Toisen asteen käyrät tasossa ovat yhtälöiden määrittelemiä viivoja, joissa muuttujan koordinaatit x Ja y sisältyvät toiseen asteeseen. Näitä ovat ellipsi, hyperbola ja paraabeli.

Toisen asteen käyräyhtälön yleinen muoto on seuraava:

Missä A B C D E F- numerot ja vähintään yksi kertoimista A, B, C ei ole yhtä kuin nolla.

Toisen kertaluvun käyrien tehtäviä ratkaistaessa otetaan useimmiten huomioon ellipsin, hyperbelin ja paraabelin kanoniset yhtälöt. Niihin on helppo siirtyä yleisistä yhtälöistä. Esimerkki 1 ellipsien tehtävistä on omistettu tälle.

Kanonisen yhtälön antama ellipsi

Ellipsin määritelmä. Ellipsi on joukko tason kaikkia pisteitä, joiden etäisyyksien summa pisteisiin, joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo, joka on suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys.

Painopisteet on merkitty alla olevan kuvan mukaisesti.

Ellipsin kanonisella yhtälöllä on muoto:

Missä a Ja b (a > b) - puoliakselien pituudet, eli puolet koordinaattiakseleiden ellipsin leikkaamien segmenttien pituuksista.

Ellipsin polttopisteiden läpi kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Toinen ellipsin symmetria-akseli on suora viiva, joka kulkee janan keskikohdan läpi kohtisuorassa tätä segmenttiä vastaan. Piste NOIN näiden viivojen leikkauspiste toimii ellipsin symmetriakeskuksena tai yksinkertaisesti ellipsin keskipisteenä.

Ellipsin abskissa-akseli leikkaa pisteissä ( a, NOIN) Ja (- a, NOIN), ja ordinaattinen akseli on pisteissä ( b, NOIN) Ja (- b, NOIN). Näitä neljää pistettä kutsutaan ellipsin kärjeksi. Ellipsin kärkien välistä segmenttiä x-akselilla kutsutaan sen pääakseliksi ja ordinaattisella akselilla - sen sivuakseliksi. Niiden segmenttejä ylhäältä ellipsin keskustaan ​​kutsutaan puoliakseleiksi.

Jos a = b, niin ellipsin yhtälö saa muodon . Tämä on ympyrän yhtälö, jolla on säde a, ja ympyrä on erikoistapaus ellipsi. Ellipsi voidaan saada sädeympyrästä a, jos puristat sen sisään a/b kertaa akselia pitkin Oy .

Esimerkki 1. Tarkista, onko yleisen yhtälön antama suora , ellipsi.

Ratkaisu. Teemme muunnoksia yleinen yhtälö. Käytämme vapaan termin siirtoa oikealle, yhtälön termi-jakoa samalla luvulla ja murtolukujen vähentämistä:

Vastaus. Muutosten tuloksena saatu yhtälö on ellipsin kanoninen yhtälö. Siksi tämä viiva on ellipsi.

Esimerkki 2. Laadi ellipsin kanoninen yhtälö, jos sen puoliakselit ovat 5 ja 4.

Ratkaisu. Tarkastellaan ellipsin ja substituutin kanonisen yhtälön kaavaa: puolisuurin akseli on a= 5, puolipieni akseli on b= 4. Saamme ellipsin kanonisen yhtälön:

Pisteet ja , merkitty vihreällä pääakselilla, missä

kutsutaan temppuja.

nimeltään epäkeskisyys ellipsi.

Asenne b/a luonnehtii ellipsin "litteyttä". Mitä pienempi tämä suhde, sitä enemmän ellipsi on pitkänomainen pääakselia pitkin. Ellipsin venymä ilmaistaan ​​kuitenkin useammin epäkeskisyyden kautta, jonka kaava on annettu yllä. Eri ellipseille epäkeskisyys vaihtelee välillä 0 - 1, jääden aina yksikköä pienemmäksi.

Esimerkki 3. Laadi ellipsin kanoninen yhtälö, jos polttopisteiden välinen etäisyys on 8 ja pääakseli on 10.

Ratkaisu. Tehdään muutama yksinkertainen johtopäätös:

Jos pääakseli on 10, niin sen puolisko eli puoliakseli a = 5 ,

Jos polttopisteiden välinen etäisyys on 8, niin numero c polttokoordinaatit on yhtä suuri kuin 4.

Korvaamme ja laskemme:

Tuloksena on ellipsin kanoninen yhtälö:

Esimerkki 4. Laadi ellipsin kanoninen yhtälö, jos sen pääakseli on 26 ja sen epäkeskisyys on .

Ratkaisu. Kuten sekä pääakselin koosta että epäkeskisyysyhtälöstä seuraa, ellipsin puolisuurakseli a= 13. Epäkeskisyysyhtälöstä ilmaisemme luvun c, joita tarvitaan pienen puoliakselin pituuden laskemiseen:

.

Laskemme pienemmän puoliakselin pituuden neliön:

Muodostamme ellipsin kanonisen yhtälön:

Esimerkki 5. Määritä kanonisen yhtälön antaman ellipsin polttopisteet.

Ratkaisu. Etsi numero c, joka määrittää ellipsin polttopisteiden ensimmäiset koordinaatit:

.

Saamme ellipsin fokukset:

Esimerkki 6. Ellipsin polttopisteet sijaitsevat akselilla Härkä symmetrinen alkuperän suhteen. Laadi ellipsin kanoninen yhtälö, jos:

1) polttopisteiden välinen etäisyys on 30 ja pääakseli on 34

2) sivuakseli 24, ja yksi tarkennuksista on pisteessä (-5; 0)

3) epäkeskisyys, ja yksi polttopisteistä on pisteessä (6; 0)

Jatketaan yhdessä ellipsiongelmien ratkaisemista

Jos on mielivaltainen ellipsin piste (merkitty vihreällä ellipsin oikeassa yläkulmassa piirustuksessa) ja on etäisyys tähän pisteeseen polttopisteestä, niin etäisyyksien kaavat ovat seuraavat:

Jokaiselle ellipsiin kuuluvalle pisteelle etäisyyksien summa polttopisteistä on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin 2 a.

Yhtälöillä määritellyt suorat

kutsutaan rehtorit ellipsi (piirustuksessa reunoilla on punaisia ​​viivoja).

