Prin încovoiere înțelegem un tip de încărcare în care momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă momentul încovoietor în secțiune este singurul factor de forță, atunci îndoirea se numește pură. Dacă, împreună cu momentul încovoietor, în secțiunile transversale ale grinzii apar și forțe transversale, atunci încovoierea se numește transversală.

Se presupune că momentul încovoietor și forța tăietoare se află într-unul dintre planurile principale ale grinzii (să presupunem că acest plan este ZOY). Acest tip de îndoire se numește plat.

În toate cazurile considerate mai jos, există o îndoire transversală plană a grinzilor.

Pentru a calcula o grindă pentru rezistență sau rigiditate, este necesar să cunoașteți factorii de forță interni care apar în secțiunile sale. În acest scop, se construiesc diagrame ale forțelor transversale (diagrama Q) și momentelor încovoietoare (M).

La îndoire, axa dreaptă a grinzii este îndoită; axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii. Pentru siguranță, atunci când construim diagrame de forțe transversale și momente încovoietoare, vom stabili reguli de semn pentru acestea. Să presupunem că momentul încovoietor va fi considerat pozitiv dacă elementul grinzii se îndoaie convex în jos, adică. în aşa fel încât fibrele sale comprimate să fie în partea superioară.

Dacă momentul îndoaie fasciculul cu o convexă în sus, atunci acest moment va fi considerat negativ.

La construirea unei diagrame, valorile pozitive ale momentelor încovoietoare sunt trasate, ca de obicei, în direcția axei Y, ceea ce corespunde construcției unei diagrame pe o fibră comprimată.

Prin urmare, regula semnelor pentru diagrama momentelor încovoietoare poate fi formulată astfel: ordonatele momentelor sunt trasate din partea straturilor grinzii.

Momentul încovoietor în secțiune egal cu suma momente relativ la această secțiune a tuturor forțelor situate pe o parte (oricare) a secțiunii.

Pentru a determina forțele transversale (Q), stabilim o regulă de semn: forța transversală este considerată pozitivă dacă forța externă tinde să rotească partea tăiată a fasciculului în fiecare oră. săgeata relativă la punctul axei care corespunde secțiunii desenate.

Forța transversală (Q) într-o secțiune transversală arbitrară a unui fascicul este numeric egală cu suma proiecțiilor pe axa OU forțe externe, atașat de partea sa trunchiată.

Să luăm în considerare câteva exemple de construcție a diagramelor de forțe transversale și momente încovoietoare. Toate forțele sunt perpendiculare pe axa grinzilor, deci componenta orizontală a reacției este zero. Axa deformată a fasciculului și forțele se află în planul principal ZOY.

O grindă de lungime este prinsă la capătul său stâng și încărcată cu o forță concentrată F și un moment m=2F.

Să construim diagrame ale forțelor transversale Q și ale momentelor încovoietoare M din.

În cazul nostru, pe o grindă cu partea dreapta nu se fac conexiuni. Prin urmare, pentru a nu determina susține reacțiile, este recomandabil să se ia în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a fasciculului. Grinda dată are două secțiuni de încărcare. Limitele secțiunilor de secțiune în care se aplică forțe externe. Secțiunea 1 - NE, 2 - VA.

Efectuăm o secțiune arbitrară în secțiunea 1 și luăm în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a lungimii Z 1.

Din starea de echilibru rezultă:

Q=F; M out = -FZ 1 ()

Forța tăietoare este pozitivă deoarece forța externă F tinde să rotească partea tăiată în sensul acelor de ceasornic. Momentul încovoietor este considerat negativ, deoarece îndoaie partea din grinda în cauză cu convexa în sus.

Când întocmim ecuații de echilibru, fixăm mental locația secțiunii; din ecuațiile () rezultă că forța transversală din secțiunea I nu depinde de Z 1 și este o valoare constantă. Forța pozitivă Q=F este trasat pe o scară în sus de la linia centrală a fasciculului, perpendicular pe acesta.

Momentul încovoietor depinde de Z 1.

Când Z 1 =O M din =O când Z 1 = M din =

Punem în jos valoarea rezultată (), adică diagrama M din este construită pe o fibră comprimată.

Să trecem la a doua secțiune

Tăiem secțiunea II la o distanță arbitrară Z 2 de capătul drept liber al grinzii și luăm în considerare echilibrul părții tăiate de lungime Z 2 . Modificarea forței tăietoare și a momentului încovoietor pe baza condițiilor de echilibru poate fi exprimată prin următoarele ecuații:

Q=FM de la = - FZ 2 +2F

Mărimea și semnul forței tăietoare nu s-au schimbat.

Mărimea momentului încovoietor depinde de Z 2 .

Când Z 2 = M din =, când Z 2 =

Momentul încovoietor s-a dovedit a fi pozitiv, atât la începutul secțiunii II, cât și la sfârșitul acesteia. În secțiunea II, fasciculul se îndoaie convex în jos.

