Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.
Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8 .
Взагалі зведення у ступінь часто використовується у різних формулах з математики та фізики. Ця функція має більш наукове призначення, ніж чотири основні: Додавання, Віднімання, Множення, Поділ.
Зведення числа до ступеня
Зведення числа у ступінь – операція не складна. Воно пов'язане з множенням подібно до зв'язку множення і додавання. Запис an - короткий запис n-ого кількість чисел «а» помножених один на одного.
Розглянь будівництво на найпростіших прикладах, переходячи до складних.
Наприклад, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Чотири в квадраті (другою мірою) дорівнює шістнадцяти. Якщо вам не зрозуміло множення 4*4, то читайте нашу стать про множення.
Розглянемо ще один приклад: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . П'ять у кубі (у третьому ступені) дорівнює ста двадцяти п'яти.
Ще один приклад: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Дев'ять у кубі дорівнює семи сотням двадцяти дев'яти.
Формули зведення у ступінь
Щоб грамотно зводити в ступінь, потрібно пам'ятати і знати формули, вказані нижче. У цьому немає нічого понад природне, головне зрозуміти суть і тоді вони не тільки запам'ятаються, а й видадуться легкими.
Зведення одночлена в ступінь
Що таке одночлен? Це твір чисел та змінних у будь-якій кількості. Наприклад, двох – одночлен. І саме про зведення у ступінь таких одночленів дана стаття.
Користуючись формулами зведення на ступінь обчислити зведення одночлена на ступінь буде легко.
Наприклад, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Якщо зводити одночлен у ступінь, то ступінь зводиться кожна складова одночлена.
Зводячи в ступінь змінну ступінь, що вже має, то ступеня перемножуються. Наприклад, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;
Зведення у негативний ступінь
Негативний ступінь – зворотне число. Що таке зворотне число? Будь-якому числу Х зворотним буде 1/X. Тобто Х-1 = 1/X. Це і є суть негативного ступеня.
Розглянемо приклад (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Чому так? Так як у ступеня є мінус, то просто переносимо в знаменник цей вираз, а потім зводимо до його в третій ступінь. Чи не так?
Зведення в дробовий ступінь
Розпочнемо розгляд питання на конкретному прикладі. 43/2. Що означає ступінь 3/2? 3 – чисельник, означає зведення числа (у разі 4) в куб. Число 2 - знаменник, це витяг кореня другого ступеня з числа (в даному випадку 4).
Тоді отримуємо квадратний корінь із 43 = 2^3 = 8 . Відповідь: 8.
Отже, знаменник дробового ступеня може бути, як 3, так і 4 і до нескінченності будь-яким числом і це число визначає ступінь квадратного кореня, що витягується із заданого числа. Звичайно ж, знаменник не може дорівнювати нулю.
Зведення кореня до ступеня
Якщо корінь зводиться у ступінь, що дорівнює ступеню самого кореня, то відповіддю буде підкорене вираз. Наприклад, (√х)2 = х. І так у будь-якому разі рівності ступеня кореня та ступеня зведення кореня.
Якщо (√x)^4. Те (√x) ^ 4 = x ^ 2. Щоб перевірити рішення переведемо вираз у вираз із дробовим ступенем. Оскільки корінь квадратний, то знаменник дорівнює 2. Якщо корінь зводиться четверту ступінь, то чисельник 4. Отримуємо 4/2=2. Відповідь: x = 2.
У будь-якому випадку найкращий варіант просто перевести вираз у вираз із дробовим ступенем. Якщо не скорочуватиметься дріб, значить така відповідь і буде, за умови, що корінь із заданого числа не виділяється.
Зведення до ступеня комплексного числа
Що таке комплексне число? Комплексне число - вираз, що має формулу a + b * i; a, b – дійсні числа. i - Число, яке при зведенні в квадрат дає число -1.
Розглянемо приклад. (2 + 3i) ^2.
(2 + 3i) ^ 2 = 22 + 2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 = 4 + 12i ^-9 = -5 + 12i.
Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко та правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа у квадрат і навіть добувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади та корисні завдання.