Yllä olevista kahdesta yhtälöstä seuraa, että mille tahansa ellipsin pisteelle

,

missä ja ovat etäisyydet tämän pisteen Directrixes ja .

Esimerkki 7. Annettu ellipsi. Kirjoita yhtälö sen suuntaviivoja varten.

Ratkaisu. Katsomme suuntayhtälöä ja huomaamme, että meidän on löydettävä ellipsin epäkeskisyys, ts. Meillä on kaikki tiedot tätä varten. Laskemme:

.

Saamme ellipsin suuntaviivojen yhtälön:

Esimerkki 8. Laadi ellipsin kanoninen yhtälö, jos sen polttopisteet ovat pisteitä ja suuntaviivat viivoja.

Luentoja algebrasta ja geometriasta. Lukukausi 1.

Luento 15. Ellipsi.

Luku 15. Ellipsi.

lauseke 1. Perusmääritelmät.

Määritelmä. Ellipsi on tason GMT, etäisyyksien summa tason kahteen kiinteään pisteeseen, jota kutsutaan polttopisteeksi, on vakioarvo.

Määritelmä. Etäisyyttä tason mielivaltaisesta pisteestä M ellipsin polttopisteeseen kutsutaan pisteen M polttosäteeksi.

Nimitykset:
- ellipsin fokukset,
– pisteen M polttovälit.

Ellipsin määritelmän mukaan piste M on ellipsin piste silloin ja vain jos
– vakioarvo. Tätä vakiota merkitään yleensä 2a:

. (1)

huomaa, että
.

Ellipsin määritelmän mukaan sen polttopisteet ovat kiinteitä pisteitä, joten niiden välinen etäisyys on myös vakioarvo tietylle ellipsille.

Määritelmä. Ellipsin polttopisteiden välistä etäisyyttä kutsutaan polttoväliksi.

Nimitys:
.

Kolmiosta
seuraa sitä
, eli

.

Merkitään b:llä luku, joka on yhtä suuri kuin
, eli

. (2)

Määritelmä. Asenne

(3)

kutsutaan ellipsin epäkeskisyydeksi.

Esitetään tälle tasolle koordinaattijärjestelmä, jota kutsumme ellipsin kanoniseksi.

Määritelmä. Akselia, jolla ellipsin polttopisteet sijaitsevat, kutsutaan polttoakseliksi.

Muodostetaan kanoninen PDSC ellipsille, katso kuva 2.

Valitsemme polttoakselin abskissa-akseliksi ja piirrämme ordinaatta-akselin segmentin keskeltä
kohtisuorassa polttoakseliin nähden.

Sitten polttopisteillä on koordinaatit
,
.

lauseke 2. Ellipsin kanoninen yhtälö.

Lause. Ellipsin kanonisessa koordinaattijärjestelmässä ellipsin yhtälö on muotoa:

. (4)

Todiste. Todistuksen suoritamme kahdessa vaiheessa. Ensimmäisessä vaiheessa todistamme, että minkä tahansa ellipsillä olevan pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön (4). Toisessa vaiheessa todistetaan, että mikä tahansa yhtälön (4) ratkaisu antaa ellipsillä olevan pisteen koordinaatit. Tästä seuraa, että yhtälö (4) täyttyy ne ja vain ne koordinaattitason pisteet, jotka sijaitsevat ellipsillä. Tästä ja käyrän yhtälön määritelmästä seuraa, että yhtälö (4) on ellipsin yhtälö.

1) Olkoon piste M(x, y) ellipsin piste, ts. sen polttosäteiden summa on 2a:

.

Käytetään kaavaa kahden koordinaattitason pisteen väliselle etäisyydelle ja tämän kaavan avulla löydetään tietyn pisteen M polttosäteet:

,
, mistä saamme:

Siirretään yksi juuri yhtälön oikealle puolelle ja neliötetään se:

Vähentämällä saamme:

Esittelemme samanlaisia, vähennämme neljällä ja poistamme radikaalin:

.

Neliöinti

Avaa kiinnikkeet ja lyhennä
:

mistä saamme:

Käyttämällä yhtäläisyyttä (2) saamme:

.

Jakamalla viimeinen yhtäläisyys
, saamme tasa-arvon (4) jne.

2) Täyttää nyt lukupari (x, y) yhtälön (4) ja olkoon M(x, y) vastaava piste koordinaattitasolla Oxy.

Sitten kohdasta (4):

.

Korvaamme tämän yhtälön pisteen M polttosäteiden lausekkeeseen:

.

Tässä käytimme tasa-arvoa (2) ja (3).

Täten,
. Samoin
.

Huomaa nyt, että tasa-arvosta (4) seuraa se

tai
jne.
, niin epätasa-arvo seuraa:

.

Tästä se puolestaan ​​​​seuraa

tai
Ja

,
. (5)

Tasa-arvoista (5) seuraa, että
, eli piste M(x, y) on ellipsin piste jne.

Lause on todistettu.

Määritelmä. Yhtälöä (4) kutsutaan ellipsin kanoniseksi yhtälöksi.

Määritelmä. Ellipsin kanonisia koordinaattiakseleita kutsutaan ellipsin pääakseleiksi.

Määritelmä. Ellipsin kanonisen koordinaattijärjestelmän origoa kutsutaan ellipsin keskipisteeksi.

lauseke 3. Ellipsin ominaisuudet.

Lause. (Ellipsin ominaisuudet.)

1. Ellipsin kanonisessa koordinaattijärjestelmässä kaikki

ellipsin pisteet ovat suorakulmiossa

,
.

2. Pisteet ovat päällä

3. Ellipsi on käyrä, joka on symmetrinen suhteessa

niiden pääakselit.

4. Ellipsin keskipiste on sen symmetriakeskus.

Todiste. 1, 2) Seuraa välittömästi ellipsin kanonisesta yhtälöstä.

3, 4) Olkoon M(x, y) ellipsin mielivaltainen piste. Sitten sen koordinaatit täyttävät yhtälön (4). Mutta silloin myös pisteiden koordinaatit täyttävät yhtälön (4) ja ovat siten ellipsin pisteitä, joista lauseen lausumat seuraavat.

Lause on todistettu.

