Aralık yöntemi okul cebir dersinde ortaya çıkan neredeyse tüm eşitsizlikleri çözmenin evrensel bir yoludur. Fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:
1. Sürekli bir g(x) fonksiyonu yalnızca 0'a eşit olduğu noktada işaret değiştirebilir. Grafiksel olarak bu, sürekli bir fonksiyonun grafiğinin ancak x ile kesişmesi durumunda bir yarım düzlemden diğerine hareket edebileceği anlamına gelir. -ekseni (OX ekseninde (abscissa ekseni) bulunan herhangi bir noktanın koordinatının sıfıra eşit olduğunu, yani fonksiyonun bu noktadaki değerinin 0'a eşit olduğunu hatırlıyoruz):
Grafikte gösterilen y=g(x) fonksiyonunun OX eksenini x= -8, x=-2, x=4, x=8 noktalarında kestiğini görüyoruz. Bu noktalara fonksiyonun sıfırları denir. Ve aynı noktalarda g(x) fonksiyonu işaret değiştiriyor.
2. Fonksiyon ayrıca paydanın sıfırlarındaki işareti de değiştirebilir - en basit örnek iyi bilinen fonksiyon:
Fonksiyonun paydanın kökünde, noktasında işaret değiştirdiğini ancak hiçbir noktada kaybolmadığını görüyoruz. Dolayısıyla, eğer bir fonksiyon bir kesir içeriyorsa, paydanın köklerinde işaret değiştirebilir.
2. Ancak fonksiyon her zaman payın kökünde veya paydanın kökünde işaret değiştirmez. Örneğin, y=x 2 fonksiyonu x=0 noktasında işaretini değiştirmez:
Çünkü x 2 =0 denkleminin iki eşit x=0 kökü vardır, x=0 noktasında fonksiyon iki kez 0'a dönüyor gibi görünür.Böyle bir köke ikinci katın kökü denir.
İşlev 
payın sıfır noktasındaki işareti değiştirir, ancak paydanın sıfır noktasındaki işareti değiştirmez: çünkü kök, ikinci çokluğun, yani çift katlılığın köküdür:
Önemli! Çift çokluğun köklerinde fonksiyon işaret değiştirmez.
Not! Herhangi doğrusal olmayan Okul cebir derslerindeki eşitsizlikler genellikle aralık yöntemi kullanılarak çözülür.
Size ayrıntılı bir tane sunuyorum, bunu takip ederek hatalardan kaçınabilirsiniz. doğrusal olmayan eşitsizlikleri çözme.
1. Öncelikle eşitsizliği forma getirmeniz gerekir
P(x)V0,
burada V eşitsizlik işaretidir:<,>,≤ veya ≥. Bunu yapmak için ihtiyacınız olan:
a) tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafına taşıyın,
b) Ortaya çıkan ifadenin köklerini bulun,
c) eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayırın
d) Aynı faktörleri kuvvet olarak yazın.
Dikkat! Köklerin çokluğuyla ilgili bir hata yapmamak için son adımın atılması gerekir - eğer sonuç çift kuvvetin çarpanı ise, o zaman karşılık gelen kökün çift çokluğu vardır.
2. Bulunan kökleri sayı eksenine çizin.
3. Eşitsizlik katı ise sayı ekseninde kökleri gösteren daireler boş bırakılır, eşitsizlik katı değilse içi doldurulur.
4. Eşit çokluğun köklerini seçiyoruz - içlerinde P(x) işaret değişmez.
5. İşareti belirleyin P(x) en sağdaki boşlukta. Bunu yapmak için, büyük kökten daha büyük olan rastgele bir x 0 değeri alın ve onu yerine koyun. P(x).
P(x 0)>0 (veya ≥0) ise en sağdaki boşluğa “+” işareti koyarız.
Eğer P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Çift çokluğun kökünü gösteren noktadan geçerken işaret DEĞİŞMEZ.
7. Bir kez daha orijinal eşitsizliğin işaretine bakıyoruz ve ihtiyacımız olan işaretin aralıklarını seçiyoruz.
8. Dikkat! Eşitsizliğimiz KESİN DEĞİLSE eşitlik koşulunu ayrı ayrı sıfır olarak kontrol ederiz.
9. Cevabı yazın.
Orijinal ise eşitsizliğin paydasında bir bilinmeyen var, sonra da tüm terimleri sola kaydırırız ve eşitsizliğin sol tarafını forma indiririz
(burada V eşitsizlik işaretidir:< или >)
Bu türden katı bir eşitsizlik, eşitsizliğe eşdeğerdir.
