Primul nivel

Rădăcina și proprietățile sale. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Să încercăm să ne dăm seama ce este acest concept de „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, să ne uităm la exemplele pe care le-ați întâlnit deja în clasă (ei bine, sau tocmai sunteți pe cale să întâlniți asta).

De exemplu, avem o ecuație. Care este soluția acestei ecuații? Ce numere pot fi pătrate și obținute? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (la urma urmei, când se înmulțesc două numere negative, se obține un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus un concept special rădăcină pătratăși i-a atribuit un simbol special.

Să definim rădăcina pătrată aritmetică.

De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, cu ce este egal? Ei bine, hai să încercăm să alegem unul. Poate trei? Să verificăm: , nu. Pot fi, ? Din nou, verificăm: . Ei bine, nu se potrivește? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!
Iată ceea ce trebuie să rețineți: numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ!

Cu toate acestea, probabil că cei mai atenți au observat deja că definiția spune că soluția la rădăcina pătrată a „un număr se numește aceasta nenegativ număr al cărui pătrat este egal cu ". Unii dintre voi veți spune că la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute, răspunsul a fost și, dar aici vorbim despre un fel de „număr nenegativ”! Această remarcă este destul de potrivită. Aici trebuie doar să distingeți între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu expresia.

Rezultă că, adică sau. (Citiți subiectul „”)

Și rezultă că.

Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar este necesar să ne amintim că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația trebuie să scriem toate x-urile, care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultat corect. În a noastră ecuație pătratică potrivit pentru ambele.

Cu toate acestea, dacă luați doar rădăcina pătrată de la ceva, atunci întotdeauna obținem un rezultat nenegativ.

Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu mai este atât de simplu și de lin, nu-i așa? Încercați să parcurgeți cifrele, poate va funcționa ceva? Să începem de la început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe - mai puțin de trei, de asemenea, mătură deoparte, ce dacă. Să verificăm: - nici nu este potrivit, pentru că... adica mai mult de trei. Este aceeași poveste cu numerele negative. Deci ce ar trebui să facem acum? Căutarea chiar nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să reprezentăm grafic funcția și să marchem soluțiile pe ea.

Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem răspunsul folosind un calculator! Să scoatem rădăcina din ea! Oh-oh-oh, se dovedește că. Acest număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, deoarece nu va fi un calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie doar să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) valoarea aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale; pentru a simplifica scrierea unor astfel de numere a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată.

Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida acest lucru. Să ne uităm la această problemă: trebuie să traversezi în diagonală câmp pătrat cu o latura de km, cati km ai de mers?

Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora: . Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, - este deja un răspuns complet.

Pentru a rezolva exemple cu rădăcini fără a cauza probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la și, de asemenea, să le puteți recunoaște. De exemplu, trebuie să știți ce este egal cu un pătrat și, dimpotrivă, ce este egal cu un pătrat.

Ai prins ce este o rădăcină pătrată? Apoi rezolvă câteva exemple.

Exemple.

Ei bine, cum a ieșit? Acum să ne uităm la aceste exemple:

Raspunsuri:

Rădăcină cubă

Ei bine, se pare că am rezolvat conceptul de rădăcină pătrată, acum să încercăm să ne dăm seama ce este o rădăcină cubă și care este diferența lor.

Rădăcina cubă a unui număr este numărul al cărui cub este egal cu. Ai observat că aici totul este mult mai simplu? Nu există restricții cu privire la valorile posibile atât ale valorii de sub semnul rădăcinii cubice, cât și ale numărului care se extrage. Adică rădăcina cubă poate fi extrasă din orice număr: .

Înțelegi ce este o rădăcină cubă și cum să o extragi? Apoi mergeți mai departe și rezolvați exemplele.

Exemple.

Raspunsuri:

Rădăcină - oh grad

Ei bine, am înțeles conceptele de rădăcină pătrată și cubă. Acum să rezumăm cunoștințele acumulate cu conceptul prima rădăcină.

prima rădăcină al unui număr este un număr a cărui putere este egală, adică

echivalent.

Dacă – chiar, Acea:

• cu negativ, expresia nu are sens (rădăcinile par a numerelor negative nu poate fi eliminat!);
• pentru non-negativ() expresia are o rădăcină nenegativă.

