On huomionarvoista, että Pythagoraan lauseessa esitetty ominaisuus on suorakulmaisen kolmion ominaisuus. Tämä seuraa lauseesta, joka on päinvastainen Pythagoraan lauseen kanssa.
Lause: Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin kolmio on suorakulmainen kolmio.
Heronin kaava
Johdetaan kaava, joka ilmaisee kolmion tason sen sivujen pituuksilla. Tämä kaava liittyy Aleksandrian Heronin nimeen, muinaisen kreikkalaisen matemaatikko ja mekaanikko, joka eli luultavasti 1. vuosisadalla jKr. Heron kiinnitti paljon huomiota geometrian käytännön sovelluksiin.
Lause. Kolmion, jonka sivut ovat a, b, c, pinta-ala S lasketaan kaavalla S=, missä p on kolmion puolikehä.
Todiste.
Annettu: ?ABC, AB=c, BC=a, AC=b. Kulmat A ja B ovat teräviä. CH - korkeus.
Todistaa:
Todiste:
Tarkastellaan kolmiota ABC, jossa AB=c , BC=a, AC=b. Jokaisella kolmiolla on vähintään kaksi terävää kulmaa. Olkoot A ja B kolmion ABC teräviä kulmia. Tällöin kolmion korkeuden CH kanta H on sivulla AB. Otetaan käyttöön merkintä: CH = h, AH=y, HB=x. Pythagoraan lauseen mukaan a 2 - x 2 \u003d h 2 \u003d b 2 -y 2, mistä
Y 2 - x 2 \u003d b 2 - a 2 tai (y - x) (y + x) \u003d b 2 - a 2, ja koska y + x \u003d c, niin y - x \u003d (b2 - a2).
Kun lisätään kaksi viimeistä yhtälöä, saadaan:
2y = +c, mistä
y \u003d, ja siksi h 2 \u003d b 2 -y 2 \u003d (b - y) (b + y) \u003d
Siksi h = .
Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suhteen
suorakulmaisen kolmion sivujen välissä.
Uskotaan, että sen todisti kreikkalainen matemaatikko Pythagoras, jonka mukaan se on nimetty.
Pythagoraan lauseen geometrinen muotoilu.
Lause muotoiltiin alun perin seuraavasti:
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin neliöiden pinta-alojen summa,
rakennettu katetriin.
Pythagoraan lauseen algebrallinen muotoilu.
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa.
Tämä tarkoittaa kolmion hypotenuusan pituutta c, ja jalkojen pituudet läpi a ja b:
Molemmat formulaatiot Pythagoraan lauseita ovat vastaavia, mutta toinen muotoilu on alkeellisempi, se ei ole
vaatii alueen käsitteen. Toisin sanoen toinen väite voidaan varmistaa tietämättä mitään alueesta ja
mittaamalla vain suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.
Käänteinen Pythagoraan lause.
Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin
kolmio on suorakaiteen muotoinen.
Tai toisin sanoen:
Kaikille positiivisten lukujen kolmikolle a, b ja c, sellasta
on suorakulmainen kolmio jaloilla a ja b ja hypotenuusa c.
Pythagoraan lause tasakylkiselle kolmiolle.
Pythagoraan lause tasasivuiselle kolmiolle.
Pythagoraan lauseen todisteet.
Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 todistetta tästä lauseesta. Luultavasti lause
Pythagoras on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Sellaista monimuotoisuutta
voidaan selittää vain lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä geometrialle.
Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuin niistä:
todiste siitä alueen menetelmä, aksiomaattinen ja eksoottisia todisteita(Esimerkiksi,
kautta differentiaaliyhtälöt).
1. Pythagoraan lauseen todiste samankaltaisten kolmioiden suhteen.
Seuraava algebrallisen formuloinnin todistus on yksinkertaisin konstruoiduista todisteista
suoraan aksioomista. Erityisesti se ei käytä hahmon alueen käsitettä.
Anna olla ABC on suorakulmainen kolmio C. Piirretään korkeus C ja merkitsee
sen perustan läpi H.
Kolmio ACH samanlainen kuin kolmio AB C kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH samanlainen ABC.
Esittelemällä merkinnän:
saamme:
,
mikä vastaa -
Taitettuaan a 2 ja b 2, saamme:
tai , joka oli todistettava.
2. Pythagoraan lauseen todistus aluemenetelmällä.
Näennäisestä yksinkertaisuudestaan huolimatta seuraavat todistukset eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Ne kaikki
Käytä alueen ominaisuuksia, joiden todistaminen on monimutkaisempaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistus.
- Todistus equicomplementation kautta.
Järjestä neljä samanlaista suorakaiteen muotoista
kolmio kuvan osoittamalla tavalla
oikealla.
