Karışık açılar. Hangi açılara bitişik denir? Komşu iki açının toplamı kaçtır?

Geometri dersinin işlenmesi sürecinde “açı”, “ dikey açılar”, “bitişik açılar” oldukça sık bulunur. Terimlerin her birini anlamak, sorunu anlamanıza ve doğru şekilde çözmenize yardımcı olacaktır. Komşu açılar nelerdir ve nasıl belirlenir?

Bitişik açılar - kavramın tanımı

"Bitişik açılar" terimi, ortak bir ışının oluşturduğu iki açıyı ve aynı düz çizgi üzerinde yer alan iki ek yarım çizgiyi karakterize eder. Üç ışın da aynı noktadan çıkıyor. Ortak bir yarım çizgi aynı anda hem bir hem de diğer açının bir tarafıdır.

Bitişik açılar - temel özellikler

1. Bitişik açıların formülasyonuna dayanarak, bu açıların toplamının her zaman derece ölçüsü 180° olan bir ters açı oluşturduğunu fark etmek kolaydır:

• Eğer μ ve η komşu açılar ise μ + η = 180° olur.
• Komşu açılardan birinin (örneğin μ) büyüklüğünü bildiğinizde, η = 180° – μ ifadesini kullanarak ikinci açının (η) derece ölçüsünü kolayca hesaplayabilirsiniz.

2. Açıların bu özelliği şu sonuca varmamızı sağlar: Dik açıya komşu olan açı da dik olacaktır.

3. Komşu açılar μ ve η için indirgeme formüllerine dayanan trigonometrik fonksiyonlar (sin, cos, tg, ctg) dikkate alındığında aşağıdakiler doğrudur:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Bitişik açılar - örnekler

örnek 1

Köşeleri M, P, Q – ΔMPQ olan bir üçgen veriliyor. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM açılarına komşu açıları bulun.

• Üçgenin her iki kenarını da düz bir çizgiyle uzatalım.
• Bitişik açıların birbirini ters açıya kadar tamamladığını bildiğimizden şunu buluruz:

∠QMP açısına komşu olan ∠LMP'dir,

∠MPQ açısına komşu olan ∠SPQ'dur,

∠PQM açısının komşusu ∠HQP'dir.

Örnek 2

Komşu açılardan birinin değeri 35°'dir. İkinci komşu açının derece ölçüsü nedir?

• İki bitişik açının toplamı 180°'ye eşittir.
• ∠μ = 35° ise, ona komşu olan ∠η = 180° – 35° = 145° olur.

Örnek 3

Komşu açılardan birinin derece ölçüsünün diğerinin derece ölçüsünden üç kat büyük olduğu biliniyorsa, komşu açıların değerlerini belirleyiniz.

• Bir (daha küçük) açının büyüklüğünü – ∠μ = λ ile gösterelim.
• O halde problemin koşullarına göre ikinci açının değeri ∠η = 3λ olacaktır.
• Komşu açıların temel özelliğine göre μ + η = 180° aşağıdaki gibidir

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Bu, birinci açının ∠μ = λ = 45°, ikinci açının ise ∠η = 3λ = 135° olduğu anlamına gelir.

Terminolojiyi kullanma yeteneği ve bitişik açıların temel özelliklerine ilişkin bilgi, birçok geometrik problemi çözmenize yardımcı olacaktır.

Bir kenarları ortak olan iki açıya bitişik denir ve bu açıların diğer kenarları tamamlayıcı ışınlardır. Şekil 20'de AOB ve BOC açıları komşudur.

Komşu açıların toplamı 180°

Teorem 1. Komşu açıların toplamı 180°'dir.

Kanıt. OB kirişi (bkz. Şekil 1) açılmamış açının kenarları arasından geçer. Bu yüzden ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Teorem 1'den, eğer iki açı eşitse, komşu açılarının da eşit olduğu sonucu çıkar.

Dikey açılar eşittir

Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının tamamlayıcı ışınları ise iki açıya dikey denir. İki düz çizginin kesişiminde oluşan AOB ve COD, BOD ve AOC açıları dikeydir (Şekil 2).

