Belirli bir sayının başka sayılara bölünebilir olup olmadığını, gerçekte bölmeden bulmanın bazen kolay olmasını sağlayan işaretler vardır.
2'ye bölünebilen sayılara denir eşit. Sıfır sayısı aynı zamanda çift sayıları da ifade eder. Diğer tüm numaralar aranır garip:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - çift,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - tek sayı.
Bölünebilirlik işaretleri
2'ye bölünebilme testi. Bir sayının son rakamı çift ise 2'ye bölünür. Örneğin 4376 sayısı son rakamı (6) çift olduğundan 2'ye bölünür.
3'e bölünebilme testi. Yalnızca rakamları toplamı 3'e bölünebilen sayılar 3'e bölünür. Örneğin 10815 sayısı 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 rakamlarının toplamı 3'e bölünebildiğinden 3'e bölünür.
4'e bölünebilme testleri. Bir sayının son iki rakamı sıfırsa veya 4'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa 4'e bölünebilir. Örneğin, 244500 sayısı iki sıfırla bittiği için 4'e bölünebilir. 14708 ve 7524 sayıları 4'e bölünür çünkü bu sayıların son iki basamağı (08 ve 24) 4'e bölünür.
5'e bölünebilme testleri. Sonu 0 veya 5 ile biten sayılar 5'e bölünür. Örneğin 320 sayısı son rakamı 0 olduğundan 5'e bölünür.
6'ya bölünebilme testi. Bir sayı hem 2'ye hem de 3'e bölünebiliyorsa 6'ya da bölünebilir. Örneğin 912 sayısı hem 2'ye hem de 3'e bölünebildiği için 6'ya da bölünebilir.
8'e bölünebilme testleri. 8'e bölünen sayılar, son üç rakamı sıfır olan veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturan sayılardır. Örneğin 27000 sayısı, üç sıfırla bittiği için 8'e bölünebilir. 63128 sayısı 8'e bölünebilir çünkü son üç rakamı 8'e bölünebilen (128) sayısını oluşturur.
9'a bölünebilme testi. Yalnızca rakamları toplamı 9'a bölünebilen sayılar 9'a bölünür. Örneğin 2637 sayısı 2 + 6 + 3 + 7 = 18 rakamlarının toplamı 9'a bölünebildiğinden 9'a bölünür.
10, 100, 1000 vb. ile bölünebilme işaretleri Bir sıfır, iki sıfır, üç sıfır vb. ile biten sayılar 10, 100, 1000 vb.'ye bölünür. Örneğin 3800 sayısı 10 ve 100'e bölünür.
6. sınıfta matematik, bölünebilirlik kavramının ve bölünebilme işaretlerinin incelenmesiyle başlar. Genellikle aşağıdaki sayılarla bölünebilme kriterleriyle sınırlıdırlar:
- Açık 2 : son rakam 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır;
- Açık 3 : Sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünmelidir;
- Açık 4 : son iki rakamın oluşturduğu sayı 4'e bölünmelidir;
- Açık 5 : son rakam 0 veya 5 olmalıdır;
- Açık 6 : sayının 2 ve 3'e bölünebilme işaretleri olması gerekir;
- Bölünebilme testi 7 sıklıkla kaçırılan;
- Ayrıca bölünebilme testi hakkında nadiren konuşurlar. 8 2 ve 4'e bölünebilme kriterlerine benzese de bir sayının 8'e bölünebilmesi için üç rakamının sonunun 8'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.
- Bölünebilme testi 9 Herkes bilir: Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünebilir olmalıdır. Ancak bu, numerologların kullandığı her türlü tarih hilesine karşı bağışıklık geliştirmez.
- Bölünebilme testi 10 muhtemelen en basiti: sayı sıfırla bitmelidir.
- Bazen altıncı sınıf öğrencilerine bölünebilme testi öğretilir. 11 . Sonuçtan, sayının çift yerlerdeki rakamlarını toplamanız, tek yerlerdeki sayıları çıkarmanız gerekir. Sonuç 11'e bölünüyorsa sayının kendisi de 11'e bölünebilir.
Bir sayı alalım. Her biri 3 basamaklı bloklara bölüyoruz (en soldaki blok bir veya 2 basamak içerebilir) ve bu blokları dönüşümlü olarak ekliyor/çıkarıyoruz.