Reprezentăm pe o scară mărimea momentelor de-a lungul liniei centrale a fasciculului (adică, diagrama este construită pe o fibră comprimată). Cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea în care se aplică un moment exterior m și valoarea sa absolută este egală cu

Rețineți că pe lungimea grinzii, unde Q rămâne constant, momentul încovoietor M se modifică liniar și este reprezentat pe diagramă prin drepte înclinate. Din diagramele Q și M din se vede clar că în secțiunea în care se aplică o forță transversală externă, diagrama Q are un salt de mărimea acestei forțe, iar diagrama M din are o îndoire. În secțiunea în care se aplică un moment încovoietor extern, diagrama Miz are un salt cu valoarea acestui moment. Acest lucru nu este reflectat în diagrama Q. Din diagrama M vedem că

max M din =

prin urmare, sectiune periculoasa extrem de aproape pe partea stângă de așa-numitul.

Pentru grinda prezentată în Fig. 13, a, construiți diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare. Pe lungimea sa, grinda este încărcată cu o sarcină uniform distribuită cu intensitatea q(KN/cm).

La suportul A (balama fixă), va avea loc o reacție verticală R a (reacția orizontală este zero), iar la suportul B (o articulație mobilă), va avea loc o reacție verticală R v.

Să determinăm reacțiile verticale ale suporturilor compunând o ecuație de momente relativ la suporturile A și B.

Să verificăm corectitudinea definiției reacției:

acestea. reactiile de suport sunt determinate corect.

Grinda dată are două secțiuni de încărcare: Secțiunea I - AC.

Sectiunea II - NE.

În prima secțiune a, în secțiunea curentă Z 1, din starea de echilibru a părții tăiate avem

Ecuația momentelor încovoietoare pe 1 secțiune a grinzii:

Momentul din reacția R a îndoaie grinda în secțiunea 1, cu partea convexă în jos, astfel încât momentul încovoietor din reacția Ra este introdus în ecuație cu semnul plus. Sarcina qZ 1 îndoaie fasciculul cu convexitatea în sus, astfel încât momentul de la acesta este introdus în ecuație cu semnul minus. Momentul încovoietor variază conform legii parabolei pătrate.

Prin urmare, este necesar să aflăm dacă există un extremum. Există o relație diferențială între forța transversală Q și momentul încovoietor, pe care o vom analiza în continuare.

După cum știți, o funcție are un extrem în care derivata este zero. Prin urmare, pentru a determina la ce valoare a lui Z 1 momentul încovoietor va fi extrem, este necesar să egalăm ecuația forței transversale cu zero.

Deoarece forța transversală din această secțiune își schimbă semnul de la plus la minus, momentul încovoietor în această secțiune va fi maxim. Dacă Q își schimbă semnul de la minus la plus, atunci momentul încovoietor în această secțiune va fi minim.

Deci, momentul încovoietor la

este maximul.

Prin urmare, construim o parabolă folosind trei puncte

Când Z 1 =0 M de la =0

Tăiem a doua secțiune la distanța Z 2 de suportul B. Din starea de echilibru a părții tăiate din dreapta a grinzii avem:

Când valoarea Q=const,

momentul încovoietor va fi:

la, la, i.e. M DIN

variază după o lege liniară.

O grindă pe două suporturi, având o deschidere de 2 și o consolă din stânga de lungime, este încărcată așa cum se arată în Fig. 14, a., unde q(KN/cm) este sarcina liniară. Suportul A este staționar cu balamale, suportul B este o rolă mobilă. Construiți diagrame ale lui Q și M din.

Rezolvarea problemei ar trebui să înceapă cu determinarea reacțiilor suporturilor. Din condiția ca suma proiecțiilor tuturor forțelor de pe axa Z să fie egală cu zero, rezultă că componenta orizontală a reacției la suportul A este egală cu 0.

Pentru a verifica folosim ecuația

Ecuația de echilibru este satisfăcută, prin urmare, reacțiile sunt calculate corect. Să trecem la definirea factorilor interni de putere. O grindă dată are trei secțiuni de încărcare:

• Sectiunea I - SA,
• Secțiunea 2 - AD,
• Secțiunea 3 - Orientul Îndepărtat.

Să tăiem 1 secțiune la o distanță Z 1 de capătul din stânga grinzii.

la Z 1 =0 Q=0 M IZ =0

la Z 1 = Q= -q M FROM =

Astfel, pe diagrama forțelor transversale se obține o dreaptă înclinată, iar pe diagrama momentelor încovoietoare se obține o parabolă, al cărei vârf este situat la capătul stâng al grinzii.

În secțiunea II (a Z 2 2a), pentru a determina factorii de forță interni, luăm în considerare echilibrul părții tăiate din stânga a grinzii cu lungimea Z 2. Din starea de echilibru avem:

Forța tăietoare în această zonă este constantă.

În secțiunea III()

Din diagramă vedem că cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea sub forța F și este egal cu. Această secțiune va fi cea mai periculoasă.

În diagrama M din care există un șoc la sprijinul B, egal cu momentul exterior aplicat în această secțiune.

