Для консольної балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м і зосередженим моментом кН/м (рис. 3.12), потрібно: побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів , підібрати балку круглого поперечного перерізу при допустимій нормальній напрузі кН/см2 і перевірити дотичній напруги при допущеній дотичній напрузі кН/см2. Розміри балки м; м; м.
Розрахункова схема для завдання на прямий поперечний вигин
Мал. 3.12
Розв'язання задачі "прямий поперечний вигин"
Визначаємо опорні реакції
Горизонтальна реакція в закладенні дорівнює нулю, оскільки зовнішні навантаження у напрямку осі z на балку не діють.
Вибираємо напрями решти реактивних зусиль, що виникають у закладенні: вертикальну реакцію направимо, наприклад, вниз, а момент – протягом годинної стрілки. Їх значення визначаємо з рівнянь статики:
Складаючи ці рівняння, вважаємо момент позитивним при обертанні проти ходу годинникової стрілки, а проекцію позитивної сили, якщо її напрямок збігається з позитивним напрямом осі y.
З першого рівняння знаходимо момент у закладенні:
З другого рівняння – вертикальну реакцію:
Отримані нами позитивні значеннядля моменту та вертикальної реакції в закладенні свідчать про те, що ми вгадали їх напрями.
Відповідно до характеру закріплення та навантаження балки, розбиваємо її довжину на дві ділянки. По межах кожної з цих ділянок намітимо чотири поперечні перерізи (див. рис. 3.12), в яких ми і будемо методом перерізів (РОЗУ) обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів.
Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Замінимо її дію на ліву частину , що залишилася , що перерізує силою і згинальним моментом . Для зручності обчислення їх значень закриємо відкинуту нами праву частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка з перерізом, що розглядається.
Нагадаємо, що сила, що перерізує, що виникає в будь-якому поперечному перерізі, повинна врівноважити всі зовнішні сили (активні та реактивні), які діють на частину балки, що розглядається (тобто видиму) нами. Тому сила, що перерізує, повинна дорівнювати алгебраїчній сумі всіх сил, які ми бачимо.
Наведемо і правило знаків для сили, що перерізує: зовнішня сила, що діє на розглянуту частину балки і прагне «повернути» цю частину щодо перерізу по ходу годинної стрілки, викликає в перерізі позитивну перерізуючу силу. Така зовнішня сила входить у суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».
У нашому випадку ми бачимо лише реакцію опори, яка обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (щодо краю аркуша паперу) проти перебігу годинникової стрілки. Тому
кн.
Згинальний момент у будь-якому перерізі повинен урівноважити момент, створюваний видимими нами зовнішніми зусиллями, щодо перерізу, що розглядається. Отже, він дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які діють на частину балки, що розглядається нами, щодо аналізованого перерізу (іншими словами, щодо краю листка паперу). При цьому зовнішнє навантаження, що згинає розглянуту частину балки опуклістю вниз, викликає в перерізі позитивний згинальний момент. І момент, створюваний таким навантаженням, входить в суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».
Ми бачимо два зусилля: реакцію та момент у закладенні. Однак у сили плече щодо перерізу 1 дорівнює нулю. Тому
кН·м.
Знак «плюс» нами взятий тому, що реактивний момент згинає видиму частину балки опуклістю вниз.
Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер, на відміну першого перетину, у сили з'явилося плече: м. Тому
кН; кН·м.
Перетин 3. Закриваючи праву частину балки, знайдемо
кН;
Перетин 4. Закриємо листком ліву частину балки. Тоді
кН·м.
кН·м.
.
За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.12, б) і згинальних моментів (рис. 3.12, в).
Під незавантаженими ділянками епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по похилій прямій вгору. Під опорною реакцією на епюрі є стрибок вниз величину цієї реакції, тобто на 40 кН.