Määritelmä. Suuruutta 2a kutsutaan ellipsin pääakseliksi, suuruutta a kutsutaan ellipsin puolipääakseliksi.

Määritelmä. Suuruutta 2b kutsutaan ellipsin sivuakseliksi, suuruutta b ellipsin puoliakseliksi.

Määritelmä. Ellipsin ja sen pääakseleiden leikkauspisteitä kutsutaan ellipsin pisteiksi.

Kommentti. Ellipsi voidaan rakentaa seuraavasti. Koneessa "vasaroimme naulan polttopisteisiin" ja kiinnitämme niihin lankapituuden
. Sitten otamme kynän ja käytämme sitä langan venyttämiseen. Sitten siirrämme kynän johdinta tasoa pitkin varmistaen, että lanka on kireällä.

Eksentrinen määritelmästä seuraa, että

Korjataan luku a ja ohjataan luku c nollaan. Sitten klo
,
Ja
. Saadussamme rajassa

tai
– ympyrän yhtälö.

Ohjataan nyt
. Sitten
,
ja näemme, että rajassa ellipsi rappeutuu suoraksi segmentiksi
kuvan 3 merkinnöissä.

lauseke 4. Ellipsin parametriset yhtälöt.

Lause. Antaa
- mielivaltainen todellisia lukuja. Sitten yhtälöjärjestelmä

,
(6)

ovat ellipsin parametriyhtälöitä ellipsin kanonisessa koordinaattijärjestelmässä.

Todiste. Riittää, kun todistetaan, että yhtälöjärjestelmä (6) vastaa yhtälöä (4), ts. niillä on samat ratkaisut.

1) Olkoon (x, y) mielivaltainen ratkaisu järjestelmään (6). Jaa ensimmäinen yhtälö a:lla, toinen b:llä, neliötä molemmat yhtälöt ja lisää:

.

Nuo. mikä tahansa järjestelmän (6) ratkaisu (x, y) täyttää yhtälön (4).

2) Päinvastoin, olkoon pari (x, y) yhtälön (4) ratkaisu, ts.

.

Tästä yhtälöstä seuraa, että piste, jolla on koordinaatit
sijaitsee yksikkösäteisellä ympyrällä, jonka keskipiste on origossa, ts. on trigonometrisen ympyrän piste, jota tietty kulma vastaa
:

Sinin ja kosinin määritelmästä seuraa välittömästi se

,
, Missä
, josta seuraa, että pari (x, y) on ratkaisu järjestelmään (6) jne.

Lause on todistettu.

Kommentti. Ellipsi voidaan saada tuloksena säteisen a ympyrän tasaisesta "puristumisesta" kohti abskissa-akselia.

Antaa
– ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on origossa. Ympyrän "pakkaus" abskissa-akselille ei ole muuta kuin koordinaattitason muunnos, joka suoritetaan seuraavan säännön mukaisesti. Jokaiselle pisteelle M(x, y) liitetään piste samalla tasolla
, Missä
,
- "puristus" kerroin.

Tällä muunnolla jokainen ympyrän piste "siirtyy" toiseen tason pisteeseen, jolla on sama abskissa, mutta pienempi ordinaatta. Ilmaistaan ​​pisteen vanhaa ordinaatta uuden kautta:

ja korvaa ympyrät yhtälössä:

.

Täältä saamme:

. (7)

Tästä seuraa, että jos piste M(x, y) olisi ennen "puristus"-muunnosta ympyrällä, ts. sen koordinaatit täyttivät ympyrän yhtälön, sitten "kompression" muunnoksen jälkeen tämä piste "muuntui" pisteeksi
, jonka koordinaatit täyttävät ellipsiyhtälön (7). Jos haluamme saada ellipsin yhtälön puolipienisellä akselillab, meidän on otettava puristuskerroin

.

lauseke 5. Tangentti ellipsille.

Lause. Antaa
– mielivaltainen ellipsin piste

.

Sitten tämän ellipsin tangentin yhtälö pisteessä
on muotoa:

. (8)

Todiste. Riittää, kun tarkastellaan tapausta, jossa kosketuspiste sijaitsee koordinaattitason ensimmäisessä tai toisessa neljänneksessä:
. Ellipsin yhtälö ylemmässä puolitasossa on muotoa:

. (9)

Käytetään funktion kaavion tangenttiyhtälöä
pisteessä
:

Missä
– tietyn funktion derivaatan arvo pisteessä
. Ensimmäisen neljänneksen ellipsiä voidaan pitää funktion (8) kuvaajana. Etsitään sen derivaatta ja sen arvo tangenttipisteessä:

,

. Tässä hyödynsimme sitä tosiasiaa, että tangenttipiste
on ellipsin piste ja siksi sen koordinaatit täyttävät ellipsiyhtälön (9), ts.

.

Korvaamme derivaatan löydetyn arvon tangenttiyhtälöön (10):

,

mistä saamme:

Tämä tarkoittaa:

Jaetaan tämä tasa-arvo
:

.

Se on vielä huomioitava
, koska piste
kuuluu ellipsiin ja sen koordinaatit täyttävät sen yhtälön.

Tangenttiyhtälö (8) todistetaan samalla tavalla tangenttipisteessä, joka sijaitsee koordinaattitason kolmannessa tai neljännessä neljänneksessä.

Ja lopuksi voimme helposti varmistaa, että yhtälö (8) antaa tangenttiyhtälön pisteissä
,
:

tai
, Ja
tai
.

Lause on todistettu.

lauseke 6. Ellipsin peiliominaisuus.

Lause. Ellipsin tangentilla on samat kulmat tangenttipisteen polttosäteiden kanssa.

Antaa
- yhteyspiste,
,
– tangentin pisteen polttosäteet, P ja Q – polttopisteiden projektiot pisteessä olevaan ellipsiin piirretyssä tangentissa
.

Lause sanoo sen

. (11)

Tämä yhtäläisyys voidaan tulkita valonsäteen tulo- ja heijastuskulmien yhtäläisyydeksi sen fokuksesta vapautuneesta ellipsistä. Tätä ominaisuutta kutsutaan ellipsin peiliominaisuudeksi:

Ellipsin fokuksesta vapautuva valonsäde kulkee ellipsin peilistä heijastuneen toisen ellipsin fokuksen läpi.

