Primer nivel
Conversión de expresiones. Teoría detallada (2019)
Convertir expresiones
A menudo escuchamos esta desagradable frase: "simplifica la expresión". Normalmente vemos algún tipo de monstruo como este:
"Es mucho más sencillo", decimos, pero esa respuesta normalmente no funciona.
Ahora te enseñaré a no tener miedo de tales tareas. Además, al final de la lección, usted mismo simplificará este ejemplo a (¡solo!) un número ordinario (sí, al diablo con estas letras).
Pero antes de comenzar esta lección, debes poder manejar fracciones y factorizar polinomios. Por lo tanto, primero, si no ha hecho esto antes, asegúrese de dominar los temas “” y “”.
¿Lo has leído? En caso afirmativo, ya está listo.
Operaciones básicas de simplificación.
Ahora veamos las técnicas básicas que se utilizan para simplificar expresiones.
El más simple es
1. Trayendo similares
¿Qué son similares? Lo tomaste en séptimo grado, cuando aparecieron por primera vez en matemáticas letras en lugar de números. Semejantes son términos (monomios) con la misma parte de letras. Por ejemplo, en la suma, términos similares son y.
¿Te acuerdas?
Traer similares significa sumar varios términos similares entre sí y obtener un término.
¿Cómo podemos juntar las letras? - usted pregunta.
Esto es muy fácil de entender si imaginas que las letras son una especie de objetos. Por ejemplo, una carta es una silla. Entonces ¿a qué es igual la expresión? Dos sillas más tres sillas ¿cuántas serán? Así es, sillas: .
Ahora prueba esta expresión: .
Para evitar confusiones, permita que letras diferentes representen objetos diferentes. Por ejemplo, - es (como siempre) una silla y - es una mesa. Entonces:
sillas mesas sillas mesas sillas sillas mesas
Los números por los que se multiplican las letras de dichos términos se llaman coeficientes. Por ejemplo, en un monomio el coeficiente es igual. Y en eso es igual.
Entonces, la regla para traer similares es:
Ejemplos:
Da otros similares:
Respuestas:
2. (y similares, ya que, por tanto, estos términos tienen la misma parte alfabética).
2. Factorización
Esto suele ser lo más una parte importante en la simplificación de expresiones. Después de haber dado expresiones similares, la mayoría de las veces es necesario factorizar la expresión resultante, es decir, presentarla como un producto. Esto es especialmente importante en fracciones: para poder reducir una fracción, el numerador y el denominador deben representarse como un producto.
Ya analizaste en detalle los métodos de factorización de expresiones en el tema “”, así que aquí solo tienes que recordar lo que aprendiste. Para hacer esto, decida algunos ejemplos(es necesario factorizar):
Soluciones:
3. Reducir una fracción.
Bueno, ¿qué podría ser más agradable que tachar parte del numerador y del denominador y sacarlos de tu vida?
Ésa es la belleza de la reducción de personal.
Es sencillo:
Si el numerador y el denominador contienen los mismos factores, se pueden reducir, es decir, eliminar de la fracción.
Esta regla se deriva de la propiedad básica de una fracción:
Es decir, la esencia de la operación de reducción es que Dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mismo número (o por la misma expresión).
Para reducir una fracción necesitas:
1) numerador y denominador factorizar
2) si el numerador y el denominador contienen factores comunes, se pueden tachar.
¿El principio, creo, es claro?
Me gustaría llamar su atención sobre un error típico al abreviar. Aunque este tema es simple, muchas personas hacen todo mal, sin entender que reducir- esto significa dividir numerador y denominador son el mismo número.
No se permiten abreviaturas si el numerador o denominador es una suma.
Por ejemplo: necesitamos simplificar.
Algunas personas hacen esto: lo cual es absolutamente incorrecto.
Otro ejemplo: reducir.
Los “más inteligentes” harán esto: .
Dime ¿qué pasa aquí? Parecería: - este es un multiplicador, lo que significa que se puede reducir.
Pero no: - este es un factor de un solo término en el numerador, pero el numerador en sí no está factorizado en su conjunto.