Privind diagramele construite mai sus, este ușor de observat o anumită legătură naturală între diagramele momentelor încovoietoare și diagramele forțelor transversale. Să demonstrăm.

Derivata forței tăietoare de-a lungul lungimii grinzii este egală cu modulul intensității sarcinii.

Renunțarea la valoarea de ordin superior primim putin:

acestea. forța tăietoare este derivata momentului încovoietor de-a lungul lungimii grinzii.

Ținând cont de dependențele diferențiale obținute, se pot trage concluzii generale. Dacă fasciculul este încărcat cu o sarcină uniform distribuită de intensitate q=const, evident, funcția Q va fi liniară, iar M va fi pătratică.

Dacă fasciculul este încărcat cu forțe sau momente concentrate, atunci în intervalele dintre punctele de aplicare a acestora intensitatea q=0. În consecință, Q = const, iar M din este o funcție liniară a lui Z. În punctele de aplicare a forțelor concentrate, diagrama Q suferă un salt de mărimea forței externe, iar în diagrama M dintr-o îndoire corespunzătoare (discontinuitate în derivat) apare.

În punctul în care se aplică momentul încovoietor extern, se observă un decalaj în diagrama momentului, egală ca mărime cu momentul aplicat.

Dacă Q>0, atunci M crește, iar dacă Q<0, то М из убывает.

Dependențe diferențiale sunt folosite pentru a verifica ecuațiile compilate pentru a construi diagramele Q și M din, precum și pentru a clarifica tipul acestor diagrame.

Momentul încovoietor se modifică conform legii unei parabole, a cărei convexitate este întotdeauna îndreptată către sarcina externă.

Îndoire spațială (complexă).

Încovoierea spațială este un tip de rezistență complexă în care doar momentele încovoietoare și acționează în secțiunea transversală a grinzii. Momentul încovoietor complet nu acționează în niciunul dintre planurile principale de inerție. Nu există forță longitudinală. Îndoirea spațială sau complexă este adesea numită îndoire neplană deoarece axa îndoită a tijei nu este o curbă plană. Această încovoiere este cauzată de forțele care acționează în diferite planuri perpendiculare pe axa grinzii (Fig. 1.2.1).

Fig.1.2.1

Urmând ordinea rezolvării problemelor cu rezistență complexă prezentată mai sus, prezentăm sistemul spațial de forțe prezentat în Fig. 1.2.1, în două astfel încât fiecare dintre ele să acționeze într-unul din planurile principale. Ca rezultat, obținem două coturi transversale plate - în planul vertical și orizontal. Dintre cei patru factori de forță interni care apar în secțiunea transversală a grinzii, vom lua în considerare influența doar a momentelor încovoietoare. Construim diagrame cauzate de forțele corespunzătoare (Fig. 1.2.1).

Analizând diagramele momentelor încovoietoare, ajungem la concluzia că secțiunea A este periculoasă, deoarece în această secțiune apar cele mai mari momente încovoietoare și. Acum este necesar să stabilim punctele periculoase ale secțiunii A. Pentru a face acest lucru, vom construi o linie zero. Ecuația cu linia zero, ținând cont de regula semnului pentru termenii incluși în această ecuație, are forma:

Aici semnul „” este adoptat în apropierea celui de-al doilea termen al ecuației, deoarece tensiunile din primul trimestru cauzate de moment vor fi negative.

Să determinăm unghiul de înclinare al liniei zero cu direcția pozitivă a axei (Fig. 12.6):

Orez. 1.2.2

Din ecuația (8) rezultă că linia zero pentru îndoirea spațială este o linie dreaptă și trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Din fig. 1.2.2 este clar că cele mai mari solicitări vor apărea în punctele secțiunii nr. 2 și nr. 4 cele mai îndepărtate de linia zero. După mărime stres normalîn aceste puncte vor fi aceleași, dar diferite ca semn: în punctul nr. 4 tensiunile vor fi pozitive, adică. la tracțiune, la punctul nr. 2 - negativ, adică. compresiv. Semnele acestor tensiuni au fost stabilite din considerente fizice.

Acum că punctele periculoase au fost stabilite, să calculăm tensiunile maxime din secțiunea A și să verificăm rezistența grinzii folosind expresia:

Condiția de rezistență (10) permite nu numai verificarea rezistenței fasciculului, ci și selectarea dimensiunilor secțiunii sale transversale dacă este specificat raportul de aspect al secțiunii transversale.

Introducere.

Îndoirea este un tip de deformare caracterizat prin curbura (modificarea curburii) a axei sau a suprafeței mijlocii a unui obiect deformabil (grindă, grindă, placă, înveliș etc.) sub influența forțelor externe sau a temperaturii. Încovoierea este asociată cu apariția momentelor încovoietoare în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă din cei șase factori de forță interni din secțiunea transversală a unei grinzi, doar un moment încovoietor este diferit de zero, încovoierea se numește pură:

Dacă în secțiunile transversale ale unei grinzi, pe lângă momentul încovoietor, există și o forță transversală, încovoierea se numește transversală:

În practica inginerească, se ia în considerare și un caz special de îndoire - longitudinal I. ( orez. 1, c), caracterizată prin flambajul tijei sub acţiunea forţelor de compresiune longitudinale. Acțiunea simultană a forțelor direcționate de-a lungul axei tijei și perpendicular pe aceasta determină îndoire longitudinal-transversală ( orez. 1, G).

