Derivada de una función especificada implícitamente.
Derivada paramétricamente función dada

En este artículo veremos dos tareas más típicas que se encuentran a menudo en pruebas en matemáticas superiores. Para dominar con éxito el material, debes poder encontrar derivados al menos en un nivel intermedio. Podrás aprender a encontrar derivadas prácticamente desde cero en dos lecciones básicas y Derivada de una función compleja. Si tus habilidades de diferenciación están bien, entonces vámonos.

Derivada de una función especificada implícitamente

O, en definitiva, la derivada de una función implícita. ¿Qué es una función implícita? Primero recordemos la definición misma de función de una variable:

Función de variable única es una regla según la cual cada valor de la variable independiente corresponde a uno y sólo un valor de la función.

La variable se llama variable independiente o argumento.
La variable se llama variable dependiente o función .

Hasta ahora hemos visto funciones definidas en explícito forma. ¿Qué significa? Realicemos un informe utilizando ejemplos específicos.

Considere la función

Vemos que a la izquierda tenemos un "jugador" solitario, y a la derecha - solo "X". Es decir, la función explícitamente expresado a través de la variable independiente.

Veamos otra función:

Aquí es donde se mezclan las variables. Además imposible por cualquier medio exprese “Y” sólo hasta “X”. ¿Cuáles son estos métodos? Transferir términos de una parte a otra con cambio de signo, sacarlos de paréntesis, arrojar factores según la regla de proporción, etc. Reescribir la igualdad e intentar expresar la “y” explícitamente: . Puedes darle vueltas y vueltas a la ecuación durante horas, pero no lo conseguirás.

Déjame presentarte: – ejemplo función implícita.

En el curso del análisis matemático se demostró que la función implícita existe(sin embargo, no siempre), tiene una gráfica (como una función “normal”). La función implícita es exactamente la misma. existe primera derivada, segunda derivada, etc. Como dicen, se respetan todos los derechos de las minorías sexuales.

Y en esta lección aprenderemos cómo encontrar la derivada de una función especificada implícitamente. ¡No es tan difícil! Todas las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas de funciones elementales siguen vigentes. La diferencia está en un momento peculiar, que veremos ahora mismo.

Sí, y te diré una buena noticia: las tareas que se analizan a continuación se realizan de acuerdo con un algoritmo bastante estricto y claro, sin una piedra delante de tres pistas.

Ejemplo 1

1) En la primera etapa, adjuntamos trazos a ambas partes:

2) Usamos las reglas de linealidad de la derivada (las dos primeras reglas de la lección ¿Cómo encontrar la derivada? Ejemplos de soluciones):

3) Diferenciación directa.
Cómo diferenciarlo está completamente claro. ¿Qué hacer cuando hay "juegos" debajo de los trazos?

- hasta el punto de la desgracia, la derivada de una función es igual a su derivada: .

como diferenciar
Aquí tenemos función compleja. ¿Por qué? Parece que debajo del seno solo hay una letra “Y”. Pero el hecho es que solo hay una letra "y" - ES EN MISMA UNA FUNCIÓN(ver definición al inicio de la lección). Por tanto, el seno es una función externa y es una función interna. Usamos la regla para derivar una función compleja. :

Diferenciamos el producto según la regla habitual :

Tenga en cuenta que – también es una función compleja, cualquier “juego con campanas y silbatos” es una función compleja:

La solución en sí debería verse así:

Si hay corchetes, amplíelos:

4) En el lado izquierdo recogemos los términos que contienen una “Y” con un número primo. Mueve todo lo demás al lado derecho:

5) Del lado izquierdo sacamos la derivada de paréntesis:

6) Y según la regla de proporción, colocamos estos paréntesis en el denominador del lado derecho:

Se ha encontrado el derivado. Listo.