Sıkı değil form eşitsizliği
eş değer sistem:
Pratikte eğer fonksiyon formdaysa şu şekilde hareket ederiz:
- Pay ve paydanın köklerini bulun.
- Bunları aksa uyguluyoruz. Tüm çevreleri boş bırakın. Daha sonra eşitsizlik kesin değilse payın köklerinin üzerini boyarız ve paydanın köklerini her zaman boş bırakırız.
- Daha sonra genel algoritmayı takip ediyoruz:
- Çift katlı kökleri seçiyoruz (eğer pay ve payda aynı kökleri içeriyorsa, o zaman aynı köklerin kaç kez oluştuğunu sayarız). Çift çokluğun köklerinde işaret değişmez.
- En sağdaki boşluğun işaretini buluyoruz.
- Tabelalar asıyoruz.
- Kesin olmayan bir eşitsizlik durumunda, eşitlik koşulunu ve eşitlik koşulunu ayrı ayrı sıfır olarak kontrol ederiz.
- Gerekli boşlukları ve bağımsız kökleri seçiyoruz.
- Cevabını yazıyoruz.
Daha iyi anlamak aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmek için algoritma, örneği ayrıntılı olarak açıklayan VİDEO EĞİTİMİ'ni izleyin eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme.
Ders konusu "Rasyonel eşitsizlik sistemlerini çözme"
Sınıf 10
Ders türü: arama
Amaç: eşitsizlikleri modül ile çözmenin yollarını bulmak, aralık yöntemini yeni bir durumda uygulamak.
Dersin Hedefleri:
Rasyonel eşitsizlikleri ve sistemlerini çözme becerilerinizi test edin; - öğrencilere modüllü eşitsizlikleri çözerken aralık yöntemini kullanma olasılığını göstermek;
Mantıklı düşünmeyi öğretin;
Çalışmanızın öz değerlendirme becerisini geliştirin;
Düşüncelerinizi ifade etmeyi öğrenin
Bakış açınızı mantıkla savunmayı öğrenin;
Öğrencilerde öğrenmeye yönelik olumlu bir motivasyon oluşturmak;
Öğrenci bağımsızlığını geliştirin.
Dersler sırasında
BEN. Zamanı organize etmek(1 dakika)
Merhaba, bugün “Rasyonel eşitsizlikler sistemi” konusunu incelemeye devam edeceğiz, bilgi ve becerilerimizi yeni bir durumda uygulayacağız.
"Rasyonel eşitsizlik sistemlerinin çözümü" dersinin tarihini ve konusunu yazın. Bugün sizi matematiğin yollarında, testlerin, bir güç testinin beklediği bir yolculuğa davet ediyorum. Masalarınızın üzerinde yol haritaları Görevlerle birlikte, yolculuğun sonunda bana (sevk görevlisine) teslim edeceğiniz bir öz değerlendirme seyahat sayfası.
Gezinin sloganı ise “Yürüyen yolun üstesinden gelebilir ama matematikle düşünen” aforizması olacak.. Bilginizi yanınızda taşıyın. Düşünce sürecinizi harekete geçirin ve yola çıkın. Yolda bize bir yol radyosu eşlik edecek.Bir müzik parçası çalıyor (1 dakika). Sonra keskin bir sinyal sesi.
II. Bilgi testi aşaması. Gruplarla çalışmak."Bagaj Kontrolü"
Konuyla ilgili bilginizi test eden ilk Bagaj Tarama testi geliyor
Şimdi 3 veya 4 kişilik gruplara ayrılacaksınız. Herkesin masasında bir görevin yazılı olduğu bir kağıt vardır. Bu görevleri birbirine dağıtın, çözün ve hazır cevapları ortak bir kağıda yazın. 3 kişilik bir grup herhangi bir 3 görevi seçer. Tüm görevleri tamamlayan herkes bunu öğretmene bildirecektir. Ben veya asistanlarım cevapları kontrol edeceğiz ve eğer en az bir cevap yanlışsa, tekrar kontrol edilmesi için gruba bir sayfa iade edilecektir.. (çocuklar cevapları görmezler, onlara yalnızca hangi görevin yanlış cevabı olduğu söylenir).Kazanan, tüm görevleri hatasız tamamlayan ilk gruptur. Zafere doğru ilerleyin.
