Kanıt:
İlk önce dizinin durumu için teoremi kanıtlayalım 
Newton'un binom formülüne göre:
Aldığımızı varsayarsak
Bu eşitlikten (1), n arttıkça sağ taraftaki pozitif terimlerin sayısının arttığı sonucu çıkar. Ayrıca n arttıkça sayı azalacağından değerler 
Artıyor. Bu nedenle sıra 
artan ve (2)*sınırlı olduğunu gösteriyoruz. Eşitliğin sağ tarafındaki her parantezi bir ile değiştirin, sağ taraf artacak ve eşitsizliği elde edeceğiz
Ortaya çıkan eşitsizliği güçlendirelim, kesirlerin paydalarındaki 3,4,5, ... yerine 2 sayısını koyalım: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak parantez içindeki toplamı buluyoruz: Öyleyse 
(3)*
Yani dizi yukarıdan sınırlanmıştır ve (2) ve (3) eşitsizlikleri sağlanmıştır: 
Bu nedenle Weierstrass teoremine (bir dizinin yakınsaklık kriteri) dayanarak dizi 
monoton olarak artar ve sınırlıdır, yani e harfiyle gösterilen bir limiti vardır. Onlar. 
İkinci dikkat çekici limitin x'in doğal değerleri için doğru olduğunu bilerek, reel x için ikinci dikkat çekici limiti kanıtlıyoruz, yani şunu kanıtlıyoruz: 
. İki durumu ele alalım:
1. X'in her değeri iki pozitif tamsayı arasında olsun: Bütün parça X. => =>
Eğer , o zaman Bu nedenle, limite göre 
Sahibiz
Limitlerin varlığına ilişkin kritere (bir ara fonksiyonun limiti hakkında) dayanarak 
2. Let . Değiştirmeyi − x = t yapalım, o zaman
Bu iki durumdan şu sonuç çıkıyor 
gerçek x için.
Sonuçlar:
9 .) Sonsuz küçüklerin karşılaştırılması. Sonsuz küçüklerin limitteki eşdeğerleriyle değiştirilmesine ilişkin teorem ve sonsuz küçüklerin ana kısmına ilişkin teorem.
Fonksiyonlar a( X) ve B( X) – b.m. en X ® X 0 .
TANIMLAR.
1 A( X) isminde sonsuz küçük daha fazla yüksek sipariş Nasıl B (X) Eğer
Şunu yazın: a( X) = o(b( X)) .
2)bir( X) Ve B( X)arandı aynı mertebeden sonsuz küçükler, Eğer
nerede CÎℝ ve C¹ 0 .
Şunu yazın: a( X) = Ö(B( X)) .
3 A( X) Ve B( X) arandı eş değer , Eğer
Şunu yazın: a( X) ~ b( X).
4)bir( X) k mertebesinden sonsuz küçük denir göreceli
kesinlikle sonsuz küçük B( X),
eğer sonsuz küçükse A( X)Ve(B( X)) k aynı sıraya sahip, yani Eğer
nerede CÎℝ ve C¹ 0 .
TEOREM 6 (sonsuz küçüklerin eşdeğer olanlarla değiştirilmesi üzerine).
İzin vermek A( X), B( X), bir 1 ( X), b1 ( X)– b.m. x'te ® X 0 . Eğer A( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X),
O 
Kanıt: a( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X), Daha sonra
TEOREM 7 (sonsuz küçüğün ana kısmı hakkında).
İzin vermek A( X)Ve B( X)– b.m. x'te ® X 0 , Ve B( X)– b.m. bundan daha yüksek sıra A( X).
= , a beri b( X) – a(’dan daha yüksek sıra) X), o zaman, yani. 
itibaren açıktır ki bir ( X) + b( X) ~ bir( X)
10) Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği (epsilon-delta dilinde, geometrik sınırlar) Tek taraflı süreklilik. Bir aralıkta, bir segmentte süreklilik. Sürekli fonksiyonların özellikleri.
1. Temel tanımlar
İzin vermek F(X) noktanın bazı komşuluklarında tanımlanır X 0 .
TANIM 1. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 eşitlik doğruysa
Notlar.
1) Teorem 5 §3'e göre eşitlik (1) şu şekilde yazılabilir:
Durum (2) – tek taraflı limitler dilinde bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinin tanımı.