Sonuç 7, 13 (veya 11) ile bölünebiliyorsa, sayının kendisi de 7, 13 (veya 11) ile bölünebilir.
Bu yöntem, bir takım matematik hileleri gibi 7x11x13 = 1001 gerçeğine dayanmaktadır. Ancak bölünebilirlik sorununun da bölme olmadan çözülemeyeceği üç basamaklı sayılar için ne yapılması gerektiği.
Evrensel bölünebilirlik testini kullanarak, bir sayının 7'ye ve diğer "uygunsuz" sayılara bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için nispeten basit algoritmalar oluşturmak mümkündür.
7'ye bölünebilme testi iyileştirildi
Bir sayının 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı atmanız ve bu rakamı sonuçtan iki kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 7'ye bölünüyorsa sayının kendisi de 7'ye bölünebilir.
Örnek 1:
238 7'ye bölünebilir mi?
23-8-8 = 7. Yani 238 sayısı 7'ye tam bölünür.
Aslında 238 = 34x7
Bu eylem tekrar tekrar gerçekleştirilebilir.
Örnek 2:
65835 7'ye bölünebilir mi?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63, 7'ye bölünebilir (eğer bunu fark etmeseydik bir adım daha atabilirdik: 6-3-3 = 0 ve 0 kesinlikle 7'ye bölünebilir).
Bu, 65835 sayısının 7'ye bölünebildiği anlamına gelir.
Evrensel bölünebilme kriterine dayanarak, bölünebilme kriterlerini 4'e ve 8'e geliştirmek mümkündür.
4'e bölünebilme testi iyileştirildi
Birim sayısının yarısı artı onlar sayısının yarısı çift sayı ise sayı 4'e bölünür.
Örnek 3
52 sayısı 4'e bölünür mü?
5+2/2 = 6, sayı çifttir, yani sayı 4'e bölünür.
Örnek 4
134 sayısı 4'e bölünür mü?
3+4/2 = 5, sayı tektir, yani 134 4'e bölünemez.
8'e bölünebilme testi iyileştirildi
Yüzler sayısının iki katı, onlar sayısı ve birim sayısının yarısını toplarsanız ve sonuç 4'e bölünebilirse, sayının kendisi de 8'e bölünebilir.
Örnek 5
512 sayısı 8'e bölünür mü?
5*2+1+2/2 = 12, sayı 4'e bölünür, yani 512 8'e bölünür.
Örnek 6
1984 sayısı 8'e bölünür mü?
9*2+8+4/2 = 28, sayı 4'e bölünebilir, yani 1984 8'e bölünebilir.
12'ye bölünebilme testi- bu, 3 ve 4'e bölünebilme işaretlerinin birleşimidir. Aynı durum eş asal p ve q'nun çarpımı olan herhangi bir n için de geçerlidir. Bir sayının n'ye bölünebilmesi için (bu sayı pq,actih çarpımına eşittir, öyle ki gcd(p,q)=1), hem p hem de q'ya bölünebilir olmalıdır.
Ancak dikkatli olun! Bileşik bölünebilme kriterinin işe yaraması için bir sayının çarpanlarının aralarında asal olması gerekir. Bir sayı 2 ve 4'e bölünüyorsa 8'e de bölünebilir diyemezsiniz.
13'e bölünebilme testi iyileştirildi
Bir sayının 13'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı çıkarıp elde edilen sonuca dört kez eklemeniz gerekir. Sonuç 13'e bölünüyorsa sayının kendisi de 13'e bölünebilir.
Örnek 7
65835 8'e bölünebilir mi?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
43 sayısı 13'e bölünmez yani 65835 sayısı 13'e bölünmez.
Örnek 8
715 13'e bölünebilir mi?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13, 13'e bölünebilir, yani 715 sayısı 13'e bölünebilir demektir.
14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28'e bölünebilme işaretleri ve asal sayıların kuvvetleri olmayan diğer bileşik sayılar 12'ye bölünebilme testlerine benzer. Bu sayıların eş asal çarpanlarına göre bölünebilirliğini kontrol ediyoruz.
- 14 için: 2 ve 7 için;
- 15 için: 3 ve 5 için;
- 18 için: 2 ve 9'da;
- 21 için: 3 ve 7'de;
- 20 için: 4'e ve 5'e (veya başka bir deyişle, son rakam sıfır olmalı ve sondan bir önceki rakam çift olmalıdır);
- 24 için: 3 ve 8 için;
- 26 için: 2 ve 13'te;
- 28 için: 4 için ve 7 için.