He aquí otro ejemplo: .
Esta expresión está factorizada, lo que significa que puedes reducirla, es decir, dividir el numerador y el denominador por y luego por:
Puedes dividirlo inmediatamente en:
Para evitar este tipo de errores, recuerde camino fácil cómo determinar si una expresión está factorizada:
La operación aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de una expresión es la operación “maestra”. Es decir, si sustituyes algunos (cualquier) número en lugar de letras e intentas calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión está factorizada). Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no se puede reducir).
Para consolidar, resuelve algunos tú mismo ejemplos:
Respuestas:
1. Espero que no te hayas apresurado a cortar inmediatamente y. Todavía no era suficiente “reducir” unidades como ésta:
El primer paso debe ser la factorización:
4. Sumar y restar fracciones. Reducir fracciones a un denominador común.
Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación familiar: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores. Recordemos:
Respuestas:
1. Los denominadores y son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes. Por tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:
2. Aquí el denominador común es:
3. Aquí, en primer lugar, convertimos fracciones mixtas en impropias, y luego según el esquema habitual:
Es completamente diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:
Comencemos con algo simple:
a) Los denominadores no contienen letras.
Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encontramos el denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores:
Ahora en el numerador puedes poner otros similares, si los hay, y factorizarlos:
Inténtalo tú mismo:
b) Los denominadores contienen letras.
Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:
· en primer lugar, determinamos los factores comunes;
· luego escribimos todos los factores comunes uno por uno;
· y multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.
Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los factorizamos en factores primos:
Destacamos los factores comunes:
Ahora escribamos los factores comunes uno a la vez y agreguemos todos los factores no comunes (no subrayados):
Este es el denominador común.
Volvamos a las letras. Los denominadores se dan exactamente de la misma manera:
· factorizar los denominadores;
· determinar factores comunes (idénticos);
· escriba todos los factores comunes una vez;
· multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.
Entonces, en orden:
1) factorizar los denominadores:
2) determinar factores comunes (idénticos):
3) escribe todos los factores comunes una vez y multiplícalos por todos los demás factores (no subrayados):
Entonces aquí hay un denominador común. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda, por:
Por cierto, hay un truco:
Por ejemplo: .
Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con indicadores diferentes. El denominador común será:
en un grado
en un grado
en un grado
en un grado.
Compliquemos la tarea:
¿Cómo hacer que las fracciones tengan el mismo denominador?
Recordemos la propiedad básica de una fracción:
En ninguna parte dice que se pueda restar (o sumar) el mismo número al numerador y denominador de una fracción. ¡Porque no es verdad!
Compruébalo tú mismo: toma cualquier fracción, por ejemplo, y suma algún número al numerador y al denominador, por ejemplo, . ¿Qué aprendiste?
Entonces, otra regla inquebrantable:
Cuando reduzcas fracciones a un denominador común, ¡usa solo la operación de multiplicación!
¿Pero por qué necesitas multiplicar para obtener?
Entonces multiplica por. Y multiplica por:
Llamaremos "factores elementales" a las expresiones que no se pueden factorizar. Por ejemplo, este es un factor elemental. - Mismo. Pero no: se puede factorizar.
¿Qué pasa con la expresión? ¿Es elemental?
No, porque se puede factorizar:
(ya leíste sobre factorización en el tema “”).
Entonces, los factores elementales en los que se descompone una expresión con letras son análogos de los factores simples en los que se descomponen los números. Y los trataremos de la misma manera.
Vemos que ambos denominadores tienen un multiplicador. Irá al denominador común en el grado (¿recuerdas por qué?).
El factor es elemental, y no tienen factor común, lo que significa que simplemente habrá que multiplicar la primera fracción por él:
Otro ejemplo:
Solución:
Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿debe pensar en cómo factorizarlos? Ambos representan:
¡Excelente! Entonces:
Otro ejemplo:
Solución:
Como siempre, factoricemos los denominadores. En el primer denominador simplemente lo ponemos entre paréntesis; en el segundo - la diferencia de cuadrados:
Parecería que no hay factores comunes. Pero si te fijas bien, son similares... Y es cierto:
Entonces escribamos:
Es decir, resultó así: dentro del paréntesis intercambiamos los términos y al mismo tiempo el signo delante de la fracción cambió al opuesto. Toma nota, tendrás que hacer esto con frecuencia.
