실제로 나누지 않고도 주어진 숫자가 다른 숫자로 나누어지는지 또는 나누어지지 않는지 알아내는 것이 때때로 쉬운 기호가 있습니다.
2로 나누어지는 수를 이라고 한다. 심지어. 숫자 0은 짝수를 의미하기도 합니다. 다른 모든 번호는 호출됩니다. 이상한:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - 짝수,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... -홀수.
분열의 징후
2로 나누어지는지 테스트. 마지막 숫자가 짝수이면 숫자는 2로 나누어집니다. 예를 들어, 숫자 4376은 마지막 숫자(6)가 짝수이므로 2로 나눌 수 있습니다.
3으로 나누어지는지 테스트. 자릿수의 합이 3으로 나누어지는 숫자만 3으로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 10815는 자릿수 합 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15가 3으로 나누어지기 때문에 3으로 나누어집니다.
4로 나누어지는지 테스트합니다.. 마지막 두 자리가 0이거나 4로 나누어지는 숫자를 형성하는 경우 숫자는 4로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 244500은 두 개의 0으로 끝나기 때문에 4로 나누어집니다. 숫자 14708과 7524는 이 숫자의 마지막 두 자리(08과 24)가 4로 나누어지기 때문에 4로 나누어집니다.
5로 나누어지는지 테스트합니다.. 0이나 5로 끝나는 숫자는 5로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 320은 마지막 숫자가 0이므로 5로 나누어집니다.
6으로 나누어지는지 테스트. 숫자가 2와 3으로 나누어지면 6으로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 912는 2와 3으로 나누어지기 때문에 6으로 나누어집니다.
8로 나누어지는지 테스트합니다.. 8로 나눈 숫자는 마지막 세 자리가 0이거나 8로 나누어지는 숫자를 형성하는 숫자입니다. 예를 들어 숫자 27000은 3개의 0으로 끝나기 때문에 8로 나누어집니다. 숫자 63128은 마지막 세 자리가 8로 나누어지는 숫자(128)를 형성하기 때문에 8로 나누어집니다.
9로 나누어지는 테스트. 자릿수의 합이 9로 나누어지는 숫자만 9로 나누어집니다. 예를 들어 숫자 2637은 자릿수 합 2 + 6 + 3 + 7 = 18이 9로 나누어지기 때문에 9로 나누어집니다.
10, 100, 1000 등으로 나누어지는 기호 0 1개, 0 2개, 0 3개 등으로 끝나는 숫자는 10, 100, 1000 등으로 나뉩니다. 예를 들어, 숫자 3800은 10과 100으로 나누어집니다.
6학년 수학은 가분성의 개념과 가분성의 기호를 공부하는 것부터 시작됩니다. 이는 종종 다음 숫자에 의한 나눗셈 기준으로 제한됩니다.
- ~에 2 : 마지막 숫자는 0, 2, 4, 6 또는 8이어야 합니다.
- ~에 3 : 숫자의 합은 3으로 나누어야 합니다.
- ~에 4 : 마지막 두 자리 숫자는 4로 나누어야 합니다.
- ~에 5 : 마지막 숫자는 0 또는 5여야 합니다.
- ~에 6 : 숫자는 2와 3으로 나누어지는 부호가 있어야 합니다.
- 다음에 대한 가분성 테스트 7 종종 놓쳤습니다.
- 그들은 또한 나눗셈 테스트에 관해 거의 이야기하지 않습니다. 8 , 2와 4의 배수 기준과 유사하지만. 숫자가 8로 나누어지기 위해서는 세 자리 어미가 8로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
- 다음에 대한 가분성 테스트 9 누구나 알고 있습니다. 숫자의 자릿수 합은 9로 나누어야합니다. 그러나 수비학자가 사용하는 날짜가 포함 된 모든 종류의 트릭에 대한 면역력이 개발되지는 않습니다.
- 다음에 대한 가분성 테스트 10 , 아마도 가장 간단한 것입니다. 숫자는 0으로 끝나야 합니다.
