În această lecție vom oferi o definiție strictă a unui monom, luați în considerare diverse exemple din manual. Să ne amintim regulile de înmulțire a puterilor cu aceleași baze. Să definim forma standard a unui monom, coeficientul monomului și partea sa de literă. Să luăm în considerare două acțiuni standard principale asupra monomiilor, și anume reducerea la vedere standardşi calculul specific valoare numerică monom pentru valorile date ale variabilelor literale incluse în acesta. Să formulăm o regulă pentru reducerea unui monom la forma standard. Să învățăm să rezolvăm sarcini tipice cu orice monomii.
Subiect:Monomiale. Operații aritmetice pe monomii
Lecţie:Conceptul de monom. Forma standard de monom
Luați în considerare câteva exemple:
3. 
;
Să găsim caracteristici comune pentru expresiile date. În toate cele trei cazuri, expresia este produsul numerelor și variabilelor ridicate la o putere. Pe baza asta dăm definiție monomială : Un monom este o expresie algebrică care constă din produsul puterilor și numerelor.
Acum dăm exemple de expresii care nu sunt monomii:
Să găsim diferența dintre aceste expresii și cele anterioare. Constă în faptul că în exemplele 4-7 există operații de adunare, scădere sau împărțire, în timp ce în exemplele 1-3, care sunt monomii, nu există aceste operații.
Iată încă câteva exemple:
Expresia numărul 8 este un monom deoarece este produsul dintre o putere și un număr, în timp ce exemplul 9 nu este un monom.
Acum să aflăm acţiuni asupra monomiilor .
1. Simplificare. Să ne uităm la exemplul nr. 3 ;și exemplul nr. 2 /
În al doilea exemplu vedem un singur coeficient - , fiecare variabilă apare o singură dată, adică variabila " A„ este reprezentat într-o singură copie ca „”, în mod similar, variabilele „” și „” apar o singură dată.
În exemplul nr. 3, dimpotrivă, există doi coeficienți diferiți - și , vedem variabila "" de două ori - ca "" și ca "", în mod similar, variabila "" apare de două ori. Adică această expresie ar trebui simplificată, astfel ajungem la prima acţiune efectuată asupra monomiilor este reducerea monomiului la forma standard . Pentru a face acest lucru, vom reduce expresia din Exemplul 3 la forma standard, apoi vom defini această operație și vom învăța cum să reducem orice monom la forma standard.
Deci, luați în considerare un exemplu:
Prima acțiune în operația de reducere la forma standard este întotdeauna înmulțirea tuturor factorilor numerici:
;
Rezultatul acestei acțiuni va fi apelat coeficientul monomului .
În continuare, trebuie să înmulți puterile. Să înmulțim puterile variabilei " X„după regula înmulțirii puterilor cu aceleași baze, care prevede că la înmulțire se adună exponenții:
Acum să înmulțim puterile" la»:
;
Deci, iată o expresie simplificată:
;
Orice monom poate fi redus la forma standard. Să formulăm regula de standardizare :
Înmulțiți toți factorii numerici;
Puneți pe primul loc coeficientul rezultat;
Înmulțiți toate gradele, adică obțineți partea cu literă;
Adică, orice monom este caracterizat de un coeficient și o parte de litere. Privind în viitor, observăm că monomiile care au aceeași parte de literă sunt numite similare.
Acum trebuie să ne antrenăm tehnica de reducere a monomiilor la forma standard . Luați în considerare exemple din manual:
Sarcina: aduceți monomul în forma standard, denumiți coeficientul și partea de litere.
Pentru a finaliza sarcina, vom folosi regula pentru reducerea unui monom la o formă standard și proprietățile puterilor.
1. 
;
3. 