Dacă - este impar, atunci expresia are o rădăcină unică pentru oricare.

Nu vă alarmați, aici se aplică aceleași principii ca și în cazul rădăcinilor pătrate și cubice. Adică principiile pe care le-am aplicat atunci când le-am luat în considerare rădăcini pătrate, se extind la toate rădăcinile de grad par.

Și proprietățile care au fost folosite pentru rădăcina cubică se aplică rădăcinilor de grad impar.

Ei bine, a devenit mai clar? Să ne uităm la exemple:

Aici totul este mai mult sau mai puțin clar: mai întâi ne uităm - da, gradul este par, numărul de sub rădăcină este pozitiv, ceea ce înseamnă că sarcina noastră este să găsim un număr a cărui putere ne va da a patra. Ei bine, vreo ghicire? Pot fi, ? Exact!

Deci, gradul este egal - impar, numărul de sub rădăcină este negativ. Sarcina noastră este să găsim un număr care, atunci când este ridicat la o putere, să producă. Este destul de dificil să observi imediat rădăcina. Cu toate acestea, puteți restrânge imediat căutarea, nu? În primul rând, numărul necesar este cu siguranță negativ, iar în al doilea rând, se poate observa că este impar și, prin urmare, numărul dorit este impar. Încercați să găsiți rădăcina. Desigur, îl puteți respinge în siguranță. Pot fi, ?

Da, asta cautam! Rețineți că pentru a simplifica calculul am folosit proprietățile gradelor: .

Proprietățile de bază ale rădăcinilor

Este clar? Dacă nu, atunci după ce te uiți la exemple, totul ar trebui să se încadreze la locul lor.

Înmulțirea rădăcinilor

Cum să înmulțim rădăcinile? Proprietatea cea mai simplă și de bază vă ajută să răspundeți la această întrebare:

Să începem cu ceva simplu:

Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:

Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-ți că cei trei sunt rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Trebuie doar să-ți amintești asta Putem introduce numere pozitive doar sub semnul rădăcinii unui grad par.

Să vedem unde mai poate fi util. De exemplu, problema necesită compararea a două numere:

Mai mult:

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină? Apoi mergeți mai departe:

Ei bine, știind ce număr mai mare sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare! Acestea. daca atunci, . De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile exponenților și factorizați totul:

Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, acesta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Atunci iată un exemplu:

Acestea sunt capcanele, despre ele merită mereu amintit. Acest lucru se reflectă de fapt în exemplele de proprietate:

pentru ciudat: pentru par și:

Este clar? Consolidați cu exemple:

Da, vedem că rădăcina este la o putere pare, numărul negativ de sub rădăcină este, de asemenea, la o putere pare. Ei bine, merge la fel? Iată ce:

Asta e tot! Acum, iată câteva exemple:

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și rezolvați exemplele.

Exemple.

Răspunsuri.

Dacă ați primit răspunsuri, atunci puteți merge mai departe cu liniște sufletească. Dacă nu, atunci să înțelegem aceste exemple:

Să ne uităm la alte două proprietăți ale rădăcinilor:

Aceste proprietăți trebuie analizate în exemple. Ei bine, hai să facem asta?

Am înţeles? Să-l asigurăm.

Exemple.

Răspunsuri.

RĂDĂCINI ŞI PROPRIETĂŢILE LOR. NIVEL MEDIU

Rădăcina pătrată aritmetică

Ecuația are două soluții: și. Acestea sunt numere al căror pătrat este egal cu.

Luați în considerare ecuația. Să o rezolvăm grafic. Să desenăm un grafic al funcției și o linie la nivel. Punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi soluțiile. Vedem că această ecuație are și două soluții - una pozitivă, cealaltă negativă:

Dar în în acest caz, soluțiile nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste decizii iraționale, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.

Rădăcina pătrată aritmetică este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu. Când expresia nu este definită, deoarece Nu există un număr al cărui pătrat să fie egal cu un număr negativ.

Rădăcină pătrată: .

De exemplu, . Și rezultă că sau.

Permiteți-mi să vă atrag încă o dată atenția, acest lucru este foarte important: Rădăcina pătrată este întotdeauna un număr nenegativ: !

