Tüm çeşitlilik arasında logaritmik eşitsizlikler Değişken tabanlı eşitsizlikler ayrı ayrı incelenmiştir. Bazı nedenlerden dolayı okulda nadiren öğretilen özel bir formül kullanılarak çözülürler:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
“∨” onay kutusu yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: daha fazla veya daha az. Önemli olan her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır.
Bu şekilde logaritmalardan kurtuluruz ve sorunu rasyonel eşitsizlik. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Bir logaritmanın ODZ'sini unuttuysanız, bunu tekrarlamanızı şiddetle tavsiye ederim - bkz. “Logaritma nedir?”.
Kabul edilebilir değer aralığına ilişkin her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda karşılanması gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda geriye kalan tek şey, onu rasyonel eşitsizliğin çözümüyle kesiştirmektir - ve cevap hazırdır.
Görev. Eşitsizliği çözün:
Öncelikle logaritmanın ODZ'sini yazalım:
İlk iki eşitsizlik otomatik olarak karşılanır, ancak sonuncusunun yazılması gerekecektir. Bir sayının karesi ancak ve ancak sayının kendisi sıfır olduğunda sıfır olacağından, elimizde:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Logaritmanın ODZ'sinin sıfır dışındaki tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Şimdi ana eşitsizliği çözüyoruz:
Logaritmik eşitsizlikten rasyonel eşitsizliğe geçiş yapıyoruz. Orijinal eşitsizliğin "küçüktür" işareti vardır; bu, ortaya çıkan eşitsizliğin de "küçüktür" işaretine sahip olması gerektiği anlamına gelir. Sahibiz:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Bu ifadenin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstelik x = 0 ikinci çokluğun köküdür, yani içinden geçerken fonksiyonun işareti değişmez. Sahibiz:
x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) elde ederiz. Bu küme tamamen logaritmanın ODZ'sinde bulunur, yani cevap budur.
Logaritmik eşitsizlikleri dönüştürme
Çoğunlukla orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmaya ilişkin standart kurallar kullanılarak kolayca düzeltilebilir - bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”. Yani:
- Herhangi bir sayı, belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilebilir;
- Aynı tabanlara sahip logaritmaların toplamı ve farkı bir logaritma ile değiştirilebilir.
Ayrıca kabul edilebilir değerler aralığını da hatırlatmak isterim. Orijinal eşitsizlikte birden fazla logaritma olabileceğinden her birinin VA'sını bulmak gerekir. Böylece, genel şema Logaritmik eşitsizliklerin çözümleri aşağıdaki gibidir:
- Eşitsizliğe dahil olan her logaritmanın VA'sını bulun;
- Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart bir düzeye indirin;
- Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıda verilen şemayı kullanarak çözün.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk logaritmanın tanım tanım kümesini (DO) bulalım:
Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Payın sıfırlarını bulma:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Sonra - paydanın sıfırları:
x - 1 = 0;
x = 1.
Koordinat okunda sıfırları ve işaretleri işaretliyoruz:
x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) elde ederiz. İkinci logaritma aynı VA'ya sahip olacaktır. İnanmıyorsanız kontrol edebilirsiniz. Şimdi ikinci logaritmayı tabanı iki olacak şekilde dönüştürüyoruz:
Görüldüğü gibi logaritmanın tabanındaki ve önündeki üçlüler azaltılmıştır. Aynı tabana sahip iki logaritmamız var. Bunları toplayalım:
günlük 2 (x - 1) 2< 2;
günlük 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Standart logaritmik eşitsizliği elde ettik. Formülü kullanarak logaritmalardan kurtuluyoruz. Orijinal eşitsizlik “küçüktür” işareti içerdiğinden, ortaya çıkan rasyonel ifadenin de sıfırdan küçük olması gerekir. Sahibiz:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
İki setimiz var:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Adayın cevabı: x ∈ (−1; 3).
Geriye bu kümeleri kesiştirmek kalıyor - gerçek cevabı alıyoruz:
Kümelerin kesişimiyle ilgilendiğimiz için her iki okla gölgelenen aralıkları seçiyoruz. x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) elde ederiz - tüm noktalar deliklidir.
logaritmanın tanımı Matematiksel olarak yazmanın en kolay yolu şudur:
Logaritmanın tanımı başka bir şekilde yazılabilir:
Logaritmanın temelinde uygulanan kısıtlamalara dikkat edin ( A) ve sublogaritmik ifadeye ( X). Gelecekte bu koşullar, logaritmalarla herhangi bir denklemi çözerken dikkate alınması gereken OD için önemli kısıtlamalara dönüşecektir. Dolayısıyla, artık ODZ'de kısıtlamalara yol açan standart koşullara ek olarak (çift kuvvet kökleri altındaki ifadelerin pozitifliği, paydanın sıfıra eşit olmaması vb.), aşağıdaki koşulların da dikkate alınması gerekir:
- Sublogaritmik ifade yalnızca pozitif olabilir.
- Logaritmanın tabanı yalnızca pozitif olabilir ve bire eşit olamaz.