Teorem 2. Dikey açılar eşittir.

Kanıt. AOB ve COD dikey açılarını ele alalım (bkz. Şekil 2). BOD açısı AOB ve COD açılarının her birine komşudur. Teorem 1'e göre ∠ AOB + ∠ BOİ = 180°, ∠ KOİ + ∠ BOİ = 180°.

Bundan ∠ AOB = ∠ COD olduğu sonucunu çıkarıyoruz.

Sonuç 1. Dik açıya komşu olan açı dik açıdır.

Kesişen iki AC ve BD düz çizgisini düşünün (Şekil 3). Dört köşe oluştururlar. Bunlardan biri düzse (Şekil 3'teki açı 1), o zaman geri kalan açılar da diktir (1 ve 2, 1 ve 4 numaralı açılar bitişiktir, 1 ve 3 numaralı açılar dikeydir). Bu durumda bu çizgilerin dik açılarda kesiştiğini ve dik (veya karşılıklı dik) olarak adlandırıldığını söylüyorlar. AC ve BD doğrularının dikliği şu şekilde gösterilir: AC ⊥ BD.

Bir doğru parçasına dik açıortay, bu parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.

AN - bir çizgiye dik

Düz bir çizgi a ve onun üzerinde olmayan bir A noktası düşünün (Şekil 4). A noktasını bir doğru parçasıyla H noktasına a düz çizgisiyle bağlayalım. AN doğru parçasına, AN ve a doğruları dik ise, A noktasından a doğrusuna çizilen dikme denir. H noktasına dikmenin tabanı denir.

Kare çizme

Aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 3. Bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, bu çizgiye dik bir çizgi çizmek mümkündür, üstelik sadece bir tane.

Bir çizimde bir noktadan düz bir çizgiye dik bir çizgi çizmek için bir çizim karesi kullanın (Şek. 5).

Yorum. Teoremin formülasyonu genellikle iki bölümden oluşur. Bir kısım verilenlerden bahsediyor. Bu kısma teoremin koşulu denir. Diğer kısımda ise neyin kanıtlanması gerektiğinden bahsediliyor. Bu bölüme teoremin sonucu denir. Örneğin Teorem 2'nin koşulu açıların dikey olmasıdır; sonuç - bu açılar eşittir.

Herhangi bir teorem, koşulu "eğer" kelimesiyle başlayacak ve sonucu "o zaman" kelimesiyle başlayacak şekilde ayrıntılı olarak kelimelerle ifade edilebilir. Örneğin Teorem 2 detaylı olarak şu şekilde ifade edilebilir: “İki açı dikse eşittirler.”

Örnek 1. Komşu açılardan biri 44°'dir. Diğeri neye eşit?

Çözüm. Teorem 1'e göre başka bir açının derece ölçüsünü x ile gösterelim.
44° + x = 180°.
Ortaya çıkan denklemi çözerek x = 136° olduğunu buluruz. Bu nedenle diğer açı 136°'dir.

Örnek 2.Şekil 21'deki COD açısı 45° olsun. AOB ve AOC açıları nelerdir?

Çözüm. COD ve AOB açıları dikeydir, dolayısıyla Teorem 1.2'ye göre eşittirler, yani ∠ AOB = 45°. AOC açısı COD açısına komşudur, yani Teorem 1'e göre.
∠ AOC = 180° - ∠ KOİ = 180° - 45° = 135°.

Örnek 3. Biri diğerinden 3 kat büyük olan komşu açıları bulun.

Çözüm. Küçük açının derece ölçüsünü x ile gösterelim. Bu durumda büyük açının derece ölçüsü 3x olacaktır. Komşu açıların toplamı 180°'ye eşit olduğundan (Teorem 1), x + 3x = 180°, dolayısıyla x = 45°.
Bu, komşu açıların 45° ve 135° olduğu anlamına gelir.

Örnek 4.İki dik açının toplamı 100°dir. Dört açının her birinin boyutunu bulun.

