Municipal institución educativa"Gimnasio nº 41"
Supervisor: ,
profesor de matematicas
Novouralsk, 2012.
Introducción 3
1. información general sobre cuadrados magicos 4
1.1. Concepto de cuadrado mágico 4
1.2. De la historia de los cuadrados mágicos 4.
1.3. Tipos de cuadrados mágicos 6
2. Resolver cuadrados mágicos 6
2.1. Resolver cuadrados mágicos (método de Bachet de Mezirac) 7
2.2. Planteamiento del problema 8
2.3. Algoritmo para resolver cuadrados mágicos 8
2.4. Prueba del algoritmo (en forma algebraica) 9
2.5. Un ejemplo de resolución de un cuadrado mágico usando el algoritmo 10
3. Usando cuadrados mágicos 11
3.1. Varios casos de generalización de cuadrados mágicos 11.
3.2. Aplicación de cuadrados latinos 12
4. Conclusiones generales 13
5. Conclusión 14
6. Referencias 15
Anexo 1
Apéndice 2
Apéndice 3
Introducción
Durante el club de matemáticas nos enfrentamos a problemas relacionados con llenar las celdas de un cuadrado según reglas especiales. Los números propuestos debían ingresarse para que el resultado cumpliera varias condiciones a la vez:
Si sumas todos los números en cada línea,
Si sumas todos los números de cada columna,
Si sumas todos los números en dos diagonales,
entonces todas estas sumas serán iguales al mismo número.
A pesar de que los problemas diferían en los números iniciales, el orden de los números y la especificación de la suma, todos eran similares y las soluciones eran del mismo tipo.
La idea surgió no sólo de resolver cada problema, sino también de idear un algoritmo de solución general, así como de encontrar información histórica sobre problemas de este tipo en la literatura.
Resultó que las figuras que nos interesan se llaman cuadrados mágicos, conocidos desde la antigüedad. Serán discutidos en este trabajo.
Objetivo del trabajo: sistematizar información sobre cuadrados mágicos, desarrollar un algoritmo para resolverlos.
Tareas:
1. Estudiar la historia de la aparición de los cuadrados mágicos.
2. Identificar los tipos de cuadrados mágicos.
3. Aprenda formas de resolver cuadrados mágicos.
4. Desarrolle y pruebe su algoritmo de solución.
5. Determinar el uso de cuadrados mágicos.
1.Información general sobre los cuadrados mágicos.
1.1. El concepto de cuadrado mágico.
Los cuadrados mágicos son muy populares incluso hoy en día. Estos son cuadrados en los que se inscriben números en cada celda de modo que las sumas de los números a lo largo de cualquier horizontal, vertical y diagonal sean iguales. El más famoso es el cuadrado mágico representado en el grabado del artista alemán A. Durero "Melancolía" (Apéndice 1).
1.2. De la historia de los cuadrados mágicos.
Los números se han convertido en una parte tan importante de la vida humana que comenzaron a atribuirse todo tipo de propiedades mágicas. Hace ya varios miles de años en China antigua Me dejé llevar por hacer cuadrados mágicos. Se encontraron amuletos cuadrados durante excavaciones arqueológicas en China e India. El cuadrado estaba dividido en nueve pequeños cuadrados, en cada uno de los cuales estaban escritos los números del 1 al 9. Es de destacar que las sumas de todos los números en cualquier vertical, horizontal y diagonal eran iguales al mismo número 15 (Figura 1) .
Foto 1.
En la Edad Media los cuadrados mágicos eran muy populares. Uno de los cuadrados mágicos está representado en el grabado del famoso artista alemán Alberto Durero, “Melancolía”. Las 16 celdas del cuadrado contienen números del 1 al 16, y la suma de los números en todas las direcciones es 34. Es curioso que los dos números en el medio de la línea inferior indiquen el año en que se creó la imagen: 1514. Obtención Los cuadrados mágicos eran un pasatiempo popular entre los matemáticos; se crearon cuadrados enormes, por ejemplo, 43x43, que contienen números del 1 al 1849, y además de las propiedades indicadas de los cuadrados mágicos, también tienen muchas propiedades adicionales. Se han inventado métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier tamaño, pero aún no se ha encontrado una fórmula con la que se pueda encontrar el número de cuadrados mágicos. tamaño dado. Se sabe, y usted mismo puede demostrarlo fácilmente, que no existen cuadrados mágicos de tamaño 2x2, hay exactamente un cuadrado mágico de 3x3, el resto de dichos cuadrados se obtienen a partir de él mediante rotaciones y simetrías. Ya hay 800 cuadrados mágicos de 4x4, y el número de cuadrados de 5x5 se acerca al cuarto de millón.