2) Eşitlik (1) şu şekilde de yazılabilir:
Şöyle diyorlar: “Eğer bir fonksiyon bir noktada sürekli ise X 0 ise limitin ve fonksiyonun işareti yer değiştirebilir."
TANIM 2 (e-d dilinde).
Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 Eğer"e>0 $d>0 çok, Ne
eğer xОU( X 0 , d) (yani | X – X 0 | < d),
sonra f(X)ÎU( F(X 0), e) (yani | F(X) – F(X 0) | < e).
İzin vermek X, X 0 Î D(F) (X 0 – sabit, X - keyfi)
belirtelim :D X= x – x 0 – argüman artışı
D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – x noktasında fonksiyonun arttırılması 0
TANIM 3 (geometrik).
Fonksiyon f(X) Açık isminde bir noktada sürekli
X 0
eğer bu noktada argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa yani
Fonksiyona izin ver F(X) aralıkta tanımlanır [ X 0 ; X 0 + d) (aralığında ( X 0 – d; X 0 ]).
TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli
X 0 sağda
(sol
), eşitlik doğruysa
Açıkça görülüyor ki F(X) noktasında süreklidir X 0 Û F(X) noktasında süreklidir X 0 sağa ve sola.
TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir aralık boyunca sürekli e ( A; B) eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.
Fonksiyon f(X) segmentte sürekli olarak adlandırılır [A; B] aralıkta sürekli ise (A; B) ve sınır noktalarında tek yönlü sürekliliğe sahiptir(yani noktada sürekli A sağda, bu noktada B- sol).
11) Kırılma noktaları, sınıflandırılması
TANIM. Eğer fonksiyon f(X) x noktasının bazı komşuluklarında tanımlı 0 , ancak bu noktada sürekli değil, o zaman F(X) x noktasında süreksiz denir 0 , ve konunun kendisi X 0 kırılma noktası denir işlevler f(X) .
Notlar.
1) F(X) noktanın tamamlanmamış bir komşuluğunda tanımlanabilir X 0 .
Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen tek taraflı sürekliliğini düşünün.
2) Þ noktasının tanımından X 0 fonksiyonun kırılma noktasıdır F(X) iki durumda:
a) U( X 0 , d)О D(F) , ama için F(X) eşitlik geçerli değildir
b) U * ( X 0 , d)О D(F) .
Temel fonksiyonlar için yalnızca b) durumu mümkündür.
İzin vermek X 0 – fonksiyon kırılma noktası F(X) .
TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası BEN bir nevi eğer fonksiyon f(X)bu noktada solda ve sağda sonlu limitler var.
Bu sınırlar eşitse x noktası 0 isminde çıkarılabilir kırılma noktası , aksi takdirde - atlama noktası .
TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası II bir nevi f fonksiyonunun tek taraflı limitlerinden en az biri ise(X)bu noktada eşit¥ veya mevcut değil.
12) Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri (Weierstrass teoremleri (kanıtsız) ve Cauchy
Weierstrass teoremi
f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli olsun, o zaman
1)f(x) şununla sınırlıdır
2)f(x) aralıktaki en küçük değerini alır ve en yüksek değer
Tanım: Herhangi bir x€ D(f) için m≤f(x) ise m=f fonksiyonunun değerine en küçük değer denir.
Herhangi bir x € D(f) için m≥f(x) ise m=f fonksiyonunun değerinin en büyük olduğu söylenir.
Fonksiyon, segmentin çeşitli noktalarında en küçük/en büyük değeri alabilir.
f(x 3)=f(x 4)=maks
Cauchy'nin teoremi.
f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde sürekli olsun ve x, f(a) ile f(b) arasında bulunan sayı olsun, o zaman f(x 0)= g olacak şekilde en az bir x 0 noktası vardır.
"Dikkate değer limit" terimi ders kitaplarında yaygın olarak kullanılmaktadır ve metodolojik kılavuzlarönemli ölçüde yardımcı olan önemli kimlikleri belirtmek işinizi basitleştirin sınırları bulma konusunda.
Ama getirebilmek Harika olanın sınırı, ona iyi bakmak lazım, çünkü onlar yok doğrudan biçim ve çoğu zaman ek şartlar ve faktörlerle donatılmış sonuçlar şeklinde. Ancak önce teori, sonra örnekler ve başaracaksınız!