Bir sayının 4 basamaklı sonunun 16'ya bölünebilir olup olmadığını kontrol etmek yerine, onlar basamağının 10 katının, dörtlü yüzler basamağının ve dörtlü yüzler basamağının 10 katı olan birler basamağını ekleyebilirsiniz.
binler basamağının sekiz katıyla çarpılır ve sonucun 16'ya bölünüp bölünmediği kontrol edilir.
Örnek 9
1984 sayısı 16'ya bölünür mü?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30, 16'ya bölünemez, yani 1984, 16'ya bölünemez.
Örnek 10
1526 sayısı 16'ya bölünür mü?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48, 16'ya bölünemez, yani 1526, 16'ya bölünemez.
17'ye bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 17'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı atmanız ve elde edilen sonuçtan bu rakamı beş kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 13'e bölünüyorsa sayının kendisi de 13'e bölünebilir.
Örnek 11
59772 sayısı 17'ye bölünebilir mi?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0, 17'ye bölünebilir, yani 59772 sayısı 17'ye bölünebilir.
Örnek 12
4913 sayısı 17'ye bölünür mü?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17, 17'ye bölünebilir, yani 4913 sayısı 17'ye bölünebilir.
19'a bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 19'a bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için son rakamı atıldıktan sonra kalan sayıya son rakamın iki katını eklemeniz gerekir.
Örnek 13
9044 sayısı 19'a bölünür mü?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19, 19'a bölünebilir, yani 9044 sayısı 19'a bölünebilir.
23'e bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 23'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için son rakamı atıldıktan sonra kalan sayıya 7 kat artırılmış son rakamı eklemeniz gerekir.
Örnek 14
208012 sayısı 23'e bölünebilir mi?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Aslında 253'ün 23 olduğunu zaten fark etmişsinizdir.
Basit bir problemi ele alalım. Bir çiftlikte sabah 846 adet toplandı. tavuk yumurtaları. Burası ortak bir çiftlikti; 9 aile tarafından geçiniyordu. Tüm yumurtaları aralarına eşit olarak bölmek gerekir. 846 sayısının 9'a kalansız bölünüp bölünemeyeceği bölmeden nasıl kontrol edilir?
Öncelikle bu sayıyı rakamlara ayıralım. 846 sayısı 8 yüzlük, 4 onluk ve 6 birliklerden oluşur.
Yüzlerce ile uğraşmaya başlayalım. 100 yumurtayı dokuz sepete koyarsak fazladan bir yumurtamız kalır. Yani her yüz yumurtaya karşılık 1 yumurta olacaktır. 800 tam yumurtamız olduğuna göre geriye 8 yumurta kalacaktır.
Şimdi onlarca ile ilgilenelim. Dokuz sepete on yumurta konulursa, her on sepete bir yumurta daha kalır. Sayımızda 4 onluk olduğu için geriye 4 yumurta kalacaktır.
Bir kategorideki 6 yumurtayı dokuz sepete koymamız mümkün olmadığından onlar da kalacak.
Şimdi elimizde kalan tüm yumurtaları ekleyelim. Yüzlerden 8, onlarcadan 4 ve birlerden 6 olmak üzere toplam 8+4+6=18 yumurta. 18 yumurta dokuz sepete bölünebilir ve fazladan tek bir yumurta kalmaz. Böylece 846 yumurta dokuz sepete eşit olarak bölünebilir. Bu, 846 sayısının 9'a kalansız bölünebildiği anlamına gelir.
9'a bölünebilme testi
Şimdi bir sayının 9'a bölünebilirliği için bir test formüle edebiliriz.
- Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a kalansız bölünüyorsa sayının kendisi de 9'a bölünebilir. Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a kalansız bölünemiyorsa sayının kendisi de bölünmez. 9'a kalansız bölünebilir.
İşte bazı örnekler:
76.005 sayısı 9'a kalansız bölünebilir çünkü onu oluşturan rakamların toplamı: 7+6+0+0+5=18, 9'a kalansız bölünebilir.
51.734 sayısı 9'a kalansız bölünemez çünkü onu oluşturan rakamların toplamı: 5+1+7+3+4=20, 9'a kalansız bölünemez.
