수많은 다양한 집합 중에서 숫자 집합은 특히 흥미롭고 중요합니다. 요소가 숫자인 집합입니다. 분명히 숫자 세트로 작업하려면 숫자 세트를 기록하고 좌표선에 묘사하는 기술이 필요합니다.
숫자 집합 작성
모든 세트에 대해 일반적으로 허용되는 지정은 대문자 라틴 문자입니다. 숫자 세트도 예외는 아닙니다. 예를 들어 숫자 집합 B, F, S 등에 대해 이야기할 수 있습니다. 그러나 포함된 요소에 따라 일반적으로 허용되는 숫자 세트 표시도 있습니다.
N - 모든 자연수의 집합입니다. Z – 정수 세트; Q – 유리수 집합; J – 무리수 집합; R – 실수 집합; C는 복소수의 집합입니다.
예를 들어 두 개의 숫자로 구성된 집합을 지정하는 것은 - 3, 8을 문자 J로 지정하는 것은 오해의 소지가 있을 수 있다는 것이 분명해집니다. 왜냐하면 이 문자는 무리수 집합을 표시하기 때문입니다. 따라서 세트 3, 8을 지정하려면 예를 들어 A 또는 B와 같은 일종의 중립 문자를 사용하는 것이 더 적절할 것입니다.
다음 표기법도 기억해 보겠습니다.
- ∅는 빈 집합이거나 없는 집합이다. 구성 요소;
- ∈ 또는 ∉ - 요소가 집합에 속하는지 여부를 나타내는 기호입니다. 예를 들어, 5 ∈ N이라는 표기는 숫자 5가 모든 자연수 집합의 일부임을 의미합니다. - 7, 1 ∈ Z 표기법은 숫자 - 7, 1이 집합 Z의 요소가 아니라는 사실을 반영합니다. Z – 정수 세트;
- 집합이 집합에 속한다는 표시:
⊂ 또는 ⊃ - 각각 "포함" 또는 "포함" 기호입니다. 예를 들어, A ⊂ Z 표기법은 집합 A의 모든 요소가 집합 Z에 포함된다는 의미입니다. 숫자 세트 A는 세트 Z에 포함됩니다. 또는 그 반대의 경우, Z ⊃ A 표기법은 모든 정수 집합 Z가 집합 A를 포함한다는 것을 명확히 합니다.
⊆ 또는 ⊇은 소위 엄격하지 않은 포함의 표시입니다. 각각 "포함 또는 일치" 및 "포함 또는 일치"를 의미합니다.
이제 실제로 가장 자주 사용되는 주요 표준 사례의 예를 사용하여 숫자 집합을 설명하는 방식을 고려해 보겠습니다.
먼저 우리는 유한함수와 소량의강요. 모든 요소를 간단히 나열하여 이러한 세트를 설명하는 것이 편리합니다. 숫자 형태의 요소는 쉼표로 구분하여 작성하고 중괄호로 묶습니다(집합 설명에 대한 일반 규칙에 해당). 예를 들어, 숫자 8, - 17, 0, 15의 집합을 (8, - 17, 0, 15)로 씁니다.
세트의 요소 수는 상당히 많지만 모두 특정 패턴을 따릅니다. 그런 다음 세트 설명에 줄임표가 사용됩니다. 예를 들어, 2부터 88까지의 모든 짝수의 집합을 (2, 4, 6, 8, …, 88)로 씁니다.
이제 요소의 수가 무한한 숫자 집합을 설명하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다. 때로는 동일한 줄임표를 사용하여 설명됩니다. 예를 들어, 모든 자연수의 집합을 다음과 같이 씁니다: N = (1, 2, 3, …).
요소의 속성을 지정하여 무한한 수의 요소로 숫자 집합을 작성하는 것도 가능합니다. (x | 속성) 표기법이 사용됩니다. 예를 들어 (n | 8 n + 3, n ∈ N)은 8로 나눌 때 나머지 3이 남는 자연수 집합을 정의합니다. 이 동일한 집합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다: (11, 19, 27, …).
특별한 경우, 무한한 수의 요소를 가진 숫자 집합은 잘 알려진 집합 N, Z, R 등 또는 숫자 간격입니다. 그러나 기본적으로 숫자 집합은 구성 숫자 간격과 유한 수의 요소가 있는 숫자 집합의 결합입니다(이 기사의 시작 부분에서 이에 대해 이야기했습니다).
예를 살펴보겠습니다. 특정 숫자 세트의 구성 요소가 숫자 - 15, - 8, - 7, 34, 0과 세그먼트 [- 6, - 1, 2]의 모든 숫자 및 열린 숫자 라인의 숫자라고 가정합니다. (6, + 무한). 집합의 합집합의 정의에 따라 주어진 수치 집합을 다음과 같이 씁니다: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∨) . 이러한 표기법은 실제로 집합 (- 15, - 8, - 7, 34, 0), [- 6, - 1, 2] 및 (6, + )의 모든 요소를 포함하는 집합을 의미합니다.
마찬가지로, 다양한 숫자 간격과 개별 숫자의 집합을 결합하여 실수로 구성된 모든 숫자 집합에 대한 설명을 제공할 수 있습니다. 위의 내용을 바탕으로 도입 이유가 분명해졌습니다. 다른 종류간격, 반구간, 세그먼트, 개방수선 및 수선과 같은 수간격. 이러한 모든 유형의 간격은 개별 숫자 집합의 지정과 함께 조합을 통해 숫자 집합을 설명하는 것을 가능하게 합니다.
또한 집합을 작성할 때 개별 숫자와 숫자 간격을 오름차순으로 정렬할 수 있다는 점도 주목할 필요가 있습니다. 일반적으로 이는 필수 요구 사항은 아니지만 이러한 순서를 사용하면 숫자 집합을 보다 간단하게 표현할 수 있고 좌표선에 올바르게 표시할 수도 있습니다. 또한 그러한 기록은 숫자 간격을 사용하지 않는다는 점을 명확히 할 가치가 있습니다. 공통 요소, 이러한 레코드는 숫자 간격을 결합하여 대체할 수 있으므로 공통 요소를 제거합니다. 예를 들어, 공통 요소 [- 15, 0] 및 (- 6, 4)가 있는 숫자 세트의 합집합은 절반 간격 [- 15, 4)이 됩니다. 동일한 경계 번호를 갖는 수치 간격의 합집합에도 동일하게 적용됩니다. 예를 들어, 합집합 (4, 7] ∪ (7, 9]는 집합 (4, 9]입니다. 이 점은 숫자 집합의 교집합과 합집합을 찾는 주제에서 자세히 논의됩니다.
