Semne de paralelism a două drepte
Teorema 1. Dacă, când două drepte se intersectează cu o secante:
unghiurile încrucișate sunt egale sau
unghiurile corespunzătoare egal, sau
atunci suma unghiurilor unilaterale este 180°
liniile sunt paralele(Fig. 1).
Dovada. Ne limităm la a demonstra cazul 1.
Fie dreptele care se intersectează a și b să fie transversale și unghiurile AB egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.
Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, prin urmare, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Pentru certitudine, fie ∠ 4 unghiul extern al triunghiului ABM, iar ∠ 6 unghiul intern. Din teorema despre unghi exterior triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar acest lucru contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.
Corolarul 1. Două drepte diferite dintr-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).
Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul argumentului se face o presupunere care este contrară (opusă) a ceea ce trebuie dovedit. Se numește duce la absurd datorită faptului că, raționând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (la absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care trebuia dovedită.
Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.
Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).
Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.
Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este întotdeauna posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu cea dată.
Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.
Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat care nu se află pe o dreaptă dată, trece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.
Să luăm în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.
1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează și pe cealaltă (Fig. 4).
2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).
Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.
Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci:
unghiurile transversale sunt egale;
unghiurile corespunzătoare sunt egale;
suma unghiurilor unilaterale este de 180°.
Corolarul 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă(vezi fig. 2).
Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are inversă, adică dacă această teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate fi incorectă.
Să explicăm acest lucru folosind exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fii deloc vertical.
Exemplul 1. Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți aceste unghiuri.
Soluţie. Fie ca Figura 6 să îndeplinească condiția.
Care se află în același plan și fie coincid, fie nu se intersectează. În unele definiții școlare, liniile coincidente nu sunt considerate paralele; o astfel de definiție nu este luată în considerare aici.
Proprietăți
- Paralelismul este o relație de echivalență binară, prin urmare împarte întregul set de linii în clase de linii paralele între ele.
- Prin orice punct puteți trage exact o linie dreaptă paralelă cu cea dată. Aceasta este o proprietate distinctivă a geometriei euclidiene; în alte geometrii, numărul 1 este înlocuit cu altele (în geometria Lobachevsky există cel puțin două astfel de linii)
- 2 drepte paralele în spațiu se află în același plan.
- Când 2 drepte paralele se intersectează, o a treia, numită secantă:
- Secanta intersectează în mod necesar ambele drepte.
- La intersectare, se formează 8 unghiuri, dintre care unele perechi caracteristice au nume și proprietăți speciale:
- Întins în cruce unghiurile sunt egale.
- Relevant unghiurile sunt egale.
- Unilateral unghiurile se adună până la 180°.
În geometria Lobaciovski
În geometria Lobachevsky în plan printr-un punct Cîn afara acestei linii AB există un număr infinit de drepte care nu se intersectează AB. Dintre acestea, paralel cu AB doar două sunt numite. Drept CE numită linie echilaterală (paralelă). ABîn direcția de la A La B, Dacă:
- puncte BȘi E stați pe o parte a unei linii drepte AC ;
- Drept CE nu intersectează linia AB, dar fiecare rază care trece în interiorul unui unghi ACE, traversează raza AB .
O linie dreaptă este definită în mod similar ABîn direcția de la B La A .
Toate celelalte linii care nu o intersectează pe aceasta sunt numite ultraparalelă sau divergente.
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce înseamnă „minciuna transversală” în alte dicționare:
Această teoremă este despre drepte paralele. Pentru un unghi bazat pe un diametru, vezi o altă teoremă. Teorema lui Thales este una dintre teoremele planimetriei. Dacă așezați mai multe segmente egale în succesiune pe una dintre cele două linii drepte și desenați prin capetele lor... ... Wikipedia
Ordinul rus Sf. Ana a fost înființat de suveranul duce de Schleswig de Holstein, Karl Frederick, în 1736 în onoarea soției sale, țarevna Anna Petrovna (fiica lui Petru cel Mare) și inclus în ordinele ruse de către împărat. Petru al III-lea. Ordinul Sf. Ana...
Pentru testarea țevilor puștilor de vânătoare, acestea au fost înființate în toate țările vest-europene. Cele mai cunoscute dintre ele sunt la Londra, Birmingham, Lüttich, Suhl și Saint-Etienne. Conform noilor reguli introduse recent în Anglia, fiecare portbagaj... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Acesta este numele uneia dintre metodele de determinare cantitativă a conținutului de substanțe în soluții; Metodele K. sunt aplicabile la determinarea cantitativă a tuturor acelor substanțe care dau soluții colorate, sau pot fi, folosind orice reacție, ... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
O insignă acordată pentru merit sau distincție specială, forma stabilita, purtat pe o panglică, lant sau altfel. Există indicii că în Imperiul Roman de Răsărit, încă de pe vremea lui Constantin cel Mare, împărații au stabilit parteneriate de cavalerie sau... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Un semn acordat pentru merit sau distincție specială, într-o formă prescrisă, purtat pe o panglică, lanț sau altfel. Există indicii că în est. Imperiul Roman încă de pe vremea lui Constantin cel Mare, împărații au stabilit parteneriate sau ordine de cavalerie,... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
A doua familie a acestui ordin este formată dintr-un gen și o specie de morsă (Odobenus rosmarus)*, cea mai mare dintre toate pinipedele. * Morsele au trăsături anatomice asemănătoare focilor cu urechi și, de asemenea, descind dintr-o viață primitivă asemănătoare ursului... ... Viața animală
- (greaca veche παραλληλόγραμμον din παράλληλος paralelă și linie γραμμή) este un cu patru colțuri ... Wikipedia
Intersecții de linii (animație) Axioma de paralelism a lui Euclid, sau al cincilea postulat, este una dintre axiomele care se află ... Wikipedia
Intersecții de linii (animație) Axioma paralelismului a lui Euclid, sau al cincilea postulat, este una dintre axiomele care stau la baza planimetriei clasice. Mai întâi dat în Elementele lui Euclid: Și dacă o linie care se încadrează pe două linii formează interior și ... Wikipedia
Intrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Ele au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.
Intrebarea 2. Demonstrați că suma colțurile adiacente egal cu 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie date unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.
Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns.
Din teoremă 2.1
Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.
Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.
Întrebarea 7. Demonstrează asta unghiuri verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema asupra sumei unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.
Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.
Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.
Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.
Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linie un 1 poate fi pus într-un semiplan dat doar un unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.
Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns. O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.
Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare constă în a face mai întâi o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.
Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este o rază care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.