;
Comentarii la primul exemplu: Mai întâi, să stabilim dacă această expresie este într-adevăr un monom; pentru a face acest lucru, să verificăm dacă conține operații de înmulțire a numerelor și puterilor și dacă conține operații de adunare, scădere sau împărțire. Putem spune că această expresie este un monom deoarece condiția de mai sus este îndeplinită. În continuare, conform regulii de reducere a unui monom la o formă standard, înmulțim factorii numerici:
- am găsit coeficientul unui monom dat;
; ; ; adică se obţine partea literală a expresiei:;
Să notăm răspunsul: ;
Comentarii la al doilea exemplu: Urmând regula efectuăm:
1) înmulțiți factorii numerici:
2) înmulțiți puterile:
Variabilele sunt prezentate într-o singură copie, adică nu pot fi înmulțite cu nimic, sunt rescrise fără modificări, gradul este înmulțit:
Să scriem răspunsul:
;
În acest exemplu, coeficientul monomului este egal cu unu, iar partea de litere este .
Comentarii la al treilea exemplu: a Similar cu exemplele anterioare, efectuăm următoarele acțiuni:
1) înmulțiți factorii numerici:
;
2) înmulțiți puterile:
;
Să notăm răspunsul: ;
ÎN în acest caz, coeficientul monomului este „”, iar partea literală 
.
Acum să luăm în considerare a doua operațiune standard pe monomii . Deoarece un monom este o expresie algebrică constând din variabile literale care pot lua anumite valori numerice, avem o expresie numerică aritmetică care trebuie evaluată. Adică următoarea operație pe polinoame este calculând valoarea lor numerică specifică .
Să ne uităm la un exemplu. Monomiul dat:
acest monom a fost deja redus la forma standard, coeficientul său este egal cu unu și partea de literă
Mai devreme spuneam că o expresie algebrică nu poate fi întotdeauna calculată, adică variabilele care sunt incluse în ea nu pot lua nicio valoare. În cazul unui monom, variabilele incluse în acesta pot fi oricare; aceasta este o caracteristică a monomului.
Deci, în exemplul dat, trebuie să calculați valoarea monomului la , , , .
Monomiile sunt unul dintre principalele tipuri de expresii studiate la cursul de algebră școlară. În acest material, vă vom spune care sunt aceste expresii, vom defini forma lor standard și vom arăta exemple și, de asemenea, vom înțelege concepte înrudite, cum ar fi gradul unui monom și coeficientul acestuia.
Ce este un monom
Manualele școlare oferă de obicei următoarea definiție a acestui concept:
Definiția 1
Monomiile includ numere, variabile, precum și puterile lor cu exponenți naturali și tipuri diferite lucrări întocmite din ele.
Pe baza acestei definiții, putem da exemple de astfel de expresii. Astfel, toate numerele 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 vor fi monomii. Toate variabilele, de exemplu, x, a, b, p, q, t, y, z, vor fi, de asemenea, monomii prin definiție. Aceasta include, de asemenea, puteri ale variabilelor și numerelor, de exemplu, 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 și t 15, precum și expresii de forma 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z etc. Vă rugăm să rețineți că un monom poate conține un număr sau o variabilă sau mai multe și pot fi menționate de mai multe ori într-un singur polinom.
Asemenea tipuri de numere precum numerele întregi, numere raționale și numere naturale aparțin și ele monomiilor. De asemenea, puteți include valid și numere complexe. Astfel, expresiile de forma 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 vor fi, de asemenea, monomii.
Care este forma standard a unui monom și cum se transformă o expresie în aceasta
Pentru ușurință în utilizare, toate monomiile sunt mai întâi reduse la o formă specială numită standard. Să formulăm în mod specific ce înseamnă asta.
Definiția 2
Forma standard de monom se numeşte forma sa în care este produsul unui factor numeric şi grade naturale variabile diferite. Factorul numeric, numit și coeficientul monomului, este de obicei scris primul pe partea stângă.
Pentru claritate, să selectăm mai multe monomii de forma standard: 6 (acesta este un monom fără variabile), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Aceasta include și expresia X y(aici coeficientul va fi egal cu 1), − x 3(aici coeficientul este - 1).