Rădăcină cubă a unui număr este un număr al cărui cub este egal cu. Rădăcina cubă este definită pentru toată lumea. Poate fi extras din orice număr: . După cum puteți vedea, poate lua și valori negative.

Rădăcina a treia a unui număr este un număr a cărui putere este egală, adică.

Dacă este par, atunci:

• dacă, atunci rădăcina a nu este definită.
• dacă, atunci rădăcina nenegativă a ecuației se numește rădăcina aritmetică a gradului al-lea de și se notează.

Dacă - este impar, atunci ecuația are o rădăcină unică pentru oricare.

Ați observat că în stânga deasupra semnului rădăcinii scriem gradul acesteia? Dar nu pentru rădăcina pătrată! Dacă vedeți o rădăcină fără grad, înseamnă că este pătrată (grade).

Exemple.

Proprietățile de bază ale rădăcinilor

RĂDĂCINIILE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Rădăcină pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) dintr-un număr nenegativ se numește așa număr nenegativ al cărui pătrat este

Proprietățile rădăcinilor:

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dumneavoastră E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, V proces, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

vom decide sarcină simplă prin aflarea laturii unui pătrat a cărui arie este de 9 cm 2. Dacă presupunem că latura pătratului A cm, atunci compunem ecuația în funcție de condițiile problemei:

A X A =9

A 2 =9

A 2 -9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 sau A=-3

Lungimea unei laturi a unui pătrat nu poate fi un număr negativ, deci latura necesară a pătratului este de 3 cm.

La rezolvarea ecuației, am găsit numerele 3 și -3, ale căror pătrate sunt 9. Fiecare dintre aceste numere se numește rădăcina pătrată a numărului 9. Nenegativul acestor rădăcini, adică numărul 3, se numește rădăcina aritmetică a numărului.

Este destul de logic să acceptăm faptul că rădăcina poate fi găsită de la numere la a treia putere (rădăcină cubă), a patra putere și așa mai departe. Și, în principiu, rădăcina este operația inversă de exponențiere.

Rădăcinăn gradul din număr α este un astfel de număr b, Unde b n = α .

Aici n- se numește de obicei un număr natural indicele de rădăcină(sau gradul de rădăcină); de regulă, este mai mare sau egal cu 2, deoarece este cazul n = 1 banal.

Desemnat pe literă ca simbol (semn rădăcină) în partea dreaptă este numit radical. Număr α - expresie radicală. Pentru exemplul nostru cu o petrecere, soluția ar putea arăta astfel: deoarece (± 3) 2 = 9 .

Avem valorile pozitive și negative ale rădăcinii. Această caracteristică complică calculele. Pentru a obține claritate, conceptul a fost introdus rădăcină aritmetică, a cărui valoare este întotdeauna cu semn plus, adică numai pozitiv.

Rădăcină numit aritmetic, dacă este extras dintr-un număr pozitiv și este el însuși un număr pozitiv.

De exemplu,

Rădăcina aritmetică a unui grad dat de număr dat există doar unul.

Operația de calcul se numește de obicei „ extragerea rădăcinilor n gradul” dintre α . În esență, efectuăm operația inversă ridicării la o putere, și anume găsirea bazei puterii b conform unui indicator cunoscut nşi rezultatul ridicării la putere

α = bn.

Rădăcinile gradului al doilea și al treilea sunt folosite în practică mai des decât altele și, prin urmare, li s-au dat nume speciale.

Rădăcină pătrată: În acest caz, se obișnuiește să nu scrieți exponentul 2, iar termenul „rădăcină” fără a indica exponentul înseamnă cel mai adesea rădăcina pătrată. Interpretată geometric, este lungimea laturii unui pătrat a cărui zonă este egală cu α .

Rădăcină de cub: interpretată geometric, lungimea unei muchii a unui cub al cărui volum este egal cu α .

Proprietățile rădăcinilor aritmetice.

1) La calcul rădăcina aritmetică a produsului, este necesar să-l extragem din fiecare factor separat

De exemplu,

2) Pentru calcul rădăcina unei fracții, este necesar să o extragem din numărătorul și numitorul acestei fracții

De exemplu,

3) La calcul rădăcina gradului, trebuie să împărțiți exponentul la exponentul rădăcină

De exemplu,

Primele calcule legate de extragerea rădăcinii pătrate au fost găsite în lucrările matematicienilor din Babilonul antic și din China, India, Grecia (despre realizările Egiptul antic nu exista informatii in surse in acest sens).

