Hypoteesi: uskomme, että pyramidin muodon täydellisyys johtuu sen muotoon sisältyvistä matemaattisista laeista.

Kohde: Kun olet tutkinut pyramidia geometrisena kappaleena, selitä sen muodon täydellisyys.

Tehtävät:

1. Anna matemaattinen määritelmä pyramidi.

2. Tutki pyramidia geometrisena kappaleena.

3. Ymmärrä, mitä matemaattista tietoa egyptiläiset sisällyttivät pyramideihinsa.

Yksityisiä kysymyksiä:

1. Mikä on pyramidi geometrisena kappaleena?

2. Miten pyramidin ainutlaatuinen muoto voidaan selittää matemaattisesta näkökulmasta?

3. Mikä selittää pyramidin geometriset ihmeet?

4. Mikä selittää pyramidin muodon täydellisyyden?

Pyramidin määritelmä.

PYRAMIDI (kreikan pyramis, gen. pyramidos) - monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki (piirustus). Pohjan kulmien lukumäärän perusteella pyramidit luokitellaan kolmiomaisiksi, nelikulmaisiksi jne.

PYRAMIDI - monumentaalinen rakennus, jossa geometrinen muoto pyramidit (joskus myös porrastettuja tai tornimaisia). Pyramidit ovat 3.–2. vuosituhannen eKr. muinaisten egyptiläisten faaraoiden jättimäisiä hautoja. e., samoin kuin muinaiset amerikkalaiset temppelijalustat (Meksikossa, Guatemalassa, Hondurasissa, Perussa), jotka liittyvät kosmologisiin kultteisiin.

On mahdollista, että kreikkalainen sana "pyramidi" tulee egyptiläisestä ilmaisusta per-em-us, eli termistä, joka tarkoittaa pyramidin korkeutta. Erinomainen venäläinen egyptiologi V. Struve uskoi, että kreikkalainen "puram...j" tulee muinaisesta egyptiläisestä "p"-mr".

Historiasta. Tutkittuaan materiaalia Atanasyanin kirjoittajien oppikirjassa "Geometria". Butuzov ja muut, opimme, että: Monitahoista, joka koostuu n-kulmiosta A1A2A3 ... An ja n kolmiosta PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, kutsutaan pyramidiksi. Monikulmio A1A2A3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 ovat sivupinnat pyramidit, P – pyramidin huippu, segmentit PA1, PA2,…, PAn – sivureunat.

Tätä pyramidin määritelmää ei kuitenkaan aina ollut olemassa. Esimerkiksi, antiikin kreikkalainen matemaatikko, meille tulleiden matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittaja Eukleides määrittelee pyramidin keholliseksi hahmoksi, rajoittaa lentokoneet, jotka konvergoivat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Mutta tätä määritelmää kritisoitiin jo muinaisina aikoina. Joten Heron ehdotti seuraavaa pyramidin määritelmää: "Se on kuvio, jota rajoittavat yhdessä pisteessä lähentyvät kolmiot ja jonka kanta on monikulmio."

Ryhmämme vertailtuaan näitä määritelmiä tuli siihen tulokseen, että heillä ei ole selkeää "säätiön" käsitettä.

Tutkimme näitä määritelmiä ja löysimme Adrien Marie Legendren määritelmän, joka vuonna 1794 teoksessaan "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kiinteä hahmo, jonka muodostavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja päättyvät pyramidin eri puolille. tasainen pohja."

Meistä näyttää siltä, ​​​​että viimeinen määritelmä antaa selkeän käsityksen pyramidista, koska se me puhumme että pohja on tasainen. Toinen pyramidin määritelmä esiintyi 1800-luvun oppikirjassa: "pyramidi on avaruuskulma, jonka taso leikkaa."

Pyramidi geometrisena kappaleena.

Että. Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista (kanta) on monikulmio, muut pinnat (sivut) ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki (pyramidin kärki).

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan korkeush pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on olemassa oikea pyramidi jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

Kuvassa on pyramidi PABCD, ABCD on sen kanta, PO on sen korkeus.

Alue koko pinta pyramidi on sen kaikkien pintojen pinta-alojen summa.

Sfull = Sside + Smain, Missä Sivu– sivupintojen pinta-alojen summa.

Pyramidin tilavuus löytyy kaavalla:

V = 1/3Sbas. h, missä Sbas. - perusalue, h- korkeus.

Säännöllisen pyramidin akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden.
Apothem ST on säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. =1/2P h, jossa P on kannan ympärysmitta, h- sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin leikkaa taso A’B’C’D’, yhdensuuntainen kannan kanssa, niin:

1) sivurivat ja korkeus jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

2) poikkileikkauksessa saadaan monikulmio A’B’C’D’, samanlainen kuin kanta;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Katkaistun pyramidin pohjat– samanlaiset polygonit ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

Korkeus katkaistu pyramidi - tukien välinen etäisyys.

Katkaistu tilavuus pyramidi löytyy kaavasta:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sside = ½(P+P') h, jossa P ja P' ovat kantajen ympärysmitat, h- sivupinnan korkeus (tavallisen katkaistun piramin apoteemi

Pyramidin osiot.

Pyramidin huipun läpi kulkevien tasojen poikkileikkaukset ovat kolmioita.

Poikkileikkausta, joka kulkee pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi, kutsutaan diagonaalinen leikkaus.

Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, niin sen jälki pyramidin pohjan tasoon on tämä sivu.

Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla olevan pisteen läpi ja tietyn leikkausjäljen pohjatasolla, rakentaminen tulee suorittaa seuraavasti:

· löytää tietyn pinnan tason leikkauspiste ja pyramidin poikkileikkauksen jälki ja nimetä se;

· rakentaa tietyn pisteen ja tuloksena olevan leikkauspisteen kautta kulkeva suora;

· toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

, joka vastaa suorakulmaisen kolmion jalkojen suhdetta 4:3. Tämä jalkojen suhde vastaa hyvin tunnettua suorakulmaista kolmiota, jonka sivut ovat 3:4:5, jota kutsutaan "täydelliseksi", "pyhäksi" tai "egyptiläiseksi" kolmioksi. Historioitsijoiden mukaan "egyptiläiselle" kolmiolle annettiin maaginen merkitys. Plutarch kirjoitti, että egyptiläiset vertasivat maailmankaikkeuden luonnetta "pyhään" kolmioon; he vertasivat symbolisesti pystysuoraa jalkaa aviomieheen, pohjaa vaimoon ja hypotenuusa molemmista syntyneeseen.