Todistus lauseesta. Todistaaksemme kulmien (11) yhtäläisyyden todistamme kolmioiden samankaltaisuuden
Ja
, jossa osapuolet
Ja
tulee olemaan samanlainen. Koska kolmiot ovat suorakulmaisia, riittää todistamaan yhtäläisyys

Toisen järjestyksen rivit.
Ellipsi ja sen kanoninen yhtälö. Ympyrä

Perusteellisen tutkimuksen jälkeen suoria viivoja tasossa Jatkamme kaksiulotteisen maailman geometrian tutkimista. Panokset tuplataan ja kutsun sinut vierailemaan viehättävään ellipsien, hyperbolien ja paraabelien galleriaan, jotka ovat tyypillisiä edustajia toisen asteen rivit. Retki on jo alkanut, ja ensin lyhyt info koko näyttelystä museon eri kerroksissa:

Algebrallisen suoran käsite ja sen järjestys

Tasossa olevaa suoraa kutsutaan algebrallinen, jos sisään affiininen koordinaattijärjestelmä sen yhtälöllä on muoto , jossa on polynomi, joka koostuu muodon termeistä ( – reaaliluku, – ei-negatiiviset kokonaisluvut).

Kuten näet, algebrallisen suoran yhtälö ei sisällä sinejä, kosineja, logaritmeja ja muita funktionaalisia beau mondeja. Vain X ja Y ovat mukana ei-negatiiviset kokonaisluvut astetta.

Rivijärjestys sama kuin siihen sisältyvien ehtojen enimmäisarvo.

Vastaavan lauseen mukaan algebrallisen suoran käsite ja sen järjestys eivät riipu valinnasta affiininen koordinaattijärjestelmä Siksi oletamme olemassaolon helpottamiseksi, että kaikki myöhemmät laskelmat tapahtuvat vuonna Suorakulmaiset koordinaatit.

Yleinen yhtälö toisen järjestyksen rivillä on muoto , missä – mielivaltaiset reaaliluvut (On tapana kirjoittaa se kertoimella kaksi), ja kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti.

Jos , yhtälö yksinkertaistuu , ja jos kertoimet eivät ole yhtä suuret kuin nolla samaan aikaan, niin tämä on täsmälleen "litteän" suoran yleinen yhtälö, joka edustaa ensimmäinen tilausrivi.

Monet ovat ymmärtäneet uusien termien merkityksen, mutta siitä huolimatta, jotta materiaali 100-prosenttisesti omaksuisi, työnnämme sormet pistorasiaan. Rivijärjestyksen määrittämiseksi sinun on iteroitava kaikki ehdot sen yhtälöt ja löytää jokaiselle niistä asteiden summa saapuvat muuttujat.

Esimerkiksi:

termi sisältää "x" 1. potenssiin asti;
termi sisältää "Y" 1. potenssiin asti;
Termissä ei ole muuttujia, joten niiden potenssien summa on nolla.

Nyt selvitetään, miksi yhtälö määrittää suoran toinen Tilaus:

termi sisältää "x" toisessa potenssissa;
summalla on muuttujien potenssien summa: 1 + 1 = 2;
termi sisältää "Y" toisessa potenssissa;
kaikki muut ehdot - Vähemmän astetta.

Suurin arvo: 2

Jos lisäämme, vaikkapa, yhtälöimme, se jo määrittää kolmannen järjestyksen rivi. On selvää, että 3. asteen rivin yhtälön yleinen muoto sisältää "täydellisen joukon" termejä, joiden muuttujien potenssien summa on yhtä suuri kuin kolme:
, jossa kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti.

Jos lisäät yhden tai useamman sopivan termin, joka sisältää , sitten puhumme jo 4. järjestysrivit, jne.

Joudumme kohtaamaan 3., 4. ja korkeamman asteen algebrallisia rivejä useammin kuin kerran, erityisesti tutustuessamme napakoordinaattijärjestelmä.

Palataan kuitenkin yleiseen yhtälöön ja muistetaan sen yksinkertaisimmat koulumuunnelmat. Esimerkkinä itseään ehdottaa paraabeli, jonka yhtälö voidaan helposti pelkistää yleinen ulkonäkö, ja hyperbeli, jolla on vastaava yhtälö . Kaikki ei kuitenkaan ole niin sujuvaa...

Yleisen yhtälön merkittävä haittapuoli on, että lähes aina ei ole selvää, minkä suoran se määrittelee. Edes yksinkertaisimmassa tapauksessa et heti huomaa, että tämä on hyperbolia. Tällaiset asettelut ovat hyviä vain naamiaisissa, joten analyyttisen geometrian aikana otamme huomioon tyypillinen tehtävä tuomalla toisen asteen riviyhtälön kanoniseen muotoon.

Mikä on yhtälön kanoninen muoto?

Tämä on yleisesti hyväksyttyä vakionäkymä yhtälö, kun sekunneissa käy selväksi, minkä geometrisen kohteen se määrittelee. Lisäksi kanoninen muoto on erittäin kätevä monien käytännön tehtävien ratkaisemiseen. Joten esimerkiksi kanonisen yhtälön mukaan "tasainen" suora, ensinnäkin on heti selvää, että tämä on suora, ja toiseksi siihen kuuluva piste ja suuntavektori ovat helposti nähtävissä.

Ilmeisesti mikä tahansa 1. tilausrivi on suora viiva. Toisessa kerroksessa meitä ei odota enää vartija, vaan paljon monipuolisempi yhdeksän patsaan seura:

Toisen asteen rivien luokittelu

Käyttämällä erityistä toimintosarjaa mikä tahansa toisen asteen rivin yhtälö pelkistetään johonkin seuraavista muodoista:

(ja ovat positiivisia reaalilukuja)

1) – ellipsin kanoninen yhtälö;

2) – hyperbelin kanoninen yhtälö;

3) – paraabelin kanoninen yhtälö;

4) – kuvitteellinen ellipsi;

5) – pari leikkaavia viivoja;

6) - pari kuvitteellinen leikkaavat viivat (jossa on yksi kelvollinen leikkauspiste origossa);

7) – rinnakkaisten viivojen pari;

8) – pari kuvitteellinen yhdensuuntaiset viivat;

9) – satunnaisviivojen pari.