- 때때로 6학년 학생들은 나눗셈 시험에 관해 다음과 같이 배웁니다. 11 . 결과에서 짝수 자리에 있는 숫자를 더하고, 홀수 자리에 있는 숫자를 빼야 합니다. 결과가 11로 나누어지면 숫자 자체도 11로 나누어집니다.
숫자를 보자. 우리는 그것을 각각 3자리 블록으로 나누고(가장 왼쪽 블록은 1자리 또는 2자리를 포함할 수 있음) 이 블록을 교대로 더하거나 뺍니다.
결과가 7, 13(또는 11)으로 나누어지면 숫자 자체도 7, 13(또는 11)으로 나누어집니다.
여러 수학적 트릭과 마찬가지로 이 방법은 7x11x13 = 1001이라는 사실을 기반으로 합니다. 그러나 나눗셈 자체 없이는 나눗셈 문제도 해결할 수 없는 세 자리 숫자로 무엇을 해야 할까요?
보편적인 나눗셈 테스트를 사용하면 숫자가 7 및 기타 "불편한" 숫자로 나누어지는지 여부를 결정하는 상대적으로 간단한 알고리즘을 구성하는 것이 가능합니다.
7의 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
숫자가 7로 나누어지는지 확인하려면 숫자의 마지막 숫자를 버리고 결과 결과에서 이 숫자를 두 번 빼야 합니다. 결과가 7로 나누어지면 숫자 자체도 7로 나누어집니다.
예시 1:
238은 7로 나눌 수 있나요?
23-8-8 = 7. 따라서 숫자 238은 7로 나누어집니다.
실제로 238 = 34x7
이 작업은 반복적으로 수행할 수 있습니다.
예 2:
65835는 7로 나눌 수 있나요?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63은 7로 나눌 수 있습니다(이 사실을 눈치채지 못했다면 한 단계 더 나아갈 수 있었습니다: 6-3-3 = 0이고 0은 확실히 7로 나눌 수 있습니다).
이는 숫자 65835가 7로 나누어진다는 것을 의미합니다.
보편적인 가분성 기준을 바탕으로 4와 8로 나누어지는 기준을 개선하는 것이 가능합니다.
4의 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
단위 수의 절반에 십의 수를 더한 값이 짝수이면 그 수는 4로 나누어집니다.
실시예 3
52는 4로 나누어 떨어지는 숫자인가요?
5+2/2 = 6, 짝수이므로 4로 나누어진다는 의미입니다.
실시예 4
134는 4로 나누어 떨어지는 숫자인가요?
3+4/2 = 5, 홀수이므로 134는 4로 나누어지지 않습니다.
8의 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
백의 수의 두 배, 십의 수, 단위 수의 절반을 더하고 그 결과가 4로 나누어지면 숫자 자체는 8로 나누어집니다.
실시예 5
512는 8로 나눌 수 있나요?
5*2+1+2/2 = 12, 숫자는 4로 나누어집니다. 이는 512가 8로 나누어진다는 의미입니다.
실시예 6
1984는 8로 나누어 떨어지는 숫자인가요?
9*2+8+4/2 = 28, 숫자는 4로 나누어집니다. 이는 1984가 8로 나누어진다는 의미입니다.
12로 나누어지는 테스트- 이것은 3과 4에 의한 나눗셈 기호의 합집합입니다. 동일소인 p와 q의 곱인 모든 n에 대해서도 동일하게 작동합니다. 숫자가 n으로 나누어지려면(gcd(p,q)=1인 pq,actih의 곱과 동일) p와 q 모두로 나누어져야 합니다.
하지만 조심하세요! 복합 나눗셈 기준이 작동하려면 숫자의 인수가 서로소여야 합니다. 2와 4로 나누어 떨어지는 수는 8로 나누어 떨어진다고 말할 수 없습니다.