На епюрі згинальних моментів ми бачимо злам під опорною реакцією. Кут зламу спрямований назустріч реакції опори. Під розподіленим навантаженням q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, в цьому місці проходить тут через нульове значення.
Визначаємо необхідний діаметр поперечного перерізу балки
Умова міцності за нормальними напругами має вигляд:
,
де - момент опору балки при згинанні. Для балки круглого поперечного перерізу він дорівнює:
.
Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент виникає в третьому перерізі балки: 
кН · див.
Тоді необхідний діаметр балки визначається за формулою
див.
Приймаємо мм. Тоді
кН/см2 кН/см2.
«Перенапруження» складає
,
що допускається.
Перевіряємо міцність балки за найбільшою дотичною напругою
Найбільші дотичні напруги, що виникають у поперечному перерізі балки круглого перерізу, обчислюються за формулою
,
де - Площа поперечного перерізу.
Згідно з епюрою, найбільше за величиною алгебри значення перерізуючої сили дорівнює 
кн. Тоді
кН/см2 кН/см2
тобто умова міцності і з дотичних напруг виконується, причому, з великим запасом.
Приклад розв'язання задачі "прямий поперечний вигин" №2
Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин
Для шарнірно опертої балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м, зосередженою силою кН і зосередженим моментом кН·м (рис. 3.13), потрібно побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів і підібрати балку двотаврового поперечного перерізу при допусканому нормальному допустимій дотичній напрузі кН/см2. Проліт балки м.
Приклад завдання на прямий вигин – розрахункова схема
 |
Мал. 3.13
Розв'язання прикладу задачі на прямий вигин
Визначаємо опорні реакції
Для заданої шарнірно опертої балки необхідно знайти три опорні реакції: , і . Оскільки на балку діють лише вертикальні навантаження, перпендикулярні до осі, горизонтальна реакція нерухомої шарнірної опори A дорівнює нулю: .
Напрямки вертикальних реакцій і вибираємо довільно. Направимо, наприклад, обидві вертикальні реакції вгору. Для обчислення їх значень складемо два рівняння статики:
Нагадаємо, що рівнодіюча погонної навантаження , рівномірно розподіленої на ділянці довжиною l, дорівнює , тобто дорівнює площі епюри цього навантаження і прикладена вона в центрі тяжкості цієї епюри, тобто посередині довжини.
;
кн.
Робимо перевірку: .
Нагадаємо, що сили, напрямок яких збігається з позитивним напрямком осі y, проектуються (проектуються) на цю вісь зі знаком плюс:
тобто правильно.
Будуємо епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів
Розбиваємо довжину балки окремі ділянки. Межами цих ділянок є точки докладання зосереджених зусиль (активних та/або реактивних), а також точки, що відповідають початку та закінченню дії розподіленого навантаження. Таких ділянок у нашому завданні виходить три. По межах цих ділянок намітимо шість поперечних перерізів, в яких ми і будемо обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів (рис. 3.13, а).
Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Для зручності обчислення сили, що перерізує, і згинального моменту , що виникають у цьому перерізі, закриємо відкинуту нами частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка паперу з самим перетином.
Перерізуюча сила в перерізі балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил(активних та реактивних), які ми бачимо. У даному випадкубачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малої довжині. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому
кн.
Знак «плюс» взятий тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (краю листка паперу) протягом годинної стрілки.
Згинальний момент у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо, щодо розглянутого перерізу (тобто щодо краю листка паперу). Ми бачимо реакцію опори та погонне навантаження q, розподілене на нескінченно малій довжині. Однак у сили плече дорівнює нулю. Рівнодія погонного навантаження також дорівнює нулю. Тому
Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер ми бачимо реакцію та навантаження q, що діє на ділянці завдовжки . Рівнодія погонного навантаження дорівнює. Вона прикладена посередині ділянки завдовжки. Тому
Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частину балки від усіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би защемленою в розрізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки є жорстким закладенням).