Orez. 1. Îndoirea grinzii: a - curat: b - transversal; c - longitudinal; g - longitudinal-transversal.

O grindă care se îndoaie se numește grindă. Îndoirea se numește plată dacă axa grinzii rămâne o linie plată după deformare. Planul de amplasare a axei curbe a grinzii se numește plan de îndoire. Planul de acțiune al forțelor de sarcină se numește plan de forță. Dacă planul forței coincide cu unul dintre planurile principale de inerție ale secțiunii transversale, îndoirea se numește drept. (În caz contrar, apare îndoirea oblică). Planul principal de inerție al secțiunii transversale este planul format de una dintre axele principale ale secțiunii transversale cu axa longitudinală a grinzii. În îndoirea dreaptă plană, planul de îndoire și planul forței coincid.

Problema torsiunii și îndoirii unei grinzi (problema Saint-Venant) este de mare interes practic. Aplicarea teoriei îndoirii, stabilită de Navier, constituie o ramură extinsă a mecanicii structurale și are o importanță practică enormă, deoarece servește drept bază pentru calcularea dimensiunilor și verificarea rezistenței diferitelor părți ale structurilor: grinzi, poduri, elemente de mașină etc.

ECUAȚII DE BAZĂ ȘI PROBLEME ALE TEORIEI ELASTICITĂȚII

§ 1. ecuaţii de bază

În primul rând, vom oferi un rezumat general al ecuațiilor de bază pentru problemele de echilibru ale unui corp elastic, care formează conținutul secțiunii teoriei elasticității, numită de obicei statica unui corp elastic.

Starea deformată a unui corp este complet determinată de tensorul câmpului de deformare sau câmpul de deformare Componentele tensorului de deformare sunt asociate cu deplasări prin dependențe diferențiale Cauchy:

(1)

Componentele tensorului de deformare trebuie să satisfacă dependențele diferențiale Saint-Venant:

care sunt condiţii necesare şi suficiente pentru integrabilitatea ecuaţiilor (1).

Starea tensionată a corpului este determinată de tensorul câmpului de stres Șase componente independente ale unui tensor simetric () trebuie să satisfacă trei ecuații de echilibru diferențial:

Componentele tensorului tensiunii Și miscarile conectate prin șase ecuații ale legii lui Hooke:

În unele cazuri, ecuațiile legii lui Hooke trebuie utilizate sub forma unei formule

, (5)

Ecuațiile (1)-(5) sunt ecuațiile de bază ale problemelor statice din teoria elasticității. Uneori, ecuațiile (1) și (2) se numesc ecuații geometrice, ecuații ( 3) sunt ecuații statice, iar ecuațiile (4) sau (5) sunt ecuații fizice. La ecuațiile de bază care determină starea unui corp liniar elastic în punctele sale interne de volum, este necesar să se adauge condiții pe suprafața lui.Aceste condiții se numesc condiții la limită. Ele sunt determinate fie de forțele de suprafață exterioare date sau mișcări specificate puncte de pe suprafața corpului. În primul caz, condițiile la limită sunt exprimate prin egalitate:

unde sunt componentele vectoriale t forta de suprafata, - componente ale vectorului unitar P, îndreptată de-a lungul normalului exterioară la suprafață în punctul în cauză.

În al doilea caz, condițiile la limită sunt exprimate prin egalitate

Unde - functii specificate la suprafata.

Condițiile limită pot fi, de asemenea, de natură mixtă, atunci când sunt pe o parte forțele de suprafață exterioare sunt date suprafeței corpului iar pe de alta parte suprafața corpului are deplasări:

Sunt posibile și alte tipuri de condiții la limită. De exemplu, pe o anumită zonă a suprafeței corpului, sunt specificate doar unele componente ale vectorului de deplasare și, în plus, nu sunt specificate toate componentele vectorului forță de suprafață.

§ 2. principalele probleme de statică a unui corp elastic

În funcție de tipul condițiilor la limită, se disting trei tipuri de probleme statice de bază în teoria elasticității.

Sarcina principală a primului tip este de a determina componentele tensorului câmpului de stres în cadrul zonei , ocupat de corp, și componenta vectorului de mișcare a punctelor din interiorul zonei și puncte de suprafață corpuri în funcție de forțele de masă date și forțele de suprafață

Cele nouă funcții necesare trebuie să îndeplinească ecuațiile de bază (3) și (4), precum și condițiile la limită (6).

Sarcina principală a celui de-al doilea tip este de a determina mișcările puncte din interiorul zonei și componenta tensorului câmpului de stres conform forțelor de masă date și conform mișcărilor specificate pe suprafața corpului.

Caracteristicile pe care le cauți Și trebuie să îndeplinească ecuațiile de bază (3) și (4) și condițiile la limită (7).