13으로 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
숫자가 13으로 나누어지는지 확인하려면 숫자의 마지막 숫자를 버리고 결과 결과에 이 숫자를 4번 더해야 합니다. 결과가 13으로 나누어지면 숫자 자체도 13으로 나누어집니다.
실시예 7
65835는 8로 나눌 수 있나요?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
숫자 43은 13으로 나누어지지 않습니다. 즉, 숫자 65835는 13으로 나누어지지 않습니다.
실시예 8
715는 13으로 나눌 수 있나요?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13은 13으로 나누어진다. 즉, 715는 13으로 나누어진다는 뜻이다.
14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28로 나누어지는 징후소수의 거듭제곱이 아닌 기타 합성수는 12의 나눗셈 테스트와 유사합니다. 우리는 이 숫자의 서로소 인수에 의한 나눗셈을 확인합니다.
- 14인용: 2인용 및 7인용;
- 15인용: 3인용 및 5인용;
- 18일: 2일과 9일;
- 21일: 3일과 7일;
- 20의 경우: 4와 5로 계산(즉, 마지막 숫자는 0이어야 하고 끝에서 두 번째 숫자는 짝수여야 함)
- 24인용: 3인용 및 8인용;
- 26일: 2일과 13일;
- 28일: 4일과 7일.
숫자의 끝자리 4자리가 16으로 나누어 떨어지는지 확인하는 대신 십의 자리의 10배인 일의 자리, 백의 네 자리, 그리고
천 자리의 8배를 곱하고 그 결과가 16으로 나누어지는지 확인합니다.
실시예 9
1984는 16으로 나누어 떨어지는 숫자인가요?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30은 16으로 나누어지지 않습니다. 이는 1984가 16으로 나누어지지 않음을 의미합니다.
실시예 10
1526은 16으로 나눌 수 있나요?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48은 16으로 나누어지지 않습니다. 즉, 1526은 16으로 나누어지지 않습니다.
17에 의한 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
숫자가 17로 나누어지는지 확인하려면 숫자의 마지막 숫자를 버리고 결과 결과에서 이 숫자를 5번 빼야 합니다. 결과가 13으로 나누어지면 숫자 자체도 13으로 나누어집니다.
실시예 11
59772는 17로 나눌 수 있나요?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0은 17로 나누어진다. 즉, 59772는 17로 나누어진다는 뜻이다.
실시예 12
4913은 17로 나눌 수 있나요?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17은 17로 나누어진다. 즉, 4913은 17로 나누어진다는 뜻이다.
19에 의한 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
숫자가 19로 나누어 떨어지는지 확인하려면 마지막 숫자를 버리고 남은 숫자에 마지막 숫자의 두 배를 더해야 합니다.
실시예 13
9044는 19로 나눌 수 있나요?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19는 19로 나누어진다. 즉, 9044는 19로 나누어진다는 뜻이다.
23에 의한 나눗셈 테스트가 개선되었습니다.
숫자가 23으로 나누어 떨어지는지 확인하려면 마지막 숫자를 버리고 남은 숫자에 7배를 늘린 마지막 숫자를 더해야 합니다.
실시예 14
숫자 208012는 23으로 나눌 수 있습니까?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
실제로 253이 23이라는 것을 이미 알 수 있습니다.
간단한 문제를 생각해 봅시다.한 농장에서는 오전에 846마리를 수거했습니다. 닭고기 달걀. 이곳은 공동 농장으로 9가구가 부양하고 있었습니다. 모든 계란을 균등하게 나누어야합니다. 숫자 846이 나머지 없이 9로 나누어지는지 여부를 나누지 않고 확인하는 방법
먼저 이 숫자를 숫자로 나누어 보겠습니다. 846은 8백, 4십, 6일로 이루어져 있습니다.
수백 명을 다루기 시작합시다. 9개의 바구니에 계란 100개를 넣으면 계란이 1개 더 남게 됩니다. 즉, 계란 100개마다 계란이 1개 있습니다. 계란이 800개 있으므로 계란은 8개가 남게 됩니다.