Перетин 3. Закриємо праву частину. Отримаємо
Перетин 4. Закриваємо листком праву частину балки. Тоді
Тепер для контролю правильності обчислень закриємо листком паперу ліву частину балки. Ми бачимо зосереджену силу P, реакцію правої опори та погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малу довжину. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому
кН·м.
Тобто все правильно.
Перетин 5. Як і раніше, закриємо ліву частину балки. Будемо мати
кН;
кН·м.
Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. Отримаємо
кН;
За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.13, б) і згинальних моментів (рис. 3.13, в).
Переконуємося в тому, що під незавантаженою ділянкою епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по прямій, що має нахил вниз. На епюрі є три стрибки: під реакцією - на 37,5 кН, під реакцією - на 132,5 кН і під силою P - вниз на 50 кН.
На епюрі згинальних моментів ми бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням інтенсивністю q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. Під зосередженим моментом – стрибок на 60 кН · м, тобто величину самого моменту. У перерізі 7 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, для цього перерізу проходить через нульове значення (). Визначимо відстань від перерізу 7 до лівої опори.
Сили, що діють перпендикулярно до осі бруса і розташовані в площині, що проходить через цю вісь, викликають деформацію, яка називається поперечним вигином. Якщо площина дії згаданих сил – головна площина, то має місце прямий (плоский) поперечний згин. В іншому випадку вигин називається косим поперечним. Брус, схильний переважно до вигину, називається балкою 1 .
По суті поперечний згин є поєднання чистого згину та зсуву. У зв'язку з викривленням поперечних перерізів через нерівномірність розподілу зсувів по висоті виникає питання про можливість застосування формули нормальної напруги σ хвиведеної для чистого вигину на підставі гіпотези плоских перерізів
1 Однопрогонова балка, що має по кінцях відповідно одну циліндричну нерухому опору і одну циліндричну рухому в напрямку осі балки, називається простий. Балка з одним защемленим та іншим вільним кінцем називається консоллю. Проста балка, що має одну або дві частини, що звисають за опору, називається консольної.
Якщо, крім того, перерізи взяті далеко від місць застосування навантаження (на відстані, не меншій за половину висоти перерізу бруса), то можна, як і у разі чистого вигину, вважати, що волокна не чинять тиску один на одного. Отже, кожне волокно відчуває одновісне розтягування чи стиск.
При дії розподіленого навантаження поперечні сили у двох суміжних перерізах відрізнятимуться на величину, рівну qdx. Тому викривлення перерізів також дещо відрізнятимуться. Крім того, волокна будуть чинити тиск один на одного. Ретельне дослідження питання показує, що якщо довжина бруса lдосить велика в порівнянні з його висотою h (l/ h> 5), те й при розподіленому навантаженні зазначені чинники не мають істотного впливу нормальні напруги у поперечному перерізі і тому у практичних розрахунках можуть враховуватися.
а Б В
Мал. 10.5 Мал. 10.6
У перерізах під зосередженими вантажами та поблизу них розподіл σ хвідхиляється від лінійного закону. Це відхилення, що носить місцевий характер і не супроводжується збільшенням найбільшої напруги (у крайніх волокнах), на практиці зазвичай не беруть до уваги.
Таким чином, при поперечному згині (у площині ху) нормальні напруги обчислюються за формулою
σ х= – [М z(x)/I z]y.
Якщо проведемо два суміжні перерізи на ділянці бруса, вільному від навантаження, то поперечна сила в обох перерізах буде однакова, а отже, однаково викривлення перерізів. При цьому будь-який відрізок волокна ab(Мал.10.5) переміститься в нове положення a"b", не зазнавши додаткового подовження, а отже, не змінюючи величину нормальної напруги.
Визначимо дотичні напруги в поперечному перерізі через парні їм напруги, що діють у поздовжньому перерізі бруса.
