Unghiuri în care o parte este comună, iar celelalte laturi se află pe aceeași linie dreaptă (în figură, unghiurile 1 și 2 sunt adiacente). Orez. la art. Colțuri adiacente... Marea Enciclopedie Sovietică
COLTURI ADJACENTE- unghiuri care au un vârf comun și o latură comună, iar celelalte două laturi ale lor se află pe aceeași linie dreaptă... Marea Enciclopedie Politehnică
Vezi unghiul... Dicţionar enciclopedic mare
UNGHIURI ADJACENTE, două unghiuri a căror sumă este 180°. Fiecare dintre aceste unghiuri se completează pe celălalt la unghiul complet... Dicționar enciclopedic științific și tehnic
Vezi Unghi. * * * COLTURI ADJACENTE COLTURI ADJACENTE, vezi Unghi (vezi UNGHI) ... Dicţionar enciclopedic
- (Unghiuri adiacente) cele care au un vârf comun și o latură comună. În cea mai mare parte, acest nume se referă la astfel de unghiuri C., ale căror celelalte două laturi se află în direcții opuse ale unei linii drepte trasate prin vârf... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Vezi unghiul... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
Două linii drepte se intersectează pentru a crea o pereche de unghiuri verticale. O pereche este formată din unghiuri A și B, cealaltă din C și D. În geometrie, două unghiuri se numesc verticale dacă sunt create prin intersecția a două ... Wikipedia
O pereche de unghiuri complementare care se completează până la 90 de grade. Unghiurile complementare sunt o pereche de unghiuri care se completează până la 90 de grade. Dacă două unghiuri complementare sunt adiacente (adică au un vârf comun și sunt separate doar... ... Wikipedia
O pereche de unghiuri complementare care se completează până la 90 de grade Unghiurile complementare sunt o pereche de unghiuri care se completează până la 90 de grade. Dacă două unghiuri complementare sunt cu... Wikipedia
Cărți
- Despre dovezi în geometrie, A.I. Fetisov. Această carte va fi produsă în conformitate cu comanda dumneavoastră folosind tehnologia Print-on-Demand. A fost odată, chiar la început an scolar, a trebuit să aud o conversație între două fete. Cel mai mare dintre ei...
- Un caiet cuprinzător pentru controlul cunoștințelor. Geometrie. clasa a 7-a. Standardul educațional de stat federal, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Manualul prezintă materiale de control și măsurare (CMM) în geometrie pentru efectuarea controlului calitativ curent, tematic și final al cunoștințelor elevilor de clasa a VII-a. Conținutul manualului...
Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt raze complementare. În Figura 20, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°
Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Grinda OB (vezi fig. 1) trece între laturile unghiului desfășurat. De aceea ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
Din teorema 1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Unghiurile verticale sunt egale
Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt raze complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COD, BOD și AOC, formate la intersecția a două drepte, sunt verticale (Fig. 2).
Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Sa luam in considerare unghiuri verticale AOB și COD (vezi Fig. 2). Unghiul BOD este adiacent fiecărui unghi AOB și COD. Prin teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
De aici concluzionăm că ∠ AOB = ∠ COD.
Corolarul 1. Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Luați în considerare două linii drepte care se intersectează AC și BD (Fig. 3). Ele formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 din Fig. 3), atunci și unghiurile rămase sunt drepte (unghiurile 1 și 2, 1 și 4 sunt adiacente, unghiurile 1 și 3 sunt verticale). În acest caz, ei spun că aceste drepte se intersectează în unghi drept și se numesc perpendiculare (sau reciproc perpendiculare). Perpendicularitatea dreptelor AC și BD se notează astfel: AC ⊥ BD.
O bisectoare perpendiculară pe un segment este o dreaptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin punctul său de mijloc.
AN - perpendicular pe o dreaptă
Luați în considerare o dreaptă a și un punct A care nu se află pe ea (Fig. 4). Să conectăm punctul A cu un segment de punctul H cu linia dreaptă a. Segmentul AN se numește perpendiculară trasată de la punctul A la dreapta a dacă dreptele AN și a sunt perpendiculare. Punctul H se numește baza perpendicularei.