Es interesante observar que cualquier función se puede reescribir implícitamente. Por ejemplo, la función se puede reescribir así: . Y diferenciarlo usando el algoritmo que acabamos de comentar. De hecho, las frases "función implícita" y "función implícita" difieren en un matiz semántico. La frase “función implícitamente especificada” es más general y correcta, – esta función se especifica implícitamente, pero aquí puedes expresar el “juego” y presentar la función explícitamente. La frase "función implícita" se refiere a la función implícita "clásica" cuando la "y" no se puede expresar.

Segunda solución

¡Atención! Puede familiarizarse con el segundo método solo si sabe cómo encontrar con confianza Derivadas parciales. Principiantes de cálculo y tontos, por favor. no leas y te saltes este punto, de lo contrario tu cabeza será un completo desastre.

Encontremos la derivada de la función implícita usando el segundo método.

Movemos todos los términos al lado izquierdo:

Y considere una función de dos variables:

Entonces nuestra derivada se puede encontrar usando la fórmula
Encontremos las derivadas parciales:

De este modo:

La segunda solución le permite realizar una verificación. Pero no es aconsejable que escriban la versión final de la tarea, ya que las derivadas parciales se dominan más tarde y un estudiante que estudia el tema "Derivada de una función de una variable" aún no debería conocer las derivadas parciales.

Veamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función dada implícitamente.

Agrega trazos a ambas partes:

Usamos reglas de linealidad:

Encontrar derivadas:

Abriendo todos los corchetes:

Movemos todos los términos con hacia el lado izquierdo, el resto hacia el lado derecho:

Respuesta final:

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función dada implícitamente.

Solución completa y un diseño de muestra al final de la lección.

No es raro que surjan fracciones después de la diferenciación. En tales casos, es necesario deshacerse de las fracciones. Veamos dos ejemplos más.

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de una función dada implícitamente.

Encerramos ambas partes bajo trazos y usamos la regla de linealidad:

Diferenciar usando la regla para derivar una función compleja y la regla de diferenciación de cocientes :

Ampliando los corchetes:

Ahora necesitamos deshacernos de la fracción. Esto se puede hacer más tarde, pero es más racional hacerlo de inmediato. El denominador de la fracción contiene . Multiplicar en . En detalle, se verá así:

A veces, después de la diferenciación aparecen 2-3 fracciones. Si tuviéramos otra fracción, por ejemplo, entonces sería necesario repetir la operación: multiplicar cada término de cada parte en

En el lado izquierdo lo ponemos entre paréntesis:

Respuesta final:

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función dada implícitamente.

Este es un ejemplo para decisión independiente. Lo único es que antes de deshacerse de la fracción, primero deberá deshacerse de la estructura de tres pisos de la fracción misma. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Derivada de una función definida paramétricamente

No nos estresemos, todo lo que hay en este párrafo también es bastante sencillo. Puedes escribir la fórmula general de una función definida paramétricamente, pero, para que quede claro, escribiré inmediatamente ejemplo específico. En forma paramétrica, la función viene dada por dos ecuaciones: . A menudo, las ecuaciones no se escriben entre llaves, sino de forma secuencial: , .

La variable se llama parámetro. y puede tomar valores desde “menos infinito” hasta “más infinito”. Considere, por ejemplo, el valor y sustitúyalo en ambas ecuaciones: . O en términos humanos: “si x es igual a cuatro, entonces y es igual a uno”. Puede marcar un punto en el plano de coordenadas, y este punto corresponderá al valor del parámetro. De manera similar, puedes encontrar un punto para cualquier valor del parámetro “te”. En cuanto a una función "regular", para los indios americanos de una función definida paramétricamente también se respetan todos los derechos: se puede construir una gráfica, encontrar derivadas, etc. Por cierto, si necesitas trazar una gráfica de una función definida paramétricamente, puedes usar mi programa.

En los casos más simples, es posible representar la función explícitamente. Expresemos el parámetro de la primera ecuación: – y sustitúyelo en la segunda ecuación: . El resultado es una función cúbica ordinaria.

