10.1. Concepte generaleși definiții
Îndoiți- acesta este un tip de încărcare în care tija este încărcată cu momente în planuri care trec prin axa longitudinală a tijei.
O tijă care se îndoaie se numește grindă (sau cherestea). În viitor, vom lua în considerare grinzile rectilinii, a căror secțiune transversală are cel puțin o axă de simetrie.
Rezistența materialelor este împărțită în îndoire plată, oblică și complexă.
îndoire plată– încovoiere, în care toate forțele de îndoire a grinzii se află într-unul din planurile de simetrie ale grinzii (în unul din planurile principale).
Planurile principale de inerție ale unei grinzi sunt planele care trec prin axele principale secțiuni transversaleși axa geometrică a fasciculului (axa x).
îndoire oblică– încovoiere, în care sarcinile acționează într-un singur plan care nu coincide cu planurile principale de inerție.
Îndoire complexă – încovoiere, în care sarcinile acționează în planuri diferite (arbitrare).
10.2. Determinarea forțelor interne de încovoiere
Să luăm în considerare două cazuri tipice de încovoiere: în primul, grinda cantilever este îndoită de un moment concentrat Mo; în al doilea - forța concentrată F.
Folosind metoda secțiunilor mentale și compunând ecuații de echilibru pentru părțile tăiate ale grinzii, determinăm forțele interne în ambele cazuri:
Ecuațiile de echilibru rămase sunt în mod evident identic egale cu zero.
Astfel, în cazul general al îndoirii plane în secțiunea unei grinzi, din șase forțe interne, apar două - momentul de îndoire Mz și forta bruta Qy (sau la încovoiere față de o altă axă principală - momentul încovoietor My și forța tăietoare Qz).
În plus, în conformitate cu cele două cazuri de încărcare luate în considerare, îndoire plată poate fi împărțit în pur și transversal.
Curăță curbă– încovoiere plată, în care în secțiunile tijei, din șase forțe interne, ia naștere doar una – un moment încovoietor (vezi primul caz).
îndoire transversală– încovoiere, în care în secțiunile tijei, pe lângă momentul încovoietor intern, apare și o forță transversală (vezi al doilea caz).
Strict vorbind, să tipuri simple rezistența se referă numai la îndoire pură; îndoirea transversală este clasificată în mod convențional ca un tip simplu de rezistență, deoarece în majoritatea cazurilor (pentru grinzi suficient de lungi) efectul forței transversale poate fi neglijat la calcularea rezistenței.
La determinarea eforturilor interne, vom respecta următoarea regulă de semne:
1) forța transversală Qy este considerată pozitivă dacă tinde să rotească elementul grinzii în cauză în sensul acelor de ceasornic;
2) momentul încovoietor Mz este considerat pozitiv dacă, la îndoirea unui element de grindă, fibrele superioare ale elementului sunt comprimate, iar fibrele inferioare sunt întinse (regula umbrelă).
Astfel, soluția problemei determinării forțelor interne la încovoiere se va construi după următorul plan: 1) în prima etapă, luând în considerare condițiile de echilibru ale structurii în ansamblu, determinăm, dacă este necesar, reacțiile necunoscute. a suporturilor (de observat că pentru o grindă cantilever reacțiile în încastre pot fi și nu se regăsesc dacă luăm în considerare grinda din capătul liber); 2) la a doua etapă, selectăm secțiuni caracteristice ale grinzii, luând drept limite ale secțiunilor punctele de aplicare a forțelor, punctele de modificare a formei sau dimensiunii grinzii, punctele de fixare a grinzii; 3) la a treia etapă, determinăm forțele interne în secțiunile grinzii, având în vedere condițiile de echilibru ale elementelor grinzii din fiecare secțiune.
10.3. Dependențe diferențiale în timpul îndoirii
Să stabilim câteva relații între forțele interne și sarcinile externe de încovoiere, precum și caracteristici diagramele Q și M, cunoașterea cărora va facilita construirea diagramelor și vă va permite să controlați corectitudinea acestora. Pentru comoditatea notării, vom nota: M≡Mz, Q≡Qy.