Kolmiolle 3:4:5 yhtäläisyys on tosi: 32 + 42 = 52, mikä ilmaisee Pythagoraan lauseen. Eivätkö egyptiläiset papit halusivat jatkaa tätä lausetta pystyttämällä kolmioon 3:4:5 perustuvan pyramidin? Lisää on vaikea löytää hyvä esimerkki havainnollistaa Pythagoraan lausetta, jonka egyptiläiset tunsivat kauan ennen kuin Pythagoras löysi sen.

Siis loistavia tekijöitä Egyptin pyramidit pyrkivät hämmästyttämään kaukaisia ​​jälkeläisiä tietonsa syvyydellä, ja he saavuttivat tämän valitsemalla "kultaisen" suorakulmaisen kolmion "geometriseksi pääideaksi" Cheops-pyramidille ja "pyhän" tai "egyptiläisen" kolmion Khafren pyramidille. .

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan kultaisten suhteiden pyramidien ominaisuuksia.

Matemaattinen tietosanakirja antaa seuraavan määritelmän kultaiselle leikkaukselle - tämä on harmoninen jako, jako ääri- ja keskiarvosuhteisiin - jakaa janan AB kahteen osaan siten, että sen suurempi osa AC on keskiarvo verrannollinen koko segmentin välillä AB ja sen pienempi osa NE.

Janan kultaisen leikkauksen algebrallinen määritys AB = a pelkistyy yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a – x), josta x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. Suhde x voidaan ilmaista murto-osina 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, jossa 2, 3, 5, 8, 13, 21 ovat Fibonacci-lukuja.

Janan AB kultaisen leikkauksen geometrinen rakentaminen suoritetaan seuraavasti: pisteessä B palautetaan kohtisuora AB:tä vastaan, jana BE = 1/2 AB asetetaan sille, A ja E yhdistetään, DE = BE lomautetaan ja lopuksi AC = AD, niin yhtälö AB täyttyy: CB = 2:3.

kultainen leikkaus käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa ja luonnossa. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Myös ympärillämme olevat esineet tarjoavat esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidoksista leveys-pituussuhde on lähellä 0,618. Kun tarkastellaan lehtien sijoittelua kasvien yhteisessä varressa, voit huomata, että jokaisen kahden lehtiparin välissä kolmas sijaitsee kultaisessa suhteessa (diat). Jokainen meistä "kannaa" kultaista suhdetta mukanamme "käsissämme" - tämä on sormien sormien suhde.

Useiden matemaattisten papyrusten löytämisen ansiosta egyptiläiset ovat oppineet jotain muinaisista egyptiläisistä laskenta- ja mittausjärjestelmistä. Niiden sisältämät tehtävät ratkaisivat kirjanoppineet. Yksi tunnetuimmista on Rhindin matemaattinen papyrus. Näitä ongelmia tutkiessaan egyptiläiset oppivat, kuinka muinaiset egyptiläiset käsittelivät erilaisia ​​määriä, jotka syntyivät laskettaessa painon, pituuden ja tilavuuden mittoja, jotka usein sisälsivät murto-osia, sekä kuinka he käsittelivät kulmia.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät kulmien laskentamenetelmää, joka perustui suorakulmaisen kolmion korkeuden ja pohjan suhteeseen. Ne ilmaisivat minkä tahansa kulman gradientin kielellä. Kaltevuusgradientti ilmaistiin kokonaislukusuhteena, jota kutsutaan "secediksi". Richard Pillins selittää teoksessa Mathematics in the Age of the Pharaohs: "Säännöllisen pyramidin seked on minkä tahansa neljän kolmion pinnan kaltevuus pohjan tasoon nähden, mitattuna vaakasuuntaisten yksiköiden n:nnellä lukumäärällä pystysuoraa nousuyksikköä kohti. . Siten tämä mittayksikkö vastaa nykyaikaista kaltevuuskulmamme kotangenttiamme. Siksi egyptiläinen sana "seced" liittyy meidän moderni sana"kaltevuus"".

Pyramidien numeerinen avain on niiden korkeuden suhteessa pohjaan. Käytännössä tämä on helpoin tapa tehdä malleja, joita tarvitaan oikean kallistuskulman jatkuvaan tarkistamiseen koko pyramidin rakentamisen ajan.

Egyptologit vakuuttaisivat meidät mielellään siitä, että jokainen faarao halusi ilmaista yksilöllisyyttään, mistä johtuu kunkin pyramidin kaltevuuskulmien erot. Mutta syy voi olla toinenkin. Ehkä he kaikki halusivat ilmentää erilaisia ​​symbolisia assosiaatioita, jotka olivat piilossa eri suhteissa. Kuitenkin Khafren pyramidin kulma (perustuu kolmioon (3:4:5)) esiintyy Rhindin matemaattisen papyruksen pyramidien esittämissä kolmessa tehtävässä. Joten tämä asenne oli muinaisten egyptiläisten tiedossa.

Ollakseni oikeudenmukainen egyptologeja kohtaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset eivät olleet tietoisia kolmiosta 3:4:5, hypotenuusan 5 pituutta ei koskaan mainittu. Mutta pyramideihin liittyvät matemaattiset ongelmat ratkaistaan ​​aina seceda-kulman - korkeuden suhteen pohjaan - perusteella. Koska hypotenuusan pituutta ei koskaan mainittu, pääteltiin, että egyptiläiset eivät koskaan laskeneet kolmannen sivun pituutta.

Gizan pyramideissa käytetyt korkeuden ja pohjan suhteet olivat epäilemättä muinaiset egyptiläiset tiedossa. On mahdollista, että nämä suhteet kullekin pyramidille valittiin mielivaltaisesti. Tämä on kuitenkin ristiriidassa numerosymbolismin merkityksen kanssa kaikenlaisissa egyptiläisissä Kuvataide. On hyvin todennäköistä, että tällaiset suhteet olivat merkittäviä, koska ne ilmaisivat erityisiä uskonnollisia ajatuksia. Toisin sanoen koko Gizan kompleksi alistettiin johdonmukaiselle suunnittelulle, joka oli suunniteltu heijastamaan tiettyä jumalallista teemaa. Tämä selittäisi, miksi suunnittelijat valitsivat kolmelle pyramidille eri kulmat.

Orionin mysteerissä Bauval ja Gilbert esittivät vakuuttavia todisteita, jotka yhdistävät Gizan pyramidit Orionin tähtikuvioon, erityisesti Orionin vyön tähtiin. Sama tähdistö on läsnä Isiksen ja Osiriksen myytissä, ja siihen on syytä jokainen pyramidi edustaa yhtä kolmesta pääjumaluudesta - Osiris, Isis ja Horus.