Зведення в ступінь онлайн
За допомогою нашого калькулятора Ви зможете порахувати зведення числа в ступінь:
Зведення до ступеня 7 клас
Зведення у ступінь починають проходити школярі лише у сьомому класі.
Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.
Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8.
Приклади для вирішення:
Зведення у ступінь презентація
Презентація зі зведення на ступінь, розраховану на семикласників. Презентація може пояснити деякі незрозумілі моменти, але, мабуть, таких моментів не буде завдяки нашій статті.
Підсумок
Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще – записуйтесь на наш курс: Прискорюємо усний рахунок – НЕ ментальна арифметика.
З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, складання, множення, поділу, вирахування відсотків, а й відпрацюєте їх у спеціальних завданнях та іграх, що розвивають! Усний рахунок також вимагає багато уваги та концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.
Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидшого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох многочленов.
Використання даних формул забезпечує досить оперативне розв'язання різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).
Зручно знати формули, які застосовуються для скороченого множення, на згадку, оскільки вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до цього списку, та їх найменування.
Квадрат суми
Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного добутку першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².
Квадрат різниці
Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрат другого числа. У вигляді виразу дане правило виглядає так: (а - с) ² = а ² - 2ас + с ².
Різниця квадратів
Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: a² - с² = (a + с) · (a - с).
Куб суми
Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потрійного твору квадрата першого доданку та другого, потрійного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.
Сума кубів
Відповідно до формули, дорівнює добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: а + с = (а + с) · (а - ас + с?).
приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.
Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.
Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.
Куб різниці
Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потрійного негативного добутку квадрата першого члена на другий, потрійного добутку першого члена на квадрат другого та від'ємного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ = а - 3а + + 3ас - с.
Різниця кубів
Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, що дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді різниця кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).
приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.
Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яка значно спростить обчислення.
Формули скороченого множення. Тренування.
Спробуй у такий спосіб обчислити такі вирази:
Відповіді:
Або, якщо ти знаєш квадрати основних двоцифрових чисел, згадай, скільки буде? Згадав? . Чудово! Так як ми зводимо в квадрат, ми повинні помножити на. Виходить що.
Пам'ятай, що формули квадрат суми і квадрат різниці справедливі не тільки для числових виразів:
Порахуй самостійно такі вирази:
Відповіді:
Формули скороченого множення. Підсумок.
Підіб'ємо невеликий підсумок і запишемо формули квадрата суми та різниці в один рядок:
Тепер потренуємося «збирати» формулу з розкладеного виду на вигляд. Ця навичка знадобиться нам у подальшому при перетворенні виразів.
Припустимо, у нас є такий вислів:
Ми знаємо, що квадрат суми (або різниці) – це квадрат одного числа квадрат іншого числаі подвоєний добуток цих чисел.
У цій задачі легко побачити квадрат одного числа - це. Відповідно, одне з чисел, що входять у дужку, - це квадратний корінь, тобто
Так як у другому доданку є, значить, це подвоєний твір одного та іншого числа, відповідно:
Де - друге число, що входить до нашої дужки.
Друге число, що входить у дужку, дорівнює.
Перевіримо. має бути рівним. Справді так і є, отже, ми знайшли обидва числа, присутні у дужках: і. Залишилося визначити знак, що стоїть між ними. Як ти гадаєш, що за знак там буде?
Правильно! Так як ми додаємоподвоєний твір, то між числами стоятиме знак додавання. Тепер запиши перетворений вираз. Впорався? У тебе має вийти таке:
Зауваж: зміна місць доданків не позначається на результаті (неважливо, додавання або віднімання стоїть між і).
Цілком необов'язково, щоб доданки в перетворюваному виразі стояли так, як написано у формулі. Подивися це вираз: . Спробуй перетворити її самостійно. Вийшло?
Потренуйся - перетвори наступні вирази:
Відповіді:Впорався? Закріпимо тему. Виберіть із наведених нижче виразів ті, які можна подати у вигляді квадрата суми або різниці.
- - Доведи, що це рівносильно.
- - не можна уявити як квадрат; можна було б уявити, якби замість було.
Різниця квадратів
Ще одна формула скороченого множення – різниця квадратів.
Різниця квадратів це квадрат різниці!
Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю:
Перевіримо, чи правильна ця формула. Для цього перемножимо, як робили при виведенні формул квадрата суми та різниці:
Таким чином, ми щойно переконалися, що формула справді вірна. Ця формула також спрощує складні обчислювальні дії. Наведемо приклад:
Необхідно обчислити: . Звичайно, ми можемо звести в квадрат, потім звести в квадрат і відняти одне з іншого, але формула спрощує завдання:
Вийшло? Звіримо результати:
Так само як і квадрат суми (різниці), формула різниці квадратів може застосовуватися не тільки з числами:
Вміння розкладати різницю квадратів допоможе нам перетворювати складні математичні вирази.
Зверни увагу:
Оскільки при розкладанні на квадрат різниці правого вираження ми отримаємо
Будь уважним і дивися, який конкретний доданок зводиться в квадрат! Для закріплення теми перетвори наступні вирази:
Записав? Порівняємо отримані вирази:
Тепер, коли ти засвоїв квадрат суми та квадрат різниці, а також різницю квадратів, спробуємо вирішувати приклади на комбінацію цих трьох формул.
Перетворення елементарних виразів (квадрат суми, квадрат різниці, різниця квадратів)
Допустимо, нам дано приклад
Необхідно спростити цей вираз. Подивися уважно, що ти бачиш у чисельнику? Правильно, чисельник - це повний квадрат:
Спрощуючи вираз, пам'ятай, що підказка, в який бік рухатися у спрощенні, знаходиться у знаменнику (або в чисельнику). У нашому випадку, коли знаменник розкладений, і більше нічого зробити не можна, можна зрозуміти, що чисельником буде квадрат суми, або квадрат різниці. Оскільки ми додаємо, стає ясно, що чисельник - квадрат суми.
Спробуй самостійно перетворити такі вирази:
Вийшло? Порівнюємо відповіді та рухаємось далі!
Куб суми та куб різниці
Формули куб суми та куб різниці виводяться аналогічним чином, як квадрат сумиі квадрат різниці: розкриття дужок при перемноженні членів один на одного.
Якщо квадрат суми і квадрат різниці запам'ятати дуже легко, виникає питання «як запам'ятати куби?»
Подивися уважно на дві описувані формули порівняно зі зведенням аналогічних членів у квадрат:
Яку ти бачиш закономірність?
1. При зведенні в квадрату нас є квадратпершого числа та квадратдругого; при зведенні в куб – є кубодного числа та кубіншого числа.
2. При зведенні в квадрат, у нас є подвоєнедобуток чисел (числа в 1 ступені, що на один ступінь менше ніж та, в яку зводимо вираз); при зведенні в куб - потрійнетвір, у якому одне з чисел зводиться у квадрат (що як і 1 ступінь менше, ніж ступінь, у якому зводимо вираз).
3. При зведенні у квадрат знак у дужках у розкритому виразі відображається при додаванні (або відніманні) подвоєного твору – якщо у дужках додавання, то додаємо, якщо віднімання – віднімаємо; при зведенні в куб правило таке: якщо у нас куб суми, то всі знаки "+", а якщо куб різниці, то знаки чергуються: "" - "" - "" - "".
Все перераховане, крім залежності ступенів при множенні членів, зображено малюнку.
Потренуємося? Розкрий дужки у наступних виразах:
Порівняй отримані вирази:
Різниця та сума кубів
Розглянемо останню пару формул різницю та суму кубів.
Як ми пам'ятаємо, у різниці квадратів у нас йде перемноження різниці та суми даних чисел одне на інше. У різниці кубів та у сумі кубів також є дві дужки:
1 дужка - різницю (або сума) чисел у першому ступені (залежно від того, різницю або суму кубів ми розкриваємо);
2 дужка - неповний квадрат (придивись: якби ми вичитали (або додавали) подвоєний добуток чисел, був би квадрат), знак при перемноженні чисел протилежний знаку початкового виразу.