Să selectăm un element mic dx într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină arbitrară într-un loc în care nu există forțe și momente concentrate. Deoarece întregul fascicul este în echilibru, elementul dx va fi și el în echilibru sub acțiunea forțelor aplicate acestuia. forțe tăietoare, momentele încovoietoare și sarcina externă. Deoarece Q și M variază în general de-a lungul
axa grinzii, apoi forțele transversale Q și Q+dQ, precum și momentele încovoietoare M și M+dM, vor apărea în secțiunile elementului dx. Din starea de echilibru a elementului selectat obținem
Prima dintre cele două ecuații scrise dă condiția
Din a doua ecuație, neglijând termenul q dx (dx/2) ca mărime infinitezimală de ordinul doi, găsim
Considerând expresiile (10.1) și (10.2) împreună putem obține
Relațiile (10.1), (10.2) și (10.3) se numesc diferențiale dependențe ale lui D.I. Zhuravsky în timpul îndoirii.
Analiza dependențelor diferențiale de mai sus în timpul încovoierii ne permite să stabilim câteva caracteristici (reguli) pentru construirea diagramelor de momente de încovoiere și forțe transversale: a - în zonele în care nu există sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate la linii drepte paralele cu baza , iar diagramele M sunt limitate la linii drepte înclinate; b – în zonele în care grinzii este aplicată o sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate de linii drepte înclinate, iar diagramele M sunt limitate de parabole pătratice.
Mai mult, dacă construim diagrama M „pe o fibră întinsă”, atunci convexitatea parabolei va fi îndreptată în direcția acțiunii q, iar extremul va fi situat în secțiunea în care diagrama Q intersectează linia de bază; c – în secțiunile în care fasciculului i se aplică o forță concentrată, pe diagrama Q vor exista salturi de mărime și în direcția acestei forțe, iar pe diagrama M vor fi îndoituri, vârful îndreptat în direcția acțiunea acestei forțe; d – în secțiunile în care grinzii i se aplică un moment concentrat, nu vor exista modificări pe diagrama Q, iar pe diagrama M vor exista salturi în mărimea acestui moment; d – în zonele în care Q>0, momentul M crește, iar în zonele în care Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Tensiuni normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi drepte
Să luăm în considerare cazul îndoirii în plan pur a unei grinzi și să obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor normale pentru acest caz.
De reținut că în teoria elasticității este posibil să se obțină o dependență exactă pentru tensiunile normale în timpul îndoirii pure, dar dacă această problemă este rezolvată folosind metode de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.
Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:
a – ipoteza secțiunilor plate (ipoteza Bernoulli) – secțiunile plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii grinzii. În acest caz, fibrele fasciculului aflate pe o parte a axei neutre se vor întinde, iar pe cealaltă, se vor comprima; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;
b – ipoteza despre constanța tensiunilor normale - tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;
c – ipoteza despre absenţa presiunilor laterale – fibrele longitudinale adiacente nu se apasă unele pe altele.
Partea statică a problemei
Pentru a determina tensiunile în secțiunile transversale ale grinzii, luăm în considerare, în primul rând, laturile statice ale problemei. Folosind metoda secțiunilor mentale și compunând ecuații de echilibru pentru partea tăiată a grinzii, vom găsi forțele interne în timpul îndoirii. După cum sa arătat mai devreme, singura forță internă care acționează în secțiunea grinzii în timpul încovoierii pure este momentul încovoietor intern, ceea ce înseamnă că aici vor apărea tensiuni normale asociate cu acesta.
Vom găsi relația dintre forțele interne și tensiunile normale în secțiunea grinzii luând în considerare tensiunile pe aria elementară dA, selectate în secțiunea transversală A a grinzii în punctul cu coordonatele y și z (axa y este îndreptată în jos pentru comoditatea analizei):
După cum vedem, problema este nedeterminată static intern, deoarece natura distribuției tensiunilor normale pe secțiune este necunoscută. Pentru a rezolva problema, luați în considerare imaginea geometrică a deformațiilor.
