안정성 기준 Popova V.M.

(루마니아 과학자)

이는 조건을 만족하는 명확한 비선형성을 갖는 NL ACS의 안정성을 연구하기 위한 주파수 방법입니다.

평형 위치의 안정성이 고려됩니다.

충분한 조건 절대적인 안정성이러한 시스템은 V.M. Popov에 의해 공식화되었습니다.

1. 전달함수 도입

다음과 같이 가정됩니다.
점근적으로 안정적인 시스템에 해당합니다(안정성 기준으로 확인).

2.주파수 응답을 찾았습니다.
.

3. 수정된 주파수 응답이 구성됩니다.
,

관계에 의해 결정되는 것

답장
=재
,

나는
= .

4.복소평면에 구성
.

포포프 기준:

포인트를 통해서라면
수정된 AFC가 되도록 실제 축에 직선을 그릴 수 있습니다.
이 직선의 한쪽에 누워 닫힌 NL 자주포 절대적으로 안정적일 것입니다.

예.그림 1의 블록 다이어그램을 사용하여 NL 자주포의 절대 안정성을 조사하십시오.

모든 것부터 2차 특성 방정식에서 는 0보다 큽니다.
- 점근적으로 안정하므로 Popov의 안정성 기준 조건 (1)을 만족합니다.

답장
=재
=

나는
=나는
=

우리는 AFFC를 구축하고 있습니다
.

특수 형태에 대한 점근적 안정성

비선형 특성

1. 모호한 비선형 특성

다음과 같은 경우 휴식 상태는 절대적으로 안정적입니다.

1.
점근적으로 안정적인 시스템에 해당합니다.

2.

2. 릴레이 특성을 갖는 시스템

아르 자형=0 . 이는 위에서 설명한 특성의 특별한 경우입니다.

절대 안정성을 위한 충분 조건 - 조건 (2) 대신

3.릴레이 방식의 비선형성

1.
- 점근적으로 안정하다.

2.나는

절대적인 공정 안정성

이제 안정화 시스템(공칭 모드 - 휴지 상태)의 안정성이 아니라 공칭 모드가 입력 신호로 특징지어지는 경우를 고려해 보겠습니다.
및 출력 신호
, 그것은 제한된 연속시간의 기능.

비선형 요소의 형식은 다음과 같다고 가정합니다.
, 어디
조건을 충족하는 연속 단일 값 함수입니다.

저것들. 비선형 특성의 변화율은 제한되어 있습니다. 상당히 까다로운 조건입니다.

이 경우 제한된 프로세스의 절대적인 안정성을 보장하기 위해
,
조건이 충족되면 충분합니다 6

1.
- 점근적으로 안정적이었습니다.

2.
.

특별한 경우에는 아르 자형=0

또는

Popov의 아이디어 개발과 관련된 이론은 아직 완성되지 않았으며 여기에서 새롭고 강력한 결과가 가능합니다. 현재까지의 결과 요약은 Naumov의 저서 "비선형 자동 제어 시스템"에서 확인할 수 있습니다.

비선형 자동 제어 시스템을 연구하기 위한 대략적인 방법

고조파 균형 방법

NL ACS를 연구할 때 출력 값이 주기적으로 변화하는 모습을 관찰할 수 있는 경우가 있습니다. 와이(티) 경우에도
자주포를 연구할 때 다음으로 제한한다면 선의상수 계수를 갖는 모델의 경우 표시된 현상(자연 진동)은 특성 방정식에 순전히 가상의 근이 있는 경우에만 발생할 수 있습니다.
.

그러나 이 설명을 사용하면 시스템 매개변수의 작은 변화로 인해 루트가 가상 축에서 왼쪽이나 오른쪽으로 "이동"하고 자연 진동이 약화되거나 흔들리게 됩니다. 실제로 비선형 시스템에서는 시스템 매개변수의 작은 변화에도 출력 신호의 주기적인 진동이 지속됩니다.

이러한 종류의 감쇠되지 않은 진동은 시스템의 비선형 특성으로 설명됩니다. 이를 자기 진동이라고 합니다.

방법을 고려하십시오 고조파 균형,이를 통해 선형 부분의 위상-주파수 응답과 비선형 요소의 특성의 상호 흐름을 기반으로 자체 진동의 유무를 판단할 수 있습니다.

비선형 요소가 식별되는 단일 루프 시스템을 고려해 보겠습니다.

(1)

전달 함수가 있는 선형 부분
.

추정된:

1.
안정적인 시스템에 해당하며,

2. 비선형 특성
- 이상한 대칭, 즉

,

3. 입력 신호
, 즉. 이것은 안정화 시스템입니다.

우리는 출력 신호를 찾을 것입니다 와이(티) ~처럼

, (2)

어디 - 자체 진동의 진폭,

- 자체 진동의 빈도.

그리고 결정될 필요가 있습니다.

정현파 가설 와이(티) 임의적으로 보입니다. 그러나 이 가설이 자연스러워지는 추가 조건이 주어질 것입니다.

왜냐하면
,(3)

신호를 놓치자
비선형 요소와 선형 부분을 순차적으로 통해 진폭을 결정할 수 있는 방정식을 찾습니다. 및 빈도 NL 자주포의 자체 진동.

연습
선형 요소를 통해

왜냐하면
- 주기적 기능, 그 다음 신호
비선형 출력에서 요소 또한 주기적인 함수이지만 사인파와는 다릅니다.

범위
범위

알려진 바와 같이, 모든 주기 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있습니다.

(4)

우리는 식 (4)의 자유 항이 0이라고 가정합니다. 예를 들어, 비선형 요소의 특성이 조건을 만족할 때 이런 일이 발생합니다.

, 즉 이상한 기능입니다.

여기서 푸리에 계수는 그리고 결정됩니다:

,

(5)

우변의 각 항을 곱하고 나누어 (4)를 변환해 보겠습니다.
(6)

.

그걸 떠올려보자

(8)

따라서 신호를 전달할 때
비선형 요소를 통해 비선형 요소의 출력에 신호가 있습니다.
의 배수인 많은 고조파를 포함합니다. . (위 그림 참조).