3'e bölünebilme testi
Benzer şekilde bir sayının 3'e bölünebildiğinin işaretini elde ederiz.
Yüzü 3'e bölersek 1 kalır. Bir on'u 3'e böldüğümüzde de bir birim kalır. Dokuzlu durumun bir kopyasını alıyoruz.
- Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e kalansız bölünüyorsa sayının kendisi de 3'e bölünebilir. Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e kalansız bölünemiyorsa sayının kendisi de bölünmez. 3'e kalansız bölünebilir.
76.005 sayısı 3'e kalansız bölünebilir çünkü onu oluşturan rakamların toplamı: 7+6+0+0+5=18, 3'e kalansız bölünebilir.
51.734 sayısı 3'e kalansız bölünemez çünkü onu oluşturan rakamların toplamı: 5+1+7+3+4=20, 3'e kalansız bölünemez.
“3'e bölünebilme testi” konusunu ele almaya başlayalım. İşaretin formülasyonuyla başlayalım ve teoremin kanıtını verelim. Daha sonra değeri bir ifadeyle verilen sayıların 3'üne bölünebilirliğini belirlemeye yönelik ana yaklaşımları ele alacağız. Bu bölüm, 3'e bölünebilme testinin kullanımına dayalı olarak ana problem türlerinin çözümünün bir analizini sunmaktadır.
3'e bölünebilme testi, örnekler
3'e bölünebilme testi basit bir şekilde formüle edilir: Bir tamsayı, rakamlarının toplamı 3'e bölünebiliyorsa, kalansız olarak 3'e bölünebilir. Bir tam sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3'e bölünemiyorsa asıl sayı da 3'e bölünemez. Toplama yöntemini kullanarak bir tamsayıdaki tüm rakamların toplamını alabilirsiniz. doğal sayılar.
Şimdi 3'e bölünebilme testinin kullanım örneklerine bakalım.
örnek 1
42 sayısı 3'e bölünür mü?
Çözüm
Bu soruyu cevaplamak için - 42: 4 + 2 = 6 sayısını oluşturan tüm sayıları topluyoruz.
Cevap: Bölünebilme testine göre asıl sayının rakamlarının toplamı üçe bölünebildiğine göre asıl sayının kendisi de 3'e bölünebilir.
0 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceği sorusuna cevap verebilmek için sıfırın herhangi bir tam sayıya bölünebilmesini sağlayan bölünebilme özelliğine ihtiyacımız var. Sıfırın üçe bölünebildiği ortaya çıktı.
3'e bölünebilme testinin birkaç kez kullanılmasının gerekli olduğu problemler vardır.
Örnek 2
Bu sayıyı göster 907 444 812 3'e bölünebilir.
Çözüm
Orijinal sayıyı oluşturan tüm rakamların toplamını bulalım: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Şimdi 39 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirlememiz gerekiyor. Bu sayıyı oluşturan sayıları bir kez daha topluyoruz: 3 + 9 = 12 . Son cevaba ulaşmak için sayıları tekrar toplamamız gerekiyor: 1 + 2 = 3 . 3 sayısı 3'e bölünür
Cevap: orijinal numara 907 444 812 aynı zamanda 3'e de bölünebilir.
Örnek 3
Sayı 3'e bölünebilir mi? − 543 205 ?
Çözüm
Asıl sayıyı oluşturan rakamların toplamını hesaplayalım: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
Şimdi ortaya çıkan sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 1 + 9 = 10 .
Nihai cevaba ulaşmak için bir eklemenin daha sonucunu buluyoruz: 1 + 0 = 1
.
Cevap: 1, 3'e bölünmez, yani orijinal sayı 3'e bölünemez.
Verilen bir sayının 3'e kalansız bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için verilen sayıyı 3'e bölebiliriz. Sayıyı bölerseniz − 543 205 yukarıda tartışılan üç sütunlu örnekten yola çıkarak cevapta bir tam sayı elde edemeyiz. Bu aynı zamanda şu anlama da geliyor − 543 205 3'e kalansız bölünemez.
3'e bölünebilme testinin kanıtı
Burada aşağıdaki becerilere ihtiyacımız olacak: bir sayının rakamlara ayrıştırılması ve 10, 100 ile çarpma kuralı vb. İspatı gerçekleştirmek için a formunun temsilini elde etmemiz gerekir. , Nerede bir n, bir n - 1,…, bir 0- bunlar bir sayının gösteriminde soldan sağa doğru yer alan sayılardır.