Jotkut lukijat saattavat saada vaikutelman, että luettelo on epätäydellinen. Esimerkiksi kohdassa nro 7 yhtälö määrittelee parin suoraan, yhdensuuntainen akselin kanssa, ja herää kysymys: missä on yhtälö, joka määrittää ordinaatta-akselin suuntaiset suorat? Vastaa siihen ei pidetä kanonisena. Suorat viivat edustavat samaa vakiokoteloa 90 astetta kierrettynä, ja luokituksen lisämerkintä on tarpeeton, koska se ei tuo mitään olennaisesti uutta.

Niitä on siis yhdeksän ja vain yhdeksän erilaisia ​​tyyppejä toisen asteen rivejä, mutta käytännössä niitä löytyy useimmiten ellipsi, hyperbola ja paraabeli.

Katsotaan ensin ellipsiä. Kuten tavallista, keskityn niihin kohtiin, jotka ovat hyvin tärkeä ongelmien ratkaisemiseksi ja jos tarvitset yksityiskohtaisen kaavojen johtamisen, lauseiden todisteita, tutustu esimerkiksi Bazylev/Atanasyanin tai Aleksandrovin oppikirjaan.

Ellipsi ja sen kanoninen yhtälö

Oikeinkirjoitus... älä toista joidenkin Yandex-käyttäjien virheitä, jotka ovat kiinnostuneita "ellipsin rakentamisesta", "ellipsin ja soikean erosta" ja "ellipsien eksentrisyydestä".

Ellipsin kanoninen yhtälö on muotoa , jossa ovat positiiviset reaaliluvut ja . Muotoilen ellipsin määritelmän myöhemmin, mutta nyt on aika pitää tauko keskustelupalstasta ja ratkaista yleinen ongelma:

Kuinka rakentaa ellipsi?

Kyllä, ota se ja piirrä se. Tehtävää esiintyy usein, ja merkittävä osa opiskelijoista ei selviydy piirustuksen kanssa oikein:

Esimerkki 1

Muodosta yhtälön antama ellipsi

Ratkaisu: Ensin viedään yhtälö kanoniseen muotoon:

Miksi tuoda? Yksi kanonisen yhtälön eduista on, että sen avulla voit määrittää välittömästi ellipsin kärjet, jotka sijaitsevat pisteissä. On helppo nähdä, että kunkin pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön.

SISÄÄN tässä tapauksessa :


Jana nimeltään pääakseli ellipsi;
Jana – pieni akseli;
määrä nimeltään puolipääakseli ellipsi;
määrä – pieni akseli.
esimerkissämme: .

Jos haluat nopeasti kuvitella, miltä tietty ellipsi näyttää, katso vain sen kanonisen yhtälön "a" ja "be" arvoja.

Kaikki on hienoa, sileää ja kaunista, mutta siinä on yksi varoitus: tein piirustuksen ohjelman avulla. Ja voit tehdä piirustuksen millä tahansa sovelluksella. Karussa todellisuudessa pöydällä on kuitenkin ruudullinen paperi, ja hiiret tanssivat ympyröissä käsissämme. Ihmiset, joilla on taiteellista lahjakkuutta, voivat tietysti kiistellä, mutta sinulla on myös hiiriä (vaikkakin pienempiä). Ei ole turhaa, että ihmiskunta keksi viivaimen, kompassin, astemittarin ja muita yksinkertaisia ​​piirustuslaitteita.

Tästä syystä emme todennäköisesti pysty piirtämään ellipsiä tarkasti tietäen vain kärjet. Ei haittaa, jos ellipsi on pieni, esimerkiksi puoliakseleilla. Vaihtoehtoisesti voit pienentää piirustuksen mittakaavaa ja vastaavasti mittoja. Mutta yleensä on erittäin toivottavaa löytää lisäpisteitä.

Ellipsin rakentamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen. En pidä rakentamisesta kompassin ja viivaimen avulla, koska algoritmi ei ole lyhin ja piirustus on huomattavasti sekava. Hätätapauksessa kannattaa katsoa oppikirjasta, mutta todellisuudessa on paljon järkevämpää käyttää algebran työkaluja. Luonnoksessa olevasta ellipsin yhtälöstä ilmaisemme nopeasti:

Sitten yhtälö jakautuu kahteen funktioon:
– määrittää ellipsin yläkaaren;
– määrittää ellipsin alakaaren.

Kanonisen yhtälön määrittelemä ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja origon suhteen. Ja tämä on hienoa - symmetria on melkein aina ilmaislahjojen saarnaaja. Ilmeisesti riittää, että käsittelemme 1. koordinaattineljänneksen, joten tarvitsemme funktion . Lisäpisteitä on löydettävä abskissoilla . Napauta kolmea tekstiviestiä laskimessa:

Tietysti on myös mukavaa, että jos laskelmissa tehdään vakava virhe, se selviää heti rakentamisen aikana.

Merkitään pisteet piirustukseen (punainen), symmetriset pisteet jäljellä oleviin kaareihin ( Sininen väri) ja yhdistä koko yritys varovasti linjalla:


Alkuperäinen luonnos on parempi piirtää hyvin ohuesti ja vasta sitten painaa kynällä. Tuloksena pitäisi olla melko kunnollinen ellipsi. Muuten, haluaisitko tietää mikä tämä käyrä on?

Ellipsin määritelmä. Ellipsin fokukset ja ellipsin epäkeskisyys

Ellipsi on soikean erikoistapaus. Sanaa "soikea" ei pidä ymmärtää filistealaisessa merkityksessä ("lapsi piirsi soikean" jne.). Tämä on matemaattinen termi, jolla on yksityiskohtainen muotoilu. Tämän oppitunnin tarkoituksena ei ole pohtia ovaalien teoriaa ja niiden eri tyyppejä, jotka eivät saa käytännössä lainkaan huomiota analyyttisen geometrian vakiokurssilla. Ja nykyisempien tarpeiden mukaisesti siirrymme välittömästi ellipsin tiukkaan määritelmään:

Ellipsi on joukko tason kaikkia pisteitä, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä, ns temppuja ellipsi on vakiosuure, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän ellipsin pääakselin pituus: .
Samalla tarkennusten väliset etäisyydet ovat pienemmät annettu arvo: .