이제 수십 가지를 다루겠습니다. 9개의 바구니에 10개의 계란을 넣으면 10개마다 1개의 계란이 더 남게 됩니다. 우리 숫자에는 10이 4개 있으므로 계란은 4개 남게 됩니다.
한 범주에 있던 계란 6개를 9개의 바구니에 담을 수 있는 방법이 없으므로 계란도 그대로 남게 됩니다.
이제 남은 계란을 모두 추가해 보겠습니다. 100개에서 8개, 10개에서 4개, 10개에서 6개, 총 8+4+6=18개의 계란입니다. 18개의 계란을 9개의 바구니로 나눌 수 있으며, 여분의 계란은 하나도 남지 않습니다. 따라서 846개의 계란을 9개의 바구니에 똑같이 나눌 수 있습니다. 이는 숫자 846이 나머지 없이 9로 나누어진다는 것을 의미합니다.
9로 나누어지는 테스트
이제 숫자를 9로 나누는 테스트를 공식화할 수 있습니다.
- 숫자의 자릿수 합이 나머지 없이 9로 나누어지면 숫자 자체는 9로 나누어집니다. 숫자의 자릿수 합이 나머지 없이 9로 나누어지지 않으면 숫자 자체는 9로 나누어지지 않습니다. 나머지 없이 9로 나누어진다.
여기 몇 가지 예가 있어요.
숫자 76,005는 구성 숫자의 합인 7+6+0+0+5=18이 나머지 없이 9로 나누어지기 때문에 나머지 없이 9로 나누어집니다.
숫자 51,734는 구성 숫자의 합인 5+1+7+3+4=20이 나머지 없이 9로 나누어지지 않기 때문에 나머지 없이 9로 나누어지지 않습니다.
3으로 나누어지는지 테스트
비슷한 방식으로 숫자가 3으로 나누어진다는 신호를 얻습니다.
100을 3으로 나누면 1이 남습니다. 10을 3으로 나누면 단위가 남습니다. 우리는 9개의 상황에 대한 사본을 얻습니다.
- 숫자의 자릿수 합이 나머지 없이 3으로 나누어지면 숫자 자체는 3으로 나누어집니다. 숫자의 자릿수 합이 나머지 없이 3으로 나누어지지 않으면 숫자 자체는 3으로 나누어지지 않습니다. 나머지 없이 3으로 나누어진다.
숫자 76,005는 구성 숫자의 합인 7+6+0+0+5=18이 나머지 없이 3으로 나누어지기 때문에 나머지 없이 3으로 나누어집니다.
숫자 51,734는 구성 숫자의 합인 5+1+7+3+4=20이 나머지 없이 3으로 나누어지지 않기 때문에 나머지 없이 3으로 나누어지지 않습니다.
"3에 의한 가분성 테스트"라는 주제를 고려해 보겠습니다. 부호의 공식화부터 시작하여 정리를 증명해 보겠습니다. 그런 다음 일부 표현식으로 값이 제공되는 숫자를 3개로 나누는 방법을 설정하는 주요 접근 방식을 고려해 보겠습니다. 이 섹션에서는 3의 나눗셈 테스트를 사용하여 주요 문제 유형에 대한 솔루션 분석을 제공합니다.
3으로 나누어지는지 테스트, 예
3의 나눗셈 테스트는 간단하게 공식화됩니다. 즉, 숫자의 합이 3으로 나누어지면 정수는 나머지 없이 3으로 나누어집니다. 정수를 구성하는 모든 자릿수의 총합이 3으로 나누어지지 않으면 원래 숫자 자체도 3으로 나누어지지 않습니다. 덧셈을 사용하면 정수에 포함된 모든 숫자의 합을 구할 수 있습니다. 자연수.
이제 3의 나눗셈 테스트를 사용하는 예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
숫자 42는 3으로 나눌 수 있나요?
해결책
이 질문에 답하기 위해 숫자를 구성하는 모든 숫자(42: 4 + 2 = 6)를 더합니다.
