Pentru o grindă cantilever încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m și un moment concentrat de kN m (Fig. 3.12), este necesar să: construiți diagrame ale forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare, selectați o grindă de secțiune transversală circulară cu o efort normal admisibil kN/cm2 și verificați rezistența grinzii în funcție de solicitările tangenţiale cu efortul tangenţial admisibil kN/cm2. Dimensiunile grinzii m; m; m.
Schema de calcul pentru problema îndoirii transversale directe
Orez. 3.12
Rezolvarea problemei „încovoiere transversală dreaptă”
Determinarea reacțiilor de sprijin
Reacția orizontală în ansamblu este zero, deoarece sarcinile externe în direcția axei z nu acționează asupra fasciculului.
Alegem direcțiile forțelor reactive rămase care apar în înglobare: vom direcționa reacția verticală, de exemplu, în jos, iar momentul – în sensul acelor de ceasornic. Valorile lor sunt determinate din ecuațiile statice:
Când compunem aceste ecuații, considerăm că momentul este pozitiv când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, iar proiecția forței este pozitivă dacă direcția acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei y.
Din prima ecuație găsim momentul la sigiliu:
Din a doua ecuație - reacție verticală:
Primit de noi valori pozitive pentru moment și reacția verticală în înglobare indică faptul că le-am ghicit direcțiile.
În conformitate cu natura fixării și încărcării grinzii, împărțim lungimea acesteia în două secțiuni. De-a lungul limitelor fiecăreia dintre aceste secțiuni vom schița patru secțiuni transversale (vezi Fig. 3.12), în care vom folosi metoda secțiunilor (ROZU) pentru a calcula valorile forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare.
Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Să înlocuim acțiunea sa pe partea stângă rămasă cu o forță de tăiere și un moment de încovoiere. Pentru confortul calculării valorilor acestora, să acoperim partea dreaptă aruncată a grinzii cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii cu secțiunea luată în considerare.
Să ne amintim că forța tăietoare care apare în oricare secțiune transversală, trebuie să echilibreze toate forțele externe (active și reactive) care acționează pe partea fasciculului pe care o luăm în considerare (adică vizibilă). Prin urmare, forța de forfecare trebuie să fie egală cu suma algebrică a tuturor forțelor pe care le vedem.
Să prezentăm și regula semnelor pentru forța de forfecare: o forță externă care acționează asupra părții grinzii luate în considerare și care tinde să „roteze” această parte în raport cu secțiunea în sensul acelor de ceasornic determină o forță de forfecare pozitivă în secțiune. O astfel de forță externă este inclusă în suma algebrică pentru definiția cu semnul plus.
În cazul nostru, vedem doar reacția suportului, care rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (față de marginea bucății de hârtie) în sens invers acelor de ceasornic. De aceea
kN.
Momentul încovoietor în orice secțiune trebuie să echilibreze momentul creat de forțele exterioare vizibile pentru noi în raport cu secțiunea în cauză. În consecință, este egală cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor care acționează asupra părții grinzii pe care o luăm în considerare, raportată la secțiunea luată în considerare (cu alte cuvinte, raportată la marginea bucății de hârtie). în care sarcina externă, îndoirea părții grinzii luate în considerare cu o direcție convexă în jos, determină un moment încovoietor pozitiv în secțiune. Iar momentul creat de o astfel de încărcare este inclus în suma algebrică pentru determinare cu un semn „plus”.
Vedem două eforturi: reacția și momentul de închidere. Cu toate acestea, pârghia forței în raport cu secțiunea 1 este zero. De aceea
kNm.
Am luat semnul „plus” deoarece momentul reactiv îndoaie partea din fascicul vizibilă pentru noi cu o convexă în jos.
Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum, spre deosebire de prima secțiune, forța are un umăr: m. Prin urmare
kN; kNm.
Secțiunea 3. Închizând partea dreaptă a grinzii, găsim
kN;
Secțiunea 4. Acoperiți partea stângă a grinzii cu o foaie. Apoi
kNm.
kNm.
.
Folosind valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.12, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.12, c).
În zonele neîncărcate, diagrama forțelor de forfecare merge paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în sus. Sub reacția de sprijin din diagramă există un salt în jos cu valoarea acestei reacții, adică cu 40 kN.
În diagrama momentelor încovoietoare vedem o rupere sub reacția de sprijin. Unghiul de îndoire este îndreptat către reacția de sprijin. Sub o sarcină distribuită q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. În secțiunea 6 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare în acest loc trece prin valoarea zero.
Determinați diametrul secțiunii transversale necesar al grinzii
Condiția normală de rezistență la stres are forma:
,
unde este momentul de rezistenţă al grinzii la încovoiere. Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară este egală cu:
.
Cea mai mare valoare absolută a momentului încovoietor apare în a treia secțiune a grinzii: 
kN cm
Apoi, diametrul fasciculului necesar este determinat de formula
cm.
Acceptăm mm. Apoi
kN/cm2 kN/cm2.