"GEOMETRISET" IHMEET.

Egyptin mahtavien pyramidien joukossa sillä on erityinen paikka Farao Cheopsin suuri pyramidi (Khufu). Ennen kuin alamme analysoida Cheops-pyramidin muotoa ja kokoa, meidän tulisi muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärä" (466 mm), joka vastasi seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan ​​vastasi neljää "sormea" (16,6 mm).

Analysoidaanpa Cheops-pyramidin mittoja (kuva 2) ukrainalaisen tiedemiehen Nikolai Vasjutinskin upeassa kirjassa "Kultainen osuus" (1990) esitettyjen perusteiden mukaisesti.

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että esimerkiksi pyramidin pohjan sivun pituus GF yhtä kuin L= 233,16 m Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 kyynärpäätä. Täysi noudattaminen 500 "kyynärpäätä" tapahtuu, jos "kyynärpään" pituuden katsotaan olevan 0,4663 m.

Pyramidin korkeus ( H) on tutkijoiden arvioitu vaihtelevasti 146,6 - 148,2 m ja pyramidin hyväksytystä korkeudesta riippuen kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvioiden erot? Tosiasia on, että tarkasti ottaen Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylätaso on nykyään noin 10´10 m, mutta sata vuotta sitten se oli 6´6 m. Ilmeisesti pyramidin huippu purettiin, eikä se vastaa alkuperäistä.

Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä kuin rakenteen "luonnos". Pitkän ajan kuluessa valtavan paineen vaikutuksesta (joka saavutti 500 tonnia alapinnan 1 m2:tä kohti) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteensa verrattuna.

Mikä oli pyramidin alkuperäinen korkeus? Tämä korkeus voidaan luoda uudelleen etsimällä pyramidin "geometrinen perusidea".

Kuva 2.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi. a= 51°51". Useimmat tutkijat tunnistavat tämän arvon vielä tänäkin päivänä. Määritetty kulman arvo vastaa tangenttia (tg a), yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin korkeuden suhdetta AC puoleen sen pohjasta C.B.(Kuva 2), eli A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja tässä tutkijat kohtasivat suuren yllätyksen!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vertaamalla tätä arvoa tg-arvoon a= 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a= 51°50", eli pienennä sitä vain yhdellä kaariminuutilla, sitten arvo a tulee yhtä suureksi kuin 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo a=51°50".

Nämä mittaukset johtivat tutkijat seuraavaan erittäin mielenkiintoiseen hypoteesiin: Cheopsin pyramidin kolmio ACB perustui suhteeseen AC / C.B. = = 1,272!

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota ABC, jossa jalkojen suhde A.C. / C.B.= (Kuva 2). Jos nyt suorakulmion sivujen pituudet ABC nimetä x, y, z, ja ota myös huomioon, että suhde y/x= , sitten Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaavalla:

Jos hyväksymme x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kuva 3."Kultainen" suorakulmainen kolmio.

Suorakulmainen kolmio, jonka sivut liittyvät toisiinsa kuten t:kultainen" suorakulmainen kolmio.

Sitten, jos otamme perustaksi hypoteesin, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin tästä voimme helposti laskea Cheops-pyramidin "suunnittelukorkeuden". Se on yhtä suuri kuin:

H = (L/2) ' = 148,28 m.

Johdetaan nyt joitain muita suhteita Cheops-pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinta-alan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan pituuden C.B. yksikköä kohti, eli: C.B.= 1. Mutta sitten pyramidin pohjan sivun pituus GF= 2 ja pohjan pinta-ala EFGH tulee olemaan tasa-arvoisia SEFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala SD. Koska korkeus AB kolmio AEF yhtä kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri SD = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4 t, ja pyramidin ulkopinta-alan suhde pohjan pinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen suhde! Sitä se on - Cheops-pyramidin tärkein geometrinen mysteeri!

Cheops-pyramidin "geometristen ihmeiden" ryhmä sisältää todellisia ja kaukaa haettuja ominaisuuksia pyramidin eri ulottuvuuksien välisistä suhteista.

Yleensä ne saadaan etsimällä tiettyjä "vakioita", erityisesti numeroa "pi" (Ludolfon luku), joka on yhtä suuri kuin 3,14159...; luonnollisten logaritmien kanta "e" (Neperovo-luku), yhtä suuri kuin 2,71828...; numero "F", "kultaisen leikkauksen" numero, joka on esimerkiksi 0,618... jne.

Voit nimetä esimerkiksi: 1) Herodotuksen ominaisuus: (Korkeus)2 = 0,5 art. perus x Apothem; 2) V:n omaisuus. Hinta: Korkeus: 0,5 art. kanta = "F":n neliöjuuri; 3) M. Eistin ominaisuus: Pohjan ympärysmitta: 2 Korkeus = "Pi"; eri tulkinnassa - 2 rkl. perus : Korkeus = "Pi"; 4) G. Edge:n ominaisuus: Piirretyn ympyrän säde: 0,5 art. perus = "F"; 5) K. Kleppischin omaisuus: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. pää X Apothem) + (v. main)2). Jne. Voit keksiä monia tällaisia ​​ominaisuuksia, varsinkin jos yhdistät kaksi vierekkäistä pyramidia. Esimerkiksi "A. Arefjevin ominaisuuksina" voidaan mainita, että Kheopsin pyramidin ja Khafren pyramidin tilavuusero on kaksinkertainen Mikerinin pyramidin tilavuuteen...

Monia mielenkiintoisia kohtia, erityisesti pyramidien rakentamisesta "kultaisen leikkauksen" mukaan, on esitetty D. Hambidgen kirjoissa "Dynaaminen symmetria arkkitehtuurissa" ja M. Gick "Suhteen estetiikka luonnossa ja taiteessa". Muistetaan, että "kultainen suhde" on segmentin jako sellaisessa suhteessa, että osa A on yhtä monta kertaa suurempi kuin osa B, kuinka monta kertaa A pienempi kuin koko segmentti A + B. Suhde A/B on yhtä suuri kuin luku "F" == 1,618 .. "Kultaisen suhteen" käyttö on osoitettu paitsi yksittäisissä pyramideissa, myös koko Gizan pyramidikompleksissa.

