공간 도형의 부피를 계산하는 능력은 기하학의 여러 실제 문제를 해결할 때 중요합니다. 가장 일반적인 인물 중 하나는 피라미드입니다. 이 기사에서는 전체 피라미드와 잘린 피라미드를 모두 고려할 것입니다.

입체적인 모습의 피라미드

다들 알고 계시죠? 이집트 피라미드, 그래서 그는 우리가 어떤 인물에 대해 이야기할지 잘 알고 있습니다. 그러나 이집트의 석조 구조물은 거대한 피라미드 종류의 특별한 경우일 뿐입니다.

일반적인 경우에 고려되는 기하학적 객체는 다각형 베이스이며, 각 꼭지점은 베이스 평면에 속하지 않는 공간의 특정 지점에 연결됩니다. 이 정의하나의 n각형과 n개의 삼각형으로 구성된 그림이 생성됩니다.

모든 피라미드는 n+1개의 면, 2*n개의 모서리, n+1개의 꼭지점으로 구성됩니다. 문제의 도형은 완전한 다면체이므로 표시된 요소의 수는 오일러의 동일성을 따릅니다.

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

밑면에 위치한 다각형은 삼각형, 오각형 등 피라미드의 이름을 제공합니다. 피라미드 세트 여러 가지 이유로아래 사진에 나와 있습니다.

n개의 삼각형이 연결되는 점을 피라미드의 꼭지점이라고 합니다. 수직선이 베이스 위로 낮아지고 기하학적 중심에서 교차하는 경우 이러한 그림을 직선이라고 합니다. 이 조건이 충족되지 않으면 경사 피라미드가 발생합니다.

밑면이 등변(등변) n각형으로 형성된 직선 도형을 정형이라고 합니다.

피라미드 볼륨 공식

피라미드의 부피를 계산하기 위해 적분법을 사용합니다. 이를 위해 우리는 베이스에 평행한 평면을 무한한 수의 얇은 층으로 절단하여 그림을 나눕니다. 아래 그림은 높이가 h이고 변의 길이가 L인 사각뿔을 보여줍니다. 얇은 층섹션.

각 레이어의 면적은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

여기서 A 0은 밑면의 면적이고 z는 수직 좌표의 값입니다. z = 0이면 공식은 값 A 0을 제공한다는 것을 알 수 있습니다.

피라미드의 부피 공식을 얻으려면 그림의 전체 높이에 대한 적분을 계산해야 합니다. 즉,

V = ∫h 0 (A(z)*dz).

의존성 A(z)를 대체하고 역도함수를 계산하면 다음 표현식에 도달합니다.

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

우리는 피라미드의 부피 공식을 얻었습니다. V 값을 찾으려면 그림의 높이에 밑면의 면적을 곱한 다음 그 결과를 3으로 나눕니다.

결과 표현식은 모든 유형의 피라미드 부피를 계산하는 데 유효합니다. 즉, 기울어질 수 있고 밑면이 임의의 n각형이 될 수 있습니다.

그리고 그 양

위 단락에서 얻은 부피에 대한 일반 공식은 다음과 같은 피라미드의 경우 정제될 수 있습니다. 올바른 이유. 이러한 베이스의 면적은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

여기서 L은 n개의 꼭지점을 가진 정다각형의 변 길이입니다. 기호 pi는 숫자 pi입니다.

A 0에 대한 표현을 일반 공식에 대입하면 부피를 얻습니다. 일반 피라미드:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

예를 들어 삼각형 피라미드의 경우 이 공식의 결과는 다음과 같습니다.

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60o) = √3/12*L 2 *h.

정사각형 피라미드의 경우 부피 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45o) = 1/3*L 2 *h.

일반 피라미드의 부피를 결정하려면 밑면의 측면과 그림의 높이에 대한 지식이 필요합니다.

잘린 피라미드

임의의 피라미드를 선택하고 꼭지점을 포함하는 측면 표면의 일부를 잘라냈다고 가정해 보겠습니다. 나머지 그림을 잘린 피라미드라고 합니다. 이는 이미 두 개의 n각형 베이스와 이를 연결하는 n개의 사다리꼴로 구성되어 있습니다. 절단 평면이 그림의 밑면과 평행했다면 밑면이 비슷한 평행한 잘린 피라미드가 형성됩니다. 즉, 한쪽 변의 길이는 다른 쪽 변의 길이에 특정 계수 k를 곱하여 얻을 수 있습니다.