Partea geometrică a problemei
Să luăm în considerare deformarea unui element de grindă de lungime dx, separat de o tijă de îndoire într-un punct arbitrar cu coordonata x. Ținând cont de ipoteza acceptată anterior a secțiunilor plate, după îndoirea secțiunii grinzii, se rotește față de axa neutră (n.o.) cu un unghi dϕ, în timp ce fibra ab, distanțată de axa neutră la o distanță y, se va transforma într-un arc de cerc a1b1, iar lungimea acestuia se va schimba cu o anumită dimensiune. Să reamintim aici că lungimea fibrelor situate pe axa neutră nu se modifică și, prin urmare, arcul a0b0 (a cărui rază de curbură se notează cu ρ) are aceeași lungime ca și segmentul a0b0 înainte de deformare a0b0=dx. .
Să găsim deformația liniară relativă εx a fibrei ab a fasciculului curbat.
Îndoirea este un tip de deformare în care axa longitudinală a grinzii este îndoită. Grinzile drepte care se îndoaie se numesc grinzi. Îndoirea directă este o îndoire în care forțele externe care acționează asupra grinzii se află într-un singur plan (planul forței) care trece prin axa longitudinală a grinzii și prin axa centrală principală de inerție a secțiunii transversale.
Îndoirea se numește pură, dacă apare un singur moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii.
Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță transversală acționează simultan în secțiunea transversală a unei grinzi, se numește transversală. Linia de intersecție a planului forței și a planului secțiunii transversale se numește linie de forță.
Factori de forță interni în timpul îndoirii grinzii.
În timpul îndoirii transversale plane, în secțiunile grinzii apar doi factori de forță interni: forța transversală Q și momentul încovoietor M. Pentru determinarea acestora se utilizează metoda secțiunilor (vezi cursul 1). Forța transversală Q în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe planul de secțiune a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.
Regula semnului pentru forțele tăietoare Q:
Momentul încovoietor M într-o secțiune a grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor relativ la centrul de greutate al acestei secțiuni a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.
Regula semnului pentru momentele încovoietoare M:
Dependențe diferențiale ale lui Zhuravsky.
S-au stabilit relații diferențiale între intensitatea q a sarcinii distribuite, expresiile pentru forța transversală Q și momentul încovoietor M:
Pe baza acestor dependențe, pot fi identificate următoarele modele generale de diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M:
Caracteristicile diagramelor factorilor de forță interni în timpul îndoirii.
1. În secțiunea grinzii în care nu există sarcină distribuită, este prezentată diagrama Q linie dreapta , paralel cu baza diagramei, iar diagrama M - o linie dreaptă înclinată (Fig. a).
2. În secțiunea în care se aplică o forță concentrată, Q ar trebui să fie pe diagramă salt , egală cu valoarea acestei forțe, iar pe diagrama M - punctul limita (Fig. a).
3. În secțiunea în care se aplică un moment concentrat, valoarea lui Q nu se modifică, iar diagrama M are salt , egală cu valoarea acestui moment (Fig. 26, b).
4. Într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama Q se modifică conform unei legi liniare, iar diagrama M se modifică conform unei legi parabolice și convexitatea parabolei este îndreptată spre direcția sarcinii distribuite (Fig. c, d).
5. Dacă, în cadrul unei secțiuni caracteristice, diagrama Q intersectează baza diagramei, atunci în secțiunea în care Q = 0, momentul încovoietor are o valoare extremă M max sau M min (Fig. d).
Tensiuni normale de încovoiere.
Determinat prin formula:
Momentul de rezistență al unei secțiuni la încovoiere este mărimea:
Secțiune transversală periculoasăîn timpul îndoirii se numește secțiunea transversală a grinzii în care apare solicitarea normală maximă.
Tensiuni de forfecare în timpul îndoirii drepte.
Determinat de formula lui Zhuravsky pentru solicitările tăietoare în timpul îndoirii grinzii drepte:
unde S ots este momentul static al zonei transversale a stratului tăiat de fibre longitudinale în raport cu linia neutră.