İlk harika sınır
Beğendiniz mi? Yer imlerine ekle
Dikkate değer ilk limit şu şekilde yazılır ($0/0$ formundaki belirsizlik):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
İlk dikkate değer limitten elde edilen sonuçlar
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$Örnek çözümler: 1 harika limit
Örnek 1. Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Çözüm.İlk adım her zaman aynıdır - $x=0$ limit değerini fonksiyona koyarız ve şunu elde ederiz:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Açıklanması gereken $\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Yakından bakıldığında orijinal sınırın ilk dikkate değer olana çok benzediği ancak aynı olmadığı görülür. Bizim görevimiz onu benzerliğe getirmektir. Bunu şu şekilde dönüştürelim - sinüsün altındaki ifadeye bakın, aynısını payda için de yapın (göreceli olarak konuşursak, $3x$ ile çarpın ve bölün), ardından azaltın ve basitleştirin:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Yukarıda tam olarak dikkate değer ilk sınır yer almaktadır: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y) ))(y)=1, \text( koşullu bir değişiklik yapıldı ) y=3x. $$ Cevap: $3/8$.
Örnek 2. Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Çözüm.$x=0$ sınır değerini fonksiyona koyarız ve şunu elde ederiz:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\sağ].$$
$\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Sadeleştirmede ilk harika limiti (üç kez!) kullanarak limiti dönüştürelim:
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Cevap: $9/16$.
Örnek 3. Limiti bulun $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Çözüm. Trigonometrik fonksiyonun altında karmaşık bir ifade varsa ne olur? Önemli değil ve burada da aynı şekilde davranıyoruz. Öncelikle belirsizliğin türünü kontrol edelim, fonksiyona $x=0$ koyalım ve şunu elde edelim:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
$\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Çarp ve $2x^3+3x$ ile böl:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$
Yine belirsizlikle karşı karşıyayız, ancak bu durumda bu sadece bir kısımdır. Pay ve paydayı $x$ azaltalım:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ kesir(3)(5). $$
Cevap: $3/5$.
İkinci harika sınır
Dikkate değer ikinci limit şu şekilde yazılır ($1^\infty$ formundaki belirsizlik):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(veya) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$
İkinci dikkate değer sınırın sonuçları
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$Çözüm örnekleri: 2 harika limit
Örnek 4. Limiti bulun $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Çözüm. Belirsizliğin türünü kontrol edelim, fonksiyona $x=\infty$ koyalım ve şunu elde edelim:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
$\left$ formunda bir belirsizlik elde ettik. Sınır ikinci dikkat çekici şeye indirgenebilir. Hadi dönüştürelim:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
Parantez içindeki ifade aslında ikinci dikkate değer limittir $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= - 3x/2$, yani
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Cevap:$e^(-2/3)$.
Örnek 5. $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ limitini bulun. $
Çözüm. Fonksiyonda $x=\infty$ yerine koyarız ve $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ederiz. Ve $\left$'a ihtiyacımız var. O halde parantez içindeki ifadeyi dönüştürerek başlayalım:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
Parantez içindeki ifade aslında ikinci dikkate değer limittir $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dolayısıyla
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Bu madde: “İkinci Dikkate Değer Sınır”, şeklin belirsizlikleri çerçevesinde açıklamaya ayrılmıştır:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ve $ ^\infty $.
Ayrıca bu tür belirsizlikler logaritma üstel kullanılarak ortaya çıkarılabilir. güç fonksiyonu, ancak bu başka bir makalede ele alınacak farklı bir çözüm yöntemidir.
Formül ve sonuçları
Formül ikinci dikkat çekici limit şu şekilde yazılır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( Where ) e \approx 2,718 $$
Formülden şu çıkıyor sonuçlar limitli örnekleri çözmek için kullanımı çok uygundur: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( burada ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
İkinci dikkat çekici limitin her zaman üstel bir fonksiyona uygulanamayacağını, yalnızca tabanın birliğe eğilimli olduğu durumlarda uygulanabileceğini belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için önce tabanın sınırını zihinsel olarak hesaplayın ve ardından sonuçlar çıkarın. Bütün bunlar örnek çözümlerde tartışılacaktır.