실제 예에서는 숫자 세트의 기하학적 해석, 즉 좌표선의 이미지를 사용하는 것이 편리합니다. 예를 들어, 이 방법은 합집합 및/또는 교차점을 결정하기 위해 숫자 세트를 표시해야 할 때 ODZ를 고려해야 하는 불평등을 해결하는 데 도움이 됩니다.
우리는 좌표선의 점과 실수 사이에 일대일 대응이 있음을 알고 있습니다. 전체 좌표선은 모든 실수 R 집합의 기하학적 모델입니다. 따라서 모든 실수 집합을 표현하기 위해 좌표선을 그리고 전체 길이에 음영을 적용합니다.
원점과 단위 세그먼트가 표시되지 않는 경우가 많습니다.
유한한 수의 개별 숫자로 구성된 숫자 집합의 이미지를 생각해 보세요. 예를 들어 숫자 집합(- 2, - 0, 5, 1, 2)을 표시해 보겠습니다. 주어진 세트의 기하학적 모델은 해당 좌표가 있는 좌표선의 세 점이 됩니다.
대부분의 경우 도면의 절대적인 정확성을 유지하지 않는 것이 가능합니다. 축척을 고려하지 않은 도식 이미지이지만 서로에 대한 점의 상대적 위치를 유지하는 것만으로도 충분합니다. 더 큰 좌표를 가진 점은 더 작은 좌표를 가진 점의 오른쪽에 있어야 합니다. 즉, 기존 도면은 다음과 같을 수 있습니다.
가능한 숫자 세트와 별도로 숫자 간격은 간격, 반 간격, 광선 등으로 구분됩니다.
이제 여러 숫자 간격과 개별 숫자로 구성된 집합의 결합인 숫자 집합을 묘사하는 원리를 고려해 보겠습니다. 여기에는 어려움이 없습니다. 합집합의 정의에 따르면 주어진 숫자 집합 집합의 모든 구성 요소를 좌표선에 표시해야 합니다. 예를 들어, 숫자 집합 (- , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ) 의 그림을 만들어 보겠습니다.
하나 이상의 점을 제외한 전체 실수 집합을 포함하도록 숫자 집합을 그리는 것도 매우 일반적입니다. 이러한 집합은 종종 x ≠ 5 또는 x ≠ - 1 등과 같은 조건으로 지정됩니다. 이러한 경우 기하학적 모델의 집합은 주어진 점을 제외한 전체 좌표선입니다. 일반적으로 이러한 점을 좌표선에서 "제거"해야 한다고 말하는 것이 허용됩니다. 구멍이 난 지점은 중앙이 비어 있는 원으로 표시됩니다. 말한 내용을 강화하기 위해 실제적인 예, 주어진 조건 x ≠ - 2 및 x ≠ 3으로 설정된 세트를 좌표선에 표시합니다.
이 문서에 제공된 정보는 개별 숫자 간격만큼 쉽게 숫자 세트의 기록 및 표현을 보는 기술을 얻는 데 도움이 됩니다. 이상적으로는 작성된 숫자 집합이 좌표선에 기하학적 이미지 형태로 즉시 표시되어야 합니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 이미지에서 해당 숫자 집합은 숫자 간격과 별도의 숫자 집합을 결합하여 쉽게 형성되어야 합니다.
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엄청나게 다양한 종류부터 세트특히 흥미로운 것은 소위 숫자 세트, 즉 요소가 숫자인 집합입니다. 그들과 편안하게 작업하려면 그것들을 적을 수 있어야 한다는 것은 분명합니다. 우리는 숫자 집합을 작성하는 표기법과 원리로 이 글을 시작할 것입니다. 다음으로, 좌표선에 숫자 집합이 어떻게 표시되는지 살펴보겠습니다.
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숫자 집합 작성
시작해보자 허용된 표기법. 아시다시피 라틴 알파벳의 대문자는 집합을 나타내는 데 사용됩니다. 다음과 같은 숫자 세트 특별한 경우세트도 표시됩니다. 예를 들어 숫자 집합 A, H, W 등에 대해 이야기할 수 있습니다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등의 집합은 고유한 표기법이 채택되었습니다.
- N - 모든 자연수의 집합입니다.
- Z – 정수 세트;
- Q – 유리수 집합;
- J – 무리수 집합;
- R – 실수 집합;
- C는 복소수의 집합입니다.
여기에서 예를 들어 두 개의 숫자 5와 -7로 구성된 집합을 Q로 표시해서는 안 된다는 것이 분명합니다. 문자 Q는 일반적으로 모든 유리수의 집합을 나타내기 때문에 이 지정은 오해의 소지가 있습니다. 지정된 숫자 세트를 표시하려면 A와 같은 다른 "중립" 문자를 사용하는 것이 좋습니다.
표기법에 대해 이야기하고 있으므로 여기서는 빈 집합, 즉 요소를 포함하지 않는 집합의 표기법에 대해서도 생각해 보겠습니다. 기호 ∅로 표시됩니다.
요소가 집합에 속하는지, 속하지 않는지 지정하는 방법도 생각해 보겠습니다. 이렇게 하려면 ∈ - 속함 및 ∉ - 속하지 않음 기호를 사용하세요. 예를 들어, 표기법 5∈N은 숫자 5가 자연수 집합에 속하고 5.7∉Z(소수 분수 5.7)가 정수 집합에 속하지 않음을 의미합니다.