Calcule ale rezistenței la încovoiere.
1. La calculul de verificare Tensiunea maximă de proiectare este determinată și comparată cu efortul admisibil:
2. La calcul de proiectare selectarea secțiunii grinzii se face din condiția:
3. La determinarea sarcinii admisibile, momentul încovoietor admisibil este determinat din condiția:
Mișcări de îndoire.
Sub influența sarcinii de încovoiere, axa grinzii se îndoaie. În acest caz, se observă tensiunea fibrelor pe partea convexă și compresia pe partea concavă a fasciculului. În plus, există o mișcare verticală a centrelor de greutate ale secțiunilor transversale și rotația lor față de axa neutră. Pentru a caracteriza deformarea la încovoiere, se folosesc următoarele concepte:
Deviația fasciculului Y- deplasarea centrului de greutate al secțiunii transversale a fasciculului în direcția perpendiculară pe axa acesteia.
Deviația este considerată pozitivă dacă centrul de greutate se mișcă în sus. Cantitatea de deviere variază de-a lungul lungimii fasciculului, adică y = y(z)
Unghiul de rotație al secțiunii- unghiul θ prin care fiecare secțiune se rotește față de poziția inițială. Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic. Mărimea unghiului de rotație variază pe lungimea fasciculului, fiind funcție de θ = θ (z).
Cele mai comune metode de determinare a deplasărilor este metoda MoraȘi regula lui Vereșchagin.
metoda lui Mohr.
Procedura de determinare a deplasărilor folosind metoda lui Mohr:
1. Un „sistem auxiliar” este construit și încărcat cu o sarcină unitară în punctul în care trebuie determinată deplasarea. Dacă se determină deplasarea liniară, atunci se aplică o forță unitară în direcția sa; când se determină deplasările unghiulare, se aplică un moment unitar.
2. Pentru fiecare secțiune a sistemului se notează expresiile pentru momentele încovoietoare M f din sarcina aplicată și M 1 din sarcina unitară.
3. Pe toate secțiunile sistemului, integralele lui Mohr sunt calculate și însumate, rezultând deplasarea dorită:
4. Dacă deplasarea calculată are semn pozitiv, aceasta înseamnă că direcția sa coincide cu direcția forței unitare. Un semn negativ indică faptul că deplasarea reală este opusă direcției forței unității.
regula lui Vereșchagin.
Pentru cazul în care diagrama momentelor încovoietoare de la o sarcină dată are un contur arbitrar, iar dintr-o sarcină unitară - un contur rectiliniu, este convenabil să folosiți metoda grafico-analitică sau regula lui Vereshchagin.
unde A f este aria diagramei momentului încovoietor M f de la o sarcină dată; y c – ordonata diagramei dintr-o unitate de sarcină sub centrul de greutate al diagramei M f; EI x este rigiditatea secțiunii secțiunii grinzii. Calculele folosind această formulă se fac în secțiuni, în fiecare dintre acestea diagrama în linie dreaptă ar trebui să fie fără fracturi. Valoarea (A f *y c) este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a fasciculului, negativă dacă sunt situate pe laturi diferite. Un rezultat pozitiv al înmulțirii diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare. O diagramă complexă M f ar trebui împărțită în figuri simple (se folosește așa-numita „stratificare a parcelei”), pentru fiecare dintre acestea fiind ușor de determinat ordonata centrului de greutate. În acest caz, aria fiecărei figuri este înmulțită cu ordonata de sub centrul său de greutate.
Ca și în § 17, presupunem că secțiunea transversală a tijei are două axe de simetrie, dintre care una se află în planul de îndoire.
În cazul îndoirii transversale a unei tije, în secțiunea ei transversală apar tensiuni tangenţiale, iar când tija este deformată, aceasta nu rămâne plată, ca în cazul îndoirii pure. Totuși, pentru o grindă de secțiune transversală solidă, influența tensiunilor tangențiale în timpul îndoirii transversale poate fi neglijată și se poate presupune aproximativ că, la fel ca în cazul îndoirii pure, secțiunea transversală a tijei rămâne plată în timpul ei. deformare. Apoi, formulele pentru efort și curbură derivate în § 17 rămân aproximativ valabile. Sunt precise pentru cazul special al unei forțe tăietoare constante de-a lungul lungimii tijei 1102).