신호 흐름
선형 부분을 통해

선형 시스템 이론을 통해 우리는 전달 함수가 있는 선형 링크의 입력이
, 안정적인 시스템에 해당하면 고조파 신호를 제공하고, 정상 상태에서는 이 링크의 출력에 신호가 있습니다.

여기
- 주파수 응답 모듈
그 시점에 ,

논쟁
.

이러한 관계를 사용하여 다음과 같은 표현식을 작성할 수 있습니다.
, 선형 부분을 통해 계열(8)의 모든 구성 요소를 개별적으로 전달한 다음 결과 식을 합산합니다.

시스템의 선형성으로 인해 이러한 절차는 합법적입니다.

우리는 다음과 같이 가정하여 얻습니다.
:

에 대한 결과 표현식 (9)
다소 복잡한 구조를 가지고 있습니다. 다음을 사용하면 크게 단순화될 수 있습니다. 필터 가설.

일반적인 기본 단위의 주파수 특성을 연구한 결과, 주파수 응답이 0이 되는 경향이 있음을 확인했습니다.

필터 가설은 (9)의 오른쪽에 있는 주파수 응답이 주파수가 증가함에 따라 너무 빨리 감소하여 (9)에서는 첫 번째 항만 고려할 수 있다는 것입니다. k=1, 나머지 항은 무시할 수 있는 것으로 간주합니다. 즉, 필터 가설은 ACS의 선형 부분이 실제로 고주파 진동을 통과시키지 못한다는 가설입니다. 따라서 식 (9)(이것은 방법의 근사치임)는 다음과 같이 단순화됩니다.

따라서 필터 가설을 가정하여 시스템을 닫으면 고조파 균형을 얻게 됩니다(따라서 방법의 이름은 고조파 균형 방법).

사용법을 살펴보자 방법 고조파 균형진폭을 결정하다 ㅏ및 빈도 자기 진동.

컨셉을 소개하자면 비선형 요소의 등가 전달 함수:

(11)

만약에
(이는 명확한 대칭 비선형 특성에서 발생합니다.)

(12)

폐쇄형 ACS(그림 1)의 특성 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

또는 주파수 응답

(13)

(14)

상상해보자

그러면 방정식 (14)가 다시 작성됩니다.

=
(17)

등식 (14) 또는 (17)은 자체 진동의 매개변수를 결정하기 위한 그래프 분석 방법의 기초입니다. ㅏ그리고 .

선형 부분의 위상-주파수 응답은 복소 평면에 구성됩니다.

비선형요소의 특성과

곡선이 교차하면 ACS에 자체 진동이 존재합니다.

곡선의 교차점에서 자체 진동의 주파수
, 진폭은 다음과 같습니다.
.

선택한 영역을 자세히 살펴보겠습니다.

우리는 곡선의 교차점에 가장 가까운 점의 진폭과 빈도를 알고 있습니다. 예를 들어 세그먼트를 반으로 나누어 교차점의 진폭과 주파수를 결정할 수 있습니다.

고조파 선형화 방법

이는 NL ACS의 주기적인 진동을 결정하는 데 매우 효과적인 대략적인 방법입니다.

비선형성의 조화 선형화 방법을 적용하려면 다음 요구 사항을 충족해야 합니다. 선형 부분에는 필터 속성이 있어야 합니다. 즉, 고주파가 통과하는 것을 허용하지 않아야 합니다.

실제로는 일반적으로 이 요구 사항이 충족됩니다.

비선형 요소가 있다고 가정

(1)

허락하다
(2)

그 다음에
(3)

(1)을 푸리에 급수로 확장해 보겠습니다.

비선형 함수는 다음과 같습니다. 에프(엑스) 는 푸리에 급수로 확장되어 다음과 같은 형식을 갖습니다.

,

,
,

그러면 비선형성에 대한 푸리에 급수는 다음과 같습니다.

++고조파 (4)

상수 컴포넌트를 넣어보자

방정식 (2)로부터:

방정식 (3)에서:

그런 다음 방정식 (4)를 다시 작성할 수 있습니다.

,

방정식 (5)에서 우리는 고주파수를 무시하며 이것이 방법의 근사치입니다.

따라서 비선형 요소는
선형 부분 필터 가설이 충족되면 다음 형식을 취하는 선형화된 표현식(5)으로 대체됩니다.

(6)

이 절차를 고조파 선형화라고 합니다.

승산
그리고
~에 상수그리고 . 동적 모드에서 변경되면 ㅏ그리고 , 계수
그리고
바뀔 것이다. 이것이 고조파 선형화와 기존 선형화의 차이점입니다. (기존 선형화의 경우 선형화된 방정식의 계수는 에게선형화 지점에 따라 다름). 선형화 계수의 의존성 ㅏ그리고 NL ACS(6)에 선형 시스템을 연구하는 방법을 적용하고 기존 선형화로는 감지할 수 없는 NL ACS의 특성을 분석할 수 있습니다.

고조파 선형화 계수

몇 가지 전형적인 비선형성

릴레이 특성

2. 데드존이 있는 계전기 특성

,
진동 진폭

3. 히스테리시스 루프가 있는 릴레이 특성

,
,

4. 데드존 및 히스테리시스 루프가 있는 계전기 특성

,

이제 폐쇄형 시스템을 고려해보세요.

,

비선형 요소의 전달 함수 개념을 소개할 수 있습니다.

,

.

그러면 폐쇄형 ACS의 특성 방정식은 다음과 같습니다.

,

또는

닫힌 시스템에서 일정한 진폭과 주파수를 갖는 감쇠되지 않은 자연 진동이 발생하면 고조파 선형화 계수가 일정해지고 자동 제어 시스템이 선형이 됩니다. 그리고 선형 시스템에서 주기적인 비감쇠 진동의 존재는 순전히 허수근의 존재를 나타냅니다.

따라서 결정하려면 주기적해는 특성 방정식으로 대체되어야 합니다.
. 여기 - 현재 주파수, 그리고 - 자체 진동의 빈도.

이 방정식의 미지수는 다음과 같습니다. 그리고 .