Müzik çok sessiz.
İki veya üç grup aynı anda işini bitirirse diğer gruptaki çocuklardan biri öğretmenin kontrol etmesine yardımcı olur. Öğretmen kağıdındaki cevaplar (4 kopya).
Kazanan grup ortaya çıktığında iş durur.
Öz değerlendirme çalışma sayfasını doldurmayı unutmayın. Ve devam ediyoruz.
“Bagaj Kontrolü” için görev sayfası
1) 3)
2) 4)
III. Bilgiyi güncelleme ve yeni bilgiyi keşfetme aşaması. "Evreka"
İnceleme, zengin bir bilgiye sahip olduğunuzu gösterdi.
Ancak yolda her türlü durumla karşılaşılabilir, bazen ustalık gerekir ve onu yanınıza almayı unutup unutmadığınızı kontrol edeceğiz.
Rasyonel eşitsizlik sistemlerini aralık yöntemini kullanarak çözmeyi öğrendiniz. Bugün bu yöntemin hangi problemlerde kullanılmasının tavsiye edildiğine bakacağız. Ama önce modülün ne olduğunu hatırlayalım.
1. Cümlelere devam edin: “Eğer bir sayının modülü sayının kendisine eşittir...”(ağızdan)
“Bir sayının modülü karşıt sayıya eşitse...”
2. A(X) x'te bir polinom olsun
Kayda devam edin:
Cevap:
A(x)'in zıt ifadesini yazın
A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2
A(x)= -A(x)=
Öğrenci tahtaya yazıyor, çocuklar da defterlerine yazıyor.
3. Şimdi ikinci dereceden eşitsizliği modül ile çözmenin bir yolunu bulmaya çalışalım
Bu eşitsizliğin çözümüne yönelik önerileriniz nelerdir?
Adamların önerilerini dinleyin.
Herhangi bir öneri yoksa şu soruyu sorun: "Bu eşitsizlik, eşitsizlik sistemleri kullanılarak çözülebilir mi?"
Öğrenci çıkıp karar verir.
IV. Yeni bilginin birincil konsolidasyonu aşaması, bir çözüm algoritması hazırlanması. Bagaj ikmali.
(4 kişilik gruplar halinde çalışın).
Şimdi bagajınızı yenilemenizi öneririm. Gruplar halinde çalışacaksınız.Her gruba 2 adet görev kartı verilir.
İlk kartta tahtada sunulan eşitsizliklerin çözümüne yönelik sistemleri yazmanız ve bu eşitsizlikleri çözecek bir algoritma geliştirmeniz gerekiyor, bunları çözmeye gerek yok.
İlk kart gruplar için farklı, ikincisi aynı
Ne oldu?
Tahtadaki her denklemin altına bir dizi sistem yazmanız gerekir.
4 öğrenci çıkıp sistemleri yazıyor. Şu anda algoritmayı sınıfla tartışıyoruz..
V. Bilginin pekiştirilmesi aşaması."Evin yolu".
Bagajlar yenilendi, şimdi geri dönme zamanı. Şimdi modül ile önerilen eşitsizliklerden herhangi birini derlenmiş algoritmaya göre kendiniz çözün.
Yol radyosu yine yolda yanınızda olacak.
Sessiz fon müziği çal. Öğretmen tasarımı kontrol eder ve gerekirse tavsiyelerde bulunur.
Tahtadaki görevler.
Çalışma tamamlandı. Cevapları kontrol edin (açıktır) arka taraf panoları), öz değerlendirme seyahat sayfasını doldurun.
Ödev ayarlama.
Bir yere yaz Ev ödevi(Yapmadığınız veya hatalı yaptığınız eşitsizlikleri not defterinize kopyalayın, isterseniz ders kitabının 373. sayfasında ayrıca No. 84 (a)'yı da not defterinize kopyalayın)
VI. Gevşeme aşaması.
Bu gezi sizin için nasıl faydalı oldu?
Ne öğrendin?
Özetle. Her birinizin kaç puan kazandığını sayın.(adamlar son puanı söylerler).Öz değerlendirme formlarını sevk görevlisine, yani bana verin.
Dersi bir benzetmeyle bitirmek istiyorum.