답변:가분성 테스트에 따르면 원래 숫자에 포함된 숫자의 합이 3으로 나누어지므로 원래 숫자 자체도 3으로 나누어집니다.
숫자 0이 3으로 나누어지는지 여부에 대한 질문에 대답하려면 0이 모든 정수로 나누어지는 분할 가능성 속성이 필요합니다. 0은 3으로 나눌 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.
3의 나눗셈 검정을 여러 번 사용해야 하는 문제가 있습니다.
실시예 2
그 숫자를 보여주세요. 907 444 812 3으로 나눌 수 있습니다.
해결책
원래 숫자를 구성하는 모든 숫자의 합을 구해 보겠습니다. 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . 이제 숫자 39가 3으로 나누어지는지 확인해야 합니다. 다시 한 번 이 숫자를 구성하는 숫자를 더합니다. 3 + 9 = 12 . 최종 답을 얻으려면 숫자를 다시 더하면 됩니다. 1 + 2 = 3 . 숫자 3은 3으로 나누어집니다.
답변:원래 번호 907 444 812 3으로도 나누어진다.
실시예 3
숫자는 3으로 나눌 수 있습니까? − 543 205 ?
해결책
원래 숫자를 구성하는 숫자의 합을 계산해 보겠습니다. 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
이제 결과 숫자의 자릿수 합계를 계산해 보겠습니다. 1 + 9 = 10 .
최종 답변을 얻기 위해 다음을 하나 더 추가한 결과를 찾습니다. 1 + 0 = 1
.
답변: 1은 3으로 나누어지지 않습니다. 즉, 원래 숫자는 3으로 나누어지지 않습니다.
주어진 숫자가 나머지 없이 3으로 나누어지는지 확인하기 위해 주어진 숫자를 3으로 나눌 수 있습니다. 숫자를 나누면 − 543 205 위에서 논의한 예에서 열이 3개인 경우 답에 정수를 얻지 못할 것입니다. 이는 다음을 의미하기도 합니다. − 543 205 나머지 없이 3으로 나눌 수 없습니다.
3에 의한 나눗셈의 증명
여기에는 숫자를 숫자로 분해하고 10, 100 등을 곱하는 규칙 등의 기술이 필요합니다. 증명을 수행하려면 다음 형식의 숫자 a에 대한 표현을 얻어야 합니다. , 어디 n , n − 1 , … , a 0- 숫자 표기에서 왼쪽에서 오른쪽으로 위치한 숫자입니다.
다음은 특정 숫자를 사용하는 예입니다. 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.
일련의 등식을 적어 보겠습니다. 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1,000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 등.
이제 10, 100, 1000 대신 이러한 등식을 이전에 주어진 등식으로 대체해 보겠습니다. a = an 10 n + an n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.
이것이 우리가 평등에 도달한 방법입니다:
a = an 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = an 33. . . . 3 3 + 1 + … + 2 33 3 + 1 + 1 3 3 + 1 + 0
이제 결과 동등성을 다음과 같이 다시 작성하기 위해 자연수의 덧셈 속성과 곱셈 속성을 적용해 보겠습니다.
a=an · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . ++a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3안+안+. . . ++ 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3n + . . . ++ 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 ++ an + . . . + 2 + 1 + 0 = = 3 33 . . . 3 · an + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 ++ + an + . . . + 2 + 1 + 0
식 a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0은 원래 숫자 a의 자릿수의 합입니다. 이에 대한 새로운 짧은 표기법을 소개하겠습니다. ㅏ. 우리는 다음을 얻습니다: A = an + . . . +a2+a1+a0.
이 경우 숫자의 표현은 a = 3 33입니다. . . 3n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A는 3의 나눗셈 검정을 증명하는 데 사용하기 편리한 형식을 취합니다.
정의 1
이제 다음과 같은 가분성의 속성을 기억해 보세요.