Acum dăm exemple de monomii care trebuie aduse la forma standard: 4 la 2 la 3(aici trebuie să combinați aceleași variabile), 5 x (− 1) 3 y 2(aici trebuie să combinați factorii numerici din stânga).
De obicei, atunci când un monom are mai multe variabile scrise cu litere, factorii de litere sunt scriși în ordine alfabetică. De exemplu, este de preferat să scrieți 6 a b 4 c z 2, Cum b 4 6 a z 2 c. Cu toate acestea, ordinea poate fi diferită dacă scopul calculului o impune.
Orice monom poate fi redus la forma standard. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați toate transformările de identitate necesare.
Conceptul de grad al unui monom
Conceptul însoțitor al gradului unui monom este foarte important. Să scriem definiția acestui concept.
Definiția 3
Prin puterea monomului, scrisă în formă standard, este suma exponenților tuturor variabilelor care sunt incluse în notația sa. Dacă nu există variabile în el, iar monomul în sine este diferit de 0, atunci gradul său va fi zero.
Să dăm exemple de puteri ale unui monom.
Exemplul 1
Astfel, monomul a are gradul egal cu 1, deoarece a = a 1. Dacă avem un monom 7, atunci acesta va avea gradul zero, deoarece nu are variabile și este diferit de 0. Și aici este înregistrarea 7 a 2 x y 3 a 2 va fi un monom de gradul 8, deoarece suma exponenților tuturor gradelor variabilelor incluse în acesta va fi egală cu 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Monomul redus la forma standard și polinomul original vor avea același grad.
Exemplul 2
Vă vom arăta cum să calculați gradul unui monom 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. În formă standard se poate scrie ca − 6 x 8 y 4. Calculăm gradul: 8 + 4 = 12 . Aceasta înseamnă că și gradul polinomului original este egal cu 12.
Conceptul de coeficient monomial
Dacă avem un monom redus la forma standard care include cel puțin o variabilă, atunci vorbim despre el ca un produs cu un singur factor numeric. Acest factor se numește coeficient numeric sau coeficient monomial. Să scriem definiția.
Definiția 4
Coeficientul unui monom este factorul numeric al unui monom redus la forma standard.
Să luăm ca exemplu coeficienții diferitelor monomii.
Exemplul 3
Deci, în expresie 8 la 3 coeficientul va fi numărul 8, iar în (− 2 , 3) x y z ei vor − 2 , 3 .
O atenție deosebită trebuie acordată coeficienților egali cu unu și minus unu. De regulă, acestea nu sunt indicate în mod explicit. Se crede că într-un monom al formei standard, în care nu există un factor numeric, coeficientul este egal cu 1, de exemplu, în expresiile a, x · z 3, a · t · x, deoarece acestea pot fi considerat ca 1 · a, x · z 3 – Cum 1 x z 3 etc.
În mod similar, în monomiile care nu au un factor numeric și care încep cu semnul minus, putem considera - 1 ca fiind coeficientul.
Exemplul 4
De exemplu, expresiile − x, − x 3 · y · z 3 vor avea un astfel de coeficient, deoarece pot fi reprezentate ca − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) ) · x 3 y z 3 etc.
Dacă un monom nu are deloc un factor de o singură literă, atunci putem vorbi despre un coeficient în acest caz. Coeficienții unor astfel de numere-monomiale vor fi aceste numere în sine. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 9 va fi egal cu 9.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Am observat că orice monom poate fi aduce la forma standard. În acest articol vom înțelege ce se numește aducerea unui monom la forma standard, ce acțiuni permit realizarea acestui proces și vom lua în considerare soluții la exemple cu explicații detaliate.
Navigare în pagină.
Ce înseamnă reducerea unui monom la forma standard?
Este convenabil să lucrați cu monomii atunci când sunt scrise în formă standard. Cu toate acestea, destul de des monomiile sunt specificate într-o formă diferită de cea standard. În aceste cazuri, puteți trece oricând de la monomul original la un monom al formei standard, efectuând transformări de identitate. Procesul de efectuare a unor astfel de transformări se numește reducerea unui monom la o formă standard.