„Supratensiune” este
,
ceea ce este permis.
Verificăm rezistența grinzii prin cele mai mari solicitări de forfecare
Cele mai mari tensiuni tangențiale care apar în secțiunea transversală a unei grinzi cu secțiune transversală circulară sunt calculate prin formula
,
unde este aria secțiunii transversale.
Conform diagramei, cea mai mare valoare algebrică a forței tăietoare este egală cu 
kN. Apoi
kN/cm2 kN/cm2,
adică este satisfăcută și condiția de rezistență pentru tensiuni tangențiale și cu o marjă mare.
Un exemplu de rezolvare a problemei „încovoiere transversală dreaptă” nr. 2
Starea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă transversală
Pentru o grindă susținută simplu, încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m, forță concentrată kN și moment concentrat kN m (Fig. 3.13), este necesar să se construiască diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare și să se selecteze o grindă de grindă în I. secțiune transversală cu o efort normal admisibil kN/cm2 și efort tangenţial admisibil kN/cm2. Lungimea grinzii m.
Un exemplu de problemă de îndoire dreaptă - diagramă de calcul
 |
Orez. 3.13
Rezolvarea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă
Determinarea reacțiilor de sprijin
Pentru o grindă dată pur și simplu sprijinită, este necesar să se găsească trei reacții de sprijin: , și . Deoarece asupra grinzii acționează numai sarcini verticale perpendiculare pe axa acesteia, reacția orizontală a suportului articulat fix A este nulă: .
Direcțiile reacțiilor verticale sunt alese arbitrar. Să direcționăm, de exemplu, ambele reacții verticale în sus. Pentru a calcula valorile lor, să creăm două ecuații statice:
Să reamintim că rezultanta sarcinii liniare , distribuită uniform pe o secțiune de lungime l, este egală cu , adică egală cu aria diagramei acestei sarcini și se aplică la centrul de greutate al acesteia. diagramă, adică la mijlocul lungimii.
;
kN.
Sa verificam: .
Reamintim că forțele a căror direcție coincide cu direcția pozitivă a axei y sunt proiectate (proiectate) pe această axă cu semnul plus:
asta e adevarat.
Construim diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare
Împărțim lungimea fasciculului în secțiuni separate. Limitele acestor secțiuni sunt punctele de aplicare a forțelor concentrate (active și/sau reactive), precum și punctele corespunzătoare începutului și sfârșitului sarcinii distribuite. Există trei astfel de secțiuni în problema noastră. De-a lungul limitelor acestor secțiuni, vom schița șase secțiuni transversale, în care vom calcula valorile forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, a).
Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Pentru confortul calculării forței de forfecare și a momentului de încovoiere care apar în această secțiune, vom acoperi partea din grinda pe care am aruncat-o cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii de hârtie cu secțiunea în sine.
Forța de forfecare în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a tuturor forțe externe(activ și reactiv) pe care îl vedem. ÎN în acest caz, vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea
kN.
Semnul plus este luat deoarece forța rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (marginea unei bucăți de hârtie) în sensul acelor de ceasornic.
Momentul încovoietor în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor pe care le vedem în raport cu secțiunea luată în considerare (adică relativ la marginea bucății de hârtie). Vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuite pe o lungime infinitezimală. Cu toate acestea, forța are un efect de pârghie de zero. Sarcina liniară rezultată este, de asemenea, zero. De aceea
Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum vedem reacția și sarcina q acționând asupra unei secțiuni de lungime . Sarcina liniară rezultată este egală cu . Este atașat la mijlocul unei secțiuni de lungime. De aceea
Să ne amintim că atunci când determinăm semnul momentului încovoietor, eliberăm mental partea din grinda pe care o vedem de toate elementele de fixare de susținere reale și ne imaginăm ca și cum ar fi ciupită în secțiunea luată în considerare (adică ne imaginăm mental marginea stângă). a bucăţii de hârtie ca înglobare rigidă).
Secțiunea 3. Să închidem partea dreaptă. Primim
Secțiunea 4. Acoperiți partea dreaptă a grinzii cu o foaie. Apoi
Acum, pentru a verifica corectitudinea calculelor, să acoperim partea stângă a grinzii cu o bucată de hârtie. Vedem forța concentrată P, reacția suportului drept și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea
kNm.
Adică totul este corect.
Secțiunea 5. Ca și mai înainte, închideți partea stângă a grinzii. Vom avea
kN;
kNm.
Secțiunea 6. Să închidem din nou partea stângă a grinzii. Primim
kN;
Utilizând valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.13, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, c).
Ne asigurăm că sub zona descărcată diagrama forțelor de forfecare se desfășoară paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în jos. Există trei salturi în diagramă: sub reacție - în sus cu 37,5 kN, sub reacție - în sus cu 132,5 kN și sub forța P - în jos cu 50 kN.
