Teorem. Bir piramidin hacmi, tabanının alanı ile yüksekliğinin üçte birinin çarpımına eşittir.
Önce bu teoremi üçgen piramit için, sonra da çokgen piramit için kanıtlıyoruz.
1) SABC üçgen piramidine (Şekil 102) dayanarak, yüksekliği piramidin yüksekliğine eşit olan ve bir yan kenarı SB kenarıyla çakışan bir SABCDE prizması inşa edeceğiz. Piramidin hacminin bu prizmanın hacminin üçte biri olduğunu kanıtlayalım. Bu piramidi prizmadan ayıralım. O zaman geriye kalan dörtgen piramit SADEC'tir (açıklık sağlamak amacıyla ayrı olarak gösterilmiştir). S tepe noktasından ve DC tabanının köşegeninden geçen bir kesme düzlemi çizelim. Ortaya çıkan iki üçgen piramit, ortak bir S köşe noktasına ve aynı düzlemde yer alan eşit DEC ve DAC tabanlarına sahiptir; Bu, yukarıda kanıtlanan piramit lemmasına göre bunların boyutlarının eşit olduğu anlamına gelir. Bunlardan biri olan SDEC'i bu piramit ile karşılaştıralım. SDEC piramidinin tabanı \(\Delta\)SDE olarak alınabilir; o zaman tepesi C noktasında olacak ve yüksekliği verilen piramidin yüksekliğine eşit olacaktır. \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC olduğundan, aynı lemmaya göre SDEC ve SABC piramitlerinin boyutları eşittir.
ABCDES prizmasını üç eşit boyutlu piramite böldük: SABC, SDEC ve SDAC. (Elbette her üçgen prizma böyle bir bölmeye tabi tutulabilir. Bu, üçgen prizmanın önemli özelliklerinden biridir.) Böylece buna eşit büyüklükteki üç piramidin hacimlerinin toplamı prizmanın hacmini oluşturur; buradan,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
burada H piramidin yüksekliğidir.
2) SABCDE çokgen piramidinin tabanının bazı E köşelerinden (Şekil 103) EB ve EC köşegenlerini çiziyoruz.
Daha sonra SE kenarı ve bu köşegenlerin her biri boyunca kesme düzlemleri çiziyoruz. Daha sonra çokgen piramit, verilen piramit ile ortak bir yüksekliğe sahip olan birkaç üçgene bölünecektir. Üçgen piramitlerin taban alanlarının belirlenmesi B 1 , B 2 , B 3 ve H'ye kadar olan yükseklik, elimizde:
SABCDE hacmi = 1/3 B 1 H + 1/3 B 2 saat + 1/3 B 3 H = ( B 1 + B 2 + B 3) H/3 =
= (ABCDE alanı) H / 3 .
Sonuçlar. Eğer V, B ve H herhangi bir piramidin hacmini, taban alanını ve yüksekliğini ilgili birimlerle ifade eden sayılar anlamına geliyorsa, o zaman
Teorem. Kesik bir piramidin hacmi, kesik piramidin yüksekliğiyle aynı yüksekliğe sahip üç piramidin hacimlerinin ve tabanlarının toplamına eşittir: biri bu piramidin alt tabanı, diğeri üst tabanıdır, ve üçüncü piramidin tabanının alanı, üst ve alt taban alanlarının geometrik ortalamasına eşittir.
Kesik piramidin tabanlarının alanları (Şekil 104) B olsun ve B, yükseklik H ve hacim V (kesik bir piramit üçgen veya çokgen olabilir - önemli değil).
Bunu kanıtlamak gerekli
V = 1/3 BH + 1/3 B H+1/3H√B B= 1/3H(B+ B+√B B ),
nerede √B B B ve arasındaki geometrik ortalamadır B.
Bunu kanıtlamak için, daha küçük bir tabanın üzerine, bu kesik piramidi tam olarak tamamlayan küçük bir piramit yerleştirelim. O zaman kesik piramidin V hacmini iki hacim arasındaki fark olarak düşünebiliriz - tam piramit ve üstteki ek hacim.
Ek piramidin yüksekliğini harfle belirledikten sonra X, bunu bulacağız
V = 1/3 V (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - B)X].
Yüksekliği bulmak için X Denklemi yazabileceğimiz teoremini kullanalım:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Bu denklemi basitleştirmek için her iki tarafın aritmetik karekökünü alıyoruz:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Bu denklemden (orantı olarak düşünülebilir) şunu elde ederiz:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
ve bu nedenle
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Bu ifadeyi cilt V için türettiğimiz formülde yerine koyarsak şunu buluruz:
$$ V = \frac(1)(3)\left $$
B'den beri - B= (√B + √ B) (√B - √ B), daha sonra kesri √B - √ farkı kadar azaltarak Bşunu elde ederiz:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
yani kanıtlanması gereken formülü elde ederiz.