- 정수 a가 정수로 나누어지기 위한 필요충분조건
b 는 숫자 a의 모듈러스를 숫자 b의 모듈러스로 나누는 조건입니다. - 평등하다면 a = s + 티하나를 제외한 모든 항은 어떤 정수 b로 나누어질 수 있으며, 그러면 이 항도 b로 나누어질 수 있습니다.
3에 의한 가분성 검정을 증명하기 위한 기반을 마련했습니다. 이제 이 특징을 정리의 형태로 공식화하고 증명해 보겠습니다.
정리 1
정수 a가 3으로 나누어진다고 주장하려면 숫자 a의 표기법을 구성하는 숫자의 합이 3으로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
증거 1
값을 취하면 a = 0, 그렇다면 정리는 분명합니다.
0이 아닌 숫자 a를 취하면 숫자 a의 모듈러스는 자연수가 됩니다. 이를 통해 다음과 같은 평등을 작성할 수 있습니다.
a = 3 · 33 . . . 3n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , 여기서 A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - 숫자 a의 자릿수 합계.
정수의 합과 곱은 정수이므로
33. . . 3n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1은 정수이고, 가분성의 정의에 따라 곱은 3 · 33입니다. . . 3n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1은 다음과 같이 나누어집니다. 3
어떠한 것도 0 , 1 , … , n.
숫자의 합을 합하면 ㅏ로 나눈 3 , 그건, ㅏ로 나눈 3 , 그러면 정리 이전에 표시된 가분성 속성으로 인해 a는 다음과 같이 나뉩니다. 3 , 따라서, ㅏ로 나눈 3 . 따라서 충분성이 입증되었습니다.
만약에 ㅏ로 나눈 3
, 그러면 a는 다음으로도 나누어질 수 있습니다. 3
, 동일한 분할 가능성으로 인해 숫자는 다음과 같습니다.
ㅏ로 나눈 3
즉, 숫자의 자릿수의 합입니다. ㅏ로 나눈 3
. 필요성이 입증되었습니다.
기타 나눗셈의 경우 3
정수는 해당 변수의 특정 값이 주어지면 변수를 포함하는 일부 표현식의 값으로 지정될 수 있습니다. 따라서 일부 자연수 n에 대해 표현 4n + 3n - 1의 값은 자연수입니다. 이 경우에는 직접 나누기 3 숫자가 다음으로 나누어지는지 여부에 대한 질문에 답할 수 없습니다. 3 . 에 대한 가분성 검정 적용 3 어려울 수도 있습니다. 이러한 문제의 예를 살펴보고 이를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.
이러한 문제를 해결하기 위해 여러 가지 접근 방식을 사용할 수 있습니다. 그 중 하나의 본질은 다음과 같습니다.
- 우리는 원래 표현을 여러 요소의 곱으로 표현합니다.
- 요인 중 적어도 하나를 다음과 같이 나눌 수 있는지 알아보세요. 3 ;
- 나눗셈 속성에 기초하여 우리는 전체 제품이 다음으로 나누어진다는 결론을 내립니다. 3 .
문제를 풀 때 종종 뉴턴의 이항 공식을 사용해야 합니다.
실시예 4
표현식 4n + 3n - 1의 값은 다음으로 나누어질 수 있습니까? 3 어떤 자연 속에서도 N?
해결책
평등 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 을 적어 보겠습니다. 뉴턴의 이항 공식을 적용해 보겠습니다.
4n + 3n - 4 = (3 + 1) n + 3n - 4 = = (Cn 0 3n + Cn 1 3n - 1 1 + . . . + + Cn n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3
이제 꺼내보자 3 괄호 외부: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . 결과 제품에는 승수가 포함됩니다. 3 이고, 자연수 n의 괄호 안의 값은 자연수를 나타낸다. 이를 통해 결과 제품과 원래 표현식 4n + 3n - 1이 다음으로 나누어진다고 주장할 수 있습니다. 3 .
답변:예.
수학적 귀납법을 사용할 수도 있습니다.