Spre deosebire de îndoirea pură, în îndoirea transversală momentul încovoietor și curbura nu rămân constante pe lungimea tijei. Sarcina principală în cazul îndoirii transversale este de a determina deviațiile. Pentru a determina deviații mici, puteți utiliza dependența aproximativă cunoscută a curburii unei tije îndoite de deviația 11021. Pe baza acestei dependențe, curbura unei tije îndoite x c și deformarea V e, rezultate din fluajul materialului, sunt legate prin relația x c = = dV
Înlocuind curbura în această relație conform formulei (4.16), stabilim că
Integrarea ultimei ecuații face posibilă obținerea deformației rezultate din fluajul materialului grinzii.
Analizând soluția de mai sus la problema fluajului unei tije îndoite, putem concluziona că ea este complet echivalentă cu soluția problemei îndoirii unei tije dintr-un material ale cărui diagrame tensiune-compresie pot fi aproximate printr-o funcție de putere. Prin urmare, determinarea deformărilor care apar din cauza fluajului în cazul în cauză se poate face și folosind integrala Mohr pentru a determina mișcarea tijelor din material care nu respectă legea lui Hooke.. Sens W O depinde de dimensiunea, forma și locația secțiunii transversale în raport cu axa.
Prezența unei forțe transversale care acționează asupra unei grinzi este asociată cu apariția unor tensiuni tangențiale în secțiuni transversale și, conform legii de împerechere a tensiunilor tangențiale, în secțiuni longitudinale. Tensiunile tangenţiale sunt determinate folosind formula lui D.I. Zhuravsky.
Forța transversală deplasează secțiunea luată în considerare față de cea adiacentă. Momentul încovoietor, care constă din forțe normale elementare care apar în secțiunea transversală a grinzii, rotește secțiunea față de cea adiacentă, ceea ce determină curbura axei grinzii, adică îndoirea acesteia.
Când o grindă se confruntă cu încovoiere pură, un moment încovoietor de mărime constantă acționează pe toată lungimea grinzii sau pe o secțiune separată a acesteia în fiecare secțiune, iar forța transversală în orice secțiune a acestei secțiuni este zero. În acest caz, în secțiunile transversale ale grinzii apar doar tensiuni normale.
Pentru a înțelege mai bine fenomenele fizice de încovoiere și metodologia de rezolvare a problemelor la calculul rezistenței și rigidității, este necesară înțelegerea temeinică a caracteristicilor geometrice ale secțiunilor plane, și anume: momentele statice ale secțiunilor, momentele de inerție ale secțiunilor cele mai simple. forma și secțiunile complexe, determinarea centrului de greutate al figurilor, momentele principale de inerție a secțiunilor și axele principale de inerție, momentul de inerție centrifugal, modificarea momentelor de inerție la rotirea axelor, teoreme privind transferul axelor.
Când studiați această secțiune, ar trebui să învățați cum să construiți corect diagramele momentelor încovoietoare și ale forțelor tăietoare, să determinați secțiunile periculoase și solicitările care acționează în ele. Pe lângă determinarea tensiunilor, ar trebui să învățați să determinați deplasările (deviațiile fasciculului) în timpul îndoirii. Pentru a face acest lucru, utilizați ecuația diferențială a axei curbe a fasciculului (linia elastică), scrisă în formă generală.
Pentru a determina deviațiile, se integrează ecuația liniilor elastice. În acest caz, este necesar să se determine corect constantele integrării CUȘi D pe baza condiţiilor de susţinere a fasciculului (condiţii la limită). Cunoscând cantitățile CUȘi D, puteți determina unghiul de rotație și deformarea oricărei secțiuni a fasciculului. Studiul rezistenței complexe începe de obicei cu îndoirea oblică.