Rețineți că condițiile la limită (7) reflectă cerința pentru continuitatea funcțiilor definite la granița corp, adică atunci când punctul intern tinde la un punct de la suprafață, funcția ar trebui să tindă la o valoare dată într-un punct dat de pe suprafață.

Problema principală a celui de-al treilea tip sau problemă mixtă este aceea a forțelor de suprafață date pe o parte a suprafeței corpului și în funcție de deplasări date pe o altă parte a suprafeței corpului și, de asemenea, în general, în funcție de forțele de masă date se cere determinarea componentelor tensorului de efort si deplasare , satisfacerea ecuațiilor de bază (3) și (4) când sunt îndeplinite condiții mixte la limită (8).

După obținerea soluției la această problemă, este posibil să se determine, în special, forțele conexiunilor asupra , care trebuie aplicat în puncte ale suprafeței pentru a realiza deplasări specificate pe această suprafață și este, de asemenea, posibil să se calculeze deplasările punctelor de suprafață . Cursuri >> Industrie, producție

După lungime cherestea, Acea cherestea deformat. Deformare cheresteaînsoţit simultan... lemn, polimer etc. Când îndoi cherestea culcat pe doi suporti... îndoi va fi caracterizat de o săgeată de deviere. În acest caz, efortul de compresiune în partea concavă cherestea ...

Avantajele lipitului cheresteaîn construcții joase

Rezumat >> Construcție

Rezolvat prin folosirea profilate lipite cherestea. Lemn stratificat lipit in portanta... nu se ondula sau curbe. Acest lucru se datorează lipsei de combustibil pentru... transport. 5. Suprafață lipită cherestea, realizat cu respectarea tuturor normelor tehnologice...

Scurte informații din teorie

Cherestea este supusă unor condiții de rezistență complexă dacă mai mulți factori de forță interni în secțiuni transversale nu sunt egali cu zero în același timp.

Următoarele cazuri de încărcare complexă prezintă cel mai mare interes practic:

1. îndoire oblică.

2. Încovoiere cu tensiune sau compresie când este transversal
apar secțiuni transversale forță longitudinalăşi momente de încovoiere precum
de exemplu, în timpul comprimării excentrice a unui fascicul.

3. Îndoire cu torsiune, caracterizată prin prezența în fund
secțiuni fluviale de încovoiere (sau două îndoire) și torsiune
momente.

îndoire oblică.

Încovoiere oblică este un caz de încovoiere a grinzii în care planul de acțiune al momentului încovoietor total în secțiune nu coincide cu niciuna dintre axele principale de inerție. Cel mai convenabil este să considerați îndoirea oblică ca îndoirea simultană a unui fascicul în două planuri principale zoy și zox, unde axa z este axa fasciculului, iar axele x și y sunt principalele axe centrale ale secțiunii transversale.

Să considerăm o grindă cantilever de secțiune transversală dreptunghiulară încărcată cu forța P (Fig. 1).

După extinderea forței P de-a lungul axelor centrale principale ale secțiunii transversale, obținem:

P y =Pcos φ, P x =Psin φ

Momentele încovoietoare apar în secțiunea curentă a grinzii

M x = - P y z = -P z cos φ,

M y = P x z = P z sin φ.

Semnul momentului încovoietor M x se determină în același mod ca și în cazul curba dreaptă. Vom considera momentul M y pozitiv dacă la punctele cu valoare pozitivă coordonata x acest moment determină tensiuni de întindere. Apropo, semnul momentului M y poate fi stabilit cu ușurință prin analogie cu determinarea semnului momentului încovoietor M x, dacă rotiți mental secțiunea astfel încât axa x să coincidă cu direcția inițială a axei y .

Tensiunea într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a unei grinzi poate fi determinată folosind formule pentru determinarea tensiunii în cazul îndoirii plane. Pe baza principiului acțiunii independente a forțelor, rezumăm tensiunile cauzate de fiecare dintre momentele încovoietoare.

(1)

În această expresie sunt înlocuite valorile momentelor încovoietoare (cu semnele lor) și coordonatele punctului în care se calculează solicitarea.

Pentru a determina punctele periculoase ale secțiunii, este necesar să se determine poziția dreptei zero sau neutre (locația geometrică a punctelor secțiunii la care solicitările σ = 0). Tensiunile maxime apar în punctele cele mai îndepărtate de linia zero.

Ecuația liniei zero se obține din ecuația (1) la =0:

de unde rezultă că linia zero trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Tensiunile tangenţiale care apar în secţiunile grinzii (la Q x ≠0 şi Q y ≠0), de regulă, pot fi neglijate. Dacă este nevoie să le determinăm, atunci componentele tensiunii totale de forfecare τ x și τ y sunt calculate conform formulei lui D.Ya. Zhuravsky, iar apoi acestea din urmă sunt rezumate geometric:

Pentru a evalua rezistența unei grinzi, este necesar să se determine solicitările normale maxime în secțiunea periculoasă. Deoarece în punctele cele mai încărcate starea de efort este uniaxială, condiția de rezistență la calcularea utilizând metoda tensiunii admisibile ia forma

Pentru materiale plastice,

Pentru materiale fragile,

n - factor de siguranță.