Nyt kaikki selkenee:

Kuvittele, että sininen piste "matkailee" ellipsiä pitkin. Joten riippumatta siitä, minkä ellipsin pisteen otamme, segmenttien pituuksien summa on aina sama:

Varmistetaan, että esimerkissämme summan arvo on todella yhtä suuri kuin kahdeksan. Aseta henkisesti piste "um" ellipsin oikeaan kärkeen, sitten: , joka on tarkistettava.

Toinen tapa piirtää se perustuu ellipsin määritelmään. Korkeampi matematiikka aiheuttaa joskus jännitteitä ja stressiä, joten on aika pitää uusi purkausistunto. Ota whatman-paperi tai iso lehti pahvi ja naula se pöytään kahdella naulalla. Näistä tulee temppuja. Sido vihreä lanka ulkoneviin naulanpäihin ja vedä se kokonaan kynällä. Lyijykynä päätyy tiettyyn pisteeseen, joka kuuluu ellipsiin. Aloita nyt kynän siirtäminen paperiarkkia pitkin pitäen vihreä lanka tiukasti kireällä. Jatka prosessia, kunnes palaat lähtöpisteeseen... hienoa... piirustuksen voivat tarkistaa lääkäri ja opettaja =)

Kuinka löytää ellipsin kohdat?

Yllä olevassa esimerkissä kuvasin "valmiita" polttopisteitä, ja nyt opimme poimimaan ne geometrian syvyyksistä.

Jos ellipsi on annettu kanonisella yhtälöllä, niin sen polttopisteillä on koordinaatit , missä se on etäisyys kustakin fokuksesta ellipsin symmetriakeskukseen.

Laskelmat ovat yksinkertaisempaa:

! Polttopisteiden tarkkoja koordinaatteja ei voida tunnistaa "tse":n merkityksellä! Toistan, että näin on ETÄISYYS kustakin tarkennuksesta keskustaan(jonka ei yleensä tarvitse sijaita täsmälleen lähtöpisteessä).
Ja siksi polttopisteiden välistä etäisyyttä ei myöskään voida sitoa ellipsin kanoniseen sijaintiin. Toisin sanoen ellipsi voidaan siirtää toiseen paikkaan ja arvo pysyy ennallaan, kun taas polttopisteet muuttavat luonnollisesti koordinaattejaan. Ota tämä huomioon, kun tutkit aihetta tarkemmin.

Ellipsin epäkeskisyys ja sen geometrinen merkitys

Ellipsin epäkeskisyys on suhde, joka voi ottaa arvoja alueella .

Meidän tapauksessamme:

Selvitetään kuinka ellipsin muoto riippuu sen epäkeskisyydestä. Tätä varten korjaa vasen ja oikea kärki eli puolisuuren akselin arvo pysyy vakiona. Tällöin epäkeskisyyskaava saa muotoa: .

Aloitetaan tuoda eksentrisyyden arvoa lähemmäksi yhtenäisyyttä. Tämä on mahdollista vain, jos. Mitä se tarkoittaa? ...muista temppuja . Tämä tarkoittaa, että ellipsin polttopisteet "liikkuvat erilleen" abskissa-akselia pitkin sivupisteisiin. Ja koska "vihreät segmentit eivät ole kumia", ellipsi alkaa väistämättä litistää ja muuttuu ohuemmiksi ja ohuemmiksi akselille pudotuksi makkaraksi.

Täten, mitä lähempänä ellipsi-epäkeskisyysarvo on yksikköä, sitä pitkänomaisempi ellipsi on.

Mallitaan nyt päinvastainen prosessi: ellipsin polttopisteet kävelivät toisiaan kohti ja lähestyivät keskustaa. Tämä tarkoittaa, että "ce":n arvo pienenee ja vastaavasti epäkeskisyys pyrkii nollaan: .
Tässä tapauksessa "vihreät segmentit" päinvastoin "tuhtuvat" ja ne alkavat "työntää" ellipsiviivaa ylös ja alas.

Täten, Mitä lähempänä epäkeskisyysarvo on nollaa, sitä enemmän ellipsi on... katso rajatapausta, kun pesäkkeet yhdistetään onnistuneesti uudelleen alkuperässä:

Ympyrä on ellipsin erikoistapaus

Itse asiassa puoliakselien yhtäläisyyden tapauksessa ellipsin kanoninen yhtälö saa muodon , joka muuttuu refleksiivisesti yhtälöksi ympyrän, jonka keskipiste on säteen "a" alkupisteessä, joka tunnetaan hyvin koulusta.

Käytännössä käytetään useammin merkintää "puhuvalla" kirjaimella "er": . Säde on janan pituus, jolloin jokainen ympyrän piste on poistettu keskustasta sädeetäisyyden verran.

Huomaa, että ellipsin määritelmä pysyy täysin oikeana: polttopisteet ovat samat ja yhteensopivien segmenttien pituuksien summa ympyrän kunkin pisteen kohdalla on vakio. Koska polttopisteiden välinen etäisyys on , niin minkä tahansa ympyrän epäkeskisyys on nolla.

Ympyrän rakentaminen on helppoa ja nopeaa, käytä vain kompassia. Joskus on kuitenkin tarpeen selvittää joidenkin sen pisteiden koordinaatit, tässä tapauksessa mennään tutulla tavalla - tuomme yhtälön iloiseen Matanov-muotoon:

– ylemmän puoliympyrän toiminta;
– alemman puoliympyrän toiminto.

Sen jälkeen löydämme vaaditut arvot, erottaa, integroida ja tehdä muuta hyvää.

Artikkeli on tietysti vain viitteellinen, mutta kuinka voit elää maailmassa ilman rakkautta? Luova tehtävä itsenäinen päätös

Esimerkki 2

Muodosta ellipsin kanoninen yhtälö, jos yksi sen polttopisteistä ja puolipieniakseli tunnetaan (keskipiste on origossa). Etsi pisteitä, lisäpisteitä ja piirrä viiva piirustukseen. Laske epäkeskisyys.