Виділимо з бруса елемент завдовжки dx(Рис. 10.7 а). Проведемо горизонталь-ний перетин на відстані увід нейтральної осі z, Що розділило елемент на дві частини (рис. 10.7) і розглянемо рівновагу верхньої частини, що має основу
ня шириною b. Відповідно до закону парності дотичних напруг, напруги, що діють у поздовжньому перерізі, рівні напругам, що діють у поперечному перерізі. З огляду на це припущення про те, що дотичні напруги в майданчику bрозподілені рівномірно використовуємо умову ΣХ = 0, отримаємо:
N * - (N * + dN *) +
де: N * - рівнодіюча нормальних сил у лівому поперечному перерізі елемента dx в межах "відсіченої" майданчика А * (рис. 10.7 г):
де: S = - статичний момент "відсіченої" частини поперечного перерізу (заштрихована площа на рис. 10.7 в). Отже, можна записати:
Тоді можна записати:
Ця формула була отримана в XIX столітті російським вченим та інженером Д.І. Журавським і має його ім'я. І хоча ця формула наближена, оскільки усереднює напругу по ширині перерізу, але отримані результати розрахунку за нею непогано узгоджуються з експериментальними даними.
Для того, щоб визначити дотичні напруги в довільній точці перерізу віддаленої на відстані y від осі z слід:
Визначити з епюри величину поперечної сили Q, що у перерізі;
Обчислити момент інерції I z перерізу;
Провести через цю точку площину паралельну площині xzта визначити ширину перерізу b;
Обчислити статичний момент відсіченої площі Щодо головної центральної осі zі підставити знайдені величини формулу Жура-вского.
Визначимо як приклад дотичні напруги в прямокутному поперечному перерізі (рис. 10.6, в). Статичний момент щодо осі zчастини перерізу вище лінії 1-1, на якій визначається напруга запишемо у вигляді:
Він змінюється згідно із законом квадратної параболи. Ширина перерізу вдля прямокутного бруса постійна, то параболічним буде закон зміни дотичних напруг у перерізі (рис.10.6, в). При y =і у = − дотичні напруги дорівнюють нулю, а на нейтральній осі zвони сягають найбільшого значення.
Для балки круглого поперечного перерізу на нейтральній осі маємо.
Вигином називається вид навантаження бруса, при якому до нього прикладається момент, що лежить в площині проходить через поздовжню вісь. У поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. При згинанні виникають деформація, при якій відбувається викривлення осі прямого бруса або зміна кривизни кривого бруса.
Брус, що працює при згинанні, називається балкою . Конструкція, що складається з декількох стрижнів, що згинаються, з'єднаних між собою найчастіше під кутом 90°, називається рамою .
Вигин називається плоским чи прямим , якщо площина навантаження проходить через головну центральну вісь інерції перерізу (рис.6.1).
Рис.6.1
При плоскому поперечному згині у балці виникають два види внутрішніх зусиль: поперечна сила Qі згинальний момент M. У рамі при плоскому поперечному згині виникають три зусилля: поздовжня N, поперечна Qсили та згинальний момент M.
Якщо згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, такий згин називається чистим (Рис.6.2). За наявності поперечної сили вигин називається поперечним . Строго кажучи, до простим видамопору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.
22.Плоский поперечний згин. Диференціальні залежності між внутрішніми зусиллями та зовнішнім навантаженням.Між згинальним моментом, поперечною силоюта інтенсивністю розподіленого навантаження існують диференціальні залежності, засновані на теоремі Журавського, названої на ім'я російського інженера-мостобудівника Д. І. Журавського (1821-1891 р.р.).
Ця теорема формулюється так:
Поперечна сила дорівнює першій похідній від згинального моменту по абсцисі перерізу балки.
23. Плоский поперечний згин. Посторіння епюр поперечних сил та згинальних моментів. Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1
Відкинемо праву частину балки і замінимо її дію на ліву частину поперечною силою та згинальним моментом. Для зручності обчислення закриємо праву частину балки, що відкидається, листком паперу, поєднуючи лівий край листка з аналізованим перетином 1.