Dacă calculezi folosind metoda stări limită, atunci condiția de rezistență are forma:

unde R este rezistența de proiectare,

m – coeficientul conditiilor de munca.

În cazurile în care materialul grinzii are rezistență diferită la tracțiune și compresie, este necesar să se determine atât tensiunile maxime de tracțiune, cât și cele de compresiune maxime, iar o concluzie despre rezistența grinzii se face din relațiile:

unde R p și respectiv R c - rezistențe calculate material sub tensiune și compresiune.

Pentru a determina deviațiile unei grinzi, este convenabil să găsiți mai întâi deplasările secțiunii în planurile principale în direcția axelor x și y.

Calculul acestor deplasări ƒ x și ƒ y se poate face prin construirea unei ecuații universale pentru axa curbă a fasciculului sau prin metode energetice.

Deviația totală poate fi găsită ca o sumă geometrică:

condiția de rigiditate a grinzii are forma:

unde - este deformarea admisibilă a fasciculului.

Compresie excentrică

În acest caz, forța de compresiune P asupra grinzii este îndreptată paralel cu axa grinzii și se aplică într-un punct care nu coincide cu centrul de greutate al secțiunii. Fie X p și Y p coordonatele punctului de aplicare a forței P, măsurate în raport cu axele centrale principale (Fig. 2).

Sarcina efectivă determină apariția următorilor factori de forță interni în secțiuni transversale: N= -P, Mx= -Py p, My=-Px p

Semnele momentelor încovoietoare sunt negative, deoarece acestea din urmă provoacă compresie în punctele aparținând primului sfert. Tensiunea într-un punct arbitrar al secțiunii este determinată de expresie

(9)

Înlocuind valorile lui N, Mx și Mu, obținem

(10)

Deoarece Ух= F, Уу= F (unde i x și i y sunt razele principale de inerție), ultima expresie poate fi redusă la forma

(11)

Obținem ecuația liniei zero setând =0

1+ (12)

Segmentele și tăiate de linia zero pe axele de coordonate sunt exprimate după cum urmează:

Folosind dependențele (13), puteți găsi cu ușurință poziția liniei zero în secțiune (Fig. 3), după care se determină punctele cele mai îndepărtate de această linie, care sunt periculoase, deoarece în ele apar tensiuni maxime.

Starea solicitată în punctele secțiunii este uniaxială, prin urmare condiția de rezistență a grinzii este similară cu cazul considerat anterior de îndoire oblică a grinzii - formulele (5), (6).

În timpul comprimării excentrice a grinzilor, al căror material rezistă slab la tensiune, este de dorit să se prevină apariția tensiunilor de tracțiune în secțiunea transversală. Tensiuni de același semn vor apărea în secțiune dacă linia zero trece în afara secțiunii sau, în cazuri extreme, o atinge.

Această condiție este îndeplinită atunci când forța de compresiune este aplicată în interiorul unei regiuni numită miezul secțiunii. Miezul secțiunii este o zonă care acoperă centrul de greutate al secțiunii și se caracterizează prin faptul că orice forță longitudinală aplicată în interiorul acestei zone provoacă tensiuni de același semn în toate punctele grinzii.

Pentru a construi miezul secțiunii, este necesar să se stabilească poziția dreptei zero astfel încât să atingă secțiunea fără să o intersecteze nicăieri și să se găsească punctul corespunzător de aplicare al forței P. Desenând o familie de tangente la secțiune, obținem un set de poli corespunzători acestora, a căror locație geometrică va da conturul (conturul) secțiunilor miezului.

Să fie dată, de exemplu, secțiunea prezentată în Fig. 4, cu axele centrale principale x și y.

Pentru a construi miezul secțiunii, prezentăm cinci tangente, dintre care patru coincid cu laturile AB, DE, EF și FA, iar a cincea leagă punctele B și D. Măsurând sau calculând din tăiere, tăiați după indicat. tangente I-I, . . . ., 5-5 pe axele x, y și înlocuind aceste valori în funcție de (13), determinăm coordonatele x p, y p pentru cei cinci poli 1, 2....5, corespunzătoare celor cinci poziții ale linia zero. Tangenta I-I poate fi mutată în poziția 2-2 prin rotire în jurul punctului A, în timp ce polul I trebuie să se deplaseze în linie dreaptă și, ca urmare a rotării tangentei, să se deplaseze în punctul 2. În consecință, toți polii corespunzători pozițiilor intermediare ale tangenta dintre I-I si 2-2 va fi situata pe dreapta 1-2. În mod similar, se poate dovedi că laturile rămase ale miezului secțiunii vor fi, de asemenea, dreptunghiulare, adică. miezul secțiunii este un poligon, pentru a construi este suficient să legați polii 1, 2, ... 5 cu linii drepte.

Încovoiere cu torsiune cherestea rotundă.