În diagrama momentelor încovoietoare vedem îndoiri sub forța concentrată P și sub susține reacțiile. Unghiurile de rupere sunt îndreptate spre aceste forțe. Sub o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. Sub momentul concentrat are loc un salt de 60 kN m, adică prin mărimea momentului însuși. În secțiunea 7 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare pentru această secțiune trece prin valoarea zero (). Să determinăm distanța de la secțiunea 7 până la suportul din stânga.
Forțele care acționează perpendicular pe axa grinzii și situate într-un plan care trece prin această axă provoacă o deformare numită încovoiere transversală. Dacă planul de acţiune al forţelor menţionate – planul principal, apoi are loc o îndoire transversală dreaptă (plată). În caz contrar, îndoirea se numește transversal oblic. O grindă care este supusă predominant îndoirii se numește grindă 1 .
În esență, îndoirea transversală este o combinație de îndoire pură și forfecare. În legătură cu curbura secțiunilor transversale din cauza distribuției neuniforme a forfecelor de-a lungul înălțimii, se pune întrebarea cu privire la posibilitatea utilizării formulei normale a tensiunii σ X, derivat pentru îndoire pură pe baza ipotezei secțiunilor plane.
1 O grindă cu o singură travă, având la capete, respectiv, un suport cilindric fix și unul cilindric mobil în direcția axei grinzii, se numește simplu. Se numește o grindă cu un capăt prins și celălalt liber consolă. Se numește o grindă simplă având una sau două părți atârnând peste un suport consolă.
Dacă, în plus, secțiunile sunt luate departe de locurile în care este aplicată sarcina (la o distanță nu mai mică de jumătate din înălțimea secțiunii grinzii), atunci se poate presupune, ca și în cazul îndoirii pure, ca fibrele să nu exercite presiune unele asupra altora. Aceasta înseamnă că fiecare fibră experimentează tensiune sau compresie uniaxiale.
Sub acțiunea unei sarcini distribuite, forțele transversale din două secțiuni adiacente vor diferi cu o valoare egală cu qdx. Prin urmare, curbura secțiunilor va fi, de asemenea, ușor diferită. În plus, fibrele vor exercita presiune unele asupra altora. Un studiu amănunțit al problemei arată că dacă lungimea fasciculului l destul de mare în comparație cu înălțimea sa h (l/ h> 5), atunci chiar și cu o sarcină distribuită, acești factori nu au un efect semnificativ asupra tensiunilor normale în secțiune transversală și, prin urmare, pot să nu fie luați în considerare în calculele practice.
a B C
Orez. 10.5 Fig. 10.6
În secțiuni sub sarcini concentrate și în apropierea acestora, distribuția lui σ X se abate de la legea liniară. Această abatere, care este de natură locală și nu este însoțită de o creștere a tensiunilor cele mai mari (în fibrele cele mai exterioare), nu este de obicei luată în considerare în practică.
Astfel, cu îndoire transversală (în plan X y) tensiunile normale se calculează folosind formula
σ X= – [M z(X)/Iz]y.
Dacă desenăm două secțiuni adiacente pe o secțiune a grinzii care este liberă de sarcină, atunci forța transversală în ambele secțiuni va fi aceeași și, prin urmare, curbura secțiunilor va fi aceeași. În acest caz, orice bucată de fibră ab(Fig. 10.5) se va muta într-o nouă poziție a"b", fără a suferi o alungire suplimentară și, prin urmare, fără a modifica valoarea tensiunii normale.
Să determinăm tensiunile tangențiale în secțiune transversală prin tensiunile lor pereche care acționează în secțiunea longitudinală a grinzii.
Selectați un element de lungime din lemn dx(Fig. 10.7 a). Să desenăm o secțiune orizontală la distanță la din axa neutră z, împărțind elementul în două părți (Fig. 10.7) și luați în considerare echilibrul părții superioare, care are o bază
lăţime b. În conformitate cu legea împerecherii tensiunilor tangențiale, tensiunile care acționează în secțiunea longitudinală sunt egale cu tensiunile care acționează în secțiunea transversală. Ținând cont de acest lucru, în ipoteza că solicitările de forfecare în șantier b distribuit uniform, folosind condiția ΣХ = 0, obținem:
N * - (N * +dN *)+
unde: N * este rezultanta forțelor normale σ în secțiunea transversală din stânga a elementului dx în zona „decupată” A * (Fig. 10.7 d):
unde: S = - momentul static al părții „decupate” a secțiunii transversale (zona umbrită în Fig. 10.7 c). Prin urmare, putem scrie:
Apoi putem scrie:
Această formulă a fost obținută în secolul al XIX-lea de către savantul și inginerul rus D.I. Zhuravsky și îi poartă numele. Și deși această formulă este aproximativă, deoarece face media tensiunii pe lățimea secțiunii, rezultatele calculelor obținute din aceasta sunt în bună concordanță cu datele experimentale.