Belirli bir sayıyı kullanan bir örnek: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.
Bir dizi eşitlik yazalım: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1.000 = 999 + 1 = 333 3 + 1, vb.
Şimdi daha önce verilen eşitliklerde 10, 100 ve 1000 yerine bu eşitlikleri yerine koyalım. a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.
Eşitliğe şu şekilde ulaştık:
a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0
Şimdi elde edilen eşitliği aşağıdaki gibi yeniden yazmak için doğal sayıların toplama ve çarpma özelliklerini uygulayalım:
a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 bir n + bir n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 ve n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + an + . . . + bir 2 + bir 1 + bir 0 = = 3 33 . . . 3 · bir n + … + 33 · bir 2 + 3 · bir 1 + + bir n + . . . + bir 2 + bir 1 + bir 0
İfade a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0, orijinal a sayısının rakamlarının toplamıdır. Bunun için yeni bir kısa gösterim sunalım A. Şunu elde ederiz: A = a n +. . . + a 2 + a 1 + a 0 .
Bu durumda sayının gösterimi a = 3 33'tür. . . 3 ve n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A, 3'e bölünebilirlik testini kanıtlamak için kullanmamıza uygun olacak şekli alır.
Tanım 1
Şimdi aşağıdaki bölünebilirlik özelliklerini hatırlayın:
- Bir a tam sayısının bir tam sayıya bölünebilmesi için gerekli ve yeterli koşul
b , a sayısının modülünün b sayısının modülüne bölünmesi koşuludur; - eğer eşitlik varsa a = s + t biri hariç tüm terimler bir b tamsayısı ile bölünebilirse, bu terim de b'ye bölünebilir.
3'e bölünebilme testinin ispatının temelini attık. Şimdi bu özelliği teorem şeklinde formüle edip kanıtlayalım.
Teorem 1
a tam sayısının 3'e bölünebildiğini iddia edebilmemiz için a sayısının notasyonunu oluşturan rakamların toplamının 3'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.
Kanıt 1
değerini alırsak bir = 0 o zaman teorem açıktır.
Sıfırdan farklı bir a sayısı alırsak a sayısının modülü bir doğal sayı olacaktır. Bu, aşağıdaki eşitliği yazmamızı sağlar:
a = 3 · 33 . . . 3 ve n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , burada A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - a sayısının rakamlarının toplamı.
Tam sayıların toplamı ve çarpımı bir tam sayı olduğundan,
33. . . 3 ve n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 bir tamsayıysa, bölünebilirlik tanımı gereği çarpım 3 · 33 olur. . . 3 ve n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 şuna bölünebilir: 3
herhangi bir 0, bir 1,…, bir n.
Bir sayının rakamlarının toplamı ise A bölü 3 , yani, A bölü 3 , teoremden önce belirtilen bölünebilme özelliğinden dolayı a, şuna bölünür: 3 , buradan, A bölü 3 . Yani yeterliliği kanıtlanmıştır.
Eğer A bölü 3
, bu durumda a da bölünebilir 3
, aynı bölünebilme özelliğinden dolayı sayı
A bölü 3
yani bir sayının rakamlarının toplamı A bölü 3
. Gerekliliği kanıtlandı.
Diğer bölünebilme durumları 3
Tamsayılar, bir değişkenin belirli bir değeri verildiğinde, bir değişkeni içeren bazı ifadelerin değeri olarak belirtilebilir. Dolayısıyla bazı n doğal sayıları için 4 n + 3 n - 1 ifadesinin değeri bir doğal sayıdır. Bu durumda doğrudan bölme işlemi 3 Bir sayının bölünebilir olup olmadığı sorusunun cevabını veremeyiz. 3 . Bölünebilme testinin uygulanması 3 da zor olabilir. Bu tür sorunların örneklerine bakalım ve bunları çözme yöntemlerine bakalım.
Bu tür sorunları çözmek için çeşitli yaklaşımlar kullanılabilir. Bunlardan birinin özü şudur:
- orijinal ifadeyi çeşitli faktörlerin bir ürünü olarak temsil ediyoruz;
- faktörlerden en az birinin bölünüp bölünemeyeceğini bulun 3 ;
- Bölünebilme özelliğine dayanarak, ürünün tamamının bölünebilir olduğu sonucuna varırız. 3 .