Ne logaritmanın tabanının ne de alt logaritmik ifadenin sıfıra eşit olamayacağını unutmayın. Lütfen logaritma değerinin kendisinin tüm olası değerleri alabileceğini unutmayın; Logaritma pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Logaritmaların, kuvvetlerin özelliklerinden ve logaritmanın tanımından kaynaklanan birçok farklı özelliği vardır. Bunları listeleyelim. Yani logaritmanın özellikleri:
Ürünün logaritması:
Bir kesrin logaritması:
Derecenin logaritma işaretinden çıkarılması:
Derece alındıktan sonra modül işaretinin göründüğü son listelenen özelliklere özellikle dikkat edin. Logaritma işaretinin dışına, logaritmanın altına veya tabana çift kuvvet yerleştirirken modül işaretini bırakmanız gerektiğini unutmayın.
Diğer faydalı özellikler logaritmalar:
Son özellik, karmaşık logaritmik denklemlerde ve eşitsizliklerde sıklıkla kullanılır. Her ne kadar sık sık unutulsa da herkes gibi onun da anılması gerekiyor.
En basit logaritmik denklemlerşu forma sahip:
Ve bunların çözümü doğrudan logaritmanın tanımından çıkan bir formülle verilmektedir:
Diğer en basit logaritmik denklemler, cebirsel dönüşümler ve yukarıdaki formüller ve logaritmanın özellikleri kullanılarak aşağıdaki forma indirgenebilen denklemlerdir:
Bu tür denklemlerin ODZ dikkate alınarak çözümü aşağıdaki gibidir:
Bazı diğerleri tabanında değişken olan logaritmik denklemlerşu şekle indirgenebilir:
Bu tür logaritmik denklemlerde Genel formçözüm aynı zamanda doğrudan logaritmanın tanımından da kaynaklanmaktadır. Ancak bu durumda DZ için dikkate alınması gereken ek kısıtlamalar vardır. Sonuç olarak, tabanında değişken olan logaritmik bir denklemi çözmek için aşağıdaki sistemi çözmeniz gerekir:
Yukarıda sunulan denklemlerden birine indirgenemeyen daha karmaşık logaritmik denklemlerin çözümünde de aktif olarak kullanılır. değişken değiştirme yöntemi. Her zamanki gibi, bu yöntemi kullanırken, değiştirmeyi uyguladıktan sonra denklemin basitleştirilmesi ve artık eski bilinmeyeni içermemesi gerektiğini hatırlamanız gerekir. Ayrıca değişkenlerin ters ikamesini yapmayı da hatırlamanız gerekir.
Bazen logaritmik denklemleri çözerken şunları da kullanmanız gerekir: grafik yöntemi. Bu yöntem, denklemin sol ve sağ taraflarında bulunan fonksiyonların grafiklerini tek bir koordinat düzleminde mümkün olduğunca doğru bir şekilde oluşturmak ve ardından çizimden kesişme noktalarının koordinatlarını bulmaktan oluşur. Bu şekilde elde edilen kökler orijinal denklemde değiştirilerek kontrol edilmelidir.
Logaritmik denklemleri çözerken sıklıkla faydalıdır gruplama yöntemi. Bu yöntemi kullanırken hatırlanması gereken en önemli şey şudur: Birkaç faktörün çarpımının sıfıra eşit olması için bunlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir, ve geri kalanı vardı. Faktörler logaritma veya logaritmalı parantez olduğunda ve rasyonel denklemlerde olduğu gibi sadece değişkenli parantezlerde olmadığında birçok hata meydana gelebilir. Çünkü logaritmaların bulundukları bölgeye ilişkin birçok kısıtlaması vardır.
Karar verirken logaritmik denklem sistemleriçoğu zaman ikame yöntemini ya da değişken değiştirme yöntemini kullanmanız gerekir. Böyle bir olasılık varsa, o zaman logaritmik denklem sistemlerini çözerken, sistemin denklemlerinin her birinin ayrı ayrı logaritmik denklemden logaritmik denkleme geçişin mümkün olacağı bir forma getirilmesini sağlamak için çaba gösterilmelidir. rasyonel olan.
En basit logaritmik eşitsizlikler yaklaşık olarak benzer denklemlerle aynı şekilde çözülür. Öncelikle cebirsel dönüşümleri ve logaritmanın özelliklerini kullanarak, bunları eşitsizliğin sol ve sağ tarafındaki logaritmaların aynı tabanlara sahip olacağı bir forma getirmeye çalışmalıyız. formun eşitsizliğini elde edin:
Bundan sonra, bu geçişin şu şekilde yapılması gerektiğini dikkate alarak rasyonel bir eşitsizliğe geçmeniz gerekir: logaritmanın tabanı birden büyükse, eşitsizliğin işaretinin değiştirilmesine gerek yoktur ve eğer Logaritmanın tabanı birden küçükse, eşitsizliğin işareti ters yönde değiştirilmelidir (bu, "daha az"ı "daha fazla"ya veya tam tersi olarak değiştirmek anlamına gelir). Bu durumda daha önce öğrenilen kuralları atlayarak eksi işaretlerini artıya çevirmeye gerek yoktur. Böyle bir geçiş yaptığımızda elde ettiğimiz sonuçları matematiksel olarak yazalım. Taban birden büyükse şunu elde ederiz:
Logaritmanın tabanı birden küçükse eşitsizliğin işaretini değiştirerek aşağıdaki sistemi elde ederiz:
Gördüğümüz gibi logaritmik eşitsizlikleri çözerken her zamanki gibi ODZ de dikkate alınır (bu, yukarıdaki sistemlerde üçüncü durumdur). Üstelik bu durumda her iki sublogaritmik ifadenin pozitifliğini istemek yerine yalnızca küçük olanın pozitifliğini istemek mümkündür.