Pătrat de desen
Următoarea teoremă este adevărată.
Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe o dreaptă, se poate trasa o perpendiculară pe această dreaptă și, în plus, doar una.
Pentru a desena o perpendiculară de la un punct la o linie dreaptă într-un desen, utilizați un pătrat de desen (Fig. 5).
Cometariu. Formularea teoremei constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei. De exemplu, condiția teoremei 2 este ca unghiurile să fie verticale; concluzie - aceste unghiuri sunt egale.
Orice teoremă poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea sa să înceapă cu cuvântul „dacă” și încheierea cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema 2 poate fi formulată în detaliu după cum urmează: „Dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale”.
Exemplul 1. Unul dintre unghiurile adiacente este de 44°. Cu ce este egal celălalt?
Soluţie.
Să notăm măsura în grade a altui unghi cu x, apoi conform teoremei 1.
44° + x = 180°.
Rezolvând ecuația rezultată, aflăm că x = 136°. Prin urmare, celălalt unghi este de 136°.
Exemplul 2. Fie unghiul COD din figura 21 să fie de 45°. Care sunt unghiurile AOB și AOC?
Soluţie.
Unghiurile COD și AOB sunt verticale, prin urmare, prin teorema 1.2 sunt egale, adică ∠ AOB = 45°. Unghiul AOC este adiacent unghiului COD, ceea ce înseamnă conform teoremei 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Exemplul 3. Găsi unghiuri adiacente, dacă unul dintre ele este de 3 ori mai mare decât celălalt.
Soluţie.
Să notăm gradul de măsură a unghiului mai mic cu x. Apoi măsura gradului unghiului mai mare va fi de 3x. Deoarece suma unghiurilor adiacente este egală cu 180° (Teorema 1), atunci x + 3x = 180°, de unde x = 45°.
Aceasta înseamnă că unghiurile adiacente sunt de 45° și 135°.
Exemplul 4. Suma a două unghiuri verticale este de 100°. Aflați dimensiunea fiecăruia dintre cele patru unghiuri.
Soluţie.
Fie ca Figura 2 să îndeplinească condițiile problemei.Unghiurile verticale COD față de AOB sunt egale (Teorema 2), ceea ce înseamnă că gradele lor sunt de asemenea egale. Prin urmare, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (suma lor conform condiției este 100°). Unghiul BOD (de asemenea unghiul AOC) este adiacent unghiului COD și, prin urmare, prin teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
1. Unghiuri adiacente.
Dacă extindem latura oricărui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): ∠ABC și ∠CBD, în care o latură BC este comună, iar celelalte două, AB și BD, formează o linie dreaptă.
Două unghiuri în care o latură este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.
Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), vom obține unghiuri adiacente.
De exemplu, ∠ADF și ∠FDB sunt unghiuri adiacente (Fig. 73).
Unghiurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).
Unghiurile adiacente se adună la un unghi drept, deci suma a două unghiuri adiacente este de 180°
Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.
Cunoscând dimensiunea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi dimensiunea celuilalt unghi adiacent acestuia.
De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este de 54°, atunci al doilea unghi va fi egal cu:
180° - 54° = l26°.
2. Unghiuri verticale.
Dacă extindem laturile unghiului dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În Figura 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.
Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt unghi.
Fie ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 adiacent acestuia va fi egal cu 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, adică 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale ∠3 și ∠4.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).
Vedem că ∠1 = ∠3 și ∠2 = ∠4.
Puteți rezolva mai multe probleme din aceeași, și de fiecare dată veți obține același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.
Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.
Este necesar să se verifice validitatea proprietăților unghiurilor verticale prin demonstrație.
Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):
∠a+∠c= 180°;
∠b+∠c= 180°;
(deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°).
∠a+∠c = ∠b+∠c
(deoarece partea stângă a acestei egalități este egală cu 180°, iar partea dreaptă este, de asemenea, egală cu 180°).
Această egalitate include același unghi Cu.
Dacă scădem cantități egale din cantități egale, atunci vor rămâne cantități egale. Rezultatul va fi: ∠A = ∠b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.
3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.