Matematicienii Babilonului antic (mileniul II î.Hr.) au folosit o metodă numerică specială pentru a extrage rădăcina pătrată. Aproximația inițială pentru rădăcina pătrată a fost găsită pe baza numărului natural cel mai apropiat de rădăcină (în direcția mai mică) n. Prezentarea expresiei radicale sub forma: α=n2 +r, primim: x 0 =n+r/2n, apoi a fost aplicat un proces iterativ de rafinare:

Iterațiile din această metodă converg foarte repede. Pentru ,

De exemplu, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25și obținem o succesiune de aproximări:

ÎN sens final Toate numerele sunt corecte, cu excepția ultimului.

Grecii au formulat problema dublării cubului, care s-a rezumat la construirea rădăcinii cubului folosind o busolă și o riglă. Regulile pentru calcularea oricărui grad al unui număr întreg au fost studiate de matematicieni din India și din statele arabe. Apoi au fost dezvoltate pe scară largă în Europa medievală.

Astăzi, pentru comoditatea calculării rădăcinilor pătrate și cubice, calculatoarele sunt utilizate pe scară largă.

Rădăcina aritmetică de gradul doi

Definiția 1

A doua rădăcină (sau rădăcină pătrată) a lui $a$ numiți un număr care, la pătrat, devine egal cu $a$.

Exemplul 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, ceea ce înseamnă că numărul $7$ este a doua rădăcină a numărului $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, ceea ce înseamnă că numărul $0,9$ este a doua rădăcină a numărului $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, ceea ce înseamnă că numărul $1$ este a doua rădăcină a numărului $1$.

Nota 2

Mai simplu spus, pentru orice număr $a

$a=b^2$ pentru $a$ negativ este incorect, deoarece $a=b^2$ nu poate fi negativ pentru nicio valoare de $b$.

Se poate concluziona că Pentru numere reale nu poate exista o a doua rădăcină a unui număr negativ.

Nota 3

Deoarece $0^2=0 \cdot 0=0$, apoi din definiție rezultă că zero este a 2-a rădăcină a lui zero.

Definiția 2

Rădăcina aritmetică a gradului 2 al numărului $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care, la pătrat, este egal cu $a$.

Se mai numesc rădăcini de gradul 2 rădăcini pătrate.

Rădăcina aritmetică a gradului 2 al numărului $a$ se notează cu $\sqrt(a)$ sau puteți vedea notația $\sqrt(a)$. Dar cel mai adesea pentru rădăcina pătrată numărul $2$ este exponent rădăcină- nu este specificat. Semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 2, care se mai numește și „ semn radical" Conceptele „rădăcină” și „radical” sunt nume ale aceluiași obiect.

Dacă există un număr sub semnul rădăcinii aritmetice, atunci acesta este numit număr radical, iar dacă expresia, atunci – expresie radicală.

Intrarea $\sqrt(8)$ este citită ca „rădăcină aritmetică a gradului 2 de opt”, iar cuvântul „aritmetică” nu este adesea folosit.

Definiția 3

Conform definiției rădăcina aritmetică de gradul II se poate scrie:

Pentru orice $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Am arătat diferența dintre o a doua rădăcină și o a doua rădăcină aritmetică. Mai departe vom lua în considerare numai rădăcinile numerelor și expresiilor nenegative, de exemplu. numai aritmetica.

Rădăcina aritmetică de gradul trei

Definiția 4

Rădăcina aritmetică a gradului 3 (sau rădăcină cubă) a numărului $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care, atunci când este cubit, devine egal cu $a$.

Adesea, cuvântul aritmetică este omis și se spune „a treia rădăcină a numărului $a$”.

Rădăcina aritmetică a gradului al 3-lea de $a$ se notează cu $\sqrt(a)$, semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 3, iar numărul $3$ în această notație se numește indicele de rădăcină. Numărul sau expresia care apare sub semnul rădăcinii este numită radical.

Exemplul 2

$\sqrt(3,5)$ – rădăcină aritmetică de gradul 3 de $3,5$ sau rădăcină cubă de $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – rădăcină aritmetică de gradul 3 a lui $x+5$ sau rădăcină cubă a lui $x+5$.