Çözüm örnekleri
Doğrudan formülü ve sonuçlarını kullanan çözüm örneklerine bakalım. Formülün gerekli olmadığı durumları da analiz edeceğiz. Sadece hazır bir cevabı yazmanız yeterlidir.
| örnek 1 |
| Limiti bulun $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Çözüm |
|
Sınırın içine sonsuzluğu koyalım ve belirsizliğe bakalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Tabanın limitini bulalım: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x))))(x(1+\frac(3)(x)))) = 1 $$ Bire eşit bir taban elde ettik, bu da ikinci dikkate değer limiti zaten uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu yapmak için fonksiyonun tabanını formüle bir çıkarıp bir ekleyerek ayarlayalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ İkinci sonuca bakalım ve cevabı yazalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. biz sağlayacağız detaylı çözüm. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır! |
| Cevap |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Örnek 4 |
| Limiti çözün $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Çözüm |
|
Tabanın limitini buluyoruz ve $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ olduğunu görüyoruz, bu da ikinci dikkat çekici limiti uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Standart plana göre derecenin tabanından bir tane ekleyip çıkarıyoruz: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kesri 2. notanın formülüne göre ayarlıyoruz. sınır: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Şimdi dereceyi ayarlayalım. Kuvvet $ \frac(3x^2-2)(6) $ tabanının paydasına eşit bir kesir içermelidir. Bunu yapmak için dereceyi çarpıp bölün ve çözmeye devam edin: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ üssünde yer alan limit şuna eşittir: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Bu nedenle elimizdeki çözüme devam ediyoruz: |
| Cevap |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Sorunun ikinci dikkate değer limite benzer olduğu ancak bu olmadan da çözülebileceği durumları inceleyelim.
“İkinci Dikkate Değer Limit: Çözüm Örnekleri” başlıklı makalede formül, sonuçları incelenmiş ve bu konudaki yaygın problem türleri verilmiştir.
İkinci dikkate değer limitin formülü şöyledir: lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Başka bir yazma şekli şuna benzer: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
İkinci dikkat çekici limitten bahsederken, 1 ∞ formunun belirsizliğiyle uğraşmak zorundayız, yani. sonsuz derecede birlik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
İkinci dikkate değer limiti hesaplama yeteneğinin faydalı olacağı problemleri ele alalım.
örnek 1
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 limitini bulun.
Çözüm
Hadi değiştirelim gerekli formül ve hesaplamaları gerçekleştirin.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Cevabımız sonsuzluğun kuvvetinin bir olduğu ortaya çıktı. Çözüm yöntemini belirlemek için belirsizlik tablosunu kullanırız. Dikkate değer ikinci limiti seçip değişkenlerde değişiklik yapalım.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Eğer x → ∞ ise t → - ∞ olur.
Bakalım değişimden sonra ne elde ettik:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Cevap: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Örnek 2
Lim x → ∞ x - 1 x + 1 x limitini hesaplayın.
Çözüm
Sonsuzluğu yerine koyalım ve aşağıdakini elde edelim.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Cevapta yine önceki problemdekiyle aynı şeyi elde ettik, dolayısıyla ikinci dikkat çekici limiti tekrar kullanabiliriz. Daha sonra güç fonksiyonunun tabanındaki parçanın tamamını seçmemiz gerekiyor:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Bundan sonra limit aşağıdaki formu alır:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Değişkenleri değiştirin. Diyelim ki t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; eğer x → ∞ ise t → ∞.
Bundan sonra orijinal limitte ne elde ettiğimizi yazıyoruz:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Bu dönüşümü gerçekleştirmek için limitlerin ve kuvvetlerin temel özelliklerini kullandık.
Cevap: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Örnek 3
Lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 limitini hesaplayın.
Çözüm
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Daha sonra fonksiyonu ikinci büyük limiti uygulayacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Aşağıdakileri aldık:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Artık kesrin pay ve paydasında aynı üslere sahip olduğumuz için (altıya eşit), kesrin sonsuzdaki limiti bu katsayıların daha yüksek kuvvetlerdeki oranına eşit olacaktır.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2x2 + 2x3 + 2x2 - 1x3 + 2x2 - 1 - 2x2 + 2 - 3
t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2'yi değiştirerek ikinci bir dikkate değer limit elde ederiz. Ne demek:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Cevap: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
sonuçlar
Belirsizlik 1 ∞, yani. Sonsuz bir kuvvete birlik bir kuvvet yasası belirsizliğidir, bu nedenle üstel kuvvet fonksiyonlarının sınırlarını bulma kuralları kullanılarak ortaya çıkarılabilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Dikkate değer birçok sınır vardır, ancak en ünlüsü birinci ve ikinci dikkat çekici sınırlardır. Bu limitlerin dikkat çekici yanı, bunların yaygın olarak kullanılması ve onların yardımıyla, burada bulunan diğer limitleri de bulmanızdır. çok sayıda görev. Bu dersin pratik kısmında yapacağımız şey budur. Problemleri birinci veya ikinci dikkate değer limite indirerek çözmek için, bu limitlerin değerleri uzun zamandır büyük matematikçiler tarafından çıkarıldığı için, içerdikleri belirsizlikleri ortaya çıkarmaya gerek yoktur.