Diğer materyallerPiramit, tabanında bir çokgen bulunan bir çokyüzlüdür. Tüm yüzler sırayla bir tepe noktasında birleşen üçgenler oluşturur. Piramitler üçgen, dörtgen vb. şeklindedir. Hangi piramidin önünüzde olduğunu belirlemek için tabanındaki açı sayısını saymanız yeterlidir. “Piramitin yüksekliği” tanımına okul müfredatındaki geometri problemlerinde sıklıkla rastlanır. Bu yazıda onu bulmanın farklı yollarına bakmaya çalışacağız.
Piramidin parçaları
Her piramit aşağıdaki unsurlardan oluşur:
- üç köşesi olan ve tepe noktasında birleşen yan yüzler;
- apothem, zirvesinden inen yüksekliği temsil eder;
- piramidin tepesi, yan kaburgaları birbirine bağlayan ancak taban düzleminde yer almayan bir noktadır;
- taban, tepe noktasının bulunmadığı bir çokgendir;
- piramidin yüksekliği, piramidin tepesiyle kesişen ve tabanıyla dik açı oluşturan bir segmenttir.
Hacmi biliniyorsa piramidin yüksekliği nasıl bulunur?
V = (S*h)/3 formülü aracılığıyla (formülde V hacim, S tabanın alanı, h piramidin yüksekliğidir) h = (3*V)/ olduğunu buluruz. S. Malzemeyi pekiştirmek için sorunu hemen çözelim. Üçgenin tabanı 50 cm2, hacmi ise 125 cm3'tür. Üçgen piramidin yüksekliği bilinmiyor, bulmamız gereken şey de bu. Burada her şey basit: Verileri formülümüze ekliyoruz. h = (3*125)/50 = 7,5 cm elde ederiz.
Köşegen uzunluğu ve kenarları biliniyorsa piramidin yüksekliği nasıl bulunur?
Hatırladığımız gibi piramidin yüksekliği tabanıyla dik açı oluşturuyor. Bu, köşegenin yüksekliğinin, kenarının ve yarısının birlikte oluşturduğu anlamına gelir. Pek çok kişi elbette Pisagor teoremini hatırlar. İki boyutu bildiğimiz için üçüncü büyüklüğü bulmak zor olmayacaktır. Çok iyi bilinen a² = b² + c² teoremini hatırlayalım; burada a hipotenüstür ve bizim durumumuzda piramidin kenarıdır; b - köşegenin ilk ayağı veya yarısı ve c - sırasıyla ikinci ayak veya piramidin yüksekliği. Bu formülden c² = a² - b².
Şimdi sorun şu: Normal bir piramitte köşegen 20 cm, kenar uzunluğu 30 cm olduğunda yüksekliği bulmanız gerekiyor. Şunu çözüyoruz: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Dolayısıyla c = √ 500 = yaklaşık 22,4.
Kesilmiş bir piramidin yüksekliği nasıl bulunur?
Tabanına paralel bir kesite sahip bir çokgendir. Kesik bir piramidin yüksekliği, iki tabanını birleştiren bölümdür. Her iki tabanın köşegenlerinin uzunlukları ve piramidin kenarı biliniyorsa, normal bir piramidin yüksekliği bulunabilir. Büyük tabanın köşegeni d1, küçük tabanın köşegeni d2 ve kenarının uzunluğu l olsun. Yüksekliği bulmak için, diyagramın iki üst karşıt noktasından tabana kadar olan yükseklikleri indirebilirsiniz. İki dik üçgenimiz olduğunu görüyoruz; geriye sadece bacaklarının uzunluklarını bulmak kalıyor. Bunu yapmak için büyük köşegenden küçük olanı çıkarın ve 2'ye bölün. Böylece bir kenar bulacağız: a = (d1-d2)/2. Bundan sonra Pisagor teoremine göre yapmamız gereken tek şey piramidin yüksekliği olan ikinci ayağı bulmak.
Şimdi tüm bunlara pratikte bakalım. Önümüzde bir görev var. Kesik piramidin tabanında bir kare vardır, büyük tabanın köşegen uzunluğu 10 cm, küçük olanın ise 6 cm, kenarı 4 cm'dir, yüksekliğini bulmanız gerekir. Öncelikle bir bacak buluyoruz: a = (10-6)/2 = 2 cm.Bir bacak 2 cm, hipotenüs 4 cm.İkinci bacağın veya yüksekliğin 16-'ya eşit olacağı ortaya çıkıyor. 4 = 12, yani h = √12 = yaklaşık 3,5 cm.