1.3. Tipos de cuadrados mágicos
Mágico(cuadrado mágico) norte 2 números de tal forma que la suma de los números de cada fila, de cada columna y de ambas diagonales sea la misma.
Cuadrado semimágico es una mesa cuadrada nxn llena norte 2 números de tal manera que las sumas de los números sean iguales solo en las filas y columnas.
Normal– un cuadrado mágico lleno de números enteros del 1 al norte 2.
De asociación (simétrico) - un cuadrado mágico en el que la suma de dos números cualesquiera ubicados simétricamente con respecto al centro del cuadrado es igual a norte 2 + 1.
El cuadrado mágico del diablo (pandiagonal)- un cuadrado mágico, en el que las sumas de números a lo largo de diagonales discontinuas (diagonales que se forman cuando el cuadrado se dobla formando un toro) en ambas direcciones también coinciden con la constante mágica.
Hay 48 cuadrados mágicos diabólicos de 4x4 con precisión de rotación y reflexión. Si también tenemos en cuenta su simetría adicional: traslaciones paralelas tóricas, entonces solo quedan 3 cuadrados significativamente diferentes (Figura 2).
Figura 2.
Los cuadrados pandiagonales de cuarto orden tienen un número de propiedades adicionales por lo que son llamados perfecto. No existen cuadrados perfectos de orden impar. Entre los cuadrados pandiagonales de doble paridad superiores a 4 los hay perfectos.
Hay 3600 cuadrados pandiagonales de quinto orden. Teniendo en cuenta las traslaciones paralelas tóricas, hay 144 cuadrados pandiagonales diferentes.
2. Resolver cuadrados mágicos
2.1 Resolver cuadrados mágicos (método de Bachet de Mezirac)
Las reglas para construir cuadrados mágicos se dividen en tres categorías dependiendo de si el orden del cuadrado es impar, igual al doble de un número impar o igual a cuatro veces un número impar. método general Se desconoce la construcción de todas las plazas, aunque se utilizan ampliamente varios esquemas. Es posible encontrar todos los cuadrados mágicos de orden n sólo para n ≤ 4.
Para resolver cuadrados mágicos normales de tamaño arbitrariamente grande, utilizaremos el método descrito en 1612 por el matemático francés Claude Bachet de Mezirac. En 1877 se publicó en San Petersburgo una traducción rusa de su libro con el título “Juegos y problemas basados en matemáticas”.
Es conveniente construir un cuadrado mágico sobre papel cuadriculado. Sea n un número impar y necesitamos construir un cuadrado nxn con números del 1 al n2, procedemos por etapas.
1. Escribimos todos los números del 1 al n2 en las celdas en diagonal (n números seguidos) para formar un cuadrado diagonal.
2. Seleccione un cuadrado nxn en su centro. Ésta es la base (todavía no están llenas todas las celdas) del futuro cuadrado mágico.
3. Movemos con cuidado cada "esquina" numérica ubicada fuera del cuadrado central hacia el interior, hacia el lado opuesto del cuadrado. Los números de estas esquinas deben llenar todas las celdas vacías. Se ha construido el cuadrado mágico.
Pongamos un ejemplo de cómo llenar un cuadrado de 3x3 con números del 1 al 9. Para hacer esto, agregaremos celdas adicionales al cuadrado para obtener diagonales. Primero, llene las celdas diagonales con números del 1 al 9 (Figura 3), luego "doble las esquinas" hacia adentro hacia el lado opuesto en las celdas vacías del cuadrado (Figura 4).
Figura 3. Figura 4.
2.2. Formulación del problema.
Describamos nuestro método para resolver cuadrados mágicos. Centrémonos en estudiar el modelo matemático de cuadrados mágicos de 3x3.
Formulación general del problema.
Hay nueve números. Es necesario colocarlos en celdas de un cuadrado de 3x3, de modo que a lo largo de cualquier vertical, horizontal y diagonal las sumas de los números sean iguales.
2.3. Algoritmo para resolver un cuadrado mágico.
Descripción verbal del algoritmo.
1. Ordena los números en orden ascendente.
2. Encuentra el número central (quinto en orden).
3. Determine los pares de acuerdo con la regla: 1 par: el primer número y el noveno,
2 pares - segundo número y octavo,
3 pares: tercer número y séptimo,
4 pares: el cuarto número y el sexto.
4. Descubra la suma de números (S) que se deben obtener sumando números a lo largo de cada diagonal vertical, horizontal: sume el más pequeño, el central y el más Número grande, es decir números 1 par con un número central.
5. Coloca el número central en el centro del cuadrado.
6. A lo largo de la línea central horizontal (o vertical), ingrese el primer par de números en las celdas vacías.
7. Escribe el segundo par de números a lo largo de cualquier diagonal (de modo que numero mayor el primer par terminó en la columna con el número menor del segundo par).