이 방정식에서 실수부와 허수부를 분리해 보겠습니다.

원하는 주기적 해의 주파수와 진폭에 대한 표기법을 소개하겠습니다.
,
.

우리는 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 방정식을 얻습니다.

이 방정식을 풀면 다음을 찾을 수 있습니다. 그리고 - NL ACS의 주기적 솔루션의 진폭 및 빈도.

이 방정식을 사용하면 다음을 결정할 수 있을 뿐만 아니라 그리고 , 또한 종속성을 구축합니다. 그리고 예를 들어 ACS의 이득으로부터 에게.

그런 다음 고려 에게변수에 대해 다음과 같이 작성합니다.

궁금하다 에게, 우리는 찾는다 그리고 , 즉.
그리고

선택 할수있다 에게~하도록 하다

1. 그것만으로는 충분하지 않을 거야

2. 자주포에는 무해합니다.

3. 자체 진동이 없습니다.

동일한 방정식을 사용하면 두 매개변수의 평면에서 가능합니다(예: 티그리고 에게) 자체 진동의 진폭과 주파수가 동일한 값의 선을 구성합니다. 이 방정식에 대해 다음과 같이 다시 작성합니다.

숫자 값 지정 , 우리는 얻는다
그리고

이 그래프에서 선택할 수 있습니다 티그리고 에게.

비선형 자동 제어 시스템의 솔루션 안정성 결정

NL ACS의 자체 진동은 안정적인 주기 솔루션과 일치해야 합니다. 따라서 진폭을 구한 후 및 주파수 정기적인 솔루션을 사용하려면 안정성을 검토해야 합니다.

Mikhailov hodograph를 사용하여 NL ACS에서 주기 솔루션의 안정성을 연구하는 대략적인 방법을 고려해 보겠습니다.

NL 자주포를 보자

,
.
- 고조파 선형화 방법을 사용하여 얻은 것입니다.

폐쇄계의 특성 방정식

특성 곡선(Mikhailov의 호도그래프)의 방정식을 적어 보겠습니다.
.

- Mikhailov hodograph에 따른 현재 주파수 값,

- 고조파 선형화(자체 발진)의 주파수.

그렇다면 어떤 주어진 것에 대해 영구적인 그리고 Mikhailov 곡선은 일반 선형 시스템과 동일한 형태를 갖습니다.

해당하는 주기적 솔루션의 경우 그리고 , Mikhailov의 Hodograph는 좌표 원점을 통과합니다(시스템이 안정성 경계에 있기 때문에).

우리가 제공하는 주기적 솔루션의 안정성을 결정하기 위해 증가

만약에
Mikhailov 곡선은 위치 1을 차지하며,

- 위치 2이면 주기적인 해가 안정적입니다.

만약에
곡선은 위치 2를 차지하며,
- 위치 1이면 주기적인 해가 불안정합니다.

2.7.3.1. 비선형 시스템을 연구하는 정확한 방법

1. 직접 Lyapunov 방법. 이는 비선형 시스템의 안정성에 관한 Lyapunov의 정리를 기반으로 합니다. Lyapunov 함수는 시스템 좌표의 부호가 명확한 함수인 연구 장치로 사용되며 시간에 따라 부호가 명확한 도함수도 갖습니다. 이 방법의 적용은 복잡성으로 인해 제한됩니다.

2. 포포프의 방법(루마니아 과학자)은 더 간단하지만 일부 특별한 경우에만 적합합니다.

3. 조각별 선형 근사를 기반으로 하는 방법입니다. 개별 비선형 링크의 특성은 여러 선형 섹션으로 나누어지며, 그 안에서 문제는 선형으로 나타나 매우 간단하게 해결할 수 있습니다.

비선형 특성을 분할하는 구간 수가 적은 경우(릴레이 특성)에 사용할 수 있는 방법입니다. 영역이 많으면 어렵습니다. 해결 방법은 컴퓨터를 통해서만 가능합니다.

4. 위상공간법. 임의 유형의 비선형성은 물론 여러 비선형성이 있는 시스템을 연구할 수 있습니다. 동시에, 비선형 시스템에서 발생하는 프로세스의 소위 위상 초상화가 위상 공간에 구성됩니다. 위상 초상화의 모양을 통해 안정성, 자체 진동 가능성 및 정상 상태에서의 정확성을 판단할 수 있습니다. 그러나 위상 공간의 차원은 비선형 시스템의 미분 방정식의 차수와 같습니다. 2차 이상의 시스템 적용은 사실상 불가능합니다.

5. 무작위 과정을 분석하기 위해 마르코프 무작위 과정 이론의 수학적 장치를 사용할 수 있습니다. 그러나 1차 방정식과 경우에 따라 2차 방정식에 대해서만 분석에 필요한 Fokker-Planck 방정식을 풀 수 있는 방법과 방법의 복잡성으로 인해 사용이 제한됩니다.

따라서 비선형 시스템을 분석하는 정밀한 방법을 사용하면 정확하고 올바른 결과를 얻을 수 있지만 매우 복잡하여 실제 적용이 제한됩니다. 이러한 방법은 순전히 과학적, 인지적, 연구 관점에서 중요하므로 순전히 학문적 방법으로 분류될 수 있으며 실제 복잡한 시스템에 실제로 적용하는 것은 의미가 없습니다.

2.7.3.2. 비선형 시스템을 연구하는 대략적인 방법

비선형 시스템을 분석하기 위한 정확한 방법의 실제 적용이 복잡하고 제한적이므로 이러한 시스템을 연구하기 위한 대략적이고 간단한 방법을 개발해야 합니다. 대략적인 방법을 사용하면 많은 실제 사례에서 비선형 시스템 분석의 투명하고 쉽게 눈에 보이는 결과를 매우 간단하게 얻을 수 있습니다. 대략적인 방법은 다음과 같습니다.

1. 비선형 요소를 선형 등가 요소로 대체하는 것에 기초한 고조파 선형화 방법이며 고조파에 가까운 시스템의 일부 동작에 대해 등가가 달성됩니다. 이를 통해 제어 시스템에서 자체 진동이 발생할 가능성을 매우 간단하게 조사할 수 있습니다. 그러나 이 방법은 비선형 시스템의 과도 프로세스를 연구하는 데에도 적용될 수 있습니다.