Поперечна сила в перерізі 1 балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, які бачимо після закриття
Бачимо лише реакцію опори, спрямовану вниз. Таким чином, поперечна сила дорівнює:
кн.
Знак «мінус» нами взято тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу проти ходу годинникової стрілки (або тому, що однаково спрямована із напрямком поперечної сили за правилом знаків)
Згинальний момент у перерізі 1 балки, дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо після закриття відкинутої частини балки, щодо аналізованого перерізу 1.
Бачимо два зусилля: реакцію опори і момент M. Однак у сили плече практично дорівнює нулю. Тому згинальний момент дорівнює: 
кН·м.
Тут знак «плюс» нами взято тому, що зовнішній момент M вигинає видиму частину балки опуклістю вниз. (або тому, що протилежно направлений напрямку згинального моменту за правилом знаків)
Визначення поперечних сил і згинальних моментів - переріз 2
На відміну від першого перерізу, у сили реакції з'явилося плече, що дорівнює а.
поперечна сила:
кН;
згинальний момент:
Визначення поперечних сил і згинальних моментів - перетин 3
поперечна сила:
згинальний момент:
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 4
Тепер зручніше закривати листком ліву частину балки.
поперечна сила:
згинальний момент:
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 5
поперечна сила:
згинальний момент:
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1
поперечна сила та згинальний момент:
.
За знайденими значеннями виробляємо побудову епюри поперечних сил (рис. 7.7, б) і згинальних моментів (рис. 7.7, в).
КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТІ ПОБУДУВАННЯ ЕПЮР
Переконаємося у правильності побудови епюр за зовнішніми ознаками, користуючись правилами побудови епюр.
Перевірка епюри поперечних сил
Переконуємося: під незавантаженими ділянками епюра поперечних сил йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – нахиленою вниз прямою. На епюрі поздовжньої силитри стрибки: під реакцією – вниз на 15 кН, під силою P – вниз на 20 кН та під реакцією – вгору на 75 кН.
Перевірка епюри згинальних моментів
На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P та під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням q епюра згинальних моментів змінюється по квадратичній параболі, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі згинального моменту – екстремум, оскільки епюра поперечної сили в цьому місці проходить через нульове значення.
Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня (рис. 6.1). Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.
Стрижні, що працюють на вигин, називають балками.
Чистимназивається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.
Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.
Плоським (прямим)називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.
При косому вигиніплощина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.
Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.
Нормальна напруга та деформація при чистому вигині.
Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):
Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній (рис. 6.1 а), то при чистому згині вона деформується наступним чином (рис. 6.1 б):
а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;
б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;
в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.
На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).
Мал. 6.1
Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називається нейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називається нейтральною лінією (н. л.) перерізу.
Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).
Мал. 6.2
Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки 
. До деформації перерізу, що обмежують елемент 
, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут 
. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється 
. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення буквою 
. Визначимо лінійну деформацію довільного волокна 
, що знаходиться на відстані 
від нейтрального шару.
Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги 
) дорівнює 
. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину 
, Отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається
Його відносна деформація
Очевидно, що 
, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки 
отримаємо
(6.2)
Отже, відносна поздовжня деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.
Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому 
. З урахуванням (6.2)
, (6.3)
т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.
Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту 
у поперечному перерізі (6.1)
.
Згадаймо, що інтеграл 
є момент інерції перерізу щодо осі 
.
(6.4)
Залежність (6.4) є закон Гука при згині, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару) 
) з діючим у перерізі моментом. твір 
носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м 2 .
Підставимо (6.4) у (6.3)
(6.5)
Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.
Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили 
та згинального моменту 
Оскільки 
,
;
(6.6)
(6.7)
Рівність (6.6) вказує, що вісь 
- Нейтральна вісь перерізу - проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.