Ratkaisu ja piirustus oppitunnin lopussa

Lisätään toiminto:

Kierrä ja käännä rinnakkain ellipsi

Palataan ellipsin kanoniseen yhtälöön, nimittäin tilaan, jonka mysteeri piinaa uteliaita mieliä tämän käyrän ensimmäisen mainitsemisen jälkeen. Joten katsoimme ellipsiä , mutta eikö yhtälön täyttäminen ole käytännössä mahdollista ? Loppujen lopuksi täälläkin näyttää olevan ellipsi!

Tällainen yhtälö on harvinainen, mutta se tulee vastaan. Ja se itse asiassa määrittelee ellipsin. Tehdään selväksi:

Rakentamisen tuloksena saatiin luontainen ellipsimme, jota kierrettiin 90 astetta. Tuo on, - Tämä ei-kanoninen merkintä ellipsi . Ennätys!- yhtälö ei määrittele mitään muuta ellipsiä, koska akselilla ei ole pisteitä (polttopisteitä), jotka täyttäisivät ellipsin määritelmän.

Ellipsi on tasossa olevien pisteiden geometrinen paikka, jonka etäisyyksien summa kustakin kahteen pisteeseen F_1 ja F_2 on vakioarvo (2a), suurempi kuin näiden pisteiden välinen etäisyys (2c) 3.36, a). Tämä geometrinen määritelmä ilmaisee ellipsin polttopiste.

Ellipsin polttopiste

Pisteitä F_1 ja F_2 kutsutaan ellipsin polttopisteiksi, niiden välinen etäisyys 2c=F_1F_2 on polttoväli, janan F_1F_2 keskimmäinen O on ellipsin keskipiste, numero 2a on ellipsin pääakselin pituus. ellipsi (luku a on vastaavasti ellipsin puolipääakseli). Janaja F_1M ja F_2M, jotka yhdistävät mielivaltaisen ellipsin pisteen M sen polttopisteisiin, kutsutaan pisteen M polttosäteiksi. Janaa, joka yhdistää kaksi ellipsin pistettä, kutsutaan ellipsin jänteeksi.

Suhdetta e=\frac(c)(a) kutsutaan ellipsin epäkeskisyydeksi. Määritelmästä (2a>2c) seuraa, että 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Ellipsin geometrinen määritelmä, joka ilmaisee sen polttovälin, vastaa sen analyyttistä määritelmää - ellipsin kanonisen yhtälön antamaa linjaa:

Todellakin, otetaan käyttöön suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä (kuva 3.36c). Otetaan ellipsin keskipiste O koordinaattijärjestelmän origoksi; otamme polttopisteen (polttoakselin tai ellipsin ensimmäisen akselin) läpi kulkevan suoran abskissa-akseliksi (positiivinen suunta sillä on pisteestä F_1 pisteeseen F_2); Otetaan ordinaatta-akseliksi suora viiva, joka on kohtisuorassa polttoakseliin nähden ja kulkee ellipsin keskipisteen (ellipsin toinen akseli) läpi (suunta ordinaatta-akselilla on valittu niin, että suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit Oxy osoittautui oikeaksi).

Luodaan ellipsille yhtälö käyttämällä sen geometristä määritelmää, joka ilmaisee polttopisteen ominaisuuden. Valitussa koordinaattijärjestelmässä määritämme polttopisteiden koordinaatit F_1(-c,0),~F_2(c,0). Mielivaltaiselle pisteelle M(x,y), joka kuuluu ellipsiin, meillä on:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Kirjoittamalla tämä yhtäläisyys koordinaattimuotoon, saamme:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Siirrämme toisen radikaalin oikealle puolelle, neliöimme yhtälön molemmat puolet ja tuomme samanlaiset termit:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\nuoli vasenoikealle ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Jakamalla 4:llä, neliöimme yhtälön molemmat puolet:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\nuoli vasenoikealle~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Nimettyään b=\sqrt(a^2-c^2)>0, saamme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Jakamalla molemmat puolet luvulla a^2b^2\ne0, saamme ellipsin kanonisen yhtälön:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Siksi valittu koordinaattijärjestelmä on kanoninen.

Jos ellipsin polttopisteet ovat samat, niin ellipsi on ympyrä (kuva 3.36,6), koska a=b. Tässä tapauksessa mikä tahansa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jonka origo on pisteessä, on kanoninen O\equiv F_1\equiv F_2, ja yhtälö x^2+y^2=a^2 on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteessä O ja säde yhtä suuri kuin a.

Perustelemalla sisään käänteinen järjestys, voidaan osoittaa, että kaikki pisteet, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (3.49), ja vain ne, kuuluvat pisteiden geometriseen lokukseen, jota kutsutaan ellipsiksi. Toisin sanoen ellipsin analyyttinen määritelmä vastaa sen geometrinen määritelmä, joka ilmaisee ellipsin polttoominaisuuden.

Ellipsin ohjaava ominaisuus

Ellipsin suuntaviivat ovat kaksi suoraa viivaa, jotka kulkevat samansuuntaisesti kanonisen koordinaattijärjestelmän ordinaattisen akselin kanssa samalla etäisyydellä \frac(a^2)(c) siitä. Kohdassa c=0, kun ellipsi on ympyrä, suuntaviivoja ei ole (voimme olettaa, että suuntaviivat ovat äärettömässä).

Ellipsi, jonka epäkeskisyys on 0 tasossa olevien pisteiden sijainti, joista kunkin etäisyyden tiettyyn pisteeseen F (focus) etäisyyteen tiettyyn suoraan d (suoraan), joka ei kulje tietyn pisteen läpi, on vakio ja yhtä suuri kuin epäkeskisyys e ( ellipsin ohjaajaominaisuus). Tässä F ja d ovat yksi ellipsin polttopisteistä ja yksi sen suuntauksista, jotka sijaitsevat kanonisen koordinaatiston ordinaatta-akselin toisella puolella, ts. F_1,d_1 tai F_2,d_2 .

Itse asiassa esimerkiksi tarkennukselle F_2 ja suunnalle d_2 (kuva 3.37,6) ehto \frac(r_2)(\rho_2)=e voidaan kirjoittaa koordinaattimuotoon:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\oikea)

Irrationaalisuudesta eroon pääseminen ja korvaaminen e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, päästään kanoniseen ellipsiyhtälöön (3.49). Samanlainen päättely voidaan suorittaa tarkennukselle F_1 ja ohjaajalle d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ellipsin yhtälö napakoordinaatistossa

Ellipsin yhtälö napakoordinaatistossa F_1r\varphi (kuva 3.37, c ja 3.37 (2)) on muotoa

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

missä p=\frac(b^2)(a) on ellipsin polttoparametri.