Nelikulmainen sivuilla c- neliö,
koska kahden terävän kulman summa on 90°, ja
kehitetty kulma on 180°.
Koko hahmon pinta-ala on toisaalta
neliön pinta-ala sivulla ( a+b), ja toisaalta neljän kolmion pinta-alojen summa ja
Q.E.D.
3. Pythagoraan lauseen todistus infinitesimaalimenetelmällä.
Ottaen huomioon kuvassa näkyvän piirustuksen ja
katsomassa puolen muuttumistaa, me voimme
kirjoita seuraava relaatio äärettömälle
pieni sivun lisäyksetkanssa ja a(käytetään samankaltaisuutta
kolmiot):
Käyttämällä muuttujien erottelumenetelmää löydämme:
Yleisempi ilmaus hypotenuusan muuttamiseen molempien jalkojen kasvaessa:
Integroimalla tämä yhtälö ja käyttämällä alkuehtoja saadaan:
Siten pääsemme haluttuun vastaukseen:
Kuten on helppo nähdä, neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa ilmenee lineaarisuuden vuoksi
suhteellisuus kolmion sivujen ja inkrementtien välillä, kun taas summa on suhteessa riippumattomaan
eri jalkojen lisäyksestä.
Yksinkertaisempi todiste voidaan saada, jos oletetaan, että yksi jaloista ei koe lisäystä
(tässä tapauksessa jalka b). Sitten integrointivakiolle saamme:
Koulun opetussuunnitelman aiheiden huomioiminen videotuntien avulla on kätevä tapa opiskella ja omaksua materiaalia. Video auttaa kiinnittämään opiskelijoiden huomion tärkeimpiin teoreettisiin kohtiin ja välttämään tärkeitä yksityiskohtia. Tarvittaessa oppilaat voivat aina kuunnella videotunnin uudelleen tai palata muutamaan aiheeseen taaksepäin.
Tämä 8. luokalle tarkoitettu opetusvideo auttaa oppilaita oppimaan uuden geometrian aiheen.
Edellisessä aiheessa tutkimme Pythagoraan lausetta ja analysoimme sen todisteita.
On myös lause, joka tunnetaan käänteisenä Pythagoraan lauseena. Tarkastellaanpa sitä tarkemmin.
Lause. Kolmio on suorakulmainen, jos se täyttää yhtälön: kolmion toisen sivun neliö on sama kuin kahden muun neliön summa.
Todiste. Oletetaan, että meille annetaan kolmio ABC, jossa yhtälö AB 2 = CA 2 + CB 2 on tosi. Meidän on todistettava, että kulma C on 90 astetta. Tarkastellaan kolmiota A 1 B 1 C 1, jossa kulma C 1 on 90 astetta, sivu C 1 A 1 on yhtä suuri kuin CA ja sivu B 1 C 1 on yhtä suuri kuin BC.
Pythagoraan lausetta soveltaen kirjoitetaan kolmion sivujen suhde A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Korvaamalla lausekkeen yhtäläisillä puolilla saadaan A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Lauseen ehdoista tiedämme, että AB 2 = CA 2 + CB 2 . Sitten voidaan kirjoittaa A 1 B 1 2 = AB 2 , mikä tarkoittaa, että A 1 B 1 = AB.
Olemme havainneet, että kolmioissa ABC ja A 1 B 1 C 1 kolme sivua ovat yhtä suuret: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Nämä kolmiot ovat siis yhteneväisiä. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa, että kulma C on yhtä suuri kuin kulma C 1 ja on vastaavasti 90 astetta. Olemme määrittäneet, että kolmio ABC on suorakulmainen kolmio ja sen kulma C on 90 astetta. Olemme todistaneet tämän lauseen.
Kirjoittaja antaa sitten esimerkin. Oletetaan, että meille annetaan mielivaltainen kolmio. Sen sivujen mitat ovat tiedossa: 5, 4 ja 3 yksikköä. Tarkistetaan lause Pythagoraan lauseesta käänteisestä lauseesta: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Jos väite on oikein, annettu kolmio on suorakulmainen kolmio.
Seuraavissa esimerkeissä kolmiot ovat myös suorakulmaisia, jos niiden sivut ovat yhtä suuret:
5, 12, 13 yksikköä; yhtälö 13 2 = 5 2 + 12 2 on tosi;
8, 15, 17 yksikköä; yhtälö 17 2 = 8 2 + 15 2 on tosi;
7, 24, 25 yksikköä; yhtälö 25 2 = 7 2 + 24 2 on totta.