Ahora llevémoslo a un denominador común:
¿Entiendo? Comprobémoslo ahora.
Tareas para solución independiente:
Respuestas:
Aquí debemos recordar una cosa más: la diferencia entre cubos:
¡Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no contiene la fórmula "cuadrado de la suma"! El cuadrado de la suma quedaría así: .
A es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término es el producto del primero y el último, y no su doble producto. cuadrado incompleto la suma es uno de los factores en la expansión de la diferencia de cubos:
¿Qué hacer si ya hay tres fracciones?
¡Sí, lo mismo! En primer lugar, asegurémonos de que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:
Tenga en cuenta: si cambia los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al opuesto. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo delante de la fracción vuelve a cambiar al opuesto. Como resultado, (el signo delante de la fracción) no ha cambiado.
Escribimos todo el primer denominador en el denominador común y luego le sumamos todos los factores que aún no se han escrito, del segundo y luego del tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, resulta así:
Hmm... Está claro qué hacer con las fracciones. Pero ¿qué pasa con los dos?
Es simple: sabes sumar fracciones, ¿verdad? Entonces, ¡necesitamos hacer que dos se conviertan en una fracción! Recordemos: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador, por si lo olvidaste). Y no hay nada más fácil que dividir un número por. En este caso, el número en sí no cambiará, sino que se convertirá en una fracción:
¡Exactamente lo que se necesita!
5. Multiplicación y división de fracciones.
Bueno, la parte más difícil ya pasó. Y delante de nosotros está el más sencillo, pero a la vez el más importante:
Procedimiento
¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerda calculando el significado de esta expresión:
¿Contaste?
Deberia de funcionar.
Así que déjame recordarte.
El primer paso es calcular el grado.
El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, se pueden hacer en cualquier orden.
Y finalmente, realizamos sumas y restas. De nuevo, en cualquier orden.
Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de turno!
Si se multiplican o dividimos varios corchetes entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes y luego los multiplicamos o dividimos.
¿Qué pasa si hay más corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos: alguna expresión está escrita entre paréntesis. Al calcular una expresión, ¿qué debes hacer primero? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los paréntesis internos, luego todo lo demás.
Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (está resaltada en rojo la acción actual, es decir, la acción que estoy realizando ahora mismo):
Vale, es todo sencillo.
¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?
¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas es necesario realizar operaciones algebraicas, es decir, las acciones descritas en sección previa: trayendo similares, suma de fracciones, reducción de fracciones, etc. La única diferencia será la acción de factorizar polinomios (a menudo usamos esto cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para factorizar, es necesario usar I o simplemente poner el factor común entre paréntesis.
Normalmente nuestro objetivo es representar la expresión como un producto o cociente.
Por ejemplo:
Simplifiquemos la expresión.
1) Primero, simplificamos la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos una diferencia de fracciones y nuestro objetivo es presentarla como un producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y sumamos:
Es imposible simplificar más esta expresión; todos los factores aquí son elementales (¿aún recuerdas lo que esto significa?).
2) Obtenemos:
Multiplicar fracciones: qué podría ser más sencillo.
3) Ahora puedes acortar:
OK, todo ha terminado. Nada complicado, ¿verdad?
Otro ejemplo:
Simplifica la expresión.
Primero, intente resolverlo usted mismo y solo luego mire la solución.
En primer lugar, determinemos el orden de las acciones. Primero, sumemos las fracciones entre paréntesis, de modo que en lugar de dos fracciones obtengamos una. Luego haremos división de fracciones. Bueno, sumemos el resultado con la última fracción. Numeraré los pasos esquemáticamente:
Ahora te mostraré el proceso, teñiendo la acción actual en rojo:
Finalmente, te daré dos consejos útiles:
1. Si existen similares, deberán traerse inmediatamente. Siempre que surjan situaciones similares en nuestro país, conviene sacarlas a relucir inmediatamente.