8. Calcula el número que se debe escribir en una de las columnas exteriores, según la regla:
de S resta la suma de los dos números contenidos en las celdas de la columna para obtener un número.
9. En diagonal al número resultante, escribe el segundo número de su par.
10. Escriba el último par de números en las celdas restantes de acuerdo con la regla: escriba el número más grande del par en la línea con el más pequeño y el más pequeño en la celda vacía restante.
2.4. Prueba de realización correcta del cuadrado mágico.
(Solución del problema en forma general)
Demostremos que las sumas de los números ubicados a lo largo de las verticales, horizontales y diagonales del cuadrado como resultado de la ejecución del algoritmo serán iguales.
Deje que, después de realizar el pedido, cada número posterior difiera del anterior en una cantidad constante X. Expresemos todos los números mediante a1(número más pequeño) y X:
a1, a2=a1+x,
a3=a2+X=a1+2x,
a4=a1+3x,
a5=a1+4x,
a6=a1+5x,
a7=a1+6x,
a8=a1+7x,
a9 = a1 +8 X.
encontremos la cantidad S y expresarlo a través de números a1 Y X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 X.
Dejemos que el cuadrado mágico se llene según el algoritmo propuesto.
Demostremos que las sumas de los números ubicados horizontal, vertical y diagonalmente del cuadrado son iguales. S.
Verticalmente:
S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S
S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S
S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S
Horizontalmente:
S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S
S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S
S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S
Diagonalmente:
S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S
S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3A1 +12x=S
Recibimos las mismas cantidades. La afirmación ha sido probada.
Nota.
Los números organizados de esta manera forman una progresión aritmética. En esta secuencia (después de ordenar) a1 es el primer término progresión aritmética, x es la diferencia de la progresión aritmética. Para números que no forman una progresión aritmética, el algoritmo no funciona.
2.5. Ejemplo de resolución de cuadrados mágicos.
Los números dados son: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Completa el cuadrado mágico con los números dados.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Nos salió el número central 5.
3. Parejas: 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6.
4. S = 5+1+9= 15 - suma.
8. 15-(9+2)=4
Este algoritmo difiere significativamente del método de Bachet de Meziriac. Por un lado, requiere cálculos adicionales (una desventaja del método); por otro lado, nuestro método no requiere construcciones adicionales (cuadrado diagonal). Además, el método es aplicable no sólo a números naturales consecutivos del 1 al 9, sino también a nueve números cualesquiera que sean miembros de una progresión aritmética, en lo que vemos sus ventajas. Además, la constante mágica se determina automáticamente: la suma de números a lo largo de cada diagonal, vertical y horizontal.
3. Usar cuadrados mágicos
3.1. Varios casos de generalización de cuadrados mágicos.
El problema de componer y describir cuadrados mágicos ha interesado a los matemáticos desde la antigüedad. Sin embargo descripción completa Hasta el día de hoy no se han obtenido todos los cuadrados mágicos posibles. A medida que aumenta el tamaño (número de celdas) de un cuadrado, el número de posibles cuadrados mágicos aumenta rápidamente. entre las plazas tallas grandes Hay plazas con propiedades interesantes. Por ejemplo, en el cuadrado de la Figura No. 5, no sólo las sumas de los números en las filas, columnas y diagonales son iguales, sino también las sumas de los cinco a lo largo de las diagonales "interrumpidas", conectadas en la imagen por líneas de colores.
Figura 5. Figura 6.
Los cuadrados latinos son un cuadrado de n x n celdas en el que se escriben los números 1, 2,..., n, y de tal forma que todos estos números aparecen una vez en cada fila y en cada columna. (Figura 6) muestra dos de estos cuadrados latinos de 4x4. Tienen una característica interesante: si un cuadrado se superpone a otro, todos los pares de números resultantes resultan diferentes. Estos pares de cuadrados latinos se denominan ortogonales. El problema de encontrar cuadrados latinos ortogonales fue planteado por primera vez por L. Euler, y en una formulación tan entretenida: “Entre los 36 oficiales hay un número igual de lanceros, dragones, húsares, coraceros, guardias de caballería y granaderos, y además un número igual de generales, coroneles, mayores, capitanes, tenientes y subtenientes, y cada rama del ejército está representada por oficiales de los seis rangos. ¿Es posible alinear a estos oficiales en un cuadrado de 6x6 para que en cualquier columna haya oficiales de todos los rangos?” (Apéndice 2).