İlk harika sınır sonsuz küçük bir yayın sinüsünün aynı yaya oranının radyan ölçüsüyle ifade edilen limiti denir:
İlk dikkat çekici sınırdaki problemleri çözmeye geçelim. Not: Limit işaretinin altında trigonometrik bir fonksiyon varsa bu, bu ifadenin dikkate değer ilk limite indirgenebileceğinin neredeyse kesin bir işaretidir.
Örnek 1. Limiti bulun.
Çözüm. Bunun yerine oyuncu değişikliği X sıfır belirsizliğe yol açar:
.
Payda sinüs olduğundan ifade ilk dikkate değer limite getirilebilir. Dönüşüme başlayalım:
.
Payda üç X'in sinüsüdür, ancak payda yalnızca bir X vardır, bu da payda üç X almanız gerektiği anlamına gelir. Ne için? 3'ü tanıtmak X = A ve ifadeyi alın.
Ve ilk dikkate değer sınırın bir varyasyonuna geliyoruz:
çünkü bu formülde X yerine hangi harfin (değişkenin) durduğunun bir önemi yok.
X'i üçle çarpıyoruz ve hemen bölüyoruz:
.
Dikkat çeken ilk sınıra uygun olarak kesirli ifadeyi değiştiriyoruz:
Artık nihayet bu sınırı çözebiliriz:
.
Örnek 2. Limiti bulun.
Çözüm. Doğrudan ikame yine "sıfır bölü sıfır" belirsizliğine yol açar:
.
İlk dikkate değer limiti elde etmek için payda sinüs işaretinin altındaki x ile paydada sadece x'in aynı katsayıya sahip olması gerekir. Bu katsayı 2'ye eşit olsun. Bunu yapmak için x'in mevcut katsayısını aşağıdaki gibi hayal edin, kesirlerle işlemler yaparak şunu elde ederiz:
.
Örnek 3. Limiti bulun.
Çözüm. Yerine koyarken yine "sıfır bölü sıfır" belirsizliğini elde ederiz:
.
Muhtemelen zaten orijinal ifadeden, ilk harika limit ile ilk harika limitin çarpımını elde edebileceğinizi anlıyorsunuz. Bunu yapmak için paydaki x'in ve paydadaki sinüsün karelerini aynı çarpanlara ayırıyoruz ve x ve sinüs için aynı katsayıları elde etmek için paydaki x'i 3'e bölüp hemen çarpıyoruz. 3'e kadar. Şunu elde ederiz:
.
Örnek 4. Limiti bulun.
Çözüm. Bir kez daha "sıfır bölü sıfır" belirsizliğini elde ediyoruz:
.
İlk iki dikkate değer limitin oranını elde edebiliriz. Hem payı hem de paydayı x'e bölüyoruz. Daha sonra, sinüs ve x'lerin katsayıları çakışacak şekilde, üstteki x'i 2 ile çarpıp hemen 2'ye böleriz, alttaki x'i 3 ile çarpıp hemen 3'e böleriz. Şunu elde ederiz:
Örnek 5. Limiti bulun.
Çözüm. Ve yine “sıfır bölü sıfır”ın belirsizliği:
Trigonometriden tanjantın sinüsün kosinüse oranı olduğunu ve sıfırın kosinüsünün bire eşit olduğunu hatırlıyoruz. Dönüşümleri gerçekleştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:
.
Örnek 6. Limiti bulun.
Çözüm. Limit işareti altındaki trigonometrik fonksiyon yine ilk dikkate değer limitin kullanılmasını önerir. Bunu sinüsün kosinüse oranı olarak temsil ediyoruz.