그리고 한 세트를 다른 세트에 포함시키기 위해 채택된 표기법도 상기해 보겠습니다. 집합 N의 모든 원소가 집합 Z에 포함된다는 것은 명백하며, 따라서 숫자 집합 N은 Z에 포함되며 이를 N⊂Z로 표시합니다. Z⊃N 표기법을 사용할 수도 있습니다. 이는 모든 정수 집합 Z에 집합 N이 포함된다는 의미입니다. 포함되지 않은 관계와 포함되지 않은 관계는 각각 ⊄ 및 로 표시됩니다. ⊆ 및 ⊇ 형식의 비엄격 포함 기호도 사용되며 각각 포함됨 또는 일치함, 포함 또는 일치함을 의미합니다.
우리는 표기법에 대해 이야기했습니다. 숫자 집합에 대한 설명으로 넘어가겠습니다. 이 경우에는 실제로 가장 많이 사용되는 주요 사례만 다루겠습니다.
유한하고 적은 수의 요소를 포함하는 숫자 집합부터 시작하겠습니다. 모든 요소를 나열하여 유한한 수의 요소로 구성된 숫자 집합을 설명하는 것이 편리합니다. 모든 숫자 요소는 쉼표로 구분하여 작성하고 로 묶습니다. 이는 일반 사항과 일치합니다. 집합을 기술하는 규칙. 예를 들어, 세 개의 숫자 0, -0.25, 4/7로 구성된 집합은 (0, -0.25, 4/7)로 설명할 수 있습니다.
때로는 숫자 집합의 요소 수가 상당히 많지만 요소가 특정 패턴을 따르는 경우 설명을 위해 줄임표를 사용합니다. 예를 들어, 3부터 99까지의 모든 홀수 집합은 (3, 5, 7, ..., 99)로 쓸 수 있습니다.
그래서 우리는 요소의 수가 무한한 숫자 집합의 설명에 원활하게 접근했습니다. 때때로 그것들은 모두 동일한 타원을 사용하여 설명될 수 있습니다. 예를 들어, 모든 자연수 집합을 설명하겠습니다: N=(1, 2. 3, …) .
또한 요소의 속성을 표시하여 숫자 집합에 대한 설명을 사용합니다. 이 경우 (x| 속성) 표기법이 사용됩니다. 예를 들어, 표기법 (n| 8·n+3, n∈N)은 8로 나눌 때 나머지 3이 남는 자연수 집합을 지정합니다. 이 동일한 세트는 (11,19, 27, ...)로 설명될 수 있습니다.
특별한 경우, 무한한 수의 요소를 가진 수치 집합은 알려진 집합 N, Z, R 등입니다. 또는 숫자 간격. 기본적으로 숫자 집합은 다음과 같이 표현됩니다. 노동 조합그것들을 구성하는 개별 숫자 간격과 유한한 수의 요소를 가진 숫자 세트(우리가 바로 위에서 이야기한 것)입니다.
예를 보여드리겠습니다. 숫자 세트는 숫자 −10, −9, −8.56, 0, 세그먼트 [−5, −1,3]의 모든 숫자 및 열린 수직선의 숫자(7, +무한대)로 구성됩니다. 집합의 합집합 정의로 인해 지정된 숫자 집합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . 이 표기법은 실제로 집합 (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] 및 (7, +무한대)의 모든 요소를 포함하는 집합을 의미합니다.
마찬가지로, 서로 다른 숫자 간격과 개별 숫자의 집합을 결합하면 임의의 숫자 집합(실수로 구성됨)을 설명할 수 있습니다. 여기에서 간격, 반 간격, 세그먼트, 개방형 수치 광선 및 수치 광선과 같은 수치 간격 유형이 도입된 이유가 분명해집니다. 이 모든 수치 간격은 개별 숫자 집합에 대한 표기법과 결합되어 다음을 통해 수치 집합을 설명할 수 있습니다. 그들의 노동조합.
숫자 집합을 작성할 때 해당 구성 숫자와 숫자 간격은 오름차순으로 정렬됩니다. 이는 필수 조건은 아니지만 바람직한 조건입니다. 순서가 지정된 숫자 집합이 좌표선에서 상상하고 묘사하기가 더 쉽기 때문입니다. 또한 이러한 레코드는 공통 요소가 없는 숫자 간격을 결합하여 대체될 수 있으므로 공통 요소가 있는 숫자 간격을 사용하지 않습니다. 예를 들어, 공통 요소 [−10, 0] 및 (−5, 3)을 사용하는 숫자 세트의 합집합은 절반 구간 [−10, 3)입니다. 동일한 경계 번호를 갖는 숫자 간격의 합집합에도 동일하게 적용됩니다. 예를 들어 합집합 (3, 5]∪(5, 7]은 집합 (3, 7] 입니다. 이에 대해서는 다음을 배울 때 별도로 설명하겠습니다. 숫자 집합의 교차점과 합집합을 찾습니다.
좌표선의 숫자 집합 표현
실제로는 숫자 세트의 기하학적 이미지(해당 이미지 포함)를 사용하는 것이 편리합니다. 예를 들어, 불평등 해결, ODZ를 고려해야 하는 경우 교차점 및/또는 합집합을 찾기 위해 숫자 집합을 묘사하는 것이 필요합니다. 따라서 좌표선에 숫자 집합을 묘사하는 모든 뉘앙스를 잘 이해하는 것이 유용할 것입니다.
좌표선의 점과 실수 사이에는 일대일 대응이 있는 것으로 알려져 있으며, 이는 좌표선 자체가 모든 실수 집합 R의 기하학적 모델임을 의미합니다. 따라서 모든 실수 집합을 나타내려면 전체 길이를 따라 음영이 있는 좌표선을 그려야 합니다.
그리고 종종 원점과 단위 세그먼트를 표시하지도 않습니다. 
이제 특정 유한 수의 개별 숫자를 나타내는 숫자 집합의 이미지에 대해 이야기해 보겠습니다. 예를 들어 숫자 집합 (−2, −0.5, 1.2)을 묘사해 보겠습니다. 세 개의 숫자 −2, −0.5 및 1.2로 구성된 이 세트의 기하학적 이미지는 해당 좌표를 갖는 좌표선의 세 점이 됩니다. 