Rădăcina a n-a aritmetică

Definiția 5

Rădăcina aritmetică gradul al n-lea din numărul $a \ge 0$ se numește un număr nenegativ care, atunci când este ridicat la $n$a putere, devine egal cu $a$.

Notație pentru rădăcina aritmetică a gradului $n$ a lui $a \ge 0$:

unde $a$ este un număr radical sau o expresie,

O rădăcină aritmetică de gradul al n-lea al unui număr nenegativ este un număr nenegativ gradul al n-lea care este egal cu:

Gradul rădăcinii este numar natural, mai mare decat 1.

3.

4.

Cazuri speciale:

1. Dacă exponentul rădăcină este un număr întreg impar(), atunci expresia radicală poate fi negativă.

În cazul unui exponent impar, ecuația pentru orice valoare reală și întreg ÎNTOTDEAUNA are o singură rădăcină:

Pentru o rădăcină de grad impar este valabilă următoarea identitate:

,

2. Dacă exponentul rădăcină este un întreg par (), atunci expresia radicală nu poate fi negativă.

În cazul unui exponent par, Ec. Are

la o singură rădăcină

și, dacă și

Pentru o rădăcină de grad par, următoarea identitate este valabilă:

Pentru o rădăcină de grad par sunt valabile următoarele egalități::

Funcția de putere, proprietățile și graficul acestuia.

Funcția de putere și proprietățile acesteia.

Funcție de putere cu exponent natural. Funcția y = x n, unde n este un număr natural, se numește funcție de putere cu exponent natural. Pentru n = 1 obținem funcția y = x, proprietățile ei:

Proporționalitate directă. Proporționalitatea directă este o funcție definită de formula y = kx n, unde numărul k se numește coeficient de proporționalitate.

Să enumerăm proprietățile funcției y = kx.

Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale.

y = kx - nu chiar funcția(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Pentru k > 0 funcția crește, iar pentru k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Graficul (linia dreaptă) este prezentat în Figura II.1.

Orez. II.1.

Când n=2 obținem funcția y = x 2, proprietățile acesteia:

Funcția y -x 2. Să enumerăm proprietățile funcției y = x 2.

y = x 2 - funcție pară (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funcția scade pe interval.

De fapt, dacă , atunci - x 1 > - x 2 > 0 și, prin urmare

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, adică și aceasta înseamnă că funcția este în scădere.

Graficul funcției y=x2 este o parabolă. Acest grafic este prezentat în Figura II.2.

Orez. II.2.

Când n = 3 obținem funcția y = x 3, proprietățile acesteia:

Domeniul de definire al unei funcții este întreaga linie numerică.

y = x 3 - funcție impară (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funcția y = x 3 crește de-a lungul întregii drepte numerice. Graficul funcției y = x 3 este prezentat în figură. Se numește parabolă cubică.

Graficul (parabola cubică) este prezentat în Figura II.3.

Orez. II.3.

Fie n un număr natural par arbitrar mai mare decât doi:

n = 4, 6, 8,... . În acest caz, funcția y = x n are aceleași proprietăți ca și funcția y = x 2. Graficul unei astfel de funcții seamănă cu o parabolă y = x 2, doar ramurile graficului la |n| >1 cu cât merg mai abrupte în sus, cu atât n este mai mare și cu cât este mai „presat” pe axa x, cu atât n este mai mare.

Fie n un număr impar arbitrar mai mare de trei: n = = 5, 7, 9, ... . În acest caz, funcția y = x n are aceleași proprietăți ca și funcția y = x 3. Graficul unei astfel de funcții seamănă cu o parabolă cubică (numai ramurile graficului urcă și coboară cu mai mult abrupt, cu atât n este mai mare. De asemenea, rețineți că pe intervalul (0; 1) graficul funcției de putere y = x n se mișcă departe de axa x mai lent pe măsură ce x crește, cu atât mai mult decât n.

Funcția de putere cu exponent întreg negativ. Se consideră funcția y = x - n, unde n este un număr natural. Când n = 1 obținem y = x - n sau y = Proprietățile acestei funcții:

Graficul (hiperbola) este prezentat în Figura II.4.