Karar verirken tabanda değişken içeren logaritmik eşitsizlikler logaritma, her iki seçeneği de bağımsız olarak dikkate almak (taban birden küçük ve birden büyük olduğunda) ve bu durumların çözümlerini bir küme halinde birleştirmek gerekir. Aynı zamanda DL'yi de unutmamalıyız, yani. Hem tabanın hem de tüm sublogaritmik ifadelerin pozitif olması gerektiği gerçeği hakkında. Böylece, formdaki bir eşitsizliği çözerken:
Aşağıdaki sistem setini elde ediyoruz:
Daha karmaşık logaritmik eşitsizlikler de değişken değişiklikleri kullanılarak çözülebilir. Diğer bazı logaritmik eşitsizlikler (logaritmik denklemler gibi), çözmek için eşitsizliğin veya denklemin her iki tarafının logaritmasının aynı tabana alınması prosedürünü gerektirir. Yani logaritmik eşitsizliklerle böyle bir işlemi gerçekleştirirken bir incelik vardır. Logaritmaları birden büyük bir tabana alırken eşitsizlik işaretinin değişmediğini, ancak taban birden küçükse eşitsizlik işaretinin tersine döndüğünü lütfen unutmayın.
Logaritmik bir eşitsizlik rasyonel bir eşitsizliğe indirgenemiyorsa veya bir ikame kullanılarak çözülemiyorsa, bu durumda genelleştirilmiş aralık yöntemi, aşağıdaki gibidir:
- DL'yi tanımlayın;
- Eşitsizliği sağ tarafta sıfır olacak şekilde dönüştürün (mümkünse sol tarafta ortak bir paydaya azaltın, çarpanlara ayırın vb.);
- Pay ve paydanın tüm köklerini bulun ve bunları sayı eksenine çizin; eşitsizlik kesin değilse payın köklerinin üzerini boyayın, ancak her durumda paydanın köklerini noktalı olarak bırakın;
- Belirli bir aralıktaki bir sayıyı dönüştürülmüş eşitsizliğe koyarak, her bir aralıktaki ifadenin tamamının işaretini bulun. Bu durumda eksen üzerindeki noktalardan geçerken işaretlerin değiştirilmesi artık mümkün değildir. Her aralıktaki bir ifadenin işaretini, aralıktaki değeri bu ifadeye koyarak belirlemek gerekir ve her aralık için bu şekilde devam eder. Başka yolu yok (her şey bununla ilgili, genel olarak, genelleştirilmiş aralık yöntemi ile olağan yöntem arasındaki fark);
- ODZ'nin kesişimini ve eşitsizliği karşılayan aralıkları bulun, ancak eşitsizliği karşılayan bireysel noktaları (katı olmayan eşitsizliklerde payın kökleri) kaybetmeyin ve yanıtın tüm köklerini hariç tutmayı unutmayın. tüm eşitsizliklerin paydası.
- Geri
- İleri
Fizik ve matematikte BT'ye başarılı bir şekilde nasıl hazırlanılır?
Fizik ve matematikte CT'ye başarılı bir şekilde hazırlanmak için diğer şeylerin yanı sıra en önemli üç koşulu yerine getirmek gerekir:
- Bu sitedeki eğitim materyallerinde verilen tüm konuları inceleyin ve tüm testleri ve ödevleri tamamlayın. Bunu yapmak için hiçbir şeye ihtiyacınız yok: her gün üç ila dört saatinizi fizik ve matematikte CT'ye hazırlanmaya, teori çalışmaya ve problem çözmeye ayırın. Gerçek şu ki CT, sadece fizik veya matematik bilmenin yeterli olmadığı, aynı zamanda farklı konularda ve değişen karmaşıklıktaki çok sayıda problemi hızlı ve hatasız çözebilmeniz gereken bir sınavdır. İkincisi ancak binlerce problemi çözerek öğrenilebilir.
- Fizikteki tüm formülleri ve yasaları, matematikteki formülleri ve yöntemleri öğrenin. Aslında bunu yapmak da çok basit; fizikte sadece 200 kadar gerekli formül var, hatta matematikte bundan biraz daha az. Bu konuların her birinin sorunları çözmek için yaklaşık bir düzine standart yöntemi vardır. temel Seviyeöğrenilebilen zorluklar ve dolayısıyla CT'nin çoğunu tamamen otomatik olarak ve zorluk çekmeden doğru zamanda çözer. Bundan sonra sadece en zor görevleri düşünmeniz gerekecek.
- Fizik ve matematikte prova testinin üç aşamasına da katılın. Her iki seçeneğe de karar vermek için her RT iki kez ziyaret edilebilir. Yine CT'de sorunları hızlı ve verimli bir şekilde çözme becerisinin yanı sıra formül ve yöntem bilgisine ek olarak, zamanı doğru bir şekilde planlayabilmeniz, kuvvetleri dağıtabilmeniz ve en önemlisi cevap formunu hiçbir şey yapmadan doğru bir şekilde doldurabilmeniz gerekir. Cevapların ve sorunların sayısını veya kendi soyadınızı karıştırmak. Ayrıca RT sırasında, DT'deki hazırlıksız bir kişiye çok alışılmadık gelebilecek problemlerde soru sorma tarzına alışmak önemlidir.
Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması CT'ye çıkmanıza olanak sağlayacaktır. mükemmel sonuç, yapabileceklerinizin maksimumu.