일반적으로 실용적인 목적을 위해 도면을 정확하게 수행할 필요는 없습니다. 종종 도식적인 도면이면 충분합니다. 이는 축척을 유지할 필요가 없음을 의미하며, 서로에 대한 점의 상대적인 위치를 유지하는 것만 중요합니다. 좌표가 더 작은 점은 좌표에 있어야 합니다. 더 큰 좌표를 가진 점의 왼쪽. 이전 그림은 개략적으로 다음과 같습니다. 
이와 별도로 모든 종류의 수치 집합 중에서 기하학적 이미지를 나타내는 수치 간격(간격, 반간격, 광선 등)이 구별되며 해당 섹션에서 자세히 살펴보았습니다. 여기서는 반복하지 않겠습니다.
그리고 여러 숫자 간격과 개별 숫자로 구성된 집합의 결합인 숫자 집합의 이미지에 대해서만 생각하면 됩니다. 여기에는 까다로운 것이 없습니다. 이 경우 합집합의 의미에 따라 좌표선에 주어진 숫자 집합 집합의 모든 구성 요소를 표시해야 합니다. 예를 들어 숫자 집합의 이미지를 보여드리겠습니다. (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(로그 2 5, 5)∪(17, +무한대) : 
그리고 묘사된 숫자 세트가 하나 또는 여러 점을 제외하고 전체 실수 세트를 나타내는 매우 일반적인 경우에 대해 생각해 보겠습니다. 이러한 집합은 종종 x≠5 또는 x≠−1, x≠2, x≠3.7 등과 같은 조건으로 지정됩니다. 이러한 경우 기하학적으로 해당 점을 제외한 전체 좌표선을 나타냅니다. 즉, 이러한 점을 좌표선에서 " 뽑아내야" 합니다. 중앙이 비어 있는 원으로 표시됩니다. 명확성을 위해 조건에 해당하는 수치 세트를 설명하겠습니다. 
(이 세트는 본질적으로 존재합니다): 
요약하다. 이상적으로, 이전 단락의 정보는 개별 숫자 간격의 보기와 동일한 숫자 세트의 기록 및 묘사 보기를 형성해야 합니다. 숫자 세트의 기록은 즉시 좌표선에 이미지를 제공해야 하며, 좌표선은 개별 간격과 개별 숫자로 구성된 집합의 결합을 통해 해당 수치 집합을 쉽게 설명할 수 있도록 준비해야 합니다.
서지.
- 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- 모르드코비치 A.G.대수학. 9 등급. 오후 2시 1부. 학생들을 위한 교과서 교육 기관/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2011. - 222 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01752-3.
정의: 자연수는 물체의 개수를 세는 데 사용되는 숫자(1, 2, 3, 4, 5, ...)입니다. [숫자 0은 자연수가 아닙니다. 수학의 역사에서 독자적인 역사를 가지고 있으며 자연수보다 훨씬 늦게 나타났습니다.]
모든 자연수(1, 2, 3, 4, 5, ...)의 집합은 문자 N으로 표시됩니다.
정수
셈하는 법을 배웠다면, 다음으로 해야 할 일은 숫자에 대한 산술 연산을 수행하는 법을 배우는 것입니다. 일반적으로 덧셈과 뺄셈을 먼저 가르칩니다(계산 막대 사용).덧셈을 사용하면 모든 것이 명확해집니다. 두 개의 자연수를 더하면 결과는 항상 동일합니다. 자연수. 그러나 뺄셈에서 우리는 더 작은 것에서 더 큰 것을 빼서 그 결과가 자연수가 된다는 것을 발견합니다. (3 − 5 = 무엇?) 여기서 음수에 대한 아이디어가 작용하게 됩니다. (음수는 더 이상 자연수가 아닙니다)
음수가 발생하는 단계에서 (그리고 그들은 분수보다 늦게 나타났습니다)그들을 말도 안 된다고 생각하는 반대자들도 있었습니다. (손가락에 세 개의 물체가 보일 수 있고, 열 개가 보일 수 있고, 천 개의 물체가 비유로 표현될 수 있습니다. 그리고 "마이너스 세 가방"이 무엇입니까? - 그 당시에는 이미 숫자가 특정 항목과 별도로 자체적으로 사용되었습니다. 그들이 나타내는 숫자는 오늘날보다 이러한 특정 주제에 훨씬 더 가까운 사람들의 마음 속에 여전히 존재했습니다.) 그러나 이의 제기와 마찬가지로 음수를 선호하는 주요 주장은 실습에서 나왔습니다. 음수를 사용하면 편리하게 부채를 계산합니다. 3 − 5 = −2 - 저는 코인 3개를 가지고 있었고 5개를 썼습니다. 이는 코인이 부족할 뿐만 아니라 누군가에게 코인 2개를 빚졌다는 의미입니다. 내가 하나를 반환하면 부채는 −2+1=−1로 변경되지만 음수로 표시될 수도 있습니다.
결과적으로 수학에는 음수가 등장했고 이제 우리는 무한한 수의 자연수(1, 2, 3, 4, ...)를 갖게 되었고 그 반대수(−1, −2, −)도 같은 수로 존재하게 되었습니다. 3, -4, ...). 여기에 0을 더 추가하고 이 모든 숫자의 집합을 정수라고 부르겠습니다.
정의: 자연수, 그 반대수, 0이 정수 집합을 구성합니다. 문자 Z로 지정됩니다.
두 정수는 서로 빼거나 더하여 정수를 만들 수 있습니다.
정수를 더한다는 아이디어는 이미 곱셈의 가능성을 전제로 합니다. 빠른 길추가를 수행합니다. 각각 6kg의 가방 7개가 있다면 6+6+6+6+6+6+6을 더할 수 있습니다(현재 총합에 6을 7번 더함). 또는 이러한 작업의 결과는 항상 다음과 같다는 점을 간단히 기억할 수 있습니다. 42. 6개의 7을 더하는 것과 마찬가지로 7+7+7+7+7+7도 항상 42가 됩니다.
추가 작업의 결과 확실한너 자신과의 숫자 확실한 2부터 9까지의 모든 숫자 쌍에 대한 횟수가 기록되고 구구단이 구성됩니다. 9보다 큰 정수를 곱하기 위해 열 곱셈 규칙이 고안되었습니다. (소수 분수에도 적용되며 다음 기사 중 하나에서 논의됩니다.) 두 정수를 서로 곱하면 결과는 항상 정수가 됩니다.