Рівність (6.7) показує що 
і 
- Основні центральні осі перерізу.
Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії
Ставлення 
являє собою осьовий момент опору перерізу 
щодо його центральної осі 
, значить
Значення 
для найпростіших поперечних перерізів наступне:
Для прямокутного поперечного перерізу
, (6.8)
де 
- сторона перерізу перпендикулярна до осі 
;
- сторона перерізу паралельна осі 
;
Для круглого поперечного перерізу
, (6.9)
де 
- Діаметр круглого поперечного перерізу.
Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді
(6.10)
Усі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному згинанні балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту 
діє ще поздовжня сила 
та поперечна сила 
, можна використовувати формули, наведені для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.
Для наочного уявлення характеру деформації брусів (стрижнів) при згинанні проводиться наступний досвід. на бічні гранігумового бруса прямокутного перерізунаноситься сітка ліній, паралельних та перпендикулярних осі бруса (рис. 30.7, а). Потім до бруса по його кінцях прикладаються моменти (рис. 30.7 б), що діють у площині симетрії бруса, що перетинає кожен його поперечний переріз по одній з головних центральних осей інерції. Площина, що проходить через вісь бруса і одну з головних центральних осей інерції кожного поперечного перерізу, будемо називати головною площиною.
Під впливом моментів брус відчуває прямий чистий згин. В результаті деформації, як показує досвід, лінії сітки, паралельні осі бруса викривляються, зберігаючи між собою колишні відстані. При вказаному на рис. 30.7 б напрямку моментів ці лінії у верхній частині бруса подовжуються, а в нижній - укорочуються.
Кожну лінію сітки, перпендикулярну до осі бруса, можна розглядати як слід площині деякого поперечного перерізу бруса. Оскільки ці лінії залишаються прямими, можна припускати, що поперечні перерізи бруса, плоскі до деформації, залишаються плоскими й у процесі деформації.
Це припущення, засноване на досвіді, як відомо, зветься гіпотезою плоских перерізів, або гіпотезою Бернуллі (див. § 6.1).
Гіпотеза плоских перерізів застосовується як при чистому, а й при поперечному згині. Для поперечного вигину вона є наближеною, а для чистого вигину суворою, що підтверджується теоретичними дослідженнями, проведеними методами теорії пружності.
Розглянемо тепер прямий брус із поперечним перерізом, симетричним щодо вертикальної осі, зароблений правим кінцем і навантажений на лівому кінці зовнішнім моментом, що діє в одній з головних площин бруса (рис. 31.7). У кожному поперечному перерізі цього бруса виникають тільки згинальні моменти, що діють у тій же площині, що і момент.
Таким чином, брус на всьому протязі знаходиться в стані прямого чистого вигину. У стані чистого вигину можуть бути окремі ділянки балки і у разі на неї поперечних навантажень; наприклад, чистий вигин випробовує ділянку балки 11, зображеної на рис. 32.7; у перерізах цієї ділянки поперечна сила
Виділимо з бруса (див. рис. 31.7) двома поперечними перерізами елемент довжиною . В результаті деформації, як це випливає з гіпотези Бернуллі, перерізи залишаться плоскими, але нахилиться по відношенню один до одного на деякий кут. Приймемо лівий перетин умовно за нерухомий. Тоді в результаті повороту правого перерізу на кут воно займе положення (рис. 33.7).
Прямі перетинаються в деякій точці А, яка є центром кривизни (або, точніше, слідом осі кривизни) поздовжніх волокон елемента Верхні волокна елемента, що розглядається при показаному на рис. 31.7 напрямок моменту подовжуються, а нижні коротшають. Волокна деякого проміжного шару перпендикулярного до площини дії моменту зберігають свою довжину. Цей шар називається нейтральним шаром.