Kaikkein kummallisinta on kuitenkin se, että yksi ja sama Cheops-pyramidi "ei voi" sisältää niin monia upeita ominaisuuksia. Kun otetaan tietty ominaisuus yksitellen, se voidaan "sovittaa", mutta ne kaikki eivät sovi kerralla - ne eivät ole samat, ne ovat ristiriidassa keskenään. Siksi, jos esimerkiksi kaikkia ominaisuuksia tarkasteltaessa otamme aluksi pyramidin pohjan (233 m) samalla puolella, myös eri ominaisuuksien omaavien pyramidien korkeudet ovat erilaisia. Toisin sanoen on olemassa tietty "perhe" pyramideja, jotka ovat ulkoisesti samanlaisia ​​kuin Cheops, mutta joilla on erilaiset ominaisuudet. Huomaa, että "geometrisissa" ominaisuuksissa ei ole mitään erityisen ihmeellistä - paljon syntyy puhtaasti automaattisesti, itse kuvion ominaisuuksista. "Ihme" tulisi pitää vain jotain, mikä oli selvästi mahdotonta muinaisille egyptiläisille. Tämä sisältää erityisesti "kosmiset" ihmeet, joissa Cheops-pyramidin tai Gizan pyramidikompleksin mittoja verrataan joihinkin tähtitieteellisiin mittauksiin ja esitetään "parilliset" numerot: miljoona kertaa vähemmän, miljardi kertaa vähemmän ja pian. Tarkastellaanpa joitain "kosmisia" suhteita.

Yksi lauseista on: "Jos jaat pyramidin pohjan sivun tarkalla vuoden pituudella, saat täsmälleen 10 miljoonasosaa maan akselista." Laske: jaa 233 luvulla 365, saamme 0,638. Maan säde on 6378 km.

Toinen väite on itse asiassa edellisen vastakohta. F. Noetling huomautti, että jos käytämme "egyptiläistä kyynärää", jonka hän itse keksi, niin pyramidin sivu vastaa "aurinkovuoden tarkinta kestoa, ilmaistuna lähimpään yhden miljardisosan tarkkuudella" - 365.540. 903,777.

P. Smithin lausunto: "Pyramidin korkeus on täsmälleen yksi miljardisosa etäisyydestä Maan ja Auringon välillä." Vaikka korkeus on tavallisesti 146,6 m, Smith otti sen nykyisten tutkamittausten mukaan 148,2 metriksi puolipääakseli Maan kiertorata on 149 597 870 + 1,6 km. Tämä on keskimääräinen etäisyys Maan ja Auringon välillä, mutta perihelionissa se on 5 000 000 kilometriä pienempi kuin aphelionissa.

Viimeinen mielenkiintoinen lausunto:

"Kuinka voimme selittää, että Cheopsin, Khafren ja Mykerinuksen pyramidien massat liittyvät toisiinsa, kuten planeettojen Maa, Venus ja Mars massat?" Lasketaan. Kolmen pyramidin massat ovat: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolmen planeetan massojen suhteet: Venus - 0,815; Maa - 1 000; Mars - 0,108.

Joten skeptisisyydestä huolimatta panemme merkille lausuntojen rakentamisen tunnetun harmonian: 1) pyramidin korkeus, kuten "avaruuteen menevä" viiva, vastaa etäisyyttä Maasta Auringoon; 2) pyramidin pohjan sivu, joka on lähinnä "substraattia", eli maata, vastaa maan säteestä ja maan kierrosta; 3) pyramidin tilavuudet (lue - massat) vastaavat Maata lähimpänä olevien planeettojen massojen suhdetta. Samanlainen "salaus" voidaan jäljittää esimerkiksi Karl von Frischin analysoimassa mehiläiskielessä. Emme kuitenkaan toistaiseksi kommentoi tätä asiaa.

PYRAMIDIN MUOTO

Pyramidien kuuluisa tetraedrinen muoto ei syntynyt heti. Skytialaiset tekivät hautauksia maakukkulien - kumpujen - muodossa. Egyptiläiset rakensivat kivestä "kukkulia" - pyramideja. Tämä tapahtui ensimmäisen kerran Ylä- ja Ala-Egyptin yhdistämisen jälkeen, 2700-luvulla eKr., jolloin kolmannen dynastian perustaja, faarao Djoser (Zoser), joutui maan yhtenäisyyden vahvistamiseen.

Ja tässä historioitsijoiden mukaan tärkeä rooli Kuninkaan "uudella jumaluuskonseptilla" oli rooli keskusvallan vahvistamisessa. Vaikka kuninkaalliset hautaukset erottuivat suuremmasta loistosta, ne eivät periaatteessa eronneet hoviaatelisten haudoista, ne olivat samoja rakenteita - mastabat. Muumion sisältävän sarkofagin kammion yläpuolelle kaadettiin pienistä kivistä koostuva suorakaiteen muotoinen kukkula, johon sitten asetettiin pieni suurista kivipaloista valmistettu rakennus - "mastaba" (arabiaksi - "penkki"). Faarao Djoser pystytti ensimmäisen pyramidin edeltäjänsä Sanakhtin mastaban paikalle. Se oli porrastettu ja oli näkyvä siirtymävaihe yhdestä arkkitehtonisesta muodosta toiseen, mastabasta pyramidiin.

Tällä tavalla viisas ja arkkitehti Imhotep, jota myöhemmin pidettiin velhona ja jonka kreikkalaiset identifioivat jumalaan Asclepius, "kasvatti" faaraon. Oli kuin kuusi mastabaa olisi pystytetty peräkkäin. Lisäksi ensimmäinen pyramidi miehitti alueen 1125 x 115 metriä, ja sen arvioitu korkeus oli 66 metriä (egyptiläisten standardien mukaan - 1000 "kämmentä"). Aluksi arkkitehti suunnitteli rakentavansa mastaban, mutta ei pitkulaisen, vaan neliömäisen. Myöhemmin sitä laajennettiin, mutta koska jatke tehtiin alemmas, tuntui siltä, ​​​​että siinä oli kaksi askelmaa.

Tämä tilanne ei tyydyttänyt arkkitehtuuria, ja valtavan litteän mastaban ylätasolle Imhotep asetti kolme lisää, laskeen vähitellen ylöspäin. Hauta sijaitsi pyramidin alla.

Useita porraspyramideja tunnetaan lisää, mutta myöhemmin rakentajat siirtyivät rakentamaan meille tutumpia tetraedrisiä pyramideja. Miksei kuitenkaan kolmiomainen tai vaikkapa kahdeksankulmainen? Epäsuoran vastauksen antaa se tosiasia, että melkein kaikki pyramidit ovat täydellisesti suunnattuja neljää pääsuuntaa pitkin, ja siksi niillä on neljä sivua. Lisäksi pyramidi oli "talo", nelikulmaisen hautakammion kuori.