2. Lo mismo se aplica a las fracciones reductoras: tan pronto como aparece la oportunidad de reducir, hay que aprovecharla. La excepción es para las fracciones que se suman o restan: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.
A continuación te presentamos algunas tareas que puedes resolver por tu cuenta:
Y lo que se prometió desde el principio:
Soluciones (breves):
Si ha abordado al menos los tres primeros ejemplos, entonces domina el tema.
¡Ahora a aprender!
CONVERTIR EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS
Operaciones básicas de simplificación:
- Trayendo similares: para sumar (reducir) términos similares, debe sumar sus coeficientes y asignarles la parte de letras.
- Factorización: poniendo el factor común entre paréntesis, aplicándolo, etc.
- Reducir una fracción: El numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, lo que no cambia el valor de la fracción.
1) numerador y denominador factorizar
2) si el numerador y el denominador tienen factores comunes, se pueden tachar.IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!
- Sumar y restar fracciones:
; - Multiplicar y dividir fracciones:
;
Para entender cómo reducir fracciones, primero veamos un ejemplo.
Reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador entre lo mismo. Tanto 360 como 420 terminan en un dígito, por lo que podemos reducir esta fracción a 2. En la nueva fracción, tanto 180 como 210 también son divisibles por 2, por lo que reducimos esta fracción a 2. En los números 90 y 105, la suma de los dígitos es divisible por 3, por lo que ambos números son divisibles por 3, reducimos la fracción por 3. En la nueva fracción, 30 y 35 terminan en 0 y 5, lo que significa que ambos números son divisibles por 5, por lo que reducimos la fracción por 5. La fracción resultante de seis séptimos es irreducible. Esta es la respuesta final.
Podemos llegar a la misma respuesta de otra manera.
Tanto 360 como 420 terminan en cero, lo que significa que son divisibles por 10. Reducimos la fracción por 10. En la nueva fracción, tanto el numerador 36 como el denominador 42 se dividen por 2. Reducimos la fracción por 2. En el siguiente fracción, tanto el numerador 18 como el denominador 21 se dividen entre 3, lo que significa que reducimos la fracción en 3. Llegamos al resultado: seis séptimos.
Y una solución más.
La próxima vez veremos ejemplos de fracciones reductoras.
Entendamos qué es la reducción de fracciones, por qué y cómo reducir fracciones, y demos la regla para reducir fracciones y ejemplos de su uso.
Yandex.RTB R-A-339285-1
¿Qué es "fracciones reductoras"?
Reducir fracciónReducir una fracción es dividir su numerador y denominador por un factor común positivo y distinto de uno.
Como resultado de esta acción se obtendrá una fracción con un nuevo numerador y denominador, igual a la fracción original.
Por ejemplo, tomemos la fracción común 6 24 y reduzcamosla. Divide el numerador y el denominador entre 2, lo que da como resultado 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. En este ejemplo, reducimos la fracción original en 2.
Reducir fracciones a forma irreducible
En el ejemplo anterior, redujimos la fracción 6 24 por 2, lo que resultó en la fracción 3 12. Es fácil ver que esta fracción se puede reducir aún más. Normalmente, el objetivo de reducir fracciones es obtener una fracción irreducible. ¿Cómo reducir una fracción a su forma irreducible?
Esto se puede hacer reduciendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD). Entonces, según la propiedad del máximo común divisor, el numerador y el denominador tendrán números primos entre sí y la fracción será irreducible.
a b = a ÷ NO D (a, b) b ÷ NO D (a, b)
Reducir una fracción a una forma irreducible
Para reducir una fracción a su forma irreducible, debes dividir su numerador y denominador por su mcd.
Volvamos a la fracción 6 24 del primer ejemplo y llevémosla a su forma irreducible. El máximo común divisor de los números 6 y 24 es 6. Reduzcamos la fracción:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Es conveniente utilizar la reducción de fracciones para no trabajar con en grandes números. En general, existe una regla tácita en matemáticas: si puedes simplificar cualquier expresión, entonces debes hacerlo. Reducir una fracción suele significar reducirla a una forma irreducible y no simplemente reducirla por el divisor común del numerador y denominador.