En casos más “graves”, este truco no funciona. Pero no importa, porque existe una fórmula para encontrar la derivada de una función paramétrica:

Encontramos la derivada del “juego con respecto a la variable te”:

Todas las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas son válidas, naturalmente, para la letra , por tanto, no hay novedad en el proceso de búsqueda de derivados. Simplemente reemplace mentalmente todas las "X" de la tabla con la letra "Te".

Encontramos la derivada de “x con respecto a la variable te”:

Ahora solo queda sustituir las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Listo. La derivada, como la función misma, también depende del parámetro.

En cuanto a la notación, en lugar de escribirla en la fórmula, se podría simplemente escribirla sin subíndice, ya que se trata de una derivada “regular” “con respecto a X”. Pero en la literatura siempre hay una opción, por lo que no me desviaré del estándar.

Ejemplo 6

Usamos la fórmula

EN en este caso:

De este modo:

Una característica especial de encontrar la derivada de una función paramétrica es el hecho de que En cada paso es beneficioso simplificar el resultado tanto como sea posible.. Entonces, en el ejemplo considerado, cuando lo encontré, abrí los paréntesis debajo de la raíz (aunque es posible que no lo haya hecho). Existe una buena posibilidad de que al sustituir en la fórmula, muchas cosas se reduzcan bien. Aunque, por supuesto, hay ejemplos con respuestas torpes.

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función especificada paramétricamente.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

En el artículo Los problemas típicos más simples con derivadas. Miramos ejemplos en los que necesitábamos encontrar la segunda derivada de una función. Para una función definida paramétricamente, también puedes encontrar la segunda derivada, y se encuentra usando la siguiente fórmula: . Es bastante obvio que para encontrar la segunda derivada, primero debes encontrar la primera derivada.

Ejemplo 8

Encuentra la primera y segunda derivada de una función dada paramétricamente.

Primero, encontremos la primera derivada.
Usamos la fórmula

En este caso:

Sustituimos las derivadas encontradas en la fórmula. Para simplificar, utilizamos la fórmula trigonométrica:

Considere definir una línea en un plano en la que las variables x, y son funciones de una tercera variable t (llamada parámetro):

Para cada valor t a partir de un cierto intervalo corresponden ciertos valores X Y y, un, por tanto, un determinado punto M (x, y) del plano. Cuando t recorre todos los valores de un intervalo dado, entonces el punto METRO (x,y) describe alguna línea l. Las ecuaciones (2.2) se llaman ecuaciones lineales paramétricas. l.

Si la función x = φ(t) tiene una inversa t = Ф(x), entonces sustituyendo esta expresión en la ecuación y = g(t), obtenemos y = g(Ф(x)), que especifica y como una función de X. En este caso, decimos que las ecuaciones (2.2) definen la función y paramétricamente.

Ejemplo 1. Dejar M(x,y)– punto arbitrario en un círculo de radio R y centrado en el origen. Dejar t– ángulo entre ejes Buey y radio om(ver figura 2.3). Entonces x,y se expresan a través de t:

Las ecuaciones (2.3) son ecuaciones paramétricas de un círculo. Excluyamos el parámetro t de las ecuaciones (2.3). Para hacer esto, elevamos al cuadrado cada ecuación y la sumamos, obtenemos: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) o x 2 + y 2 = R 2 – la ecuación de un círculo en el cartesiano sistema coordinado. Define dos funciones: Cada una de estas funciones está dada por ecuaciones paramétricas (2.3), pero para la primera función y para la segunda.

Ejemplo 2. Ecuaciones paramétricas

definir una elipse con semiejes a, b(Figura 2.4). Excluyendo el parámetro de las ecuaciones. t, obtenemos la ecuación canónica de la elipse:

Ejemplo 3. Una cicloide es una línea descrita por un punto que se encuentra en un círculo si este círculo rueda sin deslizarse en línea recta (figura 2.5). Introduzcamos las ecuaciones paramétricas de la cicloide. Sea el radio del círculo rodante a, punto METRO, que describe la cicloide, al comienzo del movimiento coincidió con el origen de coordenadas.