Mutta mikä määritti kasvojen kaltevuuskulman? Kirjassa "Muhtasuhteiden periaate" on kokonainen luku omistettu tälle: "Mikä olisi voinut määrittää pyramidien kaltevuuskulmat." Erityisesti on osoitettu, että "kuva, johon vanhan valtakunnan suuret pyramidit vetoavat, on kolmio, jonka huipussa on suora kulma.

Avaruudessa se on puolioktaedri: pyramidi, jossa pohjan reunat ja sivut ovat yhtä suuret, pinnat ovat tasasivuiset kolmiot Hambidgen, Gickin ja muiden kirjoissa esitetään tiettyjä pohdintoja tästä aiheesta.

Mikä on puolioktaedrikulman etu? Arkeologien ja historioitsijoiden kuvausten mukaan jotkut pyramidit romahtivat oman painonsa alla. Tarvittiin "kestävyyskulma", kulma, joka oli energeettisesti luotettavin. Puhtaasti empiirisesti tämä kulma voidaan ottaa kärkikulmasta murenevan kuivan hiekan kasassa. Mutta saadaksesi tarkkoja tietoja, sinun on käytettävä mallia. Kun otat neljä lujasti kiinnitettyä palloa, sinun on asetettava viides pallo niiden päälle ja mitattava kaltevuuskulmat. Tässä voit kuitenkin tehdä virheen, joten teoreettinen laskelma auttaa: sinun pitäisi yhdistää pallojen keskipisteet viivoilla (henkisesti). Pohja on neliö, jonka sivu on kaksi kertaa säde. Neliö on vain pyramidin pohja, jonka reunojen pituus on myös kaksi kertaa säde.

Siten pallojen tiivis pakkaus, kuten 1:4, antaa meille tavallisen puolioktaedrin.

Miksi monet pyramidit, jotka vetoavat kohti samanlaista muotoa, eivät kuitenkaan säilytä sitä? Pyramidit ovat todennäköisesti vanhentuneita. Toisin kuin kuuluisa sanonta:

"Kaikki maailmassa pelkää aikaa ja aika pelkää pyramideja", pyramidien rakennusten täytyy ikääntyä, niissä ei voi ja pitäisi tapahtua vain ulkoisia sään prosesseja, vaan myös sisäisiä "kutistumisprosesseja", jotka voivat saada pyramidit laskemaan. Kutistuminen on mahdollista myös siksi, että kuten D. Davidovitsin työ paljastaa, muinaiset egyptiläiset käyttivät tekniikkaa, jossa tehtiin lohkoja kalkkilastuista, toisin sanoen "betonista". Juuri samanlaiset prosessit voisivat selittää syyn Kairosta 50 km etelään sijaitsevan Medum Pyramidin tuhoutumiseen. Se on 4600 vuotta vanha, pohjan mitat ovat 146 x 146 m, korkeus 118 m. "Miksi se on niin turmeltunut?" kysyy V. Zamarovsky "Tavalliset viittaukset ajan tuhoamiseen ja "kiven käyttöön muihin rakennuksiin" eivät sovellu tähän.

Loppujen lopuksi suurin osa sen lohkoista ja päällyslaatoista on pysynyt paikoillaan tähän päivään asti raunioina sen juurella." Kuten tulemme näkemään, monet säännökset saavat meidät jopa ajattelemaan, että myös kuuluisa Kheopsin pyramidi "kutistui". joka tapauksessa kaikissa muinaisissa kuvissa pyramidit ovat teräviä ...

Pyramidien muoto on voitu luoda myös jäljitelmällä: joitain luonnollisia näytteitä, "ihmetäydellisyyttä", esimerkiksi joitain kiteitä oktaedrin muodossa.

Samanlaisia ​​kiteitä voivat olla timantti- ja kultakiteet. Suuri määrä "päällekkäisiä" ominaisuuksia on tyypillistä sellaisille käsitteille kuin farao, aurinko, kulta, timantti. Kaikkialla - jalo, loistava (loistava), upea, moitteeton ja niin edelleen. Yhtäläisyydet eivät ole sattumaa.

Aurinkokultti, kuten tiedetään, oli tärkeä osa uskonto Muinainen Egypti. "Riippumatta siitä, kuinka käännämme suurimman pyramidin nimen", huomautetaan yhdessä nykyaikaisista käsikirjoista "The Sky of Khufu" tai "The Skyward Khufu", se tarkoitti, että kuningas on aurinko. Jos Khufu, voimansa loistossa, kuvitteli olevansa toinen aurinko, hänen poikansa Djedef-Ra oli ensimmäinen Egyptin kuninkaista, joka kutsui itseään "Ra-pojaksi", toisin sanoen Auringon pojaksi. Aurinkoa symboloi lähes kaikissa kansoissa "aurinkometalli", kulta. "Suuri kiekko kirkasta kultaa" - niin egyptiläiset kutsuivat päivänvaloamme. Egyptiläiset tunsivat kullan täydellisesti, he tunsivat sen alkuperäiset muodot, joissa kultakiteet voivat esiintyä oktaedrien muodossa.

"Aurinkokivi" - timantti - on myös mielenkiintoinen tässä "muotoesimerkkinä". Timantin nimi tuli juuri arabimaailmasta, "almas" - vaikein, kovin, tuhoutumaton. Muinaiset egyptiläiset tunsivat timantin ja sen ominaisuudet melko hyvin. Joidenkin kirjoittajien mukaan he jopa käyttivät pronssiputkia timanttileikkureilla poraamiseen.

Nykyään timanttien päätoimittaja on Etelä-Afrikka, mutta myös Länsi-Afrikka on runsaasti timantteja. Malin tasavallan aluetta kutsutaan jopa "timanttimaaksi". Samaan aikaan Dogon asuu Malin alueella, jonka kanssa paleovisit-hypoteesin kannattajat panevat monia toiveita (katso alla). Timantit eivät voineet olla syynä muinaisten egyptiläisten yhteyksiin tälle alueelle. Kuitenkin tavalla tai toisella on mahdollista, että juuri kopioimalla timanttien ja kultakiteiden oktaedreja muinaiset egyptiläiset jumalailivat näin faaraot, "tuhoutumattomia" kuin timantti ja "loistavia" kuin kulta, Auringon poikia, jotka ovat vertailukelpoisia. luonnon upeimpiin luomuksiin.

Johtopäätös:

Tutkittuamme pyramidia geometrisena kappaleena, tutustunut sen elementteihin ja ominaisuuksiin, olimme vakuuttuneita pyramidin muodon kauneudesta annetun mielipiteen pätevyydestä.