La îndoirea cu torsiune în secțiunea transversală a unei grinzi, în cazul general, cinci factori de forță interni nu sunt egali cu zero: M x, M y, M k, Q x și Q y. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, influența forțelor tăietoare Q x și Q y poate fi neglijată dacă secțiunea nu este cu pereți subțiri.

Tensiunile normale dintr-o secțiune transversală pot fi determinate din mărimea momentului încovoietor rezultat

deoarece axa neutră este perpendiculară pe cavitatea de acţiune a momentului M u.

În fig. Figura 5 prezintă momentele încovoietoare M x și M y sub formă de vectori (direcțiile M x și M y sunt alese pozitive, adică astfel încât în ​​punctele primului cadran secțiunile de efort să fie la tracțiune).

Direcția vectorilor M x și M y este aleasă în așa fel încât un observator, privind de la capătul vectorului, să îi vadă îndreptați în sens invers acelor de ceasornic. În acest caz, linia neutră coincide cu direcția vectorului de moment rezultat M u, iar punctele cele mai încărcate ale secțiunii A și B se află în planul de acțiune al acestui moment.

Combinația de îndoire și torsiune a grinzilor cu secțiune transversală circulară este cel mai adesea luată în considerare la calcularea arborilor. Cazurile de îndoire cu torsiune a grinzilor sunt mult mai puțin frecvente. sectiune rotunda.

În § 1.9 se stabilește că în cazul în care momentele de inerție ale secțiunii față de axele principale sunt egale între ele, îndoirea oblică a grinzii este imposibilă. În acest sens, îndoirea oblică a grinzilor rotunde este imposibilă. Prin urmare, în cazul general al forțelor externe, o grindă rotundă experimentează o combinație a următoarelor tipuri de deformare: încovoiere transversală directă, torsiune și tensiune centrală (sau compresie).

Să luăm în considerare asta caz special calculul unei grinzi rotunde când forța longitudinală în secțiunile sale transversale este zero. În acest caz, grinda funcționează sub acțiunea combinată de îndoire și torsiune. Pentru a găsi punctul periculos al grinzii, este necesar să se stabilească modul în care se modifică valorile momentelor de încovoiere și de cuplu de-a lungul lungimii grinzii, adică să construim diagrame ale momentelor totale de încovoiere M și ale cuplurilor. Vom lua în considerare construcția din aceste diagrame la exemplu concret arborele prezentat în fig. 22.9, a. Arborele se sprijină pe rulmenții A și B și este antrenat de motorul C.

Pe arbore sunt montate scripetele E și F, prin care sunt aruncate curele de transmisie cu tensiune. Să presupunem că arborele se rotește în rulmenți fără frecare; neglijăm greutatea proprie a arborelui și scripetelor (în cazul în care greutatea proprie este semnificativă, trebuie luată în considerare). Să direcționăm axa secțiunii transversale a arborelui pe verticală, iar axa pe orizontală.

Mărimile forțelor pot fi determinate folosind formulele (1.6) și (2.6), dacă, de exemplu, se cunosc puterea transmisă de fiecare scripete, viteza unghiulară a arborelui și rapoartele.După determinarea mărimilor forțelor, aceste forțe sunt transferate paralel cu ele însele cu axa longitudinală a arborelui. În acest caz, momentele de torsiune se aplică arborelui în secțiunile în care sunt amplasate și, respectiv, sunt egale cu scripetele E și F. Aceste momente sunt echilibrate de momentul transmis de la motor (Fig. 22.9, b). Forțele sunt apoi descompuse în componente verticale și orizontale. Forțele verticale vor provoca reacții verticale în lagăre, iar forțele orizontale vor provoca reacții orizontale.Mărimile acestor reacții sunt determinate ca pentru o grindă așezată pe două suporturi.

Diagrama momentelor încovoietoare care acționează în plan vertical, este construit din forțe verticale (Fig. 22.9, c). Este prezentat în Fig. 22.9, d. În mod similar, din forțele orizontale (Fig. 22.9, e), se construiește o diagramă a momentelor încovoietoare care acționează în plan orizontal (Fig. 22.9, f).

Din diagrame puteți determina (în orice secțiune transversală) momentul total încovoietor M folosind formula

Folosind valorile lui M obținute cu această formulă, se construiește o diagramă a momentelor încovoietoare totale (Fig. 22.9, g). În acele secțiuni ale arborelui în care diagramele drepte, limitative, intersectează axele diagramelor în puncte situate pe aceeași verticală, diagrama M este limitată de linii drepte, iar în alte zone este limitată de curbe.

(vezi scanare)

De exemplu, în secțiunea arborelui în cauză, lungimea diagramei M este limitată la o linie dreaptă (Fig. 22.9, g), deoarece diagramele din această secțiune sunt limitate de linii drepte și care intersectează axele diagramelor în punctele situate pe aceeași verticală.