Determinemos las coordenadas. X, y puntos METRO después de que el círculo ha girado un ángulo t
(Figura 2.5), t = ÐMCB. Longitud de arco MEGABYTE. igual a la longitud del segmento TRANSMISIÓN EXTERIOR. ya que el círculo rueda sin deslizarse, por lo tanto

OB = en, AB = MD = asint, CD = acosto, x = OB – AB = en – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acosto = a(1 – costo).

Entonces, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la cicloide:

Al cambiar un parámetro t de 0 a 2π el círculo gira una revolución y el punto METRO describe un arco de una cicloide. Las ecuaciones (2.5) dan y como una función de X. Aunque la función x = a(t – sint) tiene una función inversa, pero no se expresa en términos de funciones elementales, por lo que la función y = f(x) no se expresa a través de funciones elementales.

Consideremos la derivación de una función definida paramétricamente por las ecuaciones (2.2). La función x = φ(t) en un cierto intervalo de cambio t tiene una función inversa t = Ф(x), Entonces y = g(Ф(x)). Dejar x = φ(t), y = g(t) tener derivados, y x"t≠0. Según la regla de diferenciación de funciones complejas. y"x=y"t×t"x. Basado en la regla de diferenciación. función inversa, Es por eso:

La fórmula resultante (2.6) permite encontrar la derivada de una función especificada paramétricamente.

Ejemplo 4. Deja que la función y, Dependiendo de X, se especifica paramétricamente:

Solución. .
Ejemplo 5. Encuentra la pendiente k tangente a la cicloide en el punto M 0 correspondiente al valor del parámetro.
Solución. De las ecuaciones cicloides: y" t = asint, x" t = a(1 – costo), Es por eso

factor de pendiente tangente en un punto M0 igual al valor en t 0 = π/4:

FUNCIÓN DIFERENCIAL

Sea la función en el punto x0 tiene una derivada. Priorato A:
por lo tanto, de acuerdo con las propiedades del límite (Sección 1.8), donde a– infinitesimal en Δx → 0. De aquí

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Como Δx → 0, el segundo término de la igualdad (2.7) es infinitesimal orden superior, comparado con , por lo tanto Δy y f " (x 0)×Δx son equivalentes, infinitesimales (para f "(x 0) ≠ 0).

Así, el incremento de la función Δy consta de dos términos, de los cuales el primero f "(x 0)×Δx es parte principal incremento Δy, lineal con respecto a Δx (para f "(x 0)≠ 0).

Diferencial la función f(x) en el punto x 0 se denomina parte principal del incremento de la función y se denota: dy o gl(x0). Por eso,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Ejemplo 1. Encuentra el diferencial de una función. dy y el incremento de la función Δy para la función y = x 2 en:
1) arbitrario X y Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Solución

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Si x 0 = 20, Δx = 0,1, entonces Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Escribamos la igualdad (2.7) en la forma:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

El incremento Δy es diferente del diferencial dy a un infinitesimal de orden superior, comparado con Δx, por lo tanto, en cálculos aproximados, se usa la igualdad aproximada Δy ≈ dy si Δx es lo suficientemente pequeño.

Considerando que Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), obtenemos una fórmula aproximada:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Ejemplo 2. Calcula aproximadamente.

Solución. Considerar:

Usando la fórmula (2.10), obtenemos:

Entonces, ≈ 2,025.

Consideremos el significado geométrico del diferencial. gl(x 0)(Figura 2.6).

Dibujemos una tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto M 0 (x0, f(x 0)), sea φ el ángulo entre la tangente KM0 y el eje Ox, luego f"( x 0) = tanφ.De ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Pero PN es el incremento de la ordenada tangente cuando x cambia de x 0 a x 0 + Δx.

En consecuencia, el diferencial de la función f(x) en el punto x 0 es igual al incremento de la ordenada de la tangente.

Encontremos el diferencial de la función.
y = x. Dado que (x)" = 1, entonces dx = 1×Δx = Δx. Supondremos que el diferencial de la variable independiente x es igual a su incremento, es decir, dx = Δx.