L. Euler no pudo encontrar una solución a este problema. En 1901 se demostró que tal solución no existía.
3.2. Aplicación de cuadrados latinos
Los cuadrados mágico y latino son parientes cercanos. La teoría de los cuadrados latinos ha encontrado numerosas aplicaciones, tanto en las propias matemáticas como en sus aplicaciones. Pongamos un ejemplo. Supongamos que queremos probar el rendimiento de dos variedades de trigo en un área determinada y queremos tener en cuenta la influencia del grado de escasez de cultivos y la influencia de dos tipos de fertilizantes. Para ello dividiremos el área del cuadrado en 16 partes iguales (Figura 7). Plantaremos la primera variedad de trigo en las parcelas correspondientes a la franja horizontal inferior, plantaremos la siguiente variedad en cuatro parcelas correspondientes a la siguiente franja, etc. (en la figura la variedad está indicada por color).
Agricultura" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">agricultura, física, química y tecnología.
4. Conclusiones generales
Durante el transcurso de mi trabajo conocí varios tipos Cuadrados mágicos, aprendí a resolver cuadrados mágicos normales usando el método de Bachet de Mezirac. Dado que nuestra solución a los cuadrados mágicos de 3x3 difería del método especificado, pero nos permitía llenar correctamente las celdas del cuadrado cada vez, existía el deseo de desarrollar nuestro propio algoritmo. Este algoritmo se describe en detalle en el trabajo y se prueba en forma algebraica. Resultó que es aplicable no sólo a cuadrados normales, sino también a cuadrados de 3x3, donde los números forman una progresión aritmética. También pudimos encontrar ejemplos del uso de cuadrados mágicos y latinos.
Aprendí a: resolver algunos cuadrados mágicos, desarrollar y describir algoritmos, probar enunciados en forma algebraica. Aprendí nuevos conceptos: progresión aritmética, cuadrado mágico, constante mágica, estudié los tipos de cuadrados.
Desafortunadamente, ni mi algoritmo desarrollado ni el método de Bachet de Mezirac permiten resolver cuadrados mágicos de 4x4. Por lo tanto, quería crear un algoritmo de solución para esos cuadrados en el futuro.
5. Conclusión
En este trabajo se estudiaron los cuadrados mágicos y se consideró la historia de su origen. Se determinaron los tipos de cuadrados mágicos: cuadrado mágico o mágico, cuadrado semimágico, normal, asociativo, cuadrado mágico diabólico, perfecto.
Entre métodos existentes Para solucionarlos se eligió el método de Bachet de Meziriac, se probó mediante ejemplos. Además, para resolver cuadrados mágicos de 3x3, se propone nuestro propio algoritmo de solución y se proporciona una demostración matemática en forma algebraica.
El algoritmo propuesto difiere significativamente del método de Bachet de Meziriac. Por un lado, requiere cálculos adicionales (una desventaja del método) y, por otro lado, no se necesitan construcciones adicionales. El método es aplicable no sólo a números naturales consecutivos del 1 al 9, sino también a nueve números cualesquiera que sean miembros de una progresión aritmética, en lo que vemos sus ventajas. Además, la constante mágica se determina automáticamente: la suma de números a lo largo de cada diagonal, vertical y horizontal.
El artículo presenta una generalización de los cuadrados mágicos - cuadrados latinos y describe su aplicación práctica.
Este trabajo se puede utilizar en las lecciones de matemáticas como material adicional, así como en las clases del club y en trabajo individual con los estudiantes.
6. Referencias
1. Misterios del mundo de los números / Comp. – D.: Stalker, 1997.-448 p.
2. Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. – M.: Pedagogía, 1989 – 352 págs.: enfermo.
3. Enciclopedia para niños. T11. Matemáticas / Cap. ed. – M.: Avanta+, 2000 – 688 págs.: enfermo.
4. Exploro el mundo: Enciclopedia infantil: Matemáticas / Comp. – y otros – M.: AST, 1996. – 480 págs.: ill.
Existen varias técnicas para construir cuadrados de paridad simple y paridad doble.
Calcula la constante mágica. Esto se puede hacer usando un simple fórmula matemática/ 2, donde n es el número de filas o columnas del cuadrado. Por ejemplo, en un cuadrado 6x6 n=6, y su constante mágica es:
- Constante mágica = / 2
- Constante mágica = / 2
- Constante mágica = (6 * 37) / 2
- Constante mágica = 222/2
- La constante mágica para un cuadrado de 6x6 es 111.
- La suma de los números en cualquier fila, columna y diagonal debe ser igual a la constante mágica.
Divide el cuadrado mágico en cuatro cuadrantes del mismo tamaño. Etiqueta los cuadrantes A (arriba a la izquierda), C (arriba a la derecha), D (abajo a la izquierda) y B (abajo a la derecha). Para saber el tamaño de cada cuadrante, divida n entre 2.
- Así, en un cuadrado de 6x6, el tamaño de cada cuadrante es 3x3.