Regla para reducir fracciones.
Para reducir fracciones, basta con recordar la regla, que consta de dos pasos.
Regla para reducir fracciones.
Para reducir una fracción necesitas:
- Encuentra el mcd del numerador y denominador.
- Divide el numerador y el denominador por su mcd.
Veamos ejemplos prácticos.
Ejemplo 1. Reduzcamos la fracción.
Dada la fracción 182 195. Acortémoslo.
Encontremos el mcd del numerador y denominador. Para este propósito en en este caso Lo más conveniente es utilizar el algoritmo euclidiano.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Divide el numerador y el denominador entre 13. Obtenemos:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Listo. Hemos obtenido una fracción irreducible que es igual a la fracción original.
¿De qué otra manera puedes reducir fracciones? En algunos casos, es conveniente factorizar el numerador y el denominador en factores primos y luego eliminar todos los factores comunes de las partes superior e inferior de la fracción.
Ejemplo 2. Reducir la fracción
Dada la fracción 360 2940. Acortémoslo.
Para hacer esto, imagina la fracción original en la forma:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Eliminemos los factores comunes en el numerador y denominador, lo que da como resultado:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Finalmente, veamos otra forma de reducir fracciones. Esta es la llamada reducción secuencial. Con este método, la reducción se lleva a cabo en varias etapas, en cada una de las cuales la fracción se reduce por algún factor común obvio.
Ejemplo 3. Reducir la fracción
Reduzcamos la fracción 2000 4400.
Inmediatamente queda claro que el numerador y el denominador tienen un factor común de 100. Reducimos la fracción a 100 y obtenemos:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
El resultado resultante lo reducimos nuevamente a 2 y obtenemos una fracción irreducible:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
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La calculadora en línea realiza reducción de fracciones algebraicas de acuerdo con la regla de reducir fracciones: reemplazar la fracción original por una fracción igual, pero con un numerador y denominador más pequeño, es decir Dividir simultáneamente el numerador y denominador de una fracción por su máximo común divisor (MCD). La calculadora también muestra una solución detallada que le ayudará a comprender la secuencia de la reducción.
Dado:
Solución:
Realizar reducción de fracciones
comprobar la posibilidad de realizar una reducción de fracciones algebraicas
1) Determinación del máximo común divisor (MCD) del numerador y denominador de una fracción
determinar el máximo común divisor (MCD) del numerador y denominador de una fracción algebraica
2) Reducir el numerador y denominador de una fracción
reducir el numerador y denominador de una fracción algebraica
3) Seleccionar la parte entera de una fracción
separar la parte entera de una fracción algebraica
4) Convertir una fracción algebraica a una fracción decimal
convertir una fracción algebraica a decimal
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¡Gracias por detenerte!
I. Procedimiento para reducir una fracción algebraica mediante calculadora online:
- Para reducir una fracción algebraica, ingrese los valores del numerador y denominador de la fracción en los campos correspondientes. Si la fracción es mixta, complete también el campo correspondiente a la parte entera de la fracción. Si la fracción es simple, deja en blanco el campo de la parte completa.
- Para especificar una fracción negativa, coloque un signo menos en toda la parte de la fracción.
- Dependiendo de la fracción algebraica especificada, se realiza automáticamente la siguiente secuencia de acciones:
- determinar el máximo común divisor (MCD) del numerador y denominador de una fracción;
- reducir el numerador y denominador de una fracción por mcd;
- resaltando la parte entera de una fracción, si el numerador de la fracción final es mayor que el denominador.
- convertir la fracción algebraica final a una fracción decimal redondeado a la centésima más cercana.