위 그림은 잘린 정육면체를 보여주며, 상부 베이스도 하부 베이스와 마찬가지로 정육각형으로 형성되어 있음을 알 수 있습니다.

위와 유사한 적분법을 사용하여 유도할 수 있는 공식은 다음과 같습니다.

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

여기서 A 0 및 A 1은 각각 하단(큰) 및 상단(작은) 베이스의 영역입니다. 변수 h는 잘린 피라미드의 높이를 나타냅니다.

Cheops 피라미드의 부피

가장 큰 이집트 피라미드 내부에 포함되는 부피를 결정하는 문제를 해결하는 것은 흥미 롭습니다.

1984년 영국의 이집트학자 마크 레너(Mark Lehner)와 존 굿맨(Jon Goodman)은 쿠프스 피라미드의 정확한 치수를 확립했습니다. 원래 높이는 146.50m(현재 약 137m)였다. 구조물의 네 면 각각의 평균 길이는 230.363미터였습니다. 피라미드의 기초 높은 명중률정사각형이다.

주어진 숫자를 사용하여 이 거대 석조의 부피를 결정해 보겠습니다. 피라미드는 정사각형이므로 공식이 유효합니다.

숫자를 대체하면 다음을 얻습니다.

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≒ 2591444m 3.

Cheops 피라미드의 부피는 거의 260만m3입니다. 비교를 위해 올림픽 수영장의 부피는 25,000m 3입니다. 즉, 전체 Cheops 피라미드를 채우려면 1000개 이상의 풀이 필요합니다!

피라미드. 잘린 피라미드

피라미드는 다면체이며 그 중 하나는 다각형입니다( 베이스 ), 다른 모든 면은 공통 꼭지점( 옆면 ) (그림 15). 피라미드라고 불리는 옳은 , 밑면이 정다각형이고 피라미드의 꼭대기가 밑면의 중심으로 투영된 경우(그림 16). 모든 모서리가 동일한 삼각형 피라미드를 호출합니다. 사면체 .

측면 갈비뼈피라미드의 밑면에 속하지 않는 측면의 측면 키 피라미드는 꼭대기에서 밑면까지의 거리입니다. 일반 피라미드의 모든 측면 모서리는 서로 동일하며 모든 측면은 동일한 이등변 삼각형입니다. 꼭지점에서 그린 정뿔의 옆면의 높이를 변심 . 대각선 부분 동일한 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면을 피라미드의 단면이라고 합니다.

측면 표면적피라미드는 모든 측면의 면적의 합입니다. 총 표면적 모든 측면과 밑면의 면적의 합이라고 합니다.

정리

1. 피라미드에서 모든 측면 모서리가 밑면에 대해 동일한 경사를 이룬다면 피라미드의 꼭대기는 밑면 근처에 외접하는 원의 중심으로 투영됩니다.

2. 피라미드의 모든 측면 모서리의 길이가 같으면 피라미드의 꼭대기는 밑면 근처에 외접하는 원의 중심으로 투영됩니다.

3. 피라미드의 모든 면이 밑면에 대해 균등하게 기울어져 있으면 피라미드의 꼭대기가 밑면에 내접하는 원의 중심으로 투영됩니다.

임의의 피라미드의 부피를 계산하려면 올바른 공식은 다음과 같습니다.

어디 V- 용량;

S 베이스– 기본 지역

시간– 피라미드의 높이.

일반 피라미드의 경우 다음 공식이 정확합니다.

어디 피– 기본 둘레;

하– 변심;

시간- 키;

S 가득

S측

S 베이스– 기본 지역

V– 일반 피라미드의 부피.

잘린 피라미드피라미드의 밑면과 평행한 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 피라미드 부분이라고 합니다(그림 17). 정절두뿔 피라미드의 밑면과 평행한 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 일반 피라미드의 일부라고 합니다.

근거잘린 피라미드 - 유사한 다각형. 측면 – 사다리꼴. 키 잘린 피라미드의 밑면 사이의 거리입니다. 대각선 잘린 피라미드는 같은 면에 있지 않은 꼭지점을 연결하는 선분입니다. 대각선 부분 동일한 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면에 의한 잘린 피라미드의 단면입니다.