Для закріплення теми розв'яжемо кілька прикладів:
Порівняй отримані вирази:
Тренування
Відповіді:
Підведемо підсумки:
Існує 7 формул скороченого множення:
ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ
Формули скороченого множення - це формули, знаючи які можна уникнути виконання деяких стандартних дій при спрощенні виразів або розкладання багаточленів на множники. Формули скороченого множення треба знати напам'ять!
- Квадрат сумидвох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу:
- Квадрат різницідвох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу:
- Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми:
- Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу:
- Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу:
- Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів:
- Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів:
Тепер доведемо усі ці формули.
Формули скороченого множення. Доведення.
1. .
Звести вираз у квадрат - значить помножити його саме на себе:
.
Розкриємо дужки і наведемо такі:
2. .
Робимо те саме: множимо різницю саму на себе, розкриваємо дужки і наводимо подібні:
.
3. .
Візьмемо вираз у правій частині та розкриємо дужки:
.
4. .
Число в кубі можна представити як це число, помножене на свій квадрат:
Аналогічно:
У різниці кубів знаки чергуються.
6. .
.
7. .
Розкриємо дужки у правій частині:
.
Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів
Приклад 1:
Знайдіть значення виразів:
Рішення:
- Використовуємо формулу квадрат суми: .
- Уявімо це число у вигляді різниці і використовуємо формулу квадрата різниці: .
Приклад 2:
Знайдіть значення виразу: .
Рішення:
Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо:
Приклад 3:
Спростіть вираз:
Рішення двома способами:
Скористаємося формулами квадрат суми та квадрат різниці:
ІІ метод.
Скористаємося формулою різниці квадратів двох виразів:
ТЕПЕР ТВОЄ СЛОВО...
Я розповів усе, що знаю про формули скороченого множення.
Розкажи тепер ти чи ти ними користуватимешся? Якщо ні, то чому?
Як тобі ця стаття?
Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.
Напиши коментарі. Ми читаємо всі коментарі та відповідаємо на все.
І удачі на іспитах!
У попередньому уроці ми розібралися із розкладанням на множники. Освоїли два способи: винесення загального множника за дужки та угруповання. У цьому уроці наступний потужний спосіб: формули скороченого множення. У короткому записі – ФСУ.
Формули скороченого множення (квадрат суми та різниці, куб суми та різниці, різниця квадратів, сума та різниця кубів) вкрай необхідні у всіх розділах математики. Вони застосовуються у спрощенні виразів, рішенні рівнянь, множенні багаточленів, скороченні дробів, рішенні інтегралів тощо. і т.п. Коротше є всі підстави розібратися з ними. Зрозуміти, звідки вони беруться, навіщо вони потрібні, як їх запам'ятати і як застосовувати.
Розбираємось?)
Звідки беруться формули скороченого множення?
Рівності 6 та 7 записані не дуже звично. Начебто навпаки. Це спеціально.) Будь-яка рівність працює як зліва направо, так і праворуч наліво. У такому записі зрозуміліше, звідки беруться ФСУ.
Вони беруться з множення.) Наприклад:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Ось і все, жодних наукових хитрощів. Просто перемножуємо дужки та наводимо подібні. Так виходять усі формули скороченого множення. Скороченемноження - це тому, що у самих формулах немає перемноження дужок та приведення подібних. Скорочені.) Відразу дано результат.
ФСУ треба знати напам'ять. Без перших трьох можна не мріяти про трійку, без решти - про четвірку з п'ятіркою.
Навіщо потрібні формули скороченого множення?
Є дві причини, вивчити, навіть зазубрити ці формули. Перша – готова відповідь на автоматі різко зменшує кількість помилок. Але це не найголовніша причина. А ось друга...
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Формули скороченого множення.
Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми та квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми та куба різниці двох виразів; суми та різниці кубів двох виразів.
Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.
Для спрощення виразів, розкладання багаточленів на множники, приведення багаточленів до стандартного виду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.
Нехай а, b R. Тоді:
1. Квадрат суми двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат різниці двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.
приклад 1.
Обчислити
а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо
(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
приклад 2.
Обчислити
Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо
приклад 3.
Спростити вираз
(х - у) 2 + (х + у) 2
Скористаємося формулами квадрата суми та квадрата різниці двох виразів
(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2
Формули скороченого множення в одній таблиці:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