Piramit tabanı isteğe bağlı bir çokgen olan ve tüm yüzler, piramidin tepesi olan ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir.
Piramit üç boyutlu bir figürdür. Bu nedenle çoğu zaman sadece alanını değil aynı zamanda hacmini de bulmak gerekir. Bir piramidin hacminin formülü çok basittir:
burada S tabanın alanıdır ve h piramidin yüksekliğidir.
Yükseklik piramit, tepesinden tabanına dik açıyla inen düz bir çizgiye denir. Buna göre bir piramidin hacmini bulmak için tabanda hangi çokgenin bulunduğunu belirlemek, alanını hesaplamak, piramidin yüksekliğini bulmak ve hacmini bulmak gerekir. Bir piramidin hacmini hesaplamaya ilişkin bir örneği ele alalım.
Problem: Düzenli bir dörtgen piramit verildiğinde. 
Tabanın kenarları a = 3 cm, tüm yan kenarları b = 4 cm'dir Piramidin hacmini bulun.
Öncelikle hacmi hesaplamak için piramidin yüksekliğine ihtiyacınız olacağını unutmayın. Bunu Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz. Bunu yapmak için köşegenin uzunluğuna veya daha doğrusu yarısına ihtiyacımız var. Daha sonra dik üçgenin iki kenarını bildiğimizde yüksekliği bulabiliriz. İlk önce köşegeni bulun: 
Değerleri formülde yerine koyalım: 
h yüksekliğini d ve b kenarını kullanarak buluyoruz: 
Şimdi bulalım
Teorem.
Piramidin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.
Kanıt:
Önce üçgen piramit için teoremi, sonra da keyfi bir piramit için kanıtlıyoruz.1. Üçgen bir piramit düşününOABChacim V ile taban alanıS ve yükseklik H. Ekseni çizelim ah (OM2- yükseklik), bölümü düşününA1 B1 C1eksene dik bir düzleme sahip piramitAhve dolayısıyla taban düzlemine paraleldir. ile belirtelimX apsis noktası M1 bu düzlemin x ekseni ile kesişimi ve içindenS(X)- kesit alanı. Hadi ifade edelim S(X) başından sonuna kadar S, H Ve X. A üçgenlerine dikkat edin1 İÇİNDE1 İLE1 Ve ABC'ler benzerdir. Gerçekten A1 İÇİNDE1 II AB, yani üçgen OA 1 İÇİNDE 1 OAB üçgenine benzer. İLEÖyleyse, A1 İÇİNDE1 : AB= OA 1: OA .
Sağ Üçgenler OA 1 İÇİNDE 1 ve OAV aynı zamanda benzerdir (O tepe noktasıyla ortak bir dar açıya sahiptirler). Bu nedenle OA 1: OA = O 1 M1 : ÖM = x: H. Böylece A 1 İÇİNDE 1 : A B = x: H.Benzer şekilde, kanıtlanmıştır kiB1 C1:Güneş = X: H Ve A1 C1:AC = X: H.Yani, üçgenA1 B1 C1 Ve ABCbenzerlik katsayısı ile benzer X: H.Bu nedenle S(x) : S = (x: H)² veya S(x) = S x²/ H².
Şimdi cisimlerin hacimlerini hesaplamak için temel formülü uygulayalım.A= 0, b =H aldık
Böylece orijinal piramidin hacmi 1/3Sh olur.. Teorem kanıtlandı.
Sonuçlar:
Yüksekliği h ve taban alanları S ve S olan kesik piramidin hacmi V1 , formülle hesaplanır
h - piramidin yüksekliği
Durmak - üst tabanın alanı
Yavaş - alt tabanın alanı
Uzaydaki herhangi bir geometrik şeklin temel özelliği hacmidir. Bu yazıda tabanında üçgen olan bir piramidin ne olduğuna bakacağız ve aynı zamanda normal dolu ve kesik üçgen piramidin hacminin nasıl bulunacağını göstereceğiz.
Bu nedir, üçgen piramit mi?
Herkes eski Mısır piramitlerini duymuştur, ancak bunlar üçgen değil, dörtgen şeklindedir. Üçgen piramidin nasıl elde edileceğini açıklayalım.
Rastgele bir üçgen alalım ve tüm köşelerini bu üçgenin düzleminin dışında bulunan tek bir noktaya bağlayalım. Ortaya çıkan şekle üçgen piramit adı verilecektir. Aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
Gördüğünüz gibi söz konusu şekil genel olarak farklı olan dört üçgenden oluşuyor. Her üçgen piramidin kenarları veya yüzüdür. Bu piramit genellikle dört yüzlü, yani dört yüzlü üç boyutlu bir şekil olarak adlandırılır.