2. 통계적 선형화 방법은 비선형 요소를 선형 등가 요소로 대체하는 데 기반을 두고 있지만 시스템이 무작위 교란의 영향을 받아 움직이는 경우입니다. 이 방법을 사용하면 무작위 영향 하에서 비선형 시스템의 동작을 상대적으로 간단하게 연구하고 통계적 특성 중 일부를 찾을 수 있습니다.

고조파 선형화 방법

임의 차수의 미분 방정식으로 설명되는 비선형 시스템에 적용해 보겠습니다. 자동 제어 시스템의 자체 진동 계산과 관련해서만 고려해 보겠습니다. 폐루프 제어 시스템을 각각 전달 함수와 를 사용하여 선형 부분과 비선형 부분(그림 7.2)으로 나누어 보겠습니다.

선형 링크의 경우:

비선형 링크는 다음 형식의 비선형 종속성을 가질 수 있습니다.

등. 다음 형식의 의존성으로 제한하겠습니다.

쌀. 7.2. 고조파 선형화 방법을 향하여

이 비선형 시스템에서 자기 진동을 연구하는 문제를 제기해 보겠습니다. 엄밀히 말하면 자기 진동은 비정현파이지만 변수에 대해 다음과 같이 가정합니다. 엑스그들은 고조파 기능에 가깝습니다. 이는 일반적으로 선형 부분(7.1)이 저역 통과 필터(LPF)라는 사실로 정당화됩니다. 따라서 선형 부분은 변수에 포함된 더 높은 고조파를 지연시킵니다. 와이. 이 가정을 필터 가설이라고 합니다. 그렇지 않고 선형 부분이 고역 통과 필터(HPF)인 경우 고조파 선형화 방법은 잘못된 결과를 제공할 수 있습니다.

(7.2)로 대체하면 (7.2)를 푸리에 급수로 확장합니다.

원하는 진동에 일정한 구성요소가 없다고 가정해 보겠습니다.

이 조건은 비선형 특성이 좌표 원점을 기준으로 대칭이고 비선형 링크에 외부 영향이 가해지지 않을 때 항상 충족됩니다.

그렇다면 우리는 그것을 받아들였습니다.

서면 확장에서는 필터링되는 것을 고려하여 계열의 모든 고조파를 교체하고 폐기합니다. 그런 다음 비선형 링크에 대해 대략적인 공식을 얻습니다.

여기서 및 는 푸리에 급수 확장 공식에 의해 결정되는 고조파 선형화 계수입니다.

따라서 비선형 방정식(7.2)은 선형 방정식과 유사한 1차 고조파에 대한 근사 방정식(7.3)으로 대체됩니다. 그 특징은 방정식의 계수가 원하는 자체 진동 진폭에 따라 달라진다는 것입니다. 일반적인 경우, 보다 복잡한 종속성(7.2)을 사용하면 이러한 계수는 진폭과 주파수 모두에 따라 달라집니다.

비선형 방정식을 근사 선형 방정식으로 바꾸는 수행 작업을 조화 선형화라고 하며 계수 (7.4), (7.5)를 비선형 링크의 고조파 전송 계수라고 합니다.

(7.3)에서 고려 중인 시스템에 대한 비선형 링크의 전달 함수는 다음과 같습니다.

(7.1)과 (7.3)을 고려하여 개루프 시스템의 전달 함수를 얻습니다.

폐쇄 시스템의 특성 방정식은 다음과 같습니다.

(7.6)을 대체하면 개루프 시스템의 주파수 전달 함수를 찾을 수 있습니다.

의존하지 않습니다 [참조 (7.8)].

비선형 링크의 등가 전달 함수 모듈은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

입력 값의 진폭에 대한 출력의 첫 번째 고조파 진폭의 비율과 같습니다. 비선형 링크의 주파수 전달 함수 인수는 다음과 같습니다.

히스테리시스 루프가 없는 좌표 특성의 원점에 대해 명확하고 대칭적인 비선형 링크의 경우 순전히 실제이며

비선형 링크의 등가 전달 함수의 역이 종종 사용됩니다.

비선형 링크의 등가 임피던스라고 합니다. Nyquist 기준을 사용하여 자체 진동을 계산할 때 사용하면 편리합니다. 고조파 선형화 방법을 사용하는 예로서 히스테리시스 루프가 없는 3위치 릴레이의 릴레이 특성을 고려하십시오(그림 7.3). 그림에서 볼 수 있듯이. 7.3에서 정적인 특성은 좌표원점을 기준으로 대칭이므로 이다. 따라서 식(7.4)을 사용하여 계수를 구하면 됩니다. 이를 위해 링크의 입력에 정현파 함수를 적용하고 y(t)를 구성합니다(그림 7.4).

쌀. 7.3. 3위치의 정적 특성

히스테리시스 루프가 없는 릴레이

그림에서 볼 수 있듯이. 7.4,

x 1 = b에 해당하는 위상각은 arcsin (b/a)와 같습니다(그림 7.4).

피적분함수의 대칭성을 고려하고 (7.4)에 따라 다음을 얻습니다.

왜냐하면 , 그러면 마침내 다음과 같은 결과를 얻었습니다.

비슷한 방식으로 다른 비선형 링크의 조화 선형화를 수행하는 것이 가능합니다. 선형화 결과는 , 에 나와 있습니다.

위에서 언급한 바와 같이, 고조파 선형화 방법은 비선형 시스템에서 자체 발진 영역의 출현 가능성을 분석하고 해당 매개변수를 결정하는 데 편리합니다. 자체 진동을 계산하기 위해 다양한 안정성 기준이 사용됩니다. 가장 간단하고 확실한 방법은 Nyquist 기준을 사용하는 것입니다. 형태의 비선형 의존성이 있고 비선형 링크의 등가 전달 함수가 입력 신호의 진폭에만 의존하는 경우 나이퀴스트 기준을 사용하는 것이 특히 편리합니다.