II. Para referencia:
Una fracción es un número que consta de una o más partes (fracciones) de una unidad. Una fracción común (fracción simple) se escribe como dos números (el numerador de la fracción y el denominador de la fracción) separados por una barra horizontal (la barra de fracción) que indica el signo de división. El numerador de una fracción es el número que está encima de la línea de fracción. El numerador muestra cuántas acciones se tomaron del total. El denominador de una fracción es el número debajo de la línea de fracción. El denominador muestra en cuántas partes iguales se divide el todo. Una fracción simple es una fracción que no tiene una parte entera. Una fracción simple puede ser propia o impropia. Una fracción propia es una fracción cuyo numerador es menor que su denominador, por lo que una fracción propia siempre es menor que uno. Ejemplo de fracciones propias: 8/7, 11/19, 16/17. Una fracción impropia es una fracción en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, por lo que una fracción impropia siempre es mayor o igual a uno. Ejemplo de fracciones impropias: 7/6, 8/7, 13/13. fracción mixta es un número que contiene un número entero y una fracción propia, y denota la suma de ese número entero y la fracción propia. Cualquier fracción mixta se puede convertir en una fracción impropia. Ejemplo fracciones mixtas: 1¼, 2½, 4¾.
III. Nota:
- Bloque de datos de origen resaltado amarillo , bloque de cálculo intermedio asignado azul , el bloque de solución está resaltado en verde.
- Para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones ordinarias o mixtas, utilice la calculadora de fracciones en línea con solución detallada.
fracciones
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Las fracciones no son una gran molestia en la escuela secundaria. Siendo por el momento. Hasta que te topes con potencias con exponentes racionales y logaritmos. Y ahí... Presionas y presionas la calculadora, y muestra una visualización completa de algunos números. Hay que pensar con la cabeza como en tercer grado.
¡Finalmente descubramos las fracciones! Bueno, ¿¡cuánto puedes confundirte con ellos !? Además, todo es sencillo y lógico. Entonces, ¿cuales son los tipos de fracciones?
Tipos de fracciones. Transformaciones.
Hay tres tipos de fracciones.
1. fracciones comunes , Por ejemplo:
A veces, en lugar de una línea horizontal, ponen una barra: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número superior se llama numerador, más bajo - denominador. Si confundes constantemente estos nombres (sucede...), repítete la frase: " Zzzzz¡recordar! Zzzzz denominador - mira zzzzz¡uh!" Mira, todo será recordado zzzz.)
El guión, ya sea horizontal o inclinado, significa división el número superior (numerador) al inferior (denominador). ¡Eso es todo! En lugar de un guión, es muy posible poner un signo de división: dos puntos.
Cuando sea posible una división completa, se debe hacer esto. Entonces, en lugar de la fracción “32/8”, es mucho más agradable escribir el número “4”. Aquellos. 32 simplemente se divide entre 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Ni siquiera me refiero a la fracción "4/1". Que también es sólo "4". Y si no es completamente divisible lo dejamos como fracción. A veces hay que hacer la operación contraria. Convierte un número entero en una fracción. Pero hablaremos de eso más adelante.
2. decimales , Por ejemplo:
Es en este formulario que deberá anotar las respuestas a las tareas "B".
3. Numeros mezclados , Por ejemplo:
Los números mixtos prácticamente no se utilizan en la escuela secundaria. Para poder trabajar con ellos, es necesario convertirlos a fracciones ordinarias. ¡Pero definitivamente necesitas poder hacer esto! De lo contrario, te encontrarás con ese número en un problema y te congelarás... espacio vacio. ¡Pero recordaremos este procedimiento! Un poco más abajo.
Más versátil fracciones comunes. Empecemos por ellos. Por cierto, si una fracción contiene todo tipo de logaritmos, senos y otras letras, esto no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!
La propiedad principal de una fracción.
¡Entonces vamos! Para empezar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones está garantizada por una sola propiedad! así es como se llama propiedad principal de una fracción. Recordar: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambia. Aquellos:
Está claro que puedes seguir escribiendo hasta que te pongas azul. No dejes que los senos y logaritmos te confundan, los trataremos más a fondo. Lo principal es comprender que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.