Piramidin kenarlarına ek olarak kenarları (6 adet vardır) ve köşeleri (4 adet) vardır.
üçgen tabanlı
Rastgele bir üçgen ve uzaydaki bir nokta kullanılarak elde edilen şekil genel durumda düzensiz eğimli bir piramit olacaktır. Şimdi orijinal üçgenin aynı kenarlara sahip olduğunu ve uzayda bir noktanın geometrik merkezinin tam üzerinde, üçgen düzleminden h kadar uzakta bulunduğunu hayal edin. Bu başlangıç verileri kullanılarak oluşturulan piramit doğru olacaktır.
Açıkçası, düzenli bir üçgen piramidin kenarlarının, yanlarının ve köşelerinin sayısı, rastgele bir üçgenden oluşturulan bir piramidinkiyle aynı olacaktır.
Ancak doğru figürün bazı ayırt edici özellikleri vardır:
- tepe noktasından çizilen yüksekliği, geometrik merkezde (medyanların kesişme noktası) tabanla tam olarak kesişecektir;
- böyle bir piramidin yan yüzeyi ikizkenar veya eşkenar olan üç özdeş üçgenden oluşur.
Düzenli bir üçgen piramit yalnızca tamamen teorik bir geometrik nesne değildir. Doğadaki bazı yapılar kendi şekillerine sahiptir; örneğin bir karbon atomunun aynı atomlardan dördüne kovalent bağlarla bağlandığı elmas kristal kafes veya piramidin köşelerinin hidrojen atomları tarafından oluşturulduğu bir metan molekülü.
Üçgen piramit
Aşağıdaki ifadeyi kullanarak, tabanında rastgele bir n-gon bulunan herhangi bir piramidin hacmini belirleyebilirsiniz:
Burada S o sembolü tabanın alanını, h ise işaretli tabana çizilen şeklin piramidin tepesinden yüksekliğidir.
Rastgele bir üçgenin alanı, a tarafının uzunluğunun çarpımının yarısına eşit olduğundan ve h a potemi bu tarafa bırakıldığından, üçgen piramidin hacminin formülü aşağıdaki biçimde yazılabilir:
V = 1/6 × a × h a × h
Genel tip için yüksekliği belirlemek kolay bir iş değildir. Bunu çözmenin en kolay yolu, genel bir denklemle temsil edilen bir nokta (tepe noktası) ile düzlem (üçgen taban) arasındaki mesafe formülünü kullanmaktır.
Doğru olanı için kendine özgü bir görünümü vardır. Bunun için tabanın alanı (eşkenar üçgenin) şuna eşittir:
Bunu V'nin genel ifadesine koyarsak şunu elde ederiz:
V = √3/12 × a 2 × h
Özel bir durum, bir tetrahedronun tüm kenarlarının aynı eşkenar üçgenlere dönüşmesidir. Bu durumda hacmi yalnızca kenarının parametresi bilgisine dayanarak belirlenebilir. İlgili ifade şuna benzer:
Kesilmiş piramit
Tepe noktasını içeren üst kısım normal bir üçgen piramitten kesilirse, kesik bir şekil elde edersiniz. Orijinalinden farklı olarak iki eşkenar üçgen taban ve üç ikizkenar yamuktan oluşacak.
Aşağıdaki fotoğraf, kağıttan yapılmış normal kesik üçgen piramidin neye benzediğini göstermektedir.
Kesik üçgen piramidin hacmini belirlemek için, onun üç doğrusal özelliğini bilmeniz gerekir: tabanların her bir tarafı ve şeklin yüksekliği, üst ve alt tabanlar arasındaki mesafeye eşittir. Hacim için karşılık gelen formül aşağıdaki gibi yazılır:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Burada h şeklin yüksekliği, A ve a sırasıyla büyük (alt) ve küçük (üst) eşkenar üçgenlerin kenar uzunluklarıdır.
Sorunun çözümü
Makaledeki bilgilerin okuyucuya daha anlaşılır olması için bazı yazılı formüllerin nasıl kullanılacağını net bir örnekle göstereceğiz.
Üçgen piramidin hacmi 15 cm3 olsun. Rakamın doğru olduğu biliniyor. Piramidin yüksekliğinin 4 cm olduğu biliniyorsa yan kenarın ab özdeyişini bulmak gerekir.
Şeklin hacmi ve yüksekliği bilindiğinden uygun formülü kullanarak tabanının kenar uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Sahibiz:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × y) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2/12) = √(16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm
Şeklin özetinin hesaplanan uzunluğunun, herhangi bir piramit türü için geçerli olan yüksekliğinden daha büyük olduğu ortaya çıktı.