“Bir bilge yürüdü ve sıcak güneşin altında inşaat için taşlarla dolu arabaları taşıyan üç kişi onunla karşılaştı. Bilge durdu ve her birine bir soru sordu. İlkine sordu: "Bütün gün ne yaptın?" ve sırıtarak bütün gün lanet taşları taşıdığını söyledi. Bilge ikinciye sordu: "Bütün gün ne yaptın?" Ve cevap verdi: "İşimi titizlikle yaptım" ve üçüncüsü gülümsedi, yüzü neşe ve zevkle aydınlandı: "Ve ben de inşaatta yer aldım." Tapınağın!”
Ders bitti.
Öz değerlendirme sayfası
Soyadı, adı, sınıfı | Puan sayısı |
|
Eşitsizlikleri veya eşitsizlik sistemlerini çözmek için bir grup halinde çalışmak. | Dışarıdan yardım almadan doğru şekilde yapılırsa 2 puan; Dışarıdan yardımla doğru şekilde yapılırsa 1 puan; Görevi tamamlamadıysanız 0 puan Grup zaferine 1 ekstra puan |
Tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin yollarını aramaya devam ediyoruz. Rasyonel eşitsizliklerin özel durumları olan doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikleri daha önce incelemiştik. Bu yazımızda hangi tür eşitsizliklerin rasyonel kabul edildiğini açıklayacağız ve bunların hangi türlere (tam sayı ve kesirli) bölündüğünü anlatacağız. Bundan sonra bunları nasıl doğru şekilde çözeceğimizi, gerekli algoritmaları nasıl sağlayacağımızı ve belirli problemleri nasıl analiz edeceğimizi göstereceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel eşitlik kavramı
Okulda eşitsizliklerin çözümü konusunu incelediklerinde hemen rasyonel eşitsizlikleri ele alıyorlar. Bu tür ifadelerle çalışma becerilerini kazanır ve geliştirirler. Bu kavramın tanımını şöyle formüle edelim:
Tanım 1
Rasyonel bir eşitsizlik, her iki kısımda da rasyonel ifadeler içeren değişkenlerin olduğu bir eşitsizliktir.
Tanımın değişken sayısı sorununu hiçbir şekilde etkilemediğini unutmayın; bu, değişkenlerden istenildiği kadar çok olabileceği anlamına gelir. Bu nedenle 1, 2, 3 veya daha fazla değişkenli rasyonel eşitsizlikler mümkündür. Çoğu zaman yalnızca bir, daha az sıklıkla iki değişken içeren ifadelerle ve eşitsizliklerle uğraşmak zorunda kalırsınız. büyük miktar Değişkenler genellikle okul derslerinde hiç dikkate alınmaz.
Böylece rasyonel bir eşitsizliği yazıya bakarak tanıyabiliriz. Hem sağında hem de solunda rasyonel ifadeler bulunmalıdır. İşte bazı örnekler:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Ama burada 5 + x + 1 formunda bir eşitsizlik var< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Tüm rasyonel eşitsizlikler tam sayı ve kesirli olarak ikiye ayrılır.
Tanım 2
Rasyonel eşitliğin tamamı (her iki kısımda da) tam rasyonel ifadelerden oluşur.
Tanım 3
Kesirli rasyonel eşitlik parçalarından birinde veya her ikisinde kesirli ifade içeren bir eşitliktir.
Örneğin, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ve 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 formundaki eşitsizlikler şöyledir: kesirli rasyonel ve 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y) Ve 1: x + 3 > 0- tüm.
Rasyonel eşitsizliklerin ne olduğunu analiz ettik ve ana türlerini belirledik. Bunları çözmenin yollarını incelemeye geçebiliriz.
Diyelim ki bütünüyle rasyonel bir eşitsizliğe çözüm bulmamız gerekiyor. r(x)< s (x) , yalnızca bir x değişkeni içerir. burada r(x) Ve s(x) herhangi bir tam sayıyı temsil eder rasyonel sayılar veya ifadeler ve eşitsizlik işareti farklı olabilir. Bu sorunu çözmek için onu dönüştürüp eşdeğer bir eşitlik elde etmemiz gerekiyor.
İfadeyi sağ taraftan sola taşıyarak başlayalım. Aşağıdakileri alıyoruz:
r (x) - s (x) formundadır< 0 (≤ , > , ≥)
Biz biliyoruz ki r (x) - s (x) bir tamsayı değeri olacaktır ve herhangi bir tamsayı ifadesi bir polinoma dönüştürülebilir. Haydi dönüşelim r (x) - s (x) h(x) cinsinden. Bu ifade tamamen eşit bir polinom olacaktır. r (x) − s (x) ve h (x)'in x'in izin verilen değerlerinin aynı aralığına sahip olduğunu düşünürsek, h (x) eşitsizliklerine geçebiliriz< 0 (≤ , >, ≥), orijinaline eşdeğer olacaktır.