¿Necesitamos todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Para empezar, usemos la propiedad básica de una fracción para fracciones reductoras. Parecería algo elemental. Divide el numerador y denominador por el mismo número y ¡listo! ¡Es imposible cometer un error! Pero... el hombre es un ser creativo. ¡Puedes cometer un error en cualquier lugar! Especialmente si no tienes que reducir una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.
En la Sección especial 555 se puede leer cómo reducir fracciones de forma correcta y rápida sin hacer trabajo adicional.
¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo que es igual arriba y abajo! Aquí es donde acecha error típico, un error, por así decirlo.
Por ejemplo, necesitas simplificar la expresión:
¡No hay nada en qué pensar aquí, tacha la letra “a” de arriba y las dos de abajo! Obtenemos:
Todo es correcto. Pero realmente te dividiste todo numerador y todo el denominador es "a". Si está acostumbrado a simplemente tachar, rápidamente puede tachar la "a" en la expresión
y conseguirlo de nuevo
Lo cual sería categóricamente falso. porque aquí todo el numerador de "a" ya está no compartido! Esta fracción no se puede reducir. Por cierto, tal reducción es, um... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no se perdona! ¿Te acuerdas? Al reducir, es necesario dividir. todo numerador y todo ¡denominador!
Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtendrás una fracción en alguna parte, por ejemplo 375/1000. ¿Cómo puedo seguir trabajando con ella ahora? ¿Sin calculadora? ¿¡Multiplicar, decir, sumar, cuadrar!? Y si no os da pereza, y con cuidado redujedlo en cinco, y en otros cinco, e incluso... mientras lo acortan, en fin. ¡Obtengamos 3/8! Mucho mejor, ¿verdad?
La propiedad principal de una fracción te permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa. sin calculadora! Esto es importante para el Examen Estatal Unificado, ¿verdad?
Cómo convertir fracciones de un tipo a otro.
Con fracciones decimales todo es sencillo. ¡Como se oye, así se escribe! Digamos 0,25. Esto es cero coma veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reducimos (dividimos el numerador y el denominador entre 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede y nada se reduce. Como 0,3. Son tres décimas, es decir 3/10.
¿Qué pasa si los números enteros no son cero? Está bien. Escribimos la fracción completa. sin comas en el numerador y en el denominador, lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Esto es tres coma diecisiete centésimas. Escribimos 317 en el numerador y 100 en el denominador y obtenemos 317/100. Nada se reduce, eso significa todo. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo que se ha dicho conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en una fracción común .
Pero algunas personas no pueden hacer la conversión inversa de ordinario a decimal sin una calculadora. ¡Y es necesario! ¿Cómo escribirás la respuesta en el Examen Estatal Unificado? Lea atentamente y domine este proceso.
¿Cuál es la característica de una fracción decimal? Su denominador es Siempre cuesta 10, o 100, o 1000, o 10000 y así sucesivamente. Si tu fracción común tiene un denominador como este, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Qué pasaría si la respuesta a la tarea de la sección "B" resultara ser 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales...
Recordemos propiedad principal de una fracción ! Las matemáticas te permiten multiplicar favorablemente el numerador y el denominador por el mismo número. ¡Cualquier cosa, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Así que usemos esta propiedad a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir? 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (cuanto más pequeño, mejor, por supuesto...)? A las 5, obviamente. Siéntete libre de multiplicar el denominador (esto es a nosotros necesario) por 5. Pero entonces el numerador también debe multiplicarse por 5. Esto ya es matemáticas¡demandas! Obtenemos 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Eso es todo.
Sin embargo, se encuentran todo tipo de denominadores. Te encontrarás, por ejemplo, con la fracción 3/16. Intenta descubrir por qué multiplicar 16 para obtener 100 o 1000... ¿No funciona? Luego simplemente puedes dividir 3 entre 16. A falta de calculadora, tendrás que dividir con una esquina, en una hoja de papel, como enseñaban en la escuela primaria. Obtenemos 0,1875.