유리수
이제 분할. 뺄셈이 덧셈의 역연산인 것처럼 우리는 나눗셈을 곱셈의 역연산으로 생각하게 됩니다.6kg짜리 가방 7개가 있을 때 곱셈을 사용하여 가방 내용물의 총 무게가 42kg이라는 것을 쉽게 계산했습니다. 모든 가방의 전체 내용물을 42kg 무게의 하나의 공통 더미에 부었다고 상상해 봅시다. 그러다가 마음이 바뀌어서 내용물을 다시 7개의 봉지에 나누어 담기로 했습니다. 균등하게 분배하면 한 봉지에 몇 킬로그램이 들어갑니까? – 당연히 6.
42kg을 6개의 가방에 분배하고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 여기서 우리는 7kg짜리 봉지 6개를 더미에 부으면 동일한 총 42kg을 얻을 수 있다고 생각할 것입니다. 즉, 42kg을 6개의 가방으로 균등하게 나누면 하나의 가방에 7kg이 들어갑니다.
42kg을 3개의 가방으로 똑같이 나누면 어떨까요? 그리고 여기서도 3을 곱하면 42가 되는 숫자를 선택하기 시작합니다. 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7의 경우와 같은 "표 형식" 값의 경우 나눗셈을 수행합니다. 구구단을 불러와서 간단히 연산할 수 있습니다. 이상 복잡한 사례열 분할이 사용되며 이에 대해서는 다음 기사 중 하나에서 설명합니다. 3과 42의 경우 "선택"하면 3·14 = 42임을 기억할 수 있습니다. 이는 42:3 = 14를 의미합니다. 각 가방에는 14kg이 들어 있습니다.
이제 42kg을 5개의 가방에 똑같이 나누어 보겠습니다. 42:5=?
5 · 8 = 40(적음), 5 · 9 = 45(많음)를 알 수 있습니다. 즉, 우리는 5개의 가방에서 42kg을 얻지 못할 것이며, 가방에 8kg도, 9kg도 얻지 못할 것입니다. 동시에 실제로는 수량(예: 곡물)을 5등분으로 나누는 것을 방해하는 것이 없다는 것이 분명합니다.
정수를 서로 나누는 작업이 반드시 정수가 되는 것은 아닙니다. 이것이 우리가 분수의 개념에 도달한 방법입니다. 42:5 = 42/5 = 8 전체 2/5(분수로 계산하는 경우) 또는 42:5 = 8.4(소수로 계산하는 경우)
공통 및 소수
일반적인 분수 m/n(m은 정수, n은 자연수)은 단순히 숫자 m을 숫자 n으로 나눈 결과를 쓰는 특별한 형식이라고 말할 수 있습니다. (m은 분수의 분자, n은 분모) 예를 들어 숫자 25를 숫자 5로 나눈 결과는 일반 분수 25/5로 쓸 수도 있습니다. 그러나 25를 5로 나눈 결과는 단순히 정수 5로 쓸 수 있기 때문에 이것이 필요하지 않습니다. (그리고 25/5 = 5) 그러나 숫자 25를 숫자 3으로 나눈 결과는 더 이상 정수로 표시될 수 없으므로 여기서는 분수(25:3 = 25/3)를 사용해야 합니다. (전체 부분 25/3 = 8 전체 1/3을 구별할 수 있습니다. 일반 분수와 일반 분수를 사용한 연산은 다음 기사에서 더 자세히 설명합니다.)일반 분수의 좋은 점은 임의의 두 정수를 분수로 나눈 결과를 분수의 분자에 피제수, 분모에 제수를 쓰면 된다는 것입니다. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) 그런 다음 가능하면 분수를 줄이거나 전체 부분을 분리합니다(이러한 작업은 일반 분수를 사용하여 수행됩니다). 다음 기사에서 자세히 설명합니다.) 문제는 일반 분수를 사용하여 산술 연산(덧셈, 뺄셈)을 수행하는 것이 더 이상 정수만큼 편리하지 않다는 것입니다.
쓰기의 편의(한 줄)와 계산의 편의(일반 정수의 경우 열에서 계산 가능성 포함)를 위해 일반 분수 외에도 소수도 발명되었습니다. 소수는 분모가 10, 100, 1000 등으로 특별히 작성된 일반 분수입니다. 예를 들어, 공통 분수 7/10은 소수 분수 0.7과 같습니다. (8/100 = 0.08; 2 전체 3/10 = 2.3; 7 전체 1/1000 = 7,001). 일반 분수를 소수로 변환하거나 그 반대로 변환하는 방법에 대해서는 별도의 기사를 다루겠습니다. 소수를 사용한 작업 - 기타 기사.
모든 정수는 분모가 1인 공통 분수로 표현될 수 있습니다. (5=5/1; −765=−765/1)
정의: 분수로 나타낼 수 있는 모든 숫자를 유리수(rational number)라고 합니다. 유리수 집합은 문자 Q로 표시됩니다.
두 정수를 서로 나눌 때(0으로 나누는 경우 제외) 결과는 항상 다음과 같습니다. 유리수. 일반 분수의 경우 두 개의 분수에 해당 연산을 수행하고 결과적으로 유리수(분수 또는 정수)를 얻을 수 있는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 대한 규칙이 있습니다.
유리수 집합은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기(0으로 나누기 제외)가 가능한 집합 중 첫 번째 집합으로, 결코 이 집합의 경계를 벗어나지 않습니다(즉, 항상 유리수 집합을 얻음) 결과적으로 번호).
다른 숫자는 없는 것 같습니다. 모든 숫자는 합리적입니다. 그러나 이것도 사실이 아니다.
실수
분수 m/n(m은 정수, n은 자연수)로 표현할 수 없는 숫자가 있습니다.이 숫자는 무엇입니까? 우리는 아직 지수 연산을 고려하지 않았습니다. 예를 들어, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125입니다. 곱셈이 덧셈을 쓰고 계산하는 데 더 편리한 형태인 것처럼, 지수화는 같은 수의 곱셈을 특정 횟수만큼 쓰는 형태입니다.