쌀. 7.4. 릴레이 특성의 선형화 예

자기 진동 발생 조건: 순전히 상상적인 한 쌍의 근이 해(7.7)에 나타나고 다른 모든 근은 왼쪽 절반 평면(점 –1,j0과 연결)에 있습니다.

(7.7)을 마이너스 1과 동일시해 보겠습니다.

(7.12)을 풀기 위해 의 다른 값을 설정하고 AFC를 구성합니다. 일부 a = A에서 AFC는 안정성 준비금이 없음에 해당하는 지점 (-1,j0)을 통과합니다.

주파수는 원하는 고조파 진동의 주파수와 진폭에 해당합니다(그림 7.5).

비슷한 방식으로 모든 유형의 비선형 종속성에 대한 주기적인 솔루션을 찾는 것이 가능하며, 특히 비선형 요소의 등가 전달 함수는 진폭뿐만 아니라 주파수에도 의존한다는 사실로 이어집니다. 형식의 비선형 의존성을 고려하는 것으로 제한하면 주기 체제를 찾는 과정이 단순화될 수 있습니다.

쌀. 7.5. 자기 진동 발생 조건

방정식 (7.12)을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

(7.11)을 참조하세요. (7.13)

식 (7.13)은 그래픽으로 쉽게 풀 수 있습니다. 이를 위해서는 AFC와 반대 부호를 취한 역AFC를 별도로 구성해야 한다. 두 AFC의 교차점이 솔루션을 결정합니다(7.13). 그래프의 주파수 표시로 주기 모드의 주파수를 찾고 그래프의 진폭 표시로 진폭을 찾습니다(그림 7.6).

그러나 발견된 주기 체제는 이 체제가 시스템에 무한정 오랫동안 존재할 수 있다는 점에서 안정적일 때만 자기 진동에 해당합니다. 주기적 모드의 안정성은 다음과 같이 결정될 수 있습니다.

열린 상태에서 시스템의 선형 부분이 안정적이거나 중립적이라고 가정해 보겠습니다. 진폭 A에 양의 증분 A를 부여해 보겠습니다. 그러면 진폭이 증가하므로 감소합니다. 결과적으로 감소하여 (-1,j0) 지점에서 더욱 멀어지게 됩니다. A는 감소하고 0이 되는 경향이 있습니다. 마찬가지로 A가 음수 증가분 - A를 받으면 감소하므로 증가하고 증가하므로 진폭이 증가합니다. AFC는 (-1,j0) 지점(안정성 마진 감소)에 접근합니다.

쌀. 7.6. 비선형 동안 자기 진동이 발생하는 조건

유형의 종속성

결과적으로, A의 무작위 편차는 진폭이 해당 값을 복원하는 방식으로 시스템을 변경합니다. 이는 자체 진동에 해당하는 주기적 모드의 안정성에 해당합니다.

여기에서 주기적 모드에 대한 안정성 기준은 더 작은 진폭에 해당하는 곡선 부분이 시스템의 선형 부분의 AFC에 의해 포함된다는 사실로 귀결됩니다. 이는 다음과 특성의 교차점이 하나 존재하는 것에 해당합니다. 실제 값 축의 음수 부분(그림 7.6 참조).

개루프 시스템의 AFC가 실수값 축의 음수 부분을 두 번 교차할 때 AFC는 과 의 두 값에 대해 (-1,j0) 지점을 통과하는 것이 가능합니다(그림 1). 7.7).

두 교차점은 매개변수와 가 있는 두 가지 가능한 주기적 해에 해당합니다. 위에서 수행한 것과 유사하게 첫 번째 점이 불안정한 주기적 진동 모드에 해당하고 두 번째 점이 안정적인 모드에 해당하는지 확인할 수 있습니다. 자체 진동(그림 7.8).

보다 복잡한 경우, 예를 들어 불안정한 경우 개루프 시스템의 AFC 위치를 고려하여 결과적인 주기 모드의 안정성을 결정하는 것이 가능합니다. 여기서 공통점은 주기 체제의 안정성을 얻으려면 진폭의 양의 증가가 시스템의 수렴 프로세스로 이어지고 음의 증가가 발산 프로세스로 이어지는 것이 필요하다는 것입니다.

위의 계산에 의해 밝혀진 시스템의 고조파에 가까운 주기 모드가 없는 경우 시스템 동작에 대한 다양한 옵션이 있습니다. 그러나 선형 부분이 더 높은 고조파를 억제하는 특성을 갖는 시스템, 특히 일부 매개변수에 대해 주기적인 솔루션이 있지만 다른 매개변수에 대해서는 주기적인 솔루션이 없는 시스템에서는 주기적인 솔루션이 없으면 시스템이 다음과 같이 될 것이라고 믿을 이유가 있습니다. 평형상태에 비해 안정하다. 이 경우 평형 상태의 안정성은 선형 부분이 열린 상태에서 안정적이거나 중립일 때 AFC가 호도그래프를 덮지 않는다는 요구 사항으로 평가할 수 있습니다.

비선형 특성의 통계적 선형화 방법

비선형 시스템의 통계적 특성을 평가하려면 비선형 특성을 선형 특성으로 대체하는 통계적 선형화 방법을 사용할 수 있습니다. 이는 특정 통계 의미에서 원래 비선형 특성과 동일합니다.

비선형 변환을 선형 변환으로 바꾸는 것은 대략적인 것이며 일부 측면에서만 공정할 수 있습니다. 따라서 그러한 대체가 이루어지는 기반이 되는 통계적 동등성의 개념은 모호하지 않으며 이를 대체하는 비선형 변환과 선형 변환의 통계적 동등성에 대한 다양한 기준을 공식화하는 것이 가능합니다.

(7.2) 형식의 비선형 관성 종속성이 선형화되는 경우 일반적으로 다음과 같은 통계적 등가 기준이 적용됩니다.

첫 번째는 프로세스의 수학적 기대와 분산의 동등성을 요구하며, 여기서 는 등가 선형 링크의 출력 값이고 는 비선형 링크의 출력 값입니다.