Sonuç, değerinin hesaplanması kolay olan doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizlik olabileceğinden, genellikle bu kadar basit bir dönüşüm eşitsizliği çözmek için yeterli olacaktır. Bu tür sorunları analiz edelim.
örnek 1
Durum: tam bir rasyonel eşitsizliği çöz x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Çözüm
İfadeyi sağ taraftan ters işaretle sola doğru hareket ettirerek başlayalım.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Artık soldaki polinomlarla tüm işlemleri tamamladığımıza göre devam edebiliriz. doğrusal eşitsizlik 3 x - 2 ≤ 0, koşulda verilene eşdeğerdir. Çözülmesi kolaydır:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Cevap: x ≤ 2 3 .
Örnek 2
Durum: eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Çözüm
İfadeyi sol taraftan sağa aktarıyoruz ve kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak daha ileri dönüşümler gerçekleştiriyoruz.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Dönüşümlerimiz sonucunda x'in her değeri için doğru olacak bir eşitsizlik elde ettik, dolayısıyla orijinal eşitsizliğin çözümü herhangi bir reel sayı olabilir.
Cevap: gerçekten herhangi bir sayı.
Örnek 3
Durum: eşitsizliği çöz x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Çözüm
Orada 0 olduğu için sağ taraftan hiçbir şey aktarmayacağız. Hemen sol tarafı bir polinoma dönüştürerek başlayalım:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Orijinal eşitsizliğe eşdeğer ikinci dereceden bir eşitsizlik türettik ve bu eşitsizlik çeşitli yöntemler kullanılarak kolayca çözülebilir. Grafiksel bir yöntem kullanalım.
Kare trinomiyalin köklerini hesaplayarak başlayalım − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Şimdi diyagramdaki her şeyi işaretleyelim gerekli sıfırlar. Baş katsayı sıfırdan küçük olduğundan grafikteki parabolün dalları aşağıyı gösterecektir.
Eşitsizlikte > işaretimiz olduğundan, parabolün x ekseninin üzerinde bulunan bölgesine ihtiyacımız olacak. Gerekli aralık eşittir (− 0 , 5 , 6) dolayısıyla bu değer aralığı ihtiyacımız olan çözüm olacaktır.
Cevap: (− 0 , 5 , 6) .
Fazlası var karmaşık vakalar, solun üçüncü veya daha yüksek dereceden bir polinom olduğu ortaya çıktığında. Bu eşitsizliği çözmek için aralık yönteminin kullanılması önerilir. İlk önce polinomun tüm köklerini hesaplıyoruz h(x) Bu çoğunlukla bir polinomun çarpanlara ayrılmasıyla yapılır.
Örnek 4
Durum: hesaplamak (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Çözüm
Her zaman olduğu gibi ifadeyi sola kaydırarak başlayalım, sonrasında parantezleri genişletip benzer terimleri getirmemiz gerekecek.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Dönüşümler sonucunda solunda üçüncü dereceden bir polinom bulunan orijinaline eşdeğer bir eşitlik elde ettik. Bunu çözmek için aralık yöntemini kullanalım.
İlk önce kübik denklemi çözmemiz gereken polinomun köklerini hesaplıyoruz. x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Rasyonel kökleri var mı? Yalnızca serbest terimin bölenleri arasında olabilirler, yani. ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 sayıları arasında. Bunları orijinal denklemde birer birer yerine koyalım ve 1, 2 ve 3 sayılarının kökleri olacağını bulalım.
Yani polinom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 bir ürün olarak tanımlanabilir (x - 1) · (x - 2) · (x - 3) ve eşitsizlik x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 olarak temsil edilebilir (x - 1) · (x - 2) · (x - 3)< 0 . Bu tür bir eşitsizlikle aralıkların işaretlerini belirlememiz daha kolay olacaktır.
Daha sonra aralık yönteminin geri kalan adımlarını gerçekleştiriyoruz: bir sayı doğrusu çizin ve üzerinde 1, 2, 3 koordinatlarına sahip noktalar çizin. Düz çizgiyi işaretleri belirlemeleri gereken 4 aralığa bölerler. Orijinal eşitsizlik işaretine sahip olduğundan aralıkları eksi ile gölgelendirelim. < .