Позначимо радіус кривизни нейтрального шару, тобто відстань від цього шару до центру кривизни А (див. рис. 33.7). Розглянемо деякий шар розташований на відстані від нейтрального шару. Абсолютне подовження волокон цього шару дорівнює а відносне
Розглядаючи подібні трикутники встановлюємо, що отже,
Теоретично вигину передбачається, що поздовжні волокна бруса не тиснуть один на одного. Експериментальні та теоретичні дослідженняпоказують, що це припущення істотно не впливає на результати розрахунку.
При чистому згинанні в поперечних перерізах бруса не виникають дотичні напруги. Таким чином, усі волокна при чистому вигині знаходяться в умовах одновісного розтягування або стиснення.
За законом Гука для випадку одновісного розтягування або стиснення нормальна напруга і відповідна відносна деформація пов'язані залежністю
або на підставі формули (11.7)
З формули (12.7) слід, що нормальні напруги в поздовжніх волокнах бруса прямо пропорційні їх відстаням від нейтрального шару. Отже, в поперечному перерізі бруса в кожній його точці нормальні напруги пропорційні відстані від цієї точки до нейтральної осі, що представляє собою лінію перетину нейтрального шару з поперечним перерізом (рис.
34.7 а). З симетрії бруса та навантаження випливає, що нейтральна вісь горизонтальна.
У точках нейтральної осі нормальні напруги дорівнюють нулю; по один бік від нейтральної осі вони розтягують, а з іншого - стискають.
Епюра напруги являє собою графік, обмежений прямою лінією, з найбільшими за абсолютною величиною значеннями напруги для точок, найбільш віддалених від нейтральної осі (рис. 34.7,б).
Розглянемо тепер умови рівноваги виділеного елемента бруса. Дію лівої частини бруса на переріз елемента (див. рис. 31.7) представимо у вигляді згинального моменту інші внутрішні зусилля в цьому перерізі при чистому згині дорівнюють нулю. Дію правої частини бруса на переріз елемента представимо у вигляді елементарних сил про прикладені до кожного елементарного майданчика поперечного перерізу (рис. 35.7) і паралельних осі бруса.
Складемо шість умов рівноваги елемента
Тут - суми проекцій усіх сил, які діють елемент відповідно на осі - суми моментів всіх сил щодо осей (рис. 35.7).
Вісь збігається з нейтральною віссю перерізу, а вісь у перпендикулярна до неї; обидві ці осі розташовані в площині поперечного перерізу
Елементарна сила не дає проекцій на осі у і не викликає моменту щодо осі Тому рівняння рівноваги задовольняються за будь-яких значень про.
Рівняння рівноваги має вигляд
Підставимо в рівняння (13.7) значення а за формулою (12.7):
Так як (розглядається вигнутий елемент бруса, для якого), то
Інтеграл являє собою статичний момент поперечного перерізу бруса щодо нейтральної осі. Рівність його нулю означає, що нейтральна вісь (тобто вісь) проходить через центр тяжкості поперечного перерізу. Таким чином, центр тяжіння всіх поперечних перерізів бруса, а отже, і вісь бруса, що є геометричним місцем центрів тяжіння, розташовані в нейтральному шарі. Отже, радіус кривизни нейтрального шару є радіусом кривизни вигнутої осі бруса.
Складемо тепер рівняння рівноваги у вигляді суми моментів усіх сил, прикладених до елемента бруса, щодо нейтральної осі:
Тут є момент елементарної внутрішньої силищодо осі.
Позначимо площу частини поперечного перерізу бруса, розташованої над нейтральною віссю, - під нейтральною віссю.
Тоді являтиме собою рівнодіючу елементарну силу прикладених вище нейтральної осі, нижче нейтральної осі (рис. 36.7).