두 번째는 비선형 요소와 선형 요소의 출력에서 ​​프로세스 간 차이의 평균 제곱을 최소화해야 합니다.

첫 번째 기준을 적용하는 경우 선형화를 고려해 보겠습니다. 비선형 의존성(7.2)을 선형 특성(7.14)으로 대체해 보겠습니다. 이는 특성(7.2)을 갖는 비선형 링크의 출력에서 ​​사용할 수 있는 것과 동일한 수학적 기대 및 분산을 갖습니다. 이를 위해 (7.14)를 다음과 같은 형식으로 제시합니다. 여기서 는 중심 무작위 함수입니다.

선택한 기준에 따라 계수 및 는 다음 관계를 충족해야 합니다.

(7.15)에서 다음과 같은 경우 통계적 동등성이 발생합니다.

더욱이, 부호는 비선형 특성 F( 엑스).

수량을 통계적 선형화 계수라고 합니다. 이를 계산하려면 비선형 링크 출력의 신호를 알아야 합니다.

여기서 는 비선형 링크의 입력에서 무작위 신호 분포의 확률 밀도입니다.

두 번째 기준의 경우, 통계적 선형화 계수는 비선형 링크와 선형화된 링크의 출력에서 ​​프로세스 간의 평균 제곱 차이를 최소로 보장하는 방식으로 선택됩니다. 평등을 보장하다

(7.16), (7.17) 및 (7.18)의 통계적 선형화 계수는 비선형 링크의 특성뿐만 아니라 입력 신호의 분포 법칙에도 영향을 받습니다. 많은 실제 사례에서 이 확률 변수의 분포 법칙은 다음 식으로 설명되는 가우스(정규)라고 가정할 수 있습니다.

이는 제어 시스템의 비선형 링크가 선형 관성 요소와 직렬로 연결되어 출력 신호의 분포 법칙이 입력 신호의 모든 분포 법칙에 대해 가우스에 가깝다는 사실로 설명됩니다. 시스템의 관성이 클수록 출력 신호의 분포 법칙은 가우스에 더 가까워집니다. 즉, 시스템의 관성 장치는 비선형 링크에 의해 위반되는 가우스 분포의 복원으로 이어집니다. 또한 넓고 작은 범위 내에서 분포 법칙의 변화는 통계적 선형화 계수에 영향을 미칩니다. 따라서 비선형 요소의 입력 신호는 가우스 법칙에 따라 분포되는 것으로 믿어집니다.

이 경우 계수 과 는 비선형 링크 입력의 신호에만 의존하므로 일반적인 비선형 특성의 경우 계수 과 를 미리 계산할 수 있으므로 통계적 선형화 방법을 사용하는 시스템 계산이 크게 단순화됩니다. 비선형 시스템을 계산할 때 정규 분포 법칙과 일반적인 비선형 링크의 경우 제공된 데이터를 사용할 수 있습니다.

분석을 위한 통계적 선형화 방법 적용

고정 모드 및 추적 실패

비선형 링크의 특성을 선형 종속성으로 대체하는 기능을 통해 비선형 시스템을 분석할 때 선형 시스템용으로 개발된 방법을 사용할 수 있습니다. 그림 1에 표시된 시스템의 정지 모드를 분석하기 위해 통계적 선형화 방법을 적용해 보겠습니다. 7.9,

여기서 F(e)는 비선형 요소(판별자)의 정적 특성입니다.

W(p) - 시스템 선형 부분의 전달 함수입니다.

분석 작업은 판별기 특성이 시스템 정확도에 미치는 영향을 평가하고 시스템의 정상적인 작동이 중단되고 추적이 실패하는 조건을 결정하는 것입니다.

신호 g(t)의 비랜덤 성분에 대한 연산의 정확도를 분석할 때 통계적 선형화 방법에 따라 비선형 요소 F(e)는 전송 계수 를 갖는 선형 링크로 대체됩니다. 앞에서 설명한 것처럼 동적 오류는 다음 공식으로 구합니다.

및 를 찾고 추적 실패 조건을 결정하는 예는 다음과 같습니다.

자가 테스트 질문

1. 비선형 시스템을 분석하는 대략적인 방법을 설명합니다.

2. 조화선형화법의 본질은 무엇입니까?

3. 통계적 선형화 방법의 본질은 무엇입니까?

4. q¢(a) = 0인 비선형 링크는 무엇입니까?

5. 통계적 동등성에 대한 어떤 기준을 알고 있나요?

엄밀히 말하면 선형 시스템은 자연에 존재하지 않으며 모든 실제 시스템은 비선형입니다. 다양한 센서, 감지기, 판별기, 증폭기, 아날로그-디지털 및 디지털-아날로그 변환기, 제어 장치 및 액추에이터는 비선형 특성을 가지고 있습니다.

비선형 시스템의 분석을 위한 일반 이론은 없습니다. 과학자들은 특정 조건 및 제한 하에서 해석 문제를 해결할 수 있는 다양한 비선형 시스템 해석 방법을 개발했습니다.

비선형 시스템을 분석하는 가장 일반적인 방법을 특성화해 보겠습니다.

위상 평면 방법.이 방법은 위상 초상화(Phase Portraits) 또는 위상 공간(Phase Space) 방법이라고도 합니다. 이 방법을 사용하면 그래픽 구성을 사용하여 2차(3차) 이하의 비선형 미분 방정식으로 설명되는 비선형 시스템의 동작을 시각적으로 분석할 수 있습니다.

조각별 선형 근사 방법.이 방법은 비선형 요소 특성의 부분적 선형 근사치를 사용하고, 시스템을 다양한 신호 값에 대해 선형으로 분석한 다음 분석 결과를 함께 연결합니다. 이 방법은 특히 "가교" 지점에서 높은 분석 노동 강도와 낮은 결과 정확도를 특징으로 합니다.

고조파 선형화 방법.이 방법은 비선형 요소 뒤에 선형 저역 통과 필터를 연결하고 입력 효과가 고조파인 경우에 사용됩니다.

