Fie o funcție y=f(x), X este domeniul ei de definiție, Y este domeniul său de valori. Știm că fiecărui x 0 îi corespunde o singură valoare y 0 =f(x 0), y 0 Y.
Se poate dovedi că fiecare y (sau partea sa 1) să corespundă și unui singur x din X.
Apoi se spune că pe regiunea (sau partea ei ) funcția x=y este definită ca funcție inversă pentru funcția y=f(x).
De exemplu:
X 
=(); Y=$
Deoarece această funcție este descrescătoare și continuă pe intervalul $X$, atunci pe intervalul $Y=$, care este tot descrescător și continuu pe acest interval (Teorema 1).
Să calculăm $x$:
\ \
Selectați $x$ potrivit:
Răspuns: funcția inversă $y=-\sqrt(x)$.
Probleme la găsirea funcțiilor inverse
În această parte vom lua în considerare funcțiile inverse pentru unele funcții elementare. Vom rezolva problemele conform schemei prezentate mai sus.
Exemplul 2
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x+4$
Să găsim $x$ din ecuația $y=x+4$:
Exemplul 3
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x^3$
Soluţie.
Deoarece funcția este crescătoare și continuă pe întregul domeniu de definiție, atunci, conform teoremei 1, are o funcție inversă continuă și crescătoare asupra ei.
Să găsim $x$ din ecuația $y=x^3$:
Găsirea valorilor potrivite de $x$
Valoarea este potrivită în cazul nostru (deoarece domeniul de definiție este toate numerele)
Să redefinim variabilele, obținem că funcția inversă are forma
Exemplul 4
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=cosx$ pe intervalul $$
Soluţie.
Se consideră funcția $y=cosx$ pe mulțimea $X=\left$. Este continuă și descrescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left$ pe mulțimea $Y=[-1,1]$, prin urmare, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=cosx$ în mulțimea $ Y$ există o funcție inversă, care este de asemenea continuă și crescătoare în mulțimea $Y=[-1,1]$ și mapează mulțimea $[-1,1]$ la setul $\left$.
Să găsim $x$ din ecuația $y=cosx$:
Găsirea valorilor potrivite de $x$
Să redefinim variabilele, obținem că funcția inversă are forma
Exemplul 5
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=tgx$ pe intervalul $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Soluţie.
Se consideră funcția $y=tgx$ pe mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Este continuă și crescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ pe mulțimea $Y =R$, prin urmare, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=tgx$ în mulțimea $Y$ are o funcție inversă, care este și ea continuă și crescătoare în mulțimea $Y=R $ și mapează setul $R$ pe mulțimea $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
Să găsim $x$ din ecuația $y=tgx$:
Găsirea valorilor potrivite de $x$
Să redefinim variabilele, obținem că funcția inversă are forma
Ce este o funcție inversă? Cum se află inversul unei funcții date?
Definiție .
Fie funcția y=f(x) definită pe mulțimea D, iar E mulțimea valorilor sale. Funcția inversă față de funcția y=f(x) este o funcție x=g(y), care este definită pe mulțimea E și atribuie fiecărui y∈E o valoare x∈D astfel încât f(x)=y.
Astfel, domeniul de definire al funcției y=f(x) este domeniul de valori al funcției inverse, iar domeniul valorilor y=f(x) este domeniul de definire al funcției inverse.
Pentru a găsi funcția inversă a unei funcții date y=f(x), aveți nevoie :
1) În formula funcției, înlocuiți x în loc de y și y în loc de x:
2) Din egalitatea rezultată, exprimă y prin x:
Aflați funcția inversă a funcției y=2x-6.
Funcțiile y=2x-6 și y=0,5x+3 sunt reciproc inverse.
Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de dreapta y=x(bisectoare ale sferturilor de coordonate I și III).
y=2x-6 și y=0,5x+3 - . Graficul unei funcții liniare este . Pentru a construi o linie dreaptă, luați două puncte.
Este posibil să se exprimă y fără ambiguitate în termeni de x în cazul în care ecuația x=f(y) are o soluție unică. Acest lucru se poate face dacă funcția y=f(x) ia fiecare dintre valorile sale într-un singur punct din domeniul său de definiție (o astfel de funcție se numește reversibil).
Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru inversibilitatea unei funcții)
Dacă funcția y=f(x) este definită și continuă pe un interval numeric, atunci pentru ca funcția să fie inversabilă este necesar și suficient ca f(x) să fie strict monoton.
Mai mult, dacă y=f(x) crește pe un interval, atunci și funcția inversă acestuia crește pe acest interval; dacă y=f(x) scade, atunci funcția inversă scade.
Dacă condiția de reversibilitate nu este îndeplinită pe întregul domeniu de definiție, puteți selecta un interval în care funcția doar crește sau doar descrește, iar pe acest interval găsiți funcția inversă celei date.
Un exemplu clasic este . Intre)