Să rezumam argumentele de mai sus. Reduceți monomiul la forma standard- aceasta înseamnă efectuarea de transformări identice cu acesta astfel încât să ia o formă standard.
Cum se aduce un monom la forma standard?
Este timpul să ne dați seama cum să reduceți monomiile la forma standard.
După cum se știe din definiție, monomiile de formă nestandard sunt produse ale numerelor, variabilelor și puterilor acestora și, eventual, ale celor repetate. Iar un monom al formei standard poate conține în notația sa doar un număr și variabile nerepetabile sau puterile acestora. Acum rămâne să înțelegeți cum să aduceți produse de primul tip la tipul celui de-al doilea?
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea unui monom la forma standard constând din două etape:
- În primul rând, se realizează o grupare a factorilor numerici, precum și a variabilelor identice și a puterilor acestora;
- În al doilea rând, produsul numerelor este calculat și aplicat.
Ca urmare a aplicării regulii menționate, orice monom va fi redus la o formă standard.
Exemple, soluții
Tot ce rămâne este să înveți cum să aplici regula din paragraful anterior atunci când rezolvi exemple.
Exemplu.
Reduceți monomiul 3 x 2 x 2 la forma standard.
Soluţie.
Să grupăm factorii numerici și factorii cu o variabilă x. După grupare, monomul original va lua forma (3·2)·(x·x 2) . Produsul numerelor din primele paranteze este egal cu 6, iar regula de înmulțire a puterilor cu aceleași baze permite ca expresia din a doua paranteză să fie reprezentată ca x 1 +2=x 3. Ca rezultat, obținem un polinom de forma standard 6 x 3.
Iată un scurt rezumat al soluției: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.
Răspuns:
3 x 2 x 2 =6 x 3.
Deci, pentru a aduce un monom într-o formă standard, trebuie să fiți capabil să grupați factorii, să înmulțiți numerele și să lucrați cu puteri.
Pentru a consolida materialul, să rezolvăm încă un exemplu.
Exemplu.
Prezentați monomul în formă standard și indicați coeficientul acestuia.
Soluţie.
Monomiul original are un singur factor numeric în notația sa -1, să-l mutăm la început. După aceasta, vom grupa separat factorii cu variabila a, separat cu variabila b și nu există nimic cu care să grupăm variabila m, o vom lăsa așa cum este, avem 
. După efectuarea operațiilor cu puteri între paranteze, monomul va lua forma standard de care avem nevoie, din care putem vedea coeficientul monomului egal cu −1. Minus unu poate fi înlocuit cu un semn minus: .
Există multe expresii matematice diferite în matematică, iar unele dintre ele au propriile lor nume. Suntem pe cale să ne familiarizăm cu unul dintre aceste concepte - acesta este un monom.
Un monom este o expresie matematică care constă dintr-un produs de numere, variabile, fiecare dintre acestea putând apărea într-o anumită măsură în produs. Pentru a înțelege mai bine noul concept, trebuie să vă familiarizați cu mai multe exemple.
Exemple de monomii
Expresii 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sunt monomii. După cum puteți vedea, doar un număr sau o variabilă (cu sau fără putere) este, de asemenea, un monom. Dar, de exemplu, expresiile 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sunt deja nu sunt monomii, deoarece nu se potrivesc cu definițiile. Prima expresie folosește „suma”, ceea ce este inacceptabil, a doua folosește „diviziunea”, iar a treia folosește diferența.
Sa luam in considerare încă câteva exemple.
De exemplu, expresia 2*a^3*b/3 este, de asemenea, un monom, deși este implicată diviziunea. Dar în acest caz, împărțirea are loc după un număr și, prin urmare, expresia corespunzătoare poate fi rescrisă astfel: 2/3*a^3*b. Inca un exemplu: Care dintre expresiile 2/x și x/2 este un monom și care nu este? Răspunsul corect este că prima expresie nu este un monom, dar a doua este un monom.