Tek yapmamız gereken hazır cevabı yazmak: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Cevap: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Bazı durumlarda r (x) − s (x) eşitsizliğinden ilerleyin< 0 (≤ , >, ≥) ila h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , nerede h(x)– 2'den yüksek bir dereceye kadar polinom, uygunsuz. Bu, r(x) − s(x)'i doğrusal iki terimlilerin ve ikinci dereceden üç terimlilerin çarpımı olarak ifade etmenin, h(x)'i bireysel faktörlere ayırmaktan daha kolay olduğu durumları da kapsar. Bu soruna bakalım.
Örnek 5
Durum: eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Çözüm
Bu eşitsizlik tamsayılar için geçerlidir. İfadeyi sağdan sola hareket ettirip parantezleri açıp terimlerde kısaltma yaparsak şunu elde ederiz: x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Dördüncü dereceden bir polinomun köklerini aramanız gerektiğinden böyle bir eşitsizliği çözmek kolay değildir. Tek bir rasyonel kökü yoktur (örneğin, 1, − 1, 19 veya − 19 uygun değildir) ve diğer kökleri aramak zordur. Bu, bu yöntemi kullanamayacağımız anlamına gelir.
Ancak başka çözümler de var. İfadeleri orijinal eşitsizliğin sağından sola taşırsak, ortak çarpanı parantez içine alabiliriz. x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Orijinaline eşdeğer bir eşitsizlik elde ettik ve çözümü bize istenen cevabı verecektir. Sol tarafta çözdüğümüz ifadenin sıfırlarını bulalım. ikinci dereceden denklemler x 2 − 2 x − 1 = 0 Ve x 2 − 2 x − 19 = 0. Kökleri 1±2, 1±2 5'tir. Aralık yöntemiyle çözülebilen x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 eşitliğine geçiyoruz:
Şekle göre cevap - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞ olacaktır.
Cevap: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Bazen bir polinomun tüm köklerini bulmanın mümkün olmadığını da ekleyelim. h(x) bu nedenle onu doğrusal binomların ve ikinci dereceden üç terimli sayıların bir ürünü olarak temsil edemeyiz. Daha sonra h(x) formundaki bir eşitsizliği çözün.< 0 (≤ , >, ≥) yapamayız, bu da orijinal rasyonel eşitsizliği çözmenin de imkansız olduğu anlamına gelir.
Diyelim ki r(x) formundaki kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor< s (x) (≤ , >, ≥) , burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir, x bir değişkendir. Belirtilen ifadelerden en az biri kesirli olacaktır. Bu durumda çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:
- X değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirleriz.
- İfadeyi eşitsizliğin sağ tarafından sola kaydırırız ve ortaya çıkan ifade r (x) - s (x) kesir olarak temsil edin. Üstelik nerede p(x) Ve q(x) doğrusal binomların, ayrıştırılamaz ikinci dereceden üç terimlilerin ve doğal üslü kuvvetlerin çarpımı olan tamsayı ifadeleri olacaktır.
- Daha sonra ortaya çıkan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz.
- Son adım, çözüm sırasında elde edilen noktaları, başlangıçta tanımladığımız x değişkeninin kabul edilebilir değerler aralığından çıkarmaktır.
Bu, kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanılan algoritmadır. Çoğu açıktır; yalnızca 2. paragraf için küçük açıklamalara ihtiyaç vardır. İfadeyi sağ taraftan sola kaydırdık ve r (x) − s (x) elde ettik< 0 (≤ , >, ≥) ve sonra bunun p (x) q (x) formuna nasıl getirileceği< 0 (≤ , > , ≥) ?
Öncelikle bu dönüşümün her zaman gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini belirleyelim. Teorik olarak böyle bir olasılık her zaman mevcuttur, çünkü herhangi bir rasyonel ifade rasyonel bir kesire dönüştürülebilir. Burada pay ve paydasında polinomlar bulunan bir kesirimiz var. Cebirin temel teoremini ve Bezout teoremini hatırlayalım ve bir değişken içeren n dereceli herhangi bir polinomun doğrusal binomların bir çarpımına dönüştürülebileceğini belirleyelim. Dolayısıyla teoride ifadeyi her zaman bu şekilde dönüştürebiliriz.