Bir hata mı buldunuz?
Bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız eğitim materyalleri, ardından lütfen e-postayla bu konu hakkında yazın. Ayrıca bir hatayı şu adrese bildirebilirsiniz: sosyal ağ(). Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.
KULLANIMDA LOGARATRİK EŞİTSİZLİKLER
Seçin Mihail Aleksandroviç
Kazakistan Cumhuriyeti Öğrencileri için Küçük Bilimler Akademisi “Iskatel”
MBOU "Sovetskaya Ortaokulu No. 1", 11. sınıf, kasaba. Sovetsky Sovetsky bölgesi
Gunko Lyudmila Dmitrievna, Belediye Bütçe Eğitim Kurumu “Sovetskaya Ortaokulu No. 1” öğretmeni
Sovyet bölgesi
Çalışmanın amacı: C3 logaritmik eşitsizliklerini standart dışı yöntemler kullanarak çözme mekanizmasının incelenmesi, ilginç gerçekler logaritma
Çalışma konusu:
3) Belirli C3 logaritmik eşitsizliklerini standart dışı yöntemler kullanarak çözmeyi öğrenin.
Sonuçlar:
İçerik
Giriş………………………………………………………………………………….4
Bölüm 1. Sorunun tarihçesi……………………………………………………...5
Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması ………………………… 7
2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi…………… 7
2.2. Rasyonalizasyon yöntemi……………………………………………………………… 15
2.3. Standart dışı ikame……………….................................................. ...... ..... 22
2.4. Tuzaklarla yapılan görevler………………………………………………………27
Sonuç……………………………………………………………………………… 30
Edebiyat……………………………………………………………………. 31
giriiş
11. sınıftayım ve temel dersin matematik olduğu bir üniversiteye girmeyi planlıyorum. Bu yüzden C bölümündeki problemlerle çok çalışıyorum. C3 görevinde, genellikle logaritmalarla ilgili standart olmayan bir eşitsizliği veya eşitsizlikler sistemini çözmem gerekiyor. Sınava hazırlanırken C3'te sunulan sınav logaritmik eşitsizliklerini çözmeye yönelik yöntem ve tekniklerin eksikliği sorunuyla karşılaştım. Çalışılan yöntemler Okul müfredatı bu konuda C3 görevlerinin çözümü için bir temel sağlamamaktadır. Matematik öğretmeni C3 ödevleri üzerinde onun rehberliğinde bağımsız olarak çalışmamı önerdi. Ayrıca şu soru da ilgimi çekti: Hayatımızda logaritmalarla karşılaşır mıyız?
Bu düşünceyle konu seçildi:
“Birleşik Devlet Sınavında Logaritmik Eşitsizlikler”
Çalışmanın amacı: C3 problemlerini standart dışı yöntemler kullanarak çözme mekanizmasının incelenmesi, logaritmayla ilgili ilginç gerçeklerin belirlenmesi.
Çalışma konusu:
1) Hakkında gerekli bilgileri bulun standart dışı yöntemler Logaritmik eşitsizliklerin çözümleri.
2) Bul Ek Bilgiler Logaritmalar hakkında.
3) Belirli C3 problemlerini standart dışı yöntemler kullanarak çözmeyi öğrenin.
Sonuçlar:
Pratik önemi, C3 problemlerini çözmek için aparatın genişletilmesinde yatmaktadır. Bu materyal bazı derslerde, kulüplerde ve matematik seçmeli derslerinde kullanılabilir.
Proje ürünü “C3 Çözümlü Logaritmik Eşitsizlikler” koleksiyonu olacaktır.
Bölüm 1. Arka Plan
16. yüzyıl boyunca, başta astronomi olmak üzere yaklaşık hesaplamaların sayısı hızla arttı. Aletlerin iyileştirilmesi, gezegen hareketlerinin incelenmesi ve diğer çalışmalar devasa, bazen çok yıllı hesaplamalar gerektiriyordu. Astronomi, tamamlanmamış hesaplamalar arasında boğulma tehlikesiyle karşı karşıyaydı. Sigortacılık gibi diğer alanlarda da zorluklar ortaya çıktı, bileşik faiz tablolarına ihtiyaç duyuldu. Farklı anlamlar yüzde. Asıl zorluk, çok basamaklı sayıların, özellikle de trigonometrik büyüklüklerin çarpılması ve bölünmesiydi.
Logaritmanın keşfi, 16. yüzyılın sonlarında iyi bilinen ilerlemelerin özelliklerine dayanıyordu. Geometrik ilerlemenin terimleri arasındaki bağlantı üzerine: q, q2, q3, ... ve aritmetik ilerleme göstergeleri 1, 2, 3,... Arşimet “Mezmur”da konuştu. Bir diğer ön koşul ise derece kavramının negatif ve kesirli üslere genişletilmesiydi. Birçok yazar, geometrik ilerlemede çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma işlemlerinin aritmetik olarak - aynı sırayla - toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye karşılık geldiğini belirtmiştir.
Burada üs olarak logaritmanın fikri ortaya çıktı.
Logaritma doktrininin gelişim tarihinde birkaç aşama geçti.