Çözerken çoğu zaman Newton'un binom formülüne başvurmak gerekir.
Örnek 4
4 n + 3 n - 1 ifadesinin değeri aşağıdakilere bölünebilir mi? 3 herhangi bir doğal ortamda N?
Çözüm
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 eşitliğini yazalım. Newton'un binom formülünü uygulayalım:
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3
Şimdi onu çıkaralım 3 parantezlerin dışında: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Ortaya çıkan ürün çarpanı içerir 3 , ve doğal n için parantez içindeki ifadenin değeri bir doğal sayıyı temsil eder. Bu, ortaya çıkan çarpımın ve orijinal 4 n + 3 n - 1 ifadesinin şuna bölündüğünü iddia etmemizi sağlar: 3 .
Cevap: Evet.
Matematiksel tümevarım yöntemini de kullanabiliriz.
Örnek 5
Herhangi bir doğal sayı için matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlayın
n ifadesinin değeri n 2 + 5'e bölünür 3
.
Çözüm
n n 2 + 5 ifadesinin değerini bulalım. n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 ile bölünebilir 3 .
Şimdi n n 2 + 5 ifadesinin değerinin şu şekilde olduğunu varsayalım: n = k bölü 3 . Aslında, bölünebilmesini beklediğimiz k k 2 + 5 ifadesiyle çalışmamız gerekecek. 3 .
k k 2 + 5'in şuna bölünebileceğini düşünürsek: 3 n · n 2 + 5 ifadesinin değerinin şu şekilde olduğunu göstereceğiz: n = k + 1 bölü 3 yani k + 1 k + 1 2 + 5'in şuna bölünebileceğini göstereceğiz: 3 .
Dönüşümleri gerçekleştirelim:
k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2
k · (k 2 + 5) ifadesi şuna bölünür: 3 ve 3 k 2 + k + 2 ifadesi şuna bölünür: 3 , yani toplamları şuna bölünür: 3 .
Böylece n · (n 2 + 5) ifadesinin değerinin şuna bölünebileceğini kanıtladık: 3 herhangi bir doğal sayı için
Şimdi bölünebilirliği kanıtlama yaklaşımına bakalım 3 , aşağıdaki eylem algoritmasına dayanmaktadır:
- bu ifadenin değerinin n = 3 m, n = 3 m + 1 için n değişkeni ile olduğunu gösteriyoruz ve n = 3 m + 2, Nerede M– isteğe bağlı olarak bölünebilen bir tamsayı 3 ;
- ifadenin şuna bölünebileceği sonucuna varırız: 3 herhangi bir n tamsayı için
Dikkati küçük ayrıntılardan uzaklaştırmamak için bu algoritmayı önceki örneğin çözümüne uygulayacağız.
Örnek 6
n · (n 2 + 5)'in şuna bölünebileceğini gösterin: 3 herhangi bir doğal sayı için
Çözüm
Öyleymiş gibi yapalım n = 3m. O halde: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Aldığımız ürün bir çarpan içeriyor 3 bu nedenle ürünün kendisi bölünmüştür 3 .
Öyleymiş gibi yapalım n = 3 m + 1. Daha sonra:
n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)
Aldığımız ürün bölünmüştür 3 .
n = 3 m + 2 olduğunu varsayalım. Daha sonra:
n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3
Bu çalışma aynı zamanda ikiye ayrılmıştır. 3 .
Cevap: Böylece n n 2 + 5 ifadesinin şuna bölünebileceğini kanıtladık: 3 herhangi bir doğal sayı için
Örnek 7
ile bölünebilir mi? 3 bazı n doğal sayıları için 10 3 n + 10 2 n + 1 ifadesinin değeri.
Çözüm
Öyleymiş gibi yapalım n=1. Şunu elde ederiz:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
Öyleymiş gibi yapalım n=2. Şunu elde ederiz:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
Dolayısıyla herhangi bir doğal n için 3'e bölünebilen sayılar elde edeceğimiz sonucuna varabiliriz. Bu, herhangi bir n doğal sayısı için 10 3 n + 10 2 n + 1'in 3'e bölünebileceği anlamına gelir.
Cevap: Evet
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