En el cuadrante A, escribe la cuarta parte de todos los números; en el cuadrante B, escribe el siguiente cuarto de todos los números; en el cuadrante C, escribe el siguiente cuarto de todos los números; en el cuadrante D, escribe el último cuarto de todos los números.
- En nuestro ejemplo de un cuadrado de 6x6, en el cuadrante A, escribe los números del 1 al 9; en el cuadrante B - números 10-18; en el cuadrante C - números 19-27; en el cuadrante D - números 28-36.
Escribe los números en cada cuadrante como lo harías con un cuadrado impar. En nuestro ejemplo, comience a llenar el cuadrante A con números que comienzan con 1 y los cuadrantes C, B, D, que comienzan con 10, 19, 28, respectivamente.
- Escriba siempre el número a partir del cual comienza a completar cada cuadrante en la celda central de la fila superior de un cuadrante en particular.
- Llena cada cuadrante con números como si fuera un cuadrado mágico independiente. Si hay una celda vacía de otro cuadrante disponible al llenar un cuadrante, ignore este hecho y use las excepciones a la regla para llenar cuadrados impares.
Resalte números específicos en los cuadrantes A y D. En esta etapa, la suma de los números en columnas, filas y en diagonal no será igual a la constante mágica. Por lo tanto, debes intercambiar los números en ciertas celdas de los cuadrantes superior izquierdo e inferior izquierdo.
- Comenzando desde la primera celda de la fila superior del cuadrante A, seleccione una cantidad de celdas igual a la mediana del número de celdas en toda la fila. Así, en un cuadrado de 6x6, seleccione solo la primera celda de la fila superior del cuadrante A (el número 8 está escrito en esta celda); en un cuadrado de 10x10 debes seleccionar las dos primeras celdas de la fila superior del cuadrante A (los números 17 y 24 están escritos en estas celdas).
- Forma un cuadrado intermedio a partir de las celdas seleccionadas. Como ha seleccionado sólo una celda en un cuadrado de 6x6, el cuadrado intermedio constará de una celda. Llamemos a este cuadrado intermedio A-1.
- En un cuadrado de 10x10, seleccionaste las dos celdas de la fila superior, por lo que debes seleccionar las dos primeras celdas de la segunda fila para formar un cuadrado intermedio de 2x2 de cuatro celdas.
- En la siguiente línea, omita el número de la primera celda y luego resalte tantos números como resaltó en el cuadrado intermedio A-1. Llamemos al cuadrado intermedio resultante A-2.
- Obtener el cuadrado intermedio A-3 es similar a obtener el cuadrado intermedio A-1.
- Los cuadrados intermedios A-1, A-2, A-3 forman el área seleccionada A.
- Repita el proceso descrito en el cuadrante D: cree cuadrados intermedios que formen el área D seleccionada.
CUADRADO MÁGICO
una tabla cuadrada de números enteros en la que las sumas de los números a lo largo de cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las dos diagonales principales equivalen al mismo número. El cuadrado mágico es de origen chino antiguo. Según la leyenda, durante el reinado del emperador Yu (c. 2200 a. C.), una tortuga sagrada emergió de las aguas del río Amarillo (Río Amarillo), en cuyo caparazón estaban inscritos misteriosos jeroglíficos (Fig. 1a), y estos signos son conocidos como lo-shu y son equivalentes al cuadrado mágico que se muestra en la Fig. 1, b. En el siglo XI Aprendieron sobre los cuadrados mágicos en la India y luego en Japón, donde en el siglo XVI. Se ha dedicado una extensa literatura a los cuadrados mágicos. Los europeos conocieron los cuadrados mágicos en el siglo XV. Escritor bizantino E. Moschopoulos. Se considera que el primer cuadrado inventado por un europeo es el cuadrado de A. Durero (Fig. 2), representado en su famoso grabado Melancolía 1. La fecha de creación del grabado (1514) está indicada por los números en los dos centrales. celdas del resultado final. A los cuadrados mágicos se les atribuyeron varias propiedades místicas. En el siglo 16 Cornelius Heinrich Agrippa construyó cuadrados de los órdenes 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que estaban asociados con la astrología de los 7 planetas. Se creía que un cuadrado mágico grabado en plata protegía contra la peste. Aún hoy, entre los atributos de los adivinos europeos se pueden ver cuadrados mágicos.