1. Aşama
Logaritmalar en geç 1594 yılında İskoç Baron Napier (1550-1617) tarafından bağımsız olarak ve on yıl sonra da İsviçreli tamirci Bürgi (1552-1632) tarafından icat edildi. Her ikisi de bu soruna farklı şekillerde yaklaşmalarına rağmen, aritmetik hesaplamalar için yeni ve kullanışlı bir araç sağlamak istiyordu. Napier logaritmik fonksiyonu kinematik olarak ifade etti ve böylece fonksiyon teorisinin yeni bir alanına girdi. Bürgi, ayrık ilerlemeleri dikkate alma temelinde kaldı. Ancak her ikisinin de logaritmasının tanımı modern logaritmanın tanımına benzememektedir. "Logaritma" (logaritma) terimi Napier'e aittir. Yunanca kelimelerin birleşiminden doğmuştur: logos - "ilişki" ve ariqmo - "sayı", yani "ilişkilerin sayısı" anlamına gelir. Napier başlangıçta farklı bir terim kullandı: numeri naturalts - "doğal sayılar" yerine numeri Artificiales - "yapay sayılar".
1615'te, Londra'daki Gresh College'da matematik profesörü olan Henry Briggs (1561-1631) ile yaptığı bir konuşmada Napier, sıfırın birin logaritması, 100'ün de on'un logaritması veya aynı anlama gelen bir sayı olarak alınmasını önerdi. şey, sadece 1. Ondalık logaritmalar ve ilk logaritmik tablolar bu şekilde basıldı. Daha sonra Briggs'in tablolarına Hollandalı kitapçı ve matematik meraklısı Adrian Flaccus (1600-1667) eklendi. Napier ve Briggs, logaritmaya herkesten daha önce gelmiş olmalarına rağmen tablolarını diğerlerinden daha sonra, 1620'de yayınladılar. Log ve Log işaretleri 1624 yılında I. Kepler tarafından tanıtıldı. “Doğal logaritma” terimi 1659 yılında Mengoli tarafından ortaya atılmış, daha sonra 1668 yılında N. Mercator tarafından ortaya atılmış ve Londralı öğretmen John Speidel 1'den 1000'e kadar sayıların doğal logaritma tablolarını “Yeni Logaritmalar” adı altında yayınlamıştır.
İlk logaritmik tablolar 1703'te Rusça olarak yayınlandı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplama hataları vardı. İlk hatasız tablolar 1857 yılında Berlin'de Alman matematikçi K. Bremiker (1804-1877) tarafından işlenerek yayımlandı.
2. aşama
Logaritma teorisinin daha da geliştirilmesi, analitik geometri ve sonsuz küçükler hesabının daha geniş bir uygulamasıyla ilişkilidir. O zamana kadar eşkenar hiperbolün karelemesi ile doğal logaritma arasındaki bağlantı kurulmuştu. Bu dönemin logaritma teorisi bazı matematikçilerin isimleriyle ilişkilendirilmiştir.
Alman matematikçi, gökbilimci ve mühendis Nikolaus Mercator bir makalesinde
"Logarithmotechnics" (1668), ln(x+1)'in açılımını veren bir seri verir.
x'in kuvvetleri:
Bu ifade onun düşünce tarzına tam olarak karşılık geliyor, ancak elbette d, ... işaretlerini değil, daha hantal bir sembolizmi kullandı. Logaritmik serilerin keşfiyle logaritmaları hesaplama tekniği değişti: sonsuz seriler kullanılarak belirlenmeye başlandı. Derslerinde" İlköğretim matematikİle en yüksek nokta Vizyon", 1907-1908'de okunduğunda F. Klein, logaritma teorisini oluşturmak için formülün başlangıç noktası olarak kullanılmasını önerdi.
Sahne 3
Logaritmik bir fonksiyonun ters fonksiyon olarak tanımı
üstel, belirli bir tabanın üssü olarak logaritma
hemen formüle edilmedi. Leonhard Euler'in Denemesi (1707-1783)
"Sonsuz Küçüklerin Analizine Giriş" (1748) daha ileri düzeyde hizmet etti
Logaritmik fonksiyonlar teorisinin gelişimi. Böylece,
Logaritmanın ilk ortaya çıkışından bu yana 134 yıl geçti
(1614'ten itibaren sayılıyor), matematikçiler tanıma gelmeden önce
Artık okul dersinin temeli olan logaritma kavramı.
Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması
2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi.
Eşdeğer geçişler
, eğer a > 1 ise
0 ise <
а <
1
Genelleştirilmiş aralık yöntemi
Bu method hemen hemen her türden eşitsizliği çözmek için en evrenseldir. Çözüm şeması şuna benzer:
1. Eşitsizliği sol taraftaki fonksiyonun olduğu forma getirin 
ve sağda 0.
2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun .
3. Fonksiyonun sıfırlarını bulun yani denklemi çöz 
(ve bir denklemi çözmek genellikle bir eşitsizliği çözmekten daha kolaydır).
4. Fonksiyonun tanım tanım kümesini ve sıfırlarını sayı doğrusu üzerinde çiziniz.
5. Fonksiyonun işaretlerini belirleyin elde edilen aralıklarda.
6. Fonksiyonun gerekli değerleri aldığı aralıkları seçin ve cevabı yazın.
Örnek 1.
Çözüm:
Aralık yöntemini uygulayalım
Neresi
Bu değerler için logaritmik işaretlerin altındaki tüm ifadeler pozitiftir.
Cevap:
Örnek 2.