Çözüm. Şekil 2'nin problemin koşullarını karşıladığını varsayalım: COD'den AOB'ye olan dikey açılar eşittir (Teorem 2), bu da onların derece ölçülerinin de eşit olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla ∠ COD = ∠ AOB = 50° (koşula göre toplamları 100°'dir). BOD açısı (aynı zamanda AOC açısı) COD açısına komşudur ve bu nedenle Teorem 1'e göre
∠ BOİ = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Bitişik açı nasıl bulunur?

Matematik, okullarda, kolejlerde, enstitülerde ve üniversitelerde zorunlu olarak çalışılan en eski kesin bilimdir. Fakat, temel bilgi her zaman okulda belirtilir. Bazen çocuğa oldukça karmaşık görevler verilir, ancak ebeveynler matematikten bazı şeyleri unuttukları için yardım edemezler. Örneğin, ana açının boyutuna göre bitişik açının nasıl bulunacağı vb. Sorun basittir ancak hangi açılara komşu denildiği ve nasıl bulunacağı bilinmediğinden çözümünde zorluklara neden olabilir.

Komşu açıların tanımına ve özelliklerine, ayrıca bunların problemdeki verilerden nasıl hesaplanacağına daha yakından bakalım.

Komşu açıların tanımı ve özellikleri

Bir noktadan çıkan iki ışın “düzlem açısı” adı verilen bir şekil oluşturur. Bu durumda bu noktaya açının tepe noktası denir ve ışınlar onun kenarlarıdır. Işınlardan birini başlangıç ​​​​noktasının ötesine düz bir çizgide devam ettirirseniz, bitişik adı verilen başka bir açı oluşur. Bu durumda her açının iki komşu açısı vardır, çünkü açının kenarları eşdeğerdir. Yani her zaman 180 derecelik bir komşu açı vardır.

Bitişik açıların temel özellikleri şunlardır:

• Bitişik açıların ortak bir tepe noktası ve bir tarafı vardır;
• Bitişik açıların toplamı her zaman 180 dereceye veya hesaplama radyan cinsinden yapılıyorsa Pi sayısına eşittir;
• Komşu açıların sinüsleri her zaman eşittir;
• Komşu açıların kosinüsleri ve teğetleri eşittir ancak zıt işaretlidir.

Bitişik açılar nasıl bulunur

Komşu açıların büyüklüğünü bulmak için genellikle üç çeşit problem verilir.

• Ana açının değeri verilir;
• Ana ve komşu açının oranı verilmiştir;
• Dikey açının değeri verilir.

Sorunun her versiyonunun kendi çözümü vardır. Şimdi onlara bakalım.

Ana açının değeri verilir

Eğer problem ana açının değerini belirtiyorsa, komşu açıyı bulmak çok kolaydır. Bunu yapmak için ana açının değerini 180 dereceden çıkarmanız yeterlidir; bitişik açının değerini elde edersiniz. Bu çözüm komşu açının özelliğine dayanmaktadır; komşu açıların toplamı her zaman 180 dereceye eşittir.

Ana açının değeri radyan cinsinden verilmişse ve problem bitişik açının radyan cinsinden bulunmasını gerektiriyorsa, o zaman ana açının değerini Pi sayısından çıkarmak gerekir, çünkü tam açılmamış açının değeri 180 derecedir. Pi sayısına eşittir.

Ana ve komşu açının oranı verilmiştir

Problem, ana açının dereceleri ve radyanları yerine ana ve komşu açıların oranını verebilir. Bu durumda çözüm bir orantı denklemine benzeyecektir:

1. Ana açının oranını “Y” değişkeni olarak belirtiyoruz.
2. Komşu açıyla ilgili kesir “X” değişkeni olarak gösterilir.
3. Her orana düşen derecelerin sayısı örneğin “a” ile gösterilecektir.
4. Genel formül şu şekilde görünecektir: a*X+a*Y=180 veya a*(X+Y)=180.
5. “a” denkleminin ortak faktörünü a=180/(X+Y) formülünü kullanarak buluyoruz.
6. Daha sonra “a” ortak faktörünün elde edilen değerini, belirlenmesi gereken açının kesri ile çarpıyoruz.