En los siglos XIX y XX. El interés por los cuadrados mágicos surgió con nueva fuerza. Comenzaron a estudiarse utilizando los métodos de álgebra superior y cálculo operativo. Cada elemento de un cuadrado mágico se llama celda. Un cuadrado cuyo lado consta de n celdas contiene n2 celdas y se llama cuadrado de enésimo orden. La mayoría de los cuadrados mágicos utilizan los primeros n números naturales consecutivos. La suma de S números en cada fila, cada columna y en cualquier diagonal se llama constante cuadrada y es igual a S = n(n2 + 1)/2. Se ha demostrado que n = 3. Para un cuadrado de tercer orden S = 15, de cuarto orden - S = 34, de quinto orden - S = 65. Las dos diagonales que pasan por el centro del cuadrado se llaman diagonales principales. Una línea discontinua es una diagonal que, habiendo llegado al borde del cuadrado, continúa paralela al primer segmento desde el borde opuesto (dicha diagonal está formada por las celdas sombreadas en la Fig. 3). Las celdas que son simétricas con respecto al centro del cuadrado se denominan simétricas sesgadas. Estas son, por ejemplo, las celdas a y b en la Fig. 3.
Las reglas para construir cuadrados mágicos se dividen en tres categorías dependiendo de si el orden del cuadrado es impar, igual al doble de un número impar o igual a cuatro veces un número impar. Se desconoce un método general para construir todos los cuadrados, aunque se utilizan ampliamente varios esquemas, algunos de los cuales consideraremos a continuación. Se pueden construir cuadrados mágicos de orden impar utilizando el método de un geómetra francés del siglo XVII. A. de la Lubera. Consideremos este método usando el ejemplo de un cuadrado de quinto orden (Fig. 4). El número 1 se coloca en la celda central de la fila superior. Todos los números naturales están ordenados cíclicamente de abajo hacia arriba en celdas diagonales de derecha a izquierda. Habiendo llegado al borde superior del cuadrado (como en el caso del número 1), continuamos llenando la diagonal comenzando desde la celda inferior de la siguiente columna. Habiendo llegado al borde derecho del cuadrado (número 3), continuamos llenando la diagonal que viene de la celda izquierda en la línea de arriba. Al llegar a una celda llena (número 5) o una esquina (número 15), la trayectoria desciende una celda, después de lo cual continúa el proceso de llenado.
El método de F. de la Hire (1640-1718) se basa en dos cuadrados originales. En la Fig. La Figura 5 muestra cómo se utiliza este método para construir un cuadrado de quinto orden. Los números del 1 al 5 se introducen en la celda del primer cuadrado de manera que el número 3 se repite en las celdas de la diagonal principal subiendo a la derecha, y ni un solo número aparece dos veces en la misma fila o en la misma columna. Hacemos lo mismo con los números 0, 5, 10, 15, 20 con la única diferencia de que el número 10 ahora se repite en las celdas de la diagonal principal, de arriba a abajo (Fig. 5, b). La suma celda por celda de estos dos cuadrados (Fig. 5c) forma un cuadrado mágico. Este método también se utiliza para construir cuadrados de orden par.
Si sabes cómo construir cuadrados de orden m y orden n, entonces puedes construir un cuadrado de orden m′n. La esencia de este método se muestra en la Fig. 6. Aquí m = 3 y n = 3. Se construye un cuadrado más grande de tercer orden (con números marcados por números primos) usando el método de la Loubert. En la celda con el número 1ў (la celda central de la fila superior) cabe un cuadrado de tercer orden de los números del 1 al 9, también construido según el método de De la Lubert. En la celda con el número 2ў (justo en la línea inferior) cabe un cuadrado de tercer orden con números del 10 al 18; en la celda con el número 3ў - un cuadrado de números del 19 al 27, etc. Como resultado, obtenemos un cuadrado de noveno orden. Estos cuadrados se llaman compuestos.
Enciclopedia de Collier. - Sociedad Abierta. 2000 .
Mira qué es "CUADRADO MÁGICO" en otros diccionarios:
Un cuadrado dividido en un número igual de n columnas y filas, con las primeras n2 inscritas en las celdas resultantes. números naturales, que suman cada columna, cada fila y dos diagonales grandes el mismo número... Gran diccionario enciclopédico
CUADRADO MÁGICO, una MATRIZ cuadrada, dividida en celdas y llena de números o letras de una determinada manera, solucionando una situación mágica especial. La letra cuadrada más común es SATOR, formada por las palabras SATOR, AREPO,... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico.