통계적 선형화 방법.이 방법은 고정 랜덤 프로세스가 입력 신호로 작동하는 경우에 사용됩니다. 이 방법에서는 실제 비선형 요소가 출력 수학적 기대값과 프로세스의 분산이 실제 비선형 요소의 출력과 동일한 선형 요소로 대체됩니다. 등가 선형 요소의 매개변수를 결정하는 방법은 다를 수 있습니다.

마르코프 처리 방법.이 방법은 비정상 무작위 입력 신호에 사용되지만 분석 솔루션은 2차 이하의 시스템에서만 찾을 수 있습니다.

컴퓨터 시뮬레이션 방법.이 방법은 보편적이라고 주장하며 비선형성의 특성과 시스템의 순서에 대한 근본적인 제한이 없습니다. 현재 이것은 비선형 시스템을 분석하는 가장 일반적인 방법입니다. 이 방법의 유일한 단점은 분석의 분석 결과(공식 형식)가 없다는 것입니다.

그림 1.5 b에 표시된 특성은 3위치 릴레이이며, 여기에는 둔감함으로 인해 추가 위치가 있습니다. 그러한 특성의 방정식

x 아웃						x in			< a ,
x 아웃	B siqn(신)					x in			>아.

그림 1.5c에 표시된 특성은 히스테리시스가 있는 2위치 릴레이입니다. '메모리가 있는 릴레이'라고도 합니다. 이전 상태와 x 입력 내에서 "기억"합니다.< a сохраняет это своё значение. Уравне-

그러한 특성의 정의

xout = bsiqn(x − a)		신 > 0,
xout = bsiqn(x + a)
		x in< 0 ,
x 출력 = + b		xin > - a ;	x&in< 0,
x 아웃 = − b		신< a;	신 > 0,

그림 1.5 d에 표시된 특성은 히스테리시스가 있는 3위치 릴레이이며 데드존으로 인해 추가 위치가 발생합니다. 그러한 특성의 방정식

x 아웃 =			[ siqn(x − а2	) + siqn(x + a1 )]		신 > 0,
x 아웃 =			[ siqn(x + a2	) + siqn(x − а1 )]		x in< 0 .

위의 방정식에서 히스테리시스 루프가 없는 경우 계전기의 출력 동작은 xin 값 또는 xout = f(xin)에만 의존한다는 것이 분명합니다.

히스테리시스 루프가 있는 경우 x out의 값은 x in 또는 x out = f(x in ,x & in)에 대한 도함수에 따라 달라집니다. 여기서 x & in은 "메모리"의 존재를 특징으로 합니다. 계전기.

1.4 비선형 시스템 연구 방법 분석

비선형 시스템의 분석 및 합성 문제를 해결하려면 먼저 시스템의 출력 신호와 시스템에 적용된 영향을 반영하는 신호 간의 연결을 특성화하는 수학적 모델을 구축해야 합니다. 결과적으로, 우리는 때로는 많은 논리적 관계를 갖는 고차 비선형 미분 방정식을 얻습니다. 현대 컴퓨터 기술을 사용하면 모든 비선형 방정식을 풀 수 있으며, 엄청나게 많은 수의 비선형 미분 방정식을 풀어야 합니다. 그런 다음 가장 좋은 것을 선택하십시오. 그러나 동시에 선택한 솔루션이 실제로 최적인지 확신할 수 없으며 선택한 솔루션을 개선하는 방법도 알려져 있지 않습니다. 따라서 제어이론의 문제점 중 하나는 다음과 같다.

시스템 매개변수의 최적 구조와 최적 비율을 결정할 수 있는 제어 시스템 설계 방법을 만듭니다.

이 작업을 완료하려면 다음이 필요합니다. 계산 방법

비선형 시스템의 매개변수와 제어 프로세스의 동적 지표 사이의 수학적 연결을 매우 간단한 형태로 결정할 수 있습니다.

레니야. 그리고 비선형 미분방정식에 대한 해법을 찾지 못한 채 말입니다. 문제를 해결하기 위해 시스템의 실제 요소의 비선형 특성은 일부 이상적인 대략적인 특성으로 대체됩니다. 이러한 특성을 사용하여 비선형 시스템을 계산하면 대략적인 결과를 얻을 수 있지만, 가장 중요한 것은 얻은 종속성을 통해 시스템의 구조 및 매개변수를 동적 특성과 연관시킬 수 있다는 것입니다.

가장 간단한 경우와 주로 2차 비선형 시스템에 사용됩니다. 위상 경로 방법, 초기 조건을 고려하여 다양한 유형의 비선형 링크에 대한 비선형 시스템의 운동 역학을 명확하게 표시할 수 있습니다. 그러나 이 방법으로는 다양한 외부 영향을 고려하기 어렵다.

고차 시스템의 경우 사용됩니다. 고조파 선형화 방법. 기존 선형화에서는 비선형 특성이 선형으로 처리되어 일부 특성이 손실됩니다. 조화 선형화를 사용하면 비선형 링크의 특정 속성이 보존됩니다. 하지만 이 방법은 대략적인 방법입니다. 여러 가지 조건을 만족하는 경우에 사용되며, 이 방법을 이용하여 비선형 시스템을 계산할 때 나타나는 조건입니다. 이 방법의 중요한 특성은 시스템 매개변수를 규제 프로세스의 동적 지표와 직접 연결한다는 것입니다.

무작위 영향 하에서 규제의 통계적 오류를 확인하려면 다음을 사용하십시오. 통계적 선형화 방법. 이 방법의 핵심은 비선형 요소가 등가 선형 요소로 대체된다는 것입니다. 이 요소는 비선형 요소와 동일한 방식으로 무작위 함수의 처음 두 통계적 순간인 수학적 기대값(평균값)과 분산( 또는 표준편차). 비선형 시스템을 분석하는 다른 방법이 있습니다. 예를 들어, B.V. 형태의 작은 매개변수 방법 불가코프. 점근법 N.M. Krylov와 N.N. 보골류보바주기적인 해에 가까운 시간에 맞춰 프로세스를 분석합니다. 그래프 분석이 방법을 사용하면 비선형 문제를 선형 문제로 줄일 수 있습니다. 고조파 균형 방법, L.S.에서 사용되었습니다. Nyquist 기준을 사용하여 비선형 시스템의 안정성을 분석하기 위한 Goldfarb. 그래픽 분석 방법, 그 중 가장 널리 사용되는 방법은 D.A. Bashkirova. 다양한 연구 방법 중에서 이 교과서에서는 위상 궤적 방법, 점 변환 방법, 고조파 선형화 방법 E.P.를 고려할 것입니다. Popov, 그래픽 분석 방법 L.S. V.M.의 절대 안정성 기준인 Goldfarb. Popov, 통계적 선형화 방법.