Uygulamada polinomları çarpanlara ayırmak, özellikle de derecesi 4'ten büyükse, genellikle oldukça zordur. Eğer genişletmeyi yapamazsak bu eşitsizliği çözemeyiz ama bu tür problemler genellikle okul derslerinde işlenmez.
Daha sonra ortaya çıkan p (x) q (x) eşitsizliğinin olup olmadığına karar vermemiz gerekiyor.< 0 (≤ , >, ≥) r(x) − s(x)'e göre eşdeğer< 0 (≤ , >, ≥) ve orijinaline. Eşitsiz olma ihtimali var.
Kabul edilebilir değerler aralığı belirlendiğinde eşitsizliğin denkliği sağlanacaktır. p(x)q(x) ifade aralığıyla eşleşecek r (x) - s (x). O halde kesirli rasyonel eşitsizliklerin çözümüne ilişkin talimatların son noktasının takip edilmesine gerek yoktur.
Ancak değer aralığı p(x)q(x) daha geniş olabilir r (x) - s (x)örneğin kesirleri azaltarak. Bir örnek, x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3'ten x · x - 1 x + 3'e gitmek olabilir. Veya benzer terimleri getirirken bu durum meydana gelebilir, örneğin buraya:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 ila 1 x + 3
Bu gibi durumlarda algoritmanın son adımı eklendi. Bunu uygulayarak kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesi nedeniyle ortaya çıkan gereksiz değişken değerlerden kurtulacaksınız. Neden bahsettiğimizi daha açık hale getirmek için birkaç örnek verelim.
Örnek 6
Durum: x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 rasyonel eşitliğinin çözümlerini bulun.
Çözüm
Yukarıda belirtilen algoritmaya göre hareket ediyoruz. Öncelikle kabul edilebilir değerlerin aralığını belirliyoruz. İÇİNDE bu durumdaçözümü (− ∞, − 1) kümesi olan x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir. ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Bundan sonra aralık yöntemini uygulamaya uygun olacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Öncelikle şunu veriyoruz cebirsel kesirler en düşük ortak paydaya (x - 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Toplamın karesi formülünü kullanarak paydaki ifadeyi daraltıyoruz:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Ortaya çıkan ifadenin kabul edilebilir değerleri aralığı (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Orijinal eşitlik için tanımlanana benzer olduğunu görüyoruz. x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 eşitsizliğinin orijinal eşitsizliğine eşdeğer olduğu sonucuna varıyoruz, bu da algoritmanın son adımına ihtiyacımız olmadığı anlamına geliyor.
Aralık yöntemini kullanıyoruz:
Orijinal rasyonel eşitsizlik x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ -'nin çözümü olacak ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) çözümünü görüyoruz. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Cevap: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Örnek 7
Durum: x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 çözümünü hesaplayın.
Çözüm
Kabul edilebilir değerlerin aralığını belirliyoruz. Bu eşitsizlik durumunda − 2, − 1, 0 ve 0 dışındaki tüm reel sayılara eşit olacaktır. 1 .
İfadeleri sağ taraftan sola taşıyoruz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Sonucu dikkate alarak şunu yazıyoruz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
- 1 x - 1 ifadesi için geçerli değer aralığı, biri hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. Değer aralığının genişlediğini görüyoruz: − 2 , − 1 ve 0 . Bu, algoritmanın son adımını gerçekleştirmemiz gerektiği anlamına gelir.
-1 x - 1 > 0 eşitsizliğine geldiğimize göre, eşdeğerini 1 x - 1 olarak yazabiliriz.< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Orijinal eşitliğin kabul edilebilir değerleri aralığına dahil olmayan noktaları hariç tutuyoruz. (− ∞ , 1)'den − 2 , − 1 ve − sayılarını hariç tutmamız gerekir 0 . Dolayısıyla x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 rasyonel eşitsizliğinin çözümü (− ∞ , − 2) değerleri olacaktır. ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Cevap: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sonuç olarak, nihai cevabın kabul edilebilir değerler aralığına bağlı olduğu bir problemin başka bir örneğini veriyoruz.
Örnek 8
Durum: 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.
Çözüm
Koşulda belirtilen eşitsizliğin izin verilen değerlerinin aralığı sistem tarafından belirlenir x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Bu sistemin çözümü yok çünkü
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Bu, orijinal eşitlik olan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0'ın çözümü olmadığı anlamına gelir, çünkü onu oluşturacak değişkenin hiçbir değeri yoktur algı.
Cevap: hiçbir çözüm yok.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