Tutkimuksemme tuloksena tulimme siihen tulokseen, että egyptiläiset, kerättyään arvokkaimman matemaattisen tiedon, sisälsivät sen pyramidiin. Siksi pyramidi on todella luonnon ja ihmisen täydellisin luomus.

KIRJASTUS

"Geometria: Oppikirja. 7-9 luokalle. Yleissivistävä koulutus laitokset, jne. - 9. painos - M.: Koulutus, 1999

Matematiikan historia koulussa, M: "Prosveshchenie", 1982.

Geometria 10-11 luokka, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Kheopsin suuren pyramidin salaisuudet", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Internet-resurssit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Kun ratkaistaan ​​tehtävää C2 koordinaattimenetelmällä, monet opiskelijat kohtaavat saman ongelman. He eivät osaa laskea pisteiden koordinaatit sisältyy kaavaan pistetuote. Suurimmat vaikeudet syntyvät pyramidit. Ja jos peruspisteitä pidetään enemmän tai vähemmän normaaleina, niin topit ovat todellinen helvetti.

Tänään työskentelemme tavallisen nelikulmaisen pyramidin parissa. Siellä on myös kolmion muotoinen pyramidi (alias tetraedri). Se on enemmän monimutkainen muotoilu, joten sille omistetaan erillinen oppitunti.

Aluksi muistetaan määritelmä:

Tavallinen pyramidi on sellainen, joka:

1. Pohja on säännöllinen monikulmio: kolmio, neliö jne.;
2. Pohjaan vedetty korkeus kulkee sen keskustan läpi.

Erityisesti perusta nelikulmainen pyramidi On neliö. Aivan kuten Cheops, vain hieman pienempi.

Alla on laskelmat pyramidille, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1. Jos tämä ei pidä paikkaansa ongelmassasi, laskelmat eivät muutu - vain luvut ovat erilaisia.

Nelikulmaisen pyramidin huiput

Olkoon siis säännöllinen nelikulmainen pyramidi SABCD, jossa S on kärki ja kanta ABCD on neliö. Kaikki reunat ovat yhtä suuria kuin 1. Sinun on syötettävä koordinaattijärjestelmä ja löydettävä kaikkien pisteiden koordinaatit. Meillä on:

Otamme käyttöön koordinaattijärjestelmän, jonka origo on pisteessä A:

1. OX-akseli on suunnattu yhdensuuntaisesti reunan AB kanssa;
2. OY-akseli on yhdensuuntainen AD:n kanssa. Koska ABCD on neliö, AB ⊥ AD;
3. Lopuksi suuntaamme OZ-akselin ylöspäin, kohtisuoraan ABCD-tasoon nähden.

Nyt lasketaan koordinaatit. Lisärakenne: SH - korkeus vedetty alustaan. Mukavuuden vuoksi asetamme pyramidin pohjan erilliseen piirustukseen. Koska pisteet A, B, C ja D ovat OXY-tasossa, niiden koordinaatti on z = 0. Meillä on:

1. A = (0; 0; 0) - on sama kuin origo;
2. B = (1; 0; 0) - askel kerrallaan OX-akselia pitkin origosta;
3. C = (1; 1; 0) - askel kerrallaan OX-akselia pitkin ja 1 OY-akselia pitkin;
4. D = (0; 1; 0) - askel vain OY-akselia pitkin.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - neliön keskipiste, segmentin AC keskikohta.

On vielä löydettävä pisteen S koordinaatit. Huomaa, että pisteiden S ja H x- ja y-koordinaatit ovat samat, koska ne ovat OZ-akselin suuntaisella suoralla. On vielä löydettävä pisteen S z-koordinaatti.

Harkitse kolmioita ASH ja ABH:

1. AS = AB = 1 ehdon mukaan;
2. Kulma AHS = AHB = 90°, koska SH on neliön korkeus ja AH ⊥ HB neliön lävistäjänä;
3. Sivu AH on yleinen.

Siksi suorakulmaiset kolmiot ASH ja ABH yhtä suuri yksi jalka ja yksi hypotenuusa kumpikin. Tämä tarkoittaa, että SH = BH = 0,5 BD. Mutta BD on neliön lävistäjä, jonka sivu on 1. Siksi meillä on:

Pisteen S kokonaiskoordinaatit:

Lopuksi kirjoitamme muistiin säännöllisen suorakaiteen muotoisen pyramidin kaikkien kärkien koordinaatit:

Mitä tehdä, kun kylkiluut ovat erilaiset

Entä jos pyramidin sivureunat eivät ole yhtä suuret kuin pohjan reunat? Harkitse tässä tapauksessa kolmiota AHS:

Kolmio AHS - suorakulmainen, ja hypotenuusa AS on myös alkuperäisen pyramidin SABCD sivureuna. Jalan AH on helppo laskea: AH = 0,5 AC. Löydämme jäljellä olevan jalan SH Pythagoraan lauseen mukaan. Tämä on pisteen S z-koordinaatti.

Tehtävä. Annettu säännöllinen nelikulmainen pyramidi SABCD, jonka pohjalla on neliö, jonka sivu on 1. Sivureuna BS = 3. Etsi pisteen S koordinaatit.

Tiedämme jo tämän pisteen x- ja y-koordinaatit: x = y = 0,5. Tämä seuraa kahdesta tosiasiasta:

1. Pisteen S projektio OXY-tasolle on piste H;
2. Samanaikaisesti piste H on neliön ABCD keskipiste, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret kuin 1.

Vielä on löydettävä pisteen S koordinaatti. Harkitse kolmiota AHS. Se on suorakaiteen muotoinen, hypotenuusa AS = BS = 3 ja haara AH on puolet lävistäjästä. Lisälaskelmia varten tarvitsemme sen pituuden:

Pythagoraan lause kolmiolle AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Meillä on:

Eli pisteen S koordinaatit:

Opiskelijat kohtaavat pyramidin käsitteen kauan ennen geometrian opiskelua. Vika on kuuluisissa Egyptin maailman ihmeissä. Siksi useimmat opiskelijat kuvittelevat sen jo selvästi aloittaessaan tutkimaan tätä upeaa monitahoista. Kaikki yllä mainitut nähtävyydet ovat oikean muotoisia. Mitä on tapahtunut tavallinen pyramidi, ja mitä ominaisuuksia sillä on, käsitellään myöhemmin.

Yhteydessä

Määritelmä

Pyramidille on olemassa monia määritelmiä. Muinaisista ajoista lähtien se on ollut erittäin suosittu.