Pentru a determina tensiunile de forfecare la un punct arbitrar de secțiune transversală situat la o distanță y de axa z, ar trebui:
Determinați din diagramă mărimea forței transversale Q care acționează în secțiune;
Calculați momentul de inerție I z al întregii secțiuni;
Desenați un plan paralel cu planul prin acest punct xzși determinați lățimea secțiunii b;
Calculați momentul static al zonei tăiate S în raport cu axa centrală principală zși înlocuiți valorile găsite în formula Zhuravsky.
Să determinăm, ca exemplu, tensiunile tangenţiale într-o secţiune transversală dreptunghiulară (Fig. 10.6, c). Moment static în jurul axei z părțile secțiunii de deasupra liniei 1-1, pe care se determină tensiunea, se vor scrie sub forma:
Acesta variază conform legii unei parabole pătrate. Lățimea secțiunii V pentru că o grindă dreptunghiulară este constantă, atunci legea modificării tensiunilor tangenţiale în secţiune va fi şi parabolică (Fig. 10.6, c). La y = și y = − tensiunile tangenţiale sunt nule, iar pe axa neutră z ele ating cea mai mare valoare.
Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară pe axa neutră avem.
Îndoiți este tipul de încărcare a unei grinzi în care i se aplică un moment situat într-un plan care trece prin axa longitudinală. Momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale grinzii. La îndoire, apare o deformare în care axa unei grinzi drepte se îndoaie sau curbura unei grinzi curbe se modifică.
O grindă care se îndoaie se numește grindă . O structură constând din mai multe tije flexibile, cel mai adesea conectate între ele la un unghi de 90°, se numește cadru .
Cotul se numește plat sau drept , dacă planul de sarcină trece prin axa centrală principală de inerție a secțiunii (Fig. 6.1).
Fig.6.1
Când are loc îndoirea plană transversală într-o grindă, apar două tipuri de forțe interne: forța transversală Qși momentul încovoietor M. Într-un cadru cu îndoire transversală plană, apar trei forțe: longitudinale N, transversal Q forțe și moment încovoietor M.
Dacă momentul încovoietor este singurul factor de forță intern, atunci se numește o astfel de încovoiere curat (Fig. 6.2). Când există o forță tăietoare, se numește încovoiere transversal . Strict vorbind, să tipuri simple rezistența se referă numai la îndoire pură; îndoirea transversală este clasificată în mod convențional ca un tip simplu de rezistență, deoarece în majoritatea cazurilor (pentru grinzi suficient de lungi) efectul forței transversale poate fi neglijat la calcularea rezistenței.
22.Cot transversal plat. Dependențe diferențiale dintre forțele interne și sarcina externă.Între momentul încovoietor, forta brutași intensitatea sarcinii distribuite, există dependențe diferențiale bazate pe teorema Zhuravsky, numită după inginerul rus de pod D.I.Zhuravsky (1821-1891).
Această teoremă este formulată după cum urmează:
Forța transversală este egală cu prima derivată a momentului încovoietor de-a lungul abscisei secțiunii grinzii.
23. Cot transversal plat. Trasarea diagramelor forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare. Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare - secțiunea 1
Să aruncăm partea dreaptă a grinzii și să înlocuim acțiunea acesteia pe partea stângă cu o forță transversală și un moment de încovoiere. Pentru a ușura calculul, să acoperim partea dreaptă aruncată a grinzii cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii cu secțiunea 1 luată în considerare.
Forța transversală din secțiunea 1 a fasciculului este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe care sunt vizibile după închidere
Vedem doar reacția suportului îndreptată în jos. Astfel, forța tăietoare este:
kN.
Am luat semnul „minus” deoarece forța rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune în sens invers acelor de ceasornic (sau pentru că este în aceeași direcție cu direcția forței transversale conform regulii semnului)
Momentul încovoietor în secțiunea 1 a grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor pe care le vedem după închiderea părții aruncate a grinzii, raportat la secțiunea 1 luată în considerare.
Vedem două forțe: reacția suportului și momentul M. Cu toate acestea, forța are un umăr care este practic egal cu zero. Prin urmare, momentul încovoietor este egal cu: 
kNm.
Aici am luat semnul „plus” deoarece momentul extern M îndoaie partea din fascicul vizibilă pentru noi cu o convexă în jos. (sau pentru că este opus direcției momentului încovoietor conform regulii semnului)
Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare - secțiunea 2
Spre deosebire de prima secțiune, forța de reacție are acum un umăr egal cu a.
forta bruta:
kN;
momentul de îndoire:
Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare - secțiunea 3
forta bruta:
momentul de îndoire:
Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare - secțiunea 4
Acum este mai convenabil acoperiți partea stângă a grinzii cu o foaie.
forta bruta:
momentul de îndoire:
Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare - secțiunea 5
forta bruta:
momentul de îndoire:
Determinarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare - secțiunea 1
forța tăietoare și momentul încovoietor:
.
Utilizând valorile găsite, construim o diagramă a forțelor transversale (Fig. 7.7, b) și a momentelor încovoietoare (Fig. 7.7, c).
CONTROLUL CORECTEȚII CONSTRUCȚILOR DIAGRAMELOR
Să ne asigurăm că diagramele sunt construite corect pe baza caracteristicilor externe, folosind regulile de construire a diagramelor.