Forma standard de monom
Priviți următoarele două expresii monomiale: ¾*a^2*b^3 și 3*a*1/4*b^3*a. De fapt, acestea sunt două monomii identice. Nu este adevărat că prima expresie pare mai convenabilă decât a doua?
Motivul pentru aceasta este că prima expresie este scrisă în formă standard. Forma standard a unui polinom este un produs format dintr-un factor numeric și puteri ale diferitelor variabile. Factorul numeric se numește coeficientul monomului.
Pentru a aduce un monom la forma sa standard, este suficient să înmulțiți toți factorii numerici prezenți în monom și să puneți numărul rezultat pe primul loc. Apoi înmulțiți toate puterile care au aceeași bază de litere.
Reducerea unui monom la forma sa standard
Dacă în exemplul nostru din a doua expresie înmulțim toți factorii numerici 3*1/4 și apoi înmulțim a*a, obținem primul monom. Această acțiune se numește reducerea unui monom la forma sa standard.
Dacă două monomii diferă doar printr-un coeficient numeric sau sunt egale între ele, atunci astfel de monomii sunt numite similare în matematică.
Informațiile de bază despre monomii conțin clarificarea că orice monom poate fi redus la o formă standard. În materialul de mai jos vom analiza această problemă mai detaliat: vom schița sensul acestei acțiuni, vom defini pașii care ne permit să stabilim forma standard a unui monom și, de asemenea, vom consolida teoria prin rezolvarea de exemple.
Sensul reducerii unui monom la forma standard
Scrierea unui monom în formă standard face mai convenabil să lucrezi cu el. Adesea, monomiile sunt specificate într-o formă nestandard și atunci devine necesar să se efectueze transformări identice pentru a aduce monomiul dat într-o formă standard.
Definiția 1
Reducerea unui monom la forma standard este efectuarea unor acțiuni adecvate (transformări identice) cu un monom pentru a-l scrie în formă standard.
Metodă de reducere a unui monom la forma standard
Din definiție rezultă că un monom de formă nestandard este un produs al numerelor, variabilelor și puterilor acestora, iar repetarea lor este posibilă. La rândul său, un monom de tip standard conține în notația sa doar un număr și variabile nerepetabile sau puterile acestora.
Pentru a aduce un monom non-standard într-o formă standard, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea unui monom la forma standard:
- primul pas este gruparea factorilor numerici, variabilelor identice și puterilor acestora;
- al doilea pas este calcularea produselor numerelor și aplicarea proprietății puterilor cu baze egale.
Exemple și soluții ale acestora
Exemplul 1Dat un monom 3 x 2 x 2 . Este necesar să-l aduceți într-o formă standard.
Soluţie
Să grupăm factorii numerici și factorii cu variabila x, ca urmare monomiul dat va lua forma: (3 2) (x x 2) .
Produsul dintre paranteze este 6. Aplicând regula înmulțirii puterilor cu aceleași baze, prezentăm expresia între paranteze ca: x 1 + 2 = x 3. Ca rezultat, obținem un monom al formei standard: 6 x 3.
O versiune scurtă a soluției arată astfel: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Răspuns: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Exemplul 2
Monomul este dat: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Este necesar să îl aduceți într-o formă standard și să indicați coeficientul său.
Soluţie
monomiul dat are un factor numeric în notația sa: - 1, să-l mutăm la început. Apoi vom grupa factorii cu variabila a și factorii cu variabila b. Nu există nimic cu care să grupăm variabila m, așa că o lăsăm în forma sa originală. Ca urmare a acțiunilor de mai sus obținem: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Să efectuăm operații cu puteri între paranteze, atunci monomul va lua forma standard: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. Din această intrare putem determina cu ușurință coeficientul monomului: este egal cu - 1. Este foarte posibil să înlocuiți minus unu pur și simplu cu un semn minus: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
O scurtă înregistrare a tuturor acțiunilor arată astfel:
a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m
Răspuns:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, coeficientul monomului dat este - 1.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