Si x es un número arbitrario, entonces de la igualdad (2.8) obtenemos df(x) = f "(x)dx, de donde .
Por tanto, la derivada de una función y = f(x) es igual a la relación entre su diferencial y el diferencial del argumento.

Consideremos las propiedades del diferencial de una función.

Si u(x), v(x) son funciones diferenciables, entonces las siguientes fórmulas son válidas:

Para probar estas fórmulas se utilizan fórmulas derivadas de la suma, producto y cociente de una función. Demostremos, por ejemplo, la fórmula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Consideremos el diferencial de una función compleja: y = f(x), x = φ(t), es decir y = f(φ(t)).

Entonces dy = y" t dt, pero y" t = y" x ×x" t, entonces dy =y" x x" t dt. Considerando,

que x" t = dx, obtenemos dy = y" x dx =f "(x)dx.

Así, el diferencial de una función compleja y = f(x), donde x =φ(t), tiene la forma dy = f "(x)dx, igual que en el caso de que x sea una variable independiente. Esta propiedad se llama invariancia de la forma del diferencial A.

No nos estresemos, todo lo que hay en este párrafo también es bastante sencillo. Puedes escribir la fórmula general para una función definida paramétricamente, pero para que quede claro, escribiré inmediatamente un ejemplo específico. En forma paramétrica, la función viene dada por dos ecuaciones: . A menudo, las ecuaciones no se escriben entre llaves, sino de forma secuencial: , .

La variable se llama parámetro y puede tomar valores desde “menos infinito” hasta “más infinito”. Considere, por ejemplo, el valor y sustitúyalo en ambas ecuaciones: . O en términos humanos: “si x es igual a cuatro, entonces y es igual a uno”. Puede marcar un punto en el plano de coordenadas, y este punto corresponderá al valor del parámetro. De manera similar, puedes encontrar un punto para cualquier valor del parámetro “te”. En cuanto a una función "regular", para los indios americanos de una función definida paramétricamente también se respetan todos los derechos: se puede construir una gráfica, encontrar derivadas, etc. Por cierto, si necesita trazar una gráfica de una función especificada paramétricamente, descargue mi programa geométrico en la página Fórmulas matemáticas y mesas.

En casos más “graves”, este truco no funciona. Pero no importa, porque existe una fórmula para encontrar la derivada de una función paramétrica:

Encontramos la derivada del “juego con respecto a la variable te”:

Encontramos la derivada de “x con respecto a la variable te”:

Ahora solo queda sustituir las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Listo. La derivada, como la función misma, también depende del parámetro.

Ejemplo 6

Usamos la fórmula

En este caso:

De este modo:

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función especificada paramétricamente.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

En el artículo Protozoos tareas tipicas con derivada Miramos ejemplos en los que necesitábamos encontrar la segunda derivada de una función. Para una función definida paramétricamente, también puedes encontrar la segunda derivada, y se encuentra usando la siguiente fórmula: . Es bastante obvio que para encontrar la segunda derivada, primero debes encontrar la primera derivada.

Ejemplo 8

Encuentra la primera y segunda derivada de una función dada paramétricamente.

Primero, encontremos la primera derivada.
Usamos la fórmula

En este caso:

Sustituye los derivados encontrados en la fórmula. Para simplificar, utilizamos la fórmula trigonométrica:

Me di cuenta de que en el problema de encontrar la derivada de una función paramétrica, muy a menudo, para simplificar, es necesario utilizar fórmulas trigonométricas . Recuérdalos o tenlos a mano y no pierdas la oportunidad de simplificar cada resultado intermedio y cada respuesta. ¿Para qué? Ahora tenemos que tomar la derivada de , y esto es claramente mejor que encontrar la derivada de .

Encontremos la segunda derivada.
Usamos la fórmula: .