Bu şekilde komşu açının değerini derece cinsinden bulabiliriz. Ancak radyan cinsinden bir değer bulmanız gerekiyorsa dereceleri radyana dönüştürmeniz yeterlidir. Bunu yapmak için açıyı derece cinsinden Pi ile çarpın ve her şeyi 180 dereceye bölün. Ortaya çıkan değer radyan cinsinden olacaktır.

Dikey açının değeri verilir

Eğer problem ana açının değerini vermiyor ancak düşey açının değerini veriyorsa o zaman komşu açı, ana açının değerinin verildiği birinci paragraftakiyle aynı formül kullanılarak hesaplanabilir.

Dikey açı, ana açıyla aynı noktadan kaynaklanan, ancak tam tersi yönde yönlendirilen bir açıdır. Bunun sonucunda ayna görüntüsü elde edilir. Bu, dikey açının büyüklüğünün ana açıya eşit olduğu anlamına gelir. Buna karşılık, dikey açının komşu açısı, ana açının komşu açısına eşittir. Bu sayede ana açının komşu açısı hesaplanabilmektedir. Bunu yapmak için dikey değeri 180 dereceden çıkarın ve ana açının komşu açısının değerini derece cinsinden elde edin.

Değer radyan cinsinden verilirse, 180 derecelik tam açılmamış açının değeri Pi sayısına eşit olduğundan dikey açının değerini Pi sayısından çıkarmak gerekir.

Ayrıca şunları okuyabilirsiniz: faydalı makaleler Ve .

Aynı doğru üzerinde yer alan ve köşeleri aynı olan iki açıya komşu açı denir.

Aksi takdirde, bir doğru üzerindeki iki açının toplamı 180 derece ise ve bir kenarları ortak ise bunlar komşu açılardır.

1 komşu açı + 1 komşu açı = 180 derece.

Komşu açılar, bir tarafı ortak olan, diğer iki tarafı genellikle düz bir çizgi oluşturan iki açıdır.

Komşu iki açının toplamı her zaman 180 derecedir. Örneğin, bir açı 60 derece ise, ikincisi mutlaka 120 dereceye (180-60) eşit olacaktır.

AOC ve BOC açıları komşu açılardır çünkü komşu açıların özelliklerine ilişkin tüm koşullar karşılanmıştır:

1.OS - iki köşenin ortak tarafı

2.AO - AOS köşesinin tarafı, OB - BOS köşesinin tarafı. Bu kenarlar birlikte düz bir AOB çizgisi oluşturur.

3. İki açı vardır ve toplamları 180 derecedir.

Okul geometri dersini hatırlayarak komşu açılar hakkında şunları söyleyebiliriz:

Komşu açıların bir kenarları ortaktır ve diğer iki kenar aynı düz çizgiye aittir, yani aynı düz çizgi üzerindedirler. Şekle göre, SOV ve BOA açıları bitişik açılardır, bunların toplamı her zaman 180'e eşittir, çünkü düz bir açıyı bölerler ve düz açı her zaman 180'e eşittir.



Komşu açılar geometride kolay bir kavramdır. Bitişik açılar, yani bir açı artı bir açının toplamı 180 dereceye eşittir.

İki bitişik açı, açılmamış bir açı olacaktır.

Birkaç mülk daha var. Komşu açılarla problemlerin çözümü ve teoremlerin kanıtlanması kolaydır.

Bitişik açılar, bir ışının düz bir çizgi üzerinde rastgele bir noktadan çekilmesiyle oluşturulur. Daha sonra bu keyfi noktanın açının tepe noktası olduğu, ışının komşu açıların ortak tarafı olduğu ve ışının çekildiği düz çizginin bitişik açıların kalan iki tarafı olduğu ortaya çıkar. Bitişik açılar, dik olması durumunda aynı veya eğimli kiriş olması durumunda farklı olabilir. Bitişik açıların toplamının 180 dereceye veya sadece bir düz çizgiye eşit olduğunu anlamak kolaydır. Bu açıyı açıklamanın başka bir yolu da basit örnek- ilk başta düz bir çizgide tek yönde yürüdünüz, sonra fikrinizi değiştirdiniz, geri dönmeye karar verdiniz ve 180 derece dönerek aynı düz çizgi boyunca ters yöne doğru yola çıktınız.