Esimerkiksi Eukleides määritteli sen keholliseksi hahmoksi, joka koostuu tasoista, jotka yhdestä alkaen konvergoivat tietyssä pisteessä.

Heron tarjosi tarkemman muotoilun. Hän väitti, että tämä oli se luku siinä on kanta ja tasot kolmioiden muodossa, lähentyvät yhdessä vaiheessa.

Luottaa johonkin moderni tulkinta, pyramidi esitetään avaruudellisena monitahoisena, joka koostuu tietystä k-gonista ja k litteästä kolmiomaisesta hahmosta, joilla on yksi yhteinen piste.

Katsotaanpa sitä tarkemmin, mistä elementeistä se koostuu:

• K-gonia pidetään kuvion perustana;
• 3-kulmaiset muodot ulkonevat sivuosan reunoilla;
• yläosaa, josta sivuelementit ovat peräisin, kutsutaan huipuksi;
• kaikkia kärkeä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan reunoiksi;
• jos suora lasketaan kärjestä kuvion tasoon 90 asteen kulmassa, niin sen osa, joka on suljettu sisäinen tila- pyramidin korkeus;
• missä tahansa lateraalisessa elementissä kohtisuora, jota kutsutaan apoteemiksi, voidaan piirtää monitahoisen sivulle.

Reunojen lukumäärä lasketaan kaavalla 2*k, jossa k on k-gonin sivujen lukumäärä. Kuinka monta pintaa monitahoisella, kuten pyramidilla, on, voidaan määrittää lausekkeella k+1.

Tärkeä! Säännöllisen muotoinen pyramidi on stereometrinen kuvio, jonka kantataso on k-gon, jolla on yhtäläiset sivut.

Perusominaisuudet

Oikea pyramidi on monia ominaisuuksia, jotka ovat hänelle ainutlaatuisia. Listataan ne:

1. Perusta on oikean muotoinen hahmo.
2. Pyramidin reunoilla, jotka rajoittavat sivuelementtejä, on samat numeroarvot.
3. Sivuelementit ovat tasakylkisiä kolmioita.
4. Kuvan korkeuden kanta osuu monikulmion keskelle, kun se on samanaikaisesti piirretyn ja rajatun keskipiste.
5. Kaikki sivurivat on kallistettu alustan tasoon nähden samassa kulmassa.
6. Kaikilla sivupinnoilla on sama kaltevuuskulma pohjaan nähden.

Kaikkien lueteltujen ominaisuuksien ansiosta elementtilaskelmien suorittaminen on paljon yksinkertaisempaa. Yllä olevien ominaisuuksien perusteella kiinnitämme huomiota kaksi merkkiä:

1. Siinä tapauksessa, että monikulmio sopii ympyrään, sivupinnoilla on pohja yhtäläiset kulmat.
2. Kun kuvataan ympyrää monikulmion ympärillä, kaikilla kärjestä lähtevillä pyramidin reunoilla on yhtä pitkät ja yhtä suuret kulmat kantaan nähden.

Pohja on neliö

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - monitahoinen, jonka kanta on neliö.

Siinä on neljä sivupintaa, jotka ovat ulkonäöltään tasakylkisiä.

Neliö on kuvattu tasossa, mutta se perustuu kaikkiin säännöllisen nelikulmion ominaisuuksiin.

Jos esimerkiksi on tarpeen suhteuttaa neliön sivu sen lävistäjään, käytä seuraavaa kaavaa: diagonaali on yhtä suuri kuin neliön sivun ja kahden neliöjuuren tulo.

Se perustuu säännölliseen kolmioon

Säännöllinen kolmiopyramidi on monitahoinen, jonka kanta on säännöllinen 3 kulmio.

Jos pohja on säännöllinen kolmio ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin pohjan reunat, niin tällainen kuva kutsutaan tetraedriksi.

Kaikki tetraedrin pinnat ovat tasasivuisia 3 kulmia. SISÄÄN tässä tapauksessa Sinun on tiedettävä joitain kohtia eikä tuhlata aikaa niihin laskettaessa:

• kylkiluiden kaltevuuskulma mihin tahansa alustaan ​​on 60 astetta;
• kaikkien sisäpintojen koko on myös 60 astetta;
• kaikki kasvot voivat toimia pohjana;
• , jotka on piirretty kuvion sisään, nämä ovat samanarvoisia elementtejä.

Monitahoisen osat

Missä tahansa polyhedronissa niitä on useita tyyppejä tasainen. Usein sisään koulun kurssi geometriat toimivat kahdella:

• aksiaalinen;
• rinnakkain perustan kanssa.

Aksiaalinen leikkaus saadaan, kun taso leikkaa monitahoisen, joka kulkee kärjen, sivureunojen ja akselin läpi. Tässä tapauksessa akseli on kärjestä vedetty korkeus. Leikkaustasoa rajoittavat leikkausviivat kaikkien pintojen kanssa, jolloin tuloksena on kolmio.

Huomio! SISÄÄN oikea pyramidi aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio.

Jos leikkaustaso kulkee yhdensuuntaisesti alustan kanssa, tuloksena on toinen vaihtoehto. Tässä tapauksessa meillä on pohjan kaltainen poikkileikkauskuva.

Esimerkiksi, jos jalustassa on neliö, pohjan suuntainen osa on myös neliö, mutta sen mitat ovat pienemmät.

Ratkaistaessaan ongelmia tässä tilanteessa he käyttävät kuvioiden samankaltaisuuden merkkejä ja ominaisuuksia, perustuu Thalesin lauseeseen. Ensinnäkin on tarpeen määrittää samankaltaisuuskerroin.

Jos taso piirretään yhdensuuntaiseksi pohjan kanssa ja se katkaisee monitahoisen yläosan, niin alaosaan saadaan säännöllinen katkaistu pyramidi. Tällöin katkaistun monitahoisen kantapään sanotaan olevan samanlaisia ​​polygoneja. Tässä tapauksessa sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita. Aksiaalinen leikkaus on myös tasakylkinen.

Katkaistun monitahoisen korkeuden määrittämiseksi on tarpeen piirtää korkeus aksiaalileikkaukseen, toisin sanoen puolisuunnikkaan.

Pinta-alueet

Tärkeimmät geometriset ongelmat, jotka koulun geometriakurssilla on ratkaistava, ovat pyramidin pinta-alan ja tilavuuden löytäminen.

Pinta-ala-arvoja on kahdenlaisia:

• sivuelementtien pinta-ala;
• koko pinnan alueella.