Fenomenul de încovoiere oblică este deosebit de periculos pentru secțiunile cu momente principale de inerție semnificativ diferite; grinzile cu o astfel de secțiune transversală funcționează bine pentru îndoirea în planul cu cea mai mare rigiditate, dar chiar și la unghiuri mici de înclinare a planului forțelor externe față de planul cu cea mai mare rigiditate, apar tensiuni și deformații suplimentare semnificative în grinzi. Pentru un fascicul cu secțiune transversală circulară, îndoirea oblică este imposibilă, deoarece toate axele centrale ale unei astfel de secțiuni sunt principalele, iar stratul neutru va fi întotdeauna perpendicular pe planul forțelor externe. Îndoirea oblică este, de asemenea, imposibilă pentru o grindă pătrată.
La determinarea tensiunilor in cazul tensiunii sau compresiei excentrice este necesar sa se cunoasca pozitia axelor centrale principale ale sectiunii; Din aceste axe se măsoară distanțele punctului de aplicare a forței și punctul în care se determină solicitarea.
O forță de compresiune aplicată excentric poate provoca solicitări de tracțiune în secțiunea transversală a tijei. În acest sens, compresia excentrică este deosebit de periculoasă pentru tijele din materiale fragile care rezistă slab la forțele de tracțiune.
În concluzie, ar trebui să studiem cazul rezistenței complexe, când corpul suferă simultan mai multe deformații: de exemplu, încovoiere împreună cu torsiune, tensiune-comprimare împreună cu încovoiere etc. Trebuie avut în vedere faptul că momentele de încovoiere acționează în planuri diferite. se pot aduna ca niște vectori.
Deformare la încovoiere constă în curbura axei unei tije drepte sau într-o modificare a curburii iniţiale a unei tije drepte (Fig. 6.1). Să ne familiarizăm cu conceptele de bază care sunt utilizate atunci când luăm în considerare deformarea la îndoire.
Tijele care se îndoaie se numesc grinzi.
Curat numită încovoiere, în care momentul încovoietor este singurul factor de forță intern care apare în secțiunea transversală a grinzii.
Mai des, în secțiunea transversală a tijei, împreună cu momentul încovoietor, apare și o forță transversală. Această îndoire se numește transversală.
plat (drept) numită încovoiere când planul de acţiune al momentului încovoietor în secţiune transversală trece prin una din axele centrale principale ale secţiunii transversale.
La îndoire oblică planul de acțiune al momentului încovoietor intersectează secțiunea transversală a grinzii de-a lungul unei linii care nu coincide cu niciuna dintre axele centrale principale ale secțiunii transversale.
Începem studiul nostru despre deformarea la încovoiere cu cazul îndoirii în plan pur.
Tensiuni și tensiuni normale în timpul îndoirii pure.
După cum sa menționat deja, cu încovoiere plană pură în secțiunea transversală, dintre cei șase factori de forță interni, doar momentul încovoietor este diferit de zero (Fig. 6.1, c):
Experimentele efectuate pe modele elastice arată că, dacă pe suprafața modelului se aplică o rețea de linii (Fig. 6.1, a), atunci la îndoire pură se deformează după cum urmează (Fig. 6.1, b):
a) liniile longitudinale sunt curbate de-a lungul circumferinței;
b) contururile secțiunilor transversale rămân plate;
c) liniile de contur ale secțiunilor se intersectează peste tot cu fibrele longitudinale în unghi drept.
Pe baza acestui fapt, se poate presupune că în îndoirea pură, secțiunile transversale ale grinzii rămân plate și se rotesc astfel încât să rămână normale față de axa curbă a grinzii (secțiuni plate în ipoteza de îndoire).
Orez. 6.1
Măsurând lungimea liniilor longitudinale (Fig. 6.1, b), puteți constata că fibrele superioare se lungesc atunci când fasciculul se îndoaie, iar cele inferioare se scurtează. Evident, este posibil să se găsească fibre a căror lungime rămâne neschimbată. Se numește un set de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când o grindă este îndoită strat neutru (n.s.). Stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului într-o linie dreaptă, care se numește linie neutră (n.l.) secțiune.