Y también hay muy malos denominadores. Por ejemplo, no hay manera de convertir la fracción 1/3 en un buen decimal. Tanto en la calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0,3333333... Esto significa que 1/3 es una fracción decimal exacta. no traduce. Lo mismo que 1/7, 5/6 y así sucesivamente. Hay muchos de ellos, intraducibles. Esto nos lleva a otra conclusión útil. No todas las fracciones se pueden convertir a decimales. !
Por cierto, esto informacion util para autocomprobación. En el apartado “B” deberás anotar una fracción decimal en tu respuesta. Y obtuviste, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que cometiste un error en algún momento del camino! Regrese y verifique la solución.
Entonces, descubrimos fracciones ordinarias y decimales. Todo lo que queda es lidiar con números mixtos. Para trabajar con ellos es necesario convertirlos a fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puedes atrapar a un niño de sexto grado y preguntarle. Pero no siempre habrá un alumno de sexto grado a mano... Tendrás que hacerlo tú mismo. No es difícil. Debes multiplicar el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y sumar el numerador de la parte fraccionaria. Este será el numerador de la fracción común. ¿Qué pasa con el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad todo es sencillo. Veamos un ejemplo.
Suponga que se horrorizó al ver el número en el problema:
Con calma, sin pánico, pensamos. La parte completa es 1. Unidad. Fracción- 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. Multiplicamos 7 por 1 (la parte entera) y sumamos 3 (el numerador de la parte fraccionaria). Obtenemos 10. Este será el numerador de una fracción común. Eso es todo. Parece aún más simple en notación matemática:
¿Está limpio? ¡Entonces asegura tu éxito! Convertir a fracciones ordinarias. Deberías obtener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.
La operación inversa (convertir una fracción impropia en un número mixto) rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si es así... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes consultar la Sección especial 555. Por cierto, allí también aprenderás sobre fracciones impropias.
Bueno, eso es prácticamente todo. Recordaste los tipos de fracciones y entendiste. Cómo transferirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: Para qué ¿hazlo? ¿Dónde y cuándo aplicar este profundo conocimiento?
Contesto. Cualquier ejemplo sugiere por sí mismo las acciones necesarias. Si en el ejemplo se mezclan fracciones ordinarias, decimales e incluso números mixtos, convertimos todo en fracciones ordinarias. siempre se puede hacer. Bueno, si dice algo así como 0,8 + 0,3, entonces lo contamos de esa manera, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que más nos convenga a nosotros !
Si la tarea es enteramente decimales, pero um ... algunos tipos malvados, ve a los comunes, ¡pruébalo! Mira, todo saldrá bien. Por ejemplo, tendrás que elevar al cuadrado el número 0,125. ¡No es tan fácil si no te has acostumbrado a usar la calculadora! ¡No sólo tienes que multiplicar números en una columna, también tienes que pensar dónde insertar la coma! ¡Definitivamente no funcionará en tu cabeza! ¿Qué pasa si pasamos a una fracción ordinaria?
0,125 = 125/1000. Lo reducimos a 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. Una vez más por 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, todavía se está reduciendo! ¡Volvemos a 5! Obtenemos 1/8. Lo elevamos fácilmente al cuadrado (¡en nuestra mente!) y obtenemos 1/64. ¡Todo!
Resumamos esta lección.
1. Hay tres tipos de fracciones. Números comunes, decimales y mixtos.
2. Decimales y números mixtos Siempre se puede convertir a fracciones ordinarias. Transferencia inversa no siempre disponible.
3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con una tarea depende de la tarea en sí. En la presencia de diferentes tipos fracciones en una tarea, lo más confiable es pasar a fracciones ordinarias.
Ahora puedes practicar. Primero, convierte estas fracciones decimales a fracciones ordinarias:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Deberías obtener respuestas como esta (¡en un lío!):
Terminemos aquí. En esta lección refrescamos nuestra memoria. puntos clave por fracciones. Sin embargo, sucede que no hay nada especial que actualizar...) Si alguien lo ha olvidado por completo o aún no lo ha dominado... Entonces puedes acudir a una Sección especial 555. Todos los conceptos básicos se tratan en detalle allí. Muchos de repente entender todo están comenzando. Y resuelven fracciones sobre la marcha).
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