Verificarea diagramei forței tăietoare
Suntem convinși: în zonele neîncărcate diagrama forțelor transversale se desfășoară paralel cu axa grinzii, iar sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în jos. Pe diagramă forță longitudinală trei salturi: sub reacție – în jos cu 15 kN, sub forța P – în jos cu 20 kN și sub reacție – în sus cu 75 kN.
Verificarea diagramei momentului încovoietor
În diagrama momentelor încovoietoare vedem îndoituri sub forța concentrată P și sub reacțiile de sprijin. Unghiurile de rupere sunt îndreptate spre aceste forțe. Sub o sarcină distribuită q, diagrama momentelor încovoietoare se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. În secțiunea 6 a diagramei momentului încovoietor există un extremum, deoarece diagrama forței transversale în acest loc trece prin valoarea zero.
Deformare la încovoiere constă în curbura axei unei tije drepte sau într-o modificare a curburii iniţiale a unei tije drepte (Fig. 6.1). Să ne familiarizăm cu conceptele de bază care sunt utilizate atunci când luăm în considerare deformarea la îndoire.
Tijele care se îndoaie se numesc grinzi.
Curat numită încovoiere, în care momentul încovoietor este singurul factor de forță intern care apare în secțiunea transversală a grinzii.
Mai des, în secțiunea transversală a tijei, împreună cu momentul încovoietor, apare și o forță transversală. Această îndoire se numește transversală.
plat (drept) numită încovoiere când planul de acţiune al momentului încovoietor în secţiune transversală trece prin una din axele centrale principale ale secţiunii transversale.
La îndoire oblică planul de acțiune al momentului încovoietor intersectează secțiunea transversală a grinzii de-a lungul unei linii care nu coincide cu niciuna dintre axele centrale principale ale secțiunii transversale.
Începem studiul nostru despre deformarea la încovoiere cu cazul îndoirii în plan pur.
Tensiuni și tensiuni normale în timpul îndoirii pure.
După cum sa menționat deja, cu încovoiere plană pură în secțiunea transversală, dintre cei șase factori de forță interni, doar momentul încovoietor este diferit de zero (Fig. 6.1, c):
Experimentele efectuate pe modele elastice arată că, dacă pe suprafața modelului se aplică o rețea de linii (Fig. 6.1, a), atunci la îndoire pură se deformează după cum urmează (Fig. 6.1, b):
a) liniile longitudinale sunt curbate de-a lungul circumferinței;
b) contururile secțiunilor transversale rămân plate;
c) liniile de contur ale secțiunilor se intersectează peste tot cu fibrele longitudinale în unghi drept.
Pe baza acestui fapt, se poate presupune că în îndoirea pură, secțiunile transversale ale grinzii rămân plate și se rotesc astfel încât să rămână normale față de axa curbă a grinzii (secțiuni plate în ipoteza de îndoire).
Orez. 6.1
Măsurând lungimea liniilor longitudinale (Fig. 6.1, b), puteți constata că fibrele superioare se lungesc atunci când fasciculul se îndoaie, iar cele inferioare se scurtează. Evident, este posibil să se găsească fibre a căror lungime rămâne neschimbată. Se numește un set de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când o grindă este îndoită strat neutru (n.s.). Stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului într-o linie dreaptă, care se numește linie neutră (n.l.) secțiune.
Pentru a obține o formulă care determină mărimea tensiunilor normale care apar în secțiunea transversală, luați în considerare o secțiune a grinzii într-o stare deformată și nedeformată (Fig. 6.2).
Orez. 6.2
Folosind două secțiuni transversale infinitezimale, selectăm un element de lungime 
. Înainte de deformare, secțiunile delimitând elementul 
, erau paralele între ele (Fig. 6.2, a), iar după deformare s-au îndoit ușor, formând un unghi 
. Lungimea fibrelor care se află în stratul neutru nu se modifică la îndoire 
. Să notăm cu litera raza de curbură a urmei stratului neutru pe planul de desen 
. Să determinăm deformația liniară a unei fibre arbitrare 
, situat la distanta 
din stratul neutru.
Lungimea acestei fibre după deformare (lungimea arcului 
) este egal cu 
. Avand in vedere ca inainte de deformare toate fibrele aveau aceeasi lungime 
, constatăm că alungirea absolută a fibrei luate în considerare
A lui deformare relativă
Este evident că 
, deoarece lungimea fibrei care se află în stratul neutru nu s-a schimbat. Apoi, după înlocuire 
primim
(6.2)
Prin urmare, deformarea longitudinală relativă este proporțională cu distanța fibrei față de axa neutră.
Să introducem ipoteza că la îndoire, fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele. În această ipoteză, fiecare fibră este deformată izolat, experimentând tensiune sau compresie simplă, în care 
. Luând în considerare (6.2)
, (6.3)
adică tensiunile normale sunt direct proporționale cu distanțele punctelor de secțiune transversală luate în considerare față de axa neutră.