În desenul 79, ∠1, ∠2, ∠3 și ∠4 sunt situate pe o parte a unei linii și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
În Figura 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 și ∠5 au un vârf comun. Aceste unghiuri se adună până la un unghi complet, adică ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Alte materialeNoțiuni introductive cu unghiuri
Să ni se dea două raze arbitrare. Să le punem unul peste altul. Apoi
Definiția 1
Vom numi un unghi două raze care au aceeași origine.
Definiția 2
Punctul care este începutul razelor în cadrul Definiției 3 se numește vârful acestui unghi.
Vom desemna unghiul prin următoarele trei puncte: vârful, un punct pe una dintre raze și un punct pe cealaltă rază, iar vârful unghiului este scris în mijlocul denumirii sale (Fig. 1).
Să determinăm acum care este mărimea unghiului.
Pentru a face acest lucru, trebuie să selectăm un fel de unghi de „referință”, pe care îl vom lua ca unitate. Cel mai adesea, acest unghi este unghiul care este egal cu partea $\frac(1)(180)$ a unghiului desfășurat. Această cantitate se numește grad. După alegerea unui astfel de unghi, comparăm unghiurile cu acesta, a căror valoare trebuie găsită.
Există 4 tipuri de unghiuri:
Definiția 3
Un unghi se numește ascuțit dacă este mai mic de $90^0$.
Definiția 4
Un unghi se numește obtuz dacă este mai mare de $90^0$.
Definiția 5
Un unghi se numește dezvoltat dacă este egal cu $180^0$.
Definiția 6
Un unghi se numește drept dacă este egal cu $90^0$.
Pe lângă tipurile de unghiuri descrise mai sus, putem distinge tipuri de unghiuri între ele, și anume unghiuri verticale și adiacente.
Unghiuri adiacente
Luați în considerare unghiul inversat $COB$. Din vârful său tragem o rază $OA$. Această rază o va împărți pe cea originală în două unghiuri. Apoi
Definiția 7
Vom numi două unghiuri adiacente dacă o pereche de laturile lor este un unghi dezvoltat, iar cealaltă pereche coincide (Fig. 2).
ÎN în acest caz, unghiurile $COA$ și $BOA$ sunt adiacente.
Teorema 1
Suma unghiurilor adiacente este $180^0$.
Dovada.
Să ne uităm la Figura 2.
Prin definiția 7, unghiul $COB$ din acesta va fi egal cu $180^0$. Deoarece a doua pereche de laturi ale unghiurilor adiacente coincide, raza $OA$ va împărți unghiul desfășurat la 2, prin urmare
$∠COA+∠BOA=180^0$
Teorema a fost demonstrată.
Să luăm în considerare rezolvarea problemei folosind acest concept.
Exemplul 1
Găsiți unghiul $C$ din figura de mai jos
Prin definiția 7 aflăm că unghiurile $BDA$ și $ADC$ sunt adiacente. Prin urmare, prin teorema 1, obținem
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Prin teorema despre suma unghiurilor dintr-un triunghi, avem
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Răspuns: $40^0$.
Unghiuri verticale
Luați în considerare unghiurile desfășurate $AOB$ și $MOC$. Să le aliniem vârfurile între ele (adică să punem punctul $O"$ pe punctul $O$) astfel încât nicio latură a acestor unghiuri să nu coincidă. Apoi
Definiția 8
Vom numi două unghiuri verticale dacă perechile laturilor lor sunt unghiuri desfăcute și valorile lor coincid (Fig. 3).
În acest caz, unghiurile $MOA$ și $BOC$ sunt verticale, iar unghiurile $MOB$ și $AOC$ sunt de asemenea verticale.
Teorema 2
Unghiurile verticale sunt egale între ele.
Dovada.
Să ne uităm la Figura 3. Să demonstrăm, de exemplu, că unghiul $MOA$ este egal cu unghiul $BOC$.
Intrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.
Intrebarea 2. Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie date unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.
Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns.
Din teoremă 2.1
Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.
Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.
Întrebarea 7. Demonstrați că unghiurile verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema privind suma unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.
Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.
Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.
Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.
Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linie un 1 poate fi pus într-un semiplan dat doar un unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.
Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns. O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.
Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare constă în a face mai întâi o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.
Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este o rază care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.