이제 지수화의 역연산인 근 추출을 살펴보겠습니다. 16의 제곱근은 제곱하면 16이 되는 숫자, 즉 숫자 4입니다. 9의 제곱근은 3입니다. 제곱근예를 들어, 5 또는 2는 유리수로 표현될 수 없습니다. (이 진술의 증거, 무리수의 다른 예 및 그 역사는 예를 들어 Wikipedia에서 찾을 수 있습니다.)
9학년 GIA에는 표기법에 근이 포함된 숫자가 유리수인지 무리수인지를 결정하는 과제가 있습니다. 임무는 이 숫자를 근을 포함하지 않는 형식으로 변환하는 것입니다(근의 속성을 사용하여). 뿌리를 제거할 수 없다면 그 숫자는 무리수입니다.
무리수의 또 다른 예는 기하학과 삼각법의 모든 사람에게 친숙한 숫자 π입니다.
정의: 유리수와 무리수를 함께 실수(또는 실수)수라고 합니다. 모든 실수의 집합은 문자 R로 표시됩니다.
유리수와 달리 실수에서는 선이나 평면 위의 두 점 사이의 거리를 표현할 수 있습니다.
직선을 그리고 그 위에 임의의 두 점을 선택하거나 평면에서 임의의 두 점을 선택하면 이 점 사이의 정확한 거리를 유리수로 표현할 수 없는 경우가 있습니다. (예 - 피타고라스 정리에 따르면 다리 1과 1이 있는 직각삼각형의 빗변은 2의 근, 즉 무리수와 같습니다. 여기에는 4차원 셀의 대각선의 정확한 길이도 포함됩니다. (적분 변을 갖는 이상적인 정사각형의 대각선 길이)
그리고 실수 집합에서 선, 평면 또는 공간의 모든 거리는 해당 실수로 표현될 수 있습니다.
정수
자연수 정의는 양의 정수입니다. 자연수는 물체의 개수를 세는 데와 기타 여러 목적으로 사용됩니다. 숫자는 다음과 같습니다.
이것은 자연적인 일련의 숫자입니다.
0은 자연수인가요? 아니요, 0은 자연수가 아닙니다.
자연수는 몇 개인가요? 자연수의 수는 무한합니다.
가장 작은 자연수는 무엇입니까? 하나는 가장 작은 자연수이다.
가장 큰 자연수는 무엇입니까? 자연수는 무한하기 때문에 그것을 명시하는 것은 불가능하다.
자연수의 합은 자연수이다. 따라서 자연수 a와 b를 더하면 다음과 같습니다.
자연수의 곱은 자연수이다. 따라서 자연수 a와 b의 곱은 다음과 같습니다.
c는 항상 자연수이다.
자연수의 차이 항상 자연수가 존재하는 것은 아닙니다. 피감수가 감수보다 크면 자연수의 차이는 자연수이고, 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.
자연수의 몫은 항상 자연수가 아닙니다. 자연수 a와 b에 대해
여기서 c는 자연수이며, 이는 a가 b로 나누어진다는 것을 의미합니다. 이 예에서 a는 피제수, b는 제수, c는 몫입니다.
자연수의 약수는 첫 번째 숫자를 전체로 나누어 떨어지는 자연수입니다.
모든 자연수는 1과 자기 자신으로 나누어집니다.
소수 자연수는 1과 자기 자신으로만 나누어집니다. 여기서는 완전히 나누어졌다는 뜻입니다. 예, 숫자 2; 삼; 5; 7은 1과 자기 자신으로만 나누어질 수 있습니다. 이것은 단순한 자연수입니다.
하나는 소수로 간주되지 않습니다.
1보다 크고 소수가 아닌 수를 합성수라고 합니다. 합성수의 예:
하나는 합성수로 간주되지 않습니다.
자연수 집합은 1, 소수, 합성수로 구성됩니다.
자연수 집합이 표시됩니다. 라틴 문자 N.
자연수의 덧셈과 곱셈의 성질:
덧셈의 교환 성질
덧셈의 결합 성질
(a + b) + c = a + (b + c);
곱셈의 교환법칙
곱셈의 결합 성질
(ab) c = a (bc);
곱셈의 분배법칙
A(b + c) = ab + ac;
정수
정수는 자연수, 0, 자연수의 반대입니다.
자연수의 반대는 음의 정수입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
1; -2; -3; -4;...
정수 집합은 라틴 문자 Z로 표시됩니다.
유리수
유리수는 정수와 분수입니다.
모든 유리수는 주기적인 분수로 표현될 수 있습니다. 예:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
예제에서 모든 정수는 주기가 0인 주기 분수라는 것이 분명합니다.
모든 유리수는 분수 m/n으로 표시될 수 있습니다. 여기서 m은 정수입니다. 숫자, n 자연숫자. 이전 예의 숫자 3,(6)을 이러한 분수로 상상해 봅시다.
숫자- 수세기에 걸쳐 변화해 온 중요한 수학적 개념입니다.
숫자에 대한 첫 번째 아이디어는 사람, 동물, 과일, 다양한 제품 등을 세는 것에서 나왔습니다. 결과는 1, 2, 3, 4, ...와 같은 자연수입니다.
역사적으로 수 개념의 첫 번째 확장은 자연수에 분수를 더한 것입니다.
분수단위의 일부(몫) 또는 여러 개의 동일한 부분을 호출합니다.
지정자: , 여기서 남, 엔- 정수;
분모가 10인 분수 N, 어디 N- 정수라고 합니다. 소수: .
소수점 이하 부분에서는 다음이 특별한 자리를 차지합니다. 주기적 분수: 
- 순수주기 분수, 
- 혼합주기 분수.
수 개념의 추가 확장은 수학 자체(대수학)의 발전으로 인해 발생합니다. 17세기 데카르트. 개념을 소개합니다 음수.
정수(양수와 음수), 분수(양수와 음수), 0을 숫자라고 합니다. 유리수. 모든 유리수는 유한하고 주기적인 분수로 쓰여질 수 있습니다.
지속적으로 변화하는 가변량을 연구하려면 유리수에 무리수를 추가하여 수 개념의 새로운 확장, 즉 실수(실제) 숫자의 도입이 필요하다는 것이 밝혀졌습니다. 무리수무한 소수 비주기 분수입니다.