Un cuadrado dividido en igual número n de columnas y filas, con números naturales del 1 al n2 inscritos en las celdas resultantes, que suman el mismo número para cada columna, cada fila y dos grandes diagonales. En la Fig. ejemplo de M. k. s... ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
Un cuadrado mágico o mágico es una tabla cuadrada llena de números de tal forma que la suma de los números de cada fila, de cada columna y de ambas diagonales es la misma. Si las sumas de los números en un cuadrado son iguales solo en filas y columnas, entonces ... Wikipedia
Un cuadrado dividido en igual número n de columnas y filas, con los primeros n2 números naturales inscritos en las celdas resultantes, que suman el mismo número para cada columna, cada fila y dos grandes diagonales. La imagen muestra un ejemplo... ... diccionario enciclopédico
Un cuadrado dividido en igual número n de columnas y filas, con los primeros n2 números naturales inscritos en las celdas resultantes, que suman cada columna, cada fila y dos diagonales grandes un mismo número [igual a... ... Gran enciclopedia soviética
Tabla cuadrada de números enteros del 1 al n2, satisfactoria siguientes condiciones: donde s=n(n2+1)/2. También se consideran ecuaciones matemáticas más generales, en las que no se requiere que cualquier número a se caracterice de forma única por un par de residuos (a, b) módulo n(dígitos... Enciclopedia Matemática
Libro Un cuadrado dividido en partes, cada una de las cuales contiene un número que suma el mismo número junto con otros en forma horizontal, vertical o diagonal. BTS, 512… gran diccionario refranes rusos
- (griego magikos, de magos mago). Mágico, relacionado con la magia. Diccionario palabras extranjeras, incluido en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. Magia MÁGICA. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Pávlenkov F., 1907 ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.
Es una versión tridimensional del cuadrado mágico. Un cubo mágico tradicional (clásico) de orden n es un cubo de dimensiones n×n×n, lleno de varios números naturales del 1 al n3, de modo que las sumas de los números en cualquiera de las 3n2 filas, ... ... Wikipedia
Libros
- Magic Square, Irina Bjorno, “Magic Square” es una colección de cuentos y cuentos escritos en el estilo del realismo mágico, donde la realidad se entrelaza estrechamente con la magia y la fantasía, formando un nuevo estilo mágico:... Categoría: Terror y Misterio Autor: Soluciones editoriales, libro electronico (fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)
XIII Jornadas Científicas y Prácticas de Escolares
"Cuadrados Mágicos"
Alumnos de 8º grado "A"
Liceo PTP
Anna Sholojova
Jefe Anokhin M.N.
La historia de la creación de mi obra…………………………………………………………2
Cuadrado mágico................................................ ...................................3
Cuadrados mágicos históricamente significativos................4-5
PLAZA ENCONTRADA EN KHAJURAHO (INDIA).......6
Cuadrado mágico de Yang Hui (China)................................................. ..7
Plaza Alberto Durero................................................ ..... ............8
Cuadrados de Henry E. Dudeney y Allan W. Johnson Jr.....9
El cuadrado mágico del diablo................................10-11
REGLAS PARA CONSTRUIR CUADRADOS MÁGICOS....12
REDACTAR CUADRADOS MÁGICOS................................13-15
La creación del cuadrado mágico de Alberto Durero. .....17-18
Sudoku................................................ .. ..........................................19-21 Kakuro................................................ .. ..........................................22-23
BANCO DE TAREAS................................................ ... .................24-25
Conclusiones................................................. ................................26 Literatura................. .. ................................................. ........ .......27
La historia de la creación de mi obra. .
Antes ni siquiera pensaba que se pudiera inventar algo así. La primera vez que me encontré con los cuadrados mágicos fue en primer grado en un libro de texto, eran los más simples.| 7 | ||
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Unos años más tarde, fui a la playa con mis padres y conocí a una chica a la que le gustaba el Sudoku. Yo también quería aprender y ella me explicó cómo hacerlo. Me gustó mucho esta actividad y se convirtió en mi llamado hobby.
Después de que me ofrecieron participar en una conferencia científica y práctica, inmediatamente elegí el tema "Cuadrados mágicos". En este trabajo incluí material historico, variedades, reglas para crear un juego de acertijos.
Cuadrado mágico.
Los cuadrados mágicos existen para todos los órdenes excepto n=2, aunque el caso n=1 es trivial: el cuadrado consta de un solo número.
La suma de los números en cada fila, columna y diagonal. Llamado constante mágica, M. La constante mágica de un cuadrado mágico normal depende sólo de n y viene dada por la fórmula.
| orden n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Minnesota) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Los primeros valores de las constantes mágicas se dan en las siguientes tablas.
Cuadrados mágicos de importancia histórica.
En el antiguo libro chino "Zhe-kim" ("Libro de las permutaciones") hay una leyenda que dice que el emperador Nu, que vivió hace 4 mil años, vio una tortuga sagrada en la orilla del río. En su caparazón había un patrón de círculos blancos y negros (Fig. 1). Si reemplazas cada figura con un número que indica cuántos círculos contiene, obtienes una tabla. | 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Esta mesa tiene una propiedad maravillosa. Sumemos los números de la primera columna: 4 + 3 + 8 = 15. Se obtendrá el mismo resultado al sumar los números de la segunda y tercera columnas. También se obtiene sumando números de cualquiera de las tres líneas. No sólo eso, sino que se obtiene la misma respuesta 15 si sumas los números de cada una de las dos diagonales: 4+5+6=8+5+2=15.