Itse asiassa valitaan ellipsin vasen polttopiste F_1 napakoordinaattijärjestelmän napaksi ja säde F_1F_2 napa-akseliksi (kuva 3.37, c). Sitten mielivaltaiselle pisteelle M(r,\varphi) on ellipsin geometrisen määritelmän (fokusointiominaisuuden) mukaan r+MF_2=2a. Ilmoitetaan pisteiden M(r,\varphi) ja F_2(2c,0) välinen etäisyys (katso huomautusten 2.8 kappale 2):

\begin(tasattu)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(tasattu)

Siksi koordinaattimuodossa ellipsin yhtälöllä F_1M+F_2M=2a on muoto

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Eristämme radikaalin, neliöimme yhtälön molemmat puolet, jaamme 4:llä ja esitämme samanlaiset termit:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Ilmoita napasäde r ja tee vaihto e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Ellipsiyhtälön kertoimien geometrinen merkitys

Etsitään ellipsin leikkauspisteet (ks. kuva 3.37a) koordinaattiakseleiden (ellipsin kärjen) kanssa. Korvaamalla yhtälöön y=0, löydämme ellipsin leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa (polttoakselin kanssa): x=\pm a. Siksi ellipsin sisällä olevan polttoakselin segmentin pituus on yhtä suuri kuin 2a. Kuten edellä todettiin, tätä segmenttiä kutsutaan ellipsin pääakseliksi ja numero a on ellipsin puolipääakseli. Korvaamalla x=0, saadaan y=\pm b. Siksi ellipsin sisällä olevan ellipsin toisen akselin segmentin pituus on yhtä suuri kuin 2b. Tätä segmenttiä kutsutaan ellipsin sivuakseliksi ja lukua b on ellipsin puoliperäinen akseli.

Todella, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ja yhtälö b=a saadaan vain tapauksessa c=0, kun ellipsi on ympyrä. Asenne k=\frac(b)(a)\leqslant1 kutsutaan ellipsin puristussuhteeksi.

Huomautuksia 3.9

1. Suorat x=\pm a,~y=\pm b rajoittavat koordinaattitasolla pääsuorakulmiota, jonka sisällä on ellipsi (ks. kuva 3.37, a).

2. Ellipsi voidaan määritellä seuraavasti pisteiden paikka, joka saadaan puristamalla ympyrä sen halkaisijaan.

Todellakin, olkoon ympyrän yhtälö suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy x^2+y^2=a^2. Pakattuna x-akselille kertoimella 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Korvaamalla ympyrät x=x" ja y=\frac(1)(k)y" yhtälöön, saadaan yhtälö pisteen M(x,y) kuvan M"(x",y") koordinaateille. ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\oikea)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

koska b=k\cdot a . Tämä on ellipsin kanoninen yhtälö.

3. Koordinaattiakselit (kanonisen koordinaattijärjestelmän) ovat ellipsin symmetria-akseleita (jota kutsutaan ellipsin pääakseleiksi), ja sen keskipiste on symmetriakeskus.

Todellakin, jos piste M(x,y) kuuluu ellipsiin . silloin pisteet M"(x,-y) ja M""(-x,y), jotka ovat symmetrisiä pisteen M suhteen koordinaattiakseleiden suhteen, kuuluvat myös samaan ellipsiin.

4. Ellipsin yhtälöstä napakoordinaatistossa r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(katso kuva 3.37, c), polttoparametrin geometrinen merkitys selvennetään - tämä on puolet polttoakseliin nähden kohtisuorassa polttopisteen läpi kulkevan ellipsin jänteen pituudesta ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Epäkeskisyys e kuvaa ellipsin muotoa, eli ellipsin ja ympyrän välistä eroa. Mitä suurempi e, sitä pitkänomaisempi ellipsi on, ja mitä lähempänä e on nollaa, sitä lähempänä ellipsi on ympyrää (kuva 3.38a). Todellakin, kun otetaan huomioon, että e=\frac(c)(a) ja c^2=a^2-b^2 , saamme

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

missä k on ellipsin puristuskerroin, 0

6. Yhtälö \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 osoitteessa a

7. Yhtälö \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b määrittää ellipsin, jonka keskipiste on pisteessä O"(x_0,y_0), jonka akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa (kuva 3.38, c). Tämä yhtälö pelkistetään kanoniseksi rinnakkaismuunnolla (3.36).

Kun a=b=R yhtälö (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 kuvaa ympyrää, jonka säde on R ja jonka keskipiste on pisteessä O"(x_0,y_0) .

Ellipsin parametrinen yhtälö

Ellipsin parametrinen yhtälö kanonisessa koordinaattijärjestelmässä on muoto

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Todellakin, korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöllä (3.49), saamme pääasiallisen trigonometrisen identiteetin \cos^2t+\sin^2t=1 .

Esimerkki 3.20. Piirrä ellipsi \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy. Etsi puoliakselit, polttoväli, epäkeskisyys, puristussuhde, polttoparametri, suuntayhtälöt.

Ratkaisu. Vertaamalla annettua yhtälöä kanoniseen yhtälöön määritetään puoliakselit: a=2 - puolisuurakseli, b=1 - ellipsin puoli-pikkuakseli. Rakennamme pääsuorakulmion, jonka sivut ovat 2a=4,~2b=2 ja jonka keskipiste on origossa (kuva 3.39). Ottaen huomioon ellipsin symmetria, sovitamme sen pääsuorakulmioon. Määritä tarvittaessa joidenkin ellipsin pisteiden koordinaatit. Esimerkiksi korvaamalla x=1 ellipsin yhtälöön saamme

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Siksi pisteet, joissa on koordinaatit \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\oikea)- kuuluvat ellipsiin.

Puristussuhteen laskeminen k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); polttoväli 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); epäkeskisyys e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); polttoparametri p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Muodostamme suuntayhtälöt: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript on poistettu käytöstä selaimessasi.
Jotta voit suorittaa laskelmia, sinun on otettava ActiveX-komponentit käyttöön!