장7

비선형 시스템 분석

제어 시스템은 표준 기본 링크가 사용되는 수학적 설명을 위한 개별 기능 요소로 구성됩니다(섹션 1.4 참조). 일반적인 기본 링크 중에는 관성이 없는(강화) 링크가 하나 있습니다. 입력을 연결하는 링크의 정적 특성 엑스그리고 쉬는 날 와이수량, 선형: 와이=Kx. 제어 시스템의 실제 기능 요소는 비선형 정적 특성을 갖습니다. 와이=에프(엑스). 비선형 의존성 유형 에프(∙)는 다양할 수 있습니다.

가변 기울기가 있는 함수("채도" 효과가 있는 함수, 삼각함수 등)

조각별 선형 함수;

릴레이 기능.

대부분의 경우 제어 시스템의 민감한 요소의 정적 특성의 비선형성을 고려해야 합니다. 차별적 특성의 비선형성. 일반적으로 그들은 식별 특성의 선형 부분에서 제어 시스템의 작동을 보장하려고 노력합니다(기능 유형이 이를 허용하는 경우). 에프(∙)) 선형 모델을 사용합니다. 와이=Kx. 때때로 이는 제어 시스템 오류의 동적 및 변동 구성요소의 큰 값으로 인해 또는 함수의 소위 상당한 비선형성으로 인해 달성될 수 없습니다. 에프(∙), 예를 들어 릴레이 기능에 내재되어 있습니다. 그런 다음 비선형 정적 특성을 갖는 링크를 고려하여 제어 시스템 분석을 수행해야 합니다. 비선형 시스템을 분석합니다.

7.1. 비선형 시스템의 특징

비선형 시스템의 프로세스는 선형 시스템의 프로세스보다 훨씬 더 다양합니다. 비선형 시스템과 프로세스의 몇 가지 특징을 살펴보겠습니다.

1. 중첩의 원리는 성립하지 않습니다. 비선형 시스템의 반응은 개별 영향에 대한 반응의 합과 동일하지 않습니다. 예를 들어, 선형 시스템(섹션 3 참조)에 대해 수행되는 추적 오류의 동적 및 변동 구성 요소에 대한 독립적인 계산은 비선형 시스템에서는 불가능합니다.

2. 비선형 시스템의 구조도에는 교환성의 특성이 적용되지 않습니다(선형 링크와 비선형 링크는 서로 바뀔 수 없습니다).

3. 비선형 시스템에서는 안정성 조건과 안정성 개념 자체가 변경됩니다. 안정성의 관점에서 볼 때 비선형 시스템의 동작은 충격과 초기 조건에 따라 달라집니다. 또한 비선형 시스템에서는 새로운 유형의 정상 상태 프로세스, 즉 일정한 진폭과 주파수를 갖는 자체 진동이 가능합니다. 진폭과 주파수에 따라 이러한 자체 진동은 비선형 제어 시스템의 성능을 방해하지 않을 수 있습니다. 따라서 비선형 시스템은 더 이상 선형 시스템처럼 두 가지 클래스(안정 및 불안정)로 구분되지 않고 더 많은 클래스로 구분됩니다.

비선형 시스템의 경우 러시아 수학자 A.M. 1892년에 Lyapunov는 "작은 것"과 "큰 것"의 안정성 개념을 도입했습니다. 안정된 평형 지점에서 약간의(충분히 작은) 편차가 있는 경우 시스템은 "작은 것"에서 안정적입니다. (제한된) 영역 ε, 안정적인 평형점에서 벗어나는 영역 ε에 남아 있으면 시스템은 안정적으로 "큰" 상태입니다. 영역 ε은 안정된 평형점 근처에서 원하는 만큼 작게 설정될 수 있으므로 Sect. 2에서 선형 시스템의 안정성 정의는 여전히 유효하며 Lyapunov에 따른 점근 안정성의 정의와 동일합니다. 동시에, 실제 비선형 시스템에 대한 선형 시스템의 안정성에 대한 이전에 논의된 기준은 "작은" 안정성에 대한 기준으로 인식되어야 합니다.

4. 비선형 시스템에서는 과도 프로세스가 질적으로 변합니다. 예를 들어 함수의 경우 에프(∙) 1차 비선형 시스템에서 가변 기울기를 갖는 과도 프로세스는 매개변수가 변경되는 지수로 설명됩니다. 티.

5. 비선형 시스템의 식별 특성의 제한된 조리개는 추적 실패의 원인입니다(시스템은 "소형"에서 안정적입니다). 이 경우 신호를 검색하고 시스템을 추적 모드로 전환해야 합니다(검색 및 추적 미터의 개념은 섹션 1.1에 나와 있습니다). 주기적 판별 특성을 갖는 동기화 시스템에서는 출력 값의 점프가 가능합니다.

비선형 시스템의 고려된 특징이 존재하기 때문에 그러한 시스템을 분석하기 위해 특별한 방법을 사용할 필요가 있습니다. 다음 사항이 고려됩니다.

비선형 미분 방정식을 풀고 특히 정상 상태에서의 오류와 비선형 PLL 시스템의 캡처 및 유지 대역을 결정하는 데 기반을 둔 방법입니다.

상당한 비선형 요소가 있는 시스템을 분석하는 데 편리한 조화 및 통계적 선형화 방법

마르코프 프로세스 이론 결과를 기반으로 한 비선형 시스템의 분석 및 최적화 방법.

7.2. 비선형 PLL 시스템의 일반 프로세스 분석