Punctul O al intersecției dreptei cu axa diagramei este situat pe aceeași verticală. O situație similară este tipică pentru o secțiune de arbore cu o lungime

Diagrama momentelor încovoietoare totale (totale) M caracterizează mărimea acestor momente în fiecare secțiune a arborelui. Planurile de acțiune ale acestor momente în diferite secțiuni ale arborelui sunt diferite, dar ordonatele diagramei pentru toate secțiunile sunt aliniate în mod convențional cu planul desenului.

Diagrama cuplului este construită în același mod ca pentru torsiune pură (vezi § 1.6). Pentru arborele în cauză, este prezentat în Fig. 22,9, z.

Secțiunea periculoasă a arborelui se stabilește folosind diagrame ale momentelor încovoietoare totale M și ale cuplurilor M. Dacă în secțiunea unei grinzi de diametru constant cu cel mai mare moment încovoietor M acționează și cuplul cel mai mare, atunci această secțiune este periculoasă. În special, arborele în cauză are o astfel de secțiune situată în dreapta scripetei F la o distanță infinitezimală de acesta.

Dacă momentul încovoietor maxim M și cuplul maxim acționează în secțiuni transversale diferite, atunci o secțiune în care nici valoarea nu este cea mai mare se poate dovedi a fi periculoasă. La grinzi cu diametru variabil, cea mai periculoasă secțiune poate fi cea în care acționează momente de încovoiere și de torsiune semnificativ mai mici decât în ​​alte secțiuni.

În cazurile în care secțiunea periculoasă nu poate fi determinată direct din diagramele M și este necesar să se verifice rezistența grinzii în mai multe dintre secțiunile sale și să se stabilească astfel solicitări periculoase.

Odată ce o secțiune periculoasă a fasciculului a fost stabilită (sau au fost identificate mai multe secțiuni, dintre care una se poate dovedi a fi periculoasă), este necesar să se găsească puncte periculoase în ea. Pentru a face acest lucru, să luăm în considerare tensiunile care apar în secțiunea transversală a grinzii atunci când un moment încovoietor M și un cuplu acționează simultan în ea.

În grinzile cu secțiune transversală rotundă, a căror lungime este de multe ori mai mare decât diametrul, valorile celor mai mari tensiuni tangențiale din forța transversală sunt mici și nu sunt luate în considerare la calcularea rezistenței grinzilor sub acțiunea combinată. de încovoiere și torsiune.

În fig. Figura 23.9 prezintă secțiunea transversală a unei grinzi rotunde. În această secțiune, un moment încovoietor M și un cuplu acţionează. Axa y este considerată perpendiculară pe planul de acţiune al momentului încovoietor. Axa y este deci axa neutră a secţiunii.

În secțiunea transversală a grinzii, tensiunile normale apar din încovoiere și tensiunile tăietoare din torsiune.

Tensiunile normale a sunt determinate de formula.Diagrama acestor tensiuni este prezentată în Fig. 23.9. Cele mai mari tensiuni normale în valoare absolută apar în punctele A și B. Aceste tensiuni sunt egale

unde este momentul axial de rezistență al secțiunii transversale a grinzii.

Tensiunile tangențiale sunt determinate de formula.Diagrama acestor tensiuni este prezentată în Fig. 23.9.

În fiecare punct al secțiunii, ele sunt direcționate normal pe raza care leagă acest punct cu centrul secțiunii. Cele mai mari solicitări de forfecare apar în punctele situate de-a lungul perimetrului secțiunii; sunt egali

unde este momentul polar de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului.

Pentru un material plastic, punctele A și B ale secțiunii transversale, la care ajung simultan atât tensiunile normale, cât și cele de forfecare cea mai mare valoare, sunt periculoase. La material fragil Punctul periculos este cel la care apar tensiuni de tracțiune din momentul încovoietor M.

Starea tensionată a unui paralelipiped elementar izolat în vecinătatea punctului A este prezentată în Fig. 24.9, a. De-a lungul fetelor paralelipipedului care coincide cu secțiuni transversale cherestea, tensiunile normale si tensiunile tangentiale actioneaza. Pe baza legii împerecherii tensiunilor tangențiale, tensiunile apar și pe fețele superioare și inferioare ale paralelipipedului. Cele două fețe rămase sunt lipsite de stres. Astfel, în în acest caz, disponibil vedere privată starea de stres plană, discutată în detaliu în Cap. 3. Tensiunile principale amax si sunt determinate prin formulele (12.3).

După înlocuirea valorilor în ele, obținem

Tensiunile au semne diferite prin urmare

Un paralelipiped elementar, evidențiat în vecinătatea punctului A prin zonele principale, este prezentat în Fig. 24.9, b.

Calculul grinzilor pentru rezistența în timpul îndoirii cu torsiune, așa cum s-a menționat deja (a se vedea începutul § 1.9), se realizează folosind teorii de rezistență. În acest caz, calculul grinzilor din materiale plastice se efectuează de obicei pe baza celei de-a treia sau a patra teorii a rezistenței și de la cele fragile - conform teoriei lui Mohr.

Conform celei de-a treia teorii a puterii [vezi. formula (6.8)], substituind expresiile în această inegalitate [vezi. formula (23.9)], obținem