație. Ele pot fi egale sau nu. În primul caz, modulele lor sunt aceleași. Dar aceasta nu este singura condiție. Ele trebuie să aibă, de asemenea, aceleași direcții sau opuse. În primul caz, ar trebui numiți vectori egali. În a doua se dovedesc a fi opuse. Dacă cel puțin una dintre condițiile specificate nu este îndeplinită, atunci vectorii nu sunt egali.
Apoi vine și adăugarea. Se poate face după două reguli: un triunghi sau un paralelogram. Primul prescrie mai întâi degajarea unui vector, apoi de la capătul său al doilea. Rezultatul adunării va fi cel care trebuie tras de la începutul primului până la sfârșitul celui de-al doilea.
Regula paralelogramului poate fi folosită atunci când se adună mărimi vectoriale în fizică. Spre deosebire de prima regulă, aici ar trebui amânate de la un punct. Apoi construiește-le până la un paralelogram. Rezultatul acțiunii trebuie considerat diagonala paralelogramului trasă din același punct.
Dacă o mărime vectorială este scăzută dintr-o alta, atunci acestea sunt din nou trasate dintr-un punct. Doar rezultatul va fi un vector care coincide cu ceea ce este reprezentat de la sfârșitul celui de-al doilea până la sfârșitul celui dintâi.
Ce vectori sunt studiați în fizică?
Sunt tot atâtea câte scalari sunt. Vă puteți aminti pur și simplu ce mărimi vectoriale există în fizică. Sau cunoașteți semnele după care pot fi calculate. Pentru cei care preferă prima variantă, acest tabel va fi util. Prezintă principalele mărimi fizice vectoriale.
Acum puțin mai multe despre unele dintre aceste cantități.
Prima cantitate este viteza
Merită să începeți cu exemple de mărimi vectoriale. Acest lucru se datorează faptului că este printre primele care au fost studiate.
Viteza este definită ca o caracteristică a mișcării unui corp în spațiu. Setează valoarea numerică și direcția. Prin urmare, viteza este o mărime vectorială. În plus, se obișnuiește să-l împarți în tipuri. Prima este viteza liniară. Este introdus atunci când se consideră un rectiliniu mișcare uniformă. În acest caz, se dovedește a fi egal cu raportul dintre calea parcursă de corp și timpul de mișcare.
Aceeași formulă poate fi folosită pentru mișcarea neuniformă. Abia atunci va fi medie. Mai mult, intervalul de timp care trebuie selectat trebuie să fie cât mai scurt posibil. Deoarece intervalul de timp tinde spre zero, valoarea vitezei este deja instantanee.
Dacă se ia în considerare mișcarea arbitrară, atunci viteza este întotdeauna o mărime vectorială. La urma urmei, trebuie să fie descompus în componente direcționate de-a lungul fiecărui vector care direcționează liniile de coordonate. În plus, este definită ca derivata vectorului rază luată în raport cu timpul.
A doua cantitate este puterea
Determină măsura intensității impactului care se exercită asupra corpului de către alte corpuri sau câmpuri. Deoarece forța este o mărime vectorială, ea are în mod necesar propria mărime și direcție. Deoarece acționează asupra corpului, este important și punctul în care se aplică forța. Pentru a obține o reprezentare vizuală a vectorilor de forță, puteți consulta următorul tabel.
De asemenea, o altă mărime vectorială este forța rezultantă. Este definită ca suma tuturor forțelor care acționează asupra corpului forte mecanice. Pentru a-l determina, este necesar să se efectueze adunarea conform principiului regulii triunghiului. Trebuie doar să eliminați vectorii unul câte unul de la sfârșitul celui precedent. Rezultatul va fi cel care leagă începutul primului de sfârșitul ultimului.
A treia cantitate este deplasarea
În timpul mișcării, corpul descrie o anumită linie. Se numește traiectorie. Această linie poate fi complet diferită. Se pare că nu ea este cea mai importantă aspect, și punctele de început și de sfârșit ale mișcării. Ele sunt conectate printr-un segment numit traducere. Aceasta este, de asemenea, o mărime vectorială. Mai mult, este întotdeauna îndreptată de la începutul mișcării până la punctul în care mișcarea a fost oprită. Este obișnuit să-l desemnăm Literă latină r.