Pythagoraan kolmion käsite tunnetaan. Se on suorakulmainen kolmio, jonka sivuarvot ovat kokonaislukuja. Jos Pythagoraan kolmion jalat on merkitty a:lla ja c:llä sekä hypotenuusalla b, tämän kolmion sivujen arvot voidaan kirjoittaa seuraavilla kaavoilla:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
missä m, n, k ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja ja m:n arvo on suurempi kuin n:n arvo.
Mielenkiintoinen tosiasia: kolmiota, jonka sivut ovat 5, 4 ja 3, kutsutaan myös Egyptin kolmioksi, tällainen kolmio tunnettiin muinaisessa Egyptissä.
Tässä opetusvideossa tutustuimme lauseeseen, Pythagoraan lauseen käänteiseen. Harkitse todistetta yksityiskohtaisesti. Oppilaat oppivat myös, mitä kolmioita kutsutaan Pythagoraan kolmioksi.
Opiskelijat voivat helposti tutustua aiheeseen "Lause, Pythagoraan lauseen käänteis" itse tämän videotunnin avulla.
Aihe: Lause käänteinen Pythagoraan lauseelle.
Oppitunnin tavoitteet: 1) tarkastella Pythagoraan lausetta käänteistä lausetta; sen soveltaminen ongelmien ratkaisuprosessissa; vahvistaa Pythagoraan lausetta ja parantaa ongelmanratkaisutaitoja sen soveltamista varten;
2) kehittää loogista ajattelua, luovaa etsintää, kognitiivista kiinnostusta;
3) kasvattaa opiskelijan vastuullista asennetta oppimiseen, matemaattisen puheen kulttuuria.
Oppitunnin tyyppi. Oppitunti uuden tiedon oppimiseen.
Tuntien aikana
І. Ajan järjestäminen
ІІ. Päivittää tietoa
Oppitunti minulleolisihalusialoita neliöllä.
Kyllä, tiedon tie ei ole sileä
Mutta tiedämme kouluvuosista
Enemmän mysteereitä kuin arvoituksia
Ja haulla ei ole rajoituksia!
Joten viimeisellä oppitunnilla opit Pythagoraan lauseen. Kysymyksiä:
Mille kuviolle Pythagoraan lause pätee?
Mitä kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi?
Muotoile Pythagoraan lause.
Kuinka Pythagoraan lause kirjoitetaan kullekin kolmiolle?
Mitä kolmioita kutsutaan yhtäläisiksi?
Muotoile kolmioiden tasa-arvomerkit?
Ja nyt tehdään vähän itsenäistä työtä:
Ongelmanratkaisu piirustusten mukaan.
№1
(1 b.) Etsi: AB.
№2
(1 b.) Etsi: eKr.
№3
( 2 b.)Etsi: AC
№4
(1 b.)Etsi: AC
№5 Annettu: ABCDrombi
(2 b.) AB \u003d 13 cm
AC = 10 cm
Etsi sisäänD
Itsetarkistus #1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Tutkimus Uusi materiaalia.
Muinaiset egyptiläiset rakensivat suorat kulmat maahan tällä tavalla: he jakoivat köyden 12 yhtä suureen osaan solmuilla, sidoivat sen päät, minkä jälkeen köysi venytettiin maahan siten, että muodostui kolmio, jonka sivut olivat 3, 4 ja 5 divisioonaa. Kolmion kulma, joka oli vastapäätä 5-jakoista sivua, oli oikea.
Voitko selittää tämän tuomion oikeellisuuden?
Kysymykseen vastauksen etsimisen tuloksena oppilaiden tulee ymmärtää, että matemaattiselta kannalta kysymys kuuluu: onko kolmio suorakulmainen.
Esitämme ongelman: kuinka määrittää ilman mittauksia, onko kolmio, jolla on tietyt sivut, suorakulmainen. Tämän ongelman ratkaiseminen on oppitunnin tarkoitus.
Kirjoita oppitunnin aihe ylös.
Lause. Jos kolmion kahden sivun neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö, niin kolmio on suorakulmainen kolmio.
Todista lause itsenäisesti (tee todistussuunnitelma oppikirjan mukaan).
Tästä lauseesta seuraa, että kolmio, jonka sivut ovat 3, 4, 5, on suorakulmainen (egyptiläinen).
Yleensä luvut, joihin tasa-arvo pätee kutsutaan Pythagoraan kolmoisiksi. Ja kolmiot, joiden sivujen pituudet ilmaistaan Pythagoraan kolmioilla (6, 8, 10), ovat Pythagoraan kolmioita.
Konsolidointi.
Koska , silloin kolmio, jonka sivut ovat 12, 13, 5, ei ole suorakulmainen kolmio.
Koska , niin kolmio, jonka sivut ovat 1, 5, 6, on suorakulmainen.
№ 430 (a, b, c)
( - ei ole)