Să substituim dependența (6.3) în expresia pentru momentul încovoietor 
în secțiune transversală (6.1)
.
Amintiți-vă că integrala 
reprezinta momentul de inertie al sectiunii fata de axa 
.
(6.4)
Dependența (6.4) reprezintă legea lui Hooke pentru îndoire, deoarece raportează deformația (curbura stratului neutru). 
) cu un moment care acţionează în secţiune. Muncă 
se numește rigiditatea secțiunii la încovoiere, N m 2.
Să înlocuim (6.4) în (6.3)
(6.5)
Aceasta este formula necesară pentru determinarea tensiunilor normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi în orice punct al secțiunii sale transversale.
Pentru a stabili unde se află linia neutră în secțiune transversală, înlocuim valoarea tensiunilor normale în expresia forței longitudinale. 
și momentul încovoietor 
Deoarece 
,
;
(6.6)
(6.7)
Egalitatea (6.6) indică faptul că axa 
– axa neutră a secțiunii – trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.
Egalitatea (6.7) arată că 
Și 
- principalele axe centrale ale secţiunii.
Conform (6.5), cea mai mare tensiune se realizează în fibrele cele mai îndepărtate de linia neutră
Atitudine 
reprezintă momentul axial de rezistenţă al secţiunii 
raportat la axa sa centrală 
, Mijloace
Sens 
pentru cele mai simple secțiuni transversale următoarele:
Pentru secțiune transversală dreptunghiulară
, (6.8)
Unde 
- latura secțiunii perpendiculară pe ax 
;
- latura secțiunii paralelă cu axa 
;
Pentru secțiune transversală rotundă
, (6.9)
Unde 
- diametrul secțiunii transversale circulare.
Condiția de rezistență pentru tensiunile normale de încovoiere poate fi scrisă sub formă
(6.10)
Toate formulele obținute au fost obținute pentru cazul îndoirii pure a unei tije drepte. Acţiunea forţei transversale duce la faptul că ipotezele care stau la baza concluziilor îşi pierd puterea. Cu toate acestea, practica de calcul arată că chiar și în timpul îndoirii transversale a grinzilor și cadrelor, atunci când se află în secțiune, în plus față de momentul încovoietor 
exista si o forta longitudinala 
și forța tăietoare 
, puteți folosi formulele date pentru îndoirea pură. Eroarea este nesemnificativă.
Pentru a reprezenta vizual natura deformării grinzilor (tijelor) în timpul îndoirii, se efectuează următorul experiment. Pe fetele laterale grindă de cauciuc secțiune dreptunghiulară se aplică o grilă de linii paralelă și perpendiculară pe axa grinzii (Fig. 30.7, a). Apoi se aplică momente grinzii la capetele acesteia (Fig. 30.7, b), acționând în planul de simetrie al grinzii, intersectând fiecare dintre secțiunile sale transversale de-a lungul uneia dintre principalele axe centrale de inerție. Planul care trece prin axa grinzii și una dintre principalele axe centrale de inerție ale fiecăreia dintre secțiunile sale transversale va fi numit plan principal.
Sub influența momentelor, fasciculul experimentează o îndoire dreaptă pură. Ca urmare a deformării, după cum arată experiența, liniile grilei paralele cu axa grinzii sunt îndoite, păstrând aceleași distanțe între ele. Când este indicat în Fig. 30.7, b în direcția momentelor, aceste linii din partea superioară a grinzii sunt prelungite, iar în partea inferioară sunt scurtate.
Fiecare linie de grilă perpendiculară pe axa fasciculului poate fi considerată ca o urmă a planului unei secțiuni transversale a fasciculului. Deoarece aceste linii rămân drepte, se poate presupune că secțiunile transversale ale grinzii, plate înainte de deformare, rămân plate în timpul deformării.
Această ipoteză, bazată pe experiență, este cunoscută ca ipoteza secțiunilor plane sau ipoteza lui Bernoulli (vezi § 6.1).
Ipoteza secțiunilor plane se aplică nu numai îndoirii pure, ci și îndoirii transversale. Pentru îndoirea transversală este aproximativă, iar pentru îndoirea pură este strictă, ceea ce este confirmat de studiile teoretice efectuate folosind metodele teoriei elasticității.
Să considerăm acum o grindă dreaptă cu o secțiune transversală simetrică față de axa verticală, încorporată la capătul drept și încărcată la capătul stâng cu un moment exterior care acționează într-unul din planurile principale ale grinzii (Fig. 31.7). În fiecare secțiune transversală a acestei grinzi, apar numai momente încovoietoare care acționează în același plan cu momentul
Astfel, fasciculul este într-o stare de îndoire dreaptă, pură pe toată lungimea sa. Secțiunile individuale ale grinzii pot fi într-o stare de încovoiere pură chiar dacă este supusă sarcinilor transversale; de exemplu, secțiunea 11 a grinzii prezentate în fig. prezintă îndoire pură. 32,7; în secţiunile acestei secţiuni forţa tăietoare
Din grinda luată în considerare (vezi Fig. 31.7) selectăm un element de lungime . Ca urmare a deformării, după cum rezultă din ipoteza lui Bernoulli, secțiunile vor rămâne plate, dar se vor înclina unele față de altele cu un anumit unghi. Să luăm secțiunea din stânga condiționat ca staționară. Apoi, ca urmare a rotirii secțiunii drepte printr-un unghi, aceasta va lua poziția (Fig. 33.7).