Itse nimestä on selvää, mistä puhumme. Sivupinta sisältää vain sivuelementtejä. Tästä seuraa, että sen löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti laskettava yhteen sivutasojen pinta-alat, toisin sanoen tasakylkisten 3 kulmien alueet. Yritetään johtaa kaava sivuelementtien pinta-alalle:

1. Tasakylkisen 3 kulman pinta-ala on Str=1/2(aL), missä a on kannan sivu, L on apoteemi.
2. Sivutasojen määrä riippuu pohjan k-gonin tyypistä. Esimerkiksi säännöllisessä nelikulmaisessa pyramidissa on neljä sivutasoa. Siksi on tarpeen lisätä neljän luvun alueet Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Lauseke yksinkertaistuu tällä tavalla, koska arvo on 4a = Rosn, missä Rosn on kannan ympärysmitta. Ja lauseke 1/2*Rosn on sen puolikehä.
3. Joten päätämme, että säännöllisen pyramidin sivuelementtien pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo: Sside = Rosn * L.

Pyramidin kokonaispinnan pinta-ala koostuu sivutasojen ja pohjan pinta-alojen summasta: Sp.p = Sside + Sbas.

Mitä tulee pohjan pinta-alaan, kaavaa käytetään tässä monikulmion tyypin mukaan.

Säännöllisen pyramidin tilavuus yhtä suuri kuin perustason pinta-alan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella: V=1/3*Sbas*H, missä H on monitahoisen korkeus.

Mikä on säännöllinen pyramidi geometriassa

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ominaisuudet

Ensimmäinen taso

Pyramidi. Visuaalinen opas (2019)

Mikä on pyramidi?

Miltä hän näyttää?

Näet: pyramidin alaosassa (he sanovat " tukikohdassa") jokin monikulmio, ja kaikki tämän monikulmion kärjet ovat yhteydessä johonkin avaruuden pisteeseen (tätä pistettä kutsutaan " kärkipiste»).

Tämä koko rakenne on edelleen olemassa sivupinnat, kylkiluut Ja pohjakylkiluut. Piirretään vielä kerran pyramidi kaikkien näiden nimien kanssa:

Jotkut pyramidit voivat näyttää hyvin oudolta, mutta ne ovat silti pyramideja.

Tässä on esimerkiksi täysin "vino" pyramidi.

Ja vielä vähän nimistä: jos pyramidin pohjassa on kolmio, niin pyramidia kutsutaan kolmioksi, jos se on nelikulmio, niin nelikulmaiseksi ja jos se on centagon, niin... arvaa itse .

Samaan aikaan piste, jossa se putosi korkeus, nimeltään korkeus pohja. Huomaa, että "kieroissa" pyramideissa korkeus saattaa jopa päätyä pyramidin ulkopuolelle. Kuten tämä:

Eikä siinä ole mitään vikaa. Se näyttää tylsältä kolmiolta.

Oikea pyramidi.

Paljon monimutkaisia ​​sanoja? Selvitetään: "Tietoksessa - oikein" - tämä on ymmärrettävää. Muistakaamme nyt, että säännöllisellä monikulmiolla on keskus - piste, joka on ja , ja .

No, sanat "yläosa heijastetaan alustan keskelle" tarkoittavat, että korkeuden pohja putoaa tarkalleen alustan keskelle. Katso kuinka sileältä ja söpöltä se näyttää tavallinen pyramidi.

Kuusikulmainen: tukikohdassa - säännöllinen kuusikulmio, yläosa heijastetaan alustan keskelle.

Nelikulmainen: pohja on neliö, yläosa heijastetaan tämän neliön lävistäjien leikkauspisteeseen.

Kolmion muotoinen: pohjassa on säännöllinen kolmio, jonka kärki projisoidaan tämän kolmion korkeuksien (ne ovat myös mediaaneja ja puolittajia) leikkauspisteeseen.

Erittäin säännöllisen pyramidin tärkeät ominaisuudet:

Oikeassa pyramidissa

• kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
• kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita ja kaikki nämä kolmiot ovat yhtä suuria.

Pyramidin tilavuus

Pyramidin tilavuuden pääkaava:

Mistä se oikein tuli? Tämä ei ole niin yksinkertaista, ja aluksi sinun on vain muistettava, että pyramidilla ja kartiolla on tilavuus kaavassa, mutta sylinterillä ei.

Lasketaan nyt suosituimpien pyramidien tilavuus.

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri. Meidän on löydettävä ja.

Tämä on säännöllisen kolmion alue.

Muistetaan kuinka etsiä tätä aluetta. Käytämme aluekaavaa:

Meille " " on tämä, ja " " on myös tämä, eh.

Nyt etsitään se.

Pythagoraan lauseen mukaan

Mitä eroa? Tämä on ympäryssäde koska pyramidioikea ja siksi keskus.

Koska - myös mediaanien leikkauspiste.

(Pytagoraan lause sanalle)

Korvataan se kaavaan for.

Ja korvataan kaikki tilavuuskaavassa:

Huomio: jos sinulla on säännöllinen tetraedri (eli), kaava on seuraava:

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri.

Täällä ei tarvitse katsoa; Loppujen lopuksi pohja on neliö, ja siksi.

Löydämme sen. Pythagoraan lauseen mukaan

Tiedämmekö? Melkein. Katso:

(näimme tämän katsomalla sitä).

Korvaa kaavaan:

Ja nyt korvaamme tilavuuskaavan.

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna.

Kuinka löytää? Katso, kuusikulmio koostuu täsmälleen kuudesta identtisestä säännöllisestä kolmiosta. Olemme jo etsineet säännöllisen kolmion pinta-alaa laskettaessa säännöllisen kolmion tilavuutta. kolmion muotoinen pyramidi, tässä käytämme löydettyä kaavaa.

Nyt etsitään (se).

Pythagoraan lauseen mukaan

Mutta mitä väliä sillä on? Se on yksinkertaista, koska (ja kaikki muutkin) ovat oikeassa.

Korvataan:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDI. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Pyramidi on monitahoinen, joka koostuu mistä tahansa litteästä monikulmiosta (), pisteestä, joka ei ole pohjan tasossa (pyramidin yläosa) ja kaikista segmenteistä, jotka yhdistävät pyramidin huipun pohjan pisteisiin (sivureunat).

Pyramidin huipulta pudonnut kohtisuora pohjan tasoon.

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu projisoituu pohjan keskelle.

Tavallisen pyramidin ominaisuus:

• Tavallisessa pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
• Kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita ja kaikki nämä kolmiot ovat yhtä suuria.