Aici poate apărea următoarea întrebare: „Este calea o mărime vectorială?” În general, această afirmație nu este adevărată. Calea este egală cu lungimea traiectoriei și nu are o direcție anume. O excepție este situația în care se ia în considerare mișcarea rectilinie într-o direcție. Atunci mărimea vectorului de deplasare coincide ca valoare cu calea, iar direcția lor se dovedește a fi aceeași. Prin urmare, atunci când luăm în considerare mișcarea de-a lungul unei linii drepte fără a schimba direcția de mișcare, calea poate fi inclusă în exemple de mărimi vectoriale.
A patra mărime este accelerația
Este o caracteristică a vitezei de schimbare a vitezei. Mai mult, accelerația poate avea atât valori pozitive, cât și negative. La mișcare dreaptă este îndreptată spre viteză mai mare. Dacă mișcarea are loc de-a lungul unei căi curbe, atunci vectorul său de accelerație este descompus în două componente, dintre care una este îndreptată spre centrul de curbură de-a lungul razei.
Se disting valorile accelerației medii și instantanee. Primul ar trebui calculat ca raportul dintre schimbarea vitezei într-o anumită perioadă de timp și acest timp. Când intervalul de timp luat în considerare tinde spre zero, vorbim de accelerație instantanee.
A cincea valoare - impuls
Într-un alt mod se mai numește și cantitatea de mișcare. Momentul este o mărime vectorială deoarece este direct legată de viteza și forța aplicată corpului. Amândoi au o direcție și o dau impulsului.
Prin definiție, acesta din urmă este egal cu produsul dintre masa corporală și viteza. Folosind conceptul de impuls al unui corp, putem scrie altfel binecunoscuta lege a lui Newton. Se dovedește că modificarea impulsului este egală cu produsul forței și o perioadă de timp.
În fizică, un rol important joacă legea conservării impulsului, care afirmă că într-un sistem închis de corpuri impulsul său total este constant.
Am enumerat foarte pe scurt ce mărimi (vector) sunt studiate la cursul de fizică.
Problemă de impact inelastic
Condiție. Există o platformă staționară pe șine. O trăsură se apropie de el cu o viteză de 4 m/s. Masele platformei și mașinii sunt de 10, respectiv 40 de tone. Mașina lovește platforma și are loc cuplarea automată. Este necesar să se calculeze viteza sistemului „mașină-platformă” după impact.
Soluţie. În primul rând, trebuie să introduceți următoarele denumiri: viteza mașinii înainte de impact este v1, viteza mașinii cu platforma după cuplare este v, masa mașinii este m1, masa platformei este m2. În funcție de condițiile problemei, este necesar să se afle valoarea vitezei v.
Regulile pentru rezolvarea unor astfel de sarcini necesită o reprezentare schematică a sistemului înainte și după interacțiune. Este rezonabil să direcționați axa OX de-a lungul șinelor în direcția în care se mișcă mașina.
În aceste condiții, sistemul auto poate fi considerat închis. Acest lucru este determinat de faptul că forțe externe poate fi neglijat. Gravitația și reacția de sprijin sunt echilibrate, iar frecarea pe șine nu este luată în considerare.
Conform legii conservării impulsului, suma vectorială a acestora înainte de interacțiunea mașinii și platformei este egală cu totalul pentru cuplarea după impact. La început platforma nu s-a mișcat, așa că impulsul său a fost zero. Doar mașina s-a mișcat, impulsul său este produsul dintre m1 și v1.
Deoarece impactul a fost inelastic, adică mașina s-a conectat cu platforma și apoi au început să se rostogolească împreună în aceeași direcție, impulsul sistemului nu a schimbat direcția. Dar sensul lui s-a schimbat. Și anume, produsul dintre suma masei mașinii cu platforma și viteza dorită.
Puteți scrie următoarea egalitate: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Va fi valabil pentru proiectarea vectorilor de impuls pe axa selectată. Din aceasta este ușor să deduceți egalitatea care va fi necesară pentru a calcula viteza necesară: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Conform regulilor, valorile masei ar trebui convertite de la tone la kilograme. Prin urmare, atunci când le înlocuiți în formulă, trebuie mai întâi să înmulțiți cantitățile cunoscute cu o mie. Calcule simple dați un număr de 0,75 m/s.
Răspuns. Viteza mașinii cu platformă este de 0,75 m/s.
Problemă cu împărțirea corpului în părți
Condiție. Viteza unei grenade zburătoare este de 20 m/s. Se rupe în două bucăți. Greutatea primului este de 1,8 kg. Continuă să se deplaseze în direcția în care zbura grenada cu o viteză de 50 m/s. Al doilea fragment are o masă de 1,2 kg. Care este viteza lui?
Soluţie. Fie ca masele fragmentelor să fie notate cu literele m1 și m2. Vitezele lor vor fi v1 și, respectiv, v2. Viteza inițială a grenadei este v. Problema necesită calcularea valorii lui v2.