Veamos nuestra fórmula. El denominador ya se encontró en el paso anterior. Queda por encontrar el numerador, la derivada de la primera derivada con respecto a la variable "te":

Queda por usar la fórmula:

Para reforzar el material, te ofrezco un par de ejemplos más para que los resuelvas por tu cuenta.

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Encuentre y para una función especificada paramétricamente

¡Te deseo éxito!

Espero que esta lección haya sido útil y que ahora pueda encontrar fácilmente derivadas de funciones especificadas implícitamente y de funciones paramétricas

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 3: Solución:

De este modo:

La función se puede especificar de varias maneras. Depende de la regla que se utilice para especificarlo. La forma explícita de especificar la función es y = f (x). Hay ocasiones en las que su descripción resulta imposible o inconveniente. Si hay muchos pares (x; y) que deben calcularse para el parámetro t durante el intervalo (a; b). Resolver el sistema x = 3 cos t y = 3 sen t con 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definición de una función paramétrica

De aquí tenemos que x = φ (t), y = ψ (t) están definidos en un valor t ∈ (a; b) y tienen una función inversa t = Θ (x) para x = φ (t), entonces estamos hablando acerca de sobre especificar una ecuación paramétrica de una función de la forma y = ψ (Θ (x)).

Hay casos en los que, para estudiar una función, es necesario buscar la derivada con respecto a x. Consideremos la fórmula para la derivada de una función definida paramétricamente de la forma y x " = ψ " (t) φ " (t), hablemos de la derivada de segundo y enésimo orden.

Derivación de la fórmula para la derivada de una función definida paramétricamente

Tenemos que x = φ (t), y = ψ (t), definido y diferenciable para t ∈ a; b, donde x t " = φ " (t) ≠ 0 y x = φ (t), entonces existe una función inversa de la forma t = Θ (x).

Para empezar, debes pasar de una tarea paramétrica a una explícita. Para hacer esto, necesita obtener una función compleja de la forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), donde hay un argumento x.

Con base en la regla para encontrar la derivada de una función compleja, obtenemos que y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Esto muestra que t = Θ (x) y x = φ (t) son funciones inversas de la fórmula de la función inversa Θ " (x) = 1 φ " (t), entonces y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Pasemos a considerar la resolución de varios ejemplos utilizando una tabla de derivadas según la regla de diferenciación.

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de la función x = t 2 + 1 y = t.

Solución

Por condición tenemos que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, de aquí obtenemos que φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t " = 1. Debes utilizar la fórmula derivada y escribir la respuesta en la forma:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Respuesta: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Cuando se trabaja con la derivada de una función h, el parámetro t especifica la expresión del argumento x a través del mismo parámetro t, para no perder la conexión entre los valores de la derivada y la función definida paramétricamente con el argumento a al que corresponden estos valores.

Para determinar la derivada de segundo orden de una función dada paramétricamente, es necesario usar la fórmula para la derivada de primer orden en la función resultante, luego obtenemos que

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Ejemplo 2

Encuentre las derivadas de segundo y segundo orden de la función dada x = cos (2 t) y = t 2.

Solución

Por condición, encontramos que φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Luego de la transformación

φ " (t) = cos (2 t) " = - sen (2 t) 2 t " = - 2 sen (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Se deduce que y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Obtenemos que la forma de la derivada de 1er orden es x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Para resolverlo, debes aplicar la fórmula derivada de segundo orden. Obtenemos una expresión de la forma.

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sen (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sen 3 (2 t) = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Luego, especificando la derivada de segundo orden usando una función paramétrica

x = cos (2 t) y x "" = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Una solución similar se puede resolver utilizando otro método. Entonces

φ " t = (cos (2 t)) " = - sen (2 t) 2 t " = - 2 sen (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sen (2 t) " = - 2 sen (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

De aquí entendemos eso

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sen (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sen 2 t 3 = = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Respuesta: y "" x = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Las derivadas de orden superior con funciones definidas paramétricamente se encuentran de manera similar.

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Derivada de una función especificada implícitamente. Derivada paramétricamente función dada