Probablemente a los chinos se les ocurrió esta leyenda cuando descubrieron que la disposición de los números del 1 al 9 tenía una propiedad tan notable. Llamaron al dibujo “lo-shu” y comenzaron a considerarlo un símbolo mágico y a utilizarlo en hechizos. Por lo tanto, ahora cualquier tabla cuadrada formada por números y que tenga esta propiedad se llama cuadrado mágico.
Figura 1
PLAZA ENCONTRADA EN KHAJURAHO (INDIA).
El primer cuadrado mágico único fue descubierto en una inscripción del siglo XI en la ciudad india de Khajuraho.
Este es el primer cuadrado mágico, perteneciente a una variedad de los llamados cuadrados "diabólicos".
Plaza mágica de Yang Hui (China)
En el siglo XIII, el matemático Yang Hui abordó el problema de los métodos para construir cuadrados mágicos. Su investigación fue luego continuada por otros matemáticos chinos. Yang Hui consideraba cuadrados mágicos no sólo de tercer orden, sino también de orden superior.
Algunos de sus cuadrados eran bastante complejos, pero siempre dio reglas para su construcción. Logró construir un cuadrado mágico de sexto orden.
La suma de los números en cualquier horizontal, vertical y diagonal es 34. Esta suma también se encuentra en todos los cuadrados de las esquinas de 2x2, en el cuadrado central (10+11+6+7), en los cuadrados de las celdas de las esquinas (16+13+4+1), en los cuadrados construidos mediante el “movimiento del caballo”. (2+8 +9+15 y 3+5+12+14), rectángulos formados por pares de celdas intermedias en lados opuestos (3+2+15+14 y 5+8+9+12). La mayoría de las simetrías adicionales son debido al hecho de que la suma de dos números cualesquiera ubicados centralmente simétricamente es 17.
Cuadrados de Henry E. Dudeney y Allan W. Johnson, Jr.
Si se ingresa una serie de números no estrictamente naturales en una matriz cuadrada n x n, entonces este cuadrado mágico no es tradicional. A continuación se muestran dos de esos cuadrados mágicos, llenos en su mayoría de números primos. El primero (Fig. 3) tiene orden n=3 (cuadrado de Dudeney); el segundo (Fig. 4) (tamaño 4x4) es un cuadrado de Johnson. Ambos fueron desarrollados a principios del siglo XX.
Fig.3 Fig.4
El cuadrado mágico del diablo.
Los cuadrados pares son mucho más difíciles de construir que los impares. Hay muchas maneras de explicar los principios de su construcción. Este artículo describe una forma divertida de construir un cuadrado mágico de 4 x 4.
Comenzamos ingresando uno en la celda más a la izquierda de la fila superior. El número dos se encuentra en la siguiente celda y los números 3 y 4 en las siguientes. De esta forma se completará la fila superior. En la siguiente fila, ingresa los números 5, 6, 7 y 8.
Continúe hasta haber llenado todas las celdas (Figura 1).
Figura 1
Luego, en todas las filas exteriores, debe eliminar dos números de las celdas centrales, es decir, en la fila superior se eliminan los números 2 y 3, en la fila inferior se eliminan 14 y 15. Finalmente, en la fila más a la izquierda se eliminan los números 5. y se eliminan 9, y en la fila más a la derecha, 8 y 12 (Fig. 2).
Figura 2 Ahora estos números se pueden ordenar bastante de una manera interesante. Los números 2 y 3 ocupan las celdas que anteriormente contenían los números 14 y 15. Así, la fila inferior estará formada por los números 13,3,2 y 16. Los números 14 y 15 están ordenados según el mismo principio, es decir , ocupan aquellas celdas que anteriormente contenían los números 2 y 3. Como resultado, la fila superior estará formada por los números 1,15,14 y 4. Espero que ya entiendas cómo se construirá más el cuadrado mágico. Los números 8 y 12 ocuparán las celdas que anteriormente contenían los números 5 y 9. Finalmente, los números 5 y 9 caben en dos celdas de la columna de más a la derecha (Fig. 3).
Fig. 3 Tenga en cuenta que en este cuadrado mágico la suma de los números de cualquier serie es 34.
De la misma manera, puedes crear un cuadrado de 4 * 4 simplemente ordenando dieciséis números secuencialmente, comenzando desde cualquier número. Si construyes un cuadrado mágico donde los números están en la secuencia 3, 6, 9, 12, etc., verás que la suma de los números en cualquier serie será igual a 102.
Hay muchas maneras de construir incluso cuadrados mágicos. Algunos de ellos son muy complejos, requieren mucho tiempo y sólo interesan a los matemáticos. Afortunadamente, el método para crear cuadrados mágicos de yantra según la fecha de nacimiento es extremadamente simple.
