Визначення.
Прямокутник- це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.Прямокутники відрізняються між собою лише ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.
Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротку - шириною прямокутника.
Сторони прямокутника одночасно є його висотами.
Основні властивості прямокутника
Прямокутником може бути паралелограм, квадрат чи ромб.
1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:
AB = CD, BC = AD
2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:
3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Усі чотири кути прямокутника прямі:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину:
7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів сторін:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Кожна діагональ прямокутника поділяє прямокутник на дві однакові фігури, а саме прямокутні трикутники.
9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:
| AO = BO = CO = DO = | d | ||
| 2 |
10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола
11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола
12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, тому що суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна лише у окремий випадок прямокутника - квадрат).
Сторони прямокутника
Визначення.
Довжиною прямокутниканазивають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутниканазивають довжину коротшої пари його сторін.Формули визначення довжин сторін прямокутника
1. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через діагональ та іншу сторону:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через площу та іншу сторону:
| b = d cos | β |
| 2 |
Діагональ прямокутника
Визначення.
Діагоналлю прямокутниканазивається будь-який відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів прямокутника.Формули визначення довжини діагоналі прямокутника
1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):
d = √ a 2 + b 2
2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:
4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:
d = 2R
5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:
d = D про
6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та довжину сторони протилежної цьому куту:
8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника
d = √2S: sin β
Периметр прямокутника
Визначення.
Периметр прямокутниканазивається сума довжин усіх сторін прямокутника.Формули визначення довжини периметру прямокутника
1. Формула периметра прямокутника через дві сторони прямокутника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:
| P = | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Площа прямокутника
Визначення.
Площею прямокутниканазивається простір обмежений сторонами прямокутника, тобто у межах периметра прямокутника.Формули визначення площі прямокутника
1. Формула площі прямокутника через дві сторони:
S = a · b
2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:
5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Коло описане навколо прямокутника
Визначення.
Колом описаного навколо прямокутниканазивається коло проходить через чотири вершини прямокутника, центр якого лежить на перетині діагоналей прямокутника.Формули визначення радіуса кола описаного навколо прямокутника
1. Формула радіуса кола описаного навколо прямокутника через дві сторони:
4. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через діагональ квадрата:
5. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через діаметр кола (описаного):
6. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через синус кута, що прилягає до діагоналі, і довжину сторони протилежної цьому куту:
7. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через косинус кута, що прилягає до діагоналі, та довжину сторони у цього кута:
8. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника:
Кут між стороною та діагоналлю прямокутника.
Формули для визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника:
1. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через діагональ та сторону:
2. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через кут між діагоналями:
Кут між діагоналями прямокутника.
Формули визначення кута між діагоналей прямокутника:
1. Формула визначення кута між діагоналей прямокутника через кут між стороною та діагоналлю:
β = 2α
2. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через площу та діагональ.
Завдання на перебування діагоналі прямокутника може бути сформульована трьома різними способами. Розглянемо докладніше кожен із них. Способи залежать від відомих даних, тож як знайти діагональ прямокутника?
Якщо відомі дві його сторони
У разі коли відомі дві сторони прямокутника a і b, для знаходження діагоналі необхідно скористатися теоремою Піфагора: a 2 +b 2 =c 2 , тут a і b - катети прямокутного трикутника, с - гіпотенуза прямокутного трикутника. Коли у прямокутнику прокреслено діагональ, він ділиться на два прямокутні трикутники. Дві сторони цього прямокутного трикутника нам відомі (a та b). Тобто, щоб знайти діагональ прямокутника, формула потрібна така: c=√(a 2 +b 2), тут с – довжина діагоналі прямокутника.
По відомій стороні та кутку, між стороною та діагоналлю
Нехай відома сторона прямокутника a та кут, який вона утворює з діагоналлю прямокутника α. Для початку згадаємо формулу косинуса: cos α = a/c, тут - діагональ прямокутника. Як розрахувати діагональ прямокутника з цієї формули: = a/cos α.
По відомій стороні, кутку між стороною прямокутника, що прилягає до неї, і діагоналлю.
Так як діагональ прямокутника ділить сам прямокутник на два прямокутні трикутники, логічно звернутися до визначення синуса. Синус - відношення катета, що лежить проти цього кута, до гіпотенузи. sin α = b/c. Звідси виводимо формулу для знаходження діагоналі прямокутника, яка є і гіпотенузою прямокутного трикутника: с = b/sin α.
Тепер ви підковані у цьому питанні. Можете порадувати вчителі геометрії вже завтра!
Прямокутник- Це чотирикутник, у якого кожен кут є прямим.
Доведення
Властивість пояснюється дією ознаки 3 паралелограма (тобто \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Протилежні сторони рівні.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Протилежні сторони паралельні.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Прилеглі сторони перпендикулярні одна одній.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Діагоналі прямокутника рівні.
AC = BD
Доведення
Згідно властивості 1прямокутник є паралелограмом, отже AB = CD .
Отже, \triangle ABD = \triangle DCA за двома катетами (AB = CD та AD - спільний).
Якщо обидві фігури — ABC і DCA тотожні, їх гіпотенузи BD і AC теж тотожні.
Значить AC = BD .
Тільки у прямокутника з усіх постатей (тільки з паралелограмів!) Дорівнюють діагоналі.
Доведемо й це.
ABCD — паралелограм Rightarrow AB = CD , AC = BD за умовою. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAвже з трьох сторін.
Виходить, що \angle A = \angle D (як кути паралелограма). І \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Виводимо, що \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Усі вони по 90^(\circ). У сумі - 360 ^ (\ circ).
Доведено!
6. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів двох прилеглих його сторін.
Ця властивість справедлива через теорему Піфагора.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Діагональ ділить прямокутник на два однакові прямокутні трикутники.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Точка перетину діагоналей ділить їх навпіл.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Точка перетину діагоналей є центром прямокутника та описаного кола.
10. Сума всіх кутів дорівнює 360 градусів.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)
11. Усі кути прямокутника прямі.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)
12. Діаметр описаного біля прямокутника кола дорівнює діагоналі прямокутника.
13. Навколо прямокутника завжди можна описати коло.
Ця властивість справедлива через те, що сума протилежних кутів прямокутника дорівнює 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Прямокутник може містити вписане коло і лише одну, якщо він має однакові довжини сторін (є квадратом).