Pentru a obține o formulă care determină mărimea tensiunilor normale care apar în secțiunea transversală, luați în considerare o secțiune a grinzii într-o stare deformată și nedeformată (Fig. 6.2).
Orez. 6.2
Folosind două secțiuni transversale infinitezimale, selectăm un element de lungime 
. Înainte de deformare, secțiunile delimitând elementul 
, erau paralele între ele (Fig. 6.2, a), iar după deformare s-au îndoit ușor, formând un unghi 
. Lungimea fibrelor care se află în stratul neutru nu se modifică la îndoire 
. Să notăm cu litera raza de curbură a urmei stratului neutru pe planul de desen 
. Să determinăm deformația liniară a unei fibre arbitrare 
, situat la distanta 
din stratul neutru.
Lungimea acestei fibre după deformare (lungimea arcului 
) este egal cu 
. Avand in vedere ca inainte de deformare toate fibrele aveau aceeasi lungime 
, constatăm că alungirea absolută a fibrei luate în considerare
Deformarea sa relativă 
Este evident că 
, deoarece lungimea fibrei care se află în stratul neutru nu s-a schimbat. Apoi, după înlocuire 
primim
(6.2)
Prin urmare, deformarea longitudinală relativă este proporțională cu distanța fibrei față de axa neutră.
Să introducem ipoteza că la îndoire, fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele. În această ipoteză, fiecare fibră este deformată izolat, experimentând tensiune sau compresie simplă, în care 
. Luând în considerare (6.2)
, (6.3)
adică tensiunile normale sunt direct proporționale cu distanțele punctelor de secțiune transversală luate în considerare față de axa neutră.
Să substituim dependența (6.3) în expresia pentru momentul încovoietor 
în secțiune transversală (6.1)
.
Amintiți-vă că integrala 
reprezinta momentul de inertie al sectiunii fata de axa 
.
(6.4)
Dependența (6.4) reprezintă legea lui Hooke pentru îndoire, deoarece raportează deformația (curbura stratului neutru). 
) cu un moment care acţionează în secţiune. Muncă 
se numește rigiditatea secțiunii la încovoiere, N m 2.
Să înlocuim (6.4) în (6.3)
(6.5)
Aceasta este formula necesară pentru determinarea tensiunilor normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi în orice punct al secțiunii sale transversale.
Pentru a stabili unde se află linia neutră în secțiune transversală, înlocuim valoarea tensiunilor normale în expresia forței longitudinale. 
și momentul încovoietor 
Deoarece 
,
;
(6.6)
(6.7)
Egalitatea (6.6) indică faptul că axa 
– axa neutră a secțiunii – trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.
Egalitatea (6.7) arată că 
Și 
- principalele axe centrale ale secţiunii.
Conform (6.5), cea mai mare tensiune se realizează în fibrele cele mai îndepărtate de linia neutră
Atitudine 
reprezintă momentul axial de rezistenţă al secţiunii 
raportat la axa sa centrală 
, Mijloace
Sens 
pentru cele mai simple secțiuni transversale următoarele:
Pentru secțiune transversală dreptunghiulară
, (6.8)
Unde 
- latura secțiunii perpendiculară pe ax 
;
- latura secțiunii paralelă cu axa 
;
Pentru secțiune transversală rotundă
, (6.9)
Unde 
- diametrul secțiunii transversale circulare.
Condiția de rezistență pentru tensiunile normale de încovoiere poate fi scrisă sub formă
(6.10)
Toate formulele obținute au fost obținute pentru cazul îndoirii pure a unei tije drepte. Acţiunea forţei transversale duce la faptul că ipotezele care stau la baza concluziilor îşi pierd puterea. Cu toate acestea, practica de calcul arată că chiar și în timpul îndoirii transversale a grinzilor și cadrelor, atunci când se află în secțiune, în plus față de momentul încovoietor 
exista si o forta longitudinala 
și forța tăietoare 
, puteți folosi formulele date pentru îndoirea pură. Eroarea este nesemnificativă.