Pentru ca fragmentul mai mare să continue să se miște în aceeași direcție cu întreaga grenadă, al doilea trebuie să zboare în reversul. Dacă alegeți direcția axei să fie cea care a fost la impulsul inițial, atunci după pauză fragmentul mare zboară de-a lungul axei, iar cel mic zboară împotriva axei.
În această problemă, este permisă utilizarea legii conservării impulsului datorită faptului că grenada explodează instantaneu. Prin urmare, în ciuda faptului că gravitația acționează asupra grenadei și a părților sale, aceasta nu are timp să acționeze și să schimbe direcția vectorului de impuls cu valoarea sa absolută.
Suma mărimilor vectoriale ale impulsului după explozia grenadei este egală cu cea care a fost înainte. Dacă scriem legea conservării impulsului unui corp în proiecție pe axa OX, va arăta astfel: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Din ea este ușor de exprimat viteza necesară. Se va determina prin formula: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. După înlocuirea valorilor numerice și a calculelor, obținem 25 m/s.
Răspuns. Viteza fragmentului mic este de 25 m/s.
Problemă cu fotografierea în unghi
Condiție. Un pistol este montat pe o platformă de masă M. trage un proiectil de masa m. Zboară sub un unghi α față de orizont cu o viteză v (dată relativ la sol). Trebuie să știi viteza platformei după lovitură.
Soluţie. În această problemă, puteți utiliza legea conservării impulsului în proiecție pe axa OX. Dar numai în cazul în care proiecția forțelor rezultante externe este egală cu zero.
Pentru direcția axei OX, trebuie să selectați partea în care proiectilul va zbura și paralel cu linia orizontală. În acest caz, proiecțiile forțelor gravitaționale și reacția suportului pe OX vor fi egale cu zero.
Problema va fi rezolvată în vedere generala, deoarece nu există date specifice pentru cantitățile cunoscute. Răspunsul este o formulă.
Elanul sistemului înainte de împușcare a fost zero, deoarece platforma și proiectilul erau staționare. Lăsați viteza dorită a platformei să fie notată cu litera latină u. Apoi impulsul său după împușcare va fi determinat ca produsul dintre masă și proiecția vitezei. Deoarece platforma se va deplasa înapoi (contra direcției axei OX), valoarea impulsului va avea semnul minus.
Momentul unui proiectil este produsul dintre masa lui și proiecția vitezei pe axa OX. Datorită faptului că viteza este îndreptată la un unghi față de orizont, proiecția sa este egală cu viteza înmulțită cu cosinusul unghiului. În egalitate literală va arăta astfel: 0 = - Mu + mv * cos α. Din aceasta, prin transformări simple, se obține formula de răspuns: u = (mv * cos α) / M.
Răspuns. Viteza platformei este determinată de formula u = (mv * cos α) / M.
Problema trecerii raului
Condiție. Lățimea râului pe toată lungimea sa este aceeași și egală cu l, malurile sale sunt paralele. Sunt cunoscute viteza curgerii apei în râu v1 și viteza proprie v2 a bărcii. 1). La traversare, prova bărcii este îndreptată strict spre malul opus. Cât de departe va fi dus în aval? 2). În ce unghi α ar trebui să fie îndreptată prova bărcii astfel încât să ajungă pe malul opus strict perpendicular pe punctul de plecare? Cât timp va dura pentru o astfel de traversare?
Soluţie. 1). Viteza totală a bărcii este suma vectorială a două mărimi. Primul dintre acestea este debitul râului, care este direcționat de-a lungul malurilor. A doua este viteza proprie a bărcii, perpendiculară pe țărm. Desenul produce două triunghiuri similare. Primul este format din lățimea râului și distanța pe care plutește barca. Al doilea este prin vectori viteză.
Din ele urmează următoarea intrare: s / l = v1 / v2. După transformare, se obține formula pentru valoarea dorită: s = l * (v1 / v2).
2). În această versiune a problemei, vectorul viteză totală este perpendicular pe țărmuri. Este egală cu suma vectorială a v1 și v2. Sinusul unghiului cu care trebuie să devieze vectorul viteză naturală este egal cu raportul modulelor v1 și v2. Pentru a calcula timpul de călătorie, va trebui să împărțiți lățimea râului la viteza maximă calculată. Valoarea acestuia din urmă este calculată folosind teorema lui Pitagora.
v = √(v22 – v12), apoi t = l / (√(v22 – v12)).
Răspuns. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).