실시예 5
임의의 자연수에 대해 수학적 귀납법을 사용하여 증명하십시오.
n 표현식 n n 2 + 5의 값은 다음과 같이 나뉩니다. 3
.
해결책
다음과 같은 경우에 n·n 2 + 5라는 표현의 값을 구해 봅시다. n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6은 다음으로 나누어진다. 3 .
이제 표현식 n n 2 + 5의 값이 다음과 같다고 가정합니다. n = k로 나눈 3 . 사실, 우리는 k k 2 + 5라는 표현으로 작업해야 할 것입니다. 3 .
k k 2 + 5가 다음으로 나누어진다는 점을 고려하면 3 , 우리는 표현식 n·n 2 + 5의 값이 다음과 같다는 것을 보여줄 것입니다. n = k + 1로 나눈 3 즉, k + 1 k + 1 2 + 5가 다음으로 나누어진다는 것을 보여줄 것입니다. 3 .
변환을 수행해 보겠습니다.
k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3k 2 + 3k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3k 2 + k + 2
k · (k 2 + 5) 표현식은 다음과 같이 나뉩니다. 3 그리고 표현식 3k 2 + k + 2는 다음과 같이 나뉩니다. 3 이므로 그 합계는 다음과 같이 나뉩니다. 3 .
그래서 우리는 n·(n 2 + 5)라는 표현의 값이 다음과 같이 나누어진다는 것을 증명했습니다. 3 임의의 자연수 n에 대해.
이제 가분성을 증명하는 방법을 살펴보겠습니다. 3 , 이는 다음 동작 알고리즘을 기반으로 합니다.
- 우리는 n = 3 m, n = 3 m + 1에 대해 변수 n을 사용하여 이 표현식의 값을 보여줍니다. n = 3m + 2, 어디 중– 다음으로 나눌 수 있는 임의의 정수 3 ;
- 우리는 표현식이 다음으로 나누어질 것이라고 결론을 내립니다. 3 임의의 정수 n에 대해.
사소한 세부 사항에 주의가 산만해지지 않도록 이 알고리즘을 이전 예제의 솔루션에 적용하겠습니다.
실시예 6
n·(n 2 + 5)가 다음으로 나누어진다는 것을 보여라. 3 임의의 자연수 n에 대해.
해결책
그런 척하자 n = 3m. 그런 다음: n · n 2 + 5 = 3m · 3m 2 + 5 = 3m · 9m 2 + 5. 우리가 받은 제품에는 승수가 포함되어 있습니다. 3 따라서 제품 자체는 다음과 같이 나뉩니다. 3 .
그런 척하자 n = 3m + 1. 그 다음에:
n · n 2 + 5 = 3m · 3m 2 + 5 = (3m + 1) · 9m 2 + 6m + 6 = = 3m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2m + 2)
우리가 받은 제품은 다음과 같이 구분됩니다. 3 .
n = 3m + 2라고 가정해 봅시다. 그 다음에:
n · n 2 + 5 = 3m + 1 · 3m + 2 2 + 5 = 3m + 2 · 9m 2 + 12m + 9 = = 3m + 2 · 3 · 3m 2 + 4m + 3
이 작품 역시 다음과 같이 나누어져 있습니다. 3 .
답변:그래서 우리는 n n 2 + 5라는 표현이 다음으로 나누어진다는 것을 증명했습니다. 3 임의의 자연수 n에 대해.
실시예 7
로 나눌 수 있나요? 3 일부 자연수 n에 대한 표현식 10 3 n + 10 2 n + 1의 값.
해결책
그런 척하자 n=1. 우리는 다음을 얻습니다:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
그런 척하자 n=2. 우리는 다음을 얻습니다:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
따라서 우리는 임의의 자연 n에 대해 3으로 나누어지는 숫자를 얻게 될 것이라고 결론을 내릴 수 있습니다. 이는 임의의 자연수 n에 대해 10 3 n + 10 2 n + 1이 3으로 나누어진다는 것을 의미합니다.
답변:예
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