Обидві ці рівнодіючі рівні один одному за абсолютною величиною, тому що їх сума алгебри на підставі умови (13.7) дорівнює нулю. Ці рівнодіючі утворюють внутрішню пару сил, що діє поперечному перерізі бруса. Момент цієї пари сил, рівний т. е. добутку величини однієї з них на відстань між ними (рис. 36.7), являє собою згинальний момент у поперечному перерізі бруса.
Підставимо в рівняння (15.7) значення а за формулою (12.7):
Тут є осьовий момент інерції, тобто осі, що проходить через центр тяжкості перерізу. Отже,
Підставимо значення з формули (16.7) до формули (12.7):
При виведенні формули (17.7) не враховано, що з зовнішньому моменті спрямованому, як показано на рис. 31.7, згідно з прийнятим правилом знаків, згинальний момент є негативним. Якщо це врахувати, то перед правою частиною формули (17.7) необхідно поставити знак «мінус». Тоді при позитивному згинальний момент у верхній зоні бруса (тобто при) значення а вийдуть негативними, що вкаже на наявність у цій зоні стискаючих напруг. Однак зазвичай знак «мінус» у правій частині формули (17.7) не ставиться, а ця формула використовується лише для визначення абсолютних значень напруги а. Тому у формулу (17.7) слід підставляти абсолютні значення згинального моменту та ординати у. Знак напруги завжди легко встановлюється за знаком моменту або за характером деформації балки.
Складемо тепер рівняння рівноваги у вигляді суми моментів усіх сил, прикладених до елемента бруса, щодо осі у:
Тут є момент елементарної внутрішньої сили щодо осі (див. рис. 35.7).
Підставимо у вираз (18.7) значення а за формулою (12.7):
Тут інтеграл є відцентровим моментом інерції поперечного перерізу бруса щодо осей у і . Отже,
Але так як
Як відомо (див. § 7.5), відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю щодо головних осей інерції.
У даному випадку вісь у є віссю симетрії поперечного перерізу бруса і, отже, осі у є головними центральними осями інерції цього перерізу. Тому умова (19.7) тут задовольняється.
У разі, коли поперечний переріз бруса, що згинається, не має жодної осі симетрії, умова (19.7) задовольняється, якщо площина дії згинального моменту проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізу або паралельна цій осі.
Якщо площина дії згинального моменту не проходить через одну з головних центральних осей інерції поперечного перерізу бруса і не паралельна їй, то умова (19.7) не задовольняється і, отже, немає прямого вигину - брус відчуває косий вигин.
Формула (17.7), що визначає нормальну напругу в довільній точці перерізу бруса, що розглядається, застосовна за умови, що площина дії згинального моменту проходить через одну з головних осей інерції цього перерізу або їй паралельна. При цьому нейтральна вісь поперечного перерізу є головною центральною віссю інерції, перпендикулярної до площини дії згинального моменту.
Формула (16.7) показує, що при прямому чистому згині кривизна вигнутої осі бруса прямо пропорційна добутку модуля пружності Е на момент інерції Твір називатимемо жорсткістю перерізу при згині; вона виражається і т.д.
При чистому згині балки постійного перерізу згинальні моменти і жорсткості перерізів постійні за її довжиною. В цьому випадку радіус кривизни вигнутої осі балки має постійне значення [див. вираз (16.7)], тобто балка згинається по дузі кола.
З формули (17.7) слід, що найбільші (позитивні - розтягують) і найменші (негативні-стискаючі) нормальні напруги в поперечному перерізі бруса виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі, розташованих по обидва боки від неї. При поперечному перерізі, симетричному щодо нейтральної осі, абсолютні величини найбільших напруг, що розтягують і стискають, однакові і їх можна визначити за формулою
Для перерізів, не симетричних щодо нейтральної осі, наприклад для трикутника, тавру і т. п., відстані від нейтральної осі до найбільш віддалених розтягнутих і стиснутих волокон різні; тому для таких перерізів є два моменти опору:
де - відстані від нейтральної осі до найвіддаленіших розтягнутих і стиснутих волокон.