Liniile drepte se vor intersecta într-un anumit punct A, care este centrul de curbură (sau, mai precis, urma axei de curbură) al fibrelor longitudinale ale elementului.Fibrele superioare ale elementului în cauză atunci când sunt prezentate în Smochin. 31,7 în direcția momentului sunt prelungite, iar cele inferioare sunt scurtate. Fibrele unui strat intermediar perpendicular pe planul de acțiune al momentului își păstrează lungimea. Acest strat se numește strat neutru.
Să notăm raza de curbură a stratului neutru, adică distanța de la acest strat până la centrul de curbură A (vezi Fig. 33.7). Să considerăm un anumit strat situat la o distanță y de stratul neutru. Alungirea absolută a fibrelor acestui strat este egală cu și alungirea relativă
Având în vedere triunghiuri similare stabilim că Prin urmare,
În teoria îndoirii, se presupune că fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă unele pe altele. Experimental și cercetare teoretică arată că această ipoteză nu afectează semnificativ rezultatele calculului.
La încovoiere pură, solicitările de forfecare nu apar în secțiunile transversale ale grinzii. Astfel, toate fibrele în îndoire pură sunt în condiții de tensiune sau compresie uniaxiale.
Conform legii lui Hooke, în cazul tensiunii sau compresiei uniaxiale, efortul normal o și deformația relativă corespunzătoare sunt legate de dependență
sau pe baza formulei (11.7)
Din formula (12.7) rezultă că tensiunile normale din fibrele longitudinale ale grinzii sunt direct proporționale cu distanța lor y față de stratul neutru. În consecință, în secțiunea transversală a grinzii în fiecare punct, tensiunile normale sunt proporționale cu distanța y de la acest punct la axa neutră, care este linia de intersecție a stratului neutru cu secțiunea transversală (Fig.
34.7, a). Din simetria grinzii și a sarcinii rezultă că axa neutră este orizontală.
În punctele axei neutre, tensiunile normale sunt zero; pe o parte a axei neutre sunt la tracțiune, iar pe cealaltă sunt compresive.
Diagrama tensiunilor o este un grafic delimitat de o linie dreaptă, cu cele mai mari valori absolute ale tensiunii pentru punctele cele mai îndepărtate de axa neutră (Fig. 34.7b).
Să luăm acum în considerare condițiile de echilibru ale elementului de fascicul selectat. Să reprezentăm acțiunea părții din stânga a grinzii asupra secțiunii elementului (vezi Fig. 31.7) sub forma unui moment încovoietor, forțele interne rămase în această secțiune cu încovoiere pură sunt egale cu zero. Să ne imaginăm acțiunea părții drepte a grinzii asupra secțiunii transversale a elementului sub formă de forțe elementare aplicate fiecărei zone elementare a secțiunii transversale (Fig. 35.7) și paralele cu axa grindă.
Să creăm șase condiții de echilibru pentru un element
Iată sumele proiecțiilor tuturor forțelor care acționează asupra elementului, respectiv, pe axe - sumele momentelor tuturor forțelor raportate la axe (Fig. 35.7).
Axa coincide cu axa neutră a secțiunii și axa y este perpendiculară pe aceasta; ambele aceste axe sunt situate în planul secțiunii transversale
O forță elementară nu produce proiecții pe axa y și nu provoacă un moment în jurul axei. Prin urmare, ecuațiile de echilibru sunt satisfăcute pentru orice valoare a lui o.
Ecuația de echilibru are forma
Să substituim valoarea lui a în ecuația (13.7) conform formulei (12.7):
Deoarece (se ia în considerare un element de fascicul curbat, pentru care), atunci
Integrala reprezintă momentul static al secțiunii transversale a grinzii în jurul axei neutre. Egalitatea sa cu zero înseamnă că axa neutră (adică axa) trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. Astfel, centrul de greutate al tuturor secțiunilor transversale ale fasciculului și, prin urmare, axa fasciculului, care este locația geometrică a centrelor de greutate, sunt situate în stratul neutru. Prin urmare, raza de curbură a stratului neutru este raza de curbură a axei curbe a fasciculului.
Să compunem acum ecuația de echilibru sub forma sumei momentelor tuturor forțelor aplicate elementului fasciculului în raport cu axa neutră:
Aici reprezintă un moment de elementar Forta interioara raportat la axa.
Să notăm aria secțiunii transversale a fasciculului situat deasupra axei neutre - sub axa neutră.