Peki komşu açı nedir? Tanım:

Tepe noktası ve bir kenarı ortak olan iki açıya bitişik denir ve bu açıların diğer iki kenarı aynı doğru üzerinde yer alır.



Ve bitişik açılar, dikey açılar ve ayrıca bitişik ve dikey açıların özel bir durumu olan dik çizgiler hakkında anlamlı bir şekilde gösterilen kısa bir video dersi

Komşu açılar, bir tarafı ortak, diğer tarafı tek doğru olan açılardır.

Komşu açılar birbirine bağımlı olan açılardır. Yani, eğer ortak taraf hafifçe döndürülürse, o zaman bir açı birkaç derece azalacak ve ikinci açı otomatik olarak aynı derece artacaktır. Komşu açıların bu özelliği, Geometrideki çeşitli problemlerin çözülmesine ve çeşitli teoremlerin kanıtlarının gerçekleştirilmesine olanak sağlar.

Komşu açıların toplamı her zaman 180 derecedir.



Geometri dersinden (6.sınıfta hatırladığım kadarıyla) bir tarafı ortak, diğer kenarları ek ışın olan iki açıya komşu denir, komşu açıların toplamı 180'dir. bitişik açılar diğerini genişletilmiş bir açıyla tamamlar. Bitişik açılara örnek:



Bitişik açılar, bir köşesi ortak olan ve geri kalan kenarları aynı düz çizgi üzerinde (çakışmayan) yer alan, ortak bir tepe noktasına sahip iki açıdır. Komşu açıların toplamı yüz seksen derecedir. Genel olarak tüm bunları Google'da veya bir geometri ders kitabında bulmak çok kolaydır.

köşe açılmış olana yani 180°'ye eşittir, dolayısıyla bunları bulmak için bundan ana açının bilinen değerini α₁ = α₂ = 180°-α çıkarın.

Bundan var. Eğer iki açı hem komşu hem de eşitse bunlar dik açıdır. Komşu açılardan biri dik yani 90 derece ise diğer açı da diktir. Komşu açılardan biri dar ise diğeri geniş olacaktır. Benzer şekilde, açılardan biri genişse, buna göre ikincisi dar olacaktır.

Dar açı, derece ölçüsü 90 dereceden küçük fakat 0'dan büyük olan açıdır. Geniş açının derece ölçüsü 90 dereceden büyük ancak 180 dereceden küçüktür.

Komşu açıların bir başka özelliği de şu şekilde formüle edilir: Eğer iki açı eşitse, onlara komşu olan açılar da eşittir. Bu, derece ölçüsünün aynı olduğu (örneğin, 50 derece) iki açı varsa ve aynı zamanda bunlardan birinin bitişik bir açıya sahip olması durumunda, bu bitişik açıların değerlerinin de çakıştığı anlamına gelir ( örnekte derece ölçüleri 130 dereceye eşit olacaktır).

Kaynaklar:

• Büyük Ansiklopedik Sözlük - Komşu açılar
• açı 180 derece

"" kelimesi var farklı yorumlar. Geometride açı, bir noktadan (tepe noktasından) çıkan iki ışınla sınırlanan bir düzlemin parçasıdır. Ne zaman Hakkında konuşuyoruz doğru, akut, açılmamış açılar hakkında, o zaman tam olarak şu anlama gelir geometrik açılar.

Geometrideki herhangi bir şekil gibi açılar da karşılaştırılabilir. Açıların eşitliği hareket kullanılarak belirlenir. Açıyı iki eşit parçaya bölmek kolaydır. Üç parçaya bölmek biraz daha zor ama yine de cetvel ve pergel kullanılarak yapılabilir. Bu arada bu görev oldukça zor görünüyordu. Bir açının diğerinden daha büyük veya daha küçük olduğunu açıklamak geometrik olarak basittir.

Açıların ölçü birimi 1/180'dir