대수학에서 측정할 수 없는 부분(정사각형의 측면과 대각선)을 측정할 때 무리수가 나타났습니다. 근을 추출할 때 초월적이고 무리수의 예는 π입니다. 이자형 .
숫자 자연스러운(1, 2, 3,...), 전체(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), 합리적인(분수로 표시 가능) 및 비합리적인(분수로 표현할 수 없음 ) 세트를 형성하다 진짜 (진짜)숫자.
복소수는 수학에서 별도로 구별됩니다.
복소수사건의 사각형을 해결하는 문제와 관련하여 발생 디< 0 (здесь 디– 이차 방정식의 판별). 오랫동안 이 숫자는 물리적인 적용을 찾지 못했기 때문에 "가상" 숫자라고 불렸습니다. 그러나 이제는 전기 공학, 유체 및 공기 역학, 탄성 이론 등 다양한 물리학 및 기술 분야에서 매우 널리 사용됩니다.
복소수 다음 형식으로 작성됩니다. z= ㅏ+ 바이. 여기 ㅏ그리고 비 – 실수, ㅏ 나 – 허수 단위, 즉이자형. 나 2 = -1. 숫자 ㅏ~라고 불리는 횡좌표,ㅏ 비 -세로좌표복소수 ㅏ+ 바이. 두 개의 복소수 ㅏ+ 바이그리고 아비호출된다 결합한복소수.
속성:
1. 실수 ㅏ복소수 형식으로도 쓸 수 있습니다. ㅏ+ 0나또는 ㅏ - 0나. 예를 들어 5 + 0 나그리고 5 – 0 나같은 숫자 5를 의미합니다.
2. 복소수 0 + 바이~라고 불리는 순전히 상상의 숫자. 기록 바이 0과 같다는 뜻 + 바이.
3. 두 개의 복소수 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디다음과 같은 경우 동등한 것으로 간주됩니다. ㅏ= 씨그리고 비= 디. 그렇지 않으면 복소수같지 않다.
행위:
덧셈. 복소수의 합 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디복소수라고 합니다( ㅏ+ 씨) + (비+ 디)나. 따라서, 복소수를 더할 때 가로 좌표와 세로 좌표가 별도로 추가됩니다.
빼기. 두 복소수의 차이 ㅏ+ 바이(감소) 그리고 씨+ 디(감수)는 복소수( a~c) + (b~d)나. 따라서, 두 개의 복소수를 뺄 때 가로좌표와 세로좌표는 별도로 뺍니다.
곱셈. 복소수의 곱 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디복소수라고 합니다:
(AC-BD) + (기원 후+ 기원전)나. 이 정의는 다음 두 가지 요구 사항을 따릅니다.
1) 숫자 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디대수적 이항식처럼 곱해야 합니다.
2) 번호 나주요 속성은 다음과 같습니다. 나 2 = –1.
예 ( a+바이)(아비)=a 2 +b 2 . 따라서, 일하다두 개의 켤레 복소수는 양의 실수와 같습니다.
분할. 복소수 나누기 ㅏ+ 바이(나누어질 수 있는) 다른 사람에 의해 씨+ 디 (분할기) - 세 번째 숫자를 찾는다는 뜻 이자형+ 내가(채팅), 제수를 곱하면 씨+ 디, 배당 결과 ㅏ+ 바이. 제수가 0이 아니면 나누기는 항상 가능합니다.
예 찾기 (8 + 나) : (2 – 3나) .
해결책: 이 비율을 분수로 다시 작성해 보겠습니다.
분자와 분모에 2 + 3을 곱합니다. 나모든 변환을 수행한 후 다음을 얻습니다.
작업 1: z 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 1 z에 2
제곱근 추출: 방정식을 풀어보세요 엑스 2 = -ㅏ. 이 방정식을 풀려면우리는 새로운 유형의 숫자를 사용해야 합니다. 허수 . 따라서, 상상의 번호를 불렀다 두 번째 거듭제곱이 음수인 경우. 허수의 정의에 따라 우리는 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 상상의 단위:
그런 다음 방정식에 대해 엑스 2 = – 25 우리는 2를 얻습니다 상상의뿌리:
작업 2: 방정식을 푼다:
1) × 2 = – 36; 2) 엑스 2 = – 49; 3) 엑스 2 = – 121
복소수의 기하학적 표현. 실수는 수직선의 점으로 표시됩니다.
여기에 요점이 있습니다 ㅏ숫자 -3, 점을 의미합니다. 비-번호 2, 그리고 영형-영. 대조적으로, 복소수는 좌표 평면의 점으로 표현됩니다. 이를 위해 두 축의 축척이 동일한 직사각형(직교) 좌표를 선택합니다. 그런 다음 복소수 ㅏ+ 바이점으로 표시됩니다 가로좌표가 있는 Pㅏ 그리고 세로좌표비. 이 좌표계를 복잡한 평면 .
기준 치수 복소수는 벡터의 길이입니다. OP, 좌표의 복소수를 나타냄( 포괄적인) 비행기. 복소수의 계수 ㅏ+ 바이표시된 | ㅏ+ 바이| 또는) 편지 아르 자형그리고 다음과 같습니다:
켤레 복소수는 동일한 모듈러스를 갖습니다.
도면을 그리는 규칙은 직교 좌표계의 도면과 거의 동일합니다. 축을 따라 치수를 설정해야 합니다.
이자형 
실제 축을 따른 단위; Rez
허수 축을 따른 허수 단위. 나는 z
작업 3. 복소 평면에 다음 복소수를 구성합니다. , , , , , , ,
1. 숫자는 정확하고 대략적입니다.우리가 실제로 접하는 숫자는 두 가지 종류가 있습니다. 일부는 수량의 실제 값을 제공하고 다른 일부는 대략적인 값만 제공합니다. 첫 번째는 정확하고 두 번째는 대략적인 것입니다. 대부분의 경우 정확한 숫자 대신 대략적인 숫자를 사용하는 것이 편리합니다. 특히 많은 경우 정확한 숫자를 찾는 것이 전혀 불가능하기 때문입니다.