Apoi va reprezenta rezultanta forțelor elementare aplicate deasupra axei neutre, sub axa neutră (Fig. 36.7).
Ambele rezultate sunt egale între ele în valoare absolută, deoarece suma lor algebrică, bazată pe condiția (13.7), este egală cu zero. Aceste rezultate formează o pereche internă de forțe care acționează în secțiunea transversală a grinzii. Momentul acestei perechi de forțe, egal cu produsul dintre mărimea uneia dintre ele și distanța dintre ele (Fig. 36.7), este un moment încovoietor în secțiunea transversală a grinzii.
Să substituim valoarea lui a în ecuația (15.7) conform formulei (12.7):
Aici reprezintă momentul axial de inerție, adică axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii. Prin urmare,
Să înlocuim valoarea din formula (16.7) în formula (12.7):
La derivarea formulei (17.7), nu s-a luat în considerare faptul că cu un cuplu extern direcționat, așa cum se arată în Fig. 31.7, conform regulii semnului acceptat, momentul încovoietor este negativ. Dacă luăm în considerare acest lucru, atunci trebuie să punem un semn minus în fața părții drepte a formulei (17.7). Apoi, cu un moment de încovoiere pozitiv în zona superioară a grinzii (adică la ), valorile lui a se vor dovedi a fi negative, ceea ce va indica prezența tensiunilor de compresiune în această zonă. Cu toate acestea, de obicei semnul minus nu este plasat în partea dreaptă a formulei (17.7), iar această formulă este utilizată numai pentru a determina valorile absolute ale tensiunilor a. Prin urmare, valorile absolute ale momentului încovoietor și ale ordonatei y ar trebui înlocuite în formula (17.7). Semnul tensiunilor este întotdeauna ușor de determinat de semnul momentului sau de natura deformării grinzii.
Să compunem acum ecuația de echilibru sub forma sumei momentelor tuturor forțelor aplicate elementului fascicul relativ la axa y:
Aici reprezintă momentul forței interne elementare în jurul axei y (vezi Fig. 35.7).
Să substituim valoarea lui a în expresia (18.7) conform formulei (12.7):
Aici integrala reprezintă momentul de inerție centrifugal al secțiunii transversale a fasciculului în raport cu axa y și. Prin urmare,
Dar de atunci
După cum se știe (vezi § 7.5), momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu zero față de axele principale de inerție.
În cazul în cauză, axa y este axa de simetrie a secțiunii transversale a grinzii și, prin urmare, axele y și sunt principalele axe centrale de inerție ale acestei secțiuni. Prin urmare, condiția (19.7) este satisfăcută aici.
În cazul în care secțiunea transversală a grinzii îndoite nu are nicio axă de simetrie, condiția (19.7) este îndeplinită dacă planul de acțiune al momentului încovoietor trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii sau este paralel. la această axă.
Dacă planul de acțiune al momentului încovoietor nu trece prin niciuna dintre axele centrale principale de inerție ale secțiunii transversale a grinzii și nu este paralel cu acesta, atunci condiția (19.7) nu este îndeplinită și, prin urmare, nu există îndoire directă - fasciculul experimentează îndoire oblică.
Formula (17.7), care determină solicitarea normală într-un punct arbitrar al secțiunii grinzii luate în considerare, este aplicabilă cu condiția ca planul de acțiune al momentului încovoietor să treacă prin una dintre axele principale de inerție ale acestei secțiuni sau să fie paralel cu acesta. . În acest caz, axa neutră a secțiunii transversale este principala sa axă centrală de inerție, perpendiculară pe planul de acțiune al momentului încovoietor.
Formula (16.7) arată că în timpul încovoierii pure directe, curbura axei curbe a grinzii este direct proporțională cu produsul dintre modulul elastic E și momentul de inerție Vom numi produsul rigiditatea secțiunii în timpul încovoierei; se exprimă în etc.
La îndoirea pură a unei grinzi cu secțiune transversală constantă, momentele de încovoiere și rigiditățile secțiunii sunt constante pe lungimea acesteia. În acest caz, raza de curbură a axei curbe a fasciculului are o valoare constantă [vezi. expresia (16.7)], adică fasciculul se îndoaie de-a lungul unui arc de cerc.
Din formula (17.7) rezultă că cele mai mari (pozitive - tracțiune) și cele mai mici (negative - compresive) tensiuni normale din secțiunea transversală a grinzii apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră, situate pe ambele părți ale acesteia. Pentru o secțiune transversală simetrică față de axa neutră, valorile absolute ale celor mai mari solicitări de tracțiune și compresiune sunt aceleași și pot fi determinate prin formula
Pentru secțiunile care nu sunt simetrice față de axa neutră, de exemplu, pentru un triunghi, tee etc., distanțele de la axa neutră până la cele mai îndepărtate fibre întinse și comprimate sunt diferite; Prin urmare, pentru astfel de secțiuni există două momente de rezistență:
unde sunt distanţele de la axa neutră până la cele mai îndepărtate fibre întinse şi comprimate.