잘린 피라미드의 경우 다음 공식이 유효합니다.

(4)

어디 에스 1 , 에스 2 – 상부 및 하부 베이스 영역;

S 가득- 전체 표면적

S측– 측면 표면적;

시간- 키;

V– 잘린 피라미드의 부피.

일반 잘린 피라미드의 경우 공식이 정확합니다.

어디 피 1 , 피 2 - 베이스의 둘레;

하– 일반적인 잘린 피라미드의 변덕.

예시 1.오른쪽에서 삼각뿔베이스의 2면각은 60°입니다. 밑면에 대한 측면 모서리의 경사각의 접선을 구합니다.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 18).

피라미드는 정확합니다. 밑면을 의미합니다. 정삼각형그리고 모든 측면은 동일한 이등변삼각형입니다. 밑면의 이면각은 밑면에 대한 피라미드 측면의 경사각입니다. 선형 각도는 각도입니다. ㅏ두 수직 사이: 등. 피라미드의 꼭대기는 삼각형의 중심(삼각형의 외접원과 내접원의 중심)에 투영됩니다. 알파벳). 측면 가장자리의 경사각(예: S.B.)는 모서리 자체와 베이스 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다. 갈비뼈의 경우 S.B.이 각도가 각도가 될 거예요 SBD. 접선을 찾으려면 다리를 알아야 합니다. 그래서그리고 O.B.. 세그먼트의 길이를 보자 BD 3과 같음 ㅏ. 점 에 대한선분 BD부분으로 나뉘어져 있습니다. 그리고 우리는 그래서: 우리는 다음을 찾습니다:

답변:

예시 2.밑면의 대각선이 cm 및 cm이고 높이가 4cm인 경우 잘린 정사각형 피라미드의 부피를 구합니다.

해결책.잘린 피라미드의 부피를 찾으려면 공식 (4)를 사용합니다. 밑면의 넓이를 찾으려면 밑변의 대각선을 알고 밑면 사각형의 변을 찾아야 합니다. 밑면의 측면은 각각 2cm와 8cm입니다. 이는 밑면의 면적을 의미하며 모든 데이터를 공식에 대입하여 잘린 피라미드의 부피를 계산합니다.

답변: 112cm 3.

예시 3.밑면의 변이 10cm와 4cm이고 피라미드의 높이가 2cm인 정삼각뿔의 옆면의 넓이를 구하십시오.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 19).

이 피라미드의 측면은 이등변 사다리꼴입니다. 사다리꼴의 넓이를 계산하려면 밑변과 높이를 알아야 합니다. 베이스는 조건에 따라 주어지며, 높이만 알 수 없습니다. 우리는 어디에서 그녀를 찾을 것입니다 ㅏ 1 이자형한 점에서 수직 ㅏ 1 하부 베이스의 평면에, ㅏ 1 디– 수직 ㅏ 1개당 교류. ㅏ 1 이자형= 2cm, 이는 피라미드의 높이이기 때문입니다. 찾다 드평면도를 보여주는 추가 그림을 만들어 보겠습니다(그림 20). 점 에 대한– 상부 및 하부 베이스의 중심 투영. 이후(그림 20 참조)와 반면에 좋아요– 원에 새겨진 반경 옴– 원 안에 새겨진 반경:

MK = DE.

피타고라스의 정리에 따르면

측면 면적:

답변:

예시 4.피라미드의 바닥에는 이등변 사다리꼴이 있으며, 그 밑면은 ㅏ그리고 비 (ㅏ> 비). 각 측면 가장자리피라미드의 밑면과 동일한 각도를 형성합니다. 제이. 피라미드의 전체 표면적을 구하십시오.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 21). 피라미드의 전체 표면적 SABCD면적과 사다리꼴 면적의 합과 같습니다 ABCD.

피라미드의 모든 면이 밑면에 대해 똑같이 기울어져 있으면 꼭지점은 밑면에 새겨진 원의 중심으로 투영된다는 진술을 사용해 보겠습니다. 점 에 대한– 정점 투영 에스피라미드의 바닥에. 삼각형 잔디는 삼각형의 직교 투영이다 CSD베이스의 평면에. 평면 도형의 직교 투영 영역에 대한 정리를 사용하여 다음을 얻습니다.