Çözüm:
1 inci yol . ADL eşitsizlikle belirlenir X> 3. Bunun logaritmasını almak X 10 tabanında, şunu elde ederiz
Son eşitsizlik genişleme kuralları uygulanarak çözülebilir; Faktörleri sıfırla karşılaştırmak. Ancak, bu durumda Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıklarını belirlemek kolay
bu nedenle aralık yöntemi uygulanabilir.
İşlev F(X) = 2X(X- 3.5)lg| X- 3a süreklidir X> 3 ve bazı noktalarda kayboluyor X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Böylece fonksiyonun sabit işaret aralıklarını belirleriz. F(X):
Cevap:
2. yöntem . Aralık yönteminin fikirlerini doğrudan orijinal eşitsizliğe uygulayalım.
Bunu yapmak için ifadeleri hatırlayın A B- A c ve ( A - 1)(B- 1) bir işareti var. O zaman eşitsizliğimiz X> 3 eşitsizliğe eşdeğerdir
veya
Son eşitsizlik aralık yöntemi kullanılarak çözülür
Cevap:
Örnek 3.
Çözüm:
Aralık yöntemini uygulayalım
Cevap:
Örnek 4.
Çözüm:
2'den beri X 2 - 3X Tüm gerçekler için +3 > 0 X, O
İkinci eşitsizliği çözmek için aralık yöntemini kullanırız
İlk eşitsizlikte değiştirmeyi yaparız
sonra 2y 2 eşitsizliğine geliriz - sen - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sen-0,5 eşitsizliğini karşılayan< sen < 1.
Nereden çünkü
eşitsizliği elde ederiz
ne zaman gerçekleştirilir X, bunun için 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümünü dikkate alarak nihayet şunu elde ederiz:
Cevap:
Örnek 5.
Çözüm:
Eşitsizlik bir sistemler koleksiyonuna eşdeğerdir
veya
Aralık yöntemini kullanalım veya
Cevap:
Örnek 6.
Çözüm:
Eşitsizlik eşittir sistem
İzin vermek
Daha sonra sen > 0,
ve ilk eşitsizlik
sistem şu şekli alır
veya, ortaya çıkıyor
ikinci dereceden üç terimli çarpanlara ayrılmış,
Aralık yöntemini son eşitsizliğe uygulayarak,
çözümlerinin koşulu sağladığını görüyoruz sen> 0 hepsi olacak sen > 4.
Dolayısıyla orijinal eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:
Yani eşitsizliğin çözümlerinin hepsi
2.2. Rasyonalizasyon yöntemi.
Daha önce eşitsizlik rasyonelleştirme yöntemiyle çözülmüyordu, bilinmiyordu. Bu "yeni modern" etkili yöntemüstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözümleri" (S.I. Kolesnikova'nın kitabından alıntı)
Ve öğretmen onu tanıyor olsa bile bir korku vardı - Birleşik Devlet Sınavı uzmanı onu tanıyor mu ve neden onu okula vermiyorlar? Öğretmenin öğrenciye şöyle dediği durumlar oldu: "Nereden aldın? Otur - 2."
Şimdi bu yöntem her yerde tanıtılıyor. Ve uzmanlar için var yönergeler, bu yöntemle ilişkili ve "En eksiksiz basımlar"da tipik seçenekler..." Çözüm C3 bu yöntemi kullanıyor.
HARİKA BİR YÖNTEM!
"Sihirli Masa"
Diğer kaynaklarda
Eğer a >1 ve b >1 ise log a b >0 ve (a -1)(b -1)>0;
Eğer a >1 ve 0 eğer 0 ise<A<1 и b
>1, sonra a b'yi logla<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
eğer 0 ise<A<1 и 00 ve (a -1)(b -1)>0. Gerçekleştirilen mantık basittir ancak logaritmik eşitsizliklerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir. Örnek 4.
log x (x 2 -3)<0
Çözüm:
Örnek 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x) Çözüm: Örnek 6.
Bu eşitsizliği çözmek için payda yerine (x-1-1)(x-1), pay yerine de (x-1)(x-3-9 + x) çarpımını yazıyoruz. Örnek 7.
Örnek 8.
2.3. Standart olmayan ikame. Örnek 1.
Örnek 2.
Örnek 3.
Örnek 4.
Örnek 5.
Örnek 6.
Örnek 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 y=3 x -1 yerine koyalım; o zaman bu eşitsizlik şu şekli alacaktır Günlük 4 günlük 0,25 Çünkü günlük 0,25 t =log 4 y'yi yerine koyalım ve t 2 -2t +≥0 eşitsizliğini elde edelim; bunun çözümü - Böylece, y'nin değerlerini bulmak için elimizde iki basit eşitsizlik var Bu nedenle, orijinal eşitsizlik iki üstel eşitsizlik kümesine eşdeğerdir, Bu kümenin ilk eşitsizliğinin çözümü 0 aralığıdır.<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Örnek 8.
Çözüm:
Eşitsizlik eşittir sistem ODZ'yi tanımlayan ikinci eşitsizliğin çözümü, bunların kümesi olacaktır. X,
hangisi için X > 0.
İlk eşitsizliği çözmek için ikameyi yaparız Sonra eşitsizliği elde ederiz veya Son eşitsizliğin çözüm kümesi şu yöntemle bulunur: aralıklar: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, alıyoruz veya Bunların çoğu X son eşitsizliği sağlayan ODZ'ye aittir ( X> 0), dolayısıyla sistemin bir çözümüdür, ve dolayısıyla orijinal eşitsizlik. Cevap: 2.4. Tuzaklarla görevler. Örnek 1.