따라서 한 학급에 29명의 학생이 있다고 하면 29라는 숫자가 정확합니다. 모스크바에서 키예프까지의 거리가 960km라고 말하면 여기서 960이라는 숫자는 대략적인 수치입니다. 왜냐하면 한편으로는 우리의 측정 장비가 절대적으로 정확하지 않고 다른 한편으로는 도시 자체가 어느 정도 정확하기 때문입니다.
대략적인 숫자를 사용한 작업의 결과도 대략적인 숫자입니다. 정확한 숫자에 대해 일부 연산(나누기, 근 추출)을 수행하면 대략적인 숫자를 얻을 수도 있습니다.
대략적인 계산 이론은 다음을 허용합니다.
1) 데이터의 정확성 정도를 알고 결과의 정확성 정도를 평가합니다.
2) 필요한 결과의 정확성을 보장하기에 충분한 적절한 정확도로 데이터를 수집합니다.
3) 계산 프로세스를 합리화하여 결과의 정확성에 영향을 미치지 않는 계산에서 해방됩니다.
2. 반올림.대략적인 숫자를 얻는 한 가지 소스는 반올림입니다. 대략적인 숫자와 정확한 숫자는 모두 반올림됩니다.
주어진 숫자를 특정 숫자로 반올림하는 것을 새 숫자로 바꾸는 것을 이 숫자의 오른쪽에 쓰여진 모든 숫자를 버리거나 0으로 대체하여 주어진 숫자에서 얻습니다. 이러한 0은 일반적으로 밑줄이 그어지거나 더 작게 표시됩니다. 반올림된 숫자가 반올림되는 숫자에 최대한 가까워지도록 하려면 다음 규칙을 사용해야 합니다. 숫자를 특정 숫자 중 하나로 반올림하려면 이 숫자의 숫자 뒤의 모든 숫자를 버리고 다음 숫자로 바꿔야 합니다. 전체 숫자에 0이 있습니다. 다음 사항이 고려됩니다.
1) 버린 숫자 중 첫 번째(왼쪽)가 5보다 작으면 마지막 남은 숫자는 변경되지 않습니다(내림).
2) 버려야 할 첫 번째 숫자가 5보다 크거나 5와 같으면 남은 마지막 숫자는 1만큼 증가합니다(초과분으로 반올림).
이를 예시로 보여드리겠습니다. 둥근:
a) 최대 10분의 12.34;
b) 최대 1/100 3.2465; 1038.785;
c) 최대 1/1000 3.4335.
d) 최대 1000 12375; 320729.
a) 12.34 ≒ 12.3;
b) 3.2465 ≒ 3.25; 1038.785 ≒ 1038.79;
c) 3.4335 ≒ 3.434.
d) 12375 ≒ 12,000; 320729 ≒ 321000.
3. 절대 및 상대 오류.정확한 숫자와 대략적인 값의 차이를 대략적인 숫자의 절대 오차라고 합니다. 예를 들어, 정확한 숫자 1.214를 가장 가까운 10분의 1로 반올림하면 대략적인 숫자 1.2가 됩니다. 안에 이 경우대략적인 숫자 1.2의 절대 오차는 1.214 - 1.2입니다. 즉, 0.014.
그러나 대부분의 경우 고려 중인 값의 정확한 값은 알 수 없으며 대략적인 값일 뿐입니다. 그러면 절대오차는 알 수 없습니다. 이 경우 초과하지 않는 한도를 표시해 주십시오. 이 숫자를 제한 절대 오차라고 합니다. 그들은 숫자의 정확한 값은 한계 오류보다 작은 오류를 가진 대략적인 값과 같다고 말합니다. 예를 들어, 숫자 23.71은 근사치의 절대 오차가 0.0025이고 0.01보다 작기 때문에 정확도가 0.01인 숫자 23.7125의 대략적인 값입니다. 여기서 제한 절대 오류는 0.01 *입니다.
대략적인 숫자의 경계 절대 오차 ㅏ기호 Δ로 표시 ㅏ. 기록
엑스≈ㅏ(±Δ ㅏ)
다음과 같이 이해해야 합니다: 수량의 정확한 값 엑스숫자 사이에 있습니다 ㅏ– Δ ㅏ그리고 ㅏ+ Δ ㅏ, 각각 하한 및 상한이라고 합니다. 엑스 NG를 나타냄 엑스 VG 엑스.
예를 들어, 엑스≒ 2.3(±0.1), 그 다음에는 2.2<엑스< 2,4.
그 반대의 경우 7.3인 경우< 엑스< 7,4, то엑스≒ 7.35(±0.05). 절대 또는 한계 절대 오차는 수행된 측정의 품질을 특성화하지 않습니다. 동일한 절대오차라도 측정값을 표현하는 개수에 따라 유의미한 것으로 간주될 수도 있고 중요하지 않은 것으로 간주될 수도 있습니다. 예를 들어 두 도시 사이의 거리를 1km의 정확도로 측정하는 경우 이러한 정확도는 이 변경에 충분하지만 동시에 같은 거리에 있는 두 집 사이의 거리를 측정할 때 이러한 정확도는 다음과 같습니다. 받아들일 수 없다. 결과적으로 수량의 근사값의 정확도는 절대 오차의 크기뿐만 아니라 측정된 수량의 값에도 따라 달라집니다. 따라서 상대 오차는 정확도의 척도입니다.
상대 오차는 절대 오차와 근사값의 비율입니다. 근사치에 대한 제한 절대 오차의 비율을 제한 상대 오차라고 합니다. 그들은 그것을 다음과 같이 지정합니다: . 상대 및 한계 상대 오류는 일반적으로 백분율로 표시됩니다. 예를 들어, 측정 결과 거리가 다음과 같은 것으로 나타났다면 엑스두 지점 사이의 거리가 12.3km를 초과하고 12.7km 미만인 경우 이 두 숫자의 산술 평균이 대략적인 값으로 사용됩니다. 그 절반 합계이면 한계 절대 오차는 이 숫자의 절반 차이와 같습니다. 이 경우 엑스≒ 12.5(±0.2). 여기서 제한 절대 오차는 0.2km이고 제한 상대 오차는 0.2km입니다.