마찬가지로 뜻은 따라서 문제는 사다리꼴의 넓이를 찾는 것으로 축소되었습니다. ABCD. 사다리꼴을 그려보자 ABCD별도로(그림 22). 점 에 대한- 사다리꼴에 새겨진 원의 중심.

원은 사다리꼴에 새겨질 수 있으므로 피타고라스 정리에서 우리는 다음을 얻습니다.

피라미드의 밑면과 그에 평행한 단면으로 형성된 다면체입니다. 잘린 피라미드는 꼭대기가 잘린 피라미드라고 말할 수 있습니다. 이 그림에는 다음과 같은 많은 고유한 속성이 있습니다.

• 피라미드의 측면은 사다리꼴입니다.
• 규칙적인 잘린 피라미드의 측면 모서리는 길이가 같고 밑면에 대해 같은 각도로 기울어져 있습니다.
• 베이스는 유사한 다각형입니다.
• 규칙적인 잘린 피라미드에서 면은 동일한 이등변 사다리꼴이며 그 면적은 같습니다. 그들은 또한 한 각도로 베이스에 기울어져 있습니다.

잘린 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식은 측면 면적의 합입니다.

잘린 피라미드의 측면은 사다리꼴이므로 매개변수를 계산하려면 다음 공식을 사용해야 합니다. 사다리꼴 영역. 일반 잘린 피라미드의 경우 면적을 계산하기 위해 다른 공식을 적용할 수 있습니다. 밑면의 모든 변, 면, 각도가 동일하므로 밑변과 변심의 둘레를 적용할 수 있고 밑면의 각도를 통해 면적도 구할 수 있습니다.

정절두뿔의 조건에 따라 변의 높이(변의 높이)와 밑면의 변의 길이가 주어지면 면적은 둘레 합의 반곱을 통해 계산할 수 있습니다. 기지와 변덕:

잘린 피라미드의 측면 표면적을 계산하는 예를 살펴 보겠습니다.
정오각형 피라미드가 주어지면. 아포템 엘= 5cm, 큰 베이스의 가장자리 길이는 ㅏ= 6 cm, 가장자리는 더 작은 베이스에 있음 비= 4cm 잘린 피라미드의 면적을 계산합니다.

먼저 밑면의 둘레를 구해 봅시다. 우리는 오각형 피라미드를 받았기 때문에 밑면이 오각형이라는 것을 이해합니다. 이는 베이스에 5개의 동일한 면이 있는 그림이 포함되어 있음을 의미합니다. 더 큰 밑면의 둘레를 찾아봅시다:

같은 방법으로 더 작은 밑면의 둘레를 구합니다.

이제 우리는 정규 잘린 피라미드의 면적을 계산할 수 있습니다. 데이터를 공식으로 대체합니다.

따라서 우리는 둘레와 변심점을 통해 규칙적으로 잘린 피라미드의 면적을 계산했습니다.

일반 피라미드의 측면 표면적을 계산하는 또 다른 방법은 다음 공식입니다. 베이스의 각도와 바로 이 베이스의 면적을 통해.

계산 예시를 살펴보겠습니다. 우리는 그것을 기억합니다 이 공식일반 잘린 피라미드에만 적용됩니다.

올바른 것을 주도록 하세요 사각뿔. 아래쪽 밑면의 가장자리는 a = 6 cm이고 위쪽 밑면의 가장자리는 b = 4 cm입니다. 밑면의 2면각은 β = 60°입니다. 정다각형 피라미드의 옆면적을 구합니다.

먼저 기지의 면적을 계산해 봅시다. 피라미드는 규칙적이므로 밑면의 모든 모서리가 서로 같습니다. 밑면이 사각형이라는 점을 고려하면 다음을 계산해야 한다는 것을 이해합니다. 광장의 면적. 가로와 세로의 곱인데 제곱하면 이 값은 같습니다. 더 큰 밑면의 면적을 찾아 보겠습니다.


이제 찾은 값을 사용하여 측면 표면적을 계산합니다.

몇 가지 간단한 공식을 알면 다양한 값을 사용하여 잘린 피라미드의 측면 사다리꼴 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다.