Çözüm. Eşitsizliğin ODZ'si 0 koşulunu sağlayan x'tir Örnek 2.
günlük 2 (2 x +1-x 2)>günlük 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Cevap. (0; 0,5)U.
Cevap :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y ise son eşitsizliği 2log 4 y -log 4 2 y ≤ olarak yeniden yazarız.
Bu kümenin çözümü 0 aralığıdır.<у≤2 и 8≤у<+.
yani agregalar 
. Böylece orijinal eşitsizlik, 0 aralığından itibaren x'in tüm değerleri için sağlanır.<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Bu nedenle tüm x'ler 0 aralığındadır
Çözüm
Çok sayıda farklı eğitim kaynağından C3 problemlerini çözmek için özel yöntemler bulmak kolay değildi. Yapılan çalışma sırasında karmaşık logaritmik eşitsizliklerin çözümü için standart olmayan yöntemler üzerinde çalışabildim. Bunlar: eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi, rasyonelleştirme yöntemi , standart dışı ikame , ODZ'de tuzaklı görevler. Bu yöntemler okul müfredatında yer almamaktadır.
Farklı yöntemler kullanarak Birleşik Devlet Sınavı'nın C bölümünde yani C3'te önerilen 27 eşitsizliği çözdüm. Yöntemlerle çözümlenen bu eşitsizlikler, faaliyetimin proje ürünü olan “C3 Çözümlü Logaritmik Eşitsizlikler” koleksiyonunun temelini oluşturdu. Projenin başında ortaya koyduğum hipotez doğrulandı: Bu yöntemleri biliyorsanız C3 problemleri etkili bir şekilde çözülebilir.
Ayrıca logaritmalarla ilgili ilginç gerçekleri keşfettim. Bunu yapmak benim için ilginçti. Proje ürünlerim hem öğrencilere hem de öğretmenlere faydalı olacaktır.
Sonuçlar:
Böylece proje hedefine ulaşılmış ve sorun çözülmüştür. Ve işin her aşamasında proje faaliyetleri konusunda en eksiksiz ve çeşitli deneyimi aldım. Proje üzerinde çalışırken ana gelişimsel etkim zihinsel yeterlilik, mantıksal zihinsel işlemlerle ilgili faaliyetler, yaratıcı yeterliliğin gelişimi, kişisel inisiyatif, sorumluluk, azim ve aktivite üzerinde oldu.
Bir araştırma projesi oluştururken başarı garantisi Kazandığım şeyler: önemli bir okul deneyimi, çeşitli kaynaklardan bilgi edinme, güvenilirliğini kontrol etme ve onu önem derecesine göre sıralama yeteneği.
Matematikteki doğrudan konu bilgilerinin yanı sıra bilgisayar bilimleri alanındaki pratik becerilerimi genişlettim, psikoloji alanında yeni bilgi ve deneyimler kazandım, sınıf arkadaşlarımla bağlantılar kurdum, yetişkinlerle işbirliği yapmayı öğrendim. Proje faaliyetleri sırasında organizasyonel, entelektüel ve iletişimsel genel eğitim becerileri geliştirildi.
Edebiyat
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Tek değişkenli eşitsizlik sistemleri (standart görevler C3).
2. Malkova A. G. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık.
3. Samarova S. S. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü.
4. Matematik. A.L. tarafından düzenlenen eğitim çalışmaları koleksiyonu. Semenov ve I.V. Yaşçenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
Logaritmik eşitsizlikler
Önceki derslerde logaritmik denklemlerle tanışmıştık ve artık bunların ne olduğunu ve nasıl çözüleceğini biliyoruz. Bugünün dersi logaritmik eşitsizliklerin incelenmesine ayrılacak. Bu eşitsizlikler nelerdir ve logaritmik bir denklem ile bir eşitsizliği çözmek arasındaki fark nedir?
Logaritmik eşitsizlikler, logaritma işaretinin altında veya tabanında görünen bir değişkene sahip olan eşitsizliklerdir.
Veya logaritmik bir eşitsizliğin, logaritmik bir denklemde olduğu gibi bilinmeyen değerinin logaritmanın işareti altında görüneceği bir eşitsizlik olduğunu da söyleyebiliriz.
En basit logaritmik eşitsizlikler aşağıdaki forma sahiptir:
burada f(x) ve g(x), x'e bağlı bazı ifadelerdir.
Şu örneği kullanarak buna bakalım: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme
Logaritmik eşitsizlikleri çözmeden önce, çözüldüklerinde üstel eşitsizliklere benzer olduklarını belirtmekte fayda var:
Öncelikle logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçerken logaritmanın tabanını da bir ile karşılaştırmamız gerekir;
İkinci olarak, değişkenlerin değişimini kullanarak logaritmik bir eşitsizliği çözerken, en basit eşitsizliği elde edene kadar eşitsizlikleri değişime göre çözmemiz gerekir.
Ama sen ve ben logaritmik eşitsizlikleri çözmenin benzer yönlerini düşündük. Şimdi oldukça önemli bir farklılığa dikkat edelim. Logaritmik fonksiyonun sınırlı bir tanım alanına sahip olduğunu biliyoruz, bu nedenle logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçerken izin verilen değer aralığını (ADV) dikkate almamız gerekir.
Yani logaritmik bir denklemi çözerken siz ve benim önce denklemin köklerini bulabileceğimiz ve sonra bu çözümü kontrol edebileceğimiz dikkate alınmalıdır. Ancak logaritmik bir eşitsizliği çözmek bu şekilde işe yaramayacaktır, çünkü logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçerken eşitsizliğin ODZ'sini yazmak gerekecektir.
Ayrıca eşitsizlikler teorisinin 0 sayısının yanı sıra pozitif ve negatif sayılar olan reel sayılardan oluştuğunu da hatırlamakta fayda var.
Örneğin, “a” sayısı pozitif olduğunda şu gösterimi kullanmanız gerekir: a >0. Bu durumda bu sayıların hem toplamı hem de çarpımı pozitif olacaktır.
Bir eşitsizliği çözmenin temel ilkesi, onu daha basit bir eşitsizlikle değiştirmektir, ancak asıl önemli olan, verilen eşitsizlikle eşdeğer olmasıdır. Ayrıca bir eşitsizlik elde ettik ve onu yine daha basit bir forma sahip olanla değiştirdik, vb.
Bir değişkenle eşitsizlikleri çözerken tüm çözümlerini bulmanız gerekir. İki eşitsizlik aynı x değişkenine sahipse, bu tür eşitsizlikler, çözümlerinin çakışması koşuluyla eşdeğerdir.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme görevlerini yerine getirirken, a> 1 olduğunda logaritmik fonksiyonun arttığını ve 0 olduğunda şunu hatırlamanız gerekir:< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri
Şimdi logaritmik eşitsizliklerin çözümünde kullanılan bazı yöntemlere bakalım. Daha iyi anlaşılması ve özümsenmesi için bunları belirli örneklerle anlamaya çalışacağız.
Hepimiz en basit logaritmik eşitsizliğin aşağıdaki forma sahip olduğunu biliyoruz:
Bu eşitsizlikte V – aşağıdaki eşitsizlik işaretlerinden biridir:<,>, ≤ veya ≥.
Belirli bir logaritmanın tabanı birden büyük olduğunda (a>1), logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçiş yaparak, bu versiyonda eşitsizlik işareti korunur ve eşitsizlik aşağıdaki forma sahip olacaktır:
bu sisteme eşdeğerdir:
Logaritmanın tabanının sıfırdan büyük ve birden küçük olması durumunda (0 Bu, bu sisteme eşdeğerdir: Aşağıdaki resimde gösterilen en basit logaritmik eşitsizliklerin çözümüne ilişkin daha fazla örneğe bakalım: Egzersiz yapmak. Bu eşitsizliği çözmeye çalışalım: Kabul edilebilir değer aralığının çözümü. Şimdi sağ tarafını şununla çarpmaya çalışalım: Gelin neler bulabileceğimize bir bakalım: Şimdi sublogaritmik ifadeleri dönüştürmeye geçelim. Logaritmanın tabanı 0 olduğundan< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Ve bundan, elde ettiğimiz aralığın tamamen ODZ'ye ait olduğu ve böyle bir eşitsizliğin çözümü olduğu sonucu çıkıyor. İşte aldığımız cevap: Şimdi logaritmik eşitsizlikleri başarıyla çözmek için neye ihtiyacımız olduğunu analiz etmeye çalışalım. Öncelikle tüm dikkatinizi yoğunlaştırın ve bu eşitsizlikte verilen dönüşümleri gerçekleştirirken hata yapmamaya çalışın. Ayrıca bu tür eşitsizlikleri çözerken, eşitsizliklerin yabancı çözümlerin kaybına veya edinilmesine yol açabilecek genişleme ve daralmalarından kaçınmak gerektiği de unutulmamalıdır. İkinci olarak, logaritmik eşitsizlikleri çözerken, mantıksal düşünmeyi öğrenmeniz ve eşitsizlik sistemi ile bir eşitsizlik kümesi gibi kavramlar arasındaki farkı anlamanız gerekir; böylece DL'nin rehberliğinde eşitsizliğin çözümlerini kolayca seçebilirsiniz. Üçüncüsü, bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözmek için, her birinizin temel fonksiyonların tüm özelliklerini mükemmel bir şekilde bilmesi ve anlamlarını açıkça anlaması gerekir. Bu tür işlevler yalnızca logaritmik değil, aynı zamanda rasyonel, güç, trigonometrik vb. Tek kelimeyle okul cebiri sırasında okuduğunuz tüm işlevleri içerir. Gördüğünüz gibi logaritmik eşitsizlikler konusunu inceledikten sonra, hedeflerinize ulaşmada dikkatli ve ısrarcı olmanız koşuluyla bu eşitsizlikleri çözmede zor bir şey yoktur. Eşitsizlikleri çözmede herhangi bir sorundan kaçınmak için, mümkün olduğunca pratik yapmanız, çeşitli görevleri çözmeniz ve aynı zamanda bu tür eşitsizlikleri çözmenin temel yöntemlerini ve sistemlerini hatırlamanız gerekir. Logaritmik eşitsizlikleri çözemezseniz, gelecekte tekrar dönmemek için hatalarınızı dikkatlice analiz etmelisiniz. Konuyu daha iyi anlamak ve kapsanan materyali pekiştirmek için aşağıdaki eşitsizlikleri çözün:
Örnekleri Çözme
3x > 24;
x > 8. 
Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için neye ihtiyaç vardır?
Ev ödevi
